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2.2。2等差数列前n项和

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2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)

2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)

2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

2.2.2等差数列的前n项和

2.2.2等差数列的前n项和

2.2.2等差数列的前n 项和1、掌握等差数列前项和公式及其推到方法；2、能够利用等差数列前n 项和公式解决一些简单的等差数列问题；3、熟练掌握等差数列中的五个基本量n n a S n d a ,,,,1之间的关系并能够做到知三求二。

一、复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式3.等差数列的性质二、新课导学※ 探索新知探究1：1.如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共7层，这堆钢管共有多少根？这个问题可以看成是求等差数列4，5，6，7，8，9，10的和。

2.1+2+3+…+100=？如何计算更简便？这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n ，…的前100项的和。

问题：我们如何求一个以a 1为首项，d 为公差的等差数列的前n 项和呢？ 设等差数列{a n }前n 项的和为S n ,即S n =a 1+a 2+…+ a n所以Sn=_______ ______(公式1，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习1：等差数列｛a n ｝中a 1=-4,a 8=-18,n=8，求S n ?当求一个等差数列前n 项和时，若知a 1，d ，但未知a n ，那又该如何求Sn 呢？刚刚学习了2)(1n n a a n S +=，an 如何用a 1，d 来表示呢？自己尝试把a n 的表达式代入？ S n =_____________(公式2，已知＿＿＿和＿＿＿时用此公式)尝试练习2：等差数列{a n }中，已知a 1=5,d=3, 求这个数列的前10项的和。

等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：两个公式的共同点是需知 a 1和 n ，不同点是前者还需知 a n ，后者还需知 d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.（知三求二） 记忆公式：用梯形面积公式记忆等差数列前n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n 项和的两个公式.例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。

等差数列的前N项和

等差数列的前N项和

等差数列的前n项和公式类同于
梯形的面积公式
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
返回
三、等差数列前n项和公式的应用： 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位： m）是： , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列 记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500. 有等差数列前n项和公式知 Sn=7(a1+a7)/2=63000 答：这位长跑运动员7天共跑了63000m
3、等差数列4，3，2，1，…前多少项的和是－18?
4、所有被7除余3的两位数之和为____________.
五、综合提升
例1.在等差数列｛an｝中，a4=0.8,a11=2.2, 求a51+a52+„+a80
a1 3d 0.8 解 :由 通 项 公 式得 , a1 10d 2.2
二、等差数列前n项和公式的推导： 设等差数列{an}，Sn为前n项和， Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒，Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
又因
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
(1)+(2),得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
（3）等差数列的性质
等差数列的性质: 等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq

2.2.2等差数列的前n项和公式3

2.2.2等差数列的前n项和公式3

已知 S n 7 n 45 ，则 a n 为整数的正整数 n
Tn n 3bn来自的个数是（）A.2 B.3 C .4 D.5
例 （1）等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S12=84，S20=460，求S28
（2）等差数列{an}中，S4=1，S8=4， 则a17+a18+a19+a20=
谢谢聆听！
2.2.2等差数列的前n项和公式3
任课教师:
&2.2.2等差数列的前n项和（3）
例1、（1）在等差数列{an}中，已知 a5+a10=58，a4+a9=50，求它的前10项 之和S10；
（2）已知{an}为等差数列，Sn=m，Sm=n， 其中m、n∈N*，求Sm+n
（3）在等差数列{an}中，公差为d，已知
例、设Sn是等差数列{an}的前n项和，
（1）S3 1，则 S6
；
S6 3
S12
（2）a5 5，则S9
。
a3 9
S5
例、设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
已知 S n 7 n 45 ，则 a 5
。
Tn n 3
b5
变式：设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
10
S10=4S5，则ad1
.
例2、设数列{an}为等差数列，其前n项和 为Sn，且S4=-62，S6=-75 （1）求通项an及前n项和Sn； （2）求|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|的值。
例、
1.项数为 2n的等差数列 {an}中
求证（1） S偶 S奇 nd；

2.2.2等差数列前n项和公式

2.2.2等差数列前n项和公式

练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn

n(a1 2
an )

34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn

na1

1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；

等差数列的前n项和PPT优秀课件1


（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(一)

本 课 时 栏 目 开 关
整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．
小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程 和是两个等差数列的前n项和．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛， 要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( B ) A．9
解之得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解之得d＝－171.
研一研·问题探究、课堂更高效
例2
2.2.2(一)
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an} Sn Tn ＝
的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前
本 课 时 栏 目 开 关
1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟 后第二次相遇？
2.2.2(一)
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
学习要求 1．理解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
本 课 时 栏 目 开 关
其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用． 学法指导 1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构 特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当 的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的 求和方法——倒序相加法．

等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件


(1)当1≤n≤6(n∈N*)时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.
(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6) ＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.
∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn
＝d2n－2212－4841d.
∵d>0，∴Sn 有最小值．
又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1d>0≤0 得，－ －1100dd＋ ＋nnd－≥10>d≤0
∵a1<0，∴d>0， 解得 10＜n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
小结：求等差数列{an}前n项和Sn旳最值常用措施： 措施1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，
2.2.2等差数列前n项和公式 旳性质及其应用
思（2分钟）
1.等差数列旳递推公式是什么？
an－ an－1＝d（n≥2） an－1＋an＋1＝2an（n≥2）
2.等差数列通项公式是什么？构造上它有什么特征？ an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k. 在构造上是有关n旳一次函数.
3.等差数列前n项和旳两个基本公式是什么？
『变式探究』

§2.2.2 等差数列的前n项和的性质

学习目标：1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 理解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3、激情投入、高效学习，培养良好的数学思维品质以及发散思维。

二、问题导学：自学课本，思考并回答下列问题:复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .新知：与前n 项和有关的等差数列的性质：1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .3. 等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝大家试推到这些性质。

例1：已知等差数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项与公差分别是什么？ 拓展： 已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式，并判断此数咧是否是等差数列。

小结： 例2：已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 12=84，S 20=460,求s 28.（你能找到多少种方法？） 小结：n 2(1) 求证：数列{}n a 是等差数列；(2) 问数列{}n a 的前多少项和做大；(3) 设数列{b n }的每一项都有bn=|a n|,求数列{b n }的前n 项和Tn.小结：四、深化提高：1. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 122. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.3. 等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.4. 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.5. 已知等差数列{}n a 的前四项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，n 五、我的学习总结：（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结。

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小结
n(a1 an ) 2、求和公式 ( ) Sn 2 n( n 1) ( )Sn na1 d 2
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，

①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
a n a1 ( n 1) d
公式2
n（n 1) Sn na1 d 2
应用：知 三 求 二
公式记忆
—— 类比梯形面积公式记忆
（a1 an ) n Sn 2
（n 1) n Sn na1 d 2
a1
n
an
等差数列前n项和公式的函数特征：
1 d 2 d Sn na1 n n 1 d n a1 n 2 2 2
第3项与倒数第3项的和： ··· ···
3＋98 ＝101，
第50项与倒数第51项的和：50＋51＝101， 100 5050. 于是所求的和是： 101 2
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p q a m a n a p aq .
情景2
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
d d 2 设A , B a1 , 则Sn An Bn A, B是常数 2 2
结论：
an 是公差为2 A的等差数列
S n An 2 Bn( A, B为常数)
举例
例1、等差数列 {a n } 的公差是2，第20项是29，求前 20项的和 S 20 .
例 2：分别按等差数列{an}的下列要求计算： 1 (1)已知 a1 005＝ ，求 S2 009； 41 (2)已知 d＝2，S100＝10 000，求 an.
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德，被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。
求 S=1+2+3+···+100=？ 你知道高斯是 ··· 怎么计算的吗？ 高斯算法：
首项与末项的和：
第2项与倒数第2项的和：
1＋100＝101，
2＋99 =101，
灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求
a +a 的值.
(4 10) 7.
(4 10) 7 S 49. 2
新课
设等差数列an 的前n项和为Sn , 即Sn a1 a2 an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
Sn a1 a2 an . Sn an an1 a1.
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得：
倒序相加法
2S (4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)
例3.等差数列的前10项和为30，前30项和为 90，求它的前20项和．
已知数列{an }的前n项和为Sn 2n 30 n 例4、
2
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得 S n 最小序号n的值。
变式.数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (2)求此数列的前n项和的最大值．
2Sn (a1 an ) (a2 an 1 ) (an a1 )
n(a1 an ).
a1 an a2 an 1 an a1
n(a1 an ) Sn . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
n（a1 an ) Sn 2