数值逼近第三章样条插值和曲线拟合

常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。

函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。

而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。

本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。

一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。

它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。

插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。

常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。

拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。

牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。

它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。

通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。

最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。

最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。

最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。

数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。

插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。

本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。

一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。

插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。

二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。

2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。

3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。

三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。

2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。

3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。

四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。

五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。

六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。

插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。

数值计算．．．．．．．．．．．3．－．插值和曲线拟合插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。

在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。

当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。

用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。

寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。

φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。

函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。

在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。

根据测量数据的类型：1．测量值是准确的，没有误差。

2．测量值与真实值有误差。

这时对应地有两种处理观测数据方法：1．插值或曲线拟合。

2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。

MATLAB中提供了众多的数据处理命令。

有插值命令，有拟合命令，有查表命令。

一维插值插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。

当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。

例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况。

interp1(x,y,xi,method)x和y为既有数据的向量，其长度必须相同。

xi为要插值的数据点向量。

method插值方法,‘nearest’/‘linear’/‘cubic’/‘spline’之一，分别为最近点插值/线性插值/分段三次Hermite插值/三次样条插值。

例x=[1.0 2.0 3.0 4.0 5.0]; %输入变量数据xy=[11.2 16.5 20.4 26.3 30.5]; %输入变量数据yx1=2.55; %输入待插值点xy11=interp1(x,y,x1,'nearest') %最近点插值方法的插值结果y12=interp1(x,y,x1,'linear') %线性插值方法的插值结果y13=interp1(x,y,x1,'cubic') %三次Hermite插值方法的插值结果y14=interp1(x,y,x1,'spline') %样条插值方法的插值结果y11 =20.4000y12 =18.6450y13 =18.6028y14 =18.4874plot(x,y)或许最简单插值的例子是MATLAB的作图。

数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。

考虑实验2.1中的著名问题。

下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。

x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。

(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。

1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。

然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。

本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。

1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。

为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。

分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。

Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。

增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。

数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。

插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。

基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。

牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。

非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。

分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。

样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。

拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。

拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。

线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。

最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。

在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。

非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。

非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。

局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。

在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。

例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。

在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。

在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。

需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。

如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。

因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。

数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。

在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。

一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。

插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。

1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。

这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。

1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。

差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。

牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。

1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。

它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。

埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。

二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。

拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。

常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。

2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。

最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。

2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。

通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。

多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。

2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。

曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。

曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。

三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。

数值分析函数逼近与曲线拟合第三章函数逼近和曲线拟合 1 函数的逼近和基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有分析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。

当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。

这个误差分布是不均匀的。

当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。

插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。

更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。

如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。

由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。

如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数和逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。

最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作nR ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式和多项式加法及数和多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。

第三章 样条插值和曲线拟合1．x y =有如下的函数表8。

解 先作差商表4167121013934201511008160124601316111100-⨯---故：8.2)48(512)8(1=-+=p819047619.2)98)(48(2101)48(512)8(2=----+=p844444.2)98)(48)(18(34201)48)(18(601)18(311)8(3=---⨯+----+=p6222.2)1(47810081478601)18(861)08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知828427.28=，因此选定)8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。

利用Neville 方法得:xi8-xif(xi)2.82842718 0817 1-1.333333333.3333333 2.4 44 22.866666667 2.62222222.8 2.84444449-132.8190476192.8571429 16 -84f(8)= 2.828427125 xi8-xif(xi)8 0817 1-1 1/33 1/3 2 2/5 44 22 13/15 2 28/452 4/5 2 38/45 9-132 86/1052 6/7 16 -8 4已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321p x x x ====2.819047619最接近8.11101201011121213434342121------ 所以：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ， 故：0232.0)1.0(4=p 与f (0.1)=0.1不相等。

（2）若采用分段插值，则在],0[21上，x x f x f x L =--+--=00)(0)0()(21212121，所以： )1.0(1.0)1.0(f L ==，结果一样。

三次样条插值和曲线拟合–LonelyNights很多东西不在手上用着就容易忘，尤其是书本知识。

就弄这么个类别，叫作“书到用时方恨少”，来记录这些知识。

曲线拟合是一个“数值计算“中的一个基本内容。

在实际的项目中，使用拟合的目的就是从有限个点得到一条平滑曲线。

曲线本身也是由点构成的，所以如何从有限个点得到曲线上的其它点，就是插值所关注的内容。

插值的方法有很多，把这些个点逐个用直线段连起来也是一种插值。

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。

Google 三次样条插值可以看得到不少材料，这里就不罗列公式了，直接看看在代码里，我们怎么做。

首先我们需要各个点的坐标，以x,y表示。

const int len =[_points count];float x[len];float y[len];for(int i =0; i < len; i++){CGPoint p =[[_points objectAtIndex:i] CGPointValue];x[i]= p.x;y[i]= p.y;}取变量x,y从算法中可以得知，我们的目标是样条插值函数，这是一个分段函数，x最高次数为三次，在各个点二次连续可导以保证最终函数曲线的光滑性。

我们每两个点求一个三次函数，我们有n个点，那么这里就需要4(n-1)个方程。

目前我们有n个点的坐标，有n-2个连接点，有n个函数两次连续可导，这里有n+n-2+2*(n-2)共4n-6个方程，还差两个条件。

这里一般有三种处理方法，最方便的，也是我们这里使用的是自然三次样条，也就是在首尾两个点上二次导为0。

具体计算不在此列举了，根据算法构建一个方程组求一组中间值sx，左边是一个三对角矩阵。

float h[len];float u[len];float lam[len];for(int i =0; i < len-1; i++){h[i]= x[i+1]- x[i];}u[0]=0;lam[0]=1;for(int i =1; i <(len -1); i++){u[i]= h[i-1]/(h[i]+ h[i-1]);lam[i]= h[i]/(h[i]+ h[i-1]);}float a[len];float b[len];float c[len];float m[len][len];for(int i =0; i < len; i++){for(int j =0; j < len; j++){m[i][j]=0;}if(i ==0){m[i][0]=2;m[i][1]=1;b[0]=2;c[0]=1;}else if(i ==(len -1)) {m[i][len -2]=1;m[i][len -1]=2;a[len-1]=1;b[len-1]=2;}else{m[i][i-1]= lam[i];m[i][i]=2;m[i][i+1]= u[i];a[i]= lam[i];b[i]=2;c[i]= u[i];}}求三对角矩阵，自下而上对角线上的参数是a,b,c当然需要得到方程组右边的值float g[len];g[0]=3*(y[1]- y[0])/h[0];g[len-1]=3*(y[len -1]- y[len -2])/h[len -2];for(int i =1; i < len -1; i++){g[i]=3*((lam[i]*(y[i]-y[i-1])/h[i-1])+u[i]*(y[i+1]-y[i])/h[i]);}下面就是求解这个方程组了，对于三对角矩阵，使用追赶法//< Solve the Equationsfloat p[len];float q[len];p[0]= b[0];for(int i =0; i < len -1; i++){q[i]= c[i]/p[i];}for(int i =1; i < len; i++){p[i]= b[i]- a[i]*q[i-1];}float su[len];float sq[len];float sx[len];su[0]= c[0]/b[0];sq[0]= g[0]/b[0];for(int i =1; i < len -1; i++){su[i]= c[i]/(b[i]- su[i-1]*a[i]);}for(int i =1; i < len; i++){sq[i]=(g[i]- sq[i-1]*a[i])/(b[i]- su[i-1]*a[i]);}sx[len-1]= sq[len-1];for(int i = len -2; i >=0; i--){sx[i]= sq[i]- su[i]*sx[i+1];}求得了参数，现在就得到分段插值函数了。