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第2课时 函数的最大值、最小值问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2 D.12，2 答案：C函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2＋2在(0，＋∞)上是增函数， 又因为x ∈N *，所以当x ＝1时，y min ＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.图象法求最值的一般步骤1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5)解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x.(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值． 解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， 即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增， 所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x <0），画出f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最小值．3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数， 所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4. 答案：44．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．[A 基础达标]1．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2， 所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．函数f (x )＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f (x )＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.答案：16．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3， 解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：67．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.答案：38．求函数y ＝f (x )＝x 2x －3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22（x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3），因为1≤x 1<x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4， 即6<3(x 1＋x 2)<12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1，2]上为减函数，y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的， 故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.[B 能力提升]10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：611．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调递减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.[C 拓展探究]13．请先阅读下面材料，然后回答问题．对应问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．所以当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2的最值情况． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况． 解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14； 当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14. 即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74， 所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)． 令u ＝ax 2＋bx ＋c ，①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a＜0； 当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2， 即f (x )≤4a 4ac －b 2； 当u ＞0时，即f (x )＞0.所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2， 即f (x )既无最大值，也无最小值．②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u知u ≠0， 所以u ＞0，此时1u＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 24a＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2， 即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2， 所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2， 此时x ＝－ b 2a)，没有最小值．。
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。
函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值小值是0，有f (0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 答案：C3．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值 答案：D4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________．答案：112[例1] 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值，即y max ＝3；当x ＝－1.5时，函数y ＝f (x )取得最小值，即y min ＝－2.用图象法求最值的3个步骤[活学活用]1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．[例2] 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)证明：f (x )在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f (x )在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0，图象法求函数的最值利用单调性求函数的最值故(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f (x )在[2,4]上是增函数， ∴当x ∈[2,4]时，f (2)≤f (x )≤f (4)． 又f (2)＝2＋12＝52，f (4)＝4＋14＝174，∴f (x )在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.[活学活用] 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 解：设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以函数f (x )＝2x －1是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：实际应用中的最值R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000. 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.[例4] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值． 解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值． 解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1； 当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)； 当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．二次函数的最大值，最小值由本例探究1知f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．层级一 学业水平达标1.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1D ．以上都不对解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23B.38C.32D.83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.6．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________． 解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，所以y min ＝13，y max ＝1，所以y max －y min ＝1－13＝23.答案：237．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值， 当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：18．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 答案：f (－2) f (6)9．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). 因为2≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.层级二 应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8；x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6， ∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的， 又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y (2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]．(2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上也是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
第2课时 函数的最大(小)值[课程目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函数最值是函数单调性的应用之一；3.会求一些简单函数的最值．知识点一 函数的最大(小)值的定义及几何意义 设y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足： 【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)＝－x 2＋1≤2总成立,则f(x)的最大值是2.( × ) (2)函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素.( √ ) (3)函数f(x)的值域是(0,＋∞),则函数f(x)的最小值为0.( × )(4)若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,则f(a)或f(b)是函数f(x)的最大值或最小值．( √ )【解析】 (1)函数f(x)的定义域中不存在x 0,使f(x 0)＝2,所以2不是f(x)的最大值． (2)函数的最大值和最小值也是函数值,所以函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素．(3)函数的值域中不包含0,所以0不是函数的最小值． (4)根据函数最大(小)值的定义知说法正确．知识点二 求函数的最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性(1)若判断y ＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则y max ＝__f(b)__,y min ＝__f(a)__． (2)若判断y ＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则y max ＝__f(a)__,y min ＝__f(b)__． (3)若y ＝f(x)是定义在区间(a,b)或R 上的连续函数,则函数y ＝f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个． 【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y ＝－2x ＋3在(2,5]上有最小值－7,没有最大值．( √ ) (2)函数y ＝1x 在[1,2]上有最大值1,最小值12 .( √ )(3)函数y ＝x 2＋2x ＋3的最小值为2.( √ )(4)函数y ＝x 2＋2x ＋4(x∈[－3,－2])的最小值为2.( × )【解析】 (1)函数y ＝－2x ＋3在(2,5]上单调递减,所以当x ＝5时,取得最小值－7,没有最大值．(2)函数y ＝1x 在[1,2]上单调递减,所以在定义域区间的端点取得最值．(3)由二次函数的图象或单调性知,函数的最小值为2.(4)由函数y ＝x 2＋2x ＋4(x∈[－3,－2])图象知,函数在区间的右端点取得最小值,最小值为4.利用函数的图象求最值例1 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋3,求f(x)在区间[0,2]上的最小值g(a)和最大值h(a). 解：f(x)＝(x －a)2＋3－a 2,对称轴为直线x ＝a, f(a)＝3－a 2,f(0)＝3,f(2)＝7－4a,∴g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧3，a ≤0，3－a 2，0<a<27－4a ，a ≥2.,h(a)＝max{f(0),f(2)}＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4a ，a ≤1，3，a>1.活学活用1．求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值．解：函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a,且函数图象开口向上,如图1,当a>1时,f(x)在[－1,1]上单调递减, 故f(x)min ＝f(1)＝3－2a ；如图2,当－1≤a≤1时,f(x)在[－1,1]上先减后增, 故f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；如图3,当a<－1时,f(x)在[－1,1]上单调递增, 故f(x)min ＝f(－1)＝3＋2a.综上可知,f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a>1，2－a 2，－1≤a≤1，3＋2a ，a<－1.2．已知函数f(x)＝x 2＋4x ＋3,求f(x)在区间[t,t ＋1]上的最小值g(t)和最大值h(t). 解：由f(x)＝(x ＋2)2－1,对称轴为直线x ＝－2,f(－2)＝－1,f(t)＝t 2＋4t ＋3,f(t ＋1)＝t 2＋6t ＋8,结合图象可知 g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋6t ＋8，t ≤－3，－1，－3<t<－2，t 2＋4t ＋3，t ≥－2.h(t)＝max{f(t),f(t ＋1)}＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋4t ＋3，t ≤－52，t 2＋6t ＋8，t>－52．分段函数求最值例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在如图所示中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象,写出该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据,确定该股票日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式； (3)用y 表示该股票日交易额(万元),写出y 关于t 的函数关系式,并求出在这30天中第几天日交易额最大,最大是多少．解：(1)由图象知,前20天满足递增的直线方程,且过(0,2),(20,6)两点,易求得直线方程为P ＝15 t ＋2.从第20天到第30天满足递减的直线方程,且过(20,6),(30,5)两点,易求得直线方程为P ＝－110t ＋8.故函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0<t<20，t ∈N ，－110t ＋8，20≤t ≤30，t ∈N ．(2)由表易知,Q 与t 满足一次函数关系式, 即Q ＝－t ＋40,0<t ≤30,t ∈N ．(3)由(1)(2)可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15（t －15）2＋125，0<t<20，t ∈N ，110（t －60）2－40，20≤t ≤30，t ∈N ，当0<t<20且t ＝15时,y max ＝125； 当20≤t≤30时,y 随t 的增大而减小,所以x ＝20时,y max ＝120.因为120<125,所以这30天中第15天的日交易额最大,最大值为125万元． [规律方法]1．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小者,故求分段函数的最大或最小值,应先求各段上的最值,再比较即可得函数的最大、最小值．2．如果函数的图象容易作出,画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并求其纵坐标即可得函数的最大值、最小值．活学活用设函数f(x)＝x|x －1|＋m,当m>1时,求f(x)在[0,m]上的最大值．解：f(x)＝x|x －1|＋m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋m ，0≤x ≤1，x 2－x ＋m ，1<x ≤m.当0≤x≤1时,f(x)＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋m ＋14 ≤m＋14 ；当1<x≤m 时,f(x)＝x 2－x ＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋m －14 , ∴函数f(x)在(1,m)上单调递增,∴f(x)max ＝f(m)＝m 2.∴f(x)max＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ＋14，m 2＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋14，1<m<1＋22，m 2，m ≥1＋22．利用单调性求最值例3 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋3x ,x ∈[2,＋∞).(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a 恒成立,求a 的取值范围．解：(1)任取x 1,x 2∈[2,＋∞),且x 1<x 2,f(x)＝x ＋3x ＋2,则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2 .因为x 1<x 2,所以x 1－x 2<0.又因为x 1≥2,x 2>2,所以x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 故f(x)在[2,＋∞)上单调递增,所以当x ＝2时,f(x)有最小值,最小值为f(2)＝112 .(2)因为f(x)的最小值为f(2)＝112 ,所以f(x)>a 恒成立,只需f(x)min >a,得a<112 .活学活用求函数f(x)＝x2x －3 在区间[1,2]上的最大值和最小值．解：因为f(x)＝x2x －3 ,∀x 1,x 2∈[1,2],且x 1<x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝x 21 x 1－3 －x 22x 2－3＝x 21 x 2－3x 21 －x 1x 22 ＋3x 22 （x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3）.因为1≤x 1＜x 2≤2,所以x 1－3<0,x 2－3<0,2<x 1＋x 2<4, 即6<3(x 1＋x 2)＜12.又1<x 1x 2<4,x 2－x 1>0, 故f(x 1)－f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以函数f(x)＝x2x －3 在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)max ＝f(1)＝－12 ,f(x)min ＝f(2)＝－4.[规律方法]1．函数的最值与单调性的关系．(1)若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)； (2)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). 2．利用函数的单调性求最值,要熟练掌握一些常见函数的基本性质． 【迁移探究】 已知函数f ()x ＝x －1x ＋2,x ∈[]3，5 . (1)若不等式f ()x >a 在[]3，5 上恒成立,求实数a 的取值范围； (2)若不等式f ()x >a 在[]3，5 上有解,求实数a 的取值范围．解：(1)由题意可得,即求f(x)的最小值,f(x)＝x －1x ＋2 ＝1－3x ＋2 ,判断可得函数f(x)在[]3，5 上单调递增,故f(x)min ＝f(3)＝25 ,故a<25.(2)由题意可得,即求f ()x 的最大值,f(x)＝x －1x ＋2 ＝1－3x ＋2,判断可得函数f(x)在[]3，5 上单调递增,故f(x)max ＝f(5)＝47 ,故a<47.1．函数f(x)的部分图象如图所示,则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( C )A ．f(－2),f(3)B ．0,2C ．f(－2),2D ．f(2),2【解析】 由图象可知,x ＝－2时,f(x)取得最小值f(－2)；x ＝1时,f(x)取得最大值f(1)＝2.故选C.2．函数y ＝2x 2＋1,x ∈N *的最值情况是( B ) A ．无最大值,最小值是1 B ．无最大值,最小值是3 C ．无最大值,也无最小值 D ．不能确定最大、最小值【解析】 因为x∈N *,且函数在(0,＋∞)上单调递增,故函数在x ＝1时取得最小值,最小值为3,无最大值．故选B.3．函数f(x)＝1x 2 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的最大值是( C )A ．14 B ．－1 C ．4 D ．－4【解析】 因为f(x)＝1x 2 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上单调递减,所以f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝4.4．若函数y ＝kx(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k ＝__20__．【解析】 因为k>0,所以函数y ＝k x 在[2,4]上单调递减,所以当x ＝4时,y ＝kx 最小,由题意知k4＝5,得k ＝20.5．函数f(x)＝x 2＋3x ＋a 在区间(－3,3)上的最小值为__a －94__．【解析】 因为f(x)＝x 2＋3x ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32 2＋a －94 ,－3<x<3,所以f(x)在(－3,3)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝a －94 .温馨说明：课后请完成高效作业16。
第2课时 函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题．1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( ) A ．有最大值12，最小值－1 B ．有最大值12，无最小值 C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域． 【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x≥12x －1，x<1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可． 【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x1－x 2－4x2＝x 1－x 2＋错误!＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x1x2＝(x 1－x 2)x1x2－4x1x2＝错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数． 同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；【导学号：97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝错误!.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴错误!＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x≤6，x ∈N－3x2＋68x －115，6<x≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元． 当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∵R (x )＝错误! ∴f (x )＝R (x )－G (x ) ＝错误!(2)当x ＞5时，函数f (x )递减， ∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值． 【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a ＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝错误!＝错误!.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。
