高数二重积分习题解答

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- -可修编. 第9章 重积分及其应用

1．用二重积分表示下列立体的体积：

(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}xyzxyzRz；

(2) 由抛物面222zxy，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体

解答：(1) 222222dd,{(,)|}DVRxyxyDxyxyR；

(2) 2222(2)dd,{(,)|1}DVxyxyDxyxy

所属章节：第九章第一节

难度：一级

2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

(1)222dDaxy，其中D为222xya；

(2) 22()dDbxy，其中D为222,0xyaba

解答：(1)22232dπ3Daxya；

(2)22232()dππ3Dbxyaba

所属章节：第九章第一节

难度：一级

3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为(,)xy，且(,)xy在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．

解答：(,)dDQxy .

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- -可修编. 所属章节：第九章第一节

难度：一级

4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力

解答：dDpgx

所属章节：第九章第一节

难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小

(1)21()dDIxy与32()dDIxy，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；

(2)1ln(1)dDIxy与222ln(1)dDIxy，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；

(3)21sin()dDIxy与22()dDIxy，其中D是任一平面有界闭区域；

(4)1edxyDI与22edxyDI，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；

解答：(1) 在区域D部，1xy，所以I1>I2；

(2)在区域D部，22,xxyy，故22ln(1)ln(1)xyxy，所以 I1>I2；？

(3)由于22sin()()xyxy，所以I1

(4) 在区域D部，0xy，故2xyxyee，所以I1>I2

所属章节：第九章第一节

难度：一级

6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 .

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- -可修编. (1) d,{(,)|04,08}ln(4)DIDxyxyxy；

(2) 2222π3πsin()d,(,)44DIxyDxyxy；

(3) 221d,{(,)|||||1}100coscosDIDxyxyxy；

(4) 22221ed,(,)4xyDIDxyxy

解答：(1)由于{(,)|04,08}Dxyxy的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln4xy，而等号不恒成立，故816ln2ln2I；

(2)由于22π3π(,)44Dxyxy的面积为212，在其中222sin()12xy，而等号不恒成立，故222ππ42I；

(3) 由于{(,)|||||1}Dxyxy的面积为2，在其中22111102100100coscosxy，而等号不恒成立，故115150I；

注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}Dxyxy改为{(,)|||||10}Dxyxy，则区域面积为200，结论为100251I

(4)由于221(,)4Dxyxy的面积为14，在其中12241sin()xye，而等号不恒成立，故14ππe44I．

所属章节：第九章第一节

难度：二级

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- -可修编. 7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：222201lim(,)dπrxyrfxyr

解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得

2222200011lim(,)lim(,)lim(,)(0,0)rrrxyrfxydfffrr．

所属章节：第九章第一节

难度：二级

8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明：

(1) 若f(x，y)不恒为零，则(,)d0Dfxy；

(2) 若(,)d0Dfxy，则f(x，y)≡0

解答：(1) 若f(x，y)不恒为零，则存在00(,)xyD，00(,)0fxy，利用连续函数的保号性，存在00(,)xy的一个邻域1DD，在其上恒有(,)0fxy，于是1(,)d0Dfxy，而1(,)d0DDfxy，所以

11(,)d(,)d(,)d0DDDDfxyfxyfxy；

(2) 假若f(x，y)不恒为零，则由上题知(,)d0Dfxy，矛盾，故f(x，y)≡0．

所属章节：第九章第一节

难度：二级

9．计算下列二重积分：

(1) πsind,(,)12,02DxyDxyxy；

(2) 22(e)d,(,)11,01xyDxyDxyxy；

(3) 2ed,(,)01,01xyDxyDxyxy； .

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- -可修编. (4) 22πsin()d,(,)0,022DxyxyDxyxy；

(5) 2222d,(,)2,2DxDxyxyxyx

解答：(1) 2221013sindsin2Dxydxxydyxdx；

(2) 2211111222222101011(1)(e)d()(1)22xyxyxyxDexydxxyedydxedyeedxe；

(3) 221110001d)(1)122xyxyxDexyedxxyedyedx；

(4) 222222220001sin()dsin()(cos4)216Dxyxydxxyxydyxxxdx；

(5)221212111112yyDxddyxdxydy．

所属章节：第九章第二节

难度：一级

10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分(,)dDfxy化为两种次序不同的二次积分：

(1) D由曲线y=lnx，直线x=2及x轴所围成；

(2) D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成；

(3) D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成；

(4) D由曲线y=x3，y=x所围成；

(5) D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成

解答：本题图略，建议画出

(1)2lnln22100(,)(,)yxedxfxydydyfxydx；

(2)23132192301(,)(,)(,)yxyxyydxfxydydyfxydxdyfxydx； .

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- -可修编. (3)sin1arcsin000arcsin(,)(,)xyydxfxydydyfxydx；

(4)333301011010(,)(,)(,)(,)xxyyxxyydxfxydydxfxydydyfxydxdyfxydx；

注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线3,1,1yxyx所围成”，则答案为原参考答案

33111111d(,)dd(,)dyxxfxyyyfxyx；

(5)12131120010220d(,)dd(,)dd(,)dd(,)dxyxyxfxyyxfxyyxfxyyyfxyx

所属章节：第九章第二节

难度：一级

11．计算下列二重积分：

(1)22dDxy，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成；

(2)cos()ddDxxyxy，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；

(3)dDxy，D由抛物线yx和y =x2围成；

(4)ddDxyxy，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；

(5) sindDxy，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成

解答：(1) 22223122119()4xxDxxddxdyxxdxyy；

(2) 0003cos()cos()(sin2sin)2xDxxydxdydxxxydyxxxxdx；

(3) 2711440026()355xxDxyddxxydyxxdx；

(4) 22222411145(44)28yyDxydxdydyxydxyyyydx； .

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- -可修编. (5) 3222113cos1sin1sin4sin()sin()(cos1cos)2yyDxxddydxyyydyyy．

所属章节：第九章第二节

难度：二级

12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：

(1) 10d(,)dyyyfxyx；

(2) 21220010d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy；

(3) 2122d(,)dyyyfxyx；

(4)222402d(,)dxxxxfxyy；

(5) 21101d(,)dxxxfxyy

(6) 1320d(,)dyyyfxyx

解答：本题图略，建议画出

(1)210(,)xxdxfxydy；

(2)120(,)yydyfxydx；

(3) 1 4 2 0 1 (,)(,)xxxxdxfxydydxfxydy；

(4)2222 1 11 1 4 24 0 0 0 11 1 0(,)(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydxdyfxydx；

(5)201111000(,)(,)yydyfxydxdyfxydx；

(6)231320010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy

所属章节：第九章第二节

难度：一级

13．计算下列二次积分：