2013届高考文科数学一轮复习课时作业(53)直线与圆锥曲线的位置关系B

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C2．(2012·铜川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.72C ．2D ．3 解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案 B3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.52D. 5 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－bax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.答案 D4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x －4消去y 得x 2－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB＝F A → ·F B →|F A →||F B →|＝0×3＋－2×42×5＝－45，选D.答案 D5．(2011·宜春模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )． A ．±23 B ．±32 C ．±34 D ．±43解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，①y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③联立①②③式解得k ＝±43.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 87．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝08．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________． 解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－b 21＋b22－41－2b21＋b2＝8b 41＋b22，解得b ＝22. 【点评】 解决直线与圆锥曲线的问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组、通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况，进一步研究直线与圆锥曲线的关系，同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想.10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－125.∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝－65.即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )．A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析 (筛选法)直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B. 答案 B【点评】 本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.2．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )． A ．(－2，－9) B ．(0，－5) C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析 由已知得抛物线经过(－4,11－4a )和(2,2a －1)两点，过这两点的割线斜率k ＝2a －1－11－4a2－－4＝a －2.于是，平行于该割线的直线方程为y ＝(a －2)x ＋b .该直线与圆相切，所以b 21＋a －22＝365. 该直线又与抛物线相切，于是(a －2)x ＋b ＝x 2＋ax －5有两个相等的根，即由方程x 2＋2x －5－b ＝0的Δ＝0得b ＝－6，代入b 21＋a －22＝365， 注意到a ≠0，得a ＝4.所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)． 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.答案634．(2012·金华模拟)已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.答案 2三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． (1)解 设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0，∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 24＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k2，∴b 2k 2＋16bk＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．6．(12分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解 法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为 (x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y 得 x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二 (1)设所求圆的半径为r ， 则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同法一．。

10.4直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,直线l 过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或y＝－(x－1)答案 C2.(2013江西,20,13分)椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m－k为定值.解析(1)因为e＝＝,所以a＝c,b＝c.代入a＋b＝3得,c＝,a＝2,b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明:证法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y＝k(x－2),①①代入＋y2＝1,解得P.直线AD的方程为y＝x＋1.②①与②联立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知＝,解得N.所以MN的斜率为m＝＝＝,则2m－k＝－k＝(定值).证法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k＝,直线AD的方程为y＝(x＋2),直线BP的方程为y＝(x－2),直线DP的方程为y－1＝x,令y＝0,由y0≠1可得N,联立解得M,因此MN的斜率为m＝＝＝＝,所以2m－k＝－＝＝＝＝(定值).3.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设＝t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0),由题意知解得a＝,b＝1.因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x＝m,由题意－<m<0或0<m<.将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1,得|y|＝.所以S△AOB＝|m|＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0),因为P为椭圆C上一点,所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝,又因为t＞0,所以t＝2或t＝.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y＝kx＋h.将其代入椭圆的方程＋y2＝1,得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2,此时x1＋x2＝－,x1x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝,所以|AB|＝＝2.因为点O到直线AB的距离d＝,所以S△AOB＝|AB|d＝×2·＝|h|.又S△AOB＝,所以|h|＝.③令n＝1＋2k2,代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0,解得n＝4h2或n＝h2,即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2 ,y1＋y2)＝,因为P为椭圆C上一点,所以t2＝1,即t2＝1.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝,又知t＞0,故t＝2或t＝,经检验,适合题意.综合(i)(ii)得t＝2或t＝.4.(2013浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y＝x－2于M,N两点,求|MN|的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0),则＝1,所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y,整理得x2－4kx－4＝0,所以x1＋x2＝4k,x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.由解得点M的横坐标x M＝＝＝.同理点N的横坐标x N＝.所以|MN|＝|x M－x N|＝＝8＝.令4k－3＝t,t≠0,则k＝.当t＞0时,|MN|＝2＞2.当t<0时,|MN|＝2≥.综上所述,当t＝－,即k＝－时,|MN|的最小值是.。

. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。

课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知双曲线x2a2 －y2b2 ＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．( 5 ，＋∞)D ．[ 5 ，＋∞)C [因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，所以e ＝ca ＝1＋（ba）2 >1＋4 ＝ 5 .]2．(多选)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋3ACD [由于椭圆C 关于原点、x 轴、y 轴对称．对于A 选项，直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，则直线y ＝2x －3截椭圆C 所得弦长为7，A 选项合乎要求；对于B 选项，直线y ＝2x ＋1与直线l 平行，直线y ＝2x ＋1截椭圆C 所得弦长大于7，B 选项不合乎要求；对于C 选项，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，则直线y ＝－2x －3截椭圆C 所得弦长为7，C 选项合乎要求；对于D 选项，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，则直线y ＝－2x ＋3截椭圆C 所得弦长为7，D 选项合乎要求．]3．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，假设D (a ，b )，则E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12 ·|DE |·a ＝ab ＝8.又c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝2 2 时等号成立，所以c ≥4，焦距2c ≥8.则双曲线C 的焦距的最小值为8，故选B.]4．抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，从上往下交C 1于A ，D 两点，交C 2于B ，C 两点，则AB → ·CD →的值为( )A ．34B ．1C ．2D ．4B [由特殊化原则，当直线过焦点F (1，0)且垂直于x 轴时，|AD |＝2p ＝4，|BC |＝2r ＝2，所以由抛物线与圆的对称性知|AB |＝|CD |＝1，所以AB → ·CD → ＝|AB → |·|CD →|＝1.故选B.]5．(多选)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |≥4 B ．|OA |＋|OB |>8C ．若点P (2，2)，则|P A |＋|AF |的最小值是3D ．△OAB 的面积的最小值是2ACD [F (1，0)，不妨设A 在第一象限， (1)若直线l 无斜率，则A (1，2)，B (1，－2)， 则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝2 5 ， S △OAB ＝12 ×4×1＝2，显然B 错误；(2)若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，显然k ≠0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y2＝4x，消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k2＋4k2 ＝2＋4k2 ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2>4，原点O 到直线l 的距离d ＝|k|k2＋1， ∴S △OAB ＝12 ×|AB |×d ＝12 ×⎝⎛⎭⎫4＋4k2 ×|k|k2＋1 ＝2 1＋1k2>2，综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P (2，2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．]6．已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析： 由题意知抛物线开口向右，且a >0，当x ＝1时，y ＝±2 a ，所以4 a ＝4，即a ＝1，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0).答案： (1，0)7．(2020·全国高二单元测试)椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，若AB 1·AB 2＝3，△AB 1B 2的面积为2，直线y ＝x 与椭圆相交于M ，N 两点，则椭圆的方程为____________，|MN |的值为________．解析： 由题意A (－a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，因此AB 1·AB 2＝a 2－b 2＝3，由于△AB 1B 2的面积为2，所以ab ＝2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x24 ＋y 2＝1.把y ＝x 代入椭圆的方程，化简整理得5x 2＝4，解得x 1＝255 ，x 2＝－255，所以|MN |＝1＋12 |x 1－x 2|＝ 2 ×455＝4105. 答案：x24 ＋y 2＝1；41058．过抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为6 2 ，则p ＝________．解析： 如图所示，抛物线的焦点F (0，p 2 )，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋p2 ，根据⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x2＝2py 得x 2＝2p (x ＋p2)⇒x 2－2px －p 2＝0，则x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－p 2，|CD |＝|x A －x B |＝（xA ＋xB ）2－4xAxB ＝（2p ）2＋4p2 ＝2 2 p ，|AD |＋|BC |＝y A ＋y B ＝x A ＋x B ＋p ＝3p ，所以梯形ABCD 的面积为12×3p ×2 2 p ＝6 2 ⇒p ＝ 2 .答案：29．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ，若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解析： 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x . 设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x2， 消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y2＝36x ， 得A (14，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y2＝36x ，得B (94，9).所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237 .10．已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ( 3 ，32). (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1＝2F 1B ，求直线l 的斜率k 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b2＋c2，c ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x24 ＋y23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x24＋y23＝1， 整理得(3k2 ＋4)y 2－6k y－9＝0，Δ＝144k2 ＋144>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k2 ，y 1y 2＝－9k23＋4k2，又AF 1＝2F 1B ，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52 ，又k >0，所以k ＝52.11．直线l 过椭圆x22 ＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为( )A ．22 B ．±22C ．－22D ． 2B [由x22 ＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝2－1＝1，则c ＝1，则左焦点F (－1，0).由题意可知，直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋k .设l 与椭圆交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y ＝kx ＋k得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.则PQ 的中点M 的横坐标为x1＋x22 ＝－2k21＋2k2 .因为△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，所以－2k22k2＋1＝－12 ，解得k ＝±22.] 12．(2020·长沙市四校模拟考试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为22的直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形C [四边形ABDC 为直角梯形，取CD 的中点为N ，连接MN ，则MN 为梯形ABDC 的中位线，所以|MN |＝12 (|AC |＋|BD |)，且MN ⊥CD .由抛物线的定义得|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |＝|AB |，所以|MN |＝12 |AB |.设直线AB 的倾斜角为α，则tan α＝22 ，所以sin α＝33 ，所以|CD |＝|AB |sin α＝33|AB |，则|CN |＝|DN |＝36|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|MN|2＋|CN|2 ＝33|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|CD |，则△CDM 为等边三角形，故选C.]13．(2020·天津卷)已知椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC → ＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解析： (1)由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x218 ＋y29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x218＋y29＝1，消去y ，可得(2k 2 ＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0，或x ＝12k2k2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k2＋1，6k2－32k2＋1 .因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k2＋1，－32k2＋1 .由3OC → ＝OF →，得点C 的坐标为(1，0)，故直线CP 的斜率为－32k2＋1－06k 2k2＋1－1，即32k2－6k ＋1 .又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k2－6k ＋1 ＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12 ，或k＝1.所以，直线AB 的方程为y ＝12x －3，或y ＝x －3.14．已知椭圆C ：x24 ＋y 2＝1，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)若线段MN 的中点坐标为(1，12)，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点(4，0)，点P (x 0，0)满足k PM ＋k PN ＝0(k PM ，k PN 分别为直线PM ，PN 的斜率)，求x 0的值．解析：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 4＋y 21 ＝1，x 22 4＋y 2 ＝1，两式相减，可得（x1－x2）（x1＋x2）4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0(*)因为线段MN 的中点坐标为(1，12 )，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，代入(*)式，得（x1－x2）·24＋(y 1－y 2)＝0，所以直线l 的斜率k ＝y1－y2x1－x2＝－12 .所以直线l 的方程为y －12 ＝－12(x －1)，即x ＋2y －2＝0.(2)设直线l ：x ＝my ＋4(m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x24＋y2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)>0，解得m 2>12. 则y 1＋y 2＝－8m m2＋4 ，y 1y 2＝12m2＋4 ，所以k PM ＋k PN ＝y1x1－x0 ＋y2x2－x0＝y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）（x1－x0）（x2－x0）＝x2y1＋x1y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝（my2＋4）y1＋（my1＋4）y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝2my1y2＋（4－x0）（y1＋y2）（x1－x0）（x2－x0） ＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝2m ·12m2＋4 ＋(x 0－4)·8mm2＋4 ＝8m （x0－1）m2＋4 ＝0.因为m ≠0，所以x 0＝1.15．设双曲线x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A ，B 两点，l 与双曲线的一个交点为P .设O 为坐标原点，若OP → ＝mOA → ＋nOB →(m ，n ∈R )，且mn ＝29，则该双曲线的离心率为( ) A ．322 B ．355 C ．324 D ．89bca )，C [如图，设双曲线的右焦点F 的坐标为(c ，0)，易知A (c ，B (c ，－bc a )，P (c ，b2a ).由OP → ＝mOA → ＋nOB →，得(c ，b2a )＝(mc ，mbc a )＋(nc ，－nbca )，所以m ＋n ＝1，mc －cn ＝b .又mn ＝29 ，解得m ＝23，n ＝13 ，c ＝3b .因为a ＝c2－b2 ＝9b2－b2 ＝2 2 b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.故选C.]16．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝2px (p >0)，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为( )A ．p22B ．p 2C ．2p 2D ．4p 2B [由题意易知过A ，B 的切线交于点Q .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，把直线AB 的方程代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，所以x 1x 2＝y 21 y 2 4p 2 ＝p24，则|AB |＝1＋m2 ·（y1＋y2）2－4y1y2 ＝2p (1＋m 2).由导数的知识得k AQ ＝2p 2x1 ，k BQ ＝－2p 2x2，所以k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ ，所以|AQ |2＋|BQ |2＝|AB |2.所以S △ABQ ＝12|AQ |·|BQ |≤14 (|AQ |2＋|BQ |2)＝14 |AB |2＝14 [2p (1＋m 2)]2，所以当m ＝0时，S △ABQ 取得最小值为p 2.故选B.]。

第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1.已知直线x -y -1=0与抛物线2y ax =相切,则a 等于( ) A.12B.13C.14D.4【答案】C【解析】由210x y y ax ⎧⎪⎨⎪⎩--=,= 消去y 得210ax x -+=,所以0140a a ≠,⎧⎨-=,⎩ 解得14a =. 2.已知双曲线22134y x -=,过点M (m ,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A 、B.若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点),则实数m 的取值范围是( )A.(-B.(0)(0-⋃,C.()-∞,-⋃D.(-⋃【答案】D【解析】依题意可得((3A m B m ,,,-, ∴2(21)(3m OA m OB m=,-,=,-. ∵△AOB 是锐角三角形,必有AOB ∠是锐角,即OA与OB 的夹角为锐角.由0OAOB ⋅>,得224403m m-+>,∴m -<<但根据双曲线的范围知,应有m <m >故m 的取值范围是(-⋃.3.若P 为双曲线22115y x -=右支上一点,M 、N 分别是圆2(4)x +24y +=和22(4)1x y -+=上的点,则|PM |-|PN |的最大值为 . 【答案】5【解析】已知两圆的圆心(-4,0)和(4,0)(记为1F 和2)F 恰为双曲线22115y x -=的两焦点. 当|PM |最大,|PN |最小时,|PM |-|PN |最大,|PM |最大值为P 到圆心1F 的距离|1PF |与圆1F 半径之和,同样|PN |=最小|2PF |-1,从而(|PM |-|PN |max )=|1PF |+2-(|2PF |-1)=|1PF |-|2PF |+3=2a +3=5.4.过原点的直线l 与双曲线22143y x -=有两个交点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 【答案】(【解析】设l :y =kx ,代入22143y x -=中, 得2221143k x x -=,即221()1043k x --=,由0∆>知k ,<<5.已知双曲线方程:2213y x -=,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 . 【答案】6x -y -11=0【解析】设l 与双曲线交于11()P x y ,和22()Q x y ,,则221122221313y x y x ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=.⎪⎩①② ②-①,得212121211()()()()03x x x x y y y y +--+-=,而121242x x y y +=,+=,∴212124()()03x x y y ---=.∴21216y y x x -=,-即6l k =.∵点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l 的方程为y -1=6(x -2),即6x -y -11=0.课后作业夯基 基础巩固1.AB 为过椭圆22221y x a b+=中心的弦,F (c ,0)为该椭圆的焦点,则△FAB 的最大面积为( ) A.2b B.ab C.ac D.bc【答案】D【解析】设A 、B 两点的坐标为11()x y ,、11()x y -,-,则12FABS=|OF ||12y |=c |1y |bc ≤.2.过双曲线224x y -=上任一点M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N ,O 是坐标原点,则△OMN 的面积是( ) A.1 B.2 C.3 D.不确定 【答案】A【解析】过双曲线上任一点00()M x y ,作渐近线y x =±的垂线,垂足分别为N ,N ′.|MN |⋅|MN′|==42=2,故1OMN S =. 3.双曲线221x y -=的左焦点为F ,点P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是( ) A.(0)-∞,B.(1),+∞C.(0)(1)-∞,⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞ 【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,而且被直线2x -y +1=0则抛物线的方程是( ) A.212y x =-或24y x =B.24y x =-或212y x =C.210y x =-或24y x =D.26y x =-或210y x = 【答案】B【解析】设所求抛物线为2(y ax a =∈R 且0)a ≠,由2210y ax x y ⎧=,⎨-+=,⎩得220y ay a -+=. 若弦两端点纵坐标分别为1y 和2y ,则|12y y -|2182a a =-. 于是弦长=2584a a-15=,解得a =12或a =-4.5.已知焦点为12(20)(20)F F -,,,的椭圆与直线l :x +y -9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( ) A.170 B.170C.70D.852【答案】A【解析】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0),且c =2,则224b a =-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490y x a a x y ⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y ,整理得22224(24)18850a x a x a a --+-=. 因为直线l 与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a ---≥,整理得422933400a a -+≥.解得2852a ≥,或24(a ≤舍去),∴2170a ≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P 为椭圆与直线l 的公共点,则|1PF |+|2PF |=2a ,所以问题转化为当P 在l 上运动时,求|1PF |+|2PF |的最小值. 作2F 关于l 的对称点2F ′00()x y ,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7).所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|=6.已知椭圆22143y x +=,若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y =4x +m 对称,则实数m 的取值范围是 ( )A.(B.(C.(D.( 【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y AB ,,,,的中点为M (x ,y ), 由题意知211212211224AB y y k x x x y y y x x -==-,+=,+=,-213x +21412y = ①22223412x y ,+= ②.①②两式相减得223(x -222121)4()0x y y +-=,即12123()y y x x +=+,即y =3x ,与y =4x +m 联立得x =-m ,y =-3m ,而M (x ,y )在椭圆的内部,则229143m m +<,即m <<. 7.当x >1时,直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方,则a 的取值范围是 . 【答案】(4)-∞,【解析】由题意联立 2y x y ax a ⎧=,⎨=-,⎩ 整理可得20x ax a -+=,由240a a ∆=-=,解得a =0或a =4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当(4)1a x ∈-∞,,>时直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方.8.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于 . 【答案】12-【解析】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.9.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若|1PF |=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】12()35,【解析】设它们的焦距为2c ,则|2PF |=|12F F |=2c ,双曲线的离心率121025c c e c c==,--由(12)5c c ∈,-得51023c <<. 所以椭圆的离心率2212()102535c c e c c ==∈,++.10.过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B 两点,A,B 在x 轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD 的面积为122,则p= . 【答案】2【解析】抛物线的焦点为(0)2p ,,设11()A x y ,22()B x y ,,,直线AB 的方程为2p y x -=,即y =x +2p.联立 222p y x x py ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去y ,得2220x px p --=. ∴12(12)(12)x p x p =,=.∴12122322p py y x x p p p +=+++=+=,|CD |=|1x -2x |22=.由1(2ABCD S =梯形|AD |+|BC |1)32CD p ⋅=⨯⨯22=122,解得24p =,∴2p =±.∵p>0,∴p=2.11.已知点A(0,2)和抛物线C:26y x =,求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.【解】设直线l 的方程为y =kx +2,这个方程与抛物线C 的方程联立,得方程组226y kx y x =+,⎧⎨=.⎩当k =0时,由方程组得2643x x =,=,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(2)3,.当0k ≠时,由方程组消去x ,得方程 26120ky y -+=.(*)关于y 的二次方程(*)的判别式3648k ∆=-.由∆=0,得34k =,可知此时直线l 与抛物线C 有一个公共点,即它们相切.直线l 的方程为3x -4y +8=0. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 就是y 轴,其方程为x =0. 所以,直线l 的方程为3x -4y +8=0,或x =0.12.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1.又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则RT 03()4y PQ =,,2121()x x y y =-,-,RT PQ ⋅210213()()4x x y y y =-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得 1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即RT PQ ⋅=0,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.13.已知椭圆1C :22221(y x a b a b+=>>0)的右顶点为A(1,0),过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆1C 的方程.(2)设点P 在抛物线2C :2(y x h =+h ∈R )上2C ,在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.【解】(1)由题意,得121b b a=,⎧⎪⎨⋅=,⎪⎩从而21a b =,⎧⎨=.⎩因此,所求的椭圆方程为2214y x +=. (2)设11()M x y ,,2(N x ,22)()y P t t h ,,+,则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为y ′|2x t t ==,直线MN 的方程为y =2t x -2t h +.将上式代入椭圆1C 的方程中,得2224(2)40x tx t h +-+-=, 即222224(1)4()()t x t t h x t h +--+--4=0. ① 因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点, 所以①式中的422116[2(2)4]0t h t h ∆=-++-+>. ② 设线段MN 的中点的横坐标是3x ,则21232()22(1)x x t t h x t +-==+. 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,则412t x +=.由题意,得34x x =, 即2(1)t h t +++1=0. ③由③式中的22(1)40h ∆=+-≥,得1h ≥,或3h ≤-. 当3h ≤-时,h 22040h +<,-<,则不等式②不成立,所以1h ≥. 当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为1. 拓展延伸14.(2012宜春三校联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程;(2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【解】(1)设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0), 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得 23a b =,⎧⎪⎨=,⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=.根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<,∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x x k x k +==-,+ 0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k -,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k--,,+-+- 即2286()4433k N k k,++.∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<. ∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.。

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第34讲直线与圆锥曲线的位置关系一．课标要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。

二．命题走向近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。

分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测2013年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。

三．要点精讲1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。

因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2－4ac 。

则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +。

因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故所以0⋅=，OA OB212高考数学（文科）专题练习直线与圆锥曲线的位置关系解析1．解析：直线y=kx-k+1，即y-1=k(x-1)，恒过点A(1，1)．因为+<1，所以点A在椭圆内，故直线与椭圆相交，选A．2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=4，又p=1，所以x1+x2=3，所以点C的横坐标是=．3．解析：由解得A(，)，B(-，-)．故|AB|=|-(-)|=．而F(，0)，点F到直线y=x的距离d==．故△FAB的面积S=|AB|×d=××=．故选B．4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=-(x-)，与抛物线方程联立，消去y整理得x2-3px+=0，可得x1+x2=3p．根据中点坐标公式，有=3，p=2，因此抛物线的准线方程为x=-1．故选C．5．解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，两式相减，得+=0，所以=-，所以k==-．故选B．6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x=-2的垂线，垂足分别为D，E．因为|PA|=|AB|，所以又得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．选A．7．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，所以|FA|+|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1(y≠0)8．解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为y2=4x，所以抛物线的准线为x=-1，F(1，0)，又A到抛物线准线的距离为4，所以x A+1=4，所以x A=3，因为xAxB==1，所以xB=，所以|AB|=xA+xB+p=3++2=．答案：9．解：(1)由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得a=2，b=1．所以C1的标准方程为+y2=1．(2)依题意设直线l：y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0，判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-<t<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=．因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故OA⊥OB，所以·=0，即x1x2+y1y2=+=0，解得t=±，满足-<t<且t≠0，故所求直线l的方程为y=x+或y=x-．【能力提升】10．解析：因为△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆的半径为，所以△ABF2的面积为×4×5×=5，又因为△ABF2的面积为|y2-y1|×|F1F2|=3|y2-y1|，所以3|y2-y1|=5，所以|y2-y1|=，故选D．11．解析：圆心O到直线l的距离d==3，所以|AB|=2=2，由题知直线l的倾斜角为30°，所以|CD|===4．答案：412．略13．略14．略。

课时作业(五十一) 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011²哈尔滨二模 已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．1,4)B ．1，＋∞)C ．1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．2011²西铁一中二模 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1531 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1530 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．2011²舟山七校联考 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．2011²全国卷 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分)2011²江西卷 P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．难点突破16．(12分)2011²银川一中月考 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程； (2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝λ，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C 解析 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C 解析 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B 解析 当x ≥0时，方程是y29－x24＝1，当x <0时，方程是y29＋x24＝1，作图即知．4．A 解析 联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B 解析 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .6．B 解析 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)上，所以x 21a ＋y 21b1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0x－x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223. 9．D 解析 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝＝－85³2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 解析 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)³(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 解析 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x 解析 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l 的方程是y－2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 解析 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4²16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．解答 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m， ∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p ＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p ⎝⎛⎫y 1－n y 1－y 1y 2＋y 2－n y 2－y 1y 2＝2p ²y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n y 1y 2＝2p ²n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．解答 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 2b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设＝(x 3，y 3)，＝λ＋，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．解答 (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2 2. 若x1＝22，x2＝－22，2－22＝3－22；则λ＝－22－2若x1＝－22，x2＝22，2＋22＝3＋2 2.则λ＝22－2当k＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x1＝4＋22，x2＝4－22，－2－22则λ＝＝3＋22；2－22若x1＝4－22，x2＝4＋22，－2＋22则λ＝＝3－2 2.2＋22所以λ＝3＋22或3－2 2.。

高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 （ ）()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条 四．例题分析： 例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF = ，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．。

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( )A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________．能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0)6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23279．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B．45°或135° C ．60°或120° D．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．图K53－112．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .15．(13分)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与(1)中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．难点突破16．(12分)[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．课时作业(五十三)B【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2×62－4×1＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 23c 2－a 2＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx＋b －1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为aa ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ab ＝32.故选A. 9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1， ∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1， B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2.11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a 2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2， 所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝ca< 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)设圆M 的半径为r ， 因为圆M 与圆F 1内切，所以MF 2＝r ， 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝ 3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S △AOF 1.因为S △ABF 1＝32，所以S △AOF 1＝34.不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S △AOF 1＝12·OF 1·y 1＝34，所以y 1＝32，x 1＝±3， 即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以直线l 的斜率为±12，故所求直线方程为x ±2y ＝0. 【难点突破】 16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。