著名机构六年级数学秋季班冲刺拓展版-分解素因数-课后作业-教师版

专题02 分解素因数【考点剖析】1.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有一个因数；正整数素数：只有和它本身两个因数；合数：除了和它本身以外还有别的因数2. ⎧⎪→⎨⎪⎩素因数合数分解素因数分解素因数方法：短除法；树枝分解法；口算法；机算法.3. ⎧→→⎨⎩定义公因数最大公因数求法：枚举法；分解素因数法；短除法.4. ⎧⎨⎩互素：指两个整数只有公因数1.这两个整数不一定是素数.区别素数： 5.1.→→⎧⎪⎪→→⎨⎪⎪⎩一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；公倍数最小公倍数最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的正整数. 6.重要结论：1.a b a b a b ab ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为 【例题分析】例1：（黄浦2016期中1）下列说法中正确的是（ ）A.两个不同的合数，他们一定不互素；B.所有的偶数都是合数；C.一个合数至少有2个因数；D.如果a 与b 互素，那么他们的最小公倍数为ab.【答案】A.考查两个不同的合数互素吗？可以互素，如4与15互素；可以不互素，如9与15不互素；因此两个不同的合数不一定互素. 所以A 错.B 错，如2是偶数但不是合数而是素数；C 错，一个合数除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数，因此合数至少有3个因数；D 正确.【点睛】正确掌握合数、互素、偶数、因数、最小公倍数等概念，是正确答题的关键. 正确的命题能给出证明，错误的命题能举出反例.例2：（浦东四署2018期中7）将60分解素因数的结果是：60＝ .【答案】分解素因数有多种方法，但重点是熟练掌握“短除法”. 因为：2602303155， 所以602235⨯⨯⨯＝.【点睛】熟练掌握用“短除法”把一个合数分解成几个素因数积的形式.例3：（松江2016期末14）小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到第13棵后，发现树苗不够，于是决定改为每隔4米种一棵，在重种时，不需要拔掉的树有 棵.【答案】3(131)36⨯-=米，3与4的最小公倍数为12，因此不需要拔的树有：36121÷+＝4棵.【点睛】实际问题中隐藏着“两个数的最小公倍数”，抓住3与4的最小公倍数，是解题的关键.例4：（普陀2017期中19）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数.【答案】求最大公因数或最小公倍数的常见方法是：“枚举法”、“分解素因数法”和“短除法”；此题要求方法，只能用短除法： 因为：2366021830315359，所以36和60的最大公因数为223⨯⨯＝12；最小公倍数为22335⨯⨯⨯⨯＝180.【点睛】 “短除法”简单明了，易懂方便.例5：（浦东四署2018期中18）规定一种新运算：对于不小于3的自然数n ，()n 表示不是n 的因数的最小自然数，如(5)2,(8)3==等等，那么(4)(15)+＝ .【答案】理解()n 在于两点：一不是n 的因数；二最小自然数；所以(4)＝3，(15)＝2，故(4)(15)+＝5.【点睛】新运算题，贵在理解！【真题训练】1.（普陀2017期末1）下列说法中，错误的是（）A.在所有正整数中，除2外所有的偶数都是合数；B.在所有正整数中，除了素数都是合数；C.一个合数至少有3个因数；D.两个合数有可能是互素.【答案】B2.（闵行2015期中2）把24分解素因数，正确的形式是（）A.24=2×3×4 ；B.1×2×2×2×3=24；C.24=2×2×2×3；D.2×2×2×3=24.【答案】C3.（杨浦2015期中16）下列说法中错误的是（）A.最小的素数是2B.1既不是素数也不是合数C.两个素数一定互素D.互素的两个数一定都是素数【答案】D4.（浦东四署2017期中1）下列各对数中，互素的是( )A.18和32B.39和26C.51和63D.21和20【答案】D5.（浦东四署2014期中1）下列各组数中不互素的是（）A.4和1；B.4和6；C.4和5；D.4和9．【答案】B6.（浦东四署2014期中2）两个整数的乘积一定是它们的（）A.公因数；B.最大公因数；C.公倍数；D.最小公倍数．【答案】C7.（浦东四署2015期中2）如果x与y是正整数，且x=5y，那么x与y的最小公倍数是（）A.xB.yC.xyD.x÷y【答案】A8.（浦东四署2016期中2）如果两个数互素，那么这两个数( )A.没有公因数B.只有公因数1C.两个数都是素数D.都是素因数【答案】B9.（嘉定2017期末13）如果n 表示一个大于1的整数，那么下列四个选项中，一定表示合数的是（ ）A.2n +；B. 2n -；C. 2n ；D.2n . 【答案】C10.（浦东2015期末4）如果两个数相差2，那么这两个素数称为一对孪生素数，在小于20的正整数中，孪生素数共有（ ）A.1对；B.2对；C. 3对；D. 4对.【答案】D11.（浦东三署2016期中5）分解素因数：36＝【答案】2233⨯⨯⨯12.（浦东四署2015期中10）分解素因数：45= ．【答案】335⨯⨯13.（闵行2016期中9）分解素因数：102＝_____________________．【答案】2317⨯⨯14.（黄浦2016期中9） 24与18的最大公因数是 ，最小公倍数是 。

第4讲素数、合数与分解素因数知识一、素数、合数的概念1.素数和合数的概念一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（prime numnber），也叫做质数.如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数(composite number).2.正整数的分类把正整数按照因数个数的多少分类，可以分为1、素数和合数三类.总结：素数只有2 个因数，1和它本身；合数至少要有3个因数.1 既不符合素数的意义，也不符合合数的意义，因此它既不是素数，也不是合数.题型探究【例1】判断下列各数是素数还是合数：25,1,51,2,37．【答案】合数有25,51；素数有2,37；1既不是素数也不是合数.【解析】25的因数有1,5,25；1的因数只有1；51的因数有1,3,17,51；2的因数有1,2；37的因数有1,37；所以合数有25,51；素数有2,37；1既不是素数也不是合数.【例2】（1）（2020·全国其他模拟）下面说法正确的是（）．A．两个素数的积一定还是素数B．合数都比素数大C．两个偶数的和不一定是偶数D．两个奇数的和一定是偶数【答案】D【解析】A．两个素数的积，至少有三个因数，所以一定为合数而不是素数，故A错B．举例合数8与素数11，因为8＜11，所以合数不一定都比素数大；故B错C．偶数＋偶数＝偶数，所以两个偶数之和一定为偶数，故C错．D．奇数＋奇数＝偶数，所以两个奇数之和一定为偶数；故D对．故选：D．（2）（2020·全国）在1~20中，既是合数，又是奇数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】1~20中，既是合数又是奇数的数有：9，15．故选：B．知识二、判断一个正整数是否为素数的方法判断一个正整数是不是素数，常用的方法有两种∶一是查素数表，二是试除法，所谓试除法影是从小到大用每一个素数2，3，5，7，…，依次去试除所给的正整数，如果它能被比它小的某个素数整除，它就是合数;如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数.题型探究【例3】判断下列数是不是素数∶(1)667 (2)233【答案】（1）不是;（2）是.【解析】（1）根据数的整除特征，2，5 都不能整除667，经过试除知道3，7，11，13，17，19 也不能整除667，但667÷23= 29，所以667不是素数，而是合数.（2）用2，3，5，7，11，13 去除233，可知这些数都不能整除233，且233÷17=13……12，商13已小于除数17所以233 是素数，举一反三1.（2020·全国课时练习）在所有的素数中，偶数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】在所有的素数中，只有2既是素数又是偶数．【解析】解：在所有的素数中，只有2是偶数，所以偶数的个数有一个．故选：B．2.（2020·全国课时练习）下列各数是素数的是（）A．27B．31C．51D．77【答案】B【分析】素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数．【解析】解：27、51、77都是合数，31是素数，故选：B3.（2020·全国课时练习）一个素数与一个合数的积一定是（）A．素数B．合数C．奇数D．偶数【答案】B【解析】解：由分析可知，一个素数与一个合数的积一定是合数．故选：B4.（2020·全国单元测试）在下列说法中，正确的是（）A．1是素数B．1是合数C．1既是素数又是合数D．1既不是素数也不是合数【答案】D【解析】解：1只有它本身一个因数，即不是素数也不是合数，属于说法正确的是D．故选：D．5.（2019·全国单元测试）下列说法中错误的是（）A．如果整数a是整数b的倍数，那么b是a的因数B．一个合数至少有3个因数C．在正整数中，除2外所有的偶数都是合数D．在正整数中，除了素数都是合数【答案】D【解析】A．根据因数和倍数的意义可知：如果整数a是整数b的倍数，那么b是a的因数，故正确；B．根据合数的含义：除了1和它本身外，还能被其他整数整除，得出：一个合数至少有3个因数，故正确；C．因为正整数不包括0，所以除2外所有的偶数，都至少有1，2和本身3个约数，所以都是合数，说法正确；D．在正整数中，1既不是素数也不是合数，故在正整数中，除了素数就是合数，说法错误．故选：D．6.（2019·全国单元测试）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是___________，合数是____________，奇数是____________，偶数是_______________．【答案】2，3，29 6，8，33，45 1，3，29，33，45 2，6，8【解析】解：在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是：2，3，29；合数是：6，8，33，45；奇数是：1，3，29，33，45；偶数是：2，6，8；故答案为：2，3，29；6，8，33，45；1，3，29，33，45；2，6，8．7.（2020·全国课时练习）下面的数字中，哪些是合数？哪些是素数？分别填入相应的圈中．1，27，37，41，58，61，73，83，95．【答案】见解析【解析】解：素数合数8.（2020·全国单元测试）把1~20的正整数按照要求填入下图．【答案】详见解析【解析】在1到20的正整数中，奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，偶数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，素数有：2、3、5、7、11、13、17、19，既是奇数又是素数的数有：3、5、7、11、13、17、19，既是偶数又是合数的数有：4、6、8、10、12、14、16、18、20，如图所示：知识三、素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的概念每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，如∶6=2×3，28=2×2×7，30=2×3×5，…其中每个素数都是这个合数的素因数.2 和 3 是6的素因数，2 和7 是28 的素因数.素因数是相对于某个合数而言，不能单独存在，也就是说不能说2 是素因数，单独说时它只是一个素数.从中我们知道，只有合数才能有素因数.而把一个合数用素数相乘的形式表示出来，就是分解素因数. 2.分解素因数的方法在分解素因数时一定要分解到全部的因数都是素数时为止.书写时 一般写成"合数=素因数相乘"的形式， 分解素因数的方法∶逐步分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式，如图所示; 逐步分解法一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的数上，短除法：用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是合数，再按上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止;然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式.【例4】（1）（2020·全国课时练习）用短除法分解素因数．（1）75（2）85（3）256（4）182【答案】（1）75355=⨯⨯；（2）85517=⨯；（3）25622222222=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（4）1822713=⨯⨯ 【解析】（1）∶75355=⨯⨯（2）∶85517=⨯（3）题型探究∶25622222222=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）∶1822713=⨯⨯．（2）（2020·全国）下面各式中，表示分解素因数的式子有（ ）A ．31236⨯=B ．30310=⨯C ．12431=⨯⨯D ．18233=⨯⨯【答案】D 【解析】解：A 、3×12=36是计算得数，不是分解质因数；B 、30310=⨯，10不是素数，不是分解质因数；C 、12431=⨯⨯，1既不是素数也不是合数，不是分解质因数；D 、18233=⨯⨯是分解质因数；故选：D ．（3）（2020·全国课时练习）30的素因数有（ ）A ．1和30B ．2、3和5C ．5和6D ．无数个【答案】B 【解析】解：30=2×3×5，故选：B（4）（2020·全国课时练习）一个合数分解素因数为N a b c =⨯⨯（a 、b 、c 不相等），它的因数有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【解析】 解析：因为N a b c =⨯⨯，所以N 的因数有1，a 、b 、c 、N ，还有ab 、ac 、bc ，一共8个．故选C ． 举一反三1.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）在51＝3⨯17中，3和17都是51的 ( )A ．素因数B ．倍数C ．素数D ．素数 【答案】A 【解析】解：因为51=3×17，所以3和17都是51的因数，又3和17都是素数，所以3和17也是51的质因数即素因数．故选：A ．2.（2020·全国课时练习）2235A =⨯⨯⨯，2237B =⨯⨯⨯，A 与B 相同的素因数是（ ）A ．2B ．2和3C ．2、3、5、7D ．2、2和3 【答案】D 【解析】解：∶2235A =⨯⨯⨯，2237B =⨯⨯⨯∶A 与B 相同的素因数是2、2和3．故选：D ．3.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）12的素因数是( )A ．2，2，3B ．1，2，3C ．4，6，12D ．1，2，3，4【答案】A 【解析】解：因为：12223=⨯⨯，所以：12的素因数为：2,2,3.故选A ．4.（2020·全国课时练习）下面分解素因数正确的是（ ）A ．45153=⨯B ．4559=⨯C ．45335=⨯⨯D ．451335=⨯⨯⨯ 【答案】C 【详解】解：45335=⨯⨯，故选：C5.（2020·全国课时练习）分解素因数后，只含有素因数3的数是（ ）A ．31B ．51C ．81D ．127 【答案】C 【解析】解：31是素数；51=3×17； 81=3×3×3×3127是素数；6.（2020·全国课时练习）在括号里填上素数：15=_____________＋_____________；24=_____________+_____________=_____________+_____________=_____________+_____________．【答案】2 13 11 13 5 19 7 17【解析】解：15=2+13；24=11+13=5+19=7+17．故答案为：2；13；11；13；5；19；7；177.（2019·全国单元测试）分解素因数：84=__________________________．⨯⨯⨯【答案】2237【解析】84=2×2×3×7，故答案为：2×2×3×7．8.（2019·全国单元测试）把2668分解素因数，可写成2668=__________________________．⨯⨯⨯【答案】222329【解析】⨯⨯⨯解：2668=222329.⨯⨯⨯.故答案为：222329=⨯⨯⨯，其中a，b，c，d是不同的素数，那么在9.（2020·全国单元测试）已知M分解素因数为M a b c dM的所有因数中是合数的有______个．【解析】解：∶M 分解素因数为M a b c d =⨯⨯⨯，其中a ，b ，c ，d 是不同的素数，∶M 的所有因数中是合数的有ab ac ad bc bd cd abc abd bcd abcd 、、、、、、、、、，共10个故答案为：10．10.（2019·全国单元测试）把504分解素因数：504=_____________；它共有_____________个因数．【答案】32237⨯⨯ 24 【解析】解：50422522522126126263633212137÷=÷=÷=÷=÷=，，，， ∶504=32222337237⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯；∶504的因数中可能含有0个2，1个2，2个2，3个2共(3+1)种情况，可能含有0个3，1个3，2个3共(2+1)种情况，可能含有0个7，1个7共(1+1)种情况，∶由（3+1）（2+1）（1+1）=24得，504共有24个因数．故答案为：32237⨯⨯，24 课堂总结1.知识清单（1）素数、合数的定义与判断（2）素因数的概念（3）分解素因数的方法2.总结：（1）“1”既不是素数也不是合数.（2）注意区分奇数和素数、偶数和合数的意义.（3）注意分解素因数的书写格式.（4）对于一个数有哪些素因数，必须说出它的每一个素因数.课后作业1．（2020·全国课时练习）在1，2，19，29，39，7，17，27，59，69中，素数一共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【解析】在1，2，19，29，39，7，17，27，59，69中素数有：2，19，29，7，17，59，共计6个．故选：B．2．（2020·全国课时练习）已知m分解素因数为m a b c=⨯⨯，其中a、b、c是不同的素数，那么m的因数中合数有（）A．1个B．3个C．4个D．8个【答案】C【解析】=⨯⨯，其中a、b、c是不同的素数，解：m分解素因数为m a b c那么m 的因数中合数有ab 、bc 、ac 、abc 共4个，故选C ．3．（2020·全国课时练习）在14=2×7中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．互素数C ．素因数D ．公因数【答案】C 【解析】 1427114=⨯=⨯，14的因数有1，2，7，14，其中1既不是素数也不是合数，14是合数，∶2和7都是14的素因数．4．（2019·全国单元测试）x 是正整数，x 〈〉表示不超过x 的素数的个数．如：74〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4个，那么2395134188〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉； 95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉，由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉；2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉；故选C ．5．（2020·全国单元测试）下列说法中，正确的是（ ）∶最小的素数1；∶2是偶数也是合数；∶两个素数的乘积一定是合数；∶合数至少有三个因数．A ．∶∶B ．∶∶C ．∶∶D ．∶∶∶【答案】C 【解析】1既不是素数也不是合数，所以最小的素数是2，故∶错误；2是偶数但不是合数，故∶错误；两个素数的乘积一定是合数，故∶正确；合数是除了1和本身以外还有其他因数，所以至少有三个因数，故∶正确． 故选C ．6．（2020·全国课时练习）把126分解素因数为（ ）A ．1262321=⨯⨯B ．2337126⨯⨯⨯=C ．12623371=⨯⨯⨯⨯D ．1262337=⨯⨯⨯ 【答案】D 【解析】解：A. 1262321=⨯⨯中21是合数，故不是分解素因数；B. 2337126⨯⨯⨯=是乘法计算，故不是分解素因数；C. 12623371=⨯⨯⨯⨯中1不是素数，故不是分解素因数；D. 1262337=⨯⨯⨯中2，3，7是素数，是分解素因数．故选D ．7．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是正整数中最小的偶数，个位上的数既不是素数也不是合数，这个数是_____．【答案】421 【解析】 百位上是最小的合数，∴百位上的数是4，十位上是正整数中最小的偶数，∴十位上的数是2，个位上的数既不是素数也不是合数，∴个位上的数是1，则这个数是421，故答案为：421．8．（2019·全国单元测试）分解素因数：72=______________．⨯⨯⨯⨯【答案】22233【解析】72=2×2×2×3×3．故答案为：2×2×2×3×3．9．（2020·全国课时练习）10以内的正整数中，既不是素数也不是合数的数是________；最小的素数是________，它还是________数；最小的合数是________，一个数既是合数，又是奇数，这个数是________；最大的合数是_____，它还是________数．【答案】1 2 偶 4 9 10 偶【解析】解：既不是素数也不是合数的数是1；最小的素数是2，它还是偶数；最小的合数是4；一个数既是合数，又是奇数，这个数是9；最大的合数是10，它还是偶数．故答案为：∶1；∶2；∶偶；∶4；∶9；∶10；∶偶．10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）A=2⨯3⨯5，B=2⨯2⨯3⨯5．A与B公有的素因数是_____________________．【答案】2，3，5【解析】因为A的素因数是2，3，5，B的素因数是2，3，5，所以A、B公有的素因数是2，3，5，故答案为：2，3，5．11.（2020·全国课时练习）两个素数的和是20，积是91，这两个素数分别是_______和________.【答案】13，7【解析】解：利用短除法分解91可得到：91=7×13，因为7+13=20．故答案为：13 7．12．（2020·全国课时练习）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数最小是__________，把它分解素因数是____________．=⨯⨯⨯【答案】16162222【解析】解：由分析知：一个数既是16的倍数，又是48的因数，这个数最大是48，最小是16；把它分解素因数是：=⨯⨯⨯．162222=⨯⨯⨯．故答案为：16；16222213．（2019·全国单元测试）已知数2235a=⨯⨯⨯，那么a的全部素因数的个数是_____________．【答案】4【解析】解：因为2235a =⨯⨯⨯所以a 的全部素因数为2，2,3,5，共4个故答案为：4．14．（2020·全国）四个连续自然数的积是5040，那么这四个数是_______．【答案】7，8，9，10 【解析】5040＝2×2×2×2×3×3×5×7，又因四个连续自然数的积是5040，2×2×2×2×3×3×5×7＝7×8×9×10，所以分别为7，8，9，10．故答案为：7，8，9，10．15．（2020·全国单元测试）“哥德巴赫猜想”是指：任何一个大于4的偶数，都可以写成两个奇素数的和．请把16和20写成两个奇素数的和．【答案】16313=+或16511=+，20317=+或20713=+ 【解析】16313=+或16511=+，20317=+或20713=+．16．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把1，2，12，21，32，41，52，61，72，81，92填入适当的圈内．【答案】见解析 【解析】 解：17．（2020·全国单元测试）把下列各数分解素因数．120（用树枝分解法） 238（用短除法）【答案】12022235=⨯⨯⨯⨯，解题过程见解析；2382717=⨯⨯，解题过程见解析． 【解析】=⨯⨯⨯⨯；则12022235=⨯⨯．则238271718．（2020·全国课时练习）一个长方形的周长是20厘米，如果长、宽的值都是素数，这个长方形的面积是多少平方厘米？【答案】21平方厘米【解析】÷=厘米∶20210结合题意，长、宽可以分为：∶长9厘米，宽1厘米；∶长8厘米，宽2厘米；∶长7厘米，宽3厘米；∶长6厘米，宽4厘米．又∶四种分类中，长与宽的值都是素数的是7和3∶这个长方形的长是7厘米，宽是3厘米∶这个长方形的面积是21平方厘米．。

第3讲：分解素因数（课后作业）一：填空题1、两个素数的和是18，积是65，则这两个素数分别是________和_________；2、一个两位素数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍然是素数，则这个素数可能是________，还可能是___________、____________；3、用10以内的三个素数组成一个三位数，使它能同时被3和5整除，则这个数最小是_________，最大是________；4、最小的素数是__________，最小的合数是_________；5、两个都是素数的连续自然数是__________和__________；6、________既不是素数，也不是合数；7、12的因数共有_______个，其中素数有____________________，合数有_______________________； 8、20以内的素数有________个；100以内的素数有______个；9、用最小的素数，合数和0，写出同时能被2、3、5整除的最大三位数是________，最小的三位数是______；10、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做________；二：选择题1、20以内所有素数的和是：A. 75B. 76C. 77D. 782、最小的素数乘以最小的合数，积是：A. 4B. 6C. 8D. 103、自然数按因数的个数分类，可以分为：A. 素数和合数B. 素数和偶数C. 奇数和偶数D. 素数、合数和14、在14=2×7中，2和7都是14的：A. 素数B. 因数C. 倍数D.合数5、把66分解素因数是：A. 132166⨯⨯⨯=B. 11666⨯=C. 113266⨯⨯=D. 661132=⨯⨯6、下列分解素因数正确的是：A. 21242⨯=B. 32222148⨯⨯⨯⨯⨯=C. 6424⨯=D. 31262⨯=7、5322⨯⨯⨯=A ，7322⨯⨯⨯=B ，A 与B 相同的素因数是：A. 2B. 2和3C. 2、3、5、7D. 2、2、和3三：解答题1、用“树枝分解法”分解素因数：46、30和522、用“短除法”分解素因数：72、51、84、42、81、403、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。

2020-2021学年上学期六年级数学尖子生同步培优题典【沪教版】专题1.2 分解素因数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.两个整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则这两个整数的乘积是多少？（ ）A．273B．819C．1911D．3549【解答】解：因为273＝3×7×13，所以这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，所以有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又因为两数和为60，所以这两个数为21，39，所以乘积为21×39＝819．故选：B．【知识点】求几个数的最小公倍数的方法2.18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的（ ）A．B．C．D．【解答】解：18＝2×3×324＝2×2×2×32×3＝6所以18和24所有的公约数是1，2，3，6，（1+2+3+6）÷（1×2×3×6）＝12÷36＝答：18和24所有的公约数的和是所有公约数的积的．故选：D．【知识点】因数、公因数和最大公因数3.下面说法正确的是（ ）A．在等式的两边同时除以同一个数，结果仍然是等式B．假分数的分子一定比分母大C．两个非0自然数的乘积一定是这两个数的公倍数D．50个奇数相加的和一定是奇数【解答】解：在等式的两边同时除以一个非0的数，结果仍然是等式．选项A错误；分子大于或等于分母的分数叫假分数．选项B错误；两个非0自然数的乘积一定是这两个数的公倍数．选项C正确；50个奇数相加的和一定是偶数．选项D错误．故选：C．【知识点】公倍数和最小公倍数、分数大小的比较、等式的意义、奇数与偶数的初步认识4.已知a÷b＝7，则a与b的最小公倍数为（ ）A．a B．1C．b D．ab【解答】解：a÷b＝7，所以a是b的倍数，根据分析，a与b的最小公倍数是较大的数a．故选：A．【知识点】求几个数的最小公倍数的方法5.一个三位数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，这个数能被3整除，它可能是（ ）A．402B．403C．203D．204【解答】解：根据分析可得，百位上是最小的合数4，个位上是最小的质数2，+2＝6，6是3的倍数，所以十位上只要能被3整除即可，可以为0、3、6、9，其中最小为0；所以，这个三位数最小为402．故选：A．【知识点】2、3、5的倍数特征、合数与质数6.一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成（ ）A．12个B．15个C．9个D．6个【解答】解：24=2×2×2×3，18=2×3×3，所以24和18的最大公因数是；2×3=6，即小正方形的边长是6厘米，长方形纸的长边可以分；24÷6=4（个），宽边可以分：18÷6=3（个），一共可以分成：4×3=12（个）；故选：A．【知识点】求几个数的最大公因数的方法二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7.非零自然数a除以b的商为3，则a和b的最大公约数为 ．【解答】解：由题意可得：a÷b＝3，所以a是b的倍数，所以a与b的最大公约数是b；故答案为：b．【知识点】求几个数的最大公因数的方法8.甲数和乙数都是它们的最大公约数的倍数． ．【解答】解：由分析知：两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；所以甲数和乙数都是它们的最大公约数的倍数，是正确的；故答案为：√．【知识点】求几个数的最大公因数的方法9.15、30和60三个数的最小公倍数是 ．【解答】解：15、30和60三个数是倍数关系，60是较大数，所以15、30和60三个数的最小公倍数60；故答案为；60．【知识点】求几个数的最小公倍数的方法10.数a＝2×3×3、b＝2×3×7，a和b的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．【解答】解：数a＝2×3×3、b＝2×3×7，a和b的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×3×7＝126．故答案为：6，126．【知识点】求几个数的最大公因数的方法、求几个数的最小公倍数的方法11.如果a＝3c（a、c均不为0），a和c的最大公因数是 ，a和c成 比例．【解答】解：由题意得，a÷c＝3，可知a是c的倍数，所以a和c的最大公约数是c；a随c的变化而变化，a÷c＝3即a：c＝3，比值一定，所以a和c成正比例．故答案为：c，正．【知识点】求几个数的最大公因数的方法、正比例和反比例的意义12.（1）10以内的非零自然数中，最小的质数是 ，最小的合数 ，既是合数也是奇数的是 ，既是质数也是偶数的是 ．（2）用（1）题中的四个数和五个0，组成最小的九位数是 ，读作 【解答】解：（1）10以内的非零自然数中，最小的质数是2，最小的合数4，既是合数也是奇数的是9，既是质数也是偶数的是2．（2）用（1）题中的四个数和五个0，组成最小的九位数是200000249，读作二亿零二百四十九．故答案为：2，4，9，2；200000249，二亿零二百四十九．【知识点】奇数与偶数的初步认识、合数与质数13.在1、2、3…、N这N个自然数中（N为奇数），共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，那么（m﹣a）+（n﹣b）＝ ；m、n的最小公倍数是 ．【解答】解：（m﹣a）+（n﹣b）＝m﹣a+n﹣b＝（m+n）﹣（a+b），由于在1，2，3，…，N，这N个自然数中，共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，则：m+n＝N，a+b＝（N﹣1），所以（m+n）﹣（a+b）＝N﹣（N﹣1）＝1，即（m﹣a）+（n﹣b）＝1，m、n互质，它们的最小公倍数是mn．故答案为：1；mn．【知识点】求几个数的最小公倍数的方法、合数与质数、奇数与偶数的初步认识14.小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们年龄的乘积是1680，他们的年龄分别是 、 、 ．【解答】解：把1680分解质因数：1680＝2×2×2×2×3×5×7所以，这三个偶数数分别是2×5＝102×2×3＝122×7＝14那么这三个人的年龄分别是10岁、12岁、14岁．答：这三个人的年龄分别是10岁、12岁、14岁．故答案为：10、12、14．【知识点】合数分解质因数三、解答题（本大题共6小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.用短除法把下列各数分解质因数76、84、46、85．【解答】解：76＝2×2×19；84＝2×2×3×7；46＝2×23；85＝5×17．【知识点】合数分解质因数16.小红花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后给这两种花同时浇水？【解答】解：先把6和8分解质因数，6＝2×3，8＝2×2×2，6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24；答：至少24天后给这两种花同时浇水．【知识点】求几个数的最小公倍数的方法17.在右面的6个〇内填入不同的质数．使〇+〇的和都等于30以内的同一个偶数，并把这个偶数填在中间的□里．【解答】解：在右面的6个〇内填入不同的质数．使〇+〇的和都等于30以内的同一个偶数，并把这个偶数填在中间的□里．【知识点】合数与质数18.小明家准备给新厨房铺上正方形地砖，通过测量知道厨房的长是3米，宽是2.4米，如果让你去购买，你将选择边长是多少的地砖？并说明理由．【解答】解：3米＝300厘米，2.4米＝240厘米，300和240的最大公约数是60，所以可以选用边长是60厘米的方砖；因为这样节省铺设时间，提高工作效率，也就节省了工钱开支；答：将选择边长是60厘米的方砖，因为这样节省铺设时间，提高工作效率，也就节省了工钱开。

重点：分解素因数【知识要点】I1. 素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数。

2. 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数。

3. 素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

4. 分解素因数：把一个合数分解成几个素数乘积的形式，叫做分解素因数。

5. 分解素因数的方法：（1）“树枝分解法”（2）短除法（3）计算器分解法短除法分解素因数一般从最小的素因数开始除，除到商为1为止。

2、公因数：若整数a、b都能被整数c整除，则称c是a和b的公因数，a、b的公因数中最大的一个数叫做a、b的最大公因数；1是任意几个整数的公因数；若a是b的倍数，则a和b的最大公因数是b.3、互素：若两个整数的最大公因数是1时（只有公因数1），则这两个数互素。

4、用短除法求最大公因数：一般地，从公有的最小的素因数开始除，直到两个商互素为止，短除式的左列数字的乘积就是它们的最大公因数。

【典型例题】1、在正整数中，既不是素数也不是合数的数是______ ，既是素数又是偶数的数是 _____2、分解素因数：252 34653、小明用48元钱按零售价买了若干张练习本，如果按批发价购买，每本便宜2元，这样恰好多买4本，问零售价每本多少元？（每本的价钱为整数）。

4、5580共有多少个素因数，多少个因数，最大的因数是多少，最大的两位数因数是多少?【巩固练习】1、构成自然数a的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360，求满足条件a的最大值。

2、在14= 2X 7中，2和7都是14的（）。

（A）素数（B）互素数（C）素因数（D）公因数3、将下列各数分解素因数，并用连乘的形式表示结果。

(1)48;(2)1204、39、47、57、83中为素数的有( )(A) 39 , 47 (B) 47 , 57(C) 57, 97(D) 47, 835、12的素因数是()(A) 1, 2, 3, 4 (B) 2, 3(C) 2, 2, 3(D) 1, 2, 3, 4, 6, 126、下列分解素因数正确的是( )(A) 42= 2X 21 (B) 48= 1 X 2X 2X 2X 2X 3(C) 24= 4X 6 (D) 62 = 2X 317、下列说法中正确的是()(A)自然数包括素数和合数两类(B )不存在最小的素数(C) 1既不是素数，也不是合数(D) 2是最小的合数&两个素数相乘的积一定是()(A)奇数(B)偶数(C)素数(D)合数9、根据要求填空：在1, 2, 9, 21, 43，51, 59，64这八个数中，(1)是奇数又是素数的数是( )；(2)是奇数不是素数的数是( )；(3)是素数而不是奇数的数是( )；(4)是合数而不是偶数的数是( )；(5)是合数而不是奇数的数是( ).10、把下列各数写成几个素因数乘积的形式.(1)18(2)35(3)45.11、把以下各数分解素因数(1)189(2)72(3)238(4)338.12、将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？13、说明相邻的两个偶数的最大公因数是 2.:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数2、互素：如果两个整数的公因数只有1,那么称这两个数是互素.3、求两个数的最大公因数可以用列举法、分解素因数法和短除法。

分解素因数知识精要一、公因数与最大公因数1、 _ ，叫做这几个数的公因数，其中叫做这几个数的最大公因数。

2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数。

两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）；（2）；（3）；（4）。

3、求两个数最大公因数的常用方法有：、、。

备注：______________________________________________________________4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的连乘，所得的积就是它们的最大公因数。

二、公倍数与最小公倍数5、几个整数叫做它们的公倍数，其中叫做它们的最小公倍数。

判断下列说法是否正确：（1）两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

（）（2）两个数的公倍数的个数是有限的。

（）（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。

（）（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。

（）6、求两个整数最小公倍数的方法有： ____ 、 _ 、 ___ 。

7、如果两个整数中某一个是另一个的倍数，那么这个数就是它们的 _________ 。

8、如果两个数互素，那么它们的 _______ 就是它们的最小公倍数。

备注：______________________________________________________________热身练习一、填空1、两个连续奇数的和是16，那么这两个奇数的最小公倍数是_______，最大公因数是________。

2、如果整数m除以整数n的商是8，那么这两个数的最小公倍数是_____，最大公因数是______。

3、2、5、8、9四个数，任选两个数组成一对，一共可以组成_____对互素数。

4、一个数除85余1，除65余2，符合条件的数中最大的这个数是_______。

5、一张长方形纸片，长96厘米，宽60厘米，把它裁成同样大小且边长为整数厘米的正方形而无剩余，至少可裁成_______张。

教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。

学科数学课题名称分数专题-裂项求和
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

分数专题-裂项求和
【例22】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
L
【例23】计算：
283411 1222222 1335571719135357171921
⎛⎫++++-+++=
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
L L
【习题1】
2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯
L。

2013年 六秋培优 第1讲 第一名并不难 第 1页，共 14页因数与倍数一、求最大公因数（Greatest Common Divisor ，缩写为..GC D ）的方法：较常用的方法有分解素因数、短除法等，最大公因数一般用符号()来表示。

①分解素因数法：先分解素因数，然后把相同的素因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以231和252的最大公因数是(231,252)3721=⨯=。

②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘。

例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；二、求最小公倍数(Least Common Multiple, ,缩写,..LC M )的方法最小公倍数=公有素因数的积⨯各自独有的素因数的积，它一般用符号[ ]来表示。

三、分数的最大公因数：分母是原分母的最小公倍数，分子是原分子的最大公约数如：23，415，45 其最大公因数是215分数的最小公倍数：分母是原分子的最大公因数，分子是原分母的最小公倍数如：23，415，45其最小公倍数是4 三、因数的个数定理：分解素因数：31241234=n p p p p p n N a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯L (12n a a a L 、、为合数N 的不同素因数)，则所求的因数的个数为123(1)(1)(1)(1)n A p p p p =+⨯+⨯+⨯⨯+L ；因数的和为：12010101111222()()()n p p p n n n S a a a a a a a a a =+++⨯+++⨯⨯+++L L L L ；例如：①32504237=⨯⨯ ，那么它有(31)(21)(11)24+⨯+⨯+=个因数；它所有因数的和为：012301201(2222)(333)(77)151381560S =+++⨯++⨯+=⨯⨯=。

②完全平方数有奇数个因数。

（反过来也成立，有奇数个因数的数是完全平方数）如：242=，293=，222164(2)==，222819(3)==，222222825616(4)(2)2⎡⎤====⎣⎦，2222228656181(9)(3)3⎡⎤====⎣⎦⋅⋅⋅，它们均有奇数个因数第1讲因数、倍数2013年 六秋培优 第1讲 第一名并不难 第 2页，共 14页【例题1】 【基础、提高】求下列数的最大公因数和最小公倍数（1）60和84；（2）44和55；（3）48,54和72；解：【尖子】求下列数的最大公因数和最小公倍数（1）232和435；（2）115和552；（3）91,65和143【例题2】 【基础、提高】求下列分数的最大公因数和最小公倍数（1） 23和45；（2）524和328；（3）391和1526【尖子】有三条圆形跑道，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步，里圈跑道长0.35千米，中圈长0.5千米，外圈长0.75千米。

分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．分解素因数（二）知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲内容分析41例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．4243【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【难度】★★ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【难度】★★【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则44144a b⨯=．所以9ab=．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【难度】★★【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？【难度】★★★【答案】4，6，8【解析】设这三个数是22222n n n-+，，；2若n为奇数，则11n n-+，是偶数，2则：(1)(1) 222422n nn-+⨯⨯⋅⋅=解得：3n=，这三个数是4，6，8．若n为偶数，则11n n-+，是相邻奇数，则：2(1)(1)24n n n⨯-⋅⋅+=此方程无解；∴这三个数是4，6，8．【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．22222+ -nnn11+-nnn2121+-nnn44【例10】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【难度】★★★【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【难度】★★★【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：该车间至少安排5个人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．45461、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数． 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例15】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【难度】★★【答案】15【解析】设另一个数是x，则：6 x =3×30解得：x=15答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的．()（2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．()（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．()【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】★★【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．47【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？请用你所发现的规律接下面的问题：（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【难度】★★【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．（1）15；（2）15．【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30解得：x=15 答：乙数是15．（2）设另一个数是x，则：18x=3×90解得：x=15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数∴a=5，b=7，这两个数是20、28．4849【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【难度】★★★ 【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10与12的最小公倍数是60， 1500÷60+1=26棵． 答：有26棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会） 【难度】★★★ 【答案】15分钟【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒； 60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟． 答：15分钟后他们又在起点相会． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．随堂检测【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★【答案】b，a．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【难度】★★【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．50【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【难度】★★【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【难度】★★【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【难度】★★【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．51【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【难度】★★【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．52课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：1与299（）12与36（）12与13（）13与52（）10与14（）21与49（）6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299；36；156；52；70；147；30；66；175；【解析】略【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法：互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6，90．【解析】因为18=2×3×3；30=2×3×5；所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90；【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．（1）36和84；（2）12，15和18．【难度】★【答案】（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252；（2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180．【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：5354【作业4】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？ 【难度】★★【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a ，42b (a 、b 互素)， 则：42ab =2940，42（a +b ）=714． ∴ab =70，a +b =17∴a =7，b =10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【难度】★★【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】★★【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【难度】★★【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．55【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．56。

2023~2024学年沪教版六年级上《第2节 分解素因数》易错题集二考试总分：75 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 将分解质因数是，的因数有（ ）A.个B.个2. 一个三位数，百位上的数是最小的奇数，十位上的数是最小合数，个位上的数是最小的自然数，这个数是 ．A.B.C.D.3. 妈妈的工资是元，爸爸的工资与妈妈的工资差不多，爸爸的工资可能是（ ）A.元B.元C.元卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）4. 把分解质因数是________．5. 一个数既是的因数，又是的倍数，这个数最小是________，把它分解质因数是________．A A =2×3×7A 38()12043114114029803020200025001848166.，里是以内各不相同的质数，是整数，那么最大是________，最小是________。

7. 写出一些三位数，这些数都同时是、、的倍数。

(每种写两个数)（1）有两个数字是质数：________；（2）有两个数字是合数：________；（3）有两个数字是奇数：________。

8. 在中，既是偶数又是质数的是________，既是奇数又是合数的是________和________。

________既不是质数，也不是合数。

9. 最小的自然数是________，最小的偶数是________，最小的质数是________。

10. 猜猜我是谁。

① ________和________；② ________和________；③ ________和________；20()()2351∼20()()()()()()()④ ________和________。

教师姓名彭高钢学生姓名年级预初上课时间2018/ /学科数学课题名称分解素因数分解素因数知识模块Ⅰ：素数、合数与分解素因数1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．▲ 要特别记住：0和1不是素数，也不是合数.常用的100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的素数都是奇数；除了2和5，其余的素数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以素数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余素数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．互素数：公约数只有1的两个自然数，叫做互素数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的素因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的素因数，其中后一个式子叫做分解素因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解素因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．4.部分特殊数的分解111337=⨯； 100171113=⨯⨯； 1111141271=⨯；1000173137=⨯； 199535719=⨯⨯⨯； 1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯； 2008222251=⨯⨯⨯； 10101371337=⨯⨯⨯. 5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.【例1】 既不是素数,也不是合数的正整数是__________．【答案】1．【解析】素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做 素数，也叫做 质数；合35 5 7【总结】20 以内的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试．【例8】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？【答案】44 厘米或 36 厘米或 34 厘米．【解析】 9 8 12 6 18 4 72 ，则①长方形的长为 18 厘米，宽为 4 厘米，②长方形的长为 12 厘米，宽为 6 厘米，③长方形的长为 9 厘米，宽为 8 厘米，【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．知识模块Ⅱ：公因数和最大公因数1、 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、 最大公因数：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、 两个数互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、 求最大公因数：求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．方法一：分别把24和60分解素因数得：24=3222⨯⨯⨯ 60=5322⨯⨯⨯则他们的最大公因数是这些公素因数的乘积，即322⨯⨯=12使用这个方法时注意把相同的素因数对齐。

1 / 17六年级暑假数学最新 讲 义分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．分解素因数（二）知识结构模块一：公倍数与最小公倍数例题解析知识精讲内容分析2/ 173 / 17【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数． 【难度】★ 【答案】6； 72． 【解析】 2 18 24 3 9 12 3 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72． 【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数． 【难度】★【答案】6； 360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1） 8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120； （2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45； （3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399． 【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________．4 / 17【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【难度】★★ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则44144a b⨯=．所以9ab=．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【难度】★★【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？【难度】★★★【答案】4，6，8【解析】设这三个数是22222n n n-+，，；2若n为奇数，则11n n-+，是偶数，2则：(1)(1) 222422n nn-+⨯⨯⋅⋅=解得：3n=，这三个数是4，6，8．若n为偶数，则11n n-+，是相邻奇数，则：2(1)(1)24n n n⨯-⋅⋅+=此方程无解；∴这三个数是4，6，8．【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．【例10】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当22222+ -nnn11+-nnn2121+-nnn5/ 17种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【难度】★★★【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【难度】★★★【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：该车间至少安排5个人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．模块二：最大公因数与最小公倍数综合6/ 177 / 171、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数． 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例15】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？例题解析知识精讲【难度】★★【答案】15【解析】设另一个数是x，则：6 x =3×30解得：x=15答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的．()（2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．()（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．()【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】★★【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．8/ 17【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？请用你所发现的规律接下面的问题：（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【难度】★★【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．（1）15；（2）15．【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30解得：x=15 答：乙数是15．（2）设另一个数是x，则：18x=3×90解得：x=15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数∴a=5，b=7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．9/ 17【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？【难度】★★★【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10与12的最小公倍数是60，1500÷60+1=26棵．答：有26棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？【难度】★★★【答案】20或4．【解析】设4123，，（a，b，c为素数），则12abc=60．===x a y b z c所以abc=5=1×1×5．（1）a=5，这三个数是20，12，3；（2）b=5，这三个数是4，60，3；（3）c=5，这三个数是4，12，151；答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会）【难度】★★★【答案】15分钟【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒；60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟．答：15分钟后他们又在起点相会．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．随堂检测10/ 17【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★【答案】b，a．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【难度】★★【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【难度】★★【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【难度】★★【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【难度】★★【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【难度】★★【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：1与299（ ） 12与36（ ） 12与13（ ） 13与52（ ） 10与14（ ） 21与49（ ） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175； 【解析】 略【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法： 互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数． 【难度】★ 【答案】6， 90．【解析】因为18=2×3×3； 30=2×3×5；所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90； 【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．（1） 36和84； （2）12，15和18．【难度】★【答案】（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252； （2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180． 【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：【作业4】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值．【难度】★【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42，解得：A=2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数．【难度】★★【答案】20【解析】设这两个数的最小公倍数是x，则：5x=100解得：x=20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【难度】★★【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【难度】★★【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】★★【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【难度】★★【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．。

1 / 18本讲在六年级课内知识的基础上补充了一些关于整除性质和分数数列计算的知识点和相关习题，有余力的同学可以加以学习．1、 整除性质（1）能被2整除的数的特征：个位能被2整除，即末位数字为0、2、4、6、8； （2）能被5整除的数的特征：个位能被5整除，即末位数字为0或5； （3）能被4或25整除的数的特征：末两位能被4或25整除； （4）能被8或125整除的数的特征：末三位能被8或125整除； （5）能被3或9整除的数的特征：各个数位上的数之和能被3或9整除； （6）能被7或11或13整除的数的共同特征：○1若一个数是1001的倍数，则这个数能同时被7、11和13整除：因为100171113=⨯⨯；○2从一个数的末三位开始，每三位作为一段，若奇数段之和与偶数段之和的差是7或11或13倍数，则这个数能被7或11或13整除；○3把一个数的末三位作为一个数，末三位之前的部分作为一个数，用较大的数减去较小的数，如果差能被7或11或13整除，则这个数能被7或11或13整除；拓展与提高内容分析知识结构模块一：整除性质知识精讲2 / 18（7）能被11整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除； （8）能被99整除的数的特征：从一个数的个位开始，两位一段，若各段的和能被99整除，则这个数能被99整除；（9）能被999整除的数的特征：从一个数的个位开始，三位一段，若各段的和能被999整除，则这个数能被999整除． 注：若数m 能被数n 整除，可记作：n m ． 2、 解题技巧（1）熟记整除性质，若遇到未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘：如7289=⨯； （2）当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13；（3）看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5．【例1】 已知四位数432□，在方框中填上一个数字，使其是3的倍数，则可以填__________；在方框中填上一个数字，使其是9的倍数，这个数可以填_________．【难度】★【答案】0、3、6、9；0、9．【解析】∵3432□，∴3432+++□，∴□= 0、3、6、9；∵9432□，∴9432+++□，∴□= 0、9．【总结】考查能被3或9整除的数的特征．【例2】 在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除． 【难度】★【答案】23160、23460、23760、23265、23565、23865． 【解析】设五位数23□6□为236a b ． ∵5236a b ，∴b = 0或5；又∵3236a b ，∴3236a b ++++，即32a b ++； 当b = 0时，a = 1、4、7；当b = 5时，a = 2、5、8；∴这个五位数可以是23160、23460、23760、23265、23565、23865．【总结】考查能同时被被3和5整除的数的特征，此题中，先考虑5，再考虑3．例题解析3 / 18【例3】 试判断1347365978这个数能否被7或11或13整除． 【难度】★【答案】不能被7和11整除，能被13整除． 【解析】奇数位数字之和为：8967333++++=；偶数位数字之和为：7534120++++=；∵332013-=，∴1347365978不能被7和11整除，能被13整除．【总结】考查能被7或11或13整除的数的特征．【例4】 六位数2008□□能被99整除，□□是多少？ 【难度】★ 【答案】71．【解析】设六位数2008□□为2008ab ．∵992008ab ，∴99208ab ++，即9928ab +，∴71ab =．【总结】考查能被99整除的数的特征．【例5】 已知五位数154xy 能被72整除，求x + y 的值． 【难度】★★ 【答案】8．【解析】∵1550072÷的余数为20，∴原数=155002015480-=，∴808x y +=+=． 【总结】154xy 只有末两位数未知，故不利用数的整除特征，而采用试除法解题．【例6】 975935972⨯⨯⨯□，要使这个乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【难度】★★ 【答案】20．【解析】25975，975中只有两个因数5；5935，935中只有1个因数5； 4972，972中只有2个因数2；因为乘积的末尾有4个零，所以“□”代表的数中至少可以分解出1个因数5和2个因数2，所以“□”最小为52220⨯⨯=．【总结】看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5．4 / 18【例7】 1231000⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾有多少个连续的0？1011021031000⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾有多少个连续的0？【难度】★★ 【答案】249；225．【解析】（1）1231000⨯⨯⨯⨯L 中因数2的个数明显多于因数5的个数，所以只需要计 算一共有多少个因数5．因数5的个数的计算方法如下：10005200÷=，10002540÷=，10001258÷=，10006251375÷=L L ，因数5的个数=2004081249+++=，所以1231000⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾有249个连续的0；（2）1011021031000⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数=1231000⨯⨯⨯⨯L 的乘积 的末尾连续的0的个数减去123100⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数：123100⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数=10051002520424÷+÷=+=，∴1011021031000⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数=24924225-=．【总结】看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5．【例8】 201202203300⨯⨯⨯⨯L 的结果除以10，所得到的商再除以10，…，重复这样的操作，在第______次除以10时，首次出现余数．【难度】★★ 【答案】26．【解析】根据题意，目的就是求201202203300⨯⨯⨯⨯L 的结果的末尾有多少个连续的 0．先计算123300⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数，再计算123200⨯⨯⨯⨯L 的乘积的末尾连续的0的个数，两者做差再加1即为所求．[][][][][][]300530025300125200520025200125÷+÷+÷-÷+÷+÷60122408125=++---=，25126+=，∴在第26次除以10时，首次出现余数．注：[]a 表示数a 的整数部分，如：[]300125÷表示300125÷的整数部分，等于2．【总结】考察几个数相乘后末尾有多少个0．5 / 18【例9】 从0，3，5，7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？【难度】★★ 【答案】2【解析】∵能同时被2和5整除，∴三位数的末位一定为0；设这个三位数为0ab ， ∵能被3整除，∴3a b +，对于3，5，7三个数，只有5+7为3的倍数， ∴0ab =570或750，∴这样的三位数共有2个．【总结】考查数的整除特征，当能同时被多个数整除时，优先考虑2和5，确定个位．【例10】 已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个九位数是____________．【难度】★★ 【答案】200731212．【解析】设这个9位数为2007122a b ，∵既是9的倍数，又是11的倍数，∴992007122a b ， ∴()9921272b a +++，即()9910212702b a +++++，∴()998610b a ++， ∴3a =，1b =，∴这个九位数是200731212． 【总结】考查能被99整除的数的特征．【例11】 某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是______．【难度】★★ 【答案】320．【解析】先求2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数，为2520，所以25201993□□□． 199********÷余680，19940006801993320-=， 所以这个七位数的最后三位数为320． 【总结】考查点：最小公倍数和试除法的运用．6 / 18【例12】 已知88888ab ab ab ab ab 是77的倍数，则ab 为______． 【难度】★★ 【答案】47．【解析】∵8888881001001001001ab ab ab ab ab ab =⨯，其中1001001001001不能被7和11整除，∴8ab 能被77整除，∴8ab =7711847⨯=，ab =47．【总结】考点：重码数、倍数的综合运用．【例13】 若4232++=b c d ，试问abcd 能否被8整除？请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】能．【解析】100010010abcd a b c d =+++8125812482a b b c c d =⨯+⨯++++ 8125812832a b c =⨯+⨯++()8125124a b c =⨯+++，故abcd 一定能被8整除．【总结】考点：位值原理、整除性质．【例14】 如果200520052005200501n L 144424443个能被11整除，那么n 的最小值是______． 【难度】★★★ 【答案】7．【解析】200520052005200501n L 144424443个奇数位数字之和为51n +，偶数位数字之和为2n ，51231n n n +-=+，∵20051120052005200501n L 144424443个，∴1131n +，n 的最小值为7． 【总结】考点：能被11整除的数的特征．7 / 18【例15】 求能被11整除，且数字和等于43的五位数． 【难度】★★★【答案】99979、97999和98989．【解析】∵五位数的数字和最大为9545⨯=， ∴数字和等于43的五位数的由9、9、9、9、7或者9、9、9、8、8这五个数字组 成．若五位数由9、9、9、9、7组成，当奇数位数字之和为99927++=，偶数位 数字之和为9716+=时，这个五位数能被11整除，这样的五位数有99979和97999； 若五位数由9、9、9、8、8组成，当奇数位数字之和为99927++=，偶数位数字 之和为8816+=时，这个五位数能被11整除，这样的五位数有98989．综上：能被11整除，且数字和等于43的五位数为99979、97999和98989．【总结】考点：能被11整除的数的特征．1、 常用公式（1）11a b a b a b+=+⨯；（2）11b a a b a b-=-⨯； （3）()11111n n n n =-⨯++； （4）()11111n n k k n n ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭．模块二：分数数列计算知识精讲8 / 18【例16】 计算：1111122334910+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯． 【难度】★【答案】910．【解析】原式11111111911223349101010=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=． 【总结】考点：分数裂项．【例17】 计算：22221335579799+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯． 【难度】★【答案】9899．【解析】原式1111111198113355797999999=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=． 【总结】考点：分数裂项．【例18】 计算：111124466898100+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯． 【难度】★【答案】49200．【解析】原式12222224466898100⎛⎫=⨯+++⋅⋅⋅+ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111224466898100⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭11122100⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭1492100=⨯49200=． 【总结】考点：分数裂项．例题解析612203042567290【难度】★【答案】25．【解析】原式11111111 23344556677889910 =+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111 23344556677889910 =+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11210=-25=．【总结】考点：分数裂项．【例20】计算：11111 428701309700 ++++⋅⋅⋅+．【难度】★【答案】33 100．【解析】11111 428701309700++++⋅⋅⋅+11111 1447710101397100 13333 314477109710011111111 13447710971001113100199310033100=++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯+++⋅⋅⋅+⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭=⨯=【总结】考点：分数裂项．9/ 1810 / 1856677889910⨯⨯⨯⨯⨯【难度】★★【答案】310．【解析】5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 65768798109565667677878898991091011111111115667788991011510310⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+--++--++=+= 【总结】考点：分数裂项．【例22】 计算：4812162024133557799111113-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【难度】★★【答案】1213．【解析】4812162024133557799111113-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯13355779911111313355779911111311131213++++++=-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-= 【总结】考点：分数裂项．【例23】 计算：151119209239261220210240++++⋅⋅⋅++． 【难度】★★ 【答案】11416．【解析】151119209239261220210240++++⋅⋅⋅++11111111111126122021024011111111111112233445141515161111111512233445141515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯1611511615151611416⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-=【总结】考点：分数裂项．【例24】 计算：357911131517192612203042567290-+-+-+-+． 【难度】★★【答案】1110．【解析】357911131517192612203042567290-+-+-+-+ 1223344556677889910122334455667788991021321091212232391091011111122391*********+++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+--+++=+=L L【总结】考点：分数裂项．【例25】 计算：22221232343459899100+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【难度】★★【答案】49499900．【解析】22221232343459899100+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314253100981232343459899100314253100981231232342343453459899100989910011111111122323343445989999100111299100112990049499900----=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯=-=【总结】考点：分数裂项．【例26】 计算：()()()()()23101112121231291210+++⋅⋅⋅+⨯++⨯++++⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+． 【难度】★★★【答案】54155．【解析】()()()()()23101112121231291210+++⋅⋅⋅+⨯++⨯++++⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+ ()()()()()()()()()()1211231212101291112121231291210111111112121231291291011112910125554155+-++-+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯++⨯++++⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+-++⋅⋅⋅++=-=【总结】考点：分数裂项．【例27】计算：2356899899 144771097100⨯⨯⨯⨯+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯．【难度】★★★【答案】33 3350．【解析】2356899899144771097100⨯⨯⨯⨯+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯()1424727102971002 144771097100222211111447710971002222 197131144771097100233333331447710971002133131002993331003⨯+⨯+⨯+⨯+=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯=++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯=⨯-÷+++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦⨯⨯⨯⨯⎛⎫=+⨯+++⋅⋅⋅+⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭=+⨯=33 3 50【总结】考点：分数裂项．【例28】计算：45611 1232343458910 +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【难度】★★★【答案】2115．【解析】45611 1232343458910+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯131415110 1232343458910111111 1232348910122389122211 212323489109 11111118 212232334899109 1118212910921++++=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯++⋅⋅⋅++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-+⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯-+⎪⨯⨯⎝⎭=15【总结】考点：分数裂项．【例29】 计算：35737123234345181920+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【难度】★★★ 【答案】1131760．【解析】35737123234345181920+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯12233418191232343451819201111111123133424453519201820111111111233445192013243517191820111111111220232435++++=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+⨯-+-+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭11111116181719182011111112202************⎛⎫⋅+-+-+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=【总结】考点：分数裂项．【例30】 计算：2222222221411812012141181201++++++⋅⋅⋅++----． 【难度】★★★ 【答案】201021．【解析】2222222221411812012141181201++++++⋅⋅⋅++---- ()()()()()()()()22222222222221241218122012214118120122221111214118120122221021214141181181201201222210133517191921110121201021-+-+-+-+=++⋅⋅⋅++----=++++⋅⋅⋅++++----=+++⋅⋅⋅++-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+=+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯=+-=【总结】考点：分数裂项、平方差公式．【作业1】 如果六位数1992□□能被105整除，那这个六位数为____________． 【难度】★ 【答案】199290．【解析】∵199300105÷的余数为10，∴原数=19930010199290-=． 【总结】考点：试除法．【作业2】 若1234a a a a a 能被11整除，则a =______． 【难度】★ 【答案】2．【解析】∵111234a a a a a ，∴()11510a -，∴2a =． 【总结】考点：能被11整除的数的特征．【作业3】 42□28□能被99整除，方框里应该填什么数？ 【难度】★ 【答案】7和4．【解析】设这个六位数为4228a b ，∵994228a b ，∴()994228a b ++， 即()994210280a b ++++，()9912410a b ++， ∴1099212474a b +=⨯-=， ∴7a =，4b =，这个数为427284． 【总结】考查被99整除的数的特征．【作业4】 计算：111112233420152016+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 【难度】★【答案】20152016．【解析】111112233420152016+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯12015120162016=-=【总结】考点：分数裂项．课后作业【作业5】 计算：3333255881198101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯． 【难度】★【答案】99202．【解析】3333255881198101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯11992101202=-=【总结】考点：分数裂项．【作业6】 学生问数学老师的年龄，老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄”，则老师今年 岁．【难度】★★ 【答案】37．【解析】设一个三位数为aaa ，由题意得：老师的年龄=3111337aaa a ÷=÷=（岁）． 【总结】利用字母代表数的思想．【作业7】 已知一个数200955555abab ab ab ab L 144424443个能被91整除，那么三位数5ab 是______ 【难度】★★ 【答案】546．【解析】∵2009200955555510010011001abab ab ab ab ab =⨯个1个L L 14444444244444443144444424444443，其中200910010011001个1L 144444424444443不能被7和13 整除，∴5ab 能被91整除，∴5ab =916546⨯=．【总结】考点：重码数，整除特征．【作业8】 计算：11111111113579111315172612203042567290++++++++．【难度】★★【答案】98110．【解析】11111111113579111315172612203042567290++++++++()1111111111357911131517261220304256729011111792122391018111098110=+++++++++++++++++=+⨯÷++++⨯⨯⨯=+-=L【总结】考点：分数裂项、等差数列求和．【作业9】 计算：1111123234345484950+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【难度】★★★ 【答案】3061225=．【解析】1111123234345484950+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯12222212323434548495011111111121223233434454849495011121249503061225⎛⎫=⨯+++⋅⋅⋅+ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯-+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭=【总结】考点：分数裂项．【作业10】 计算： 46810121416182022242613243546576879810911101211131214+--++--++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【难度】★★★【答案】32191．【解析】 46810121416182022242613243546576879810911101211131214+--++--++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 13243546911101211131214132435469111012111312141111111111111111324354691110121113121411112131432191++++++++=+--+++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++----+++++----=+--=L L 【总结】考点：分数裂项．。

1、如果A 表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【答案】1；A ．【解析】一个正整数的最小因数为 1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．2、731最少加上______，就是5的倍数．【答案】4【解析】能被 5 整除的数的特点：个位数字为 0 或 5，因此最少加上 4 即可．【总结】本题主要考查能被 5 整除的数的特征．3、 三位数“15□”是 8 的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】可以填 2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是 8 的倍数，则说明该数能被 8 整除．4、一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A5、三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________ 整数和整除【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为107，则中间的数为107，其余两个数为105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．6、小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【答案】11．【解析】84=12* 7=14 *6=21 *4= 28*3= 42*2= 84 * 1，则84 的因数为1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84，共有12 个，因为不能一次全拿出，所以共有11 中不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．7、一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．28=7* 4=14* 2=28* 1，则28 的因数有1、2、4、7、14、28．【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）8、122334************【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101 个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．9、五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【答案】2、5、8．【解析】能被2、5 整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被 3 整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被 3 整除，则A 可为2、5、8．则A+B 为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5 整除的数的特点．10、小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【答案】不能【解析】31 张纸的所有页码中，共31 个奇数和31 个偶数相加，答案是奇数，不可能是2010．另：拓展来看，每一张纸的页码和：1+2=3，3+4=7，5+6=11，……共同点：加上1 后都是4 的倍数，整体考虑，32 页纸的页码和+31 应是 4 的倍数，但2010+31 不能被4 整除，所以是不可能的．【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．11、油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3 倍，所以他们的重量和一定为4 的倍数．而7 桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被 4 除余3，由此可见，汽油的重量是27 千克．剩下的6 桶共重139-27=112（千克），其中包括1 份机油和3 份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6 个数字中只有12 和16 的和为28，则重量是12 千克、16 千克的这两只桶内装的是机油，其余 4 只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。