高考数学一轮复习 课时作业31 数列求和 理-人教版高三全册数学试题
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课时作业31 数列求和
[基础达标]
1．[2020·某某某某二十四中模拟]已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{}是等差数列；
(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由题意得b2n＝anan＋1，
则＝b2n＋1－b2n＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此＋1－＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{}是等差数列．
(2)当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.
当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①
a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②
①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴a2n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a2n－1＝2Sn－1－an－1，④
③－④得a2n－a2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
2．[2020·某某某某诊断]已知等差数列{an}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn>39，求n的取值X围．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)，
由a4＝7，得a1＋3d＝7，①
又a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项，
∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，②
联立①②，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{bn}的前三项，
∴等比数列{bn}的首项为3，公比为3. word
∴Sn＝31－3n1－3＝33n－12.
由Sn>39，得33n－12>39，化简得3n>27，解得n>3，n∈N*.
3．[2020·某某某某省级示X高中联考]在数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝4n＋12nn＋2，设bn＝n＋1n·an.
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求{an}的前n项积Tn.
解析：(1)因为bn＋1bn＝n＋2n＋1·an＋1n＋1n·an＝nn＋2n＋12·an＋1an＝nn＋2n＋12·4n＋12nn＋2＝4，b1＝2a1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列．
(2)由(1)知bn＝n＋1n·an＝2·4n－1，则an＝nn＋1·22n－1.
从而Tn＝（12×23×34×…×nn＋1）·21＋3＋5＋…＋(2n－1)＝2n2n＋1.
4．[2020·某某河津二中月考]设数列{an}满足a1＝1,3a2－a1＝1，且2an＝an－1＋an＋1an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}中，b1＝12，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1.
解析：(1)∵2an＝an－1＋an＋1an－1an＋1(n≥2)，
∴2an＝1an－1＋1an＋1，
又a1＝1,3a2－a1＝1，∴1a1＝1，1a2＝32，
∴1a2－1a1＝12，
∴1an是首项为1，公差为12的等差数列， word
∴1an＝1＋12(n－1)＝12(n＋1)，即an＝2n＋1.
(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1(n≥2)，又b1＝12符合上式，∴bn＝1n－1n＋1(n∈N*)，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1－12）＋（12－13）＋…＋（1n－1n＋1）＝1－1n＋1<1.
5．[2019·某某某某中学期中]设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ n，n为奇数，1an，n为偶数，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3 ①，
当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13 ②，
①－②，得3n－1·an＝13(n≥2)，即an＝13n；
当n＝1时，a1＝13，符合上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝13n.
(2)由(1)知bn＝ n，n为奇数，3n，n为偶数，
①当n为奇数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋3n－1＋n＝1＋n2·1＋n2＋＝n2＋2n＋14＋98(3n－1－1)．
②当n为偶数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝[1＋n－1]2·n2＋91－9n21－9＝n24＋98(3n－1)． word
所以数列{bn}的前n项和 Sn＝ n2＋2n＋14＋983n－1－1，n为奇数，n24＋983n－1，n为偶数.
6．[2020·某某某某模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1＋a4＝13，在公比为q(0 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{}满足＝anbn，求数列{}的前n项和Tn. 解析：(1)因为{an}为等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3＝13， 又a2a3＝40，所以a2，a3是方程x2－13x＋40＝0的两个实数根． 又公差d>0，所以a2 所以 a1＋d＝5，a1＋2d＝8，解得 a1＝2，d＝3，所以an＝3n－1， 因为在公比为q(0 所以易知b1＝12，b3＝18，b5＝132. 此时公比q2＝b3b1＝14，所以q＝12，所以bn＝（12）n. (2)由(1)知an＝3n－1，bn＝（12）n，所以＝(3n－1)·（12）n， 所以Tn＝2×（12）1＋5×（12）2＋8×（12）3＋…＋(3n－1)×（12）n， 12Tn＝2×122＋5×123＋…＋(3n－4)×12n＋(3n－1)×12n＋1， 两式相减，得12Tn＝2×（12）1＋3[（12）2＋（12）3＋…＋（12）n]－(3n－1)×（12）n＋1＝1＋3×（12）[1－（12）n－1]－(3n－1)×（12）n＋1＝52－（12）n×3n＋52. 故{}的前n项和Tn＝5－(3n＋5)×（12）n. word [能力挑战] 7．[2020·某某某某联考]若正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，点P(Sn，Sn＋1)在曲线y＝(x＋1)2上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝1an·an＋1，Tn表示数列{bn}的前n项和，若Tn≥13m－1对任意n∈N*恒成立，某某数m的取值X围． 解析：(1)由已知可得Sn＋1＝(Sn＋1)2，得Sn＋1－Sn＝1，所以{Sn}是以S1为首项、1为公差的等差数列，所以Sn＝S1＋(n－1)×1＝n，得Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1，也符合上式，故{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)bn＝1an·an＋1＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝12(1－12n＋1)，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)min＝T1＝13，又Tn≥13m－1对任意n∈N*恒成立，所以13≥13m－1恒成立，所以m≤4，故实数m的取值X围为(－∞，4]．
