有理矩阵有理对角化问题的算法及程序设计研究报告

矩阵对角化计算过程矩阵对角化是指将一个矩阵转换成一个特定形式的“对角矩阵”.这个转换可以用于解决多项式系统的根，因为对角矩阵有着明确的解。

同时，因为有实用的性质，对角化也是特殊矩阵的分析和识别中重要的工具之一。

本文以矩阵对角化的计算过程为主题，介绍它的使用场景和计算过程。

首先，矩阵对角化的使用场景非常广泛。

它的一个重要的应用场景是求解多项式的根。

它的原理是，将多项式系统的系数矩阵用矩阵对角化的方法转换成一个特定形式的对角矩阵，再解决简化后的方程组。

另外，矩阵对角化也可以用于特殊矩阵的分析和识别。

当面对特殊矩阵时，矩阵对角化可以将矩阵转换成具有明确特性的对角矩阵，从而得到矩阵本身的解析解。

此外，矩阵对角化还可用于计算行列式、计算矩阵的秩、求解线性方程组、求解特征值以及求解特征向量等。

现在，让我们来看看矩阵对角化的计算过程。

矩阵对角化的基本思想是，使用一个可逆矩阵将给定的矩阵乘到一个特殊形式的矩阵，使其变成一个对角矩阵。

在具体计算过程中，第一步用可逆矩阵P将给定的矩阵A乘到另一个新矩阵$B=P^-1AP$，然后通过连乘的方式，将新矩阵$B$乘到$P^-1$，使其变成一个对角矩阵，即$ D = b_{ij} $ = $ P^-1A P $，其中，$b_ij$是原矩阵A的元素，$P$是可逆的矩阵,$ D = b_{ij} $是转换后的对角矩阵，即第一步所得到的结果。

接下来，就是要求可逆矩阵P的过程。

可逆矩阵是要满足两个条件的：一是其方程组有唯一解，二是其方程组有解。

满足这两个条件后，只需要计算出方程组的解，就可以得到可逆矩阵P.另外，矩阵对角化还可以通过Jacobi循环算法来进行计算。

Jacobi循环算法是一种最古老和最常用的迭代方法，它是一种收敛非常快的迭代算法。

它首先将给定的矩阵化为下三角矩阵的一种迭代方法，然后再进行迭代，直到所有的元素都是对角矩阵的形式为止。

总之，矩阵对角化是一种处理多项式系统的根，以及分析和识别特殊矩阵的重要工具，它可以用可逆矩阵和Jacobi算法来进行计算，具有实用性和可操作性。

矩阵的对角化及其在高等数学中的应用矩阵是高等数学中的基础概念之一，它在解决线性方程组和矩阵变换问题中具有重要作用。

在实际问题中，矩阵常常需要进行对角化处理，以便更方便地求解问题。

本文将介绍矩阵的对角化及其在高等数学中的应用。

一、什么是矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵变换为对角形式的过程，使得矩阵的主对角线上为非零元素，而其余元素均为零。

举个例子，一个2×2的矩阵A可以进行对角化，其对角化后的形式可以写成：> P^-1 * A * P = D其中P是一个可逆矩阵，D为对角矩阵。

对角矩阵只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零。

通过对角化，矩阵变得更加简单，容易处理。

二、如何进行矩阵的对角化对于一个n×n的矩阵A，要进行对角化处理，需要满足以下条件：1.矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，这些特征向量组成的矩阵可以写成P=[v1，v2，···，vn]。

2.对于对角矩阵D，其主对角线上的元素必须是矩阵A的n个特征值。

基于这些条件，可以得到矩阵A的对角化公式：> P^-1 * A * P = D其中P=[v1，v2，···，vn]，D=[λ1，λ2，···，λn]为对角矩阵。

λ1、λ2···λn为A的特征值，v1、v2···vn为对应的特征向量。

三、高等数学中的应用在高等数学中，矩阵的对角化在求解一些实际问题中具有重要作用。

1. 矩阵的对角化在求解差分方程中的应用线性差分方程是数学中的一种经典问题。

对于一个n阶线性差分方程，其解法是先对其进行离散化处理，变成一个线性方程组。

接着，对该线性方程组进行矩阵形式的表示，就可以得到一个n×n矩阵。

通过矩阵的对角化，可以将线性方程组解放到主对角线上，从而得到差分方程的通解。

2. 矩阵的对角化在离散傅里叶变换中的应用离散傅里叶变换是一种将时域上信号变换为频域上信号的重要算法。

有理矩阵有理相似对角化的计算机实现作者：王纯周腾锦来源：《价值工程》2013年第16期摘要：人工计算有理矩阵能否在有理数域上相似对角化是非常困难的，所以需要计算机来辅助实现，然而已有的数学软件对此问题的计算结果却存在着误差，于是需要研究有理矩阵在有理数域上相似对角化的算法及程序.因此在直接进行分数运算的基础上，首先使用矩阵的幂与来计算有理矩阵的特征多项式，克服了直接计算行列式的方法所存在的算法设计上的困难，其次根据有理多项式有理根的求法计算出有理矩阵的有理特征根，进而精确地计算出相应的有理特征向量，从而成功设计出判断及实现有理矩阵在有理数域上对角化的算法及相应的语言程序，使用该程序能够精确地解决有理矩阵在有理数域上相似对角化的问题。

关键词：有理矩阵；有理相似对角化；算法；程序中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）16-0194-060 引言矩阵的相似对角化是重要的矩阵方法，然而人工计算却力不能及，所以需要计算机辅助实现。

有理数域是常用的数域，有理矩阵更是常用的矩阵，所以判定及求解有理矩阵在有理数域上相似对角化问题非常必要，然而遗憾的是尽管已有的数学软件（如Matlab、Mathematica、Maple）能够解决矩阵对角化问题，但却只是在实数域、复数域上进行，而对于有理矩阵在有理数域上的相似对角化问题的解答存在着误差。

与相应的对角矩阵为而在Maple中计算，却输出另一结果：可逆矩阵为与相应的对角矩阵为显然Mathematica与Maple的输出结果均存在着误差。

除此之外，这些数学软件还存在系统庞大、使用不便、输出的结果不直观等弱点。

上述问题使我们不能不考虑研究有理矩阵在有理数域上相似对角化问题的算法，设计出能够精确解决该问题的专用程序，本文阐述我们为此所做的研究工作。

1 相关概念及理论依据定义1[1]定义2[1] 设A是数域F上的n阶矩阵，称fA（x）的根λ为矩阵A的特征根。

矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。

它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。

下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。

1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。

具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。

矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。

矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。

下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。

它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。

- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。

它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。

- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。

它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。

2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。

矩阵对角化及应用理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX X λ= (1)存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,()0E A X λ-= (2)这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0E A λ-, (3)即1112121222120n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式．111212122212()||n nA n n nna a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=---111n n n n a a a λλλ--=++++显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=+++;（ⅱ）12n A λλλ=.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程=0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积1212()()()()i r r r i f λλλλλλλ=---则V 可分解成不变子空间的直和其中i V = {ξ|iri 12-==s V V V V λ⊕⊕⊕（A E ）;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若1λ, 2λ,...,K λ 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r , 2r ,... k r , 那么 (Ⅰ) 可对角化的充要条件是()i j i jE A r λ≠⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏秩 j=1, 2,.......k(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,()ii jE A λ≠-∏ 的列空间就是A 的属于特征根iλ的特征子子空间.证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使{}11122,,...,k K T AT diag E E E λλλ-=这里右边是分块对角矩阵, j E 为i r 阶单位阵, 于是有()()()11i i i i j i j i j E A T E A T E T AT λλλ--≠≠≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏秩秩秩={}()122,,...,i K K i j E diag E E E λλλλ≠⎛⎫-⎪⎝⎭∏秩=()()(){}12,,...,,i j i j i j Ki j diag E E E λλλλλλ≠⎛⎫---⎪⎝⎭∏秩 =()0,0,...0,,0,0,...,0i j j j i jdiag E r λλ≠⎛⎫⎧⎫-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∏秩 j=1,2, ......k.反之,若()()ijE A r λ-=∏秩i=1,2,.....k, 反复用引理可得()()()()()22i j i i i ji jE A E A K n n r k n λλ≠≠-≥---≥---∑∑∏秩r 秩 i j i jn r r ≠=-=∑ j=1,2,...,k.这里用到了齐次线性方程组()0i E A X λ-=的解空间的维数不大于i λ的重数不大于j r 这个结论.于是又()()iii j i jE A n r λ≠≠-=-∑∑秩从而()i iA n r λ-=-秩 i=1,2,......k. 这样的矩阵可以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A 的最小多项式为()1kii x λ=-∏从而()10kii E A λ=-=∏ 即 ()()0i ii jE A E A λλ≠--=∏这就是说,列空间包含在i λ的特征子空间中,但是由(1), ()ii jE A λ≠-∏的列空间的维数是n,它正是j r 的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立.推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且1λ, 2λ 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为1r , 2r , 若秩()12E A r λ-=,秩()21E A r λ-=,则A 可以对角化,且()E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ 的极大线性无关的特征向量组,2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.例1: 判断A=460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭能否对角化,并求特征向量.解: 易知A 的特征根1λ =-2 , 2λ =1.1E A λ- =660350363--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 和2E A λ- =360360360--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩分别为2与1,故A 可对角化. 又因为可以选取001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭和210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为的列空间的一个基,111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是属于1λ的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使1T P AP PAP -=为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到 A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , 1T PAP PAP -=为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n 维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, 1λ≥2λ≥......≥n λ 为A 的特征值.()()()()11/{0}/{0},,max ,min,,nnx R x R Ax x Ax x x x x x λλ∈∈== 定义2.2 设w 为n 维列向量,且T w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2Tww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) TH H =(2) T TH H HH I == ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈nR , x ≠y , X Y =,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中()()22/TH I x y x y x y =----定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (2X= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,则存在P 为一个正交阵,使Px =1e = ()1,0,0 0. 且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为λ,其余元素均为零.证 设A 是实对称矩阵, 1λ≥ 2λ≥ ...≥ n λ为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ 及相应的规范化特征向量1X . 不妨假设‖1X ‖ = 1 ,由引理2.3 ,存在1P 为一个正交阵,使11P X =1e =()1,0,0, 0.且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为1λ , 其余元素均为零. 设111100TP AP A λ⎛⎫=⎪⎝⎭, 为对称阵,故1A 也为对称阵,设2λ 及2X 为1A 最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在2Q 为一个正交阵,使()2211,0,0, 0Q x e ==.且212T Q A Q 的第一行和第一列除2λ 外其余元素均为零. 令22100P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,容易验证2P 亦为正交阵, 满足:1121122212200000000T TT P P AP P Q AQ A λλλ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭依此类推, 存在正交阵1p ,2p , ⋯,1n p -, 使得1n p -...2p 1p 121...T T Tn Ap p p D -=,则T PAP =D,其中 D 为对角阵,令121P P P P n -=,则TPAP D =,P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.例2: 设矩阵210210582811A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 1λ≥2λ≥3λ为A 的特征值.按上面的算法进行对角化,求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ = 18 ,相应的特征向量为1122,,333Tx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 计算正交矩1p =()()211112/Tp I x e x e x e =----=122333221333212333⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭,满足()1111,0,0T p x e ==且111800090009TP AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,至此已实现对角化. 借此可求得= 2λ=9 , 3λ = - 9. 相应的特征向量分别为2212,,333Tx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,3221,,333Tx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3．循环矩阵对角化方法的研究在复数域 C 上,形如012110121230........................n n n a a a a a a a a A a a a a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的矩阵,称关于元素列011,,...,n a a a -的循环矩阵.已知n 阶循环矩阵010 (00)01...0 (1)00...0K ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,并令ii K K = (1,2,,)i n =,称121,,,....,n E K K K -为循环矩阵基本列(其中E = n K 为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①121,,,...,n E K K K -都是循环矩阵;②n i i K K += ,即n i iK K +=;③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: cossinm mx mxi n nλ=+ (0,1,,1)m n =-④关于元素列0121,,,...,n a a a a -的n 阶循环矩阵 A 可用循环矩阵基本列表示为210121...n n A a E a K a K a K --=++++,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵. 循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:()211,(n i njjnj E K ei πλλληη-=-=-=-==∏如果n 阶循环矩阵A 记为()210121...n A n A f K a E a K a K a K --==++++不难求得K 中与特征值j η相应的特征向量,记:()11...j j n x ηη-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ()()22......11j j j j j j j j kx x ηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则由命题3.1得()()()()()jjj j A A Ax f K x f x η==,可以验证()()()()1111000,1,.11,1n n m kmkk k m xxm k mηη---==≠⎧==-=⎨=⎩∑∑.将这n 个两两正交的向量()j x 单位化,可得标准正交基()()()011,,...,n x x x -⎫⎬⎭,令矩阵()()()21011242(1)(1)2(1)(1)(1)111 (1)1...,,...,1..................1...n n n n n n n T x x ηηηηηηηηη-------⎛⎫ ⎪⎪⎫⎪==⎬⎪⎭⎪ ⎪⎝⎭则()()())0111',...n TT x x x --==命题 3.3 任意n 阶循环矩阵()A A f K = 在复数域 C 上都可对角化,即1T AT -=11[(0)(),...,()]n A A A diag f f f ηη-推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是()0iA f η≠(i=0,1,...,n-1).例3:求四阶循环矩阵1234412334122341A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的特征根,并对角化.解: 令23()1234f x x x x =+++ 得 ()()A A f K =,0100001000011000K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于2i nei πη==, 所以A 的特征根分别为:()()0A f η=10 , ()()1A f η=-2-2i, ()()2A f η=-2, ()()3A f η=-2+2i11111111111211i i T i i ⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭, 111111*********i i T i i -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使1T AT -为对角形矩阵.定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为1λ,2λ,如果()10n s n n s B I A p I λ⨯⨯-⎛⎫-⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭初等变换P,B 为列满秩矩阵,那么(i) A 的属于1λ 的线性无关的特征向量为P 的n s -个列向量;A 的属于2λ的线性无关的特征向量为B 的s 个列向量.(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有11122......T AT λλλλ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1λ 有n s -个, 2λ有s 个.证 因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B 为列满秩,则()12s B I A λλ==-=秩秩的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得()())()(1,0n n s I A P B λ⨯--*=，从而()10I A P λ-= 因P 为列满秩矩阵,则P 的n s -个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-= 的基础解系,亦即P 的n s - 个列向量为A 的属于1λ的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化,且2λ的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得11122......A Q Q λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 令1122......D λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则有()()()()111212I A I A I Q DQ I Q DQ λλλλ----=--=()()1112QI D QQ I D Q λλ----=()()112Q I D I D Q λλ--- = 10Q OQ -=由于B 的列向量为1I A λ- 的列空间的基,则B 的s 个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-=的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于2λ的线性无关的特征向量.(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A 的阶数n ,于是, 令 )(,T P B = 即有1T AT D -=例4:令矩阵001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求可逆矩阵T,使得1T AT -为对角形式.解: 方法一,先求A 的特征根()0101010A f λλλλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()()211λλ-+则1λ = 1 (二重) , 2λ = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵1I A I λ-⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换,即11011000000001011000100101010010001001I A B I P λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,由定理4.1 知,A 的属于2λ = - 1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-;A 的属于1λ = 1 的线性无关的特征向量为()20,1,0Ta = , ()31,0,1Ta =令011100011T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 这与[1 ]的结果一致.方法二 在矩阵()I A λ-中,亦可取21λ=-,这时1011000200201011000100101010010001001I A B I P ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于1λ=1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-- , ()20,2,0Ta =- ;A 的属于2λ=- 1 的线性无关的特征向量为()21,0,1Ta =-令101020101T --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T ,使得1T AT -为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A 的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式.5.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P 上,对n 阶矩阵存在一个可逆矩T ,使得1T AT -为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化.当可对角化时, 我们说将A 对角化,即指求矩阵T ,使1T AT -为对角形矩阵.若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T ,使得1T AT B-=为对角形矩阵.于是B 的主对角线上的元素,即为A 的全体特征值, 并且可表示：12,...S T Q Q Q = 其中i Q 为初等矩阵,i=1,2,...,s,于是,1111112......SS S B QQ Q AQ Q Q ----=,又1i Q -也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知11Q AQ - , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B .又由, 12...S T EQ Q Q =（E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：A AB E T ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等列变换. 当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由111111...S S TQ Q Q E -----=,做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B,且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：()()A AE B T −−−−−−−→对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等行变换.并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用i r 表示i 第行,i c 表示第i 列,i j r kr +表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上,i j c kc +表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:(1)511602311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, (2)1111111111111111B ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解：（1）由31511`602202r r A +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 13411402002c c C --⎛⎫⎪−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭,知A 与C 相似. 易得,C 的特征值为2,2,2,且2E-C 的秩为2,所以C 不能对角化,从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.（2）由1,2,3,41111111111112200111120201111200210001000010001000010001000010000i r r i +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2,3,4i c c i -=−−−−−→ 1111,2,3,4,2,3,4441112111222202000200002000200002000210001000110011001010101010011001i i r r i c c i -=+=⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭20000200002000021111444311144413114441131444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭, 知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.令1111444311144413114441131444T ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭, 则12000020000200002T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭.当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.例6判定1200320000230043A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭可否对角化,若可,则将其对角化. 解法1（教材中的方法）由120032000023043x x xE A x x ---=-- ()()()2461x x x =--+,知A 的特征值为4,6,-1,-1.解 齐次线性方程组()40E A X -=得一基础解系23100⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()60E A X -=得一基础解系00341⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()0E A X --=得一基础解系1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,0011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是可,A 可对角化,且取201031010*******01T ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则140060000100001T AT -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭.解法2由12003200002300431000010000100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2143,r r r r --−−−−→ 12,3412004400002300661000010000100001c c c c ++-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12000400001300061000110000100011--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123423,57r r r r --−−−−−→2100504003001700061000110000100011⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭214323,57c c c c --−−−−−→100004000010000621005310053001740017-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知,A 可对角化,且取.21005310053001740017T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11000040000100006T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞 赫炳新 高等代数[M] 第四版 北京 ：高等教育出版社 1998.166－410[3] 毛纲源 线性代数[M] 解题方法与技巧归纳 第二版 华中科技大学出版社 1997,7.213－241. [4] 丘维声 抽象代数[M] 北京 ：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳 石生明 高等代数[M] 北京 ：高等教育出版社 1987.176－254. [6] 王萼芳 高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍 循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170. [8] 高吉全 矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26. [9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108． [10]张正成 可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元 线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37 [12]向人晶 矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and application College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen QiaoyunAbstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words:diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix;eigenvalue; eigenvectors。

矩阵的相似性与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在矩阵的研究中，相似矩阵和对角化是两个关键概念。

本文将探讨矩阵的相似性和对角化，并分析它们在实际问题中的应用。

一、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

具体而言，设A和B为两个n阶矩阵，若存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B成立，则称A和B相似，P为相似变换矩阵。

矩阵的相似性可以理解为同一线性变换在不同基下的表示。

相似矩阵保持了线性变换的关键属性，例如特征值和特征向量。

对于相似矩阵，它们之间存在一系列重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。

设A和B为相似矩阵，如果λ是A 的特征值，则B的特征值也是λ。

2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。

3. 相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式。

相似矩阵的概念对于矩阵的性质分析和计算求解具有重要意义。

我们可以通过相似矩阵的性质来简化矩阵的计算和求解过程。

二、对角化对角化是将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。

一个可对角化的矩阵可以表示为D=P^{-1}AP，其中D为对角矩阵，P为相似变换矩阵。

要判断一个矩阵是否可对角化，需要满足两个条件：1. 矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵的阶数。

换句话说，A的特征向量必须能够张成整个n维空间。

2. 矩阵A的每一个特征向量都对应一个不同的特征值。

符合上述条件的矩阵A称为可对角化矩阵，对角化的好处在于简化矩阵的计算。

对角矩阵具有简单的形式，只有对角线上有非零元素，其余元素都为零。

对角矩阵的求幂、求逆和乘法等运算都非常容易，因此对角化可以极大地简化矩阵的计算过程。

三、相似矩阵和对角化的应用相似矩阵和对角化在数学和工程中有广泛的应用，下面重点介绍其中几个典型的应用领域：1. 工程中的状态空间表示：在控制系统的分析和设计中，矩阵的相似性和对角化被广泛运用。

通过相似变换将系统的状态空间表示转化为对角形式，可以方便地进行系统的特征分析和控制器设计。

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。

在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization目录引言 (1)一矩阵可对角化的概念 (2)1.1 特征值、特征向量的概念 (2)1.2 矩阵可对角化的概念 (2)二矩阵可对角化的几个等价条件 (4)2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)三矩阵可对角化的应用 (9)3.1具体矩阵对角化的求解过程 (9)3.2矩阵对角化的应用 (13)3.2.1在反求矩阵方面的应用． (13)3.2.2 求方阵的高次幂 (14)3.2.3 求行列式的值 (15)3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限 (16)3.2.5 在二次曲面上的一些应用 (17)结论 (19)致谢............................................... 错误!未定义书签。

矩阵对角化的研究文献综述文献综述矩阵对角化的研究一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)(一)写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识,深入理解其基本内容,领会其思想方法,并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外,还要在原有的基础上,得到一些有意义的结果,争取在某些方面有所创新.(二)有关概念首先,我们给出文中常用的符号如下[1]:i表示实数域;ii表示实数域上的阶矩阵的集合;iii表示阶复矩阵的集合;iv表示实矩阵集合;v表示阶实矩阵的集合;vi表示阶的单位矩阵;vii表示矩阵的行列式;viii表示主对角线上为元素的对角矩阵;定义1[2]: 对角线以外的元都等于0,即当时有的方阵称为对角矩阵.记为.如:特别地,称为单位矩阵,简称单位阵,记.定义2[3]: 若阶矩阵与对角矩阵相似,则称可对角化,也称是单纯矩阵.(三)综述范围若一个阶矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件,所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件,根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化,在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法.通常,矩阵可对角化问题与特征值密切相关,除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9].本文结合矩阵的基本知识原理,对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳,并举例进行说明.(四)主要的问题矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵(如对称矩阵,幂等矩阵,对合矩阵)的对角化问题.二、主体部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)(一)历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》(成书于公元1世纪,作者不详)中,就有一个线性方程组的例子:为了使用加减消去法解方程,古人把系数排成如下图所示的方形:古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”,其意思与矩阵相仿.在西方,矩阵这个词是1850年由西尔维斯特(James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人)提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表,与我国“方程”一词的意思是一致.(二)现状和发展方向矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分,目前已经有了丰富的研究成果,其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有:刁成海[10]把判断矩阵是否可对角化与求它的特征向量联系起来,同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法.王新民,孙霞,张景晓[11]给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法,即对特征矩阵施行初等变换.应用这个方法,可同时求出的特征根及特征向量,判断是否可对角化,在可对角化时,可直接写出相应的可逆矩阵,使为对角形矩阵.付立志,杨庆玺[12]对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究,给出了相关定理的证明,以及模型法的操作原则、步骤和应用举例,使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点,从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解线性方程组的繁琐过程.夏银红,赵文菊[13]在给出了次转置矩阵逆矩阵的性质的基础上,根据矩阵对角化理论,给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝[14]讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件,由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件,并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法.姜同松, 魏木生[15] 通过引入友向量的方法,进一步研究了四元数矩阵的对角化问题,构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘[16] 利用矩阵的对角化的方法,对两类具有特殊性质的数列的通项公式.丘维声[17]给出了特征不等于2的域F上两个It级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件;证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来[18]指出特征值出现重根的情形下,需用Schmidt正交方法求正交特征向量,计算较为繁难.他给出另一种解法,即利用向量内积构造齐次线性方程组,求出每个特征值对应的特征向量,从而求出正交矩阵.张伟涛,刘宁,楼顺天[19]针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题,提出两种改进的高效算法.在第一种改进算法中,将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆.另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR分解,由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式.由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆,因此降低了原算法的计算量.仿真结果表明,当目标矩阵个数和维数较大时,两种改进算法的计算量分别为原算法的18.9%和13.5%.其中关于外文文献的引用参见文献[8]和文献[19] 三研究内容1.矩阵是否可对角化,可按下列思路进行:思路1:计算出的特征值,如果得所有特征值两两互异,则可对角化充分条件.如果的特征方程有重根;在计算对应每个特征值的特征向置,如果有个线性无关的特征向量,则可对角化充要条件.思路2:不计算矩阵的特征向量,只需计算的特征值两两互异,则可对角化.思路3:计算矩阵的特征值,不计算的特征向量,只需计算特征矩阵的秩,如果对于每个重特征值的特征矩阵的秩等于.即秩,则方阵可对角化,否则不可对角化.思路4:不计算矩阵的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵和对角矩阵使得,则与相似,即可对角化.对于矩阵分解一般采用思路1,思路2和思路3的方法.2.矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理1[2]阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量;定理2[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为;定理3[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的初等因子是一次的;定理4[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根引理1[12]可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积;引理2[13]对称矩阵一定可对角化;引理3[13] 设都是阶矩阵,则定理5[13]设是实数域上的?个阶矩阵,的特征根全在内,若是的全部不同的特征根,其重数分别为,那么1可对角化的充要条件是秩2当1式成立时.的列空问就是的属于特征根的特征子空间.推论1:设为实数域上的阶矩阵,的特征根全为内.且是的全部不同的特征根,其维数分别为,若秩,秩.,则可以对角化.且的列向量组的极大无关组恰是属于的极大线性无关的特征向量组,的列向量组的极大无关组恰是属于的极大无关的特征向量组.上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来,给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时,这个方法较方便.定理 6 若是的全部不同的特征根.作多项式,则上可以对角化的充要条件是定理9若是的全部不同的特征根.如果,- 则属于的特征子空间就是的列向量空间.定理7若是的全部不同的特征根,如果对每个都有那么,.从上述几个定理可以看出,矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述就矩阵的对角化问题我们可通过正交矩阵实现。

科生毕业论文（设计）开题报告
、拟采用的研究方法、步骤
研究方法：文献参考法，研究法，计算法，定性分析法
研究步骤：第一步从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件第二步几种常用矩阵对角化的讨论第三步可对角化矩阵的应用
四、研究的总体安排与进度
五、参考文献（不少丁10篇）
[1] 李世余.代数学的发展和展望.广西大学学报.
[2] 北京大学数学系与代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数（第三版）.北京:高等教育出版社，
[3] 丘维声.高等代数（上册）.北京：活华大学出版社，
[4] 张禾瑞.高等代数.北京：高等教育出版社，
[5] 吉林大学数学系.数学分析（中册）.
[6] 郭业梅.最小多项式与矩阵的对角化.河南机电高等专科学校学报.
[7] 金佑来.矩阵对角化的一个新方法.合肥学院学报.
[8] 周立仁.矩阵同时对角化的条件讨论.湖南理工学院学报.
[9] 岳峰.利用矩阵对角化求数列通项.高等数学研究.
[10] 杨胜良.三对角行列式与Chebyshev多项式.大学数学..
六、指导教师意见。

矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。

本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。

一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。

其中，P被称为相似变换矩阵。

相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。

在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。

2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。

3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。

相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。

通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。

而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。

二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。

对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。

对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。

其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。

一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。

对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。

2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。

对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。

对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。

矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。

量子力学中的对角化问题和本征态量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，它具有广泛的应用领域，包括原子物理、分子物理和固体物理等。

在量子力学中，对角化问题和本征态是非常重要的概念。

本文将详细介绍量子力学中的对角化问题和本征态，并探讨它们的意义和应用。

对角化问题是指如何将一个矩阵对角化的过程。

在量子力学中，我们经常遇到的是对角化哈密顿矩阵。

哈密顿矩阵描述了量子系统的能量本征值和本征态，对角化哈密顿矩阵可以将系统的能量本征态表示为一组线性无关的基态。

这样，我们就可以通过测量系统的能量来得到系统的状态，从而研究系统的性质和行为。

对角化哈密顿矩阵的过程可以通过求解哈密顿矩阵的本征方程来实现。

本征方程的形式为H|ψ⟩=E|ψ⟩，其中H表示哈密顿矩阵，|ψ⟩表示本征态，E表示本征值。

求解本征方程可以得到一组本征态和对应的本征值，将本征态按照本征值的大小进行排序，就可以得到对角化的哈密顿矩阵。

本征态在量子力学中具有重要的意义。

它们是描述量子系统的基本状态，可以用来计算系统的物理量和概率。

根据量子力学的统计解释，本征态的模平方表示了系统处于相应本征态的概率。

通过测量系统的物理量，我们可以得到相应本征值的概率分布，从而了解系统的性质和行为。

本征态的应用非常广泛。

在原子物理中，本征态可以用来描述原子的能级结构和光谱现象。

在分子物理中，本征态可以用来描述分子的振动和旋转行为。

在固体物理中，本征态可以用来描述电子在晶格中的行为，从而解释材料的导电性和磁性等性质。

通过研究本征态，我们可以深入理解量子系统的本质和行为。

除了对角化问题和本征态，量子力学中还有其他重要的概念和方法。

例如，量子力学中的态矢量表示了系统的状态，可以用来计算系统的物理量和概率。

量子力学中的观测算符可以用来描述系统的物理量和测量过程。

量子力学中的相互作用描述了系统中粒子之间的相互作用力。

这些概念和方法与对角化问题和本征态密切相关，相互交织构成了量子力学的理论框架。

有理矩阵有理相似对角化的计算机实现有理矩阵是具有有理数作为元素的矩阵。

在矩阵理论中，它们是一个非常重要的概念，从而使得许多数学分支从理论上得以应用于实际的计算机科学问题中。

本文将讨论有理矩阵有理相似对角化的计算机实现，以使得这些理论计算能够更快、更方便地用计算机软件完成。

一、有理矩阵有理相似的基本概念和算法有理矩阵的对角化是一个重要的矩阵问题，可以将矩阵通过相似变换转化为对角矩阵，从而方便我们的运算。

这种对角化的方法被称为有理相似对角化，可以快速简捷地实现。

有理相似矩阵问题可以概括如下：设$A,B$均为$n$阶有理矩阵，如果存在一个$n$阶有理可逆矩阵$P$使得$A=PBP^{-1}$，则$A$与$B$称为有理相似的。

如果矩阵$A$与其转置$A^T$有相同的谱，那么$A$一定可以被有理相似对角化。

对于有理矩阵$A$，如果能够找到一个$n$阶有理可逆矩阵$P$满足$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个$n$阶对角矩阵，那么我们就称矩阵$A$有有理相似对角化形式。

这样的矩阵的谱可以直接从对角线上的元素得到。

因此，有理相似对角化是找到一组基，使得矩阵$A$在这组基下变为一个对角矩阵。

一种直接的求解有理相似的算法是Jordan分解，但这种方法的时间复杂度较高，需要计算矩阵的特征多项式和特征向量。

因此，对于大规模矩阵，Jordan分解并不是一种高效的算法。

这里我们介绍一种快速的算法——Dixon基本量子因数分解算法——来计算有理矩阵的有理相似对角化，从而为广泛的应用提供实用的计算工具。

二、Dixon基本量子因数分解算法Dixon基本量子因数分解算法是求某个多项式的因数分解（包括矩阵特征多项式）时最常用的算法之一，且被改进的Dixon算法已经广泛应用于实际运算中。

该算法是基于Dixon符号的，因为符号是在一定的条件下取值的，所以这个算法被称作“量子算法”。

Dixon基本量子因数分解算法的主要思想就是不断调整符号，从而实现对多项式的因数分解。

矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。

本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。

矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。

记作A ∼ B。

性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。

2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。

（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。

4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。

相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。

具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。

2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。

3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。

对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。

对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。

充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。

如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。

对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。

2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。

3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。

将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。

可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。

有理矩阵有理正交对角化的计算机实现王纯;周腾锦【摘要】有理对称矩阵在有理数域上的正交对角化过程不仅步骤繁琐，而且当矩阵阶数较大时计算量急剧增大，致使人工操作很难实现，所以需要计算机辅助操作。

然而已有的数学软件在此问题的计算上存在着误差，因此采用分数运算手段，设计了求矩阵特征根、特征向量、正交化和单位化的算法及C语言程序，使用该程序能够精确地判定及求解有理矩阵在有理数域上的正交对角化问题。

%The step of orthogonal diagonalization process of the rational symmetric matrix in the rational number field is not only cumbersome, and when the matrix orderis large, the amount of calculation is very large, the manual operation is difficult to implement, so we need the auxiliary operation of computer. But there is a error in the calculation with the existing mathematical software, so we use the method of fractional arithmetic to design the algorithm for the matrix characteristic root, feature vector, orthogonalization and unitization and C language program. Using this program can accurately judge and solve the orthogonal diagonalization of the rational matrix inthe rational number field.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2013(000)019【总页数】4页(P193-195,196)【关键词】有理矩阵;有理正交矩阵;伪有理正交矩阵;算法;程序【作者】王纯;周腾锦【作者单位】韩山师范学院数学与应用数学系，潮州521041;韩山师范学院数学与应用数学系，潮州521041【正文语种】中文【中图分类】TP390 引言实对称矩阵的正交对角化具有丰富的性质与广泛的应用，但是其求解过程却十分复杂，致使人工计算力不能及，所以需要计算机辅助实现。

【关键字】论文
毕业论文开题报告
数理系数学与应用数学专业 2012 级 1 班
课题名称：矩阵对角化方法及相关应用
毕业论文起止时间：
年月日～月日(共周)
学生姓名：丁潞泷学号：
指导教师：黄斌
报告日期： 2012年6月25日
说明：
1.本报告必须由承担毕业论文课题任务的学生在接到“毕业论文任务书”、正式开始做毕业论文的第2
周或第3周末之前独立撰写完成，并交指导教师审阅。

2.每个毕业论文课题撰写本报告一份，作为指导教师、教研室主任审查学生能否承担该毕业论文课题任
务的依据，并接受学校的抽查。

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