高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1

§3.1.3导数的几何意义教学设计
一、教材内容与解析
本节课设计内容是高中数学选修1-1(人教A版P76-P78)，导数的几何意义，导数是中学数学的重要内容．本节课是在学习前两节的变化率问题、导数的概念之后，从几何图形的角度来研究导数，理解一般曲线的切线定义，渗透“以直代曲”的数学思想，会简单应用导数的几何意义。

为后续的导数研究函数其他性质（如极值等）奠实基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
二、教学目标
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）知识与技能 :
通过实验探求和理解导数的几何意义；
体会导数在刻画函数性质中的作用；
（二）核心素养目标
通过具体情境分析概括出切线的定义，培养学生学生数学抽象核心素养，“以直代曲”
的渗透逼近培养直观想象核心素养
三、教学的重点难点
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，同时根据学生学习能力和旧有的知识的特点，我认为学生在定义了曲线的切线后，对于导数的几何意义为什么会与切线相关，如何相关会产生疑惑。

因此我确定以下重点和难点：
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
突破了重点难点，也就解决了存在的问题
四、教学支持条件分析
本着新课程标准的教学理念，根据本章特点，重视信息技术的使用，采用多媒体辅助教学，用动画的形式演示，将抽象的理论通过直观的图形说明白，学生简单易懂
五、教学过程设计
平均变化率 瞬时变化率(导数）x
y ∆∆x y x ∆∆→∆0lim
六、目标检测设计。

导数的几何意义一、教材分析：1、地位和作用：《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。

《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。

2、教学目标的拟定：【知识与技能】（1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用；（2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力【过程与方法】（1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义；（2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义；【情感态度价值观】（1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度；（2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。

（3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣3、教学重点、难点重点：导数的几何意义及应用难点：对导数几何意义的推导过程二、学情分析1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。

学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识．2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。

3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图3­1­5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图3­1­5A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图3­1­6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图3­1­6[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图3­1­7所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图3­1­7k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图3­1­8所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图3­1­8[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图3­1­1(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s＋Δt －sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f1＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：ΔyΔx＝－x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝－x2－x1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0＋Δ－Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0＋Δ－Δx.[基础自测]1．思考辨析 (1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋2.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]则ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．图3­1­1(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v1＝k OA ，v2＝k AB ，v3＝k BC . 根据图象知v1<v2<v3.(3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v1<v2<v3 (3)283π＋Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为＋Δ－＋Δ－x0＝＋Δ＋2]－20＋Δx＝6x0·Δx ＋ΔΔx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ，∴Δy Δx＝－Δ＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋－，0≤t<3，3t2＋2，t≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0 ΔsΔt.[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δ－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx→0 ΔsΔt ＝lim Δx→0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝limΔx→0＋Δ－Δt＝lim Δx→0＋Δ－2×22Δt ＝lim Δx→0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝－3－1＝2×32＋3－＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx→0 ΔyΔx (2)①Δy ＝－→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt→0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx→0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝2.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx→0 Δy Δt ＝lim Δx→0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48. 简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx→2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝＋Δ－Δx＝＋Δ－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δ－－2×Δt＝－4Δt －ΔΔt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt . ∴lim Δt→0 ＋Δ－Δt ＝lim Δt→0Δ＋8ΔtΔt ＝lim Δt→0(2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 2 [f ′(1)＝limΔt→0＋Δ－Δx＝lim Δt→0＋Δ＋4－＋Δx＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx＝Δ＋16ΔxΔx＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt→0ΔyΔx ＝lim Δt→0(2Δx ＋16)＝16.。

课题年级学期第二学期教学目标1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义；体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。

教学重难点及关键教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

教学难点：1)发现和理解导数的几何意义；2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

关键：师生一同探究和理解导数的几何意义主要教学方法及学法教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点；学法：自主、合作、探究教具通过多媒体（几何画板、幻灯片）直观的呈现出函数的图像，使学生对其有丰富的感性认识，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

教学过程预设教学环节教师活动（教学内容的呈现）学生活动（学习活动的设计）设计意图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们学习了函数在处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率。

那么：问：(1) 求导数的步骤有哪几步?(2)观察函数的图象，平均变化率在图形中表示什么？这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

课时作业22一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．答案：A3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A. f ′(x 0)＝－aB. f ′(x 0)＝－bC. f ′(x 0)＝aD. f ′(x 0)＝b解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C4．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0C.12at 0 D ．2at 0解析：∵Δs Δt ＝st 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 答案：A 二、填空题5．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________． 解析：由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.答案：16．已知f (x )＝2x，则lim x →afx －f ax －a＝________.解析：令x －a ＝Δx ，则x ＝a ＋Δx ， lim x →af x －f a x －a ＝lim Δx →0 f a ＋Δx －f aΔx＝lim Δx →0 2a ＋Δx －2a Δx ＝lim Δx →0 －2a a ＋Δx ＝－2a 2. 答案：－2a27．已知f (x )＝1x ，且f ′(m )＝－116，则f (m )＝________.解析：∵f (x )＝1x，∴f ′(m )＝lim Δx →0f m ＋Δx －f mΔx＝lim Δx →0 1m ＋Δx －1m Δx ＝lim Δx →0 －1m m ＋Δx ＝－1m 2. 又f ′(m )＝－116，∴－1m 2＝－116.∴m ＝±4.∴f (m )＝1m ＝±14.答案：±14三、解答题8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥01＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－t 0＋Δt2＋t 0＋Δt ＋10＋4.9t 20－6.5t 0－10Δt＝－4.9Δtt 0＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9(6549＋Δt )＋6.5.∴lim Δt →0h t 0＋Δt －h t 0Δt ＝lim Δt →0[－4.9(6549＋Δt )＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。

导数的几何意义教学设计指导思想：人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。

是《新课程标准》要求，本节直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。

本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。

学情分析：学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此本节课采用教师引导有相当的兴趣和积极性。

学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

教法分析：与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。

同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。

教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。

在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。

学法指导：借助多媒体技术，通过设计环环相扣的探究问题，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

河北省承德市高中数学第三章导数及其应用3.1.1-3.1.2 变化率与导数导学案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第三章导数及其应用3.1.1-3.1.2 变化率与导数导学案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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变化率与导数1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．重点:函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念的理解．方法：合作探究一新知导学一）变化率问题1。

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？当空气容量从V1增加到V2时,气球的半径从r(V1）增加到r（V2),气球的平均膨胀率是_____________。

2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s）的函数关系为h＝h（t),h是否随t的变化均匀变化?高台跳水运动员当高度从h（t1）变化到h(t2）时,他的平均速度为________________。

已知函数y＝f（x),令Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2）－f(x1），则当Δx≠0时，比值__________________，为函数f(x）从x1到x2的平均变化率，即函数f（x)图象上两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）)连线的__________．课堂随笔:二）函数在某点处的导数物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态?4．函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率是错误!错误!＝错误!错误!。

教学设计导数的几何意义（第二课时）一、教材分析微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。

导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节教材选自人教A版数学选修1-1第3章“导数及其应用”3.1.3“导数的几何意义”的第二课时，是学生在学习了导数几何意义内容之后，对切线问题的深入探讨。

二、学情分析由于要涉及各种类型函数求导求切线问题，所以对教材内容进行了微调，将第二节“导数的计算”提前至导数几何意义之前。

因此学生已经掌握了基本初等函数的导数公式和导数的运算法则。

通过前面的学习，学生已经了解了导数的相关知识，知道了导数作为数学中的一种工具，将它融入到函数、解析几何等问题中，能够有效简单的解决一些传统的数学问题。

导数也是解决实际问题最有力的工具。

三、教学目标1、知识与技能：（1）进一步深刻理解导数的几何意义。

（3）能利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

2、过程与方法：（1）学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力。

（2）学生可以凭借自己的知识能力独立解决问题。

（3）学生通过思考探究的2个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤。

3、情感态度与价值观：（1）在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想。

（2）采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法。

四、教学重点难点1、重点：能利用导数的几何意义求切线方程。

2、难点：理解在点处的切线方程与过点处的切线方程的区别。

五、学法与教法1、学法（1）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。

（3）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

2、教法（1）为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都获得相应的满足，本节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结。

《导数的几何意义》 教学设计授课班级：高2016级13班 授课时间：2017年11月6日 一、教学分析设计【教材分析】 从教材的设计意图看本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）选修1-1第三章第一节第三课时。

教材前两节内容是导数的几何意义的上位概念——平均变化率，瞬时变化率，并采用极限来定义了函数在某一点处的导数，从“数”的角度定义了某一点处的导数就是该点的瞬时变化率；导数的几何意义正是导数概念的下位概念，是从导数“形”角度来体现，有助于进一步从几何意义的角度来理解导数的含义与价值；导数的几何意义的学习又是下位内容——常见导数的计算，导数在研究函数中的运用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础。

从知识的作用看导数的几何意义能够很好地从“形”的角度帮助学生较为深刻地理解导数的定义，达到“数”与“形”的有机结合；同时导数的几何意义又是相关知识在几何学、物理学方面的迁移，是培养学生学数学、用数学的意识的良好载体。

通过导数几何意义的学习，能使学生对曲线的切线的含义在思维层次方面有所提升，它不是从公共点的个数的角度定义切线，而是由割线“无限逼近”曲线的切线，割线趋近于确定的位置定义为切线，真正反映了切线的直观本质，把曲线的切线上升到新的思维层面上，这有助于提升学生的思维层次。

从数学教育的角度看学生经历自己作图直观感知和GeoGebra 软件动画演示割线“逼近”成切线的过程，能真切感受函数图象的“切线”的生成过程，较为深刻理解函数图象的切线的意义，体会由“量变”到“质变”的心路历程，对学生的“逼近”思想的渗透留下一生都难以磨灭的印象。

【学生分析】通过前两节对函数平均变化率和导数概念的学习，学生对导数的概念已经有了初步的认识，理解了某一点处的瞬时变化率就是该点处的导数，体会了导数的思想和实际背景。

由于本节课对“数”与“形”的关联体验、在割线无限逼近切线的过程中蕴含的以直代曲思想以及理解导数)(0'x f 就是)(x f 在0x x 处的切线斜率的几何意义都有一定的难度。

§3.3.1函数的单调性与导数学习目标1.通过自主学习，理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.会利用导数求解函数单调区间。

学习重点(难点)：利用导数求解函数单调区间学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.增函数：对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数.减函数：对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.复习2： 'C = ；()'nx = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；()'x e = ；二、新课导学探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？探究任务三：回顾单调性的定义，思考某个区间内函数()y f x =的平均变化率的几何意义与其导数的正负关系.典型例题例1求下列函数的的单调区间：（1）3()3f x x x =+； （2）32()233616f x x x x =--+； （3）2()32ln f x x x =-； （4）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；反思：用导数求函数单调区间的四个步骤： ① 函数f (x )的定义域 ② 求导数()f x '.③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ④令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.单调区间之间不能用""⋃连接，只能用“，”或者“和”连接. 练1. 求下列函数的的单调区间：（1）32()f x x x x =--. （2）()1x f x e x =-+； （3）()ln f x x x =+；变式：求下列函数的的单调区间1、3()3f x x ax =+2、2()ln f x ax x =-；例2:试试：已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式练习1：已知函数f (x )的导函数 ()f x '的图像如下图所示，那么函数f (x )的图像最有可能的是( )变式练习2：函数()y f x =在定义域3(,3)2-内的图像如图所示．记()y f x =的导函数为'()y f x =，则'()0f x ≤的解集为（ ）A ．[1-3，1]∪[2，3）B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[3-2，1-3]∪[1，2）D ．（3-2，－1]∪[12，43]∪[83，3）三、课堂总结 四、作业当堂检测（限时：5分钟 满分：10分）1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上为增函数，则一定有（ ） A ．240b ac -< B ．230b ac -<C ．240b ac -> D ．230b ac ->2.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()0f x = D ．不能确定4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是。

3.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0 f x 0＋Δx－f x0Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ×) 2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ×)3．f ′(x 0)<f (x 0)．( × )4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √)类型一 求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →013＋Δx3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2Δx ＋13Δx 2＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的的切线方程 答案 －3 解析 y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0＋Δx2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 类型二 求切点坐标例2 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， ∴切点坐标为(2,9)．反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0. (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将x 0代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练2 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝limΔx →0x ＋Δx 3－x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2＋Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；当a ＝－5时，切点为(2,3)． 类型三 导数几何意义的应用例3 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2.反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练3 已知曲线f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________．考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 －7解析 设点P (x 0,2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋a －x 20＋aΔx＝4x 0＝8，∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a 代入到8x －y －15＝0中， 得a ＝－7.1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4B ．16C ．8D ．2考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0＋Δx2－8Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8. 2．已知曲线y ＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D解析 Δy ＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ，所以Δy Δx ＝x ＋12Δx＋2，所以y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝x ＋2.设切点坐标为(x 0，y 0)，则0'|x x y ＝x 0＋2.由题意，得x 0＋2＝4，所以x 0＝2，故选D.3.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．4．函数y ＝1x＋1的图象在点(1,2)处的切线方程为________________．考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 x ＋y －3＝0解析 ∵y ′＝lim Δx →01x ＋Δx ＋1－1x－1Δx ＝lim Δx →0－1x ＋Δx x ＝－1x2，∴y ′|x ＝1＝－112＝－1，即y ＝1x ＋1的图象在点(1,2)处的切线的斜率为－1，则在点(1,2)处的切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①又y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1，② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③ 由①②③得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．一、选择题1．曲线y ＝1x在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 D解析 y ′|x ＝1＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋Δx ＝－1，由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝3π4，故选D.2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0D ．f ′(x 0)不存在考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 3．曲线y ＝x 3的斜率为12的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 B解析 ∵lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝3x 2＝12， ∴x ＝±2，∴斜率为12的切线有2条．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D解析 ∵lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ， 又切线的倾斜角为π4，∴切线的斜率为tan π4＝1，即2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1B.12C ．－12D ．－1考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0a＋Δx 2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，即a ＝1.6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．1C ．－2D ．2考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B解析 由题干中的图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选B.7．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1,0]C.[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A解析 设P 点的横坐标为m ，先求出函数y ＝x 2＋2x ＋3上此处的导数 ΔyΔx＝m ＋Δx2＋m ＋Δx ＋3－m 2－2m －3Δx＝2m Δx ＋2Δx ＋Δx 2Δx＝2m ＋2＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→2m ＋2，∴f ′(m )＝2m ＋2.由于倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴0≤2m ＋2≤1⇒－1≤m ≤－12.二、填空题8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 2解析 ∵函数过点(1,3)，∴a ＋b ＝3， 又y ′|x ＝1＝lim Δx →0a ＋Δx2＋b －a ＋bΔx＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故b a＝2.9.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝________.(用数字作答)考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 2 －2解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝－2.10．曲线f (x )＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________________．考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 2x －2y －1＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →012x ＋Δx 2－12x 2Δx ＝x . 因为直线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以x ＝1， 所以f (1)＝12×12＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.故切线方程为y －12＝1·(x －1)，即2x －2y －1＝0.11．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 2解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4，又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 4解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0－2＋Δx 2－－2＋Δx ＋c －＋c Δx ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将点P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题13．若曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值．考点 切线方程的求解及应用题点 切线方程的应用 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0a ＋Δx 3－a 3Δx＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )， 切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. ∴三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16，得a ＝±1. 四、探究与拓展14．过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程为( )A ．27x －4y －23＝0B ．23x －3y －12＝0和y ＝3C ．5x －17y ＋9＝0D ．27x －4y －23＝0和y ＝1考点 切线方程的求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 D解析 Δy Δx ＝x ＋Δx 3＋1－x 3－1Δx＝3x Δx 2＋3x 2·Δx ＋Δx3Δx＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，所以lim Δx →0Δy Δx＝3x 2， 即y ′＝3x 2.设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，① 过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1，② 由①②得3x 20＝x 30x 0－1，解得x 0＝0或x 0＝32， 所以k ＝0或k ＝274，切点坐标为(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，358. 因此曲线y ＝x 3＋1的过点M (1,1)的切线方程有两个，分别为y －358＝274⎝⎛⎭⎪⎫x －32和y ＝1， 即27x －4y －23＝0和y ＝1.15．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0a x ＋Δx 2＋1－ax 2＋Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx 3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx ＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3.。

3.1.3 导数的几何意义教学目标：知识与技能：使学生理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法。

过程与方法：经过演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义。

情感、态度与价值观：增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心，培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力。

教学重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程。

教学难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解。

教学过程：一、问题情境：1．我们知道，导数f ′(x 0)表示函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，反映了函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况，那么，导数f ′(x 0)是否有一定的几何意义呢？【提示】f ′(x 0)有几何意义。

2．如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)，沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？【提示】点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT 。

3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？【提示】k n 无限趋近于切线PT 的斜率。

二、互动探究：（一）导数的几何意义：1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝li mx n→x0f(x n)－f(x0)x n－x0＝f′(x0)。

导数的几何意义教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修2－2中第§1．1．3节．它是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用．本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识到导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容.二、教法与学法学情分析从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经在生活中掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，也形成了定势：直线与曲线相切，直线与内线只有一个公共点．基于以上学情分析，我确定下列教法．1．教法从圆的切线的定义引入本课，再引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过几何画板的动画演示，得出曲线的切线的“逼近”法的定义．同样通过几何画板的实验观察和具体函数导数的计算得到导数的几何意义和直观感知“以直代曲”的数学思想．因此，我采用实验观察法、研讨教学法和信息技术辅助教学法相结合．2．学法根据本课特点的教学设计，我注重引导下列学法：——实验观察，利用几何画板的几何直观与数值计算功能，学生感知曲线的切线的定义和导数的几何意义；——反思探究，理解曲线的切线的逼近定义的科学性；——学以致用，引导学生利用导数的几何意义，用切线的近似值来估算导数值；——分组讨论，激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析；——思想渗透，借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”的思想．三、教学目标1．知识与技能：（1）．使学生理解导数的几何意义．（2）. 体会“数形结合、以直代曲”数学思想方法．2．过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神.3．情态与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育, 引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．四、教学重点与难点重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：1、发现和理解导数的几何意义；2、运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。