2021黑龙江省齐齐哈尔市中考数学解析(1)

考点01 图形的旋转1．（江苏省无锡市丁蜀中学2020-2021学年第一次阶段性测验数学试题）经过以下变化后所得到的三角形不能和ABC 全等的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵平移、旋转，翻折前后的三角形全等， ∵选项A 、B 、C 不符合题意，【点睛】本题主要考查全等三角形、平移、旋转、翻折的知识，熟练掌握相关定义是关键．2．（2020年江西省初中名校联盟九年级质量监测（一）数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，将ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到DEC 的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）．A ．60︒B ．45︒C ．30D ．55︒A 【答案】A【解析】∵点B 恰好落在边DE 中点上，90ECD ACB ︒∠=∠=， ∵EB=CB ，由旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠= ∵EB CB EC == ∵EBC 是等边三角形， ∵60ECB θ︒∠==．故选A ．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键．3．(2019年山东省潍坊诸城市九年级中考三模数学试题)如图，ABC ∆中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ADE ∆，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）A．8-BC ．1D【答案】B【解析】如图所示，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ， 由旋转可知：AB=AD ，∵BAD=60°， ∵∵ABD 是等边三角形， ∵∵BDA=60°，AB=BD ， 又∵∵BAC=∵ADE=45°， ∵∵BDE=∵BAE=60°-45°=15°， ∵在∵ABE 与∵DBE 中，AB BD BAE BDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABE∵∵DBE （SAS ） ∵∵ABE=∵DBE∵BF∵AD ，点F 为AD 中点， 又∵AC=BC=2，∵EF=12AD =∵BE=BF -故答案为：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用旋转的性质构造等边三角形进行解答．4．（2020年山东省枣庄市九年级中考三模数学试题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2D ．(-【答案】B【解析】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒， ∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（浙江省绍兴市三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．24︒D ．28︒【答案】C【解析】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∵C=∵'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB. ∵∵'AB B =∵B.∵AB CB ''=，∵∵C=∵CA 'B =x°. ∵∵'AB B =∵C+∵CA 'B =2x°. ∵∵B=2x°.∵∵C+∵B+∵CAB=180°，108BAC ∠=︒， ∵x+2x+108=180. 解得x=24.∵C '∠的度数为24°. 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.6．（江苏省江阴市长寿中学2020-2021学年八年级10月阶段性检测数学试题）如图，∵AOB 中，∵B=30°，将∵AOB 绕点O 顺时针旋转得到∵A′OB′，若∵A′=40°，则∵B′= °，∵AOB= ．【答案】30°，110°【解析】∵∵AOB中，∵B=30°，将∵AOB绕点O顺时针旋转得到∵A′OB′，∵A′=40°，∵∵B=∵B′=30°，∵A′=∵A=40°，则∵B′=30°，∵AOB=180°-∵A-∵B=110°．故答案为30，110．【点睛】：旋转的变换7．（2020年甘肃省天水市麦积区九年级中考模拟数学试题）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是_____．【答案】35°【解析】解：∵∵COD是∵AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，∵∵AOC＝∵BOD＝35°，∵∵AOD＝90°，∵∵BOC＝20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（江苏省无锡市敔山湾中学2020-2021学年八年级上学期第一次阶段性测验数学试题）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=2，AB=6，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△△AB′C′，且C′落在CO的延长线上，连接B B′交CO的延长线于点F，则BF=__________．【答案】143．【解析】解：过C作CD∵AB于点D，∵CA=CO，∵AD=DO，∵在Rt∵ACB中，AB=6，AC=2，∵BC= =，∵1122ABCS AB CD AC BC =⋅=⋅∵116222CD⨯⋅=⨯⨯，=23，∵OA=2AD=43，∵OB=AB-OA=6-43=143，∵∵AC′B′是由∵ACB旋转得到，∵AC=AC′，AB=AB′，∵CAC′=∵BAB′，∵∵ACC′=12（180°-∵CAC′），∵ABB′=12（180°-∵BAB′），∵∵ABB′=∵ACC′，∵在∵CAO和∵BFO中，∵BFO=∵CAO，∵CA=CO，∵∵COA=∵CAO，又∵∵COA=∵BOF（对顶角相等），∵∵BOF=∵BFO ，∵BF=BO=143． 故答案为：143．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据三角形面积公式求出CD 的值是突破口．9．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到11AB C ∆的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在X 轴上，再将11AB C ∆绕点1B 顺时针旋转到112A B C ∆的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…若点()3,02A ，()0,2B ，则点2019B 的坐标为_____________．【答案】（6058，0） 【解析】由题意可得：∵AO=32，BO=2，52=， ∵OA+AB1+B1C2=32+52+2=6，∵B2的横坐标为：6，B4的横坐标为：2×6=12， ∵点B2018的横坐标为：20182×6=6054． ∵点2019B 的横坐标为：356054605822++=； ∵点2019B 的坐标为（6058，0）． 故答案为：（6058，0）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理，点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B 点横坐标变化规律是解题关键．10．（2019年山东省泰安市岱岳区中考第三次模拟数学试题）如图，点1A 的坐标为()1,0， 2A 在y 轴的正半轴上，且1230A A O ∠=︒，过点2A 作2312A A A A ⊥，垂足为2A ，交x 轴于点3A ；过点3A 作3423A A A A ⊥，垂足为3A ，交y 轴于点4A ；过点4A 作4534A A A A ⊥，垂足为4A ，交x 轴于点5A ；过点5A 作5654A A A A ⊥．垂足为5A ，交x 轴于点6A ，按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为____________【答案】A2019[-2018，0] 【解析】∵∵A1A2O=30°，OA1=1，∵点A2的坐标为(0，同理，A3(-3，0)，A4(0，-，A5(9，0)，A6(0，，A7(-27，0)，…，即A1(1，0)，A2[0，，A3[-，0]，A4[0，-(，，0]…，∵序号除以4整除的话在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上， ∵2019÷4=504…3，∵A2019在x 轴的负半轴上，A2019[-，0]． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．11.（四川省眉山市2020年中考数学试题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∵BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，1B 落在BC 的中点处， ∵111Rt A B C △是由Rt △ABC 旋转得到，∵1AB =AB=2，而1BC=2AB =4，根据勾股定理：， 又∵1AB =AB=2，且11BB =BC=22，∵1ABB △为等边三角形， ∵旋转角1BAB =60∠︒，∵1CAC =60∠︒，且1AC 1ACC △也是等边三角形，∵1CC故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．12．（湖南省邵阳市邵东市2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．【答案】(1)见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）如图所示，∵O1A1B1即为所求；（2）如图所示，∵BO2A2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．13．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年九年级上学期第一次质量检测数学试题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM∵PN ；（2）∵PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S∵PMN 最大＝492【解析】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）综合与实践 实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD，CF，AC之间的数量关系为：（2）猜想图2中四边形ADGF的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB的长为．【答案】（1）CD+CF=AC；（2）四边形ADGF为正方形；理由见解析；（3）【解析】解：（1）如图：由旋转得：∵DAF=60°=∵BAC，AD=AF，∵∵BAD=∵CAF，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵∵BAD∵∵CAF（SAS），∵∵ADB=∵AFC，BD=CF，∵∵ADC+∵ADB=∵AFC+∵AFE=180°，∵C、F、E在同一直线上，∵AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt∵ABD绕点A逆时针旋转90°得到∵AEF，∵AF=AD，∵DAF=90°，∵AD∵BC，∵∵ADC=∵DAF=∵F=90°，∵四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∵四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，∵DG=FG=AD=AF=6，∵∵ABD绕点A逆时针旋转90°，得到∵AEF，∵∵BAD=∵EAF，BD=EF=2，∵EG=FG-EF=6-2=4，∵将∵AFE沿AE折叠得到∵AME，∵∵MAE=∵FAE，AF=AM，∵∵BAD=∵EAM，∵∵BAD+∵DAM=∵EAM+∵DAM，即∵BAM=∵DAE，∵AF=AD，∵AM=AD，在∵BAM和∵EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BAM∵∵EAD（SAS），=故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。

2023年齐齐哈尔市中考数学考试卷及答案解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1.﹣9的相反数是【】A.9B.﹣9C.19 D.﹣19【答案】A【解析】【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此﹣9的相反数是9．故选A．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义依次对各项进行分析即可得到最后结果．【详解】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转180 能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180︒后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．3.下列计算正确的是（）A.22434b b b+= B.()246a a = C.()224x x -= D.326a a a ⋅=【答案】C【解析】【分析】根据单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，进行计算即可求解．【详解】解：A.22234b b b +=，故该选项不正确，不符合题意；B.()248a a =，故该选项不正确，不符合题意；C.()224x x -=，故该选项正确，符合题意；D.2326a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4.如图，直线12l l ∥，分别与直线l 交于点A ，B ，把一块含30︒角的三角尺按如图所示的位置摆放，若145∠=︒，则2∠的度数是（）A.135︒B.105︒C.95︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】依据12l l ∥，即可得到1345∠=∠=︒，再根据430∠=︒，即可得出荅案．【详解】解：如图，12l l ∥，1345∴∠=∠=︒，又430∠=︒ ，2180341804530105∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．5.如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】首先确定该几何体左视图的小正方形数量，然后求解面积即可．【详解】解：该几何体左视图分上下两层，其中下层有3个小正方形，上层中间有1个正方形，共计4个小正方形，∵小正方体的棱长为1，∴该几何体左视图的面积为4，故选：C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解左视图即为从左边看到的图形是解题关键．6.如果关于x 的分式方程211x m x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A.1m <- B.1m >-且0m ≠ C.1m >- D.1m <-且2m ≠-【答案】D【解析】【分析】分式方程两边乘以()1x +，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：211x m x -=+21x m x -=+解得：1x m =+且1x ≠-∵关于x 的分式方程211x m x -=+的解是负数，∴10+<m ，且2m ≠-∴1m <-且2m ≠-，故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．7.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A.12 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，女1女2女3男女1女1，女2女1，女3女1，男女2女2，女1女2，女3女2，男女3女3，女1女3，女2女3，男男男，女1男，女2男，女3共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是61122=，故选：A ．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8.如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =---V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =---V V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---，21282x x =-+，21(2)62x =-+，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．9.为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm 的导线，将其全部截成10cm 和20cm 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A.5种B.6种C.7种D.8种【答案】C【解析】【分析】设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意，得出152x y -=，进而根据,x y 为正整数，即可求解．【详解】解：设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意得，1020150x y +=，即152x y -=，∵,x y 为正整数，∴1,3,5,7,9,11,13x =则7,6,5,4,3,2,1y =，故有7种方案，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．10.如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；④关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根；⑤若点()1,m y ，()22,y m -+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y 轴的交点确定a 、b 、c 的正负，即可判定①和②；将点()3,0代入抛物线解析式并结合2b a =-即可判定③；运用根的判别式并结合a 、c 的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点()1,m y ，()22,y m -+的对称轴为1x =，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解： 抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，∴00a c ><，，∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴12b a-=，即20b a =-<，即②错误；∴0abc >，即①正确，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0930a b c ∴++=()9320a a c ∴+-+=，即30a c +=，故③正确；∵关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠，()2222444b a c k b ac ak ∆=-+=--，00a c ><，，∴40ac ->，240ak -≤，∴无法判断2244b ac ak --的正负，即无法确定关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠的根的情况，故④错误；∵()212m m +-+=∴点()1,m y ，()22,y m -+关于直线1x =对称∵点()1,m y ，()22,y m -+均在该二次函数图像上，∴12y y =，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的()20y ax bx c a =++≠的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11.经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游308000000人次，同比增长23.1%，数据308000000用科学记数法表示为_________．【答案】83.0810⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据308000000用科学记数法表示为83.0810⨯．故答案为：83.0810⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12.如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______，使四边形ABCD 成为菱形．【答案】AD BC ∥（荅案不唯一）【解析】【分析】根据题意，先证明四边形ABCD 是平行四边形，根据AC BD ⊥，可得四边形ABCD 成为菱形．【详解】解：添加条件AD BC∥∵AD BC =，AD BC∥∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形．添加条件AB CD=∵AD BC =，AB CD=∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形．添加条件OB OD=∵AC BD ⊥，∴90AOD COB ∠=∠=︒∵AD BC =，OB OD =，∴()Rt Rt HL AOD COB ≌∴AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形．添加条件ADB CBD∠=∠在AOD △与COB △中，ADB CBDAOD COB AD BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOD COB△≌△∴AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 成为菱形．故答案为：AD BC ∥（AB CD =或OB OD =或ADB CBD ∠=∠等）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．13.在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是______．【答案】1x >且2x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x ->-≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x ->-≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．14.若圆锥的底面半径长2cm ，母线长3cm ，则该圆锥的侧面积为______2cm （结果保留π）．【答案】6π【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式πS rl =侧，把相应数值代入即可求解．【详解】解：2236cm S rl πππ==⨯⨯=侧．故答案为：6π．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．15.如图，点A 在反比例函数()0k y k x =≠图像的一支上，点B 在反比例函数2k y x=-图像的一支上，点C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 是面积为9的正方形，则实数k 的值为______．【答案】6-【解析】【分析】如图：由题意可得,22ODAE OCBE k k S k k S ==-==-，再根据9ODAE OCBE S S +=进行计算即可解答．【详解】解：如图：∵点A 在反比例函数()0k y k x =≠图像的一支上，点B 在反比例函数2k y x=-图像的一支上，∴,22ODAE OCBE k k S k k S ==-==-∵四边形ABCD 是面积为9的正方形，∴9ODAE OCBE S S +=，即92k k --=，解得：6k =-．故答案为6-．【点睛】本题主要考查了反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为k 的绝对值．16.矩形纸片ABCD 中，3AB =，5BC =，点M 在AD 边所在的直线上，且1DM =，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点M 重合，折痕与AD ，BC 分别交于点E ，F ，则线段EF 的长度为______．【答案】154【解析】【分析】分点M 在D 点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵折叠，∴,OM OB EF BM =⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC∥∴,M OBF MEO BFO ∠=∠∠=∠，又OM OB=∴OEM OFB≌∴OF OB =，当M 点在D 点的右侧时，如图所示，设,BM EF 交于点O ，∵3AB =，5BC =，1DM =，∴Rt ABM 中，22223635BM AM AB =+=+=，则13522OM BM ==，∵tan EO AB M OM AM ==3162==，∴12EO OM=∴3252EF OE OM ===，当M 点在D 点的左侧时，如图所示，设,BM EF 交于点O ，∵3AB =，5BC =，1DM =，∴Rt ABM 中，2222345BM AM AB =+=+=则1522OM BM ==，∵tan EO AB EMO OM AM ∠==34=，∴34EO OM =∴315224EF OE OM ===，综上所述，EF 的长为：154，故答案为：154．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键．17.如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，4OA OB ==，连接AB ，过点O 作1OA AB ⊥于点1A ，过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B ；过点1B 作12B A AB ⊥于点2A ，过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B ；过点2B 作23B A AB ⊥于点3A ，过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B ；…；按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为______．【答案】20212021114,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，结合图形依次求出123,,A A A 的坐标，再根据其规律写出2023A 的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，4OA OB ==，OAB ∴ 是等腰直角三角形，45OBA ∠=︒，1OA AB ⊥ ，1OA B ∴ 是等腰直角三角形，同理可得：1111,OA B A B B V V 均为等腰直角三角形，1(2,2)A ∴，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标，找出其坐标的规律．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18.（11014sin 30(4)12π-⎛⎫-︒++- ⎪⎝⎭；（2）分解因式：3221218a a a -+．【答案】（1；（2）()223a a -．【解析】【分析】（1）先化简各数，然后再进行计算即可；（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】（1）解：原式114212=--⨯++=（2）解：原式()2269a a a =-+()223a a =-．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，实数的运算，特殊角的三角函数值，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．19.解方程：2320x x -+=．【答案】11x =，22x =【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：2320x x -+=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=∴11x =，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．20.为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t （单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A 组“045t <≤”；B 组“4560t <≤”；C 组“6075t <≤”；D 组“7590t <≤”；E 组“90t >”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A 组对应的圆心角的度数是______︒，本次调查数据的中位数落在______组内；（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？【答案】（1）50，图见解析（2）36，C（3）1920人【解析】【分析】（1）用条形统计图中C 组人数除以扇形统计图中C 组占比，计算求解可得样本容量，总人数与其他各组人数的差即为B 组人数，然后补全统计图即可；（2）根据536050︒⨯计算求解A 组的圆心角，然后根据中位数的定义求解判断即可；（3）2000乘以该校随机抽取部分学生完成书面作业不超过90分钟的学生人数的占比，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，样本容量为135026=％，B 组人数为5051320210----=（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】解：由题意知，在扇形统计图中，A 组的圆心角为53603650︒⨯=︒，∵样本容量为50，∴将数据排序后，第25个和第26个数据的平均数为中位数，∵51015+=，5101328++=，∴本次调查数据的中位数落在C 组内，故答案为：36︒，C ；【小问3详解】51013202000192050+++⨯=（人）,答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．21.如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是斜边AC 上一点，以AE 为直径的O 经过点D ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若5BD =，tan ADB ∠=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解析（2）509p 【解析】【分析】（1）连接OD ，OAD ODA ∠=∠，由角平分线的定义可得OAD BAD ∠=∠，从而可得ODA BAD ∠=∠，再根据平行线的判定可得OD AB ∥，从而可得90ODC B ∠=∠=︒，再根据切线的判定即可得出结论；（2）连接OF ，DE ，由90B Ð=°，tan ADB ∠=，可得60ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，再由直角三角形的性质可得210AD BD ==，再由圆周角定理可得90ADE ∠=︒，根据角平分线的定义可得30DAE BAD ∠=∠=︒，利用锐角三角函数求得2033AE =，再由直角三角形的性质可得123OA AE ==，证明AOF 是等边三角形，可得60AOF ∠=︒，从而证明ODF △是等边三角形，可得OF 垂直平分AD ，再由12BD AD =，可得ADF AOF S S =△△，从而可得OAF S S =阴影扇形，再利用扇形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：连接OD ，∵OA ，OD 是O 的半径，∴OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴OAD BAD ∠=∠，∴ODA BAD ∠=∠，∴OD AB ∥，∴90ODC B ∠=∠=︒，∴OD BC ⊥于点D ，又∵OD 为O 的半径，∴BC 是O 的切线．【小问2详解】解：连接OF ，DE ，∵在Rt ABD 中，90B Ð=°，tan ADB ∠=，∴60ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，∵5BD =，∴210AD BD ==，∵AE 是O 的直径，∴90ADE ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30DAE BAD ∠=∠=︒，在Rt ADE 中，10AD =，∴203=cos303AD AE =︒，∴110323OA AE ==，∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC BAD ∠=∠=︒，∵OA OF =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒，∵OD AB ∥，∴60DOF ∠=︒，∴ODF △是等边三角形，∴OF AD ⊥，又∵OA OD =，∴OF 垂直平分AD ，∵90B Ð=°，30BAD ∠=︒，∴12BD AD =，∴ADF AOF S S =△△，∴210360350=3609OAFS S ππ⎛⨯⎪= ⎝⎭=阴影扇形．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．22.一辆巡逻车从A 地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B 地，25小时后，一辆货车从A 地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B 地，货车到达B 地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A 地．巡逻车、货车离A 地的距离y （千米）与货车出发时间x （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A ，B 两地之间的距离是______千米，=a ______；（2）求线段FG 所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【答案】（1）60，1（2）60120y x =-+（3）511小时或1917小时或2517小时【解析】【分析】（1）根据货车从A 地到B 地花了34小时结合路程=速度⨯时间即可求出A 、B 两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a 的值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）分两车从A 前往B 途中相遇前后和货车从B 往A 途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．【小问1详解】解：380604⨯=千米，∴A ，B 两地之间的距离是60千米，∵货车到达B 地填装货物耗时15分钟，∴3151460a =+=，故答案为：60，1【小问2详解】解：设线段FG 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠将()1,60F ，()2,0G 代入y kx b =+，得6020k b k b +=⎧⎨+=⎩解得60120k b =-⎧⎨=⎩，∴线段FG 所在直线的函数解析式为60120y x =-+【小问3详解】解：设货车出发x 小时两车相距15千米，由题意得，巡逻车的速度为2602255⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭千米/小时当两车都在前往B 地的途中且未相遇时两车相距15千米，则22515805x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得111x =-（所去）；当两车都在前往B 地的途中且相遇后两车相距15千米，则22515805x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得511x =；∵2251356015455⎛⎫⨯+=<-= ⎪⎝⎭，∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B 地前往A 地途中且两车未相遇时相距15千米，则()2602515160521x x ⎛⎫+++-= ⎪-⎝⎭，解得1917x =；当货车从B 地前往A 地途中且两车相遇后相距15千米，则()22560120155x x ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，解得2517x =；综上所述，当货车出发511小时或1917小时或2517小时时，两车相距15千米．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．23.综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在ABC 和AEF △中，AB AC =，AE AF =，30BAC EAF ∠=∠=︒，连接BE ，CF ，延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______，BDC ∠=______︒；（2）类比探究：如图2，在ABC 和AEF △中，AB AC =，AE AF =，120BAC EAF ∠=∠=︒，连接BE ，CF ，延长BE ，FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，ABC 和AEF △均为等腰直角三角形，90BAC EAF ∠=∠=︒，连接BE ，CF ，且点B ，E ，F 在一条直线上，过点A 作AM BF ⊥，垂足为点M ．则BF ，CF ，AM 之间的数量关系：______；（4）实践应用：正方形ABCD 中，2AB =，若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒，1PD =，则ABP S =△______．【答案】（1）BE CF =，30（2）BE CF =，60BDC ∠=︒，证明见解析（3）2BF CF AM=+（4）774或774【解析】【分析】（1）根据已知得出BAE CAF ∠=∠，即可证明BAE CAF ≌，得出BE CF =，ABE ACF ∠=∠，进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明()SAS BAE CAF △≌△，根据等腰直角三角形的性质得出12AM EF EM MF ===，即可得出结论；（4）根据题意画出图形，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ，延长BP 至M ，使得1PMDP ==，证明ADP BDM ∽，得出22PA BM =，勾股定理求得PB ，进而求得BM ，根据相似三角形的性质即可得出(2214122PA +=+=，勾股定理求得,BQ PQ ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】解：∵30BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAE CAF ∠=∠，又∵AB AC =，AE AF =，∴BAE CAF ≌，∴BE CF =，ABE ACF ∠=∠设,AC BD 交于点O ，∵AOD ACF BDC ABE BAO ∠=∠+∠=∠+∠∴30BDC BAO BAC ∠=∠=∠=︒，故答案为：BE CF =，30．结论：BE CF =，60BDC ∠=︒；证明：∵120BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAC EAC EAF EAC ∠-∠=∠-∠，即BAE CAF ∠=∠，又∵AB AC =，AE AF =，∴BAE CAF ≌∴BE CF =，AEB AFCÐ=Ð∵120EAF ∠=︒，AE AF =，∴30AEF AFE ∠=∠=︒，∴()303060BDC BEF EFD AEB AFC ∠=∠-∠=∠+︒-∠-︒=︒，【小问3详解】2BF CF AM =+，理由如下，∵90BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAC EAC EAF EAC ∠-∠=∠-∠，即BAE CAF ∠=∠，又∵ABC 和AEF △均为等腰直角三角形∴,AB AC AE AF ==，∴()SAS BAE CAF △≌△，∴BE CF =，在Rt AEF 中，AM BF ⊥，∴12AM EF EM MF ===，∴2BF BE EF CF AM =+=+；解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ，延长BP 至M ，使得1PMDP ==，则MDP 是等腰直角三角形，45MDP ∠=︒∵45CDB ∠=︒,∴90MDB MDP PDC CDB PDC ∠=∠+∠+∠=︒+∠ADP =∠，∵22AD DP DB DM ==，∴ADP BDM∽∴1222PA BM ==，∴22PA BM =，∵2AB =，在Rt DPB 中，PB ==，∴1BM BP PM =+=∴(2214122PA +=+=过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，设QB x =，则2AQ x =-，在Rt APQ △中，222PQ AP AQ =-，在Rt PBQ △中，222PQ PB BQ =-∴2222AP AQ PB BQ -=-∴()222221422x x⎛+--=- ⎝⎭解得：74x =，则74BQ =，设,PQ BD 交于点G ，则BQG 是等腰直角三角形，∴74QG QB -==在1Rt ,Rt DPB DPB 中，1DP DP DB DB=⎧⎨=⎩∴1Rt Rt DPB DPB ≌∴1PDB PDB ∠=∠又11PD PD ==，DG DG =∴1PGD PDG ≌∴145PGD PGD ∠=∠=︒∴190PGP ∠=︒，∴1PG AB ∥∴111777722244ABP S AB QG -=⨯=⨯⨯=，在Rt PQB △中，74PQ +==∴11777722244ABP S AB PQ ++=⨯=⨯⨯=，综上所述，ABP S =△774或774故答案为：774+或774-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．24.综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．（1）求点M 的坐标及抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；（3）点D 是线段BC (包含点B ，C )上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM 于点N ，若以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似，请直接写出点Q 的坐标；（4）将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，在抛物线平移过程中，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，MA MC ''+的最小值为______．【答案】（1）()0,2M -，2722y x x =-++（2）()2,5P （3）11,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,52Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）1181,1216⎛⎫-⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M -，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =-++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =-+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =-+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=-+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）由90COM ∠=︒可知，要使点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似，则以点Q ，N ，C 为顶点的三角形也是直角三角形，从而分90CQN ∠=︒和90QCN ∠=︒两种情况讨论，①当90CQN ∠=︒，可推导B 与点Q 重合，CQN COM △∽△，即此时符合题意，利用求抛物线与x 轴交点的方法可求出点Q 的坐标；②当90QCN ∠=︒时，可推导QCN COM △∽△，即此时符合题意，再证明QDC COM △∽△，从而得到2QD DC =，再设点Q 的横坐标为q ，则27,22Q q q q ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，(),0D q ，从而得到()272232q q q -++=-，解得q 的值，从而得到点Q 的坐标，最后综合①②即可；（4）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y -对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y -于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【小问1详解】解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M -将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =-++，得21640c b c =⎧⎨-++=⎩解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =-++【小问2详解】解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =-+设点P 的横坐标为()04p p <<则27,22P p p p ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=-++--+=-+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=-+=△，解得122p p ==，∴()2,5P 【小问3详解】13,52Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：∵在COM V 中，90COM ∠=︒，以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM V 相似，∴以点Q ，N ，C 为顶点的三角形也是直角三角形，又∵QD x ⊥轴，直线QD 交直线CM 于点N ，∴90CNQ ∠≠︒，即点N 不与点O 是对应点．故分为90CQN ∠=︒和90QCN ∠=︒两种情况讨论：①当90CQN ∠=︒时，由于QN x ⊥轴，∴CQ y ⊥轴，即CQ 在x 轴上，又∵点Q 在抛物线上，∴此时点B 与点Q 重合，作出图形如下：此时90CQN COM ∠=∠=︒，又∵QCN OCM∠=∠∴CQN COM △∽△，即此时符合题意，令27202y x x =-++=，解得：121,32x x =-=(舍去)∴点Q 的坐标，也即点B 的坐标是11,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当90QCN ∠=︒时，作图如下：∵QD x ⊥轴，90COM ∠=︒∴QD OM ∥，∴CNQ OMC ∠=∠，∵CNQ OMC ∠=∠，90QCN COM ∠=∠=︒，∴QCN COM △∽△，即此时符合题意，∵QCN COM △∽△，∴CQN OCM ∠=∠，即DQC OCM∠=∠∵DQC OCM ∠=∠，QDC COM ∠=∠，∴QDC COM△∽△∴422QD CODC OM ===，2QD DC=设点Q 的横坐标为q ，则27,22Q q q q ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，(),0D q ，∴2722QD q q =-++，3CD q=-∴()272232q q q -++=-，解得：123,32q q ==(舍去)，∴27252q q -++=，∴点Q 的坐标是23,52Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：点Q 的坐标是11,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,52Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问4详解】1181,1216⎛⎫- ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y -于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点C ''，()4,0C ∴()4,4C ''-，∴()()()()22min min 4042213MA MC M A M C AC ''''''+=+==-+--=，设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：111244b k b =⎧⎨+=-⎩解得：11322k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =-+令3222y x=-+=-，解得：83x=，∴8,23M⎛⎫'-⎪⎝⎭，∴平移的距离是83 m=又∵22778122416 y x x x⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭，∴平移前的抛物线的坐标是781 416 ,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫-⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案是：1181, 1216⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．。

黑龙江省齐齐哈尔市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）1．（2023•齐齐哈尔）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为 ．2．（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 ．二．科学记数法—表示较小的数（共1小题）3．（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．三．分式方程的解（共2小题）4．（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是 ．5．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是 ．四．规律型：点的坐标（共3小题）6．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB ＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 ．7．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l 交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是 ．8．（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点P n（n为正整数）的坐标是 ．五．函数自变量的取值范围（共1小题）9．（2023•齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 ．六．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）10．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 ．11．（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB 的面积为6，则k1+k2＝ ．12．（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝ ．七．全等三角形的判定（共1小题）13．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）八．勾股定理（共1小题）14．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．九．菱形的判定（共2小题）15．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件： ，使四边形ABCD成为菱形．16．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）一十．圆锥的计算（共3小题）17．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）18．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 °．19．（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 cm．一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）20．（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 ．一十二．解直角三角形（共1小题）21．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC ＝ ．黑龙江省齐齐哈尔市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）1．（2023•齐齐哈尔）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为　3.08×108　．【答案】3.08×108．【解答】解：308000000＝3.08×108，故答案为：3.08×108．2．（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为　1.076×107　．【答案】1.076×107．【解答】解：10760000＝1.076×107．故答案为：1.076×107．二．科学记数法—表示较小的数（共1小题）3．（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为　7×10﹣7　．【答案】见试题解答内容【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．故答案为：7×10﹣7．三．分式方程的解（共2小题）4．（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是　m＜﹣2且m≠﹣3　．【答案】m＜﹣2且m≠﹣3．【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1），去括号，移项，合并同类项，得：x＝﹣m﹣2．∵关于x的分式方程+2的解为正数，∴﹣m﹣2＞0．又∵x﹣1≠0，∴x≠1．∴﹣m﹣2≠1．∴，解得：m＜﹣2且m≠﹣3．故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．5．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．【答案】m＞0且m≠1．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，解方程，得x＝m+1，检验：当m+1≠2，m+1≠﹣2，即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，根据题意可得，m+1＞1，∴m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．四．规律型：点的坐标（共3小题）6．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB ＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为　（4﹣，）　．【答案】（4﹣，）．【解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，∵OA1⊥AB，∴△OA1B是等腰直角三角形，同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，∴A1（2，2），根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），由此可推出：点A2023的坐标为（4﹣，），故答案为：（4﹣，）．7．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l 交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是　（）2022　．【答案】（）2022．【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵BC1⊥l，∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，∴BC1＝＝2，∵B1C1⊥x轴，∴∠B1C1B＝30°，∴B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此规律，可得B n∁n＝（）n，当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，故答案为：（）2022．8．（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点P n（n为正整数）的坐标是　（0，n2+n）　．【答案】（0，n2+n）．【解答】解：∵点A1（1，1），∴OA1＝，∠A1OP1＝45°，∵A1B1⊥OA1，∴△A1OP1是等腰直角三角形，∴∠A1P1O＝∠B1P1P2＝45°，OP1＝2，∴P1（0，2），∵B1A2⊥A1B1，∴△B1P1P2是等腰直角三角形，设P1P2＝2a，则：点B1（﹣a，2+a），把点B1（﹣a，2+a）代入y＝x2得：a2＝2+a，解得：a＝2或a＝﹣1（舍），∴P1P2＝4，∴P2（0，6），同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，设P3P2＝2b，则：点A2（b，b+6），把点A2（b，b+6）代入y＝x2得：b2＝b+6，解得：b＝3或b＝﹣2（舍），∴P3P2＝6，∴P3（0，12），由P1（0，2），P2（0，6），P3（0，12）可推：点P n（0，n2+n）．故答案为：（0，n2+n）．五．函数自变量的取值范围（共1小题）9．（2023•齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是　x＞1且x≠2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：已知函数为y＝+，则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，解得：x＞1且x≠2，故答案为：x＞1且x≠2．六．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）10．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为　﹣6　．【答案】﹣6【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，∴AD＝BC＝AB＝3，∴A（，3），B（，3），∴AB＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．11．（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB 的面积为6，则k1+k2＝　﹣20　．【答案】﹣20．【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝6，S△BOC＝BC•OC，AB＝3BC，∴S△BOC＝2，∴S△AOC＝2+6＝8，又∵|k1|＝8，|k2|＝2，k1＜0，k2＜0，∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，故答案为：﹣20．12．（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝　﹣4　．【答案】﹣4．【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，∵S△ADO＝，△ABC的面积为4，∴|k|＝4，根据图象可知，k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．七．全等三角形的判定（共1小题）13．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是　∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE　．（只需写出一个条件即可）【答案】∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．八．勾股定理（共1小题）14．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为　或　．【答案】或．【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，当4是直角边时，斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得：h＝，当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，则×3×＝×4×h，解得：h＝，综上所述：直角三角形斜边上的高为或，故答案为：或．九．菱形的判定（共2小题）15．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等）　，使四边形ABCD 成为菱形．【答案】AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．【解答】解：当添加“AD∥BC”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“AB＝CD”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．16．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是　AB＝CD（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可）【答案】AB＝CD（答案不唯一）．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．一十．圆锥的计算（共3小题）17．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为　6 π　cm2．（结果保留π）【答案】6π．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π（cm2）故答案为：6π．18．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为　216　°．【答案】216．【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：＝3（cm），设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则2π×3＝，∴n＝216，∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，故答案为：216．19．（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为　9　cm．【答案】9．【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，设圆锥的母线长为Rcm，∴＝12π，解得R＝9．故答案为：9．一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）20．（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为　或　．【答案】或．【解答】解：设BM，EF交于点O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，∴OM＝OB，EF⊥BM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，又OM＝OB，∴△OEM≌△OFB（AAS），∴OE＝OF，①当M点在D点的右侧时，如图所示，∵BC＝5，DM＝1，∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，Rt△ABM中，BM＝＝＝3，∴OM＝BM＝，∵tan M＝＝，∴＝，∴EO＝，∴EF＝2EO＝；当M点在D点的左侧时，如图所示，∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，∴BM＝＝＝5，∴OM＝BM＝，∵tan∠EMO＝＝，∴＝，∴EO＝，∴EF＝2EO＝，综上所述，EF的长为或．故答案为：或．一十二．解直角三角形（共1小题）21．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．【答案】3+3或3﹣3．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．。

2021年中考数学真题汇编二元一次方程组一、选择题1. (2021·湖南省郴州市·)已知二元一次方程组{2x −y =5x −2y =1，则x -y 的值为（ ）A. 2B. 6C. −2D. −62. (2021·江苏省南通市·)《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x 尺，绳长y 尺，可列方程组为（ ） A. {x =y +4.512x =y +1B. {y =x +4.512y =x +1C. {x =y +4.512x =y −1D. {y =x +4.512y =x −13. (2021·贵州省毕节市·)《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的23，则乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x ，乙带了钱y ，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A. {x +12y =5023x +y =50B. {12x +y =50x +23y =50C. {x +12y =50x +23y =50D. {12x +y =5023x +y =504. (2021·广西壮族自治区南宁市·)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x 辆车，人数为y ，根据题意可列方程组为（ ）A. {y =3x −2y =2x +9B. {y =3(x −2)y =2x +9C. {y =3x −2y =2x −9D. {y =3(x −2)y =2x −95. (2021·湖北省荆门市·)我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A. {y =x +4.512y =x −1B. {y =x −4.512y =x +1C. {y =x +4.52y =x −1D. {y =x −4.52y =x +16. (2021·江苏省无锡市·)方程组{x +y =5x −y =3的解是（ ）A. {x =2y =3B. {x =3y =2C. {x =4y =1D. {x =1y =47. (2021·湖南省益阳市·)解方程组{2x +y =3①2x −3y =4②时，若将①-②可得（ ）A. −2y =−1B. −2y =1C. 4y =1D. 4y =−18. (2021·湖南省永州市·)中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x 人参与组团，物价为y 元，则以下列出的方程组正确的是（ ）A. {9x −y =4y −6x =5B. {9x −y =46x −y =5C. {y −9x =4y −6x =5D. {y −9x =46x −y =59. (2021·黑龙江省·)为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种10. (2021·台湾省·)若二元一次联立方程式{x =4y 6y −x =10的解为x =a ，y =b ，则a +b 之值为何？（ ）A. −15B. −3C. 5D. 2511. (2021·黑龙江省齐齐哈尔市·)周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种12. (2021·青海省·)已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b -13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）A. 8B. 6或8C. 7D. 7或813. (2021·湖北省宜昌市·)我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为x 人，物价为y 钱，下列方程组正确的是（ ）A. {y =8x −3y =7x +4B. {y =8x +3y =7x +4C. {y =8x −3y =7x −4D. {y =8x +3y =7x −414. (2021·全国·)某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.八年级一班在16场比赛中得26分.设该班胜x 场，负y 场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A. {x +y =26x +2y =16B. {x +y =262x +y =16C. {x +y =16x +2y =26D. {x +y =162x +y =2615. (2021·四川省成都市·)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50.问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ） A. {x +12y =50y +23x =50B. {x −12y =50y −23x =50C. {2x +y =50x +23y =50D. {2x −y =50x −23y =5016. (2021·江苏省苏州市·)某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程组是（ ）A. {x =13(x +y)−11y =12(x +y)+2 B. {x =13(x +y)+11y =12(x +y)−2 C. {x =12(x +y)−11y =13(x +y)+2D. {x =12(x +y)+11y =13(x +y)−217. (2021·天津市·)方程组{x +y =23x +y =4的解是（ ）A. {x =0y =2B. {x =1y =1C. {x =2y =−2D. {x =3y =−318. (2021·浙江省宁波市·)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（ ）A. {x +y =510x +3y =30 B. {x +y =53x +10y =30 C. {x +y =30x 10+y 3=5D. {x +y =30x 3+y 10=5二、填空题19. (2021·贵州省遵义市·)已知x ，y 满足的方程组是{x +2y =22x +3y =7，则x +y 的值为______ .20. (2021·四川省遂宁市·)已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =5ax +4y =2a +3满足x -y ＞0，则a 的取值范围是______ .21. (2021·山东省枣庄市·)已知x ，y 满足方程组{4x +3y =−12x +y =3，则x +y 的值为______ .22. (2021·黑龙江省大庆市·)某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间.为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共______ 间.23. (2021·湖南省邵阳市·)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少？ 该问题中物品的价值是______ 钱.24. (2021·内蒙古自治区通辽市·)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则可列方程组为______ . 25. (2021·黑龙江省绥化市·)某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元.学校准备购买A ，B 两种奖品共20个，且A 种奖品的数量不小于B 种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是______ 元.26. (2021·湖北省·)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为______ 尺.（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果27. (2021·浙江省嘉兴市·)已知二元一次方程x +3y =14，请写出该方程的一组整数解______ .28. (2021·山东省泰安市·)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据题意，可列方程组为______ . 三、解答题29. (2021·广东省广州市·)解方程组{y =x −4x +y =6.30. (2021·江苏省常州市·)解方程组和不等式组： （1）{x +y =02x −y =3；（2）{3x +6>0x −2<−x .31. (2021·内蒙古自治区呼和浩特市·)计算求解： （1）计算（13）-1-（√80-√20）÷√5+√3tan30°； （2）解方程组{1.5(20x +10y)=150001.2(110x +120y)=97200.32. (2021·江苏省苏州市·)解方程组：{3x −y =−4x −2y =−3.33. (2021·江苏省扬州市·)已知方程组{2x +y =7x =y −1的解也是关于x 、y 的方程ax +y =4的一个解，求a 的值.34. (2021·四川省眉山市·)解方程组：{3x −2y +20=02x +15y −3=0．35. (2021·浙江省丽水市·)解方程组：{x =2yx −y =6.36. (2021·四川省泸州市·)某运输公司有A 、B 两种货车，3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨. （1）请问1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A 、B 两种货车将全部货物一次运完（A 、B 两种货车均满载），其中每辆A 货车一次运货花费500元，每辆B 货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少.37. (2021·江苏省连云港市·)为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元.（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用.38.(2021·四川省成都市·)为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？39.(2021·湖北省恩施土家族苗族自治州·)“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？40. (2021·广东省·)已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3，x +y =4与{x −y =2,x +by =15的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b =0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．41. (2021·辽宁省大连市·)某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.（1）求大、小两种垃圾桶的单价；（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？42.(2021·广西壮族自治区柳州市·)如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动.若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元.（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A 品牌螺蛳粉最多购买多少箱？43.(2021·山东省济宁市·)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？44.(2021·江苏省无锡市·)为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？45.(2021·湖南省益阳市·)为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60.分钟，平均速度是开通后的高铁的1330（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？参考答案1.A2.D3.A4.B5.A6.C7.D8.A9.A10.D11.B12.D13.A14.D15.A16.D17.B18.A19.520.a ＞121.-222.1823.5324.{x −y =5y −12x =525.33026.2027.{x =11y =1（答案不唯一）28.{x +12y =5023x +y =5029.解：{y =x −4①x +y =6②，将①代入②得，x +（x -4）=6，∴x =5，将x =5代入①得，y =1，30.解：（1）{x +y =0①2x −y =3②， ①+②，得：3x =3，解得x =1，将x =1代入①，得：1+y =0，解得y =-1，则方程组的解为{x =1y =−1； （2）解不等式3x +6＞0，得：x ＞-2，解不等式x -2＜-x ，得：x ＜1，则不等式组的解集为-2＜x ＜1．31.解：（1）原式=3-（√80÷5-√20÷5）+√3×√33=3-（4-2）+1=3-2+1=2；（2）原方程整理为{2x +y =1000①11x +12y =810②， ①×12-②得：13x =3900， 解得x =300，把x =300代入①得：y =400，∴方程组的解为{x =300y =400．32.解：{3x −y =−4①x −2y =−3②由①式得y =3x +4，代入②式得x -2（3x +4）=-5x -8=-3解得x =-1将x =-1代入②式得-1-2y =-3，得y =1经检验{x =−1y =1，是方程组的解33.解：方程组{2x +y =7①x =y −1②， 把②代入①得：2(y -1)+y =7，解得：y =3，代入①中，解得：x =2，把x =2，y =3代入方程ax +y =4得，2a +3=4，解得：a =12．34.解：方程组整理得：，①×15+②×2得：49x =-294， 解得：x =-6，把x =-6代入②得：y =1，则方程组的解为{x =−6y =1． 35.解：{x =2y①x −y =6②， 把①代入②得：2y -y =6，解得：y =6，把y =6代入①得：x =12，则方程组的解为{x =12y =6．36.解：（1）设1辆A 货车一次可以运货x 吨，1辆B 货车一次可以运货y 吨，根据题意得：{3x +2y =905x +4y =160， 解得：{x =20y =15， 答：1辆A 货车一次可以运货20吨，1辆B 货车一次可以运货15吨；（2）设A 货车运输m 吨，则B 货车运输（190-m ）吨，设总费用为w 元，则：w =500×m 20+400×190−m 15 =25m +80(190−m)3=25m -803m +152003 =-53m +152003， ∵-53＜0，∴w 随m 的增大而减小．∵A 、B 两种货车均满载，∴m 20，190−m 15都是整数，当m =20时，190−m 15不是整数； 当m =40时，190−m 15=10； 当m =60时，190−m 15不是整数； 当m =80时，190−m 15不是整数；当m =100时，190−m 15=6；当m =120时，190−m 15不是整数；当m =140时，190−m 15不是整数；当m =160时，190−m 15=2；当m =180时，190−m 15不是整数； 故符合题意的运输方案有三种：①A 货车2辆，B 货车10辆；②A 货车5辆，B 货车6辆；③A 货车8辆，B 货车2辆；∵w 随m 的增大而减小，∴费用越少，m 越大，故方案③费用最少．37.解：（1）设A 型消毒液的单价是x 元，B 型消毒液的单价是y 元，{2x +3y =415x +2y =53， 解得{x =7y =9， 答：A 型消毒液的单价是7元，B 型消毒液的单价是9元；（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90-a）瓶，费用为w元，依题意可得：w=7a+9（90-a）=-2a+810，∴w随a的增大而减小，∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1，3∴90-a≥1a，3，解得a≤6712∴当x=67时，w取得最小值，此时w=-2×67+810=676，90-a=23，答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．38.解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：12（x+7）+10x=920，解得：x=38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45-8=37（吨），《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B 型点位每天处理生活垃圾38-8=30（吨），根据题意可得：37（12+y）+30（10+5-y）≥920-10，，解得y≥167∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．39.解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，根据题意得：50x=10（40+x），解得：x=10，40+x=40+10=50（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）设花生销售m 千克，茶叶销售（60-m ）千克获利最大，利润w 元，由题意得：{6m +36(60−m)≤1260m ≤2(60−m)， 解得：30≤m ≤40，w =（10-6）m +（50-36）（60-m ）=4m +840-14m =-10m +840，∵-10＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60-30=30千克，w 最大=-10×30+840=540（元），∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．40.解：（1）由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2的解，解得，{x =3y =1， 代入原方程组得，a =-4√3，b =12；（2）当a =-4√3，b =12时，关于x 的方程x 2+ax +b =0就变为x 2−4√3x +12=0， 解得，x 1=x 2=2√3，又∵（2√3）2+（2√3）2=（2√6）2，∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．41.解：（1）设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元，依题意得：{2x +4y =6006x +8y =1560， 解得：{x =180y =60． 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．（2）180×8+60×24=2880（元）． 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．42.解：（1）设A 品牌螺蛳粉每箱售价为x 元，B 品牌螺蛳粉每箱售价为y 元，依题意得：{20x +30y =440010x +40y =4200， 解得：{x =100y =80． 答：A 品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B 品牌螺蛳粉每箱售价为80元．（2）设购买A 品牌螺蛳粉m 箱，则购买B 品牌螺蛳粉（100-m ）箱，依题意得：100m +80（100-m ）≤9200，解得：m ≤60．答：A 品牌螺蛳粉最多购买60箱．43.解：（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意得：900x +400x−5=100，整理得：x 2-18x +45=0，解得：x =15或x =3（舍去），经检验，x =15是原分式方程的解，符合实际，∴x -5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w =（15-a ）（100+20a ）=-20a 2+200a +1500=-20（a -5）2+2000，∵a =-20，当a =5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．44.解：（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元，依题意得：6004x +1275−6003x =25， 解得：x =15，经检验，x =15是原方程的解，且符合题意，∴4x =60，3x =45．答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，依题意得：60m +45n =1275，∴n =85−4m 3．∵m ，n 均为正整数，且4≤m ≤10，∴{m =4n =23或{m =7n =19或{m =10n =15， ∴共有3种购买方案，方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．45.解：（1）设长益段高铁全长为x 千米，长益城际铁路全长为y 千米，根据题意，得：{y =x +40y 60=x 16×1330， 解得：{x =64y =104， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．（2）设甲队后期每天施工a 千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×716=0.7（千米）， 乙每天的施工长度为64÷40×916=0.9（千米）， 根据题意，得：0.7×5+0.9×（40-3）+（40-3-5）a ≥64，解得：a ≥0.85，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．。

2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（含详细解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3.00分）下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3.00分）下列计算正确的是（）A．a2a3=a6B．（a2）2=a4C．a8÷a4=a2D．（ab）3=ab33．（3.00分）“厉害了，我的国！”2022年1月18日，国家统计局对外公布，全年国内生产总值（GDP）首次站上82万亿元的历史新台阶，把82万亿用科学记数法表示为（）A．8.2某1013B．8.2某1012C．8.2某1011D．8.2某1094．（3.00分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．30°5．（3.00分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（）A．0点时气温达到最低B．最低气温是零下4℃第1页（共34页）C．0点到14点之间气温持续上升D．最高气温是8℃6．（3.00分）我们家乡的黑土地全国特有，肥沃的土壤，绿色的水源是优质大米得天独厚的生长条件，因此黑龙江的大米在全国受到广泛欢迎，小明在平价米店记录了一周中不同包装（10kg，20kg，50kg）的大米的销售量（单位：袋）如下：10kg装100袋；20kg装220袋；50kg装80袋，如果每千克大米的进价和销售价都相同，则米店老板最应该关注的是这些数据（袋数）中的（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差7．（3.00分）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（）A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数9．（3.00分）下列成语中，表示不可能事件的是（）A．缘木求鱼C．探囊取物B．杀鸡取卵D．日月经天，江河行地10．（3.00分）抛物线C1：y1=m某2﹣4m某+2n﹣1与平行于某轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线某=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m ＞；④若抛物线C2：y2=a某2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a 的取值范围是≤a＜2；⑤不等式m某2﹣4m某+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）第2页（共34页）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3.00分）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是．（写出满足条件的一个k的值即可）12．（3.00分）系统找不到该试题13．（3.00分）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为cm．14．（3.00分）若关于某的方程+=无解，则m的值为．15．（3.00分）爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的倍．16．（3.00分）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=．17．（3.00分）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2022A2022B2022，第3页（共34页）则点B2022的纵坐标为．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10.00分）（1）计算：（）﹣2+（（2）分解因式：6（a﹣b）2+3（a﹣b）19．（5.00分）解方程：2（某﹣3）=3某（某﹣3）．20．（8.00分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．﹣）0﹣2co60°﹣|3﹣π|21．（10.00分）初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为9：8：3；请你结合统计图解答下列问题：（1）全班学生共有人；（2）补全统计图；（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多第4页（共34页）少人？（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？22．（10.00分）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）学校到景点的路程为km，大客车途中停留了min，a=；（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待分钟，大客车才能到达景点入口．第5页（共34页）。

专题3因式分解（共41题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．2．（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（2021·贵州铜仁市·中考真题）下列等式正确的是（ ）A ．3tan452-+︒=-B ．()5510x xy x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭C ．()2222a b a ab b -=++D ．()()33x y xy xy x y x y -=+- 【答案】D【分析】依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，逐项计算即可．【详解】 A. 3tan45314-+︒=+=，不符合题意B. ()55555105y y y x xy x y x ⎛⎫÷=⨯⎪= ⎝⎭，不符合题意 C. ()2222a b a ab b -=-+，不符合题意D. ()()3322()x y xy xy x y xy x y x y -=-=+-，符合题意 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义．4．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题5．（2021·四川成都市·中考真题）因式分解：24x -=__________．【答案】(x+2)(x-2)【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-6．（2021·云南中考真题）分解因式：34x x -=______．【答案】x （x +2）（x ﹣2）．【详解】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．7．（2021·山东临沂市·中考真题）分解因式：2a 3﹣8a=________．【答案】2a （a+2）（a ﹣2）【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，()()()222a 8a 2a a 4=2a a+2a 2-=--．8．（2021·广西柳州市·中考真题）因式分21x -= ．【答案】(1)(1)x x +-．【详解】原式=(1)(1)x x +-．故答案为(1)(1)x x +-．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解．9．（2021·浙江宁波市·中考真题）分解因式：23x x -=_____________．【答案】x(x -3)【详解】直接提公因式x 即可，即原式=x (x -3).10．（2021·江苏宿迁市·中考真题）分解因式：2ab a -=______．【答案】a （b +1）（b ﹣1）．【详解】解：原式=2(1)a b -=a （b +1）（b ﹣1），故答案为a （b +1）（b ﹣1）．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）分解因式：24m -=_____．【答案】(2)(2)m m +-【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】24(2)(2)m m m -=+-，故填(2)(2)m m +-【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.12．（2021·江苏盐城市·中考真题）分解因式：a 2+2a +1＝_____．【答案】（a +1）2【分析】直接利用完全平方公式分解.【详解】a 2+2a +1＝（a +1）2．故答案为()21+a .【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.13．（2021·吉林长春市·中考真题）分解因式：22a a +=_____．【答案】22(2)a a a a +=+【分析】直接提公因式法：观察原式22a a +，找到公因式a ，提出即可得出答案．【详解】 22(2)a a a a +=+．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．14．（2021·江苏连云港市·中考真题）分解因式：2961x x ++=____．【答案】（3x ＋1）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x ＋1）2，故答案为：（3x ＋1）2【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2021·江苏苏州市·中考真题）因式分解221x x -+=______．【答案】()21x -【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：221x x -+=（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．16．（2021·浙江台州市·中考真题）因式分解：xy -y 2＝_____．【答案】y (x -y )【分析】根据提取公因式法，即可分解因式．【详解】解：原式= y (x -y )，故答案是：y (x -y )．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．17．（2021·江西中考真题）因式分解：224x y -=______．【答案】(2)(2)x y x y +-【分析】直接利用平方差公式分解即可．【详解】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．故答案为：(2)(2)x y x y +-．【点睛】本题考查了分解因式－公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．18．（2021·甘肃武威市·中考真题）因式分解：242m m -=___________．【答案】()22m m -【分析】先确定242m m -的公因式为2m ，再利用提公因式分解因式即可得到答案．【详解】解：()24222.m m m m -=- 故答案为：()22m m -【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键．19．（2021·湖北黄石市·中考真题）分解因式：322a a a -+=______．【答案】()21a a -．【分析】观察所给多项式有公因式a ，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()221a a a =-+， ()21a a =-，故答案为：()21a a -．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．20．（2021·四川泸州市·）分解因式：244m -=___________．【答案】()()411m m +-．【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()224441411m m m m -=-=+-． 故答案为：()()411m m +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．21．（2021·四川乐山市·中考真题）因式分解：249a -=________．【答案】(23)(23)a a -+【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解．【详解】解：22249(2)3a a -=-＝(23)(23)a a -+．故答案为：(23)(23)a a -+．【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．22．（2021·江苏无锡市·中考真题）分解因式：328x x -=_________．【答案】2x （x +2）（x -2）【分析】先提取公因式2x ，再利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式=2x （x 2-4）=2x （x +2）（x -2）；故答案为：2x （x +2）（x -2）．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．23．（2021·广西来宾市·中考真题）分解因式：224a b -=______．【答案】()()22a b a b +-【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224a b -=()222a b -=()()22a b a b +-．故答案为()()22a b a b +-．【点睛】本题考查了因式分解．熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．（2021·浙江绍兴市·中考真题）分解因式：221x x ++= ___________ ．【答案】2(1)x +【分析】根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：221x x ++=2(1)x +故答案为：2(1)x +．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键． 25．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分解因式：2a ax -=__________．【答案】()()11a x x +-【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22111a ax a x a x x -=-=+-；故答案为()()11a x x +-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．26．（2021·山东菏泽市·中考真题）因式分解：322a a a -+-=______．【答案】2(1)a a --【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可【详解】∴322a a a -+-=-a 22)1(a a -+=2(1)a a --故答案为: 2(1)a a --．【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 27．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∴2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 28．（2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：22021x x -=______．【答案】(2021)x x -【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得． 【详解】解：22021(2021)x x x x -=-， 故答案为：(2021)x x -． 【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键． 29．（2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：264x xy -=__________． 【答案】()232x x y - 【分析】直接提出公因式2x 即可完成因式分解． 【详解】解：()264232x xy x x y -=-;故答案为：()232x x y -． 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是找到它们的公因式，提出公因式后再检查分解是否彻底即可，本题为基础题，考查了学生对基础知识的掌握与运用． 30．（2021·陕西中考真题）分解因式：3269x x x ++=______． 【答案】()23x x + 【分析】题目中每项都含有x ，提取公因式x ；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】()322269(69)3x x x x x x x x ++=+++=故答案为()23x x +． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．31．（2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解：221x x ++=______． 【答案】()21x +． 【详解】解：()22211x x x ++=+．故答案为：()21x +． 【点睛】此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 32．（2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：23xy x -=______． 【答案】()()x y x y x -+ 【分析】提公因式与平方差公式相结合解题． 【详解】解：2322()()()xy x x y x x y x y x -=-=-+， 故答案为：()()x y x y x -+． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 33．（2021·四川眉山市·中考真题）分解因式：3x y xy -=______． 【答案】()()11xy x x +- 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy ，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：()()()32111x y xy xy x xy x x -=-=+-；故答案为：()()11xy x x +-． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 34．（2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：239a ab -=__________． 【答案】()33a a b - 【分析】利用提取公因式法因式分解即可 【详解】解：()23933a ab a a b -=-故答案为: ()33a a b - 【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键 35．（2021·北京中考真题）分解因式：2255x y -=______________． 【答案】()()5x y x y +- 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：()()()22225555x y x y x y x y -=-=+-；故答案为()()5x y x y +-． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 36．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：2218m -=______． 【答案】()()233m m +- 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：2218m -=2（m 2-9） =2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 37．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b ．【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式得出即可． 【详解】 解：22ab a - =2(2)a b -=(a b b故答案为：(a b b ．【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．三、解答题38．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）先因式分解，再计算求值：328x x -，其中3x =． 【答案】()()222+-x x x ，30 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x 的值即可． 【详解】解：()()()322824222x x x x x x x -=-=+-，当3x =时，原式235130=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．39．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos4512π-⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭．（2）因式分解：3312xy xy -+．【答案】（1）6（2）3(2)(2)xy y y -+- 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式4141)2=++⨯-411=++6=+（2）解：原式23(4)xy y =--3(2)(2)xy y y =-+-【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．40．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4 【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可． 【详解】解：∴2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-，∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．41．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M 有1224，1221，5624，5616． 【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A 个位及十位上的数，同时也可以用来表示B ．然后整理出：()()()P M G M Q M =，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M ．【详解】 解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数”． 1681214=⨯，2410+≠，168∴不是“合和数”，6212327=⨯，十位数字相同，且个位数字3710+=， 621∴是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n （m ，n 为自然数，且39m ≤≤，19n ≤≤）， 则10,1010A m n B m n =+=+-．∴()10210,()()(10)210P M m n m n m Q M m n m n n =+++-=+=+-+-=-． ∴()()21054()2105P M m m G M k Q M n n ++====--（k 是整数）．39m ≤≤，8514m ∴≤+≤，k 是整数，58m ∴+=或512m +=，∴当58m +=时，5851m n +=⎧⎨-=⎩或5852m n +=⎧⎨-=⎩， 36341224M ∴=⨯=或3733=1221M =⨯．∴当512m +=时，51251m n +=⎧⎨-=⎩或51253m n +=⎧⎨-=⎩， 76745623M ∴=⨯=或78725616M =⨯=．综上，满足条件的M 有1224，1221，5624，5616． 【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．。

中考数学5年真题（2019-2023）专题汇总解析—二次根式考点1二次根式一、单选题1．（2023）A．25与30之间B．30与35之间C．35与40之间D．40与45之间【答案】D【详解】解∶∵160020232025<<．即4045<，40与45之间．故选D．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．2．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）实数9的算术平方根是（）A．3B．3±C．19D．9-【答案】A【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．3=，故选：A．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．（2023年重庆市中考数学真题（A卷）的值应在（）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间【答案】B【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．4．（2019·广东·的结果是()A ．4-B ．4C ．4±D ．2【答案】B【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可.，故选B.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.5．（2020·广西贵港·在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．1x ≥-C ．0x ≥D ．1x ≥【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围．∴x＋1≥0∴x≥﹣1故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．6．（2020·山东聊城·÷）．A．1B．53C．5D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷==1=，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）下列计算正确的是（）A．0=B．+=C=D)26=-【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A.)1=，故该选项不正确，不符合题意；B.=C.=D.)26=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．（2021·广东·统考中考真题）若0a =，则ab =（）AB ．92C ．D ．9【答案】B【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a 、b 的值，从而可求得ab 的值．【详解】∵0a ≥0≥，且0a =∴0a =0==即0a =，且320a b -=∴a =b∴92ab ==故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．9．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（）A23=+B 23=⨯CD 0.7=【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23=≠+，故错误；=⨯，故正确；23=≠≠，故错误；0.7故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．10．（2023()A．点P B．点Q C．点R D．点S【答案】B<<【详解】解：∵479<<，<<23Q，故选：B．11．（2023年河北省中考数学真题）若a b===（）A．2B．4C D【答案】A【分析】把a b【详解】解：∵a b==2==，故选：A．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．12．（2019·四川资阳·统考中考真题）设x=x的取值范围是（）A．23x<<B．34x<<C．45x<<D．无法确定【答案】B【分析】根据无理数的估计解答即可．【详解】解：∵91516<<，∴34<<，故选B．【点睛】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．13．（2021·广东·统考中考真题）设6a，小数部分为b，则(2a b+的值是（）A．6B．C．12D．【答案】A的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∴263<<，∴62a=，∴小数部分624b==∴(((22244416106a b+=⨯+-=+-=-=．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a与小数部分b的值是解题关键．二、填空题14．（2019·江苏苏州·x的取值范围为.【答案】6x≥【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.-60x≥，解出得到6x≥.【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.15．（2020·广西·=．【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．16．（2021·天津·统考中考真题）计算1)的结果等于．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．17．（2023年湖北省武汉市数学真题）写出一个小于4的正无理数是．【分析】根据无理数估算的方法求解即可．<4<．．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．18．（2023x 的取值范围是．【答案】13x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件得到130x +≥，解不等式即可得到答案．∴130x +≥，解得13x ≥-，故答案为：13x ≥-【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键．19．（2019·河南·12--=＝．【答案】112【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．12--122=-112=．故答案为11 2．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．20．（2021·安徽·统考中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，1-，它介于整数n和1n+之间，则n的值是．【答案】11即可完成求解．2.236≈；1 1.236≈；因为1.236介于整数1和2之间，所以1n=;故答案为：1．分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．21．（20231+=．【答案】3【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．1+=213+=，故答案为：3．【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．22．（2023年上海市中考数学真题）已知关于x2=，则x=【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x -≥，即14x ≥，2=，等式两边分别平方，144x -=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．23．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）若式子x有意义，则x 的取值范围是．【答案】5x ≥-且0x ≠/0x ≠且5x ≥-【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．24．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数12y x +-中，自变量x 的取值范围是．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x ->-≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x ->-≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．三、解答题25．（2019·福建·统考中考真题）先化简，再求值：(x －1)÷(x －21xx-),其中x【答案】1x x -，1+2【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．【详解】解：原式＝（x−1）÷221x x x-+()()211xx x =-⋅-1x x =-当x ＋1时，12=+【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．26．（2022·福建·统考中考真题）先化简，再求值：2111aa a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a =．【答案】11a -．【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a 的值代入化简之后的式子即可求出答案．【详解】解：原式()()111a a a a a+-+=÷()()111a a a a a +=⋅+-11a =-．当1a =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．27．（2023年安徽中考数学真题）先化简，再求值：2211x x x +++，其中1x =．【答案】1x +【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：2211x x x +++()211x x +=+1x =+，当1x =-时，∴原式11+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．28．（20232133-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】6-【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=-+6=-．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．29．（2023年吉林省长春市中考数学真题）先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中3a =．【答案】31a +1+【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当a =311==【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．30．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）计算：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭【答案】0【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．【详解】解：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭9110=+-，0=．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．31．（2019·河南·统考中考真题）先化简，再求值：22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =【答案】3x【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】解：原式212(2)22(2)x x x x x x x +--⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭322x x x-=⋅-3x=，当x ===．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．32．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）先化简，再求值：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭，其中tan 45m =︒．【答案】26--m ，原式16=-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m 的值，最后代值计算即可．【详解】解：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭()22245223m m m m m-⎛⎫-=-⋅⎪---⎝⎭()222923m m m m--=⋅--()()()332223m m m m m+--=⋅--()23m =-+26m =--，∵tan 45m =︒，∴415m =+=，∴原式25610616=-⨯-=--=-．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．33．（2023·重庆九龙坡·的值应在（）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】A【分析】根据二次根式的乘法进行计算，以及估算无理数的大小的方法解答即可．=6=∵91416<<，∴34<，∴43-<<-，∴263<<，故选：A ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．34．（2023·辽宁丹东·统考二模）在函数y =x 的取值范围是（）A ．12x -<≤B ．21x -<≤C ．12x ≤≤D ．12x <≤【答案】D【分析】根据函数有意义的条件得到2010x x -≥⎧⎨->⎩,解不等式组即可得到自变量x 的取值范围．【详解】解：由题意得2010x x -≥⎧⎨->⎩，解不等式组得12x <≤，故选：D ．【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．35．（2023·安徽蚌埠·统考三模）下列运算正确的是（）A 3=B ．()3328a a -=-C =D ．112235+=【答案】B【分析】根据二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则依次判断即可得出答案．【详解】解：A 333==B ．()3328a a -=-，故此选项符合题意；CD ．11522365+=≠，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．36．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列运算中，正确的是（）．A3=±B 2=C 2=D 8=-【答案】C【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．【详解】解答：解：A 3=，故A 不符合题意；B 2=-，故B 不符合题意；C 2=，故C 符合题意；D 8=，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．37．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）实数2的平方根为（）A ．2B ．2±C D ．【答案】D【分析】利用平方根的定义求解即可．【详解】∵2的平方根是．故选D ．【点睛】此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．38．（2023·西南大学附中校考三模）估计(3-）A ．0和1之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】A【分析】由题意知(34-，由1.4 1.5=<<=，可得4.2 4.5<<，0.240.5<<，然后判断作答即可．【详解】解：(34-⨯，∵1.4 1.5=<<=，∴4.2 4.5<<，∴0.240.5<<，∴估算(3-0和1之间，故选：A ．39．（2023·河北石家庄·校联考一模）下列计算正确的是（）A =B1=-C =D 23=【答案】C【分析】根据二次根式加法、二次根式减法、二次根式乘法、二次根式除法分别进行判断即可．【详解】解：AB 0-=，故选项错误，不符合题意；C =D 1=，故选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．40．（2023·江苏无锡·校考二模）函数y x的取值范围是（）A ．5x ≥-B ．5x ≤-C ．5x ≥D ．5x ≤【答案】C【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数x 50x 5-≥⇒≥.故选C.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.41．（2023·湖南长沙·校联考二模）4的算术平方根是（）A ．2B ．2±C ．8D ．16【答案】A【分析】如果一个数x 的平方等于(0)a a ≥，那么这个数x 叫做a 的平方根，可以表示为平方根叫做a 的算术平方根．正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．【详解】解：42=，故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．42．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）x）A ．0B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．∴40x -≥，即4x ≥，∴四个选项中只有D 选项中的5符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解题的关键．43．（2023·甘肃平凉·的结果是．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．2=．故答案为：2．()()(0000a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞）＜．44．（2021·黑龙江大庆·=【答案】4【分析】先算4(2)-，再开根即可．==4=故答案是：4．【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．45．（2023·广东茂名·校考一模）已知实数x，y |4|0y -=，则1x y -=⎛⎫⎪⎝⎭．【答案】2【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出24x y ==，，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．40y -=0≥，40y -≥，∴20x -=，40y -=，∴24x y ==，，∴11112422x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性、负整数次幂等知识点，根据非负性正确求得x 、y 的值是解答本题的关键．46．（2023·福建福州·校考二模）已知2a =2b =22a b ab -的值等于．【答案】【分析】先求出a b -=1ab =，再由()22a b ab ab a b -=-进行求解即可．【详解】解：∵2a =2b =∴22a b -=++=((22431ab =+⨯-=-=，∴22a b ab -()ab a b =-1=⨯=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到a b -=1ab =是解题的关键47．（2023·山东聊城·x 的取值范围是．【答案】12x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可得210x -≥，即可．【详解】解：由题意得：210x -≥，解得：12x ≥，故答案为：12x ≥．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．48．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）计算)11-的结果等于．【答案】22【分析】直接利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：)2211123122=-=-=，故答案为：22【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．49．（2023·陕西西安·校考模拟预测）－64的立方根是．【答案】-4【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数进行求解．【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数，可知-64的立方根为-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数．50．（2023·云南昭通·x 的取值范围是．【答案】x＞8【分析】由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到x﹣8＞0．【详解】解：由题意，得x﹣8＞0，解得x＞8．故答案是：x＞8．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到0．51．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）函数y=x的取值范围是．【答案】x>3【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件.x30x3x>3x30x3-≥≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩．52．（2023·河南洛阳·统考一模）计算：22-=．【答案】74-【分析】先计算22-，再算减法．【详解】解：原式17244=-=-．故答案为：74-．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．53．（2023·安徽蚌埠·统考三模）计算：212022--=．【答案】2023【分析】根据有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值进行计算即可求解．【详解】解：212022--=122022-++2023=，故答案为：2023．【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值，正确的计算是解题的关键．54．（2022·新疆·x的取值范围是．【答案】x≥3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x—3≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）计算=．【答案】【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减法则求解即可．【详解】解：=-2=-=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用二次根式的的性质化简是解题的关键．x的取值范围是．56．（2023·云南昆明·一模）要使式子3有意义，x≥【答案】5【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．x-≥，【详解】解：依题意有：50x≥．解得5x≥．故答案为：5【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．57．（云南省丽江市华坪县2020-2021=．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．==．6故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．58．（2023·山西·模拟预测）计算：=．【答案】【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：3=⨯=+=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简，正确计算是解题的关键．59．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如果2y=+，那么yx的值是．【答案】225【分析】根据二次根式有意义的条件，求出,x y的值，进而求出y x的值即可．【详解】解：∵2y=，∴150,150x x -≥-≥，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．60．（江西省崇仁县第二中学2016-2017学年八年级上学期第二次月考数学试题）计算:=【答案】61．（2015年初中毕业升学考试（山东滨州卷）数学（带解析））计算的结果为．【答案】﹣1【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=-23=-1=-62．（2023·黑龙江哈尔滨·=．【答案】3【分析】根据二次根式的化简方法和运算法则进行计算．【详解】解：原式33==【点睛】本题考查二次根式的计算，在化简二次根式的基础上再把同类二次根式合并．63．（福建省永春县第一中学2017【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．64．（2023·广东茂名·校考一模）先化简，再求值：2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭其中1x +．【答案】11x -；2【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x 的值代入计算．【详解】解：212(1)211x x x x +÷+-+-211(1)1x x x x ++=÷--211(1)1x x x x +-=⋅-+11x =-，当1x =+时，原式=2=．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．65．（2023·四川泸州·011+()3-23－【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．011+()3-23－=(1+32-=1+32-+【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则．66．（2023·安徽六安·1+【分析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．1+=+-413=【点睛】本题考查是算术平方根的含义，化简绝对值，求解立方根，实数的混合运算，掌握“算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键．67．（2022·新疆·统考中考真题）计算：20-+(2)|(3【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．【详解】解：原式451=++=【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是=．解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1a。

二〇二二年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分) 1. 2022-的倒数是（ ）A. 2022B. 2022-C. 12022D. 12022- 【答案】D【解析】【分析】根据倒数定义解答．【详解】解：-2022的倒数是12022-， 故选：D ．【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】A ：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；B ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；D ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，绕对称中心旋转180°后能与原图形重合是中心对称图形，熟知其概念是解题的关键．3. 下列计算正确的是（ ）A. 2ab ab b ÷=B. 222()a b a b -=-C. 448235m m m +=D. 33(2)6-=-a a 【答案】A【解析】【分析】根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，有理数的乘方的运算法则进行计算求解即可．【详解】解：A 中2ab ab b ÷=，正确，故符合题意；B 中()222222-=-+≠-a b a ab b a b ，错误，故不符合题意；C 中44482355m m m m +=≠，错误，故不符合题意；D 中()333286a a a -=-≠-，错误，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项以及有理数的乘方．解题的关键在于熟练掌握运算法则并正确的计算．4. 数据1，2，3，4，5，x 存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】 【分析】由题意知，该组数据的平均数为123451566x x ++++++=，且3x +是6的倍数，然后根据题意求解即可． 【详解】解：由题意知，该组数据的平均数为123451532666x x x +++++++==+， ∴3x +是6的倍数，且x 是1-5中的一个数，解得3x =，则平均数是3．故选B ．【点睛】本题考查了平均数与众数．解题的关键在于熟练掌握众数与平均数的定义与求解．5. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】C【解析】【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数．【详解】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=6．故选：C．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．6. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是（）A.110B.15C.310D.25【答案】C【解析】【分析】由题意知，任意选择一个字母有10种等可能的结果，字母为“s”有3种等可能的结果，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意知，概率为3 10，故选C．【点睛】本题考查了简单的概率计算．解题的关键在于明确字母“s”的可能的结果与任意选择一个字母的所有可能的结果．7. 如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（）A. 57°B. 63°C. 67°D. 73°【答案】D【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC ∠=︒，可得出+173ABC ∠∠=︒，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：∵AC =BC ，∴ABC ∆是等腰三角形，∵=120C ∠︒ ∴11(180)(180120)3022ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴1304373ABC ∠+∠=︒+︒=︒∵a ∥b ，∴2173ABC ∠=∠+∠=︒故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC ∠+∠=︒是解答本题的关键．8. 如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →B →C →D →E 路线匀速运动，△AFP 的面积y 随点Р运动的时间x （秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）A. AF =5B. AB =4C. DE =3D. EF =8【答案】B【解析】 【分析】路线为A →B →C →D →E ，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．【详解】解：坐标系中(4,12)对应点运动到B 点144AB v t =⋅=⨯=B 选项正确12ABF S AB AF =⋅△ 即：11242AF =⨯⋅ 解得：6AF =A 选项错误12~16s 对应的DE 段1(1612)4DE v t =⋅=⨯-=C 选项错误6~12s 对应的CD 段1(126)6CD v t =⋅=⨯-=4610EF AB CD =+=+=D 选项错误故选：B ． 【点睛】本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键．9. 端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A 、B 两种食品盒中，A 种食品盒每盒装8个粽子，B 种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A 、B 两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】C【解析】【分析】设使用A 食品盒x 个，使用B 食品盒y 个，根据题意列出方程，求解即可．【详解】设使用A 食品盒x 个，使用B 食品盒y 个，根据题意得，8x +10y =200，∵x 、y 都为正整数， ∴解得204x y =⎧⎨=⎩，158x y =⎧⎨=⎩，1012x y =⎧⎨=⎩，516x y =⎧⎨=⎩， ∴一共有4种分装方式；故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程． 10. 如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为1x =-，∴1,2b x a=-=- ∴2,b a =故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x =-，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x =-1时，4-+=a b c∴24a a c -+=∴4c a =+，∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间， ∴1<c <2∴1<4+a <2∴32a -<<-，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴24<0ac b -，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24ax bx c m ++=-有两个不相等的实数根， ∴044m <-<∴48m <<，故④错误；由图象可得，当x >-1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分．满分21分）11. 据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000 人，总量和增量均为近年之最．将10760000用科学记数法表示为______________．【答案】1.076×107【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为()10110n a a ⨯<≤，要表示的数为正整数，将小数点放在第一个数的后面，n 等于第一个数后面的数的个数．【详解】解：10760000=71.07610⨯，故答案为：71.07610⨯【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的表示形式，确定a 和n 的值是关键．12. 如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）【答案】AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等（只需写出一个条件即可）【解析】【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．【详解】解：可以添加的条件是：AB ＝CD ，理由如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加条件是：AD BC ∥，利用如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OA =OC ，利用如下：∵AB CD ，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OB =OD ，利用如下：∵AB CD ，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．故答案为：AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等．（只需写出一个条件即可）【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．13. 已知圆锥的母线长为5,cm 高为4,cm 则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________．【答案】216【解析】【分析】先根据勾股定理算出圆锥底面圆的半径，然后算出弧长，再根据弧长公式反推出圆心角．【详解】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径3r ==， 则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长26C r ππ==， 再根据弧长公式180n R l π=︒，得到56180n ππ=︒，算出216n =︒． 故答案是：216︒．【点睛】本题考查扇形和圆锥有关的计算，解题的关键是要熟悉扇形和圆锥之间的关系以及有关的计算公式．14. 若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是______________．【答案】m >0且m ≠1【解析】【分析】先解分式方程得到解为1x m =+，根据解大于1得到关于m 的不等式再求出m 的取值范围，然后再验算分母不为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以()()22x x +-得到：22(2)2x x x m ++-=+， 整理得到：1x m =+，∵分式方程的解大于1，∴11m +>，解得：0m >，又分式方程的分母不为0，∴12m +¹且12m +¹-，解得：1m ≠且3m ≠-，∴m 的取值范围是m >0且m ≠1．【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．15. 如图，点A 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且△ABC 的面积为4，则k =______________．【答案】4-【解析】 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用()1242=⨯-⨯=ABC k S a a △即可求出k 的值． 详解】解：设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵点D 为线段AB 的中点．AB ⊥y 轴∴22AB AD a ==-， 又∵()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△， ∴4k =-．故答案为：4-【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k 的值，解题的关键是找出()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△． 16. 在△ABC中，AB =，6AC =，45B ∠= ，则BC =______________．【答案】3+或3-【解析】【分析】画出图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示：【过A 点作AH ⊥BC 于H ， ∵∠B =45°，∴△ABH 为等腰直角三角形，∴AH BH ==,在Rt △ACH 中，由勾股定理可知：3CH =，∴3BC BH CH =+=．情况二：当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：AH BH ===3CH =，∴3BC BH CH =-=-．故答案为：3+或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17. 如图，直线:l y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，过点B 作1BC l ⊥交x 轴于点1C ，过点1C 作11B C x ⊥轴交l 于点1B ，过点1B 作12B C l ⊥交x 轴于点2C ，过点2C 作22B C x ⊥轴交l 于点2B …，按照如此规律操作下去，则点2022B 的纵坐标是______________．【答案】202243⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如AOB ，1BAC ，1BOC △，11BC B △求出B 点，B 1点的纵坐标，发现规律，即可【详解】∵:l y x =+当0y =时，3x =-当0x =时，y =故(3,0)A -，B ∴AOB 为30°的直角三角形 ∴30BAO ∠=︒ ∵1BC l ⊥∴1BAC 为30°的直角三角形 ∴160OC B ∠=︒∴1BOC △为30°的直角三角形1BC =∵11B C x ⊥轴 ∴11B C BO ∥ ∴111B C B C BO ∠=∠11BC B △为30°的直角三角形211143B C OB OB === 同理：2222121143B C C B C OB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭33343B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭…43nn n B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭故：20222022202220224433B C OB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：202243⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点2022B 的纵坐标，即20222022B C 长度三、解答题（本题共7道大题，共69分）18. （1）计算: 211)|2|tan 603-⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭（2）因式分解：3269x y x y xy -+ 【答案】（1）12（2）()23xy x - 【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值计算即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）原式192=+++12=； （2）原式()269xy x x =-+()23xy x =-．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及因式分解，熟知各运算法则是解题的关键． 19. 解方程：22(23)(32)x x +=+ 【答案】11x =-，21x = 【解析】【分析】直接开方可得2332x x +=--或2332x x +=+，然后计算求解即可． 【详解】解：∵22(23)(32)x x +=+ ∴2332x x +=--或2332x x +=+ 解得11x =-，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 20. “双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题： 组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A 030x ≤≤50 25% B 3060x <≤ m 40% C 6090x <≤ 40 p D90x >n15%（1）表中m = ，n = ，p = ；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C 组所对应的圆心角为°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人? 【答案】（1）80，30，20% （2）见解析（3）72°（4）估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生大约有700人 【解析】【分析】（1）、根据统计表用A 组人数除以其所占的百分比计算出总人数，即可求解； （2）、根据（1）求出的人数补全条形统计图； （3）、用C 组所占的百分比乘以360︒即可求解；（4）、先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得． 【小问1详解】解：总人数为：5025%200÷=（人）， B 组的人数为：20040%80m =⨯=（人）， D 组的人数为：20015%30n =⨯= （人）， C 组所占的百分比为：40100%20%200p =⨯= ；故答案为：80，30，20% ； 【小问2详解】由（1）可知，B 组人数为80人，D 组人数为30人， 补全条形统计图，如图所示：【小问3详解】C 组所对应的圆心角为：20%36072⨯︒=︒ ， 故答案为：72︒ ； 【小问4详解】该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：(20%15%)2000700+⨯= （人）．【点睛】本题考查了统计表，条形统计图，扇形统计图圆心角的计算，样本估计总体等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，AC 与⊙O 交于点D ，BC 与⊙O 交于点E ，过点C 作CF AB ∥，且CF =CD ，连接BF ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC =45°，AD =4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）π-【解析】【分析】（1）连接BD ，得90BDA ∠=︒；利用AB =AC 得到A ABC CB =∠∠，由CF AB ∥得到FCB ABC ∠=∠，故FCB ACB ∠=∠；利用SAS 证明BCF BCD ≌△△，得到90F BDC ∠=∠=︒，最后CF AB ∥同旁内角互补，即可得90ABF ∠=︒（2）连接OE ，与BD 相交于M 点，根据∠BAC =45°，得ABD △是等腰直角三角形，由AD =4，得AB ，OB ，OE 长度；ABC 和OBE △是共一底角的等腰三角形，故45BOE BAC ∠=∠=︒，OE AC ∥，90OMB ADB ∠=∠=︒，OBM 是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积 【小问1详解】 连接BD∵AB 是O 的直径 ∴90BDA ∠=︒ ∴90BDC ∠=︒ ∵AB AC = ∴A ABC CB =∠∠ ∵CF AB ∥∴FCB ABC ∠=∠，180ABF F ∠+∠=︒ ∴FCB ACB ∠=∠ ∵CF CD =，BC BC = ∴()BCF BCD SAS ≌△△ ∴90F BDC ∠=∠=︒ 又∵180ABF F ∠+∠=︒ ∴90ABF ∠=︒ ∴BF 是O 的切线 【小问2详解】连接OE ，与BD 相交于M 点∵90BDA ∠=︒，45BAC ∠=︒，4=AD ∴ADB △为等腰直角三角形 ∴4BD AD ==，AB ==，45OBM ∠=︒∴OB =∴OE OB == ∴OEB ABC ∠=∠∵AB AC =，45BAC ∠=︒ ∴45BOE BAC ∠=∠=︒ ∴OE AC ∥∴90OMB ADB ∠=∠=︒ ∴OMB △为等腰直角三角形 ∴2BM OM ==∴OBEOAB S S S π∆=-==-阴影扇形【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识本题关键22. 在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲、乙二人同时出发，甲从A 地步行匀速前往B 地，到达B 地后，立刻以原速度沿原路返回A 地．乙从B 地步行匀速前往A 地（甲、乙二人到达A 地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：（1）A 、B 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a =，b =，c =；（3）求线段MN 的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60是（2）900，800，15（3）y =-20x +1200（15≤x≤20）（4）8分钟，647分钟 【解析】【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A 、B 两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A 地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过607分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c 分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B 地，则可求出a ，经过20分钟时乙到达A 地，此时两人相距b 米，利用甲乙的速度即可算出b ；（3）由（2）可知M 、N 的坐标，设出MN 的一般解析式，将M 、N 的坐标代入即可求出；（4）设经过x 分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米，因为甲从A 地出发，乙从B 地出发，两人最开始时的距离就是A 、B 两地之间的距离， 所以A 、B 两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A 地， ∴乙的步行速度为12006020=（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图像可知，经过607分钟时两人相遇，经过c 分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B 地，乙未到达A 地，经过20分钟时乙到达A 地，此时两人相距b 米， 设甲的步行速度为x 米/分，则()606012007x +=， 解得：x =80（米/分） ∴12001580c ==（分）， 1560900a =⨯=（米），1200(80201200)800b =-⨯-=（米）．故答案为：900，800，15；小问3详解】由（2）可知，M 、N 的坐标分别为M （15，900），N （20，800）， 设线段MN 的解析式为y =kx +b （1520x ≤≤），则有1590020800k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：201200k b =-⎧⎨=⎩∴线段MN 的函数解析式是y =-20x +1200（15≤x ≤20） 【小问4详解】设经过x 分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x =80，解得：x =8； 相遇后：（60+80）x -1200=80，解得：x =647， 所以经过8分钟和647分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况．23. 综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边BC 、AB 、AD 的中点，连接EF 、DF ，H 为DF 的中点，连接GH ．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF 、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：【（1）图②中，AB =BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，AB =2，BC =3，则GHCE= ；（3）当AB =m , BC =n 时．GHCE= ．（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④)．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿 MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为 ．【答案】（1）12GH CE =，证明见解析 （2）13GH CE = （3）2GH mCE n=（4 【解析】【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可；（2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到C M BC H AM A =，代入解方程即可． 【小问1详解】 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． 【小问2详解】 解：13GH CE =， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴23AB BF BC BE ==， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ， ∴13GH CE =． 故答案为：13． 【小问3详解】 解：2GH m CE n=， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =2m ，BE =12BC =2n ， ∴AB BF m BC BE n==， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ， ∴2GH m CE n=．故答案为：2m n． 【小问4详解】解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC =设CM =PM =x ，HM =y ，由sin sin C APM ∠=∠知，AB HM AC PM=，y x =，y =， ∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ， ∴CM BC H AM A =，即3y =，3y =⨯，3=解得：x ，． 【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键． 24. 综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 ；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--（2）（1，2） （3）254（4）123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得到关于m ，n 的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为1x =，求出直线AB 与对称轴的交点即可求解；的（3）设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<，根据二次函数的性质求解即可； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【小问1详解】解：将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得，101645m n m n -+=⎧⎨++=⎩， 解这个方程组得23m n =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--；小问2详解】解：如图，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把点 A （-1，0），B （4，5）代入y kx b =+，得045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线AB 的解析式为：1y x =+ ，由（1）知抛物线223y x x =--的对称轴为2121x -=-=⨯， 点C 为抛物线对称轴上一动点，AC BC AB +≥，∴ 当点C 在AB 上时，AC BC +最小，把x =1代入1y x =+，得y =2，∴点C 的坐标为（1，2）；【【小问3详解】解：如图，由（2）知 直线AB 的解析式为y =x +1设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<， 当32d =时，DE 有最大值为254，【小问4详解】解：如图， 直线AB 的解析式为：y =x +1，∴ 直线与y 轴的交点为D （0，1），1OD =(1,0)A - ，1OA =∴ ,45OA OD DAO ADO =∠=∠=︒，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C 作1CM y ⊥轴于点1M ，则1DM C ∆为等腰直角三角形，过点C 作11CN DN ⊥ ，则四边形11CM DN 为正方形，依题意，知D 与F 重合，点1N 的坐标为（1，1）；②以1M 为中心分别作点F ，点C 点的对称点22,M N ，连接2222,,CM M N N F ，则四边形22M N FC 是正方形，则点2N 的坐标为（-1，2）；③延长22N M 到3N 使322N M M C =，作31N F AB ⊥于点1F ，则四边形231M N F C 是正方形，则3N 的坐标为（1，4）；④取2M C 的中点4N ，FC 的中点2F ，则124M F CN 为正方形，则4N 的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，点N 的坐标为：123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题3整式及运算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．()257a a =B ．448x x x ⋅=C 3=± D【答案】B【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．【详解】A 、(a 5)2=a 10，故A 错，B 、x 4⋅x 4=x 8，故B 正确，C 3=，故C 错，D -3-D 错，故选：B【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．2．（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=- 【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意；B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意；C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·湖北鄂州市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．541a a -=C ．632a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】A【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．【详解】A 、23a a a ⋅=，选项正确，符合题意；B 、54a a a -=，选项错误，不符合题意；C 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；D 、()3328a a =，选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．4．（2021·江苏无锡市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．352()a a =C ．824a a a ÷=D ．235a a a ⋅= 【答案】D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A. 2a a +，不是同类项，不能合并，故该选选错误，B. 236()a a =，故该选项错误，C. 826a a a ÷=，故该选项错误，D. 235a a a ⋅=，故该选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．5．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．335x x x +=B ．3321x x -=C ．347x x x ⋅=D ．()323626xy x y -=- 【答案】C【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．【详解】A.3332x x x +=，故该选项计算错误，不符合题意，B.3332x x x -=，故该选项计算错误，不符合题意，C.33744x x x x +⋅==，故该选项计算正确，符合题意，D.()323323362(2)8xy x y x y ⨯-=-=-，故该选项计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 6．（2021·湖南中考真题）已知0a ≠，下列运算正确的是（ ）A ．321a a -=B ．326a a a ⋅=C ．32a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得．【详解】A 、32a a a -=，此项错误，不符题意；B 、2326a a a ⋅=，此项错误，不符题意；C 、32a a a ÷=，此项正确，符合题意；D 、()3328a a =，此项错误，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 7．（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．()2211a a -=-C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a = 【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误；B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误；C ：63633a a a a -÷==，故C 错误；D ：()()2232332622?44a a a a ⨯===．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．8．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅= 【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628a a =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．9．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y -= 【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．10．（2021·湖北中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33(2)6a a =D ．1234a a a ÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得．【详解】A 、23a a a ⋅=，此项正确，符合题意；B 、()326a a =，此项错误，不符题意；C 、33(2)8a a =，此项错误，不符题意；D 、1239a a a ÷=，此项错误，不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．11．（2021·山东威海市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．236(3)9a a -=-B ．235()a a a -⋅=C ．222(2)4x y x y -=-D ．22445a a a += 【答案】B【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．【详解】解：A . 236(3)27a a -=-，原选项计算错误，不符合题意；B . 235()a a a -⋅=原选项计算正确 ，符合题意；C. 222(2)44x y x xy y -=-+，原选项计算错误，不符合题意；D . 22245a a a +=，原选项计算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．12．（2021·山东济宁市·中考真题）下列各式中，正确的是（ ）A ．223x x x +=B ．()x y x y --=--C ．()325x x =D ．532x x x ÷= 【答案】D根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、23x x x +=，此选项错误，不符合题意；B 、()+x y x y --=-，此选项错误，不符合题意；C 、()326x x =，此选项错误，不符合题意； D 、532x x x ÷=，此选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 13．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）下列运算中，计算正确的是（ ）A ．2352m m m +=B ．()32626a a -=- C ．()222a b a b -=- D =【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A 、2m 与3m 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B 、()32628a a -=-，错误，故不符合题意；C 、()2222a b a ab b -=-+，错误，故不符合题意；D =故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．14．（2021·广东中考真题）已知93,274m n ==，则233m n +=（ ）A ．1B ．6C ．7D ．12【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．【详解】解：⋅93,274m n ==，⋅232323333(3)(3)927=34=12m n m n m n m n +=⨯=⨯=⨯⨯，⋅故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．15．（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算． 16．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ）A ．23B ．511C ．59D ．12 【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．17．（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，⋅第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，⋅第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 18．（2021·广西来宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．()325a a =D ．2232a a a -=【答案】A【分析】 分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，原选项计算正确，符合题意；B. 624a a a ÷=，原选项计算错误，不合题意；C. ()326a a =，原选项计算错误，不合题意；D. 232a a -，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公式和法则是解题关键．19．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-= D ．21111a a a a --=-- 【答案】D【分析】 根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错； 21111a a a a --=--，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 20．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到： 11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，⋅944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题21．（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______．【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：⋅单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，⋅2m =4，n +2=-2m +7，解得：m =2，n =1，则m +n =2+1=3．故答案是：3．【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．22．（2021·四川达州市·中考真题）已知a ，b 满足等式2690a a ++=，则20212020a b =___________． 【答案】-3【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．【详解】解：由2690a a ++=，变形得()230a +=， ⋅130,03a b +=-=， ⋅13,3a b =-=， ⋅()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：-3【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a 、b 的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．23．（2021·广东中考真题）若1136x x +=且01x <<，则221x x -=_____． 【答案】6536-【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】 ⋅1136x x +=， ⋅2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=， ⋅01x <<， ⋅1x x<， ⋅1x x-=56-， ⋅221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-， 故答案为：6536- 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．24．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12n n +【分析】 根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+，第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．25．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：⋅x =3＜4⋅把x =3代入1(4)y x x =-≤， 解得：312y =-=，⋅y 值为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键．26．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n ．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．27．（2021·河北中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．【答案】22a b + 4【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．【详解】解：（1）⋅甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为,a b⋅取甲、乙纸片各1块，其面积和为22a b +；故答案为：22a b +．（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为224a b +，若再加上4ab （刚好是4个丙），则()222442a b ab a b ++=+，则刚好能组成边长为2+a b 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．28．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -． 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点； 4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点； 5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点； ⋯ 20条直线相交最多有120191902⨯⨯=． 故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 29．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n -1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n -1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，⋅上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．30．（2021·江苏常州市·中考真题）计算：()2222a a -+=__________． 【答案】22a -【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】解：原式=2222a a --=22a -，故答案是：22a -．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键．31．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．三、解答题32．（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：()()212(2)x x x +++-，其中1x =．【答案】25x +，7．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将1x =代入求值即可得．【详解】解：原式22214x x x =+++-， 25x =+，将1x =代入得：原式2157=⨯+=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．33．（2021·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =． 【答案】4,5a【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】221a a a a224a a a =-+-4a =-当4a =时，原式44-=【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．34．（2021·贵州安顺市·中考真题）（1）有三个不等式()231,515,316x x x +--->，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：（2）小红在计算()()211a a a +--时，解答过程如下： 2(1)(1)a a a +--22(1)a a a =+-- 第一步221a a a =+--第二步1a =-第三步小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】（1）x ＜-3；（2）第一步，正确过程见详解【分析】（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可； （2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可．【详解】解：（1）挑选第一和第二个不等式，得231515x x +<-⎧⎨->⎩①②，由⋅得：x ＜-2，由⋅得：x ＜-3，⋅不等式组的解为：x ＜-3；（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：2(1)(1)a a a +--22(21)a a a a =+--+2221a a a a =+-+-31a =-．故答案是：第一步【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及整式的混合运算，掌握解不等式组的基本步骤以及完全平方公式，是解题的关键．35．（2021·吉林中考真题）先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 【答案】4x -，132- 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +--- 224x x x =--+4x =-， 当12x =时，原式114322=-=-． 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．36．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）．猜想证明：①20≥①①0=，即a b =时，0a b -=，①a b +=①当0≠，即a b 时，0a b ->，①a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x =+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？【答案】（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米 【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可； 变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：⋅0x >， ⋅10x>，⋅12y x x =+≥=， ⋅当1x x=时，min 2y =， 此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：⋅3x >，⋅30x ->，103x ，⋅133353y x x =+-+≥=-， ⋅当133x x =--时，min 5y =， 此时()231x -=，⋅14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，⋅30x >，40y >，⋅34x y +≥即21≥，整理得：14716xy ≤， 即14716S ≤， ⋅当34x y =时max 14716S =， 此时72x =，218y =， 即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米． 【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．。

2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（真题）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2022•齐齐哈尔）实数﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣2022 C．D．2．（3分）（2022•齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2m4+3m4＝5m8D．（﹣2a）3＝﹣6a34．（3分）（2022•齐齐哈尔）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（3分）（2022•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．（3分）（2022•齐齐哈尔）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（）A．57°B．63°C．67°D．73°8．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP 的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝89．（3分）（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为．12．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB ∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）13．（3分）（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为°．14．（3分）（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．15．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝．16．（3分）（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝．17．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l 于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．19．（5分）（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．20．（10分）（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：（1）表中m＝，n＝，p＝；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A0≤x≤30 50 25%B30＜x≤60 m40%C60＜x≤90 40 pD x＞90 n15%21．（8分）（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．22．（10分）（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a＝，b＝，c＝；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）23．（12分）（2022•齐齐哈尔）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH 和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝；（3）当AB＝m，BC＝n时，＝．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．24．（14分）（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2022•齐齐哈尔）实数﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣2022 C．D．【分析】根据倒数的定义进行计算即可．【解答】解：由于﹣2022×（﹣）＝1，所以﹣2022的倒数是﹣，故选：D．【点评】本题考查倒数，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”是正确解答的关键．2．（3分）（2022•齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：A．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．（3分）（2022•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2m4+3m4＝5m8D．（﹣2a）3＝﹣6a3【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝b，符合题意；B、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；C、原式＝5m4，不符合题意；D、原式＝﹣8a3，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）（2022•齐齐哈尔）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据众数和平均数的定义解答即可．【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数是＝3，∵数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，∴x的值为3．故选：B．【点评】此题考查了众数与平均数的知识．众数是这组数据中出现次数最多的数．5．（3分）（2022•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，故可得出结论．【解答】解：由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，故搭成该几何体的小正方体的个数最少为6个，故选：C．【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练根据三视图的知识判断小正方体的个数是解题的关键．6．（3分）（2022•齐齐哈尔）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率．【解答】解：在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母一共有10种可能性，其中字母为“s”的可能性有3种，∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是，故选：C．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．7．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（）A．57°B．63°C．67°D．73°【分析】由AC＝BC，∠C＝120°，可得∠CBA＝30°，再由a∥b，可得∠2＝∠CBA+∠1＝73°．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CBA＝∠CAB＝，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．故选：D．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质．8．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP 的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8【分析】利用图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，由此选择出正确选项即可．【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项也不正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，∴D选项的结论正确，故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，结合图形与图象求出图形中的线段的长度是解题的关键．9．（3分）（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】根据题意列方程，求其正整数解．【解答】解：设A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意得：8x+10y＝200，∴y＝20﹣0.8x，∴方程的正整数解为：，，，．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程的应用，并求其特殊解的问题．10．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断①，由抛物线顶点坐标可得a 与c的关系，由抛物线与y轴交点位置可判断c的取值范围，从而判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线与直线y＝m交点个数判断④，由图象可得x＜﹣1时，y随x增大而增大，从而判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①正确．∵抛物线经过（﹣1，4），∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，∴a＝c﹣4，∵抛物线与y轴交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1＜c＜2，∴﹣3＜a＜﹣2，②正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正确．∵a＝c﹣4，∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理为ax2+bx+c＝m，∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），∴m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个不同交点，④错误．由图象可得x＜﹣1时y随x增大而增大，∴⑤错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 1.076×107．【分析】根据科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】计算即可得出答案．【解答】解：10760000＝1.076×107．故答案为：1.076×107．【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．12．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB ∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是AB＝CD（答案不唯一）．（只需写出一个条件即可）【分析】由AB∥CD，AB＝CD得四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．（3分）（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为216 °．【分析】先利用勾股定理求出圆锥的底面圆半径，再利用侧面扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列方程即可求出答案．【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：＝3，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则2π×3＝，∴n＝216，∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，故答案为：216．【点评】本题主要考查圆锥的计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长．14．（3分）（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是m＞0且m≠1 ．【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，解方程，得x＝m+1，检验：当m+1≠2，m+1＝﹣2，即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，根据题意可得，m+1＞1，∴m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．15．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4 ．【分析】连接OA，则有S△ABC＝2S△ADO，根据k的几何意义，可得＝2，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，∵S△ADO＝，△ABC的面积为4，∴|k|＝4，根据图象可知，k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．16．（3分）（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝3+3或3﹣3 ．【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想方法，画出图形解答是解题的关键．17．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l 于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是（）2022．【分析】首先利用函数解析式可得点A、B的坐标，从而得出∠BAO＝30°，根据三角函数的定义知BC1＝＝2，B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此可得规律．【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵BC1⊥l，∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，∴BC1＝＝2，∵B1C1⊥x轴，∴∠B1C1B＝30°，∴B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此规律，可得B n∁n＝（）n，当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，故答案为：（）2022．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，特殊角的三角函数值，通过计算B 1C1、B2C2的长，得出计算的规律是解决问题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．【分析】（1）应用特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂及绝对值进行计算即可得出答案；（2）应用提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解即可得出答案．【解答】解：原式＝1+（2﹣）＝1+9+＝12；（2）原式＝xy（x2﹣6x+9）＝xy（x﹣3）2．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解是解决本题的关键．19．（5分）（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．20．（10分）（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：（1）表中m＝80 ，n＝30 ，p＝20% ；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为72 °；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A0≤x≤30 50 25%B30＜x≤60 m40%C60＜x≤90 40 pD x＞90 n15%【分析】（1）用A组的频数除以25%即可得出总数，再根据“频率＝频数除以总数”可得m、n、p的值；（2）根据（1）的结论即可将条形图补充完整；（3）用360°乘p的值即可；（4）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量为50÷25%＝200，故m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，p＝，故答案为：80；30；20%；（2）将条形图补充完整如下：（3）C组所对应的圆心角为360°×＝72°，故答案为：72；（4）2000×（20%+15%）＝700（人），答：校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有700人．【点评】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．21．（8分）（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得出∠ABC＝∠FCB，进而得出∠ACB＝∠FCB，得出△DCB≌△FCB，得出∠F＝∠CDB＝90°，由平行线的性质得出∠ABF+∠F＝180°，继而得出AB⊥BF，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接BD、OE交于点M，连接AE，由圆周角定理得出AE⊥BC，AD⊥BD，由∠BAC＝45°，AD＝4，得出△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝4，AB＝4，进而得出OA＝OB＝2，由三角形中位线的性质得出OE∥AD，继而得出∠BOE ＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，求出BM＝2，利用S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△，将有关数据代入计算，即可得出答案．BOE【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠F＝∠CDB＝90°，∵AB∥CF，∴∠ABF+∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，∵AB为直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，AD⊥BD，∵∠BAC＝45°，AD＝4，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，∴OA＝OB＝2，∴OE是△ADB的中位线，∴OE∥AD，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，∴BM＝BD＝×4＝2，∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣××2＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，扇形面积的计算，掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，扇形的面积公式，三角形面积公式等知识是解决问题的关键．22．（10分）（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是1200 米，乙的步行速度是60 米/分；（2）图中a＝900 ，b＝800 ，c＝15 ；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；（3）利用待定系数法解答即可；（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，∴A、B两地之间的距离是1200米；由图象知：乙经过20分钟到达A，∴乙的速度为＝60（米/分）．故答案为：1200；60；（2）由图象知：当x＝时，y＝0，∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，∴140﹣x＝＝60，∴x＝80．∴甲的速度为80（米/分），∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，∴c＝1200÷80＝15（分钟），∴a＝60×15＝900（米）．∵点M的实际意义是经过20分钟乙到达A地，∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；故答案为：900；800；15；（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），设直线MN的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线MN的解析式为y＝﹣20x+1200；（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），∴1120÷140＝8（分钟）；②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），∴1280÷140＝（分钟）．综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．23．（12分）（2022•齐齐哈尔）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH 和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝；（3）当AB＝m，BC＝n时，＝．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．【分析】转一转：（1）证明△ABF≌△CBE（SAS），推出AF＝CE，再利用三角形中位线定理求解；（2）证明△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，即可解决问题；（3）由△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，可得结论；剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．证明△PTM≌△CRM（AAS），推出MT＝MR，推出BM平分∠ABC，推出∠MBT＝∠MBR ＝45°，推出TB＝TM，BR＝RM，设TM＝TB＝x，利用面积法构建方程求出x 即可．【解答】解：转一转：（1）结论：GH＝CE．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CBE＝90°，∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，∴BF＝BE，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE，∵DG＝GA，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE；（2）如图③中，连接AF．∵BF＝AB，BE＝BC，∴＝，'∴＝，∵∠ABF＝∠CBE，∴△ABF∽△CBE，∴＝＝，∴AF＝CE，∵AG＝DG，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE，∴＝．故答案为：．（3）当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，∴＝＝，∴AF＝CE，∵AG＝DG，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE，∴＝．故答案为：．剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．∵PM平分∠APN，∴∠MPT＝∠MPN，由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，∴∠MPT＝∠C，∵∠MTP＝∠MRC＝90°，∴△PTM≌△CRM（AAS），∴MT＝MR，∴BM平分∠ABC，∴∠MBT＝∠MBR＝45°，∴TB＝TM，BR＝RM，设TM＝TB＝x，∵•AB•BC＝•AB•MT+•BC•MR，∴×2×3＝•x•（2+3），∴x＝，∴BR＝MR＝，CR＝BC﹣BR＝3﹣＝，∴CM＝＝＝．故答案为：．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（14分）（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为（1，2）；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题4因式分解与分式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ） A ．()221x x - B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键． 2．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A ．1212a a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．22()()a b a b a b +-=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．268(6)8x x x x ++=++【答案】C 【分析】根据因式分解的定义解答． 【详解】解：1212a a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭中1a不是整式，故A 选项不符合题意； 22()()a b a b a b +-=-是整式乘法计算，故B 选项不符合题意； 2221(1)x x x -+=-是因式分解，故C 选项符合题意；268(6)8x x x x ++=++不是分解为整式的乘积形式，故D 选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．3．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】 解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2021·内蒙古中考真题）下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）A ．1(4)+-B ．4(1)-C ．1(5)--D【答案】A 【分析】计算各个选项的结果的绝对值，比较即知． 【详解】∴1+(−4)=−3，(-1)4=1，(-5)-1=15-2= 而33-=，11=，1155-=，22=，且13215>>> ∴1(4)+-的绝对值最大 故选：A ． 【点睛】本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键． 5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-=D ．21111a a a a --=-- 【答案】D 【分析】根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可． 【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错；21111a a a a --=--，D 正确；故选：D ． 【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知0b a >>，则分式a b 与11a b ++的大小关系是（ ） A ．11a ab b +<+ B ．11a ab b +=+ C ．11a ab b +>+ D ．不能确定【答案】A 【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解． 【详解】解：()()()()111111a b b a a a a bb b b b b b +-++--==+++，∴0b a >>，∴()1011a a a b b b b b +--=<++， ∴11a ab b +<+， 故选：A ． 【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．7．（2021·山东济宁市·中考真题）计算2454(1)a a a a a--÷+-的结果是（ ）A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+ 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果． 【详解】解：2454(1)a a a a a--÷+-24(1)(54)a a a a a a -+--=÷()()22254a a a a a aa+-+-+=÷()()()2222a a aa a +-=⋅-22a a +=-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键．8．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）定义一种新的运算：如果0a ≠．则有2||a b a ab b -=++-▲，那么1()22-▲的值是（ ） A ．3- B ．5C ．34-D ．32【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】2||a b a ab b -=++-▲2111()2=()()2|2|222-∴--+-⨯+-▲412=-+=5．故选B ． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．9．（2021·河北中考真题）由1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】 先计算1122c c +⎛⎫-⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】 解：11=224+2c cc c+-+， 当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意；当0c时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．10．（2021·黑龙江绥化市·0在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．–1x >B ．1x ≥-且0x ≠C ．1x >-且0x ≠D ．0x ≠【答案】C 【分析】在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可． 【详解】在实数范围内有意义，必须同时满足下列条件：10x +≥0≠，0x ≠，综上：1x >-且0x ≠， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．11．（2021·江苏南京市·中考真题）计算()323a a -⋅的结果是（ ）A ．2aB ．3aC ．5aD ．9a【答案】B 【分析】直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式=633·a a a -=； 故选：B ． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功．二、填空题12．（2021·山东东营市·中考真题）因式分解：244a b ab b -+=________． 【答案】()221b a - 【分析】先提取公因式b ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可． 【详解】解：()()2224444121a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：()221b a - 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．13．（2021·内蒙古中考真题）因式分解：24ax ax a ++=_______．【答案】2(1)2x a + 【分析】首先将公因式a 提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】222(1)(1)442ax x xax a a x a ++=++=+， 故填：2(1)2xa +． 【点睛】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．14．（2021·广东中考真题）若1136x x +=且01x <<，则221x x-=_____． 【答案】6536- 【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】∴1136x x +=， ∴2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∴01x <<， ∴1x x<，∴1x x -=56-，∴221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-，故答案为：6536- 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．15．（2021·山东威海市·中考真题）分解因式：32218x xy -=________________．【答案】()()233x x y x y +- 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解． 【详解】解：()()()322221829=233x xy x x yx x y x y -=-+-．故答案为：()()233x x y x y +- 【点睛】本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键．16．（2021·湖北中考真题）分解因式：4255x x -=________． 【答案】25(1)(1)x x x +- 【分析】先提取公因式25x ，再利用平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】解：原式225(1)x x -=，25(1)(1)x x x +=-，故答案为：25(1)(1)x x x +-． 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b +． 【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式得出即可． 【详解】 解：22ab a - =2(2)a b -=(a b b +-故答案为：(a b b +-． 【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 18．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：2218m -=______． 【答案】()()233m m +- 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：2218m - =2（m 2-9） =2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（2021·北京中考真题）分解因式：2255x y -=______________．【答案】()()5x y x y +- 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．解：()()()22225555x y x yx y x y -=-=+-；故答案为()()5x y x y +-． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．（2021·贵州铜仁市·中考真题）要使分式1xx +有意义，则x 的取值范围是______________； 【答案】1x ≠- 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求得 【详解】 要使分式1xx +有意义 则10x +≠ 1x ∴≠-故答案为：1x ≠-． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，理解分式有意义的条件是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ==_____________． 【答案】2 【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解． 【详解】解：∴(112213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，=2=，故答案是：2．本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．22．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）当3x =时，代数式22319()369x x x x x x x x+---÷--+的值是____． 【答案】12021【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x 求值即可． 【详解】 解：由题意可知： 原式231()9(33)x x x xx x x ⎡⎤+-=-⨯⎢⎥--⎣⎦- 22(3)(3)((1)(3))93x x x x xx x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥--⎣⎦- ()222993x x x xx x x --+=⨯-- 2(3)99x xx x x =⨯--- 21(3)x =-，当3x =时，原式12021==， 故答案为：12021． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解． 23．（2021·福建中考真题）已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy-+的值等于_________． 【答案】4 【分析】由条件1xy x =+变形得，x -y =xy ，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】 由1xy x =+得：xy +y =x ，即x -y =xy ∴3344x y xy xy xy xyxy xy xy-++===故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件1xy x =+，变形为x -y =xy ，然后整体代入．三、解答题24．（2021·四川宜宾市·中考真题）（1）计算：11(3)4sin 602π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）化简：2221121a aa a a ⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭-+． 【答案】（1）-1；（2）1a a- 【分析】（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解． 【详解】解：（1）原式=1422-⨯-=12- =-1；（2）原式=()a a a a a -+-⋅-+21211(1)=()a a a a a -+⋅-+2111(1)=1a a-． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键．25．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）先化简，再求值：22211a a a a a ⎫⎛-÷⎪ +-⎝⎭，其中2cos601a =︒+． 【答案】1a a -；12【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出a 的值，再代入求解即可． 【详解】解：原式22(1)1(1)(1)a a a a a a a +-=÷++- 2(1)(1)1a a a a a +-=⨯+ 1a a-=；当12cos6012122a =︒+=⨯+=时， 原式121122a a --===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．26．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos 4512π-⎛⎫-+-+︒-- ⎪⎝⎭．（2）因式分解：3312xy xy -+．【答案】（1）6+（2）3(2)(2)xy y y -+- 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式4141)=++-411=++6=（2）解：原式23(4)xy y =--3(2)(2)xy y y =-+-【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．27．（2021·江苏盐城市·中考真题）先化简，再求值：21111m m m -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，其中2m =． 【答案】1m +，3 【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可． 【详解】 解：原式11(1)(1)1m m m m m-+-+=⋅- (1)(1)1m m m m m-+=⋅- 1m =+．∴2m =∴原式213=+=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．28．（2021·湖北中考真题）（1）计算：0(346)-⨯-++（2）解分式方程：212112xx x+=--． 【答案】（1）8；（2）1x =． 【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得． 【详解】解：（1）原式1462⨯--+=44=+，8=；（2）212112xx x+=--， 方程两边同乘以21x -得：221x x -=-， 移项、合并同类项得：33x -=-， 系数化为1得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解， 故方程的解为1x =． 【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．29．（2021·山东威海市·中考真题）先化简2211(1)369a a a a a a -+--÷--+，然后从1-，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【答案】2（a -3），当a =0时，原式=-6；当a =1时，原式=-4． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a 的值，继而代入计算可得答案． 【详解】2211(1)369a a a a a a -+--÷--+ =()()()221311333a a a a a a a +-⎡⎤-+-÷⎢⎥---⎣⎦ =()2223123331a a a a a a a -⎛⎫----⋅ ⎪--+⎝⎭=()222312331a a a a a a ---++⋅-+ =()()221331a a a a +-⋅-+=2（a -3）， ∴a ≠3且a ≠-1， ∴a =0，a =1，当a =0时，原式=2×（0-3）=-6； 当a =1时，原式=2×（1-3）=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．30．（2021·黑龙江中考真题）先化简，再求值：22211a a a a a ⎫⎛-÷⎪ +-⎝⎭，其中2tan45a =︒+1． 【答案】1a a -，23【分析】先去括号，然后再进行分式的化简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式=2222111a a a a a a a a+---⨯=+， ∴2tan45a =︒+1， ∴2113a =⨯+=， 代入得：原式=31233-=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求解及特殊三角函数值，熟练掌握分式的化简求解及特殊三角函数值是解题的关键．31．（2021·江苏无锡市·中考真题）计算： （1）31(2)sin 302；（2）482a a a． 【答案】（1）9；（2）12- 【分析】（1）先算绝对值，乘方和特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解； （2）先通分化成同分母减法，进而即可求解． 【详解】 解：（1）原式=11(8)22=9； （2）原式=8822a a a=882a a =2a a - =12-．【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及分式的减法运算，掌握特殊角三角函数以及分式的通分，是解题的关键． 32．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）先化简，再求值：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=． 【答案】x （x +1）；6 【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 【详解】解：∴220x x --= ∴x =2或x =-1 ∴2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2()11x x ÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）∴x =-1分式无意义，∴x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．33．（2021·山东东营市·中考真题）（1()()202120213tan 302π180.125︒--+⨯-．（2）化简求值：2224224n m mn m n n m n m +++--，其中15m n =．【答案】（1）2；（2）211,29n m n m +-． 【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；（2）先计算分式的加法运算，再根据15m n =得出5n m =代入求值即可得． 【详解】解：（1）原式(20211321838⎛⎫=⨯-++-⨯ ⎪⎝⎭，211=+-，2=；（2）原式()()()()222422n n m m n m mnn m n m -+++=+-，()()22422422n mn mn m mn n m n m -+++=+-，()()22n m n m =+-， ()()()2222n m n m n m +=+-， 22n mn m +=-，∴15m n =， ∴5n m =， ∴原式1010119m m m m +=-=．【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．34．（2021·湖南中考真题）先化简，再求值：23219aa a ⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，其中2a =． 【答案】23a -，2-． 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后将2a =代入求值即可得． 【详解】 解：原式32(3)(3)a a a a a a ⎛⎫+⋅+=⎪-⎝⎭， 32(3)(3)a a a a a +=+⋅-， 23a =-， 将2a =代入得：原式222323a ===---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 35．（2021·湖南娄底市·中考真题）先化简，再求值：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭，其中x 是1,2,3中的一个合适的数． 【答案】13x x -+，15． 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】 解：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭2392101(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x ⎡⎤---=⋅-⎢⎥-+-+-⎣⎦23211(3)(3)x x x x x x --+=⋅-+- 23(1)1(3)(3)x x x x x --=⋅-+- 13x x -=+， ∴1x ≠，3x ≠±， ∴2x =， 原式211235-==+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．36．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】2 【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：11)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭1222=+-⨯112=++2=．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．37．（2021·湖南张家界市·中考真题）先化简2222424421a a a aa a a a a ---++++-÷，然后从0，1，2，3中选一个合适的a 值代入求解． 【答案】2a ，6 【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a 的取值不能使原算式的分母及除数为0． 【详解】 解：原式()2(2)(2)(2)(1)212a a a a a a a a a -++-=⨯+--+ 2a =因为a =0，1，2时分式无意义，所以3a = 当3a =时，原式6= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a 的取值不能使原算式的分母及除数为0．38．（2021·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再求值：2293411x x x x x x-+÷+--，其中2x =．【答案】1x x +，32【分析】先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可． 【详解】 解：原式()()()313341x x x x x xx -=⨯++--+1x x+=， 当2x =时，原式32=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解，正确进行约分、通分．39．（2021·广西玉林市·中考真题）先化简再求值：()2112a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭，其中a 使反比例函数a y x =的图象分别位于第二、四象限． 【答案】1- 【分析】由题意易得0a <，然后对分式进化简，然后再求解即可． 【详解】解：∴a 使反比例函数ay x=的图象分别位于第二、四象限， ∴0a <，∴()2112a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭=()22211a a a a a -+-⨯- =1-． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与性质及分式的运算是解题的关键．40．（2021·山东聊城市·中考真题）先化简，再求值：22212211111a a a a a a a a +--⎛⎫+÷-- ⎪+--⎝⎭，其中a ＝﹣32． 【答案】21aa +；6 【分析】先把分式化简后，再把a 的值代入求出分式的值即可． 【详解】解：原式＝22212(21)(1)(1)111a a a a a a a a a +---+-+÷+-- 2222122111a a a a aa a a +--+=+÷+-- 21111a a a +=-++ 21a a =+， 当32a =-时，原式＝6．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．41．（2021·湖北荆州市·中考真题）先化简，再求值：2221211a a a a a ++⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中a =【答案】1a a +，6【分析】先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把a =【详解】解：原式=()()21111a a a a a ++⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭()()211=1+1a a a a a +-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=a a+当a =6 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．42．（2021·浙江衢州市·中考真题）先化简，再求值：2933x x x+--，其中1x =． 【答案】3x +；4 【分析】先将这两个分式转化为同分母的分式，再将分母不变，分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式29(3)(3)333x x x x x x +-=-=--- 3x =+当1x =时，原式4=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，涉及到了分式的通分和约分，解决本题的关键是牢记相关概念与法则，并灵活运用，最后的结果记得化简即可．。

2020年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷和答案解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）2020的倒数是（）A．2020B．﹣2020C．D．解析：根据倒数之积等于1可得答案．参考答案：解：2020的倒数是，故选：C．点拨：此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义．2．（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．点拨：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a•2a2＝2a2解析：分别根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法则逐一计算可得．参考答案：解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，此选项计算正确；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项计算错误；C．（﹣2a）2＝4a2，此选项计算错误；D．a•2a2＝2a3，此选项计算错误；故选：A．点拨：本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法则．4．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（）A．B．C．D．解析：用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．参考答案：解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，∴朝上一面的数字出现偶数的概率是＝，故选：A．点拨：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5．（3分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A．B．C．D．解析：根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除A和C，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度，排除D，进而可以判断．参考答案：解：因为登山过程可知：先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．故选：B．点拨：本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．6．（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（）A．7B．8C．9D．10解析：根据统计图中的数据，可知做对9道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解决．参考答案：解：由条形统计图可得，全班同学答对题数的众数为9，故选：C．点拨：本题考查条形统计图、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（3分）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6解析：分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．参考答案：解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．点拨：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种解析：设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．参考答案：解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2x+3y＝30，∴y＝10﹣x．∵x，y均为正整数，∴，，，，∴小明有4种购买方案．故选：B．点拨：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°解析：由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．参考答案：解：如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CFA＝∠D＝90°，∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．点拨：本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．参考答案：解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．点拨：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）2020年初新冠肺炎疫情发生以来，近4000000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4000000用科学记数法表示为4×106．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．参考答案：解：将数据4000000用科学记数法表示为4×106，故答案为：4×106．点拨：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣3且x ≠2．解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．参考答案：解：由题可得，，解得，∴自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠2，故答案为：x≥﹣3且x≠2．点拨：本题主要考查了自变量x的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．13．（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．（只填一个即可）解析：利用全等三角形的判定方法添加条件．参考答案：解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．点拨：本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．14．（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是65π．解析：由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．参考答案：解：由三视图可知，原几何体为圆锥，S侧＝•2πr•l＝×2π×5×13＝65π．故答案为：65π．点拨：本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．15．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是10或11．解析：分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．参考答案：解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．点拨：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y 轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为2．解析：先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO ＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．参考答案：解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，∵AO：BO＝1：2，∴矩形AOED的面积＝2，∵点D在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2，故答案为2．点拨：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了矩形的性质．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．解析：根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．参考答案：解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积＝＝2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为＝2，∴第2个等腰直角三角形的面积＝＝4＝22，∵A 4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积＝＝8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．点拨：本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|（2）因式分解：3a2﹣48解析：（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接提取公因式3，再利用公式法分解因式进而得出答案．参考答案：解：（1）sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|＝+4﹣1+＝4；（2）3a2﹣48＝3（a2﹣16）＝3（a+4）（a﹣4）．点拨：此题主要考查了实数运算以及提取公因式法、公式法分解因式，正确运用公式分解因式是解题关键．19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0解析：利用因式分解法求解可得．参考答案：解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．点拨：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．解析：（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．参考答案：（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．点拨：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（10分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：（1）本次被抽取的教职工共有50名；（2）表中a＝4，扇形统计图中“C”部分所占百分比为32%；（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为144°；（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？志愿服务时间（小时）频数A0＜x≤30aB30＜x≤6010C60＜x≤9016D90＜x≤12020解析：（1）利用B部分的人数÷B部分人数所占百分比即可算出本次被抽取的教职工人数；（2）a＝被抽取的教职工总数﹣B部分的人数﹣C部分的人数﹣D 部分的人数，扇形统计图中“C”部分所占百分比＝C部分的人数÷被抽取的教职工总数；（3）D部分所对应的扇形的圆心角的度数＝360°×D部分人数所占百分比；（4）利用样本估计总体的方法，用30000×被抽取的教职工总数中志愿服务时间多于60小时的教职工人数所占百分比．参考答案：解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名），故答案为：50；（2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4，扇形统计图中“C”部分所占百分比为：×100%＝32%，故答案为：4，32；（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°．故答案为：144；（4）30000×＝21600（人）．答：志愿服务时间多于60小时的教职工大约有21600人．点拨：此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．22．（10分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲车改变速度前的速度是100km/h，乙车行驶10h到达绥芬河；（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x （h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有100km；出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．解析：（1）结合图象，根据“速度＝路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间＝路程÷速度”即可得出乙车行驶的时间；（2）根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可；（3）根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差＝速度差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距40km行驶的时间．参考答案：解：（1）甲车改变速度前的速度为：500出5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），故答案为：100；10；（2）∵乙车速度为80km/h，∴甲车到达绥芬河的时间为：，甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b （k≠0），将（5，500）和（，800）代入得：，解得，∴y＝80x+100，答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）；（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km），40÷（100﹣80）＝2（h），即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．故答案为：100；2．点拨：本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键．23．（12分）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM是（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：等边三角形；进一步计算出∠MNE＝60°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝15°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD 边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值7，9．解析：（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；（4）先求出AT的范围，即可求解．参考答案：解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．点拨：本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24．（14分）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为y＝x+4，点M的坐标为（﹣2，﹣2），cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC 或AC，即可求解；（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．参考答案：解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），设直线AB的解析式为y＝kx+4，将点A坐标代入得，﹣4k+4＝0，∴k＝1．∴直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，则，即，解得：y P＝2或4，故点P（﹣2，2）或（0，4）；故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．点拨：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．。

专题20 应用题综合（函数、不等式、方程）一．解答题（共45道）1．（2021·浙江台州市·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1， R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k ，b 为常数，0≤m ≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R 0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U 0 ，该读数可以换算为人的质量m ，温馨提示：①导体两端的电压U ，导体的电阻R ，通过导体的电流I ，满足关系式I ＝U R； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k ，b 的值；（2）求R 1关于U 0的函数解析式；（3）用含U 0的代数式表示m ；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）1024030R U =-；I （3）0120135m U =-；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；（3）由R 1＝12-m ＋240，1024030R U =-，即可得到答案； （4）把06U =时，代入0480540m U =-，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R 1＝km ＋b ，得2400120b k b =⎧⎨=+⎩，解得：2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）∵001830U U R -=，∴1024030R U =-； （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩，∴R 1＝2-m ＋240， 又∵1024030R U =-，∴024030U -=2-m ＋240，即：0120135m U =-； （4）∵电压表量程为0~6伏，∴当06U =时，1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 2．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a -<<，即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：x =37或x =-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦=25018001850x x -++，当x =1800502--⨯=18时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦=25018001850x x --，∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18， 当x =50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，对称轴为直线x =1800100a -， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴180016.517.5100a -<<，解得：50150a <<． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．3．（2021·吉林长春市·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： （实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x ．纵轴表示箭尺读数y ，描出以表格中数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．（结论应用）应用上述发现的规律估算：(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为66y x =+；(3)78()cm ；(4)当天晚上的22:00．【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可；(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm ，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为y kx b =+，再代入两个点坐标即可求解；(3)当12x =时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；(4)当90y =时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm ，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，设直线解析式为y kx b =+，代入点(0，6)和点(2，18)，得到60182b k b =+⎧⎨=+⎩，解得66k b =⎧⎨=⎩，∴直线的表达式为：66y x =+；(3)当供水时间达到12小时时，即12x =时，代入66y x =+中，解得612678y cm ，∴此时箭尺的读数为78cm ；(4)当箭尺读数为90厘米时，即90y =时，代入66y x =+中，解得(906)614x (小时)，∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，∵实验记录的开始时间是上午8:00，∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知A 、B 两地相距240km ，一辆货车从A 地前往B 地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B 地前往A 地，到达A 地后（在A 地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B 地的距离()km y 与货车行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m 的值是__________；轿车的速度是________km/h ；（2）求货车从A 地前往B 地的过程中，货车距B 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数关系式； （3）直接写出轿车从B 地到A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km ？【答案】（1）5；120；（2）66240(0 2.5)75(2.5 3.5)50250(3.55)x x y x x x -+≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩；（3）1h 或27h 31． 【分析】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为2h ，即可得出从A 到B 的时间，进而可得m 的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，分1≤x <2.5；2.5≤x <3.5；3.5≤x <5三个时间段，分别利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车相遇前和相遇后相距12km 两种情况，分别列方程求出x 的值即可得答案．【详解】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为3-1=2h ，∴轿车从A 到B 的时间为2h ，∴m =3+2=5，∵A 、B 两地相距240km ，∴轿车速度=240÷2=120km/h ，故答案为：5；120（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，①设()1110(0 2.5)MN y k x b k x =+≠≤<∵图象过点(0,240)M 和点(2.5,75)N ∴1112402.575b k b =⎧⎨+=⎩解得：1124066b k =⎧⎨=-⎩， ∴66240(0 2.5)MN y x x =-+≤<②∵货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，∴75(2.5 3.5)NG y x =≤<，③设()2220(3.55)GH y k x b k x =+≠≤≤，∵图象过点(3.5,75)G 和点(5,0)H ∴2222503.575k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2225050b k =⎧⎨=-⎩， ∴50250(3.55)GH y x x =-+≤≤，∴66240(0 2.5)75(2.5 3.5)50250(3.55)x x y x x x -+≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩． （3）设轿车出发xh 与货车相距12km ，则货车出发（x +1）h ，①当两车相遇前相距12km 时：66(1)24012012x x -++-=，解得：2731x =, ②当两车相遇后相距12km 时：[]12066(1)240x x --++=12，解得：x =1，答：轿车出发1h 或27h 31与货车相距12km ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．5．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，则四月份的游客为()41x +人，五月份的游客为()241x +人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，再列出W 与m 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得24(1) 5.76x += ()21 1.44,x ∴+= 解这个方程，得120.2, 2.2x x ==-（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：20.6 1.4-=（万人），购买乙种门票的人数为：30.4 2.6-=（万人），所以：门票收入问；()()100 1.480 2.61601021⨯+⨯+-⨯+798=（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，由题意，得()()()()10020.068030.0416020.060.04W m m m m m =-+-+-++化简，得20.1(24)817.6W m =--+，0.10-<，∴当24m =时，W 取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．6．（2021·河北中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有A ，O ，N 三个点，且2AO =，在ON 上方有五个台阶15~T T （各拐角均为90︒），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶1T 到x 轴距离10OK =．从点A 处向右上方沿抛物线L ：2412y x x =-++发出一个带光的点P ．（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴，并直接．．指出点P 会落在哪个台阶上； （2）当点P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L 形状相同的抛物线C ，且最大高度为11，求C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶5T 有交点；（3）在x 轴上从左到右有两点D ，E ，且1DE =，从点E 向上作EB x ⊥轴，且2BE =．在BDE 沿x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C 下落的点P 能落在边BD （包括端点）上，则点B 横坐标的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必写x 的取值范围）【答案】（1）(2,0)A -，见解析，点P 会落在4T 的台阶上；（2）2(7)11y x =--+，其对称轴与台阶5T 有交点；（32-．【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点A 的坐标可以确定y 轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线C ，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶5T 有交点； （3）抓住二次函数图象不变，是BDE 在左右平移，要求点B 横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．【详解】解：（1）当0y =，24120x x -++=，解得：2,6x x =-=，A 在左侧，(2,0)A ∴-， 2412y x x =-++关于22b x a=-=对称，y ∴轴与OK 重合，如下图：由题意在坐标轴上标出相关信息，当7y =时，24127x x -++=，解得：1,5x x =-=，4.556<<，∴点P 会落在4T 的台阶上，坐标为(5,7)P ，（2）设将抛物线L ，向下平移5个单位，向右平移a 的单位后与抛物线C 重合，则抛物线C 的解析式为：2(2)11y x a =---+，由（1）知，抛物线C 过(5,7)P ，将(5,7)P 代入2(2)11y x a =---+，27(3)11a =--+，解得：5,1a a ==（舍去，因为是对称轴左边的部分过(5,7)P ）， 抛物线C :2(7)11y x =--+，2(7)11y x =--+关于72b x a=-=，且677.5<<，∴其对称轴与台阶5T 有交点．（3）由题意知，当BDE 沿x 轴左右平移，恰使抛物线C 下落的点P 过点D 时，此时点B 的横坐标值最大；当0y =，2(7)110x --+=，解得：1277x x ==（取舍），故点B 的横坐标最大值为：8当BDE 沿x 轴左右平移，恰使抛物线C 下落的点P 过点B 时，此时点B 的横坐标值最小；当2y =，2(7)112x --+=，解得：1210,4x x ==（舍去），故点B 的横坐标最小值为：10，则点B 横坐标的最大值比最小值大：81022-．【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式． 7．（2021·广西来宾市·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥． 【分析】（1）根据题意可知：点A （0，4）点B （4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bx c =-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解； （3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为 61(7,)12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意可知：点A （0，4），点B （4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得， 2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩， ∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++； （2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米， ∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=， 解得：14x =-（不合题意，舍去）， 212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A （0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++， ∵抛物线22117161C :1=(7)1261212y x x x =-++--+，∴坡顶坐标为 61(7,)12， ∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时， ∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥． 【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．8．（2021·贵州安顺市·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）y =14-x 2+2x （0≤x ≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m ≤8 【分析】（1）设二次函数的解析式为：y =a (x -8)x ，根据待定系数法，即可求解； （2）把：x =1，代入y =14-x 2+2x ，得到对应的y 值，进而即可得到结论； （3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围．【详解】（1）根据题意得：A (8，0)，B (4，4)，设二次函数的解析式为：y =a (x -8)x ，把(4，4)代入上式，得：4=a ×(4-8)×4，解得：14a =-， ∴二次函数的解析式为：y =14-(x -8)x =14-x 2+2x （0≤x ≤8）； （2）由题意得：x =0.4+1.2÷2=1，代入y =14-x 2+2x ，得y =14-×12+2×1=74＞1.68， 答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x ≤8时，新函数表达式为：y =14x 2-2x ， 当x ＜0或x ＞8时，新函数表达式为：y =-14x 2+2x ， ∴新函数表达式为：2212(08)412(08)4x x x y x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩或，∵将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，∴O '（m ，0），A '（m +8，0），B '（m +4，-4），如图所示，根据图像可知：当m +4≥9且m ≤8时，即：5≤m ≤8时，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．9．（2021·湖北中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）【答案】（1）1090y x =-+；（2）4万元；（3）当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）将8x =代入()20%10a x =-求出a 的值，代入y 与x 的函数关系式求出该月的销售量，再利用a 乘以该月的销售量即可得；（3）设该月纯收入为w 万元，先根据纯收入的计算公式求出w 与x 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，将点(6,30),(7,20)代入得：630720k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1090k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 的函数关系式为1090y x =-+；（2）当8x =时，()20%1080.4a =⨯-=，1089010y =-⨯+=，则0.4104⨯=（万元）， 答：政府该月应付给厂家补贴4万元；（3）设该月纯收入为w 万元，由题意得：(1090)6(1090)(20%1(1090)0)w x x x x x -=-+--++-+，整理得：28(5)(9)8(7)32w x x x =---=--+，由二次函数的性质可知，在69x ≤<内，当7x =时，w 取得最大值，最大值为32，答：当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．10．（2021·辽宁大连市·中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得： 501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+； （2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ∵5080x ≤≤，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．11．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x （元）和游客居住房间数y （间）符合一次函数关系，如图是y 关于x 的函数图象．（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，200x 320≤≤；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，根据待定系数法即可得出答案；（2）设宾馆每天的利润为W 元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W 关于x 的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．【详解】（1）根据题意，设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，图象过（280，40），（290，39），∴2804029039k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：-0.168k b =⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，∵每间房价不低于200元且不超过320元 ∴200x 320≤≤（2）设宾馆每天的利润为W 元，()()()2w=x-20y=x-20-0.1x+68=-0.1x +70x-1360， ∴()22w=-0.1x +70x-1360=-0.1x-350+10890 当x ＜350时，w 随x 的增大而增大，∵200x 320≤≤，∴当x=320时，W 最大=10800∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．12．（2021·贵州铜仁市·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y （万元）与月销售量x （辆）（4x ≥）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y 与x 的关系式1y =________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，请你根据上述条件，求出月销售量()4x x ≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)1122y x =-；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元 【分析】(1)观察表格中数据可知，1y 与x 的关系式为一次函数的关系，设解析式为1y kx b =+，再代入数据求解即可；(2)根据已知条件“每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ”，求出y 的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可．【详解】解：(1)由表中数据可知，1y 与x 的关系式为一次函数的关系，设解析式为1y kx b =+，代入点(4,0)和点(5,0.5)，得到040.55k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故1y 与x 的关系式为1122y x =-； (2)由题意可知：降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ， 即：211(22216)822y x x x x ，其中4x ≥， ∴y 是x 的二次函数，且开口向下，其对称轴为82b x a=-=， ∴当8x =时，y 有最大值为21888322万元， 答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键．13．（2021·湖北鄂州市·中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）【答案】（1）4200y x =+；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y （元）与种粮面积x （亩）之间的函数关系为4200y x =+，进而得出W 与x 的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：160840190960k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：4200k b =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为4200y x =+． （2）设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得：()21604200120W x x ⎡=-+⎤⎣⎦+⋅242080x x =-+()24260270400x =--+． ∵40-<，∴当260x <时，y 随x 的增大而增大．由题意知：240x ≤，∴当240x =时，W 最大，最大值为268800元．即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W 与x 的函数关系式是求最值问题的关键．14．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30） （300-10x ）＝3360 解得：x 1＝2，x 2＝18∵要尽可能减少库存，∴x 2＝18不合题意，故舍去 ∴T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x --+∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．15．（2021·湖北随州市·中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．。

专题03 整式及运算一、单选题1．（2021年福建中考）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．()2211a a -=-C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a = 【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误；B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误；C ：63633a a a a -÷==，故C 错误；D ：()()2232332622?44a a a a ⨯===．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．2．（2021年广东中考）已知93,274m n ==，则233m n +=（ ）A ．1B ．6C ．7D ．12【答案】D【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．【详解】解：∵93,274m n ==，∵232323333(3)(3)927=34=12m n m n m n m n +=⨯=⨯=⨯⨯，∵故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．3．（2021年浙江丽水中考）计算：()24a a -⋅的结果是（ ） A ．8aB ．6aC ．8aD ．6a -【答案】B【分析】 根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式24246a a a a +=⋅==．故选B ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．4．（2021年四川资阳中考）下列计算正确的是（ ）A ．2242a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．22(3)6a a =D ．623+=a a a 【答案】B【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算作出判断．【详解】解：A . 2222a a a +=，故此选项不符合题意；B . 23a a a ⋅=，正确，故此选项符合题意；C . 22(3)9a a =，故此选项不符合题意；D . 62,a a 不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．5．（2021年四川自贡中考）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是（ ）A ．31B ．31-C ．41D ．41-【答案】B根据题意，可先求出x 2-3x 的值，再化简()22395=3+53x x x x -++--，然后整体代入所求代数式求值即可．【详解】解：∵23120x x --=，∵23=12x x -，∵()223395=3+5=312+5=31x x x x -++---⨯-． 故选：B ．【点睛】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出23=12x x -，是解题的关键．6．（2021年四川乐山中考）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ） A ．8n m （元） B ．8n m （元） C ．8m n （元） D ．8m n（元） 【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；【详解】∵m 千克的售价为n 元，∵1千克商品售价为n m， ∵8千克商品的售价为8n m （元）； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．7．（2021年四川泸州中考）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或40【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得2m =或1m =-，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．【详解】解：一元二次方程2220x mx m m ++-=21,2,a b m c m m ===-2122c m x am x ==-= 220m m --=(2)(1)0m m ∴-+=2m ∴=或1m =-当2m =时，原一元二次方程为2420x x ++=12=24b m ax x +-=-=-， 22221212122)+2((2)(2)()+4=x x x x x x +∴++，221212122=()2x x x x x x ++-221212212212)+(2)(2)=)(2(4+4x x x x x x x x -∴+++22=2+2(4)424⨯--⨯+32=当1m =-时，原一元二次方程为2220x x +=-2(2)41240∆=--⨯⨯=-<原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2021年四川泸州中考）已知1020a =，10050b =，则1322a b ++的值是（ ） A ．2B ．52C ．3D ．92【答案】C【分析】 根据同底数幂的乘法31010010a b ⋅=，可求23a b +=再整体代入即可．【详解】解: ∵1020a =，10050b =，∵2310100102050100010a b a b +⋅==⨯==，∵23a b +=， ∵()()1311233332222a b a b ++=++=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．9．（2021年云南中考）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ） A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a + 【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...，∵第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．10．（2021年浙江金华中考）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）A ．先打九五折，再打九五折B ．先提价50%，再打六折C ．先提价30%，再降价30%D ．先提价25%，再降价25% 【答案】B【分析】设原件为x 元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】设原件为x 元，∵先打九五折，再打九五折，∵调价后的价格为0.95x ×0.95=0.9025x 元，∵先提价50%，再打六折，∵调价后的价格为1.5x ×0.6=0.90x 元，∵先提价30%，再降价30%，∵调价后的价格为1.3x ×0.7=0.91x 元，∵先提价25%，再降价25%，∵调价后的价格为1.25x ×0.75=0.9375x 元，∵0.90x ＜0.9025x ＜0.91x ＜0.9375x故选B【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．11．（2021年浙江温州中考）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．()20 3.6a +元【答案】D【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a 元，后面3立方米单价为（a +1.2）元，∵应缴水费为17a +3（a +1.2）=20a +3.6（元），故选：D ．【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．11．（2021年甘肃武威中考）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b ++=+，那么我们称这一对数,a b 为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．3 【答案】A【分析】先根据新定义，可得9m +4n =0，将整式()21]2[33m m n ++-去括号合并同类项化简得942m n +-，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵(),m n 是“相随数对”， ∵2323m n m n ++=+， 整理得9m +4n =0，()323213642942[]2m m n m m n m n ++-=++-=+-=-．故选择A ．【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．12．（2021年山东临沂中考）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【分析】 根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∵再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．13．（2021年山东泰安中考）下列运算正确的是（ ）A ．235235x x x +=B ．()3326x x -=- C ．()222x y x y +=+D ．()()2322349x x x +-=- 【答案】D【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．解：A 、x 2和x 3不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、()3328x x -=-，此选项错误；C 、()2222x y x xy y +=++，此选项错误；D 、()()23223(23)(23)49x x x x x +-=+-=-，此选项正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键． 14．（2021年安徽）计算23()x x ⋅-的结果是（ ）A ．6xB ．6x -C ．5xD ．5x - 【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可【详解】解：52233=-()x x x x +⋅-=-故选：D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，正确使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加是关键15．（2021年陕西中考）计算：()23a b -=（ ）A ．621a bB ．62a bC ．521a bD ．32a b -【答案】A【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可．【详解】解：()23621a b a b -=， 故选：A ．本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 16．（2021年湖南衡阳中考）下列运算结果为6a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．()23aD ．2312a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可．【详解】A 选项，23235a a a a +⋅==，不符合题意；B 选项，12210122=a a a a -=÷，不符合题意；C 选项，()23326=a a a ⨯=，符合题意；D 选项，22233611=1224a a a ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式的积的乘方，再把所得的幂相乘．17．（2021年浙江台州中考）已知（a ＋b ）2＝49，a 2＋b 2＝25，则ab ＝（ ）A ．24B ．48C ．12D ．【答案】C【分析】利用完全平方公式计算即可．【详解】解：∵()222249a b a b ab +=++=，2225a b +=， ∵4925122ab -==，【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．18．（2021年浙江台州中考）将x 克含糖10%的糖水与y 克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A ．20% B ．+100%2x y ⨯ C ．+3100%20x y⨯ D ．+3 100%10+10x yx y ⨯【答案】D【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．【详解】 解：混合之后糖的含量：10%30%3100%1010x y x yx y x y ++=⨯++，故选：D ．【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．19．（2021年江苏苏州中考）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则baa b +等于（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab ++， ∵()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++，∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=， ∵()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+，故选：A ．本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．20．（2021年上海中考）下列单项式中，23a b 的同类项是（ ）A ．32a bB ．232a bC ．2a bD ．3ab 【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∵32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∵232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∵2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∵3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．21．（2021年四川广安中考）下列运算中，正确的是（ ）A ．2510a a a ⋅=B ．222()a b a b -=-C ．()23636a a -=D ．22232a b a b a b -+=- 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．解：A 、257a a a ⋅=，故选项错误；B 、222()2a b a b ab -=+-，故选项错误；C 、()23639a a -=，故选项错误；D 、22232a b a b a b -+=-，故选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．22．（2021年四川眉山中考）下列计算中，正确的是（ ）A ．5315a a a ⨯=B ．53a a a ÷=C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+ 【答案】C【分析】逐一分析各选项中的计算结果，利用计算公式进行计算即可得到正确选项．【详解】解：A 选项中，538a a a ⨯=；B 选项中，532a a a ÷=;C 选项正确；D 选项中，()2222a b a ab b +=++;故选：C ．【点睛】本题综合考查了同底数幂的乘法计算、同底数幂的除法计算、幂的乘方运算、积的乘方运算、完全平方公式等内容，解决本题的关键是牢记对应法则和公式即可．23．（2021年湖南岳阳中考）下列运算结果正确的是（ ）A ．32a a -=B ．248a a a ⋅=C ．()()2224a a a +-=-D ．()22a a -=- 【答案】C【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．【详解】解：A 选项中：32a a a -=，因此错误；B 选项中：246·a a a =，因此错误;C 选项中：()()2224a a a +-=-，因此正确； D 选项中：()22a a -=，因此错误；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．24．（2021年浙江台州中考）下列运算中，正确的是（ ）A ．a 2＋a ＝a 3B ．（-ab ）2＝-ab 2C ．a 5÷a 2＝a 3D ．a 5・a 2＝a 10【答案】C【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．【详解】解：A ．2a 与a 不是同类项，不能合并，故该项错误；B ．()222b a ab =-，故该项错误；C ．523a a a ÷=，该项正确；D ．527a a a ⋅=，该项错误；故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键． 25．（2021年四川成都中考）下列计算正确的是（ ）A ．321mn mn -=B ．()22346m n m n =C ．()34m m m -⋅=D ．()222m n m n +=+ 【答案】B【分析】 利用合并同类项法则可判定A ，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B ，利用同底数幂乘法法则可判定C ，利用完全平方公式可判定D ．【详解】解：A . 321mn mn mn -=≠，故选项A 计算不正确；B. ()()()222232346m n m n m n =⋅=，故选项B 计算正确； C . ()3344m m m m m m -⋅=-⋅=-≠，故选项C 计算不正确；D . ()222222m n m mn n m n +=++≠+，故选项D 计算不正确．故选择B ．【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键．26．（2021年山东临沂中考）计算3325a a 的结果是（ ）A ．610aB ．910aC ．37aD ．67a【答案】A【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．【详解】解：6332510a a a =⋅，故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．27．（2021年浙江宁波中考）计算()3a a ⋅-的结果是（ ）A ．2aB ．2a -C ．4aD ．4a -【答案】D【分析】 根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可．【详解】解：原式4a =-．故选：D【点睛】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．28．（2021年重庆中考）计算63a a ÷的结果是（ ）A ．63aB ．52aC ．62aD ．53a 【答案】D【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．【详解】解：63a a ÷=53a ，故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 29．（2021年江苏连云港中考）下列运算正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-= 【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 30．（2021年广西玉林中考）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到： 11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∵944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．（2021年黑龙江绥化中考）下列运算正确的是（ ）A ．()257a a =B ．448x x x ⋅=C 3=±D =【答案】B【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．【详解】A 、(a 5)2=a 10，故A 错，B 、x 4∵x 4=x 8，故B 正确，C 3=，故C 错，D -3-D 错， 故选：B【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．32．（2021年河南中考）下列运算正确的是（ ）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意；B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意；C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．33．（2021年湖北鄂州中考）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．541a a -=C ．632a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】A【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．【详解】A 、23a a a ⋅=，选项正确，符合题意；B 、54a a a -=，选项错误，不符合题意；C 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；D 、()3328a a =，选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．34．（2021年江苏无锡中考）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．352()a a =C ．824a a a ÷=D ．235a a a ⋅=【答案】D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A. 2a a +，不是同类项，不能合并，故该选选错误，B. 236()a a =，故该选项错误，C. 826a a a ÷=，故该选项错误，D. 235a a a ⋅=，故该选项正确，【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．35．（2021年内蒙古通辽中考）下列计算正确的是（ ）A ．335x x x +=B ．3321x x -=C ．347x x x ⋅=D ．()323626xy x y -=- 【答案】C【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．【详解】A.3332x x x +=，故该选项计算错误，不符合题意，B.3332x x x -=，故该选项计算错误，不符合题意，C.33744x x x x +⋅==，故该选项计算正确，符合题意，D.()323323362(2)8xy x y x y ⨯-=-=-，故该选项计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．36．（2021年湖南中考）已知0a ≠，下列运算正确的是（ ）A ．321a a -=B ．326a a a ⋅=C ．32a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得．【详解】A 、32a a a -=，此项错误，不符题意；B 、2326a a a ⋅=，此项错误，不符题意；C 、32a a a ÷=，此项正确，符合题意；D 、()3328a a =，此项错误，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 37．（2021年内蒙古呼和浩特中考）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-= D ．21111a a a a --=-- 【答案】D【分析】 根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错； 21111a a a a --=--，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 38．（2021年四川宜宾中考）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628a a =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．39．（2021年黑龙江齐齐哈尔中考）下列计算正确的是（ ）A．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y -= 【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．40．（2021年湖北中考）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33(2)6a a =D ．1234a a a ÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得．【详解】A 、23a a a ⋅=，此项正确，符合题意；B 、()326a a =，此项错误，不符题意；C 、33(2)8a a =，此项错误，不符题意；D 、1239a a a ÷=，此项错误，不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．41．（2021年山东威海中考）下列运算正确的是（ ）A ．236(3)9a a -=-B ．235()a a a -⋅=C ．222(2)4x y x y -=-D ．22445a a a += 【答案】B【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．【详解】解：A . 236(3)27a a -=-，原选项计算错误，不符合题意；B . 235()a a a -⋅=原选项计算正确 ，符合题意；C. 222(2)44x y x xy y -=-+，原选项计算错误，不符合题意；D . 22245a a a +=，原选项计算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．42．（2021年山东济宁中考）下列各式中，正确的是（ ）A ．223x x x +=B ．()x y x y --=--C ．()325x x =D ．532x x x ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、23x x x +=，此选项错误，不符合题意；B 、()+x y x y --=-，此选项错误，不符合题意；C 、()326x x =，此选项错误，不符合题意； D 、532x x x ÷=，此选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．43．（2021年黑龙江鹤岗中考）下列运算中，计算正确的是（ ）A ．2352m m m +=B ．()32626a a -=- C ．()222a b a b -=- D =【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A 、2m 与3m 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B 、()32628a a -=-，错误，故不符合题意；C 、()2222a b a ab b -=-+，错误，故不符合题意；D =故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．44．（2021年内蒙古中考）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3-【答案】C【分析】 先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．45．（2021年山东济宁中考）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ）A ．23B ．511C ．59D ．12 【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．46．（2021年湖北十堰市）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【答案】B【分析】 根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，∵第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∵第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 47．（2021年广西来宾中考）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．()325a a =D ．2232a a a -= 【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，原选项计算正确，符合题意；B. 624a a a ÷=，原选项计算错误，不合题意；C. ()326a a =，原选项计算错误，不合题意；D. 232a a -，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公式和法则是解题关键．二、填空题48．（2021年天津中考）计算42a a a +-的结果等于_____．【答案】5a【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案．【详解】()424215a a a a a +-=+-=故答案为：5a ．【点睛】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解．49．（2021年广东中考）若1136x x +=且01x <<，则221x x -=_____． 【答案】6536-【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】 ∵1136x x +=， ∵2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=， ∵01x <<， ∵1x x<， ∵1x x-=56-， ∵221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-，故答案为：6536-【点睛】 本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．50．（2021年江苏扬州中考）计算：2220212020-=__________．【答案】4041【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：2220212020-=()()2021202020212020+⨯-=40411⨯=4041故答案为：4041．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．51．（2021年浙江嘉兴中考）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【答案】()221n n --． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∵22110=-，22321=-，22532=-，…∵第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --． 【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键． 52．（2021年四川遂宁中考）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∵第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时， ()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∵第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．53．（2021年湖南岳阳中考）已知1x x +=，则代数式1x x +=______． 【答案】0【分析】把1x x+=直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值． 【详解】10x x+== 故答案为：0．【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．54．（2021年江苏苏州中考）若21m n +=，则2366m mn n ++的值为______．【答案】3【分析】根据21m n +=，将式子2366m mn n ++进行变形，然后代入求出值即可．【详解】∵ 21m n +=，∵2366m mn n ++=3m (m +2n )+6n =3m +6n =3(m +2n )=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．55．（2021年江苏扬州中考）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．。

2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一.填空题（每题3分,满分30分）1．（3分）（2015•黑龙江）2021年1月29日,联合国贸易和发展会议公布的《全球投资趋势报告》称,2021年中国吸引外国投资达1280亿美元,成为全球外国投资第一大目的地国．1280亿美元用科学记数法表示为 美元．2．（3分）（2015•黑龙江）在函数y=中,自变量x的取值范围是 ．3．（3分）（2015•黑龙江）如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．4．（3分）（2015•黑龙江）在一个口袋中有5个除颜色外完全相同的小球,其中有3个黄球,1个黑球,1个白球,从中随机摸出一个小球,则摸到黄球的概率是 ．5．（3分）（2015•黑龙江）不等式组的解集是 ．6．（3分）（2015•黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解,则m= ．7．（3分）（2015•黑龙江）如图,从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上）,将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆的半径是 米．8．（3分）（2015•黑龙江）某超市“五一放价”优惠顾客,若一次性购物不超过300元不优惠,超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元,第二次购物付款288元,若这两次购物合并成一次性付款可节省 元．9．（3分）（2015•黑龙江）正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点,点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形,则腰长为 ．10．（3分）（2015•黑龙江）如图,在平面直角坐标系中,点A（0,）、B（﹣1,0）,过点A作AB的垂线交x轴于点A1,过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2,过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去,直至得到点A2015为止,则点A2015坐标为 ．二.选择题（每小题3分,共30分）11．（3分）（2015•黑龙江）下列各运算中,计算正确的是（ ）　A．a2+a3=a5B．a6÷a2=a3C．（﹣2）﹣1=2D．（a2）3=a612．（3分）（2015•黑龙江）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）　A．B．C．D．13．（3分）（2015•黑龙江）关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是（ ）　A．图象过（1,2）点B．图象在第一、三象限　C．当x＞0时,y随x的增大而减小D．当x＜0时,y随x的增大而增大14．（3分）（2015•黑龙江）由几个相同的小正方形搭成的一个几何体如图所示,这个几何体的主视图是（ ）　A．B．C．D．15．（3分）（2015•黑龙江）近十天每天平均气温（℃）统计如下：24,23,22,24,24,27,30,31,30,29．关于这10个数据下列说法不正确的是（ ）　A．众数是24B．中位数是26C．平均数是26.4D．极差是916．（3分）（2015•黑龙江）如图所示的容器内装满水,打开排水管,容器内的水匀速流出,则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（ ）　A．B．C．D．17．（3分）（2015•黑龙江）如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）　A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°18．（3分）（2015•黑龙江）△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是（ ）　A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．519．（3分）（2015•黑龙江）为推进课改,王老师把班级里40名学生分成若干小组,每小组只能是5人或6人,则有几种分组方案（ ）　A．4B．3C．2D．120．（3分）（2015•黑龙江）如图,正方形ABCD中,点E是AD边中点,BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论：①AG⊥BE。

2021年全国各省市数学中考真题分类汇编：一次函数解答（一）1．（2021•牡丹江）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C 地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．2．（2021•牡丹江）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多30元．已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．（1）问篮球和足球的单价各是多少元？（2）若篮球的售价为150元，足球的售价为110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场共有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？（3）某希望小学为庆祝中国共产党成立100周年，举行百人球操表演，准备购买（2）中商场获利最大方案购进的这100个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出30个球赠送给这所希望小学，这样，希望小学相当于七折购买这批球．请直接写出商场赠送的30个球中篮球和足球的个数．3．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x 的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．4．（2021•毕节市）某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？5．（2021•湘西州）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A 类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？6．（2021•黑龙江）如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B 在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：（1）求点A的坐标；（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN ＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•黑龙江）A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B 两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案．8．（2021•黔东南州）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式；②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）9．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：售价（元/斤）品种进价（元/斤）鲢鱼a 5草鱼b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分8 7已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．（1）求a，b的值；（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．10．（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m＝，n＝；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．11．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm．（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）12．（2021•呼和浩特）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min）被叫方式一58 150 0.25 免费方式二88 350 0.19 免费考虑下列问题：月使用费固定收：主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的，y表示问题中的．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）13．（2021•黑龙江）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m的值是；轿车的速度是km/h；（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km ）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？14．（2021•贵阳）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：产品展板宣传册横幅1制作一件产品所需时间（小时）制作一件产品所获利润20 3 10（元）（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．15．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x （天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．16．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）0 2 4 6 8箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）17．（2021•黑龙江）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB﹣BC﹣CD﹣DE，结合图象回答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离是km；（2）求两车的速度分别是多少km/h？（3）求线段CD的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？18．（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A 地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲的骑行速度为米/分，点M的坐标为；（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A 地之前，分钟时两人距C地的距离相等．19．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：A款玩偶B款玩偶类别价格进货价（元/个）40 30销售价（元/个）56 45（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率＝×100%）20．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？参考答案1．【解答】解：（1）由函数图象得B地跑步到A地的路程是400米，∵乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，∴a＝3﹣1＝2，∴乐乐去A地的速度为：400÷2＝200（米/分钟），故答案为：2，200米/分钟；（2）设FG的解析式为：s＝kt+b（k≠0），∵s＝kt+b（k≠0）的图象过点F（3，0）、G（7，1200），∴，解得：，∴FG的解析式为：s＝300t﹣900（3＜t≤7），即乐乐从A地到C地的函数解析式：s＝300t﹣900（3＜t≤7）；（3）设OH的解析式为：s＝kt（k≠0），∵s＝kt（k≠0）的图象过点H（8，1200），∴1200＝8k，解得：k＝150，∴OH的解析式为：s＝150t（0≤t≤8），即男男从A地到C地的函数解析式：s＝150t，①0≤t≤2时，200t＝400﹣150t，解得：t＝；②2＜t≤3时，400＝150t﹣400，解得：t＝＞3，舍去；③3＜t≤7时，400﹣（300t﹣900）＝150t﹣400或（300t﹣900）﹣400＝150t﹣400，解得：t＝或t＝6，综上，两人距B地的距离相等的时间为分钟或分钟或6分钟．2．【解答】解：（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+30）元，由题意得：，解得：x＝90，经检验：x＝90是原分式方程的解，则x+30＝120，答：足球单价为90元，则篮球单价为120元；（2）设购买篮球n个，则购买足球（100﹣n）个，由题意得：120n+90（100﹣n）≤10350，解得：n≤45，∵篮球不少于40个，∴40≤n≤45，∴有6种方案：设商场获利w元，由题意得：w＝（150﹣120）n+（110﹣90）（100﹣n）＝10n+2000，∵10＞0，∴w随n的增大而增大，∴n＝45时，w有最大值，100﹣45＝55（个），答：商场共有6种货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大；（3）设商场赠送的30个球中篮球m个，足球（30﹣m）个，由题意得：110×[55﹣（30﹣m）]+150×（45﹣m）＝（150×45+110×55）×0.7，解得：m＝，∵m是正整数，∴m＝13或14，30﹣m＝17或16，答：商场赠送的30个球中篮球13个和足球17个或篮球14个和足球16个．3．【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，y A＝0.9x；当x＞300时，y A＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，故；当x＞100时，y B＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；；（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，∴300＜x＜400，到B超市更省钱；0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，∴当x＝400时，两家超市一样；0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，∴当x＞400时，到A超市更省钱；综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．4．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y＝2×1000+0.75×1000×（x﹣2）＝750x+500；乙（2）①y甲＜y乙，800x＜750x+500，解得x＜10，②y甲＝y乙，800x＝750x+500，解得x＝10，③y甲＞y乙，800x＞750x+500，解得x＞10，答：当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．5．【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：，解得，答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；（2）由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；1.5（22﹣a）≥2a，又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，∴a为偶数，解得a≤8，∴0≤a≤8（且a为偶数）；（3）由（2）得w＝50a+16500，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）．答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．6．【解答】解：（1）由x2﹣9x+20＝0，得（x﹣4）（x﹣5）＝0．解得x1＝4，x2＝5．∵OB＜OA∴OB＝4，OA＝5.．∵点A在第二象限，∴点A（﹣4，3）．（2）∵tan∠AMN＝1，∴∠AMN＝45°．∵S△AMN＝2，∴AN＝AM＝2．∴BM＝1．∴点M（﹣4，1）．∵AB＝3，AC＝OB＝4，∴CN＝AC﹣AN＝4﹣2＝2．∴点N（﹣2，3）．设直线MN的解析式为y＝kx+b，把点M（﹣4，1），N（﹣2，3），代入得，解得．∴直线MN的解析式为y＝x+5．（3）如图所示，过点F作FQ3⊥y轴于点Q3，过点P1作P1G⊥x轴，与FQ3交于点G．点E的坐标为（0，5），∵OA过原点，∴OA的表达式为y＝kx，把点A（﹣4，3）代入得．列方程组，解得．∴点F（，），点Q3（0，）．．情况一：以EF为正方形的边可作正方形EFQ1P1或FEP2Q2，则△P1GF≌△FQ3E，．P的纵坐标为，1P的横坐标为﹣（）＝﹣．1∴Q2的坐标为（，5）．同理可得Q1的坐标为（，）．情况二：以EF为对角线在EF的左侧作正方形FQ3EP3，FQ＝EQ3，且∠EFQ3＝45°，3此时Q3的坐标为（0.）．综上，当点Q的坐标分别为Q1，Q2，Q3时，存在E，F，P，Q为顶点的正方形．7．【解答】解：（1）当0h时，甲车和乙车距C地为180km，∴两地的路程为：180+180＝360km，设甲车经过180km用了xh，则：x+x+x+1＝5.5，∴x＝1.5，则甲车速度为：180÷1.5＝120（km/h）；（2）设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（3，0），（6，180）代入y＝kx+b（k≠0），得：，解得：，∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝60x﹣180；（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为180km，①甲车从A地到C地，乙车从B到C，﹣120x+180+（﹣60x+180）＝180，解得：x＝1；②甲车从C到B，乙车从C到A，﹣120x﹣300+60x﹣180＝180，解得：x＝；③甲车从B到C，乙车从C到A，﹣120x+660+60x﹣180＝180，解得：x＝5．总上所述：分别在1h，h，5h这三个时间点，两车在途中距C地的路程之和为180km．8．【解答】解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据题意，得，解得：，答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，自变量的取值范围是：0≤x≤200，∵k＝4＞0，∴y随x增大而增大．当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元．答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．9．【解答】解：（1）根据题意得：，解得；（2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120），当300﹣x≤200时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600；当300﹣x＞200时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣x+500；∴；②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，∴0.5﹣m＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W的值最小，由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，解得m≤0.25，∴m的最大值为0.25．10．【解答】解：（1）∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，B点小亮追上小刚，相遇，∴4m+16＝5m，解得：m＝16，∵E点是小刚到达乙地，∴n＝[]×（6﹣5）＝，故答案为：16；，（2）由题意可知点C横坐标为16+＝48，∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，∴纵坐标为（5﹣4）×（48﹣16）＝32，∴C（48，32），设S CD＝k1t+b1，将C（48，32），D（80，0）代入，，解得：，∴S CD＝﹣t+80（48≤t≤80），∴E点横坐标为，E点纵坐标为，∴E（，），设S EF＝k2t+b2，将E，F两点坐标代入可得，，解得：，∴S EF＝﹣5t+720（），（3）∵B（16，0），C（48，32），D（80，0），E（，），F（144，0），设S BC＝k3t+b3，将B，C两点坐标代入可得，，解得：，∴S BC＝t﹣16（16＜t≤48），设S DE＝k4t+b4，将D，E两点坐标代入可得，，解得：，∴S DE＝t﹣80（80＜t≤），当S＝30时，S BC＝t﹣16＝30，解得t＝46；S CD＝﹣t+80＝30，解得t＝50；S DE＝t﹣80＝30，解得t＝110；S EF＝﹣5t+720＝30，解得t＝138；综上，t为46，50，110，138时，两人相距30米．11．【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；∵甲槽的水是匀速外倒，∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；故答案为：乙，甲，16；（2）由图像可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，设AB的解析式为y＝kx+b，将点（0，14），（7，0）代入，得解得，，∴y＝﹣2x+14；设ED的解析式为y＝mx+n，将点（0，4），（4，16）代入，得，解得，∴y＝3x+4；联立方程，∴，∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．12．【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；方式一：y＝；方式二：y＝；故答案为：主叫时间，计费；（2）大致图象如下：由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．13．【解答】解：（1）由图象得，m＝1+（3﹣1）×2＝5；轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；故答案为：5；120；（2）①设y MN＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），∴，解得，∴y MN＝﹣66x+240（0≤x＜2.5），y NG＝75（2.5≤x＜3.5）；③设y GH＝k2x+b2（k2≠0）（3.5≤x≤5），∵图象经过点G（3.5，75）和点H（5，0），∴，解得，∴y GH＝﹣50x+250，∴；（3）货车从A前往B地的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），设轿车出发a小时与货车相距12km，根据题意，得66（1+a）+120a＝240+12或66（1+a）+120a＝240﹣12，解得a＝1或a＝，答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或小时与货车相距12km．14．【解答】解：（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，由题意得：，解得：，答：制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件；（2）设制作种产品总量为w件，展板数量m件，则宣传册数量5m件，横幅数量（w ﹣6m）件，由题意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700，解得：w＝m+70，∴w是m的一次函数，∵k＝，∴w随m的增加而增加，∵三种产品均有制作，且w，m均为正整数，∴当m＝2时，w有最小值，则w min＝75，答：制作三种产品总量的最小值为75件．15．【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．16．【解答】解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+6；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．17．【解答】解：（1）由函数图象得，甲、乙两地之间的距离是180km，故答案为：180；（2）设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为（x+20）千米/小时，根据题意，得：x+（x+20）＝180，解得x＝80，答：货车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米/小时；（3）设点D的横坐标为x，则：80（x﹣1.5）+100（x﹣1.5）＝144，解得x＝2.3，故点D的坐标为（2.3，144），设线段CD的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则：，解得，∴y＝180x﹣270；当180x﹣270＝20时，解得x＝；设AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则：，解得，∴线段AB的解析式为：y＝﹣180x+180，当﹣180x+180＝20时，解得x＝，∴货车出发小时或小时，与轿车相距20km18．【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：（米/分），240×（11﹣1）÷2＝1200（米），因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，则点M的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）；（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），∴，解得，∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20＝60（米/分），如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，∴BC＝1200﹣1020＝180，分5种情况：①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，x＝，此种情况不符合题意；②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，∴1020﹣240x＝60x﹣180，x＝4，此种情况符合题意；③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意；④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），即x＝6时两人距C地的路程相等，⑤当x＞6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，x＝8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．故答案为：4或6或8．19．【解答】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30﹣x）个，由题意，得40x+30（30﹣x）＝1100，解得：x＝20．30﹣20＝10（个）．答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；（2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（30﹣a）个，获利y元，由题意，得y＝（56﹣40）a+（45﹣30）（30﹣a）＝a+450．∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．∴a≤（30﹣a），∴a≤10，∵y＝a+450．∴k＝1＞0，∴y随a的增大而增大．∴a＝10时，y最大＝460元．∴B款玩偶为：30﹣10＝20（个）．答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；（3）第一次的利润率＝×100%≈42.7%，第二次的利润率＝×100%＝46%，∵46%＞42.7%，∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．20．【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱，依题意得70x+40（100﹣x）＝4600，解得：x＝20，100﹣20＝80（箱），答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，依题意得0＜m≤1000×30%，解得0＜m≤300，。

2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2021的相反数是()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列计算正确的是()A. ±√16=±4B. (3m2n3)2=6m4n6C. 3a2⋅a4=3a8D. 3xy−3x=y4.喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8.已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是()A. 5B. 5.5C. 6D. 75.一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=47°，则∠2的度数为()A. 43°B. 47°C. 133°D. 137°6.某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数图象大致是()A. B.C. D.7.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为()A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个8.五张不透明的卡片，正面分别写有实数−1，√2,115,√9，5.06006000600006…(相邻两个6之间0的个数依次加1)，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 459.周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱(两种物品都买)，小明的购买方案共有()A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=−1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a−2b+c<0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为−3和1；④若点(−4,y)，(−2,y)，(3,y)均在二次函数图象上，则y<y<y；⑤a−b<m(am+b)(m为任意实数)．其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为______ ．12.如图，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是______ .(只需写出一个条件即可)13.圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为______ cm．14.若关于x的分式方程3xx−1=m1−x+2的解为正数，则m的取值范围是______ ．15.直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为______ ．16.如图，点A是反比例函数y=k1x(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x(x<0)的图象交于点B，AB=3BC，连接OA，OB.若△OAB的面积为6，则k1+k2=______ ．17.如图，抛物线的解析式为y=x2，点A1的坐标为(1,1)，连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点P n(n为正整数)的坐标是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共69.0分）)−2+(π−3.14)0+4cos45°−|1−√2|；18.(1)计算：(−12(2)因式分解：−3xy3+12xy．19.解方程：x(x−7)=8(7−x)．20.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查(被调查的学生只选一类并且没有不选的)，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.请根据图中所给出的信息解答下列问题：(1)本次抽样调查的样本容量是______ ；(2)请补全条形图；(3)扇形图中，m=______ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是______ °；(4)若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．(1)求证：AC平分∠EAB；(2)若AE=12，tan∠CAB=√3，求OB的长．322.在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B 地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地.甲、乙两人距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)甲的骑行速度为______ 米/分，点M的坐标为______ ；(2)求甲返回时距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；(3)请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，______ 分钟时两人距C地的距离相等．数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．(1)∠EAF=______ °，写出图中两个等腰三角形：______ (不需要添加字母)；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为______ ；(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点=______ ；M、点N，如图3，则CQBM剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．(4)求证：BM2+DN2=MN2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C、D两点之间的距离是______ ；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2021的相反数是：−2021．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A【解析】解：A、±√16=±4，正确，符合题意；B、(3m2n3)2=9m4n6，错误，不符合题意；C、3a2⋅a4=3a6，错误，不符合题意；D、不是同类项，不能计算，错误，不符合题意；故选：A．根据平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．乘方与积的乘方以及合并同类项的运算法则是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，∴(5+5+6+7+x+7+8)÷7=6，解得：x=4，将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，最中间的数是6，则这组数据的中位数是6，故选：C．根据平均数的定义先求出这组数据的x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．5.【答案】D【解析】解：如图，∵∠1=47°，∴∠3=90°−∠1=90°−47°=43°，∵∠3+∠4=180°，∴∠4=180°−43°=137°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠4=137°，故选：D．根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可．解题的关键．6.【答案】C【解析】解：某人驾车从A地上高速公路前往B地，油量在减小；中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；再次出发油量继续减小，且油量减小的速度与前面相同；到B地后发现油箱中还剩油4升；只有C符合要求．故选：C．根据某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途休息了一段时间，休息时油量不再发生变化，再次出发油量继续减小，即可得出符合要求的图象．本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．7.【答案】A【解析】解：根据题意得：，则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7(个)．故选：A．根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．8.【答案】B,√9，5.06006000600006…(相邻两个6之间0的个【解析】解：∵5个实数−1，√2,115数依次加1)，中，无理数有√2，5.06006000600006…(相邻两个6之间0的个数依次加1)2个，∴P(无理数)=25，故选：B ．用无理数的个数除以所有数据的个数即可求得答案．本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ．9.【答案】B【解析】解：设购买口罩x 包，酒精湿巾y 包，依题意得：3x +2y =30，∴x =10−23y. 又∵x ，y 均为正整数，∴{x =8y =3或{x =6y =6或{x =4y =9或{x =2y =12， ∴小明共有4种购买方案．故选：B ．设购买口罩x 包，酒精湿巾y 包，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①∵二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，∴a +b +c =0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x =−b 2a =−1，∴b =2a ，∵抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∴a−2b+c=c−3a<0，故②正确；③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为(−3,0)，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为−3和1，故③正确；④∵对称轴为直线x=−1，且开口向上，∴离对称轴越近，y值越小，∵|−4+1|=3，||−2+1|=1，|3+1|=4，∵点(−4,y1)，(−2,y2)，(3,y3)均在二次函数图象上，∴y2<y1<y3，故④不正确；⑤∵x=−1时，y有最小值，∴a−b+c≤am2+bm+c(m为任意实数)，∴a−b≤m(am+b)，故⑤不正确．所以正确的结论有①②③，共3个．故选：C．①将(−1,0)代入二次函数y=ax2+bx+c可对①进行判断；②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a>0，c<0，根据抛物线的对称轴方程得到−b=−1，则可对②进行判断；2a③利用二次函数的对称性可对③进行判断；④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；⑤根据二次函数的性质，根据x=−1时y有最小值可对⑤进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).也考查了二次函数的性质．11.【答案】7×10−7【解析】解：0.0000007=7×10−7．故答案为：7×10−7．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.【答案】∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD，∵AC=AD，∴当添加∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE．利用∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，由于AC=AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．13.【答案】9【解析】解：圆锥的底面周长为：2π×6=12π(cm)；∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，设圆锥的母线长为R cm，=12π，∴240πR180解得R=9．故答案为：9．求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．14.【答案】m <−2且m ≠−3【解析】解：去分母，得：3x =−m +2(x −1)，去括号，移项，合并同类项，得：x =−m −2．∵关于x 的分式方程3x x−1=m 1−x +2的解为正数，∴−m −2>0．又∵关于x 的分式方程3x x−1=m 1−x +2有可能产生增根x =1，∴−m −2≠1．∴{−m −2>0−m −2≠1， 解得：m <−2且m ≠−3．故答案为：m <−2且m ≠−3．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根x =1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m 的取值范围．本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．15.【答案】125或3√74【解析】解：设直角三角形斜边上的高为h ，当4是直角边时，斜边长=√32+42=5，则12×3×4=12×5×ℎ，解得：ℎ=125，当4是斜边时，另一条直角边长=√42−32=√7，则12×3×√7=12×4×ℎ，解得：ℎ=3√74， 综上所述：直角三角形斜边上的高为125或3√74， 故答案为：125或3√74． 分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．16.【答案】−20【解析】解：∵S △AOB =12AB ⋅OC =6，S △BOC =12BC ⋅OC ，AB =3BC ，∴S △BOC =2，∴S △AOC =2+6=8，又∵12|k 1|=8，12|k 2|=4，k 1<0，k 2<0，∴k 1=−16，k 2=−4，∴k 1+k 2=−16−4=−20，故答案为：−20．由△OAB 的面积为6，可求出△OBC 的面积为2，进而求出△OAC 的面积为8，再根据反比例函数系数k 的几何意义可求出k 1，k 2，进而得出答案．本题考查反比例函数系数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．17.【答案】(0,42)【解析】解：∵点A 1(1,1)，∴OA 1=√2，∠A 1OP 1=45°，∵A 1B 1⊥OA 1，∴△A 1OP 1是等腰直角三角形，∴∠A 1P 1O =∠B 1P 1P 2=45°，OP 1=2，∴P 1(0,2)，∵B 1A 2⊥A 1B 1，∴△B1P1P2是等腰直角三角形，设P1P2=2a，则：点B1(−a,2+a)，把点B1(−a,2+a)代入y=x2得：a2=2+a，解得：a=2或a=−1(舍)，∴P1P2=4，∴P2(0,6)，同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，设P3P2=2b，则：点A2(b,b+6)，把点A2(b,b+6)代入y=x2得：b2=b+6，解得：b=3或a=−2(舍)，∴P3P2=6，∴P3(0,12)，由P1(0,2)，P2(0,6)，P3(0,12)可推：点P6(0,42)．故答案为：(0,42)．由点(1,1)和A1B1⊥OA1，推出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和二次函数求出前几个P点，得出规律．本题以求点坐标为背景，考查了学生对二次函数点坐标、等腰直角三角形的性质，要求学生适当设出线段长度，表示出点的坐标，代入二次函数解析式中求出系列点P的坐标，找出规律，得出结果．18.【答案】解：(1)原式=4+1+4×√2−(√2−1)2=4+1+2√2−√2+1=6+√2；(2)原式=−3xy(y2−4)=−3xy(y+2)(y−2)．【解析】(1)先计算乘方、特殊三角形函数、绝对值的运算，再计算加法即可；(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．此题考查的是分解因式、实数的运算，正确提取公因式是解决此题关键．19.【答案】解：∵x(x−7)=8(7−x)，∴x(x−7)+8(x−7)=0，∴(x−7)(x+8)=0，∴x=7或x=−8．【解析】先移项再利用因式分解法解方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是找准公因式．20.【答案】300 35 18【解析】解：(1)由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，本次抽样调查的样本容量是：60÷20%=300(人)，故答案为：300；(2)喜爱C类电视节目的人数为：300−30−60−105−15=90(人)，补全统计图如下：×100%=35%，故m=35，(3)m%=105300=18°，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°×15300故答案为：35，18；=180(人)．(4)该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800×30300(1)从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，可求出调查人数；(2)总人数减去喜爱A、B、D、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，从而将扇形图补全；(3)根据百分比=所占人数÷总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；(4)利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】(1)证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AE⊥DE，∴OC//AE，∴∠EAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OAC，即AC平分∠EAB；(2)解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠CAB=√33，∠EAC=∠OAC，∴tan∠EAC=√33，即ECAE=√33，∴EC12=√33，解得：EC=4√3，在Rt△AEC中，AC=√AE2+EC2=√122+(4√3)2=8√3，∵tan∠CAB=BCAC =√33，∴BC=8，在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√(8√3)2+82=16，∴OB=8．【解析】(1)连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥DE ，根据平行线的性质得到∠EAC =∠OCA ，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明结论；(2)连接BC ，根据正切的定义求出EC ，根据勾股定理求出AC ，再根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理、正切的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22.【答案】240 (6,1200) 4或6或8【解析】解：(1)由题意得：甲的骑行速度为：1020÷(214−1)=240(米/分)， 240×(11−1)÷2=1200(米)，因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M 的横坐标为6，则点M 的坐标为(6,1200)，故答案为：240，(6,1200)；(2)设MN 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，∵y =kx +b(k ≠0)的图象过点M(6,1200)、N(11,0)， ∴{6k +b =120011k +b =0， 解得{k =−240b =2640， ∴直线MN 的解析式为：y =−240x +2640；即甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式：y =−240x +2640；(3)设甲返回A 地之前，经过x 分两人距C 地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60(米/分)，如图1所示：∵AB =1200，AC =1020，∴BC =1200−1020=180，分5种情况：①当0<x ≤3时，1020−240x =180−60x ，x =143>3，此种情况不符合题意；②当3<x <214−1时，即3<x <174，甲、乙都在A 、C 之间，∴1020−240x =60x −180，x=4，此种情况符合题意；<x<6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，③当214∴240(x−1)−1020=60x−180，x=6，此种情况不符合题意；④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60−180=180(米)，即x=6时两人距C地的路程相等，⑤当x>6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180−[240(x−1)−1200]=60x−180，x=6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240(x−1)−1200−180=60x−180，x=8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．故答案为：4或6或8．(1)根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；(2)利用待定系数法求MN的解析式；(3)先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，①因为乙从B地到C地一共需要3分，所以第一个时间为0<x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；②当3<x<17时，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；4<x<6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，此种情况不符合题意；③当214④当x=6时，计算甲到B地时，符合条件；⑤当x>6时，甲在返回途中，此种情况不符合题意；当甲在A、C之间时，列方程可解答．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．23.【答案】45 △AEF，△CEF，△ABC，△ADC PQ=BP+DQ√2【解析】(1)解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，(∠BAC+∠DAC)=45°，∴∠EAF=12∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD，∴△BAE≌△DAF(ASA)，∴BE=DF，AE=AF，∵CB=CD，∴CE=CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．(2)解：结论：PQ=BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT=DQ．∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，∴△ADQ≌△ABT(SAS)，∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，∵∠PAQ=45°，∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵AP=AP，∴△PAT≌△PAQ(SAS)，∴PQ=PT，∵PT=PB+BT=PB+DQ，∴PQ=BP+DQ．故答案为：PQ=BP+DQ．(3)解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AC=√2AB，∵∠BAC=∠PAQ=45°，∴∠BAM=∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴CQBM =ACAB=√2，故答案为：√2．(4)证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠DAN+∠BAM=45°，∵∠DAN=∠BAR，∴∠BAM+∠BAR=45°，∴∠MAR=∠MAN=45°，∵AR=AN，AM=AM，∴△AMR≌△AMN(SAS)，∴RM=MN，∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，∴∠RBM=90°，∴RM2=BR2+BM2，∵DN=BR，MN=RM，∴BM2+DN2=MN2．(1)利用翻折变换的性质可得∠EAF=45°，证明△BAE≌△DAF(ASA)，推出BE=DF，AE=AF，可得结论．(2)结论：PQ=BP+DQ.如图2中，延长CB到T，使得BT=DQ.证明△PAT≌△PAQ(SAS)，可得结论．(3)证明△CAQ∽△BAM，可得CQBM =ACAB=√2．(4)如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM.证明△AMR≌△AMN(SAS)，∠RBM=90°，可得结论．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】2√2【解析】解：(1)∵OA =1，∴A(−1,0)，又∵对称轴为x =2，∴B(5,0)，将A ，B 代入解析式得：{0=a −2+c 0=25a +10+c， 解得{a =−12c =52， ∴y =−12x 2+2x +52；(2)由(1)得：C(0,52)，D(2,92)，∴CD =√(92−52)2+(2−0)2=2√2，故答案为2√2；(3)∵B(5,0)，C(0,52)，∴直线BC 的解析式为：y =−12x +52，设E(x,−12x 2+2x +52)，作EF//y 轴交BC 于点F ，则F(x,−12x +52)，∴EF =−12x 2+2x +52−(−12x +52)=−12x(x −5)，∴S △BCE =12×(x B −x C )×EF =12×5×[−12x(x −5)]=−54x(x −5)，当x =52时，S △BCE 有最大值为12516；(4)设P(2,y)，Q(m,n)，由(1)知B(5,0)，C(0,52)，若BC 为矩形的对角线，则{5+0=2+m 0+52=y +n ，解得：{m =3n =52−y ，又∵∠BPC =90°，∴PC 2+PB 2=BC 2，即：22+(52−y)2+32+y 2=52+(52)2，解得y =4或y =−32，∴n =−32或n =4， ∴Q(3,4)或Q(3,6)，若BP 为矩形得对角线，则{5+2=0+m 0+y =52+n ，解得{m =7n =y −52，又∵∠BCP =90°，BC 2+CP 2=BP 2，即：52+(52)2+22+(52−y)2=32+y 2，解得y =132，∴Q(7,4)，若BQ 为矩形的对角线，则{5+m =2+00+n =y +52，解得：{m =−3n =y +52，又∵∠BCQ =90°，∴BC 2+CQ 2=BQ 2，即：52+(52)2+m 2+(52−n)2=(5−m)2+n 2，解得n =−72，∴Q(−3,−72)， 综上，点Q 的坐标为(3,4)或(3,6)或(7,4)或(−3,−72).(1)先由题意得出A ，B 的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；(2)根据两点的距离公式即可求出CD 的长度；(3)先设出E 的坐标，然后将△BCE 的面积表示出来，求出最大值即可；(4)根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q 的坐标．本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论．。