高二数学排列课件3

中有1 种不同方法，在第2类方案中有2 种不同方法，……，在第k类
方案中有 种不同方法，那么完成这件事共有 = 1 + 2 + 3 + ⋯
+ 种不同方法。
2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤，做第1步有1 种不
同方法，做第2步有2 种不同方法，……， 做第k步有 种不同方法
=
!
(−)!
=
!
0!
. 0! = 1
问题5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
9种
8种
9种
分析: 在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在
任意数位上，所以0是一个特殊的元素，百位是一个特殊位置。
解法1: 如果优先考虑百位上的数字，可以分三步完成：
，那么完成这件事共有 = 1 2 3 ⋯ 种不同方法。
3.排列：从个不同的元素中取出( ≥ )个元素，并按一定的顺序
排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列
（arrangement）。
环节一、创设情境，铺垫方法
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、
共有( − 1)( − 2) ⋯ ( − + 1)种排法。
小结: 从个不同的元素中取出( ≥ )个元素按一定的顺序
排成一列，所有不同排列的方法总数为( − 1)( − 2) ⋯ ( −
+ 1)，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列的英文单
词arrangement的首字母A和、组合并标记为A
右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
左 右
解：完成这件事情可以分为两个步骤：

【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼 品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】 由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧 利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应 的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】 设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1， 求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解 不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， 所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
思考探究 使用排序不等式的关键是什么？ 提示 使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数 (或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
1．排序原理的本质含义 两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘 积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最 小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
预习反馈
1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )

①定序消序问题:
例题5：
（1）有5盘菜，张三，李四，王五各选一盘
有多少种选法？




或

��

分步计数原理：

第一步：先从5盘菜里面选3盘菜。


第二步：再把3盘菜分配给3个人。




总结：
局部元素定序的解决方法：
从n个不同元素中有顺序的选取m个元
素，其中有p个元素定好了顺序！计算
①标准隔板法（原球数不变隔板法）:
将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至
少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______________种（用数字作答）
此题解决方法采用标准隔板法：其思想是利
用①10个志愿者在中间腾出9个空，②再次
采用插空法9个空插3个隔板，一定会出现四

堆每堆一定至少1个。
（ C )种排法。
A ,1160
E . 1260
B .
1280
C. 1220
D.1240
步骤分析： 第一步：全部全排列
第二步：消序（有几组相
同元素 ， 就除以几组各自相同元素个数的全
排列）。我们把它叫做“密西西比法则”
②局部元素相同消序问题
例3如果把mississippi(密西西比）这
个单词打乱顺序进行随机排列，请问
球，投放方法有______种方法？
解题分析：第一步：选不放球的1个盒子。4个盒子中任选一个不放球方法

数为：C =4

第二步：题目转化为将10个球放入剩余3个不同盒子中，在采用标准

隔板法，从9个空隙中插2个隔板。C =36

轮船2
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问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
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由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
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单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
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扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
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例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取

典型例题
考点二 （部分相同元素的排列）
用分别写有字母a,b,e,e,r的五张卡片排成一排,有多少种排列方法?
a、b、e、e、r
a
e
r
b
e
a
e
r
b
e
A55 5 4 3 2 1
解： 2 =
=5 4 3 =60
A2
2 1
a
r
b
解：A53 =60
6.2.2排列数
典型例题
考点三 （圆环排列）
=4×3×2=24
6.2.2排列数
探究新知
思考： ， ，
是多少？
1. ：假定有排好顺序的2个空位
第1位
第2位
2.
：假定有排好顺序的个空位
第1位
第2位
第位
第3位
...
种
( − )种
= ( − )
同理： = ( − )( − ��)
B
C
D
E
6.2.2排列数
练习2
典型例题
3名男生和5名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
（3）全体站成一排，甲不站两端； 特殊位置、元素——优先
甲
1
2
3
4
5
解：
3（考虑特殊位置）

6
乙
7
丙
A
8
A72 A66 =7 6 6 5 4 3 2 1 =30240
B
C
D
（4）从1，2，3三个数中取2个数作商，求商的个数.
√
（5）学校有3个校门，从1个校门入校，另1个校门出校，出入方式多少种√
（6）平面上有3个不共线的点，这三个点可确定多少条直线？多少射线？

特别地，当m=n时，称为全排列 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一 个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n！表示，于是，n个元素 的全排列数公式可以写成_A__nn＝__n_！__=_n_×_(n_-_1_)_×_(n_-_2_)_×_··_·_···×3×2×1 .
例3 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1
盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选
一种，共有多少种不同的选法？
课本P16 例2
思考：这两个问题的区别在哪里？
分析：（1）可以看成一个排列. （2）不能看成一个排列。因为其元素可重复
6.2.1-6.2.2 排列与排列数（第一课时）
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学 参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
相同的元素改变了顺 序对研究的问题而言， 就是不同的结果
如图所示，共有6种不同的选法.
问题2 从１、２、３、４这四个数字中，取出3个数字排成一个三 位数，共可得多少个不同的三位数？
分析：
树形图：
１
４种 ３种 ２种
４× ３×２＝２４种
２
３
123、213是不同的。相 同的元素改变了顺序是 不同的结果
４
２３４ １３４ １２４ １２３ ３４ ２４２３ ３４ １４１３ ２４ １４１２ ２３ １３１？
将上述问题中被取出的对象叫做元素，那么 问题1可以叙述为：从3个不同的元素 a,b, c 中任意取出2个，并按 照一定的顺序排列，共有多少种不同的排列方法？ 问题2可以叙述为：从4个不同的元素 a,b,c, d 中任意取出3个，并 按照一定的顺序排列，共有多少种不同的排列方法？

又 x＋y＋z＝1，xy2＋yz2＋zx2≥1，且仅当 x＝y＝z＝13时，等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
典例精析
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，
预习反馈
2.若 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 中最大值是 a1b1＋a2b2＋a3b3 (其中 j1，j2，j3 是 1,2,3 的任一排列)．( ) 3.若 a≥b，c≥d，则 ac＋bd≥ad＋bc.( ) 【答案】 2.√ 3.√
课堂探究
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排
作业布置
同步练习：3.3排序不等式
归纳小结
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系 的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2) 若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据 具体环境分类讨论．
练一练
2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aan2－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即aa122＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.

插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元 素插空．
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题方法．
思考：在生活中有哪些实例与计数问题有关？
实例 广场上的一个圆形花坛有五个区域，编号分别为1，2，3， 4，5，如右图. 现在有5种不同颜色的花可以用来布置花坛，为 了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在 同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？
A33 AB AB型
分类
BA型
BA
2×
C12
A
2 2
C12
A
2 2
AB AB
BA
优
限
BA
法
C12 A 22
AB 对称
BA
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？ 捆绑
插空
分步： 先排ABDE，最后排C.
A
2 2
A33
3
=36
__AB C EC D_C_ _C_E AB C D_C_
A14 A55 = 480
A32
A
4 4
=
144
A55
A
2 2
=
240
A33 A34 = 144
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
×
（2）两边位置站男生； 男
（3）甲乙两人相邻；
（4）三名男生全不相邻.
× A14 A55 = 480

十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．

类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有