6 章末复习提升课

章末复习提升课1．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与存在性命题存在量词用符号“∃”表示．存在性命题用符号简记为：∃x∈M，p(x)．2．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，﹁p.(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与﹁p必定是一真一假．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/p；③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/q；④既不充分也不必要条件：p⇒/q且q⇒/p.4．四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若﹁p，则﹁q”；命题的否定为“若p，则﹁q”．2．四种命题的三种关系：互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．全称命题与存在性命题全称命题与存在性命题是新课标新增内容，从形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现．知识方法：全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．【答案】 A逻辑联结词高考中常以选择题和填空题的形式对含有逻辑联结词的命题的构成及其真假判断进行考查，正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解决问题的关键．知识方法：判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．若f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，不满足命题p；若f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)＝x2为偶函数，此时f(x)在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增；若f(x)＝cos(x－2)，则f(x＋2)＝cos x为偶函数，但此时f(x)不满足命题q，故填②.【答案】②充要条件的判定充要条件的判定以选择题和填空题为主，所考查内容涉及各个章节，具有一定的综合性，个别题目具有一定的难度．知识方法：充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“﹁q⇒﹁p”，即“若﹁q⇒﹁p 成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．【解】p：x2－8x－20>0⇔x<－2或x>10，令A＝{x|x<－2或x>10}，因为a >0，所以q ：x <1－a 或a >1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且p ⇐/q ，知A ⊆B ，应有⎩⎨⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎨⎧a >0，1＋a ≤10，1－a >－2，解得0<a ≤3，所以a 的取值范围为(0，3]．四种命题及其关系四种命题及其关系是高考命题的内容之一，主要以选择题和填空题的形式出现，一般不单独命题，往往和其他知识结合起来进行考查．知识方法：原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．判断下列命题的真假：(1)“若x ∈A ∩B ，则x ∈B ”的逆命题与逆否命题； (2)“若0<x <5，则|x －2|<3”的否命题与逆否命题；(3)a ，b 为非零向量，“如果a ⊥b ，则a·b ＝0”的逆命题和否命题．【解】 (1)“若x ∈A ∩B ，则x ∈B ”，是真命题，故其逆否命题为真命题，逆命题“若x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，为假命题．(2)因为0<x <5，所以－2<x －2<3， 所以0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.否命题为假． 例如当x ＝－12时，|－12－2|＝52<3.(3)逆命题：a·b ＝0⇒a ⊥b ，为真命题． 故它的否命题：a ，b 不垂直⇒a·b ≠0也为真．1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a ⊂α，b ⊥β，则“α∥β ”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A ．当α∥β时，因为b ⊥β，所以b ⊥α，因为a ⊂α，所以b ⊥a ；当a ⊥b ，a ⊂α，b ⊥β时，α，β可能平行，也可能相交，故“α∥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，选A ．2．已知p ：函数f (x )＝(x －a )2在(－∞，1)上是减函数．q ：∀x ＞0，a ≤x 2＋1x恒成立，则p 是﹁q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选B ．p ：函数f (x )＝(x －a )2在(－∞，1)上是减函数，由二次函数的性质可知a ≥1，q ：∀x ＞0，a ≤x 2＋1x 恒成立，则x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2≥a ，则﹁q ：a ＞2，故p 是﹁q 的必要不充分条件．3．已知命题p ：“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12的否定为∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧(﹁q ) B ．(﹁p )∧q C ．(﹁p )∨(﹁q )D ．p ∨q详细分析：选D ．若y ＝sin(x ＋φ)为偶函数，则有φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，所以命题p 为真命题；根据全称命题的否定的概念，可知﹁q 为∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12，所以命题q 为真命题，故选D ． 4．命题“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3详细分析：选C ．因为x ∈[1，2]，所以x 2∈[1，4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4.由“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出a ≥3，但由a ≥3推不出“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立．故选C ．5．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＞0，则﹁p 为________．详细分析：根据全称命题的否定的概念可知﹁p 为“∃x ∈R ，2x ≤0”． 答案：∃x ∈R ，2x ≤06．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 详细分析：根据正切函数的性质可知，y ＝tan x ＋1在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最小值为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＋1＝0.所以m ≤0. 答案：07．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．详细分析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q 同时为真，即⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.答案：a ≤－2或a ＝1。

章末复习提升课平面向量的线性运算(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →(2)如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( ) A.43 B.53 C.158D.2【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .(2)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)错误！未定义书签。

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B .【答案】 (1)A (2)B向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，1)，c ＝(－5，1)．若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( )A ．2B ．12C ．114D ．－114解析：选B.由题意知，a ＋k b ＝(2，－1)＋k (1，1)＝(k ＋2，k －1)，由(a ＋k b )∥c ，得－5(k －1)＝k ＋2，解得k ＝12，故选B.平面向量数量积的运算如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3【解析】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，即32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由CE →∥DC →，得(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3－32＝32(y －3)，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A.【答案】 A向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.1．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________．解析：a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6. 答案：62．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于________．解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.答案：9向量的夹角及垂直问题(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1(2)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 (1)因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2， 即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.【答案】 (1)B (2)C解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．1．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解析：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.答案：－12．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a ，b 满足|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则a －b 与b 夹角的大小为________．解析：因为非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，所以a 2＝a ·b ，由|a －b |＝|a |可得a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2，解得|b |＝2|a |，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝a ·b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |2＝－22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. 答案：135°向量的长度(模)与距离的问题已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.【答案】 A解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a |＝x 2＋y 2(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2＝(a ±b )2.(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a·a －a·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.利用正、余弦定理解三角形已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解】 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，所以B ＝45°. (2)因为sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝2＋64. 故a ＝b sin Asin B＝1＋ 3. 又C ＝180°－45°－75°＝60°， 所以c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3 C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°， 所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.判断三角形的形状在△ABC 中，若已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状． 【解】 由正弦定理的推论，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则已知条件转化为4R 2sin 2B sin 2C ＋4R 2sin 2C sin 2B ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . 因为sin B sin C ≠0，所以sin B sin C ＝cos B cos C ， 所以cos(B ＋C )＝0.因为0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°， 所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则该三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.因为lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，所以sin Acos B ·sin C＝2，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin A sin C ＝ac ，所以cos B ＝a 2c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a2c，整理得c 2＝b 2，c ＝b ，所以△ABC 的形状是等腰三角形，故选A.正、余弦定理的实际应用已知海岛A 周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解】 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202海里， ∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°， 所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．过点A 作AD ⊥BC .故A到航线的距离为AD＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．1．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )A．10 m B．30 mC．10 3 m D．10 6 m解析：选 B.依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，所以∠CPB＝180°－45°－105°＝30°.在△PBC中，由正弦定理可得BP＝CBsin∠CPB·sin∠PCB＝203(m)，所以在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203×32＝30(m)，即旗杆的高度为30 m.2．如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求∠BAC的正弦值．解：(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70.故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理， 得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．已知e 1，e 2是单位向量，m ＝e 1＋2e 2，n ＝5e 1－4e 2，若m ⊥n ，则e 1与e 2的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：选B.因为m ⊥n ，|e 1|＝|e 2|＝1，所以m·n ＝(e 1＋2e 2)·(5e 1－4e 2)＝5e 21＋6e 1·e 2－8e 22＝－3＋6e 1·e 2＝0.所以e 1·e 2＝12.设e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝6，AB ＝26，则C ＝( )A.π4或3π4B.π6或5π6C.π4D.3π4解析：选C. 由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝AB sin A BC ＝26×sinπ36＝22.又BC ＝6>AB ＝26，所以A >C ，所以C ＝π4，故选C.4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由CP →＝3 PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB→＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 答案：225．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中， 由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 6．(2019·江西省赣州教育发展联盟联考)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意，及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（AC ＋BC ）2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.[A 基础达标]1．将3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）化成最简式为( ) A ．－43a ＋53bB ．－4a ＋5b C.43a －53b D ．4a －5b解析：选B.原式＝3[⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ]＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋53b ＝－4a ＋5b . 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10解析：选B.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 3．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A.62B.63C.12D.32解析：选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C ，即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝63，故选B. 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D.由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.5．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D.由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理可知a 2＝b 2＋c 2⇒A 为直角；而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C .综合上述，B ＝C ＝π4，A ＝π2.即△ABC 为等腰直角三角形．6．已知非零向量a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)，若a ＋2b 与a 的夹角等于a ＋2b 与b 的夹角，则t ＝________．解析：由题设得（a ＋2b ）·a |a ＋2b |·|a |＝（a ＋2b ）·b |a ＋2b |·|b |，所以|b |(|a |2＋2b ·a )＝|a |(a ·b ＋2|b |2)，将a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)代入整理得2t 2＋t ·|t |＝8|t |＋4t ，当t >0时，3t 2＝12t ，所以t ＝4；当t <0时，t 2＝－4t ，所以t ＝－4.综上，t 的值为4或－4.答案：4或－47．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝3b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝________．解析：因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B . 所以sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝12，因为bc ＝6，b ＋c ＝5，所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12＝7，所以a ＝7. 答案：78．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·EB →＝2，则AB →的模为________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，EB →＝EC →＋CB →＝12DC →－BC →，又DC →＝AB →，BC →＝AD →，所以EB →＝12AB →－AD →，所以AD →·EB →＝AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＝12|AB →||AD →|cos 60°－|AD →|2＝14|AB →|－1＝2，所以|AB →|＝12.答案：129．已知向量e 1，e 2，且|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3.(1)求证：(2e 1－e 2)⊥e 2；(2)若m ＝λe 1＋e 2，n ＝3e 1－2e 2，且|m |＝|n |，求λ的值． 解：(1)证明：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以(2e 1－e 2)·e 2＝2e 1·e 2－e 22＝2|e 1||e 2|cos π3－|e 2|2＝2×1×1×12－12＝0，所以(2e 1－e 2)⊥e 2.(2)由|m |＝|n |得(λe 1＋e 2)2＝(3e 1－2e 2)2， 即(λ2－9)e 21＋(2λ＋12)e 1·e 2－3e 22＝0. 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×12－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b－c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc ，得a 2－(b －c )2＝37bc ，即a 2＝b 2＋c 2－117bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114，所以sin A ＝514 3.又因为B ＝π3，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝17.(2)由(1)得sin C ＝47 3.在△ABC 中，由正弦定理，得csin C ＝b sin B ＝asin A.所以c ＝a sin C sin A ＝8，所以S ＝12ac sin B ＝12×5×8×sin π3＝10 3. [B 能力提升]11．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标C 的距离为( )A ．5 000米B ．5 0002米C ．4 000米D ．4 0002米解析：选B.如图，在△ABC 中，AB ＝10 000米，A ＝30°，C ＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC ＝AB ·sin Asin C ＝10 000×1222＝5 0002(米)．12．在△ABC 中，点D 满足BD ＝34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是( )A.31010 B.824 C.910D.418解析：选C.如图所示，存在实数m 使得AE →＝mAD →(0≤m ≤1)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以AE →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋34AC →＝m 4AB →＋3m 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m 4，μ＝3m4，所以t ＝(λ－1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 42＝58m 2－m 2＋1＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋910，所以当m ＝25时，t ＝(λ－1)2＋μ2取得最小值910.13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.则C ＝________，AB ＝________．解析：因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，所以C ＝120°.由题设，得⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，所以AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10.所以AB ＝10. 答案：120°1014．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)因为(2a －b )cos C ＝c cos B ， 所以(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )． 所以2sin A cos C ＝sin A . 因为A ∈(0，π)， 所以sin A ≠0. 所以cos C ＝12.所以C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab ⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，所以72＝(a ＋b )2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12.所以a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.[C 拓展探究]15．某单位有A ，B ，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A ，B ，C ，O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝802＋502－7022×80×50＝12.因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3.(2)法一：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．设外接圆的半径为R ，则在△ABC 中，BCsin A ＝2R .由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝32.所以2R ＝7032＝14033.即R ＝7033.如图，连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .在△OBD 中，OB ＝R ＝7033，BD ＝BC 2＝702＝35，所以OD ＝OB 2－BD 2＝（7033）2－352＝3533. 即点O 到直线BC 的距离为3533m.法二：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .由(1)知∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以∠BOD ＝π3.在Rt △BOD 中，BD ＝BC 2＝702＝35 ，所以OD ＝BDtan ∠BOD ＝35tan 60°＝3533.即点O 到直线BC 的距离为3533 m.。

部编版六年级语文下册期末复习+计划教案一、复习目标：（一）基础知识方面1、能利用拼音帮助识字、阅读和学习普通话；能根据拼音正确地写出已学过的汉字。

2、掌握本册学的80个生字，要求读准字音、认清字形、了解字义，并会规范地书写，能正确认读学过的多音字。

3、查字典，会运用部首、音序、数笔画查字法熟练地查字。

4、辨别同音字、形近字，进一步提高正确使用汉字的能力。

5、掌握227个词语，理解词义，一部分会口头或书面运用。

6、进一步掌握部分词语的近义词或反义词；掌握已学的成语；了解和认识一些常用的格言。

7、能够改写句子、修改病句和缩句；能正确使用一些常用的关联词。

8、进一步掌握学过的标点符号及一些常用的修辞方法。

（二）阅读方面：1、能联系上下文和自己的积累，推想课文中有关词句的意思，辨别词语的感情色彩，体会其表达效果。

2．在阅读中了解文章的表达顺序，体会作者的思想感情，初步领悟文章的基本表达方法。

在交流和讨论中，敢于提出看法，作出自己的判断。

3．阅读叙事性作品，了解事件梗概，能简单描述自己印象最深的场景、人物、细节，说出自己的喜爱、憎恶、崇敬、向往、同情等感受。

阅读诗歌，大体把握诗意，想象诗歌描述的情境，体会作品的情感。

受到优秀作品的感染和激励，向往和追求美好的理想。

阅读说明性文章，能抓住要点，了解文章的基本说明方法。

阅读简单的非连续性文本，能从图文等组合材料中找出有价值的信息。

4．在理解课文的过程中，体会顿号与逗号、分号与句号的不同用法。

5．诵读优秀诗文，注意通过语调、韵律、节奏等体味作品的内容和情感。

背诵优秀诗文 60 篇（段）。

（三）作文方面：1．养成留心观察周围事物的习惯，有意识地丰富自己的见闻，珍视个人的独特感受，积累习作素材。

2．能写简单的记实作文和想象作文，内容具体，感情真实。

能根据内容表达的需要，分段表述。

学写读书笔记，学写常见应用文。

3．修改自己的习作，并主动与他人交换修改，做到语句通顺，行款正确，书写规范、整洁。

第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图5­5­2所示．由a n­r图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图5­5­2知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5­7­32．向心力分析如图5­7­3所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图5­7­8所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图5­7­8(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

二年级语文版语文上学期期末知识点归纳复习提升练习班级：_____________ 姓名：_____________形近字词1. 比一比，再组词。

蓝（____）浓（_____）祖（_____）值（_____）跟（_____）篮（____）农（_____）组（_____）植（____）艰（_____）2. 形近字组词。

跳（__________）洋（__________）她（__________）挂（__________）桃（__________）样（__________）他（__________）桂（__________）外（__________）辛（__________）底（__________）课（__________）处（__________）幸（__________）低（__________）棵（__________）先（__________）洗（__________）3. 形近字组词。

宇（_______）容（________）密（________）舱（_______）守（_______）客（________）蜜（________）苍（_______）4. 比一比，再组词。

度（_________）穿（_________）灾（_________）床（_________）空（_________）伙（_________）志（_________）以（_________）产（_________）忘（_________）认（_________）立（_________）5. 比一比，在组词。

错（_________）沿（_________）渴（_________）治（_________）借（_________）没（_________）喝（_________）抬（_________）拼音词组6. 看拼音，写词语。

wēn nuǎn mào chūzuótiān cài zhīɡōnɡjùyìpǐbōwén hǎo xiànɡfēnɡjǐnɡfēnɡlì7. 读拼音，写词语。

系统思维下章末复习作业教学的实践与思考 ——以《第十七章勾股定理》为例袁林发布时间：2023-05-29T02:56:41.342Z 来源：《教学与研究》2023年6期作者：袁林[导读] “勾股定理”章末复习课是在系统思维的指导下，明晰“勾股定理”的教学内容在直角三角形系统中的地位与作用。

本节课教师通过思维导图帮助学生把新学的知识纳入已有的知识结构中，使得零碎的知识系统化。

本节课勾股定理及其逆定理的知识贯彻始终，在不同的问题中发挥价值，突出整个章节教学内容的系统性，关联性和整体性，升华整章的学习内容。

云南省昆明市高新技术产业开发区第三中学云南昆明 650503摘要：“勾股定理”章末复习课是在系统思维的指导下，明晰“勾股定理”的教学内容在直角三角形系统中的地位与作用。

本节课教师通过思维导图帮助学生把新学的知识纳入已有的知识结构中，使得零碎的知识系统化。

本节课勾股定理及其逆定理的知识贯彻始终，在不同的问题中发挥价值，突出整个章节教学内容的系统性，关联性和整体性，升华整章的学习内容。

关键词：直角三角形；勾股定理；系统思维；作业设计通过对本校初中学生进行数学学习元认知水平，数学学习策略的调查发现，学生认为数学知识零碎的，不是一个系统联系的整体。

原因在于教师在教学中没有将新学知识纳入学生已有的知识结构中，孤立地练习一个个知识和技能。

思维导图是章末复习中加强知识的内在联系和促进知识结构化的一个好帮手，本节课中借助直角三角形的性质和判定两条思路将勾股定理纳入学生直角三角形的已有知识结构中，形成系统的直角三角形的知识网。

“教—学—评”一致性是指在课堂教学中以教学目标为导向，将教师的教、学生的学和教学评价三者联系起来，使其达成一致。

[1]为了传承“回归教材，坚守新课标”思想，笔者选择改编教材习题作为典型例题。

1.教学实践1.1 思维导图，构建知识系统如图1所示，用研究几何图形的一般思路和方法，研究直角三角形的性质和判定，把新学的勾股定理及其逆定理纳入直角三角形的知识系统中。