2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章 §4 导数的四则运算法则 精品

高考八大高频考点例析[对应学生用书P52][考题印证][例1](陕西高考)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________．[解析]观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2.[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2[跟踪演练]1．类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为________________________________________________________________________”．解析：类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2＋y2＋z2＝r2.答案：x2＋y2＋z2＝r22．(湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．解析：2位回文数有9个，4位回文数与3位回文数个数相等，都有9×10＝90个．而每一个4位回文数都对应着10个5位回文数，故5位回文数有9×10×10＝100×9个，可推出2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．答案：909×10n3．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知第n个等式可为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)[考题印证][例2](陕西高考)设{a}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4n成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．[解](1)设数列{a}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋na4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1(1－q k )1－q ，S k ＋2＋S k ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．[跟踪演练]4．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 中有一个不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a ，b 都不能被5整除． 答案：B5．如图，几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明：(1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，又OF ∥P A ，且OF ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形， ∴EF ∥BD .又∵EF 平面PEC ，BD 平面PEC ， ∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°， ∴PB ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，P A 平面APEB ， ∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ， ∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ， ∴AE ⊥平面PBC ， ∵G 为BC 上的动点， ∴PG 平面PBC ，∴AE ⊥PG .6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．7．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N ＋)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意，有a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)．∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上.[考题印证][例3] (北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． [解] (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减； 当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．[跟踪演练]8．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D.[－2,0]解析：y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．答案：D9．(广东高考)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.解析：y ′|x ＝1＝0，即当x ＝1时，k ＋1x＝k ＋1＝0，解得k ＝－1.答案：－110．(江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2.答案：2[考题印证][例4] (新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. [解] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2) 证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.[跟踪演练]11．(大纲版全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D.[3，＋∞)解析：f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数， 所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立． 设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0， 故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝3，故选D. 答案：D12．判断函数f (x )＝e x ＋e －x 在[0，＋∞)上的单调性．解：f ′(x )＝e x－e －x＝(e x )2－1e x.∵当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，∴f′(x)≥0，∴f(x)＝e x＋e－x在[0，＋∞)上为增加的．13．(新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].[考题印证][例5](江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b ＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2·(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[例6](浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．[解](1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ， 则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0， f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． (ⅰ)当0<a <23时，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋2－3a >0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .(ⅱ)当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋3a －2，所以当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . 当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|. 故|f (x )|max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，|f (x )|max＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ，a ≤0，1＋2(1－a )1－a ，0<a <34，3a －1，a ≥34.[跟踪演练]14．(重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.15．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1， ∴f (x )min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e <12，∴f (x )min －g (x )max >12，∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[考题印证][例7] (重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[跟踪演练]16．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，以i －1<t ≤i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e t 4＋50， 0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50， 10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．问同一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的量大蓄水量(取e ＝2.7计算)．解：(1)①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e x4＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0.解得t <4或t >10. 又0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50，化简得(t －10)(3t －41)<0. 解得10<t <413.又10<t ≤12，故10<t <12. 综上所述，得0<t <4或10<t ≤12.故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在[4,10]内达到． 令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表可知，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50＝108.32(亿立方米)． 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.[考题印证][例8] (湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D.4＋50ln 2(2)(江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 [解析] (1)令v (t )＝0，得7－3t ＋251＋t＝0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )⎪⎪⎪40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25ln 5，故选C.(2)S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1， S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2<S 1<S 3. [答案] (1)C (2)B[跟踪演练]17．(湖南高考)若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：3 18.∫20π(sin x －2cos x )d x ＝________. 解析：∫20π (sin x －2cos x )d x＝(－cos x －2sin x )|20π＝－1. 答案：－119．由直线x ＝0，x ＝2与抛物线y 2＝4x 围成的封闭区域的面积是________． 解析：由y 2＝4x 得y ＝±4x ，∴S ＝2∫204x d x ＝4∫2x d x ＝4×23x 32|20 ＝83×232＝1623. 答案：1623[考题印证][例9] (1)(新课标全国卷Ⅰ)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD.1－12i(2)(山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋iD.5－i(3)(北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D.第四象限[解析] (1)1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. (2)因为(z －3)(2－i)＝5，所以z ＝52－i ＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以z ＝5－i.(3)(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， 对应的复平面内点坐标为(3，－4)． [答案] (1)B (2)D (3)D[跟踪演练]20．(安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1 D.3解析：复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D21．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由题意得，a ＝1时，复数z ＝(1－2i)(1＋i)＝3－i ，所以复数z 对应的点在第四象限，若复数z ＝(a ＋2)＋(a －2)i 对应的点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，a －2<0， 解得－2<a <2，a ＝1不一定成立． 答案：A22．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝________. 解析：对于2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：2模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(六) 见8开试卷(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋iD.－5－i解析：z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 答案：D2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→②D.②→③→①解析：反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 答案：B3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1答案：C4．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2 B ．0 C ．－1D.1解析：∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 答案：B5．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D.p 3，p 4解析：∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：C6．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1 D.y ＝x ＋1解析：当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1. 答案：C7．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛-11f(x)g(x)dx ＝0，则称f(x)，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f(x)＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：对于①，⎠⎛-11sin 12x cos 12xdx ＝⎠⎛-1112sin xdx ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛-11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛-11(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛-11x·x 2dx ＝⎠⎛-11x 3dx ＝0，所以③是一组正交函数．选C .答案：C8．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0， ∴g (x )在R 上单调递减， ∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1， ∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2， 即x >2或x <－ 2. 答案：C9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D.2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 答案：B10．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D.2 015×1 009解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________． 答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知1＋2i a ＋b i ＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)， 又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)． 答案：(0,2)14．将正偶数按下表排成5列：那么解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. 当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0， 故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn .证明：a n >a n ＋1>c 1p.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k .因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n . 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p .由此可得，f (x )在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ， 从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则 当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．。

第一章 推理与证明课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课 教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

2017~2018学年北师大版高中数学选修2-2全册教案汇编目录归纳推理 (1)类比推理 (4)演绎推理 (7)分析法1 (11)分析法2 (14)综合法1 (17)综合法和分析法的应用 (20)反证法1 (23)反证法2 (27)数学归纳法 (31)第一章推理与证明 (35)变化的快慢与变化率——平均变化率 (39)变化的快慢与变化率——瞬时变化率 (44)瞬时速度与瞬时加速度 (47)导数的概念及其几何意义 (50)计算导数（一） (54)计算导数（二） (57)导数的加法与减法法则 (60)导数的乘法与除法法则 (63)导数的乘法与除法法则2 (66)简单复合函数的求导法则 (69)导数与函数的单调性（一） (73)导数与函数的单调性（二） (79)导数与函数的单调性（三） (83)函数的极值 (86)函数的最大值与最小值（二） (91)导数的实际应用（一） (95)导数的实际应用（二） (98)导数的实际应用（三） (103)导数应用小结与复习 (109)曲边梯形的面积 (114)汽车行驶的路程 (119)曲边梯形的面积 (124)微积分基本定理 (129)微积分基本定理 (131)4.3.1平面图形的面积 (136)4.3.1平面图形的面积 (140)4.3.2简单几何体的体积 (144)定积分的简单应用 (147)定积分 (151)数系的扩充与复数的概念 (155)复数的几何意义 (160)复数复数的乘法与除法 (163)复数的加法与减法 (166)第五章数系的扩充与复数的引入 (169)归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

§4二项分布[对应学生用书P28］某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为45，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验,那么一共进行了多少次试验?每次试验有几个可能的结果?提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中（成功）,未投中（失败）．问题2：X＝0表示何意义?求其概率．提示：X＝0表示3次都没投中，只有C03＝1种情况，P(X＝0）＝C错误!错误!3。

问题3：X＝2呢？提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C错误!＝3种情况，每种情况发生的可能性为错误!2·错误!。

从而P(X＝2）＝C错误!错误!2·错误!.二项分布进行n次试验,如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功"和“失败"；(2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p;（3）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝C k n p k（1－p)n－k(k＝0，1，2，…,n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p 的二项分布,简记为X~B（n，p)．1．P（X＝k）＝C错误!·p k（1－p）n－k。

这里n为试验次数,p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．错误!服从二项分布的随机变量的概率计算［例1]亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0。

6,试问3个投保人中：（1)全部活到70岁的概率；（2)有2个活到70岁的概率；(3）有1个活到70岁的概率．[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的,利用二项分布公式可求．[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0。

§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。

教学准备
1. 教学目标
了解牛顿-莱布尼兹公式
2. 教学重点/难点
了解牛顿-莱布尼兹公式
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
（一）、复习：定积分的概念及计算
（二）、探究新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

后,汽车需走过21.90米才能停住.
（三）、小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. （四）、课堂练习：
（五）、课后作业：五、教后反思：。

§导数的四则运算法则已知()＝，()＝.问题：()，()的导数分别是什么？提示：′()＝，′()＝.问题：试求()＝＋的导数．提示：因Δ＝Δ＋Δ＋(Δ)，＝＋＋Δ，当Δ→时，′()＝＋.问题：()的导数与()，()的导数有何关系？提示：()的导数等于()，()的导数和．问题：对于任意函数()，()都满足(()＋())′＝′()＋′()吗？提示：满足．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[()＋()]′＝′()＋′()，[()－()]′＝′()－′().已知函数()＝，()＝.问题：[()·()]′＝′()·′()成立吗？提示：不成立，因为[()·()]′＝()′＝，而′()·′()＝·＝.问题：能否用()和()的导数表示()·()的导数？如何表示？提示：能．因′()＝，′()＝，(()())′＝，有(()())′＝′()()＋()′()．问题：对于其他函数还满足上述关系吗？提示：满足．导数的乘法与除法法则()若两个函数()和()的导数分别是′()和′()，则[()()]′＝′()()＋()′()′＝.()[()]′＝′()．．注意()()的导数是′()()与()′()之和；的导数的分子是′()()与()′()之差，分母是()的平方．．[()()]′≠′()′()，′≠.．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．[例]求下列函数的导数：()＝－－＋；()＝＋；()＝·；()＝.[思路点拨]结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析]()′＝(－－＋)′＝()′－()′－′＋′＝－－.()′＝(＋)′＝()′＋()′＝＋).()′＝()′·＋·( )′＝·＋· .()′＝＝＝.[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．。

阶段质量检测(六) 模块综合检测 [考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋i D ．－5－i2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的序号顺序为( )A ．①→②→③B ．③→①→②C ．①→③→②D ．②→③→①3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋14．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2B ．0C ．－1D ．15．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 46．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋17．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．38．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．210．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D ．2 015×1 009答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是____________________________________________________________________.12．已知1＋2ia ＋b i＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.13．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 14．将正偶数按下表排成5列：那么三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn. 证明：a n >a n ＋1>c 1p.答 案1．选D z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 2．选B 反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 3．选C4．选B ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 5．选C ∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题． 6．选C 当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1.7．选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C .8．选C 令g(x)＝f(x)－x ，则g ′(x)＝f ′(x)－1<0，∴g(x)在R 上单调递减，∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1. 又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2， 即x >2或x <－ 2.9．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 10．选D 5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2018＝2 015×1 009.故选D.11．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)， 又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)． 答案：(0,2)14．解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 215．解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}，∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p.所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p . 由此可得，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫c 1p ，＋∞上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ， 从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式a k>a k＋1>c 1p成立，则当n＝k＋1时，f(a k)>f(a k＋1)>f(c 1p)，即有ak＋1>a k＋2>c1p.所以n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>a n＋1>c 1p均成立.。

高中数学北师大版选修2-2第二章《习题2—4》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.了解导数概念的实际背景;
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义;
3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数;
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.
2学情分析
3重点难点
利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【讲授】导数的概念及其运算
知识梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作
f′(x0)= =li .
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
2.函数y=f(x)的导函数
(2)如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):f′(x)= ,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
3.基本初等函数的导数公式。