(新)高中数学第二章推理与证明2_3数学归纳法课堂探究新人教B版选修2-2
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 1 高中数学
第二章
推理与证明 2.3
数学归纳法课堂探究
新人教B版选修2-2
探究一
利用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与n的关系是什么，由n＝k到n＝k＋1时项数增加多少项，增加怎样的项等．
【典型例题1】 用数学归纳法证明：11×4＋14×7＋17×10＋…＋13n－23n＋1＝n3n＋1(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝11×4＝14，右边＝13×1＋1＝14，
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，
则当n＝k＋1时，
11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＋13k＋13k＋4
＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4
＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知等式对n∈N＋成立．
探究二 用数学归纳法证明不等式
运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明．
【典型例题2】 用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n＞n(其中n∈N＋，n＞1)．
思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n＝k证n＝k＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立． 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 2 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即
1＋12＋13＋…＋1k ＞k，则当n＝k＋1时，
1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1 ＞k＋1k＋1 .
(方法1)因为k＋1k＋1－k＋1＝k2＋k＋1－k＋1k＋1
＝k2＋k－kk＋1＝kk＋1k2＋k＋k＞0，
所以k＋1k＋1＞k＋1，
即1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1 ＞k＋1.
(方法2)因为k＋1k＋1＝k2＋k＋1k＋1＞k2＋1k＋1＝k＋1k＋1＝k＋1，
所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1 ＞k＋1.
即当n＝k＋1时原不等式也成立，
由(1)(2)知原不等式成立．
点评 本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明．
探究三 用数学归纳法证明整除问题
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．
【典型例题3】 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．
证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除， 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 3 即n＝k＋1时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．
探究四 归纳—猜想—证明
1．由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．
2．在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法．
【典型例题4】 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．
解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，
∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝3222.
同理，可得a4＝4232，a5＝5242.
因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516.
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为an＝ 1，n＝1，n2n－12，n≥2，n∈N＋.
下面用数学归纳法证明当n≥2，n∈N＋时，an＝n2n－12.
①当n＝2时，a2＝222－12＝22，猜想正确．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，猜想正确，
即ak＝k2k－12.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2， 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 4 ∴ak＋1＝k＋12a1·a2·…·ak－1·ak＝k＋12k－12·k－12k2 ＝k＋12k2＝k＋12[k＋1－1]2，
∴当n＝k＋1时，猜想也正确．
根据①和②，可知当n≥2，n∈N＋时，这个数列的通项公式是an＝n2n－12.
∴an＝ 1，n＝1，n2n－12，n≥2，n∈N＋.
探究五 易错辨析
易错点：因不运用归纳假设而出错
【典型例题5】 用数学归纳法证明：
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N＋)．
错证：(1)当n＝1时，左边＝12×4，右边＝141＋1＝14×2，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4
＝12 12－14＋14－16＋…＋12k－12k＋2＋ 12k＋2－12k＋4
＝1212－12k＋4＝k＋14[k＋1＋1]，即当n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)，可知等式对一切n∈N＋都成立．
错因分析：由n＝k到n＝k＋1时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，不符合题目要求．
正确证法：(1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立．
那么当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4
＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 5 ＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14[k＋1＋1]，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)和(2)，可知对一切n∈N＋等式都成立．
