【经典分类】八年级下学期代几综合问题分类讲解

初二数学下册综合复习资料数学是一门广泛应用于科学和技术领域的学科。

在日常生活中，数学也是十分重要的。

通过学习数学，人们可以提高计算能力、逻辑思维和问题解决能力。

初中阶段是数学学习的重要阶段，因为它对高中数学的学习打下了坚实的基础。

本文将为初二数学下册的同学们提供一些综合复习资料。

一、代数与函数篇1. 同项式合并：同一式子中相同字母的项相加或减。

2. 完全平方公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

3. 因式分解：将一个多项式分解成两个或多个多项式的积。

4. 代入法求未知数：利用已知条件将未知数进行代入再进行计算。

5. 一次函数：函数$y=kx+b$为一次函数，其中$k$为斜率，$b$为截距。

二、图形篇1. 识别平面图形：学会识别不同的几何图形，如正方形、矩形、菱形、圆形等。

2. 图形的周长：对于任意一个多边形，它的周长等于所有边长之和。

3. 图形的面积：对于任何一个几何图形，它的面积都是一个数值，可以用来表示这个图形的大小。

4. 平移、旋转和翻转：将平面图形按一定规则进行平移、旋转和翻转，得到新的位置和形状。

三、数与量篇1. 常量与变量：常量是值不变的数，而变量是值可以改变的数。

2. 分数的加减法：相同分母的分数只需将分子相加或相减。

3. 分数的乘除法：两个分数相乘，先将分子相乘，再将分母相乘，最后化简。

两个分数相除，可以转化为一个分数乘另一个分数的倒数。

4. 百分数：百分之一就是1%，百分之十就是10%，以此类推。

5. 速度和时间：速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度，路程等于速度乘以时间。

四、数据处理篇1. 统计量：常用统计量有平均数、中位数、众数和极差。

2. 数据的解读：通过分析和解释数据可以帮助我们更好地理解数据背后的含义。

3. 研究设计：通过制定实验方案和探究变量之间的关系来深入研究数据。

总结初二数学下册是数学学习的重要阶段，本文提供了一些综合复习资料，希望能够帮助同学们更好地掌握数学知识，从而取得更好的成绩。

初二下数学题型总结与归纳数学作为一门基础学科，在初中的学习中占据着重要的地位。

初二下学期的数学学习内容较为丰富，其中包括了各种题型，如代数运算、几何图形、平面图形的性质等等。

本文将对初二下学期的数学题型进行总结与归纳，帮助同学们更好地复习与应对考试。

一、代数运算类题型1. 一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程通常表现为：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知数。

求解该类型方程的关键在于将未知数移项，并通过化简等方法推导出具体的解。

一元一次不等式通常以不等号的形式出现，例如：$ax + b > 0$。

求解一元一次不等式则需要找到使得不等式成立的解集，常用的方法是构建数轴，并利用不等式中的符号性质进行推导。

2. 分式方程与分式不等式分式方程即含有分式的方程，例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = x$。

求解分式方程的关键在于找到通分的方法，将分式方程转化为整式方程，然后进行求解。

分式不等式通常也是有着不等号形式的不等式，例如：$\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$。

求解分式不等式的关键在于找到公共分母，然后利用不等式的性质进行推导与求解。

3. 整式的乘法与因式分解整式的乘法是指将多项式进行相乘的操作，其中包含了乘法公式的应用。

乘法公式包括平方差公式、完全平方公式以及三角函数的乘法公式等。

因式分解则是将多项式进行分解的过程，通过提取公因式等方法化简原式，借助公式与规律可以更快速地进行因式分解。

二、几何图形类题型1. 平行线与三角形平行线的性质包括平行线之间的角关系、平行线与交叉线之间的角关系等。

在解题时，需要利用平行线的性质进行角度的求解或证明。

三角形包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形等各种类型，在解题时需要根据具体的性质进行分析与推导。

例如，利用三角形内角和为180度的性质可以推导出一些角的关系。

2. 直线与圆直线与圆的关系主要体现在切线、弦和弧之间的性质。

部编版八年级下册数学与逻辑知识点梳理
总结(全册)
一、整数与有理数
- 整数的概念与性质
- 整数的运算(加、减、乘、除)
- 整数的大小比较与绝对值
- 有理数的概念与性质
- 有理数的运算(加、减、乘、除)
- 有理数的大小比较和绝对值
二、代数式与方程式
- 代数式的概念与性质
- 代数式的加减乘除
- 简单的一元一次方程
- 求解一元一次方程
- 一元一次方程的应用
三、平面与空间几何
- 直线与角
- 平行线与顶角
- 三角形的性质与判定
- 三角形的分类
- 四边形的性质与判定
- 圆的性质与判定
- 圆的面积与周长
四、数据的收集整理与统计
- 调查与实验
- 图表的制作与解读
- 可能性与概率
五、函数
- 函数的概念与性质
- 函数的表示与运算
- 函数的图象
- 直线函数与一次函数
- 函数的应用
六、三角函数
- 三角函数的概念与性质
- 三角函数的计算
- 三角函数的图像与性质
- 三角函数的应用
七、统计
- 系列统计
- 频数分布直方图
- 统计的应用
以上是部编版八年级下册数学与逻辑的知识点梳理总结，涵盖了整数与有理数、代数式与方程式、平面与空间几何、数据的收集整理与统计、函数、三角函数以及统计等方面的内容。

这份文档为
你提供了一个全面的概览，可以帮助你更好地理解和掌握这些数学与逻辑知识点。

人教版八年级数学下册知识点总结信息技术的飞速发展，使得数学这门学科也变得愈发重要。

人教版八年级数学下册作为学生学习数学的重要教材，涵盖了许多重要的数学知识点。

本文将对人教版八年级数学下册的知识点进行总结和梳理，以便学生对相关知识有一个全面的了解和掌握。

一、代数运算1. 整式加减法在整式的加减法中，要将同类项进行合并，注意正负号的运算规则。

2. 去括号与合并同类项去括号主要有两种方式：分配律和倍增律。

在合并同类项时，要注意项的系数和指数的变化。

3. 一元一次方程一元一次方程通常使用等式的性质进行变形和解方程。

4. 二元一次方程二元一次方程也是常见的方程形式，通常使用联立方程来求解未知数的值。

二、平面图形1. 平行线与平行四边形在平行线和平行四边形的研究中，重点是利用平行线的性质来解题，如内错角相等等。

2. 三角形的相似性质相似三角形的研究主要集中在角的相等和边的成比例上。

3. 圆的性质圆是数学中重要的几何图形之一，要掌握它的性质，如圆心角、弧长、面积等。

4. 直角三角形与勾股定理直角三角形的研究中，勾股定理是至关重要的。

三、空间图形1. 空间几何体的认识空间几何体主要包括立体图形和几何体的表面积和体积计算。

2. 空间几何体的相交关系相交关系包括两个几何体的位置关系和部分重合的情况。

3. 锥、台与棱柱体锥、台和棱柱体是常见的几何图形，在计算其表面积和体积时要注意几何体的特点。

四、数据统计1. 数据的收集与整理在数据统计中，要学习如何正确地收集和整理数据，以便进行后续的分析和统计。

2. 数据的图示与分析数据的图示和分析主要包括直方图、线形图和饼状图的绘制和解读。

3. 平均数的计算平均数是常见的数据统计方法之一，要掌握其计算方法和应用。

总之，人教版八年级数学下册涵盖了代数运算、平面图形、空间图形和数据统计等多个知识点。

通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以在数学学科中有更好的发展。

希望本文对于学生对人教版八年级数学下册的知识点有一个清晰的总结和了解，并能够在学习中运用到实际问题中。

八年级下册数学知识点归纳总结
八年级下册数学知识点主要包括代数、几何和统计三个部分，下面将对这些知识点进行归纳总结。

首先是代数部分。

在八年级下册的代数部分，我们学习了一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用逆运算解方程和不等式、用图解法解方程和不等式以及用代入法解方程和不等式。

另外，我们还学习了一元一次方程和一元一次不等式的应用题，如利用一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。

通过这些学习，我们掌握了解一元一次方程和一元一次不等式的方法和技巧，并能够熟练地应用到实际问题中。

其次是几何部分。

在八年级下册的几何部分，我们学习了平行线与三角形的性质，包括平行线的基本性质、平行线与三角形内角的关系、平行线与三角形外角的关系等。

同时，我们还学习了相似三角形的性质和判定方法，以及三角形的面积计算公式。

通过这些学习，我们对平行线和三角形的性质有了更深入的理解，能够灵活地运用到相关的计算和证明中。

最后是统计部分。

在八年级下册的统计部分，我们学习了统计调查的设计和实施、统计图的绘制和分析，以及概率的计算和应用。

通过这些学习，我们能够熟练地设计和实施统计调查，并能够准确地绘制各种统计图，并且能够运用概率理论解决实际问题。

综上所述，八年级下册数学知识点包括代数、几何和统计三个部分，通过系统的学习和总结，我们对这些知识点有了更深入的理解和掌握，能够熟练地运用到实际问题中。

希望同学们在复习和应用这些知识点时，能够灵活运用所学的方法和技巧，提高数学解决问题的能力。

八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。

1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。

由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。

2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。

1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。

将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。

设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。

当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。

此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

代几综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE 中，根据AE 2=AD 2+DE 2求x 的值，即CE 的长度．【答案与解析】解：过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM 为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM 是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE 中，AE 2=AD 2+DE 2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x 2-10x+24=0；解得：x 1=4，x 2=6．故CE 的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 求出m 的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B 的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b 中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A、B 坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m 时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B 点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．【答案】解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解之，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴所求抛物线的解析式为245y x x =-++．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵2245(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN⊥AB 于点N，则ON＝2，MN＝9．∴11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形.类型三、动态几何中的函数问题3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O 的坐标代入到y=ax 2+bx+c 得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O 关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB 的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P 的坐标；②若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B （2，0）求出直线BP 的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c，得4420420a b c a b c c -=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩解得：1,21,0.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数表达式为y=212x x -+（2）由y=212x x -+=211(1)22x x --+可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB 的垂直平分线，连接AB 交直线x=1于点M，M 点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB,作AC⊥x 轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=42,∴MO+MA 的最小值为42.答：MO+MA 的最小值为42.（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．②如图2，若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，∴直线BP 的表达式为y=2x-4.由12⎧⎪⎨⎪⎩２ｙ＝２ｘ－４，ｙ＝－ｘ＋ｘ．解得x 1=-4，x 2=2（不合题意，舍去）,当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．③如图3，若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，则4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，．解得12k m =⎧⎨=-⎩，．∴AB 的表达式为y=x-2．∵AB∥OP，∴直线OP 的表达式为y=x．由2,12y x y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得x 2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）,使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明：y=443x -+∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=3，∴B（3，0），C（0，4），∵A（-2，0），由勾股定理得：BC=22345+=∵AB=3-（-2）=5，∴AB=BC=5，∴△ABC 是等腰三角形；（2）解：①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==过N 作NH⊥x 轴于H．∵点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，又∵AB=BC=5，∴当t=5秒时，同时到达终点，∴△MON 的面积是S=12OM NH ⨯⨯∴S=20.4t t -⨯②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下：∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==根据题意得：∵S=4，∴|t-2|×0.4t=4，∵点M 在线段OB 上运动，OA=2，∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4，化为t 2-2t-10=0，解得：111,111(t t =+=-舍去）∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 是（111t =+）秒．③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，∴cos∠B=30.65OB BC ==分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；II、当∠NMO=90°时，M、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，III、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．类型四、直角坐标系中的几何问题4．（2015•阳山县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）．（1）点A 的坐标是，点C 的坐标是；（2）当t=秒或秒时，MN=AC；（3）设△OMN 的面积为S，求S 与t 的函数关系式．【思路点拨】（1）根据BC∥x 轴，AB∥y 轴即可求得A 和C 的坐标；（2）分成MN 是△OAC 的中位线和MN 是△ABC 的中位线时两种情况进行讨论；（3）根据时间t 值的范围不同，M,N 与矩形的两边相交构成不同的三角形，画出图形进行分类讨论，然后正确表示出△OMN 的面积即可.【答案与解析】解：（1）A 的坐标是（4，0），C 的坐标是（0，3）；（2）当MN 是△OAC 的中位线时，M 是OA 的中点，则t=OA=×4=2；当MN 是△ABC 的中位线时，如图1．则△AME∽△OCA，则AE=OA=×4=2，则E 的坐标是（6，0），即平移了6个单位长度．故答案是：2或6．（3）当0＜t≤4时，OA=t，则ON=t，则S △OMN =×t×t=238t (0＜t≤4).即当4＜t＜8时，如图1．设直线AC 的解析式是y=kx+b，根据题意得，解得：，则直线AC 的解析式是y=﹣x+3．设MN 的解析式是y=﹣x+c，E 的坐标是（t，0），代入解析式得：c=t，则直线MN 的解析式是y=﹣x+t．令x=4，解得y=﹣3+t，即M 的坐标是（4，﹣3+t）．令y=3，解得：x=t﹣4，则N 的坐标是（t﹣4，3）．则S 矩形OABC=3×4=12，S △OCN =OC•CN=×3•（t﹣4）=3 6.2t -S △OAM =OA•AM=×4•（﹣3+t）=﹣6．S △BMN =BN•BM=[4﹣（t﹣4）][3﹣（﹣3+t）]=t 2﹣6t+24．则S=12﹣（﹣6）﹣（t﹣6）﹣（t 2﹣6t+24），即S=﹣t 2+3t(4＜t＜8).【总结升华】本题考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，直线平行的条件，正确利用t 表示出M 和N 的坐标是关键．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒0123x y 123…数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.举一反三：【变式】（2016•泰山区一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）【答案】B.【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选；B．。

考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.【易错7】(1)求A，B两点的坐标；(2)过B点作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．3．如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，点P(x，y)是在第一象限内直线y＝－x＋10上的一个动点．(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．第4题图第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5，∴CC′＝AA′＝5－1＝4.∴S▱BCC′B′＝CC′·CA＝4×4＝16.即线段BC扫过的面积为16.2．解：(1)令y ＝0，则－2x ＋3＝0，解得x ＝32；令x ＝0，则y ＝3，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)．(2)由(1)得点A ⎝⎛⎭⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94. 3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x ＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A的面积为10时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，52.4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n 的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B2的坐标为(2，3)，同理可得点B3的坐标为(4，7)．∵B1(20，21－1)，B2(21，22－1)，B3(22，23－1)，…，∴点B n的坐标为(2n－1，2n－1)．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

A B C D h t tt t h h h 0 0 0 0 代数复习根底知识点1．假如二次根式5x +在实数围有意义，如此x 的取值围是〔 〕A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ≠－5D ．≥x －5 2．如下各式中，最简二次根式是〔 〕A ．27B ．6C ．a1D ．23a 3．在平面直角坐标系中，直线y kx b =+()0, 0k b <>不经过〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．将直线1y kx =-向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为〔〕A ．3y kx =-B ．1y kx =+C ．3y kx =+D ．1y kx =-5．()()1122P 3, P 2, y y -，是一次函数21y x =+的图象上的两个点，如此12, y y 的大小关系是〔〕 A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进展调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值一样，方差分别为，，，，如此二月份白菜价格最稳定的市场是〔 〕A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．某班抽取6名同学进展体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．如下关于这组数据描述错误的答案是〔 〕A ．众数是80B ．平均数是80C ．中位数是75D ．极差是158．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果以固定流速向这个蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的变化关系的图象的是〔〕9368=_________．10．如图，假如设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y 〔元〕、B y 〔元〕，它们的函数图象如下列图，如此当上网时间 多于400钟时，选择种方式省钱．重点题型1【二次根式】 例题1：〔1〕12123524〔2〕 (3482273y 变式练习1：〔1〕2〔2〕-例题2：一次函数y ax b =+2-．变式练习2：实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子：________.a b --重点题型2【一次函数的图象和性质】例题3：正比例函数)0(≠=k kx y 的函数值随x 的增大而增大，如此一次函数k x y +=的图象大致是〔 〕变式练习3-1：关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如下列图，如此n m -可化简为．变式练习3-2：如图，函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝kx 的图象交于点P ，根据图象可得，当y 1＜y 2时，x 的取值围是________．变式练习3-3：如图，直线b kx y +=经过A 〔2，1〕，B 〔－1，－2〕两点，如此不等式221->+>b kx x 的解集为．两步一回头DCBAoyx xy ox y ooy x1．直线2y kx =+过点〔－1，0〕，如此k 的值是〔 〕． A ．2B ．－2C ．－1D ．12．如下计算正确的答案是〔 〕．A ．236⨯=B ．235+=C ．842=D ．422-= 3．关于x 的一次函数y ＝kx ＋k 2＋1的图象可能正确的答案是〔 〕．ABCD4．〔11〕当实数x 的取值使得2x -有意义时，函数y ＝4x ＋1中y 的取值围是〔 〕． A ．y ≥－7B ．y ≥9 C ．y ＞9D ．y ≤9 5．实数a 、b 在数轴上的位置如下列图， 如此2______a a b +-=．问题探究例题4： 一条直线经过点A 〔2，－6〕和B 〔－4，3〕．〔1〕求这条直线所表达函数解析式；〔2〕在所给的直角坐标系中直接画出这条直线； 〔3〕直接写出△OAB 的面积．变式练习4-1：点P 〔x ，y 〕是第一象限的一个动点，且满足x +y ＝4．请先在所给的平面直角坐标系中画出函数2+1y x =的图象，该图象与x 轴交于点A ，然后解答如下问题：〔1〕利用所画图象，求当－1≤y ≤3时x 的取值围；〔2〕假如点P 正好也在直线2+1y x =上，求点P 的坐标； 〔3〕设△OP A 的面积为S ，求S 关于点P 的横坐标x 的函数解析式．变式练习4-2：如图，点B 的坐标是〔0，3〕，点E 的坐标是〔0，y0 0 0y y y x x x x 023-〕，直线1l 经过B ，E 两点． 〔1〕求直线1l 的解析式； 〔2〕点A 是x 轴正半轴上的一点， 当45ABE ∠=︒时，求点A 的坐标； 〔3〕直线2l 的解析式为4y x =-+，点D 是直线2l 上的动点，试探究在直线1l 上是否存在一点C ，使得以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形？假如存在，求出所有可能的C 点的坐标；假如不存在，请说明理由．拓展延伸1．2008年6月1日起，我国实施“限塑令〞，开始有偿使用环保购物袋．为了满足市场需求，某厂家生产A ，B 两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的本钱和售价如下表，设每天生产A 种购物袋x 个，每天共获利y 元．本钱〔元/个〕 售价〔元/个〕 A 2 B 3〔1〕求出y 与x 的函数关系式；〔2〕如果该厂每天最多投入本钱10000元，那么每天最多获利多少？EABl 1l 22．如图，直线1l 过点A 〔0，4〕、D 〔4，0〕两点，直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l 、2l 相交于点B ．〔1〕求直线1l 的函数关系；〔2〕求点B 的坐标；〔3〕假如直线AC 的函数关系式是b kx y +=，请根据图象直接写出不等式：x b kx ->+4的解集．3．甲、乙两人在一样的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如如下图所示： 〔1〕根据图中的数据填写下表：平均数〔环〕 众数〔环〕 方差甲乙〔2〕在这5次射靶中，谁的成绩更稳定？并说明理由．4.〔11〕为提高初中生的身体素质，教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时． 为了了解学生参加户外活动的情况，对局部学生参加户外活动的时间进展抽样调查，并将调查结果绘制成图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答如下问题：〔1〕这次调查共调查了________名学生；〔2〕户外活动时间为1小时的人数为________人，并补全图1； 〔3〕在图2中表示户外活动时间小时的扇形圆心角的度数是________．〔4〕本次调查中学生参加户外活动时间的众数是________、中位数是________；户外活动的平均时间是否符合要求？图1 图22小时1小时 40%24%5．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过A 〔0，4〕和B 〔－2，0〕两点． 〔1〕求直线l 的解析式；〔2〕C D 、两点的坐标分别为C 〔4，2〕、D 〔m ，0〕，且ABO △与OCD △全等；①如此m 的值为；〔直接写出结论〕②假如直线l 向下平移n 个单位后经过点D ，求n 的值．课堂加油站谁偷吃了水果和小食品？女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友，谁知，这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了，但她不知道是哪个儿子．为此，女士非常生气，就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品．老大说道：“是老二吃的．〞老二说道：“是老四偷吃的．〞老三说道：“反正我没有偷吃．〞老四说道：“老二在说谎．〞这4个儿子中只有一个人说了实话，其他的3个都在撒谎．那么，到底是谁偷吃了这些水果和小食品？课后练习1．如下计算中，正确的答案是〔 〕A ．562432=+B ．3327=÷C ．632333=⨯D ．3)3(2-=-2．函数()12y m x m =-+-中y 随x 的增大而减小，如此m 的取值围是___________． 3．：一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过〔0，2〕，〔1，3〕两点． 〔1〕求k ，b 的值；〔2〕假如一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点为〔a ，0〕，求a 的值．【参考答案】例题1〔1〕10；〔2〕6； 变式练习1：〔1〕(5a -；〔2〕1；例题2：a b --；变式练习2：2a b + 【重点题型2】例题3：A ； 变式练习3-1：n ； 变式练习3-2：3x ＜；变式练习3-3：2x -1＜＜ 【两步一回头】【问题探究】例题4：〔1〕332y x =--；〔2〕略；〔3〕9 变式练习4-1：〔1〕11x -≤≤；〔2〕(1)P ，3；〔3〕 44xS -= 变式练习4-2：〔1〕y ＝2x ＋3；〔2〕〔0，1〕；〔3〕存在，分别为：C 1〔－1，1〕，C 2〔1，5〕，C 3⎪⎭⎫ ⎝⎛-37,31【拓展延伸】1．解：〔1〕根据题意得：()()()2.32 3.534500=y x x -+--0.22250=+x -〔2〕根据题意得：()23450010000≤x x +-解得3500≥x 元，∵0.20k =-<，∴y 随x 增大而减小，∴当3500x =时，0.2350022501550y =-⨯+=，答：该厂每天至多获利1550元．2．〔1〕4y x =-+；〔2〕(22)B ，；〔3〕x ＞0 3．〔1〕6；6；0.4；6；6；；〔2〕在这5次射靶中，甲的成绩更稳定， 理由为：甲的方差小于乙的方差．4．解：〔1〕50．〔2〕20．补全的图〔1〕如下列图： 〔3〕72°．〔4〕1小时；1小时．100.520112 1.58250x ⨯+⨯+⨯+⨯=＝＞1，∴户外活动的平均时间符合要求．5．解：〔1〕设直线l 的解析式为y kx b =+〔0k ≠〕．∵直线l 经过点()A 0, 4，∴4b =．∵直线l 经过点()B 2, 0-，∴240k -+=．∴2k =．∴直线l 的解析式为24y x =+． 〔2〕①4m =．②设平移后的直线1l 的解析式为12y x b =+．∵直线1l 经过点()D 4, 0，∴1240b ⨯+=．∴18b =-． ∴直线1l 的解析式为28y x =-．∴12n =．【课后练习】 1．B2．1m ＜3．解：〔1〕由题意，得23b k b =⎧⎨+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩∴k 、b 的值分别是1和2；〔2〕由〔1〕得y ＝x ＋2，∴当y ＝0时，x ＝－2，即a ＝－2．。

八下期末复习25题专题——代几大综合1、如图，在平面直角坐标系中，双曲线xky =与直线x y 43=交于点A 、B ，且OA ＝5（1）求A 、B 两点的坐标及OB 的长（如图1）（2）在第一象限双曲线上是否存在点Q ，使∠AQB ＝90°，若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。

（如图2）（3）如图3，点P 是第一象限双曲线上的一动点，AD ⊥BP 于D 点，交y 轴于N 点，BP 交x 轴于M 点，连MN ，试探究BM ，AN ，MN 这三条线段之间有何等量关系，证明你的结论。

x图2x图33、如图，直线y=x+b （b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=x2于点D ，过D 作两坐标轴的垂线DC 、DE ，连接OD ．（1）求证：AD 平分∠CDE ；（2）对任意的实数b （b ≠0），求证AD ·BD 为定值；（3）是否存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．4、已知直线39y x =-+与反比例函数6y x=的图象交于A ，B 两点． （1）M ，N 是反比例函数第一象限图像上两点，且矩形MPNQ 面积是8，MP=2，请求M,N 点坐标；（2）如图，等腰梯形OBCD 中，BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．x5、如图: 直线b x y +-=(b ＞0)与双曲线xky =(k ＞0)在第一象限内交于A 、B 两点, 与两坐标轴交于C 、D , OD 的垂直平分线交双曲线于E , 且△OED 的面积为5. (1)求双曲线的解析式;(2)若S △OAB ＝4S △OAC , 求直线AB 的解析式;(3)在（2）中如果将线段AB 绕某点旋转180°后得到线段MN , 且点A 的对应点M 落在y 轴负半轴上, 点B 的对应点N 落在x 轴负半轴上, 求点M 、 N 的坐标.2、如图1，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，交双曲线(0)ky x x=<于点N ，连ON ，且S △OBN ＝10.（1）求双曲线的解析式；（2）如图2，平移直线BC 交双曲线于点P ，交直线2y =-于点Q ，若∠CPQ ＝∠BQP ，求平移后的直线PQ 的解析式； （3）如图3，已知A (2，0)，点M 为双曲线上一点，CE ⊥OM 于M ，AF ⊥OM 于F ，设梯形CEFA 的面积为S ，且AF ·EF =23S ，求点M 的坐标.CxQByOP2y =-图2y xOCAF EM 图3yBO xCN图1AOBCDMxy QP 6、已知：双曲线11:tC y x=(t 为常数，t ≠0)经过点M(一2，2)；它关于y 轴对称的双曲线为2C ，直线1:l y kx b =+ (k 、b 为常数，k ≠0)与双曲线2C 的交点分别为A(1，m)，B(n ，一1)． (1)求双曲线2C 的解析式；(2)求A 、B 两点的坐标及直线1l 的解析式；(3)若将直线1l 平移后得到的直线2l 与双曲线2C 的交点分别记为C 、D(A 和D ，B 和C 分别在双曲线2C 的同一支上)，四边形ABCD 恰好为矩形，请直接写出直线CD 的解析式．7、在平面直角坐标系中，直线y 1=kx-4k 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与直线y 2=4x交于点C 。

八年级下册数学知识点概括为了更好地学习数学，我们需要了解八年级下册数学的知识点概括。

八年级下册数学主要包括三个部分：代数、几何和数据统计。

下面，本文将分别从这三个方面详细介绍八年级下册数学的知识点概括。

一、代数1. 代数表达式代数表达式包括算式、公式和简单多项式，并运用代数表达式解决实际问题。

2. 一元一次方程一元一次方程的含义、解法及应用，如利用一元一次方程解决实际问题。

3. 代数式的乘法和因式分解运用因式分解的方法求解代数式的公因数和最大公因数，化简、拆分代数式及解决实际问题。

4. 二元一次方程组二元一次方程组的含义、解法及应用，如利用二元一次方程组解决实际问题。

5. 不等式不等式的概念、解法及应用，如解决实际问题中的不等式。

6. 平面直角坐标系平面直角坐标系的基本概念、性质及坐标系中点、长度和斜率的计算，运用解题。

二、几何1. 相似相似的概念及其判定，相似比、相似的性质及运用解题。

2. 圆圆的基本性质和相关概念，如圆心角、弧、扇形、切线、割线等，如利用定理解决实际问题。

3. 圆的相关定理如圆周角定理、相交弧定理、割线定理和切线定理，并解决实际问题。

4. 三角形三角形的性质和相关概念，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、勾股定理等，并采用应用实际生活解决几何问题。

三、数据统计1. 统计调查统计调查的方法，如计数原理、频数与频率等，如利用统计调查解决实际问题。

2. 统计图形统计图形的种类和画法，如条形图、折线图、饼状图等，并利用统计图形表达数据。

以上就是八年级下册数学知识点的概括，希望本文能帮助大家更好地了解和掌握八年级下册数学的知识点，为下一步数学学习做好充分准备。

八年级下册数学知识点简介八年级下册数学，是初中数学学科体系中的重要组成部分。

八年级下册数学知识点相较于七年级下册而言，更加深入，更加复杂。

下面，本文将为大家简要介绍八年级下册数学知识点。

一、代数运算代数运算是八年级下册数学的第一个重点。

它包括有理数的四则运算、带分数的四则运算、方根的运算以及多项式的加减运算等。

理解代数运算的本质和规律，能有效提高学生的学习效率。

二、比例与相似比例与相似是数学中的经典概念之一。

在八年级下册数学中，比例与相似共同组成了整个学科的重要部分。

比例涉及到比值、比例等基本概念，相似则涉及到相似的判定和应用等相关知识点。

三、图形的计算图形的计算是数学中最实用的部分之一。

在八年级下册数学中，图形的计算包含了各种各样的知识点，如平行四边形的性质、三角形的性质、圆的相关概念和计算公式等。

透彻理解这些知识，可以帮助学生更好地应用它们进行计算。

四、初一数列数列是数学中的重要概念之一。

在八年级下册数学中，初一数列是比较重要的一部分知识内容。

初一数列主要包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等相关知识点。

五、初二平面几何在初中数学中，平面几何也是一个非常重要的部分。

在八年级下册数学中，初二平面几何是一个重点内容。

初二平面几何主要包括了诸如角的概念、平面直角坐标系、直线的性质、角的种类等相关内容。

六、二次根式与二次方程二次根式和二次方程是初中数学中相对难度较高的部分。

在八年级下册数学中，学生需要学习如何化简二次根式、如何求解一元二次方程等相关知识点。

理解这些知识点的本质和规律，是学生在初中数学学习中的重要任务。

以上就是八年级下册数学的主要知识点。

了解这些知识点，可以帮助学生更好地掌握和应用这些数学知识，提高学习效率和成绩。

八年级下册数学书全知识点本文旨在全面介绍八年级下册数学书中所涉及的全部考点，目的是帮助学生全面掌握知识点，并提高数学成绩。

1. 有理数的运算八年级下册数学书中，有理数的运算为重中之重。

主要包括加减乘除、求绝对值、化简等部分。

其中最重要的莫过于有理数加减法运算，需要学生掌握正数加正数、负数加负数、正数加负数、负数加正数的规律，并进行分类讨论。

2. 代数式的简化和展开代数式涉及到的内容较多，主要包括代数式的运算、代数式的简化等。

其中代数式的简化是考试非常重要的一部分，需要学生熟练掌握合并同类项、分配率、消元等方法，并通过练习来加强记忆和运用。

3. 线性方程组线性方程组是数学下册的又一个难点，需要学生被动掌握列方程、解方程、判断方程组解的情况等方法。

对于特殊情况的方程组求解，如等式左右相加、相减、取变量相反数等，需要同学们多练习并掌握千变万化的解题技巧。

4. 几何图形的初步认识在几何图形的初步认识方面，数学下册对于形状、角和线段等的定义以及常见几何图形要素的认识进行了探讨。

例如，学生需要掌握菱形、平行四边形、矩形三种图形的特征、角的概念、两角和公式等，并学会绘制这些图形。

5. 四边形的性质四边形是比较重要的一部分，需要同学们对其特征和性质进行了解，并能够进行计算和解题。

例如，学生要知道平行四边形相邻角互补、对角线互相平分等规律，并能够应用这些规律进行计算。

6. 圆的初步认识圆是很基础的一个概念，但也需掌握其特征和性质。

在学习圆的基础知识后，重要的是进一步掌握周长和面积的计算公式，还有内接圆和外接圆的计算等。

7. 三角形的初步认识三角形同样是基础知识，同时也是数学中比较重要的一部分。

在掌握三角形边角的关系之后，需要学生掌握三角形的周长和面积的计算公式，以及利用勾股定理和正弦定理等进行运用和计算。

8. 直线和平面的初步认识直线和平面是几何基础中的基础，需要同学们熟悉直线段的性质和分类、平面的定义和性质等。

关于八年级下册解答题常考题型归类与分析解答题与填空选择题不同，其综合性更强，是一种考查学生计算能力、思维能力及知识掌握程度的试题，进而导致很多学生解答题失分严重，在考试前常常对解答题有一种惧怕的心理。

下面我们就针对八年级下册的常考解答题的类型进行归类，并加以分析，以方便学生再遇到解答题消除惧怕心理。

第一种类型：单纯的计算型。

此种题型常在不等式、分式及因式分解这几章中出现。

一般都是基础的题型，但也不排除出一些难度较大点的试题。

例1. 解不等式组⎩⎨⎧>+<-063512x x ，并把解集在数轴上表示出来。

例2. 解下列不等式：(1)| |≤4； (2) <0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。

例3.m 为何整数时，方程组的解是非负数？例4. 把下列各多项式分解因式(1) a 5b-a 2b 3+a 2b (2) y(2x-y)2-2x(y-2x)2例5．先化简，再求值。

(1)已知4x 2+7x+2=4,求-12x 2-21x 的值。

(2) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1例6．计算（1）444[(1)(a 4)3](1)2a a a+-+-÷-- （2）例7．解分式方程 ：)1(516++=+x x x x此种题型常以不等式、分式方程及相似的应用等为数学模型设置题目。

此类题型做题关键在于把文字叙述转化成数学模型。

例1．乘某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km 以内都需付费10元)，达到或超过5km 后，每增加1km 加价1.2元(不足1km 部分按1km 计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少?例2.某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？例3.在两块面积相等的麦地里做实验，第一块地使用本地麦种，收获小麦4500千克；第二块地使用外地引入的麦种，收获小麦6300千克，已知第一块地每公顷产量比第二块地每公顷产量少3000千克。

一次函数之代几综合在平面直角坐标系xOy中，直线＞，=匕-2k+6经过定点Q。

（1）直接写出点Q的坐标：（2）点M在第一象限内，NQOM=45° ,若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1）,求直线QM 的解析式；（3）在（2）条件下，过点M作MAJ_x轴于点A,过点Q作QB«Ly轴于点B,点E为第一象限内的一动点，NAEO=45° ,点C为0B的中点（如图2）,求线段CE长度的最大值。

1、已知直线AB分别交小y轴于A（4, 0）两点，。

（一4,⑷为直线），=一”与A3的公共点。

（1）求点8的坐标；（2）已知动点M在直线y=x+6上，是否存在点M使得孙，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由：（3）已知点E（0, 8）, P是x轴正半轴上动点，。

是y轴正半轴上的动点，。

在点E上方，OP=EQ, OH是NO0P的角平分线交直线。

于H，求PQ—后〃的值。

2、如图，在平面直角坐标系中，正方形AOC。

的顶点A、。

分别在x、y轴上，P为对角线AC上一动点, 过点P作PQLOP交CD边于点0。

（1）如图，若对角线AC的解析式为），=-x+4,直线EF的解析式为2,现将直线EF向上平移，使直线EF平分AOCD的面枳，求平移后的直线EE的解析式:（2）如图，若24=半，求。

2-PC2的值：（3）点P从点A出发，沿AC方向移动.若移动的路径长为2,求。

的中点M移动的路径长。

3、如图1,正方形A0C8的顶点A、C分别在y轴和x轴正半轴上，且04=2,过点C作EE〃。

&交），轴于点。

，点M 为直线EF上一动点，过点8作8N〃。

“，交EF于点N。

（1）求直线EF的解析式；（2）当四边形0MN3为菱形时，求N08N的度数；（3）如图2,在（2）的条件下（即四边形0MNB是菱形），当时点在x轴上方时，0M与BC交于点H, PQ为线段AB上一动线段，且2。

=2-6,求四边形OP0H周长最小时，点尸的坐标°【课堂练习】1、如图，平面直角坐标中，A点在直线/：y=k.x (^<0)上运动，A点的横坐标为小，B(-3m,0),将A点向上平移4个单位长度得到点C(1)如图1,当〃?=-2"时，OC平分NAOy,求直线/的解析式；(2)如图2,。