解答题限时训练2

2021年中考数学解答题限时特训（广东深圳专用）限时训练02【时间：60分钟，分数：52分】解答题（第1题5分，第2题6分，第3题7分，第4题8分，第5题8分，第6题9分，第7题9分，满分52分） 1．计算：0212sin 60(1)()|13|3．【解析】原式32193131931237．2．先化简，再求值21(1)121xx x x ，其中3x ．【解析】21(1)121xx x x 2111(1)x x x x 21(1)x x xx 11x ，当3x 时，原式11314． 3．某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．请根据以上信息解答下列问题：（1）这次统计共抽取了__________名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有多少人？（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A 等级学生数可提高40%，B 等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生可达多少人？【解析】（1）本次调查抽取的总人数为1081550360（人)，则A等级人数为725010360（人)，D等级人数为50(10155)20（人)，补全直方图如下：故答案为：50．（2）估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有1015100050050（人)；（3）A级学生数可提高40%，B级学生数可提高10%，B级学生所占的百分比为：30%(110%)33%，A级学生所占的百分比为：20%(140%)28%，1000(33%28%)610（人)，估计经过训练后九年级数学成绩在B以上（含B级）的学生可达610名．4．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）【解析】30BFC，60BEC，30EBF EFB，20BE EF m，在Rt BEC中，60BEC，3sin6020103BC BE m．答：宣传条幅BC的长为．5．六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？【解析】（1）设销售单价应定为x元，由题意，得(40)[50010(50)]8000x x，解得160x，280x，尽可能让利消费者，60x．答：消费单价应定为60元．（2）设销售单价定为a元，由题意，得40[50010(50)]10000a，解得75a答：销售单价至少定为75元．6．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为(1,0)，tan2ACO．一次函数y kx b的图象经过点B、C，反比例函数myx的图象经过点B．（1）一次函数关系式为1122y x、反比例函数的关系式为；（2）当0x 时，0m kx bx的解集为；（3）在x 轴上找一点M ，使得AM BM 的值最小，并求M 的坐标和AM BM 的最小值．（4）若x 轴上有两点E 、F ，点E 在点F 的左边，且1EF ．当四边形ABEF 周长最小时，请直接写出点E的横坐标为．【解析】（1）如图1中，过点B 作BF x 轴于点F ，点C 坐标为(1,0)， 1OC，tan 2OAACOOC， 2OA ，点A 坐标为(0,2)． 2OA，1OC ，90BCA ， 90BCFACO， 又90CAO ACO ，BCF CAO ，()AOCCFB AAS ，2FC OA ，1BF OC ，点B 的坐标为(3,1)，将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1m x， 解得：3m，故可得反比例函数解析式为3yk， 将点B 、C 的坐标代入一次函数解析式可得： 310k b kb，解得：1212kb． 故可得一次函数解析式为1122y x ． 故答案为：1122yx ，3y x． （2）结合点B 的坐标及图象，可得当0x 时，0m kx bx的解集为：30x ．故答案为：30x．（3）如图2中，作点A 关于x 轴的对称点A ，连接B A 与x 轴的交点即为点M ，设直线BA 的解析式为y ax b ，将点A 及点B 的坐标代入可得：312a b b，解得：12a b，故直线BA 的解析式为2y x ，令0y，可得20x ，解得：2x，故点M 的坐标为(2,0)，22(30)[1(2)]32AMBMBMMABA，综上可得：点M 的坐标为(2,0)，AM BM 的最小值为（4）如图3中，把B 向右平移1个单位得到(2,1)B ，作点A 关于x 轴的对称点(0,2)A ，连接A B 交x 轴于点F ，直线A B 的解析式为322y x ，4(3F ，0)， 43OF 47133OE点E 的横坐标为73， 故答案为73． 7．已知抛物线2:23C yax ax开口向下．（1）当抛物线C 过点(1,4)时，求a 的值和抛物线与y 轴的交点坐标； （2）求抛物线223yax ax的对称轴和最大值（用含a 的式子表示）；（3）将抛物线C 向左平移a 个单位得到抛物线1C ，随着a 的变化，抛物线1C 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（4）记（3）所求的函数为D ，抛物线C 与函数D 的图象交于点M ，结合图象，请直接写出点M 的纵坐标的取值范围．【解析】（1）抛物线2:23C yax ax 过点(1,4)，234a a ，解得1a ， 当0x 时，3y ，即抛物线与y 轴的交点为(0,3)；（2）2223(1)3yax ax a x a ，抛物线有最高点，抛物线223y ax ax 的对称轴为1x，最大值为3a ；（3）抛物线2:(1)3C y a x a，平移后的抛物线21:(1)3C ya x a a，抛物线1C 顶点坐标为(1,3)a a ， 1x a ，3ya ， 132xy aa ，即2xy ， 2yx ，0a ，1a x ，10x ，1x ，y 与x 的函数关系式为2(1)yxx；（4）如图，在2yx中，当2x 时，4y ，即直线2yx恒过点(2,4)，在223y ax ax 中，当2x 时，4433ya a ，即抛物线223y ax ax 恒过点(2,3)， 所以由图象知，抛物线C 与函数D 的图象交点M 纵坐标的取值范围为34My ．。

专题02数列题型简介数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1错位相减求和2裂项相消求和3（并项）分组求和4数列插项问题5不良结构问题6数列与其他知识点交叉问题；在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视典例在线题型一：数列错位错位相减求和1．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．变式训练1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，并且0n b ＞，11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)若()11N *·n n n c n a a +=∈，求数列{}n c 的前n 项和nM 题型二：裂项相消求和1已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列；(2)设()()111nnn n n b T T +-+=，求数列{}nb 的前n 项和nS.1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+.(1)证明：{}n a 是等差数列.(2)设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m<的正整数n 的个数为3，求m 的取值范围.题型三：（并项）分组求和1.设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．变式训练1．已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .题型四：数列插项问题1．记数列{an }的前n 项和为Sn ，对任意正整数n ，有2Sn ＝nan ，且a 2＝3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)对所有正整数m ，若ak ＜2m ＜ak ＋1，则在ak 和ak ＋1两项中插入2m ，由此得到一个新数列{bn }，求{bn }的前40项和.变式训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N ．(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.题型五不良结构问题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.变式训练1．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，___________，___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.题型六数列与其他知识点交叉问题1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，()0,1,,8i p i =⋅⋅⋅表示“甲小朋友的当前累计得分为i 时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则00p =，81p =，11(1,2,,7)i i i i bp cp a i p p -+=++=⋅⋅⋅，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.6β=．（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=⋯为等比数列；（ii ）根据4p 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．变式训练1．已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =.(1)判断函数()2ππ4H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；(2)设函数()()sin h x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<），若函数2πh x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式；(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有147个零点.模拟尝试一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项之积为()()1*22n n n S n -=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.2．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-.(1)求23,S S 及{}n a 的通项公式；(2)若()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- 对任意的*2,N n n ≥∈恒成立，求λ的最小值.3．在数列{}n a 中，21716a =，*113,N 44n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)令123n n n b a +=⋅+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1340n S <．4．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．5．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．6．设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且满足()*21N n n T a n =-∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，证明：14n S <．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.。

2023-2024学年上学期限时训练九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列标志中，属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知是一元二次方程的一个根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．2C ．-2D ．35．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛?设有x 个球队参加比赛，则可列方程为（ ）A ．B ．C．D ．6．如图，是由绕A 点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（）A ．80°B ．50°C ．40°D ．10°7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移中正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位8．抛物线的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．无交点B ．一个交点C ．两个交点D ．三个交点()2325y x =++()2,5-()2,5--()2,5()2,5-2680x x -+=()2628x +=()2628x -=()231x +=()231x -=2x =220x mx -+=()136x x +=()136x x -=()11362x x +=()11362x x -=Rt ADE △Rt ABC △40BAC ∠=︒10CAD ∠=︒()221y x =+-2y x =22y x mx =--9．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y 随x 的增大而减小．其中错误的结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象大致位置是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程的解是______．12．二次函数的最小值为______．13．若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．14．已知m 是方程的一个根，则代数式的值等于______．15．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是______．16．如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，x 的取值范围是______．三、解答题（一）（每小题6分，共24分）17．解方程：．()21123y x =++1x =()1,2-1x >-2y ax bx c =++y ax c =+210x -=224y x x =-+(),2P m -()2021,Q n -m n +210x x --=2223m m -+2210kx x +-=()10y kx n k =-≠()220y ax bx c a =++≠()1,0A -()2,3B -12y y >()222x x -=-18．求抛物线的对称轴和顶点坐标．19．在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）将绕点O 顺时针旋转90°得到，作出旋转后的．（2）作关于原点对称的图形．20．某区为争创全国文明卫生城，2020年区政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2022年投的资金是2420万元，且2021年和2022年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该区在2024年需投入资金多少万元？四、解答题（二）（每小题7分，共21分）21．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为1.8m ，当铅球飞行的水平距离4m 时距离地面最高为5m ．铅球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数图象如图所示．求：（1）y 与x 之间的函数关系式；（2）小明这次投掷的成绩．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k 的值．23．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x 元．（1）写出每月销售该商品的利润y （元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；245y x x =--ABC △ABC △111A B C △111A B C △ABC △222A B C △220x kx --=1x 2x 12121x x x x +-=（2）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？五、解答题（三）（每小题9分，共27分）24．已知二次函数的图象与x 轴交于、两点，且函数经过点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x 为何值时，．（请直接写出结果）（3）点P 为抛物线上一点，若，求出此时点P 的坐标．25．如图，过等边的顶点A 作AC 的垂线l ，点P 为l 上点（不与点A 重合），连接CP ，将线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60°得到线段CQ ，连接QB ．（1）求证：；（2）连接PB 并延长交直线CQ 于点D ，若．①试猜想BC 和BQ 的数量关系，并证明；②若，求PB 的长．26．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴相交于点C ．图1 图2（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B ，C 两点之间的一个动点（不与B ，C 重合），则是否存在一点P ，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）如图2，若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，直接写出当时，M点的坐标．()2,0A -()4,0B ()0,160y ≤12PAB S =△ABC △AP BQ =PD CQ⊥AC =2342y ax x =++3x =PBC △PBC △3MN =2023-2024学年上学期中段限时训练九年级数学参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．B2．A3．D4．D 5．D6．B7．A8．C9．B10．C二、填空题（每题3分，共18分）11．（只写一个得1分） 12．3 13． 2023 14．5 15．且 16．三、解答题（每小题6分，共24分）17．解：．…1分…2分或…4分，．…6分∵．18．解：…4分∴对称轴为直线，顶点坐标为…6分（对称轴1分，顶点坐标1分）19．解：（1）如图所示，就是所求（作图2分，答1分）……3分（2）如图所示，就是所求……6分（作图2分，答1分）20．解：（1）设该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为x ，由题意得…1分…2分解得，（舍去） (3)分1x =±1k >-0k ≠12x -<<()()2220x x ---=()()2210x x ---=20x -=210x --=12x =23x =245y x x =--()229x =--2x =()2,9-111A B C △222A B C △()2200012420x +=10.110%x ==2 2.1x =-答：该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%…4分（2）（万元）答：该区在2024年需投入资金2928.2万元…6分四、解答题（每小题7分，共21分）21．解：（1）∵铅球出手时的高度为1.8m ，铅球飞行的水平距离4m 时距离地面最高为5m ∴，顶点…1分∴设y 与x 之间的函数关系式为…2分把代入得解得∴y 与x 之间的函数关系式为…4分（2）把代入得…5分解得，（舍去）…6分答：小明这次投掷的成绩为9m …7分22．（1）证明：∵，，,∴…2分∵,∵．…3分即∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根…4分（2）解：∵，…5分又∵，∴…6分解得答：k 的值为-1…7分23．解：（1）由题意得…2分答：该商品的利润y （元）与每件商品销售单价上涨x （元）之间的函数关系式为…3分()22420110%2928.2⨯+=()0,1.8A ()4,5()245y a x =-+()0,1.8A ()245y a x =-+()2045 1.8a -+=15a =-()21455y x =--+0y =()21455y x =--+()214505x --+=19x =21x =-1a =b k =-2c =-()()222Δ44128b ac k k =-=--⨯⨯-=+20k ≥280k +>0∆>121b k x x k a -+=-=-=12221c x x a -⋅===-12121x x x x +-=()21k --=1k =-()()503040010y x x =-+-2102008000x x =-++2102008000y x x =-++（2）由（1）得…4分∵，开口向下∴当时，y 有最大值为…5分∴销售单价定为元…6分答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000元．…7分五、解答题（每小题9分，共27分）24．解：（1）设该二次函数的解析式为…1分∵二次函数的图象与x 轴交于、两点，且函数经过点∴解得…2分∴该二次函数的解析式为．…3分（2）当或时，…5分（3）∵、，∴设，则∴，∴…7分①当时，，解得，此时P 点的坐标为或；…8分②当时，，解得此时P 点的坐标为或；…9分综上所述，P 点的坐标为或或或．25．（1）证明：在等边中，，，由旋转可得，，∴，∴即，∴（SAS ） (1)分∴…2分()2210200800010109000y x x x =-++=--+100a =-<10x =()210101090009000y =-⨯-+=501060+=2y ax bx c =++()2,0A -()4,0B ()0,16420164016a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩2416a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩22416y x x =-++2x ≤-4x ≥0y ≤()2,0A -()4,0B ()426AB =--=(),P x y 1122PAB S AB y =⋅=△4y =4y =±4y =224164x x -++=11x =21x =-()14+()144y =-224164x x -++=-11x =21x =()14+-()14-()14+()14()14-()14-ABC △AC BC =60ACB ∠=︒CP CQ =60PCQ ∠=︒60ACB PCQ ∠=∠=︒ACB PCB PCQ PCB∠-∠=∠-∠ACP BCQ ∠=∠ACP BCQ ≌△△AP BQ =（2）①猜想：．证明：连接PQ ，如图：由旋转，得，，∴是等边三角形…3分∵，∴，∴DP 是CQ 的垂直平分线…4分∵点B 在PD 上，∴…5分②解：由（1）得∴，，∴5分∵，∴，∴∴．…6分在中，∴，7分∵，，∴，∵，∴，∴…8分∴，答：PB…9分26．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得．∴抛物线的解析式为．…1分BC BQ =CP CQ =60PCQ ∠=︒CPQ △PD CQ ⊥CD DQ =BC BQ =ACP BCQ≌△△AP BQ =CBQ CAP ∠=∠AC BC BQ AP ====CA AP ⊥90CAP ∠=︒90CBQ CAP ∠=∠=︒2CP ==Rt CDP △9030CPD PCQ ∠=︒-∠=︒112CD CP ==PD ==90CBQ CAP ∠=∠=︒BC BQ =45BCQ ∠=︒90CDB ∠=︒45CBD BCQ ∠=︒=∠1BD CD ==1PB PD BD =-=-12342y ax x =++3x =3232a -=14a =-213442y x x =-++当时，，解得，，∴点A 的坐标为，点B 的坐标为．…2分（2）当时，，∴点C 的坐标为．设直线BC 的解析式为将，代入得解得∴直线BC 的解析式为．…3分假设存在，设点P 的坐标为，过点P 作轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为∴∴．…4分∵，∴当时，的面积最大，最大面积是16．∵，∴存在点P ，使的面积最大，最大面积是16…5分（3）M 点的坐标为，，或．…9分0y =2134042x x -++=12x =-28x =()2,0-()8,00x =2134442y x x =-++=()0,4()0y kx b k =+≠()8,0B ()0,4C y kx b =+804k b b +=⎧⎨=⎩124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩142y x =-+213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭PD y ∥1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213114424224PD x x x x x ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭()222111828416224PBC S PD OB x x x x x ⎛⎫=⋅=⨯⋅-+=-+=--+ ⎪⎝⎭△10-<4x =PBC △08x <<PBC△()41-()2,6()6,4()42,7,1+-。

新教材高中物理限时训练一、选择题（每题 6 分，共60 分）1．我们生活中的物理现象随处可见，下列物理现象分别属于波的（）(1)“闻其声而不见其人”；(3)学生围绕振动的音叉转一圈会听到忽强忽弱的声音；(2)在春天里一次闪电过后，有时雷声轰鸣不绝；(4)正在鸣笛的火车向着我们急驶而来，我们听到汽笛声音调变高。

A．反射、衍射、干涉、多普勒效应B．折射、衍射、多普勒效应、干涉C．反射、折射、干涉、多普勒效应D．衍射、反射、干涉、多普勒效应2．一单摆做简谐振动，如图为摆绳对摆球的拉力大小F 随时间t 变化的图像，则该单摆的摆长为（重力加速度g 取10m/s2）（）A．0.4m B．1.6m C．4m D．16m3．如图所示为两列频率相同的横波相遇时某一时刻的情况，实线表示波峰，虚线表示波谷，则关于M、N 两点的振动情况描述正确的是（）A．M 点始终为加强点，N 点始终为减弱点，所以M 点振动频率比N 点振动频率高B．M 点始终为加强点，N 点始终为减弱点，但是M 点和N 点振动频率相同C．M 点此时为加强点，N 点此时为减弱点，半个周期后M 点变成减弱点，N 点变成加强点D．M 点始终为加强点，N 点始终为减弱点，所以N 点始终位于平衡位置不动4．为了从坦克内部观察外部的目标，在坦克壁上开了一个孔，孔内安装一块玻璃，已知坦克壁的厚度为定值，玻璃的厚度（不能超过坦克壁厚度）和折射率有多种规格可供选择，则为了观察到最大的视野，应该选则（）A．折射率大厚度大的玻璃B．折射率小厚度大的玻璃C．折射率大厚度小的玻璃D．折射率小厚度小的玻璃5.一列简谐横波沿直线由a向b传播,相距10.5 m的a、b两处的质点振动图象如图中a、b所示,则以下说法正确的是（）A．该A.波由a传播到b可能历时11 sB.该波的波长可能是8.4 mC.该波的波速可能是3.5 m/sD．该波的振幅是20 cm6．一水平长绳上系着一个弹簧和小球，弹簧和小球组成的系统固有频率为2Hz，现让长绳两端P 、Q 同时以相同的振幅 A 上下各振动了一个周期，某时刻长绳上形成的波形如图所示。

课时限时练(限时：40分钟)对点练1等时圆模型1.(2020·广东省东莞市质检)如图1所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上(两个圆过切点的直径在竖直方向上)，且斜槽都通过切点P。

设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为()图1A.2∶1B.1∶1C.3∶1D.1∶ 3答案 B对点练2传送带模型2. (2020·山东枣庄市第二次模拟)某工厂检查立方体工件表面光滑程度的装置如图2所示，用弹簧将工件弹射到反向转动的水平皮带传送带上，恰好能传送到另一端是合格的最低标准。

假设皮带传送带的长度为10 m、运行速度是8 m/s，工件刚被弹射到传送带左端时的速度是10 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2。

下列说法正确的是()图2A.工件与皮带间动摩擦因数不大于0.32才为合格B.工件被传送到另一端的最长时间是2 sC.若工件不被传送过去，返回的时间与正向运动的时间相等D.若工件不被传送过去，返回到出发点的速度为10 m/s答案 B解析工件恰好传送到右端，有0－v20＝－2μgL，代入数据解得μ＝0.5，工件与＝2 s，故A错误，B正皮带间动摩擦因数不大于0.5才为合格，此时用时t＝v0μg确；若工件不被传送过去，当反向运动时，最大速度与传送带共速，由于传送带的速度小于工件的初速度，根据匀变速运动速度时间关系可知，返回的时间与正向运动的时间不相等，故C、D错误。

3.(多选)如图3，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动。

一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，则其速度v随时间t变化的图象可能是()图3答案BC解析设传送带倾角为θ，动摩擦因数为μ，若mg sin θ＞μmg cos θ，合力沿传送带向下，小滑块向下做匀加速运动；若mg sin θ＝μmg cos θ，沿传送带方向合力为零，小滑块匀速下滑；若mg sin θ＜μmg cos θ，小滑块所受合力沿传送带向上，小滑块做匀减速运动，当速度减为零时，开始反向加速，当加速到与传送带速度相同时，因为最大静摩擦力大于小滑块重力沿传送带向下的分力，故小滑块随传送带做匀速运动，A、D错误，B、C正确。

与圆有关的定点、定值、最值与范围问题分层训练A级基础达标演练（时间：30分钟满分：60分）一、填空题(每小题5分,共30分）1．已知实数x，y满足错误!则点(x，y)到圆(x＋2）2＋（y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案4错误!－12．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0,则x2＋y2最小值为________．解析法一点(x，y）在圆（x－2)2＋(y－3）2＝1上,故点（x，y）到原点距离的平方即x2＋y2最小值为（错误!－1)2＝14－2错误!。

法二设圆的参数方程为错误!则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最小值为14－42＋62＝14－2错误!.答案14－2错误!3．圆C的方程为(x－2）2＋y2＝4,圆M的方程为(x－2－5cos θ）2＋（y－5sin θ）2＝1（θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF，切点分别为E,F，则错误!·错误!的最小值是________．解析如图所示，连接CE,CF。

由题意，可知圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，设错误!则可得圆心M的轨迹方程为(x－2）2＋y2＝25,由图，可知只有当M，P,C三点共线时,才能够满足错误!·错误!最小,此时|PC|＝4，｜EC|＝2，故|PE｜＝|PF｜＝2错误!，∠EPF＝60°，则错误!·错误!＝(2错误!）2×cos 60°＝6。

答案64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A,B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P(a，b)与点（0，1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0）到直线错误!ax＋by＝1的距离等于错误!，由点到直线的距离公式,得错误!＝错误!，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－错误!且b∈［－错误!，错误!］．点P(a,b）与点（0,1)之间的距离为d＝错误!＝错误!，因此当b＝－错误!时，d取最大值，此时d max＝错误!＝错误!＋1。

人教版九年级上册《二次函数实际应用》训练题限时练习一：30分钟1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．2．如图，一块矩形田地长100m，宽80m，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为x（m）的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围．3．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量在100个以内，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．4．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．求S与x之间的函数表达式，并求自变量x的取值范围．5．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．限时练习二：30分钟6．某厂要制造能装250mL（1mL＝1cm3）饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm3．用铝量＝底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式．7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．8．大闸蟹上市，某水厂批发商批发阳澄湖大闸蟹2000只，进价为每只70元，他先计划售价定为每只200元，经市场调查发现，不降价每天销售50只，若每只降10元，则每天的销售只数将增加5只，每只只能降10元的整数倍，还剩下的大闸蟹每天的保存费用为10元（不计只数），因大闸蟹的保存时间只有20天，过期的立即一次性全部处理掉，每只处理价为30元，设这2000只大闸蟹每只售价定为x元（x≥100）．（1）用x的代数式表示每天销售只数；（2）用x的代数式表示所获得的利润．9．一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为2.5米．如果隧道下部的宽度大于5米但不超过10米，求隧道横截面积S（平方米）关于上部半圆半径r（米）的函数解析式及函数的定义域．10．如图1，有一个抛物线的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为20m，将抛物线放在图2所给的直角坐标系中，求抛物线的解析式．参考答案1．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．2．解：由题意可得：y＝（100﹣x）（80﹣x）＝﹣x2﹣180x+8000（0＜x＜80）3．解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．故答案为：550；（2）当0＜x≤100时，P＝60当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣当x≥550时，P＝51所以P＝；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝（P﹣40）x＝当x＝500时，L＝22×500﹣＝6000（元）；当x＝1000时，L＝（51﹣40）×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．4．解：∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m，S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，∵篱笆的长为28m，∴0＜x＜28，即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．5．解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），∵墙长为20m，∴50﹣2x≤20，解得：x≥15，故自变量的取值范围是：15≤x＜25．6．解：∵底面半径是x cm，∴底面周长为2πx，底面积为πx2，∵易拉罐的体积为250mL，∴高为，∴侧面积为2πx×＝，∴y＝πx2×0.02+πx2×0.02×3+×0.02＝x2+．7．解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，∴S＝PB•BQ＝PB•（BE+EQ）＝（6﹣t）（6+t）＝﹣t2+18，∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．8．解：（1）由题意可得：设这2000只大闸蟹每只售价定为x元，则每天销售只数为：50+5×＝150﹣；（2）所获得的利润为：（x﹣70）×（150﹣）×20﹣200﹣（70﹣30）[2000﹣（150﹣）×20]＝﹣10x2+3300x﹣170200．9．解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S＝πr2+2r×2.5，即S＝πr2+5r；∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5．10．解：设抛物线解析式为：y＝ax2+6，将（10，0）代入得出：0＝100a+6，解得：a＝﹣0.06．故抛物线解析式为：y＝﹣0.06x2+6．。

中考数学考点解答题限时训练1【有理数】1．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．2．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？3．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝；②＝．（3）探究并计算：．4．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）+2﹣0.5+1.5﹣1.8+0.8根据上表回答问题：（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？5．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会对保密要求越来越高，密码正在成：为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1，2，3…25，26这26个自然数（见下表）：Q W E R T Y U I O P A S D12345678910111213F G H J K L Z X C V B N M14151617181920212223242526给出一个变换公式：将明文转换成密文，如：4⇒，即R变为L．11⇒，即A变为S．将密文转换成明文，如：21⇒3×（21﹣17）﹣2＝10，即X变为P13⇒3×（13﹣8）﹣1＝14，即D变为F．（1）按上述方法将明文NET译为密文；（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．【无理数与实数】6．计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣17．计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷．8．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求m的值；（2）求|m﹣1|+（m+6）0的值．9．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝，例如：1⊕（﹣3）＝＝﹣3，（﹣3）⊕2＝（﹣3）﹣2＝﹣5，（x2+1）⊕（x﹣1）＝（因为x2+1＞0）参照上面材料，解答下列问题：（1）2⊕4＝，（﹣2）⊕4＝；（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）＝（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．10．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【代数式】11．观察下列各个等式的规律：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．12．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．13．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．……（1）计算＝；（2）探究＝；（用含有n的式子表示）（3）若的值为，求n的值．14．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．15．观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【整式】16．先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a＝﹣2．17．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）＝2ab﹣b2（第三步）（1）该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；（2）写出此题正确的解答过程．18．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：19．如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b、n 两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝，d（10﹣2）＝；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：＝（a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝，d（5）＝，d（0.08）＝；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x 1.5356891227 d（x）3a﹣b+c2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1即S＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【因式分解】21．因式分解：mx2﹣my2．22．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2＝a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．23．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．24．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．25．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分式】26．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝2+．27．先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．28．化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．29．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．30．在解题目：“当x＝1949时，求代数式的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．【二次根式】31．先化简，再求值：，其中．32．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．33．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？34．先化简，后求值：，其中，．35．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝（二）＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．参照（三）式得＝；参照（四）式得＝．（2）化简：+++…+．【一元一次方程】36．解方程：﹣＝1．37．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？38．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．39．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝，b＝；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？40．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？中考数学考点解答题限时训练2【二元一次方程组】1．解方程组．2．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．3．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．4．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．5．本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：地点票价历史博物馆10元/人民俗展览馆20元/人（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？【一元二次方程】6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．7．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．【分式方程】11．解方程：＝．12．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？13．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？14．某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？15．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？【不等式（组）】16．解不等式+1＞x﹣3．17．如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边18．某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．19．小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次2155第二次1365根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．20．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？【平面直角坐标系】21．某市有A，B，C，D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．22．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m＝3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．23．已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标．24．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．25．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；（2）如果sin A和cos A是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a2，求b的值．【函数基本知识】26．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？27．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．（1）求AB、BC的长；（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2＝7，求t1、t2的值．28．已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：x…123579…y… 1.98 3.95 2.63 1.58 1.130.88…小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝4对应的函数值y约为；②该函数的一条性质：．29．星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）小明家离图书馆的距离是千米；（2）小明在图书馆看书的时间为小时；（3）小明去图书馆时的速度是千米/小时．30．如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD＝4cm，AB＝dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E 以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y 与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是；（2）d＝，m＝，n＝；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？【一次函数】31．“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h；（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？32．如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．33．如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．34．某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的60吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用．已知一辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送29吨大米，2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送37吨大米．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？（2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用8辆货车．请求出租用货车的总费用w（元）与租用甲种货车的数量x（辆）之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？35．在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为km，a＝；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．【反比例函数】36．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．37．已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．38．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．39．如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（﹣5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．40．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．中考数学考点解答题限时训练3【二次函数】1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．2．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？3．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．4．抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．。

限时基础训练参考答案1．【答案】AD ．点拨：前2s 内的平均速度是 2.25m/s m/s =+=+=25.22221T x x v ，选项A 正确；由212aT x x =-得22125.0m/s =-=Tx x a ，选项D 正确，选项C 错误；第1s 末的速度为等于前2s 内的平均速度，所以选项B 错误，第3s 末的速度应为 3.25m/s m/s m/s 1s 3s =⨯+=+=25.025.2at v v ． 2．【答案】A ．点拨：抓住两点：一是甲和乙到达B 和C 具有相同的速率，二是甲做匀加速运动，乙做加速减小的加速运动，再画出速率时间图像，利用速率时间图线与坐标轴围成的面积表示路程即可迅速求解．3．【答案】BD ． 4．【答案】A ．5．【答案】AC ．点拨：因a 、b 两物体的加速度相同，因此a 相对b 是做匀速直线运动，选项A 正确；a 、b 两物体的位移之差就等于a 与b 间的相对距离，故选项C 正确． 6．【答案】A ．7．解析：因为汽车经过t 0=s aV 400=-已经停止运动，4s 后位移公式已不适用，故t 2=5s 应舍去．即正确答案为A ． [常见错解]设汽车初速度的方向为正方向，即V 0=20m/s,a=－5m/s 2,s=37.5m. 则由位移公式2021at t V s +=得：5.37521202=⨯-t t 解得：t 1=3s,t 2=5s.即A 、C 二选项正确．8．解析：本题的关键是位移、速度和加速度的矢量性．若规定初速度V 0的方向为正方向，则仔细分析“1s 后速度的大小变为10m/s ”这句话，可知1s 后物体速度可能是10m/s ，也可能是-10m/s,因而有：同向时，.72,/6/1410012201m t V V S s m s m t V V a tt =+==-=-=反向时，.32,/14/1410022202m t V V S s m s m t V V a tt -=+=-=--=-= 式中负号表示方向与规定正方向相反．因此正确答案为A 、D ．9．B 解析：设斜面倾角为α，斜面底边的长度为l ，物体自光滑斜面自由下滑的加速度为sin a g α=，不同高度则在斜面上滑动的距离不同：cos l sα=，由匀变速直线运动规律有：21sin cos 2l g t αα=⋅，所以滑行时间：t =，当sin 21α=时，即22πα=，4πα=时滑行时间最短．10．D 解析：用v-t 图象分析，由于位移相同，所以图线与时间轴围成的几何图形的面积相等，从图象看t b ＜t a ＜t c基础提升训练参考答案1. D ；解析：该题可以换一角度，等效为：火车不动，路标从火车头向火车尾匀加速运动，已知路标经过火车头和尾时的速度，求路标经过火车中间时的速度为多大？设火车前长为2L ，中点速度为2sv ，加速度为a ，根据匀变速运动规律得：)1...(. (22)122aL v v s =-)2.( (22)222aL v v s =-联立（1）（2）两式可求得D 项正确．2．解析：初速度为零的匀变速直线运动第1s 内、第2s 内、第3s 内、……的位移之比为.....:7:5:3:1，由题设条件得：第3s 内的位移等于10m ，所以前3s 内的位移等于（2+6+10）m=18m ；第3 s 内的平均速度等于：s m sm/10110= 3．B ；解析：首先计算汽车从刹车到静止所用的时间：s s m s m a v t 4/5/20200===，汽车刹车6s 内的位移也就是4s 内的位移，即汽车在6s 前就已经停了．故6s 内的位移：m av s 4022==4．A 解析：212sat =，有2222221600/2/40s a m s m s t ⨯===，80/v at m s == 5．D 解析：202v as =，2/202t v v as -=-，4/t v m s =能力提升训练参考答案 1．【答案】C ． 2．【答案】D ．点拨：物体先向A 加速运动，再向A 减速运动，运动方向一直没有改变．根据运动情景或加速度时间图像画出类似于图1-2-2乙的速度图像．3．【答案】D ．点拨：因为弹簧是先是压缩形变阶段，后恢复形变阶段，因此A 先做加速度增加的加速运动，后做加速度减小的加速运动，B 则是先做加速度增加的减速运动，后做加速度减小的减速运动．4．速度--时间图像中，直线的斜率表示匀变速直线运动的加速度，加速度越大，直线越陡；而物体从A 经B 到C 的整个过程中，由于无阻力，故A 、C 两处的速率相等，选项C 不正确；AB 和BC 两段上平均速率相等，AB 段比BC 段运动的时间短，选项A 不正确；又因为AB 段的加速度大于BC 段的加速度，两段均做匀变速直线运动，AB 段和BC 段的速度图线为直线，选项B 正确，D 错误．5．【答案】122t L L -．点拨：汽车做匀加速运动，因时间间隔均为t ，故t L t x v AC B 221==，t L t x v BD C222==，=-=tv v a B C 122t L L -．6．解答：（1）由运动学公式212sat =得22236(/)sa m s t== （2）安全带对人的作用力向下，F+mg ＝ma ，可知F ＝m （a －g ），F ＝1170N 7．解析：应用推论 △s=aT 2，并考虑到s 7－s 6=s 6－s 5=s 5－s 4=s 4－s 3=s 3－s 2=aT 2，解得： a=2275T s s -=2154.24.3⨯-m/s 2=0.2m/s 2.8．解析：因2V t L >,所以工件在6s 内先匀加速运动，后匀速运动，有Vt S t VS ==21,2t 1+t 2=t, S 1+S 2=L 解上述四式得t 1=2s,a=V/t 1=1m/s 2.若要工件最短时间传送到B ，工件加速度仍为a ，设传送带速度为V ，工件先加速后匀速，同上理有：212Vt t VL+=又因为t 1=V/a,t 2=t-t 1,所以)(22aVt V a V L -+=，化简得： a V V L t 2+=,因为常量==⨯a L a V V L 22，所以当a V V L 2=,即aLV 2=时，t 有最小值，s m aL V /522==．表明工件一直加速到B 所用时间最短．9．(1)探测器行驶速度设为0v ，9点10分20秒9点10分30秒，探测器位移为s ∆=52-32=20 m,0202/10s v m s t ∆===∆两次接收信号后探测器仍靠近障碍物，故未执行命令．（2）应启动减速器制动，从地面发射信号到传到月球上经历时间8831034310t s ⨯=+=⨯，地面收到信号时刻9点10分40秒，显示探测器位置离障碍物12 M 实为9点10分39秒时状态（信号传到地面历时1 S ）故01212252s v t ∆=-=-⨯=m10．【答案】（1）19.371m/s m/s <<乙v 554.12（2）26.4m/s ≥a ．点拨：第（1）问中得出12.554m/s >乙v 是正确，但不完整，因为当乙车的速度很大时，乙车有可能先经过中心位置，若乙车整车先通过中心位置，即撞车的最大临界速度max 乙v ，max 乙甲m m v b l v b ++=-3020，m/s m/s max 371.191065.120546.530=⨯-+=乙v ．故当19.371m/s m/s <<乙v 554.12时，必定会造成撞车事故．第(2)的解答是错误的，如果乙车的加速度25m/s ≥a，当乙车停在中心位置时，甲车早就整车通过了中心位置，只要甲车整车通过中心位置时，乙车刚好临近中心位置时所求的加速度才是最小加速度，甲车整车所需时间s m 甲39.220≈+=v lt，在这段时间里乙车刚好临近中心位置，m 2刹刹乙反乙3021m in =-+t a t v t v ，故2m/s 27.3m in =a ．不会发生撞车故事．。