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高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学下册知识点归纳
高等数学下册的知识点主要包括以下内容：
1. 向量的模、方向角、投影：向量的模是表示向量大小的度量，方向角和方向余弦是描述向量方向的量，投影则是描述向量在另一个向量上的投影。
2. 两向量的数量积、向量积：数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。
3. 平面及其方程：平面的一般方程、点法式方程等都是描述平面的重要方式。
4. 空间直线及其方程：空间直线的方程包括对称式方程、参数方程等。
5. 空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线方程和法平面方程是描述空间曲线的重要方式。
6. 曲面的切平面与法线：曲面的切平面和法线是描述曲面在某一点的切线和方向的重要方式。
7. 全微分：全微分是函数在某一点的变化率的度量，包括一阶偏导数和高阶偏导数。
8. 偏导计算：偏导数是函数在某个变量上的变化率，对于多元函数来说，偏导数是重要的概念。
9. 二元函数的极限：二元函数的极限是描述函数在某个点附近的性质的重要方式，包括极限的求解和证明。
10. 二重积分：二重积分是计算二维区域上的积分的重要方式，包括定积分和反常积分。
以上是高等数学下册的一些主要知识点，掌握这些知识点有助于理解和应用高等数学的基本概念和方法。
高数下册知识点高等数学是大学数学的重要组成部分，它的内容涵盖了较为复杂的数学理论和方法。
在高数下册中，包含了许多重要的知识点，本文将简要介绍其中一些知识点。
1. 二重积分和三重积分二重积分和三重积分是高等数学中的重要概念，它们是求解平面区域和空间体积的有效工具。
二重积分用于平面区域上函数的面积、质量、质心等的计算，而三重积分则用于空间区域上函数的体积、质量、质心等的计算。
2. 常微分方程常微分方程是描述动力学系统中各个变量之间关系的数学方程。
在高数下册中，我们将学习一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程和非齐次方程等解法。
3. 线性代数线性代数是高等数学中的重要分支，它研究向量、矩阵、线性变换等概念及其相应的运算规律。
在高数下册中，我们将学习矩阵的基本运算、矩阵的逆和行列式等内容。
4. 多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的变化率和极值等性质的数学分支。
在高数下册中，我们将学习多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的极值等相关知识。
5. 无穷级数无穷级数是由无穷多个数按一定规律排列而成的一种数列。
在高数下册中，我们将学习无穷级数的收敛性和发散性，以及级数的和的计算方法，如几何级数、调和级数等。
6. 傅里叶级数傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的级数。
在高数下册中，我们将学习傅里叶级数的基本理论和求解方法，以及应用于信号处理、波动方程等领域。
7. 空间解析几何空间解析几何是研究空间内点、直线、平面等几何对象的性质与关系的数学分支。
在高数下册中，我们将学习空间点与直线、直线与平面之间的位置关系，以及相应的空间坐标转换等内容。
8. 级数收敛与连续函数在高数下册中，我们将探讨级数收敛与发散的判别法，以及级数的运算法则。
同时，我们还将研究连续函数的性质和判断方法，如极值、最值、连续函数与导数的关系等。
9. 可导函数的求导法则可导函数的求导法则是高等数学中求导过程中常用的法则和公式。
通过学习这些求导法则，可以简化复杂函数的求导过程，提高求导的效率。
大一高数下册知识点大一高数下册的学习内容丰富且具有一定的难度，以下为大家梳理一些重要的知识点。
一、空间解析几何与向量代数在这部分中，首先要理解空间直角坐标系的概念。
知道如何通过坐标来确定空间中的点，以及两点之间的距离公式。
向量是一个重要的概念。
要掌握向量的加减法、数乘运算，以及向量的数量积和向量积。
数量积可以用于计算向量的长度、夹角等；向量积则用于确定与两个向量都垂直的向量。
空间平面和直线的方程也是重点。
平面方程有一般式、点法式等；直线方程有点向式、参数式等。
要能够根据已知条件求出平面和直线的方程，并能判断它们之间的位置关系，如平行、垂直等。
二、多元函数微分学多元函数的概念是基础，要区分一元函数与多元函数的不同。
了解二元函数的极限、连续等概念，以及它们之间的关系。
偏导数和全微分是这部分的核心内容。
要学会求偏导数，理解偏导数的几何意义。
掌握全微分的定义和计算方法，以及可微、偏导数存在和连续之间的关系。
复合函数求导法则较为复杂，需要分清函数的复合关系，熟练运用链式法则进行求导。
方向导数和梯度也需要了解，它们在实际问题中有一定的应用。
三、重积分重积分包括二重积分和三重积分。
要理解二重积分和三重积分的概念，掌握它们的计算方法。
直角坐标系下的计算是基础，要熟练掌握先对 x 后对 y 或者先对 y 后对 x 的积分顺序。
极坐标系下的二重积分计算也是常考的内容，需要记住相应的变换公式。
对于三重积分，除了直角坐标系，还可能会用到柱面坐标和球面坐标来简化计算。
重积分的应用也很重要，比如可以用于求曲面的面积、空间立体的体积等。
四、曲线积分与曲面积分曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。
要掌握它们的定义、性质和计算方法。
格林公式是联系曲线积分和二重积分的重要公式，能够通过它将封闭曲线的曲线积分转化为二重积分进行计算。
曲面积分包括对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，同样要理解其概念和计算方法。
高斯公式则是将闭曲面的曲面积分与三重积分相联系的重要公式。
高等数学(下)知识点总结1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。
4、梯度：，则。
5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；② 若，函数没有极值；③ 若，不定。
2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分1、定义：2、计算：1）直角坐标-----------“先一后二”-----------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，、向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则、（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：—“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。
高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高等数学（下）知识点高等数学下册知识点第六章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 单位向量，零向量，向量平行；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；（重点）5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u的夹角。
（二） 数量积，向量积（重点）1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅ 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=高等数学（下）知识点大小：θsin b a ，方向：c b a,,符合右手规则1）0 =⨯a a 2）b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，（非重点）（重点）绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f （重点）绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f2、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程（重点）1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n =，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程（重点）1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第七章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 多元函数：),(y x f z =的定义域（重点）2、 极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 3、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→4、 偏导数定义5、 计算偏导数以及二阶偏导数（重点）6、 方向导数：（重点：记住公式）βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
高数下知识点总结一、微积分1. 函数和极限函数是自然界和社会现象中的一般规律性联系的数学抽象。
以实数域为定义域和值域的实函数是微积分的主要研究对象。
极限是微积分的基本概念，它是描述函数在某点附近的性质的数学工具。
在微积分中，我们讨论函数在某一点的极限，以及函数在无穷远处的极限和无穷大的极限等各种情况。
2. 导数和微分导数是函数在某一点的变化率的极限，用来描述函数的局部性质。
微分是导数的几何意义，它是关于函数的线性逼近的一种数学方法。
在微积分中，我们讨论导数的定义、求导法则、高阶导数、微分和微分中值定理等内容。
3. 积分和微积分基本定理积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间内的总体变化量。
微积分基本定理是微积分中的核心定理，它建立了积分和导数之间的联系。
在微积分中，我们讨论不定积分、定积分、变限积分、积分中值定理等内容。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它是描述自然和社会现象中变化规律的数学模型。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类，涵盖了许多重要的理论和方法。
在微积分中，我们讨论微分方程的基本概念、解的存在唯一性、解的性质、微分方程的分类和常见的解法等内容。
二、矩阵论1. 矩阵和行列式矩阵是线性代数的基本工具，它是一个按照矩形排列的数的集合。
行列式是矩阵的一个重要性质，它是由矩阵的元素按照一定规则组合而成的一个数。
在矩阵论中，我们讨论矩阵的基本操作、矩阵的性质、矩阵的代数运算、矩阵的逆、行列式的性质和展开等内容。
2. 线性方程组线性方程组是矩阵论的一个重要应用领域，它是由线性方程组成的一种数学模型。
线性方程组的解是矩阵的一个重要性质，它描述了线性方程组的解空间和解的个数。
在矩阵论中，我们讨论线性方程组的标准形、增广矩阵、线性方程组的解的性质、线性方程组的解的分类和解的存在唯一性等内容。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵的变换规律和对称性质。
（完整版）⾼数下册常⽤常见知识点⾼等数学（下）知识点⾼等数学下册常⽤常见知识点第⼋章空间解析⼏何与向量代数（⼀）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平⾏、共线、共⾯；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直⾓坐标系：坐标轴、坐标⾯、卦限，向量的坐标分解式；4、利⽤坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、向量的模、⽅向⾓、投影：1）向量的模：222z y x r ++=ρ；2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）⽅向⾓：⾮零向量与三个坐标轴的正向的夹⾓γβα,,4）⽅向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5）投影：?cos Pr a a j uρρρ=，其中?为向量a ρ与u ρ的夹⾓。
（⼆）数量积，向量积 1、数量积：θcos b ab a ρρρρ=?1）2a a a ρρρ=?2）?⊥b a ρρ0=?b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=?ρρρ?=⼤⼩：θsin b aρρ，⽅向：c b a ρρρ,,符合右⼿规则 1）0ρρρ=?a a⾼等数学（下）知识点2）b a ρρ//?0ρρρ=?b a z y xzy xb b b a a a k j ib a ρρρρρ=?运算律：反交换律 b a a b ρρρρ?-=?（三）曲⾯及其⽅程 1、曲⾯⽅程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲⾯：（旋转后⽅程如何写）yoz ⾯上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转⼀周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转⼀周：0),(22=+±z y x f3、柱⾯：（特点）0),(=y x F 表⽰母线平⾏于z 轴，准线为==0 0),(z y x F 的柱⾯4、⼆次曲⾯（会画简图）1）椭圆锥⾯：22222z by a x =+ 2）椭球⾯：1222222=++cz a y a x 3）*单叶双曲⾯：1222222=-+czb y a x4）*双叶双曲⾯：1222222=--czb y a x 5）椭圆抛物⾯：z by a x =+2222 6）*双曲抛物⾯（马鞍⾯）：z b y a x =-2222 7）椭圆柱⾯：12222=+b ya x 8）双曲柱⾯：12222=-b y a x 9）抛物柱⾯：ay x =2（四）空间曲线及其⽅程1、⼀般⽅程：==0),,(0),,(z y x G z y x F2、参数⽅程：===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：===bt z t a y t a x sin cos3、空间曲线在坐标⾯上的投影==0（五）平⾯及其⽅程（法向量） 1、点法式⽅程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、⼀般式⽅程：0=+++D Cz By Ax （某个系数为零时的特点）截距式⽅程：1=++czb y a x3、两平⾯的夹⾓：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++?++++=θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ?∏∏21// 212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平⾯0=+++D Cz By Ax 的距离：222Cz By Ax d +++++=（六）空间直线及其⽅程（⽅向向量）1、⼀般式⽅程：=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）⽅程：pz z n y y m x x 000-=-=-⽅向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、参数式⽅程：+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、两直线的夹⾓：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++?++++=⊥21L L 0212121=++p p n n m m21//L L212121p p n n m m ==5、22222sin p n m C B A CpBn Am ++?++++=∏//L 0=++Cp Bn Am∏⊥L pCn B m A ==第九章多元函数微分法及其应⽤（⼀）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，⽆界集。
高数下知识点总结大全总结是社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一工程或某些工作告一段落或者全部完成后进展回忆检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经历，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料。
下面是为大家带来的高数下知识点总结，希望能够帮到大家!1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;p不是有理数;(2)有理数的分类: ① ②2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的间隔;(2) 绝对值可表示为：或 ;绝对值的问题经常分类讨论;5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数> 0，小数-大数< 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;假设a≠0，那么的倒数是;假设ab=1? a、b互为倒数;假设ab=-1?a、b互为负倒数.7. 有理数加法法那么：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数.8.有理数加法的运算律：(1)加法的交换律：a+b=b+a ;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).9.有理数减法法那么：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10 有理数乘法法那么：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac .12.有理数除法法那么：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数， .13.有理数乘方的法那么：(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .14.乘方的定义：(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的准确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的准确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到准确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法那么：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的根底上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
高数下知识点总结大全（通用8篇）高数下知识点总结大全篇11.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的`特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
高数下知识点总结高数是大学数学的重要组成部分，主要涉及函数、极限、微分和积分等内容。
下面是高数的一些重要知识点总结，包括基本概念、定理及其应用。
基本概念：1. 函数：函数是一种对应关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值上。
常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数等。
2. 极限：描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
正式定义了极限的分析方法和计算方法。
3. 连续性：函数在某一区间上的连续性意味着在该区间上函数图像上不存在断点，且图像可以一笔画出。
4. 导数：描述函数在某一点的变化率，也可以理解为函数图像在该点的切线斜率。
常用于求函数的最值、凹凸性等问题。
5. 积分：描述函数在某一区间上的累积效应，可以从导数的逆过程理解。
常用于计算曲线下面积、求函数的平均值等。
定理与应用：1. 介值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则在(a,b)存在一点c，使得f(c)=0。
该定理的重要意义在于可以用来证明方程存在根的情况。
2. 零点定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数根。
该定理为介值定理的特殊情况，用于求解方程的根。
3. 极值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，若在x=c 的邻域内f'(x)>0（或f'(x)<0），则f(x)在x=c处有极小值（或极大值）。
该定理为求函数的极值提供了判定条件。
4. 拉格朗日中值定理：对于在[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个c在(a,b)内，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。
该定理常用于证明不等式或计算函数的近似值。
5. 微分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续且可导，存在一个c在(a,b)内，使得f'(c) = f(b)-f(a)/(b-a)。
该定理常用于求函数的导数值。
高数下册知识点高等数学下册包含了许多重要的知识点，这些知识点不仅在数学领域有着广泛的应用，也为其他学科的学习和研究提供了重要的工具。
以下是对高数下册一些关键知识点的详细介绍。
一、多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的导数和微分的学科。
其中，偏导数是重点之一。
对于多元函数 z ＝ f(x, y)，偏导数∂z/∂x 表示固定 y 时，函数 z 对 x 的变化率；∂z/∂y 则表示固定 x 时，函数 z 对 y 的变化率。
全微分是另一个重要概念。
如果函数 z ＝ f(x, y)在点(x, y)处的全增量Δz 可以表示为Δz ＝AΔx ＋BΔy ＋o(ρ)（其中ρ ＝√（Δx² ＋Δy²)，A、B 与Δx、Δy 无关），则称函数 z 在点(x, y)处可微分，AΔx ＋BΔy 称为函数 z 在点(x, y)处的全微分，记为 dz ＝AΔx ＋BΔy。
多元复合函数求导法则也是必须掌握的。
比如，如果函数 u ＝φ(x, y)，v ＝ψ(x, y)，而 z ＝ f(u, v)，那么通过链式法则可以求出∂z/∂x 和∂z/∂y。
隐函数求导法则在解决一些方程所确定的隐函数的导数问题时非常有用。
二、重积分重积分包括二重积分和三重积分。
二重积分的概念可以通过曲顶柱体的体积来引入。
在直角坐标系下，计算二重积分通常可以将其化为累次积分。
在极坐标系下，对于一些具有圆形或扇形对称性的区域，使用极坐标计算二重积分会更加简便。
三重积分与二重积分类似，也有其定义和计算方法。
在直角坐标系下，三重积分可以化为三次累次积分；在柱面坐标系和球面坐标系下，对于具有相应对称性的区域，使用这些坐标系计算三重积分会更高效。
重积分在计算物体的质量、重心、转动惯量等方面有着广泛的应用。
三、曲线积分与曲面积分曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。
对弧长的曲线积分的物理意义可以理解为曲线形构件的质量。
对坐标的曲线积分与变力沿曲线做功的问题密切相关。
高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训，对自己的工作和生活进行反思和总结，从而不断进步。
深入学习，专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。
下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结，希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：),(y x f z =，图形：（了解）3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→ 5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角。
7、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
8、 全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义：u x 2） 复合函数求导：链式法则z 若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则v y z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；充分条件② 若02<-B AC ，函数没有极值；③ 若02=-B AC ，不定。
2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线 曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-复习重点第1节：例4，例8，习题9-1的第6大题第2节：这一节必考，例题（除了例5）和所有习题都要做第3节：例1-3，习题9-3的第1，2大题第4节：该节必考，例1-4，习题9-4的前12大题第5节：定理1和2记住结论，定理3会方法，不要记结论，例1-3习题9-5，除了6,11，其他题目都很重要第6节：该节也很重要，例1-7，习题9-6的前12题第7节：例1-6，习题9-7除了9（偏导数存在，连续，方向导数存在三者没有关系）第8节：极值的必要、充分条件（特别是充分条件），注意最值可能在边界取到，注意讨论，例4-8，习题9-8所有题（本节容易作为压轴题）总习题九：1,6,9,11,13-18第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=n k k k k D f y x f 10),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：（6条），特别注意性质3和53、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ， 21()()(,)d d d (,)d b x a x D f x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ， 21()()(,)d d d (,)d d y c y D f x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D 21()()(,)d d (cos ,sin )d D f x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰ -------------“ρθ先后”（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k v f v z y x f 10),,(lim d ),,(ζηξλ 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩD y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZ D b a y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------“z ρθ先再后”3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------“r ϕθ先再后”（三） 应用曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：y x y z x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+= 质心，转动惯量，引力等知识点从未考过。
