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第六节双曲线这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程（一）循纲忆知1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.(二)小题査验1.判断正误(1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线(2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I，卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS©的面积等于解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10.2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l,A \PF 2\=69 IPFil=8.AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ •••Mi 丄“2, ・°・ S^PF \F2=flPF ］卜LPF2I=f X 6 X 8=24.,（二）小题查验1.判断正误2 2⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ）2 2 2（2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一必=0,即兰±》=0n m n（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ）2 2 2 2（4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）（V ）2.（北师大版教材习题改编）若双的离心率eG则加的取值范围为（°”）■巳课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效 2 23・已知F （c ，O ）是双曲线缶一話=1（°>0, 〃>0）的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆E ：x-c ）2+y 2=^c 2相切，则双曲线C 的离心率为边•解析：依题意得，圆心（c,0）到渐近线的距离等于亨c,即有方号c （注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚 半轴长)，c 2=2b 2=2(c 2—a 2)9 c 2=2a 29 夕=\2 即双曲线 C 的离心率为羽.考点一 双曲线的定义及标准方程I （基础送分型考点——自主练透）［必备知识］1.定义在平面内到两定点F” F2的距离的差的绝对值等于常数（小于IFid且大于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线.定点F i9 F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.［提醒］令平面内一点到两定点F”尸2的距离的差的绝对值为加@为常数），贝！I只有当2a<IF!F2l且加HO时，点的轨迹才是双曲线；若2“ = IFiF2l,则点的轨迹是以Fi，码为端点的两条射线；若2a>IFiF2b则点的轨迹不存在.2.标准方程中心在坐标原点，焦点在兀轴上的双曲线的标准方程为护一# =1（“>0,课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效方>0）；2 2中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为7—話=1（“>0,方>0）・［提醒］在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是X2 或X的系数.［题组练透］1. （2014•大纲卷）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F” F29点A在C上，若屮淤1=2屮2如，贝J COS ZAF2F I =C- 4 D- 3解析曲双曲线的定义知|lAFil — IAF2l|=2©又⑷Fil=214/5 •••lAFil=4a, \AF2\=2a.• 0 = - = 2，・.c = , • • \F iF 2^ = • • cos Z AF2^I =随尸2卩+IFiFf—IAF1 卩_ （加）2+（滋）2—（滋）2 _ 1 2IAF2I-IF1F2I —2X2aX4a_4,敌坯A2. （2014•天漳高考）已知双曲线初一話=1@>0, 〃>0）的一条渐近线平行于直线Z： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线Z上,则双曲线的方程为解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线丿=》与直线y =2x+10平行，所以十=2且左焦点为（一5,0）,所以a2+b2 = c2=25f解得a2=5f沪=20,故双曲线方程为?一空=1.3.已知Fi，巧为双曲线?一专=1的左、右焦点，卩(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，贝!|L4PH-IAF2I的最小值为() A.A/37+4 B. A/37-4^^37-2^5 D. 回+2书解析：由题意知，IAPI + IAF2I = IAPI + IAF1I- 2a f要求IAPI +⑷F2I的最小值，只需求IAPI + IAF1I的最小值，当A, P, Fi三点共线时，取得最小值，贝1|14卩1 + 14珂=1"11=佰，AIAPI + IAF2I = IAPI + lAFJ - 2a=佰一2质・［类题通法］1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.2.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a, b, c的关系易错易混.考点二渐近线与离心率问题I (常考常新型考点——多角探明)［必备知识］1.求双曲线离心率的值⑴直接求出“，c,求解e：已知标准方程或“，C易求时，可利用离心率公式求解;(2)变用公式，整体求出◎如利用2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二A厂2者之间可以互求.已知渐近线方程时，可得十的值，于是/=£ ==1+ 因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值,W 丿也可求出渐近线的方程，即夕=管二i.但要注意，当双曲线的焦 点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.［多角探明］a 2+b 2~?-角度一：已知离心率求渐近线方程（2014•山东离考）已知«>Z»0,2 2椭圆Ci的方程为缶+話=1,双曲线C2的方程为話一&=1, C］与C2的离心率之积为岁,则C2的渐近线方程为A. x±\[2y=0C. x+2y=0() B. \[2x±y=0D. 2x±y=0=4胪，所以a=\[ib,所以双曲线C 2的渐近线方程是丿=±正x,即 x±\[2y=Q.解析：椭圆Ci 的离心率为2-b 2,双曲线C 2的离心率为尹,所以芒=¥，所以 a 4~b 4=^a 4f 即 a 4答案：A角度二：已知渐近线求离心率2 2 2. （2014-浙江高考设直线兀一3y+/w=0OH0）与双曲线缶_話=1（«>0,方>0）的两条渐近线分别交于点A, B•若点P（m,0）满足\PA\ = \PB\,则该双曲线的离心率是_____________ •解析：联立直线方程兀一3丁+观=0与双曲线渐近线方程丿=±$可bm bm3b~a3b+a ° =—3,化简得4b 2=a 2f 所以e =\f J -得交点坐标为 am bm —am bm 9 而 kAB=j ，由 IP4I3b —a 9 3b —a)9 {3b + a" 连线的斜率为一3,即=\PB\ ,可得AB 的中点与点P 2 am —am 3b —a 3ba墨答案：乎角度三：由离心率或渐近线确定双曲线方程2 23・(2015•郑州二^已知双曲线为一器=1(。
第6讲双何曲何线教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源1.双曲线的定义2 .双曲线的标准方程和几何性质(a>0,方>0) (a>0,方>0)标准方程顶点渐近线离心率实虚轴a、b、c 的关系Ai(0, —a), A2(0, a)Ai( —a, 0), A2(a, 0)5 y=^x ace= a, eG(l, +°°)ay=±i x线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长IA!A2I= 2«；线段B02叫做双曲线的虚轴，它的长血血= 2b； a叫做双曲线的半实轴长，方叫做双曲线的半虚轴长2= 0+沪(c>00, c>方>0)1.辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a<IFxFzl这一条件.若2a = IF1F2I，则轨迹是以Fi，屁为端点的两条射线，若2« > IF I F2I,则轨迹不存在.在椭a2=b2+c29而在双曲线中c2=a2+b2.⑶双曲线的离心率e^(l, +8),而椭圆的离心率⑵区分双曲线中a, b,C a，b,1).2.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的偽b, c,即可求得方程.(2)待定系数法①与双曲线2—台=1共渐近线的可设为茶-台=竝工0)；a b a b2 2②若渐近线方程为丿=盘，则可设为％—台=2(2工0)；a a b③若过两个已知点，则可设^/―+—= l(mn< 0). m n3.双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；⑶“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形•双基自测r21. (2016-昆明质检)若双曲线务一/=1的一个焦点为(2, 0), 则它的离心率为(C )A裁A・5C・羊 D. 2解析：由焦点为(2, 0)知，c=2,所以«2+1 = 22,所以a =3, a=\[3f 所以离心率.故选C"书3c 5解析：因为PR,恥，0）,所以c=5,所以“=4,沪= —2=9,所以双曲线c 的标准方程为話-討1.2. （2015•高考广东卷）已知双曲线G 2 2"2—~2 = 1的离心率 a b「4,且其右焦点为F 2（5, 0）,则双曲线C 的方程为（C ）1 1一一 -2J-162J- 4- -2X - 9 2X - 3 B D3. （20X6-南昌模拟）若双曲线C：2 2寺-沪@>0, 〃>0）的-条渐近线的倾斜角为夕，则双曲线C的离心率为（OA. 2或书C. 2D. 2解析：由题意知双曲线C：=1的渐近线方程为尸#小所以知咗=¥，所以a=\fib, 0=甘/ +方2 = 2小故双曲线C的离心率c 2b 2\/3 。
