超几何分布期望计算公式

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。

在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。

一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

超几何分布的期望和方差证明
超几何分布是许多抽样模型的核心，可以用来求解不均匀选择的概率，从而得出结论。

它通常用于研究一组不同分类的组合中的元素的特征。

超几何分布的期望和变异系数的证
明是一个抽样问题，可以用此方法来描述一组总体，如果对这组总体进行抽样，那么抽样
结果如何概率可以用超几何分布表示。

期望与方差证明是一种常用的证明概念，可以用来衡量一组总体观察精度的好坏。

在
超几何分布的情况下，可以通过期望和变异系数的证明来衡量一组总体的抽样可信度以及
抽样结果的可比性。

超几何分布期望证明是求解一组总体中各单位被抽出来的概率，超几何分布期望指的
是在这组总体中，抽取各个单位的期望数目，期望即抽取的时候，每个单位出现的可能次数。

超几何分布期望公式为：
E(x)=(Np)/n，
其中:
E(x) 为期望值，
N 为所抽取的总样本数，
n 为单个抽取的样本数，
p 为同一类中的元素的概率。

超几何分布的方差证明则是求解一组总体中，每个单位被抽取出来的次数之间的方差，超几何分布方差公式为：
V(x)=(Npq)/n，。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。

本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。

一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。

1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。

超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。

2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。

几何分布的期望方差
几何分布的期望和方差是EX=nM/N，超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关，超几何分布中的参数是M，N，n，上述超几何分布记作X-H(n，M，N)。

在伯努利试验中
成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p
(k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。

它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。

n 超几何分布列的数学期望和方差（030012 太原五中王志军）一、准备知识:1.组合数性质：(1)C m =C n−m；(2)C m +C m+1 =C m+1 ；(3)C k−1=kC k（即k C k =nC k−1 ）；n n n n n+1 n−1 n n n n−12.二项式定理和二项式系数的性质：(1) (C0 )2 + (C1)2 + (C2 )2 +…+(C n)2 =C nn n n n 2n证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)n(1 +x)n=(1 +x)2n中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.(2) C0 C n+ C1 C n−1 + C2 C n−2 +…+C m C n−m = C nM N−M M N−M M N−M M N−M N证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)M(1 +x)N−M=(1 +x)N中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.3.方差的性质（1）D(aX +b) =a2D X ；（2）D X =E X2−(E X)2；4.二项分布及其数学期望和方差（1）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P(X=k)=C k p k q n−k ，（其中n nk＝0,1,2,…，n，q =1 −p）．于是得到随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 …k …nP C0 p0q nn C1 p1q n−1n…C k p k q n−kn…C n p n q0n并记b(k;n, p) = C k p k q n−k ．（2）若X ～Β(n，p)，则E X=np（3）若X ～Β(n，p)，则D X=np(1—p)二、超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为C n Cn C C C mk C C C C k C n −k ∗P (X = k ) = M N −M,k = 0,1, 2,⋯,m ,其中m = min{M ,n } ，且n ≤ N , M ≤ N ,n , M , N ∈ N ．N为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 （ hypergeometriC distribution )，记 X ～ H (n ;M , N ) .C k C n −k可知其满足随机变量的分布列性质：（1）非负性P (X = k ) =M N −MN≥ 0,k = 0,1,2,⋯,mC 0 C nC 1 C n −1 C m C n −m （2）可 加 性 M N −M + M N −M +…+ M N −M =1 n n nN N NmkC kCn −k （3）X 的数学期望EX = ∑M N −M= 1（ 0 ⋅C 0Cnk =0+1⋅C 1Cn −1n N+ 2 ⋅C 2Cn −2+…+ k ⋅C k C n −k+…+ m ⋅C m Cn −m）n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −M= 1（ M ⋅CCn −1 + M ⋅C 1Cn −2+…+ M ⋅C k −1 C n −k+…+ M ⋅Cm −1C n −m ）n M −1NN −MM −1N −MM −1N −MM −1N −M=M（ C 0C n −1+ C 1C n −2 +…+C k −1 C n −k +…+ C m −1C n −m ） nM −1 NN −MM −1N −M M −1 N −M M −1 N −M=MC n −1 nN −1NnM =，因此， NEX =nMN（4） X 的方差D X = E X 2− (E X )22 kn −k＝ ∑ M N −M － (nM )2 k =0 NN=1（ 02 ⋅C 0Cn+12⋅C 1 Cn −1 + 22⋅C 2 Cn −2+…+ k 2 ⋅C k C n −k+…+ m 2 ⋅C m Cn −m）－ (nM)2n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −MN＝ 1（1⋅ MCCn −1 + 2 ⋅M C 1Cn −2+…+ k ⋅ MC k −1 Cn −k+…+ m ⋅M C m −1Cn −m）－ (nM)2n M −1NN −MM −1N −MM −1 N −MM −1 N −MNn C C CC CCCM ＝［ （ C 0C n −1 + C 1 C n −2 + … + C k −1 C n −k + … + C m −1C n −m ） ＋ （ nM −1 NN −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M 0 ⋅C 0 C n −1 +1⋅C 1 C n −2 +…+ (k − 1) ⋅C k −1 C n −k +…+(m − 1) ⋅C m −1C n −m ）］－ (nM)2 M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −MN＝ M ［ C n −1 ＋（ M − 1)C n −2 ］－ (nM )2nN −1 NnM n (n − 1)M (M − 1)=N +N (N − 1) N −2 NnM － ( )2 N= nM － (nM )2 N N n (n − 1)M (M − 1) +N (N − 1) ，因此， X 的方差DX = nM N － (nM )2 Nn (n − 1)M (M − 1) + N (N − 1)三、超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的 关系根据极限知识，很容易得到：1. 在超几何分布中，当N → +∞ 时， M→ p （二项分布中的 p ）N2. 当N → +∞ 时，超几何分布的数学期望EX = nM→ np = E X （二项分布的数学期望）N3. 当 N → +∞时 ， 超 几 何 分 布 的 方 差 DX = nM－ N(nM )2 + n (n − 1)M (M − 1) → np − (np )2 + n (n − 1) p 2 = np (1 − p ) = D X （二项分布的方差） N N (N − 1)4. 当N → +∞ 时，超几何分布可近似为二项分布.C C。

超几何分布的数学期望
离散型随机变量的分布列及数学期望是理科数学的一个必考题，而超几何分布也是一个重要内容。

对超几何分布的数学期望的计算，按定义计算量大，有没有公式快速计算呢？一次偶然，我的学生杨刚毅便有了新发现，也如二项分布一样，超几何分布的数学期望也是有公式可表示的。

现从公式、证明及简单应用三个方面予以叙述，大家共享。

一、超几何分布的定义
一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰好有x 件次品，则事件（x=k）发生的概率
例2：若100件产品中含10件次品，从中抽取n件产品，若随机变量x表示抽取的次品数，且，则。

解：此题若从定义入手，很难。

而由公式得
练1：设有100个大小相同的球，其中5个黑球，95个白球，从中任取20个球，求取出的球中黑球的个数x的数学期望。

练2：设10件产品中有次品a件，从中抽取3件，抽得次品件数x，且，求a的值。

收稿日期：2012-03-12。

超几何分布的概率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超几何分布是概率论中的一种重要分布，用来描述在有限大小的总体中选择样本的过程中某一类别的出现次数的概率分布。

它通常涉及两个参数：总体大小N、总体中成功的个数K，以及样本大小n。

在这篇文章中，我们将详细介绍超几何分布的概率计算公式及其应用。

一、超几何分布的概率计算公式设总体中有N个单位，其中成功的单位有K个，失败的单位有N-K个。

从这N个单位中抽取n个单位，不放回地抽取，求这n个单位中成功的单位的个数X的概率分布。

那么X服从超几何分布，记为X~H(N,K,n)。

超几何分布的概率质量函数如下：P(X=k)=C(K,k) * C(N-K,n-k) / C(N,n)C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数，计算公式为：C(n,m)=n! / [m!(n-m)!]超几何分布的期望和方差分别为：E(X)=n*K/NVar(X)=n*K*(N-K)*(N-n)/(N^2*(N-1))二、超几何分布的应用1. 目标检测：在机器学习和计算机视觉中，超几何分布可以用来描述和分析目标检测算法的性能。

在图像中检测某一类物体的次数。

2. 质量控制：在生产中，可以利用超几何分布来分析产品的合格率。

在抽检中，检测到的次数符合超几何分布。

3. 抽样调查：在社会调查和市场研究中，超几何分布可以用来估计人口中某一类别的比例。

在问卷调查中，统计某类人群的比例。

4. 生物统计学：在生物学中，超几何分布可用于描述种群中某一基因型的频率。

在遗传学研究中，分析某一基因型在人群中的分布。

超几何分布作为离散分布之一，在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析概率事件发生的规律。

通过掌握超几何分布的概率计算公式和相关知识，我们可以更好地运用概率论的工具来解决实际问题，为科学研究和决策提供支持。

希望本文的介绍对你有所帮助。

第二篇示例：超几何分布是一种描述由有限个对象组成的总体中成功对象的数量的概率分布。

超几何分布期望与方差
超几何分布是上经典几何分布的推广，是模拟含有有限抽样性质的随机变量在各种要求下
的概率分布。

超几何分布用来表示成功率不确定的偶然性试验结果，是常用的概率分布之一。

超几何分布的期望和方差是给定参数下概率分布的两个基本参数。

期望是一类随机变量连续出现的概率；而方差表示随机变量的偏离实际出现次数的距离。

超几何分布的期望是由实验中的随机变量的总体的期望得出的，其期望可以表示为nk/N，其中n为试验成功后观察到的总体大小，N表示总实验次数，K表示成功次数。

超几何分布的方差则可以用nk(N-n)/N(N-1)表示，其中 n 和 K 同样为试验成功后观察到
的总体大小和成功次数，N则是实验的总次数。

可以看出，超几何分布的期望和方差均与试验的总次数、成功次数和总任务数有关。

因此，超几何分布的期望和方差的计算也十分重要，可以辅助我们评估实验的准确性与测试的有
效性。

另外，在超几何分布的期望和方差b计算中，抽样的1/n值也是值得关注的，它可以表示成功率的大小，即成功率越大，1/n值就越大，连续抽样概率也就越大，超几何分布的期
望和方差也就越大。

总之，超几何分布的期望和方差是表示含有有限抽样性质的随机变量在各种要求下的概率分布的两个基本参数，其期望可以用nk/N表示，方差可以用nk(N-n)/N(N-1)表示，在超
几何分布的期望和方差计算中，抽样的1/n值也是值得关注的。

超几何分布方差公式推导超几何分布是离散概率分布的一种，它描述了从有限总体中随机抽取固定数量的样本，在样本中成功事件的数量的概率分布。

超几何分布的概率质量函数由以下公式给出：P(X=k) = (C(M,k) * C(N-M,n-k)) / C(N,n)其中，C(a,b)表示组合数，表示从a个元素中选择b个元素的组合数。

M表示总体中具有成功属性的元素数量，N表示总体中的元素总数，n 表示抽取的样本数量，k表示样本中成功事件（具有成功属性）的数量。

我们的目标是推导超几何分布的方差公式，即Var(X) = (N-n)/(N-1) * n * (M/N) * (1 - M/N)。

为了推导方差公式，我们首先需要推导超几何分布的期望值。

期望值E(X)表示随机变量X的平均值，可以通过以下公式计算：E(X) = Σ(k * P(X=k)), for k = 0 to n我们可以使用概率质量函数来计算每个k对应的概率P(X=k)，然后将其与k相乘，再求和即可得到期望值。

接下来，我们使用推导出的期望值公式来计算方差。

方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，可以通过以下公式计算：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2其中，E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值。

为了计算E(X^2)，我们可以使用以下公式：E(X^2) = Σ(k^2 * P(X=k)), for k = 0 to n同样，我们可以使用概率质量函数来计算每个k对应的概率P(X=k)，然后将其与k^2相乘，再求和即可得到E(X^2)的值。

最后，我们将推导出的期望值E(X)和E(X^2)带入方差公式中即可计算出超几何分布的方差。

经过推导，我们得到了超几何分布的方差公式：Var(X) = (N-n)/(N-1) * n * (M/N) * (1 - M/N)这个方差公式可以帮助我们计算超几何分布中样本中成功事件数量的离散程度，从而更好地理解和分析超几何分布的特性。

超几何分布知识点一、超几何分布的定义。

1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品。

从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X =k)=frac{C_M^kC_N - M^n - k}{C_N^n}，k = 0,1,2,·s,m，其中m=min{M,n}，且n≤slant N，M≤slant N，n，M，N∈ N^*，这样的分布列称为超几何分布。

二、超几何分布的特征。

1. 不放回抽样。

- 超几何分布是不放回抽样问题中的一种概率分布模型。

与有放回抽样（二项分布模型的抽样方式）不同，超几何分布每次抽取后，总体中的样本数量会减少，这就导致每次抽取到次品（或符合某种特征的样本）的概率会发生变化。

2. 总体可分为两类。

- 总体中的个体可以明确地分成两类，例如正品和次品、男生和女生等。

我们关心的是从这两类总体中抽取一定数量的样本，其中某一类样本的数量的分布情况。

三、超几何分布的期望与方差。

1. 期望。

- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则E(X)=n(M)/(N)。

- 推导：E(X)=∑_k = 0^m kP(X = k)=∑_k = 0^m kfrac{C_M^kC_N - M^n -k}{C_N^n}，通过组合数的性质和计算可以得到E(X)=n(M)/(N)。

2. 方差。

- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则D(X)=n(M)/(N)(1 - (M)/(N))(N - n)/(N - 1)。

四、超几何分布的应用实例。

1. 产品检验问题。

- 例如，一个工厂生产了N = 100件产品，其中有M = 10件次品。

从这100件产品中随机抽取n = 5件进行检验，设X表示抽取的5件产品中的次品数。

- 则X服从超几何分布H(5,10,100)，P(X = k)=frac{C_10^kC_90^5 -k}{C_100^5}，k = 0,1,2,3,4,5。

超几何分布方差公式推导
要推导超几何分布的方差公式，首先需要了解超几何分布的定义和性质。

超几何分布描述的是从有限总体中进行不放回抽样的结果。

假设总体大小为N，其中成功的个数为K，抽样大小为n。

超几何分布的概率质量函数为：
P(X=k) = (C(K, k) * C(N-K, n-k)) / C(N, n)
其中，C(m, p)表示组合数，表示从m个元素中选取p个元素的组合数。

要推导超几何分布的方差公式，可以使用以下步骤：
1. 计算超几何分布的期望。

超几何分布的期望可以通过计算每个可能取值k与其对应的概率的乘积，并求和得到。

即：
E(X) = Σ(k * P(X=k))
2. 计算超几何分布的方差。

超几何分布的方差可以通过计算每个可能取值k与其对应的概率的乘积，并减去期望的平方得到。

即： Var(X) = Σ((k-E(X))^2 * P(X=k))
3. 将超几何分布的概率质量函数代入上述公式，并进行化简。

根据组合数的性质，可以将公式中的组合数相除部分进行化简。

具体的推导过程可能较为复杂，可以借助数学软件或计算工具进行计算和化简。

超几何分布的方差公式推导
超几何分布的方差是在概率论与数理统计领域中一个概念，舆指一种随机变量的变分数。

它可以用来描述一组随机变量之间的变化情况。

下面我们就来简单介绍一下超几何分布的方差的推导：
一、超几何分布的定义
超几何分布也叫泊松分布，是概率论中一个重要的概念。

超几何分布是一组数量随机变量抽样而得到的概率分布，它可以用来描述一组随机变量中相当独立地发生不同事件的概率分布情况。

二、超几何分布的方差的推导
1. 根据随机变量的基本性质，我们知道超几何分布的期望值是：μ = n * p
其中，n 为抽样次数，p 为抽中某一种结果的概率。

2. 超几何分布的方差是：σ² = n * p * (1 − p)
其中，n 为抽样次数，p 为抽中某一种结果的概率。

三、总结
经过以上推论，可以得出超几何分布的方差的推导公式是：σ² = n * p * (1 − p)，其中n 为抽样次数，p 为抽中某一种结果的概率。

而期望值σ² = n * p 。

以上就完成了超几何分布的方差的推导工作。

超几何分布的名词解释超几何分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述具有有限总体的二项实验。

在现实生活中，超几何分布常常应用于统计和质量控制领域，用于分析抽样中的随机变量。

超几何分布的定义很简单，它由三个参数决定：总体大小N，总体中具有某种特征的个体数量M，以及抽样的大小n。

超几何分布描述的是在不放回抽样的情况下，随机变量X取得某个特征值k的概率。

超几何分布的概率质量函数如下所示：P(X=k) = (M choose k) * ((N - M) choose (n - k)) / (N choose n)其中，(a choose b) 表示从集合a中选择b个元素的组合数。

这个公式可以理解为，首先从总体中选择M个具有特征的个体，再从剩下的(N-M)个非特征个体中选择n-k个，然后计算这两个选择的组合数。

超几何分布的期望值和方差可以通过简单的公式计算得到。

期望值E(X)等于(n * M) / N，而方差Var(X)等于 (n * M * (N - M) * (N - n)) / (N^2 * (N - 1))。

超几何分布的特点是，它的概率分布是非对称的，呈现出两头高中间低的形状。

当总体数量较小时，这种分布会更加明显。

此外，超几何分布还与二项分布有所不同，超几何分布考虑了不放回抽样的情况，而二项分布假设是放回抽样。

超几何分布在实际问题中的应用广泛。

例如，假设某个工厂生产了N个产品，其中有M个次品。

现在我们希望从这些产品中抽取一个样本，进行质量检验，判断其中有k个次品的概率是多少。

这个问题可以使用超几何分布来解决。

又如，在病毒流行期间，我们想要了解某地区感染病毒的人数分布情况，同样可以使用超几何分布进行建模和分析。

超几何分布的应用不仅限于统计学和质量控制。

在生物学中，它可以用来研究遗传学领域的问题，如基因分布和染色体连锁。

在金融学中，超几何分布可以用于建模股市中的买卖决策，根据一定的策略来预测未来的收益率。

二项分布的数学期望X ～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.EX=np,DX=np(1-p).证明方法(一)：将X 分解成n 个相互独立的，都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和：X=X1+X2+...+Xn,Xi ～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.EXi=0*(1-p)+1*p=p,E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).EX=EX1+EX2+...+EXn=np,DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).证明方法(二)：EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n -k) =np∑C(k -1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)=np∑C(k,n -1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n -1,p) =npDX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k -1)+k]b(k;n,p)=∑k(k -1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n -1)p^2∑b(k;n -2,p)+np=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq=n^2p^2+npq 所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq 二项分布和超几何分布的数学期望当X ～B (n ，p )时，E (X ) = ?n r = 1r C r n p k q n ? k ? np ?n r = 1C r ? 1n ? 1 p k ? 1q n ? k ? np (p ? q )n ? 1 ? np ．为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：性质1 若a ≤X ≤b ，则a ≤E (X )≤b ．特别地，E (c ) ? c ，这里的a ，b ，c 是常数；性质2 线性性：对任意常数c i ，i ? 1, 2, …, n ，及b ，有E (?n i =1c i X i ? b ) ? ?ni =1c i E (X i ) ? b ． 下面计算超几何分布X ～H (n ，M ，N )的数学期望．设想一个相应的不放回抽样，令X i ? ⎩⎨⎧1，第i 次抽得废品；0，第i 次抽得好品，则P (X i ? 1) ? M N ，因此E (X i ) ? M N，而X ? X 1 ? X 2 ? … ? X n 表示n 次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到E (X ) = E (X 1) ? … ? E (X n ) ? nM N．。

p值超几何公式摘要：一、引言1.p 值超几何分布的概念2.p 值超几何分布的应用场景二、超几何分布的定义和性质1.超几何分布的概念2.超几何分布的性质3.超几何分布的概率密度函数三、p 值超几何公式的推导1.基础公式2.p 值超几何公式的推导过程四、p 值超几何公式的应用1.在假设检验中的应用2.在置信区间中的应用五、总结1.p 值超几何公式的重要性2.未来研究方向正文：一、引言在假设检验和置信区间估计中，我们经常会遇到超几何分布的问题。

超几何分布是一种离散型概率分布，描述了从有限总体中抽取样本，不放回抽样的概率分布。

然而，在实际应用中，我们往往关心的是某个事件发生的概率，即p 值。

因此，研究p 值超几何分布显得尤为重要。

本文将介绍p 值超几何分布的概念、性质以及应用。

二、超几何分布的定义和性质1.超几何分布的概念超几何分布，记作H(M, N, K)，是指从有限总体中不放回地抽取K 个样本，成功事件数为M 的离散概率分布。

其中，M 表示总体中成功的个数，N 表示总体大小，K 表示抽取的样本数。

2.超几何分布的性质超几何分布具有以下性质：（1）当M=N 时，超几何分布退化为二项分布；（2）当K=1 时，超几何分布退化为伯努利分布；（3）超几何分布的期望值为E(X) = M/N；（4）超几何分布的方差值为Var(X) = M(N-M)/N(N-1)。

3.超几何分布的概率密度函数超几何分布的概率密度函数为：f(x; M, N, K) = [M!/(x!(M-x)!K!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K 其中，! 表示阶乘。

三、p 值超几何公式的推导1.基础公式对于一个二项分布B(N, p)，其p 值可以表示为：P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^N2.p 值超几何公式的推导过程当总体大小N 固定时，我们可以通过以下步骤推导p 值超几何公式：令M = Np，K = N，代入超几何分布概率密度函数，可得：f(x; M, N, K) = [M!/(x!(M-x)!K!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K 令x = 0, 1, ..., M，求和得到概率质量函数：P(X = x) = [M!/(x!(M-x)!N!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K我们需要求解P(X ≥ 1)，即求解：P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - [(N-M)/(N-1)!]^K四、p 值超几何公式的应用1.在假设检验中的应用在假设检验中，我们通常使用p 值来判断是否拒绝原假设。