【含名校开学考6份试卷合集】河南省上蔡县第一初级中学2019年高二数学上学期开学考试试卷

2025届河南省上蔡县第一初级中学九年级数学第一学期开学达标测试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，将△ABC 折叠，使B 点与AC 的中点D 重合，折痕为EF ，则线段BF 的长是（ ）A ．B ．2C．D ．2、（4分）顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，这个四边形最可能是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3、（4分）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、（4分）已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为( )A ．17B ．13C ．17或13D ．105、（4分）体育课上，某班三名同学分别进行了6次短跑训练，要判断哪一名同学的短跑成绩比较稳定，通常需要比较三名同学短跑成绩的 （ ）A ．平均数B ．频数C ．方差D ．中位数6、（4分）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）A ．图象过点B ．图象与轴的交点是C ．随的增大而增大D ．函数图象不经过第三象限53166731623y x =-+()1,1-x ()0,3y x7、（4分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若BC=6，则DE 等于（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．68、（4分）已知：|a|=3，=5，且|a+b|=a+b ，则a﹣b 的值为（ ）A ．2或8 B ．2或﹣8 C ．﹣2或8 D ．﹣2或﹣8二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k=_______．10、（4分）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k 的取值范围为________.11、（4分）如果将一次函数的图像沿轴向上平移3个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为__________．12、（4分）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b=a （a ﹣b ）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x ＜13的解集为 ________.13、（4分）已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD=________度．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在的方格纸中，每一个小正方形的边长均为，点在格点上，用无刻度直尺按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．在图1中，以为边画一个正方形；在图2中，以为边画一个面积为的矩形（可以不在格点上）．233x k x x -=--132y x =+y 66⨯1,A B ()1AB ABCD ()2AB 5ABCD ,C D15、（8分）如图：、是锐角的两条高，、分别是、的中点，若EF=6，.（1）证明：；（2）判断与的位置关系，并证明你的结论；（3）求的长.16、（8分）已知△ABC 是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF 按如图所示放置，让三角尺在BC 所在的直线上向右平移．如图①，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角尺的斜边DF 上．(1)利用图①证明：EF ＝2BC ．(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH ＝BE 是否始终成立(假定AB ，AC 与三角尺的斜边的交点分别为G ，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．17、（10分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：小时）频数（人数）频率BE CF ABC ∆M N BC EF 24BC =ABE ACF ∠=∠EF MN MN0＜t≤220.042＜t≤430.064＜t≤6150.306＜t≤8a 0.50t ＞85b 请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a= ，b= ；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？18、（10分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求另一个根.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在菱形中，在菱形所在平面内，以对角线为底边作顶角是的等腰则_________________．20、（4分）如图，AD ∥EF ∥GH ∥PQ ∥BC ，AE ＝EG ＝GP ＝PB ，AD ＝2，BC ＝10，则EF ＋PQ 长为__________．x 230x mx --=m ABCD 30,A ∠=︒BD 120 ,BDE EBC ∠=21、（4分）如图，已知直线、相交于点，平分，如果，那么__________度．22、（4分）直线y=﹣2x+m﹣3的图象经过x 轴的正半轴，则m 的取值范围为．23、（4分）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长为____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某商场销售A,B 两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示A B 进价(万元/套) 1.51.2售价(万元/套) 1.651.4该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.(1)该商场计划购进A,B 两种品牌的教学设备各多少套?(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A 种设备的购进数量,增加B 种设备的购进数量,已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A 种设备购进数量至多减少多少套?25、（10分）如图，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长AB CD O OE BOC ∠50BOE ∠=︒AOC ∠=线于点F ，连接AC ，BF.（1）求证：△AB E≌△FCE；（2）当四边形ABFC 是矩形时，当∠AEC=80°，求∠D 的度数.26、（12分）已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点.求证：ABCD AD BC =P BD M AB N DC PMN PNM∠=∠参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据题意可得： ，在中，根据勾股定理可列出方程，解方程可得BF 的长.【详解】解： ， D 是AC 中点 折叠 设 在 中， 故选D.本题考查了翻折问题，勾股定理的运用，关键是通过勾股定理列出方程.2、A【解析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【详解】解：如图点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点，3CD =Rt DCF ∆C=90∠ 10,8AB BC ==∴6AC = ∴3AD CD == ∴DF BF =∴,8BF x CF x ==-Rt DCF ∆222DF CD CF =+∴()2298x x =+-∴7316x =∴7316BF =且四边形EFGH是正方形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∴EF=EH，EF⊥EH，∵BD=2EF，AC=2EH，∴AC=BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项A满足题意．故选：A．本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．3、A【解析】先把-1移到右边，然后两边都加4，再把左边写成完全平方的形式即可.【详解】∵，∴，∴，∴.故选A.本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4、A【解析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，3+3=6＜7，不能组成三角形；②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17，综上所述，这个等腰三角形的周长是17，故选：A ．本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．5、C 【解析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生6次短跑训练成绩的方差．【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生6次短跑训练成绩的方差．故选C ．本题考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义，属于基础题，比较简单．6、D 【解析】A 、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；B 、把y ＝0代入解析式求出x ，判断即可；C 、根据一次项系数判断；D 、根据系数和图象之间的关系判断．【详解】解：A 、当x ＝1时，y ＝1．所以图象不过（1，−1），故错误；B 、把y ＝0代入y ＝−2x ＋3，得x ＝，所以图象与x 轴的交点是（，0），故错误；C 、∵−2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故错误；D 、∵−2＜0，3＞0，∴图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故正确．3232本题主要考查了一次函数的图象和性质．常采用数形结合的思想求解．7、A 【解析】由D 、E 分别是AB 、AC 的中点可知，DE 是△ABC 的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE ．【详解】∵D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴ED=BC=1．故选A ．本题考查了三角形的中位线定理，用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．8、D 【解析】试题分析：利用绝对值的代数意义，以及二次根式性质求出a 与b 的值，即可求出a﹣b 的值．解：根据题意得：a=3或﹣3，b=5或﹣5，∵|a+b|=a+b ，∴a=3，b=5；a=﹣3，b=5，则a﹣b=﹣2或﹣1．故选D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、2【解析】由点（2，2）在正比例函数图象上，根据函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出k 值．【详解】12∵正比例函数y=kx 的图象经过点（2，2），∴2=k×2，即k=2．故答案为2．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．10、k <6且k≠1 【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．详解：，方程两边都乘以（x-1），得x=2（x-1）+k ，解得x=6-k≠1，关于x 的方程程有一个正数解，∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠1，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠1．故答案为k ＜6且k≠1．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键．11、【解析】根据一次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减进行平移即可得出答案．【详解】将一次函数的图像沿轴向上平移3个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为，即，233x k x x -=--233x k x x -=--162y x =+132y x =+y 1332y x =++162y x =+故答案为：．本题主要考查一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．12、x ＞﹣1【解析】解：3⊕x ＜13，3（3-x ）+1＜13，解得：x ＞-1．故答案为：x ＞﹣1 本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键．13、【解析】如图，在Rt △ADF 和Rt △AEF 中，AD=AE ，AF=AF ，∴≌（），故，因为是正方形的对角线，故，故∠FAD=22.5°，故答案为22.5.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）详情见解析；（2）详情见解析【解析】（1）观察图中AB ，可知AB 为以三个方格组成的矩形的对角线，据此根据方格的特点结合矩形的性质及正方形的判定定理进一步画出图形即可；（2）首先根据题意按照（1）中作法画出正方形ABEF ，结合题意可知其面积为10，据此，162y x =+22.5ADF ∆AEF ∆HL 12FAD FAE DAE ∠=∠=∠AC 45DAE ∠=我们只要利用矩形对角线互相平分且相等的性质找到AF 与BC 的中点，然后连接起来即可得出答案.【详解】（1）如图1中，正方形ABCD 即为所求：（2）如图2中，矩形ABCD 即为所求：本题主要考查了根据矩形及正方形性质进行按要求作图，熟练掌握相关概念是解题关键.15、（1）证明见解析；（2）MN 垂直平分EF，证明见解析；（3）MN ＝.【解析】（1）依据BE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，可得∠ABE ＋∠A ＝90°，∠ACF ＋∠A ＝90°，进而得出∠ABE ＝∠ACF ；（2）连接EM 、FM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM ＝FM ＝BC ，再根据等腰三角形三线合一的性质解答；（3）求出EM 、EN ，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：（1）∵BE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，∴∠ABE ＋∠A ＝90°，∠ACF ＋∠A ＝90°，12∴∠ABE ＝∠ACF ；（2）MN 垂直平分EF ．证明：如图，连接EM 、FM ，∵BE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，∴EM ＝FM＝BC ，∵N 是EF 的中点，∴MN 垂直平分EF ；（3）∵EF ＝6，BC ＝24，∴EM ＝BC ＝×24＝12，EN ＝EF ＝×6＝3，由勾股定理得，MN 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．16、（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．【解析】（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB =60°，AC =BC ．结合三角形外角的性质，得∠CAF =30°，则CF =AC ，从而证明结论；（2）根据（1）中的证明方法，得到CH =CF ．根据（1）中的结论，知BE +CF =AC ，从而证明结论．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．∵∠F =30°，∴∠CAF =60°－30°=30°，∴∠CAF =∠F ，∴CF =AC ，∴CF =AC =BC ，∴EF =2BC ．（2）成立．证明如下：1212121212=∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．∵∠F =30°，∴∠CHF =60°－30°=30°，∴∠CHF =∠F ，∴CH =CF ．∵EF =2BC ，∴BE ＋CF =BC ．又∵AH ＋CH =AC ，AC =BC ，∴AH =BE ．本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF =2BC 是解题的关键．17、（1）25；0.10；（2）补图见解析；（3）200人．【解析】（1）由阅读时间为0＜t ≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a 与b 的值即可；（2）补全条形统计图即可；（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），则a =50﹣（2+3+15+5）=25；b =5÷50=0.10；故答案为25；0.10；（2）阅读时间为6＜t ≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．18、（1）见解析；（2）-1.【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m 2+12≥12，由此即可得出结论．（2）将x=3代入原方程求出m 值，再将m 得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于-3可得．【详解】解：（1）∵在方程x 2-mx-3=0中，△=（-m ）2-4×1×（-3）=m 2+12≥12，∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根．（2）方法一：将x=3代入x 2-mx-3=0中，得：9-3m-3=0，解得：m=2，当m=2时，原方程为x 2-2x-3=（x+1）（x-3）=0，解得：x 1=-1，x 2=3，∴方程的另一根为-1．方法二：设方程的另一个根为a ，则3a=-3，解得：a=-1，即方程的另一根为-1．本题考查了根的判别式及根与系数的关系，掌握x 1+x 2=-，x 1•x 2=与判别式的值与方程的解得个数的关系是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、105°或45°【解析】根据菱形的性质求出∠ABD=∠DBC=75°利用等腰三角形的性质求出∠EBD=∠EDB=30°，再分点E 在BD 右侧时，点E 在BD 左侧时，分别求出答案即可.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD=BC=CD ，∠C=∠ABC=∠ADC=150°，∴∠ABD=∠DBC=75°，∵EB=ED ，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，当点E 在DB 左侧时，∠EBC=∠EBD+∠CBD=105°，当点在DB 右侧时，∠BC=∠CBD-∠BD=45°，故答案为：105°或45°.b ac a 30,A ∠=︒E 'E 'E '此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意分情况求解是解题的关键.20、1【解析】由AD ∥EF ∥GH ∥PQ ∥BC ，AE ＝EG ＝GP ＝PB ，可得GH 是梯形ABCD 的中位线，EF 是梯形AGHD 的中位线，PQ 是梯形GBCH 的中位线，然后根据梯形中位线的性质求解即可求得答案．【详解】∵AD ∥EF ∥GH ∥PQ ∥BC ，AE ＝EG ＝GP ＝PB ∴GH 是梯形ABCD 的中位线，EF 是梯形AGHD 的中位线，PQ 是梯形GBCH 的中位线∵AD ＝2，BC ＝10∴∴∴故答案为：1．本题考查了梯形中位线的问题，掌握梯形中位线的性质是解题的关键．21、1【解析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC 的度数，再根据邻补角的和等于11°求解即可．【详解】解：∵平分，，∴，∴,故答案为：1．本题考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，属于基础题．()162GH AD BC =+=()()114,822EF AD GH PQ GH BC =+==+=12EF PQ +=OE BOC ∠50BOE ∠=︒2250100∠=∠=⨯︒=︒BOC BOE 180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC22、m ＞1【解析】试题分析：根据y=kx+b 的图象经过x 轴的正半轴则b ＞0即可求得m 的取值范围．解：∵直线y=﹣2x+m﹣1的图象经过x 轴的正半轴，∴m﹣1＞0，解得：m ＞1，故答案为：m ＞1．23、【解析】根据折叠的性质，只要求出DN 就可以求出NE ，在直角△CEN 中，若设CN=x ，则DN=NE=8-x ，CE=4，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN 的长．【详解】设CN=x ，则DN=8-x ，由折叠的性质知EN=DN=8-x ，而EC=BC=4，在Rt △ECN 中，由勾股定理可知，即 整理得16x=48，所以x=1．故答案为：1.本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、 (1) A,B 两种品牌的教学设备分别为20套,30套; (2) 至多减少1套.【解析】（1）设A 品牌的教学设备x 套，B 品牌的教学设备y 套，根据题意可得方程组，解方程组即可求得商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备的套数；(2)设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由题意得不等式1.5（20-a ）+1.2（30+1.5a ）≤69，解不等式即可求得答案.【详解】（1）设A 品牌的教学设备x 套，B 品牌的教学设备y 套，由题意，得，解得：．答：该商场计划购进A 品牌的教学设备20套，B 品牌的教学设备30套；（2）设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由题意，得1.5（20-a ）+1.2（30+1.5a ）≤69，解得：a≤1．答：A 种设备购进数量至多减少1套．25、（1）见解析；（2）40°【解析】（1）根据矩形性质得出AB ∥DC ，推出∠1=∠2，根据AAS 证两三角形全等即可；（2）由四边形ABFC 是矩形可得AE =BE ，由外角额性质可求出∠ABE =∠BAE =40°，然后根据平行四边形的对角相等即可求出∠D 的度数.【详解】解：（1）如图．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC 即 AB∥DF，∴∠1=∠2，∵点E 是BC 的中点，∴BE=CE ．在△ABE 和△FCE 中，∠1＝∠2, BE ＝CE,∠3＝∠4,∴△ABE ≌△FCE （AAS ）．(2)∵四边形ABFC 是矩形，1.5 1.2660.150.29x y x y +=⎧⎨+=⎩2030x y =⎧⎨=⎩∴AF=BC，AE=AF ，BE=BC ，∴AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∵∠AEC=80°，∴∠ABE=∠BAE=40°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠ABE=40°.点睛：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质还是解答本题的关键.26、见解析.【解析】根据中位线定理和已知，易证明△NMP 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：∵是中点，是中点，∴是的中位线，∴，∵是中点，是中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∴.此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.1212P BD M AB PM ABD ∆12PM AD =P BD N DC PN BCD ∆12PN BC =AD BC =PM PN =PMN ∆PMN PNM ∠=∠。

上蔡县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.233．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．4．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．5．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-7． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1 D ．x=﹣8． 在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）A ．0B． C． D．9． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．30010．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38B ．20C ．10D ．911．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种12．单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一二、填空题13．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．14．一质点从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB 由A 到B ，第2次运动经过棱BC 由B 到C ，第3次运动经过棱CA 由C 到A ，第4次经过棱AD 由A 到D ，…对于N ∈n *，第3n 次运动回到点A ，第3n+1次运动经过的棱与3n ﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n 次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．15．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是 ．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．17．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．18．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.三、解答题19．已知函数f （x ）=xlnx ，求函数f （x ）的最小值．20．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．21．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx （a ∈R ）． （Ⅰ）若a=4，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）求||||PB PA ⋅的最值.23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .24．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(s i n ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆c b ,.上蔡县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．2．【答案】C【解析】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．3．【答案】A【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x故=，∴k=，∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，故选：A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．4．【答案】B【解析】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．5．【答案】D【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．6．【答案】A【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 7．【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2故抛物线的准线方程为x=﹣1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．8．【答案】C【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选C．【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．9．【答案】C解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有：++=390．故选：C．10．【答案】C【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，解得：a m=0或a m=2，若a m等于0，显然S2m﹣1==（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，解得m=10．故选C11．【答案】A【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．12．【答案】C【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．二、填空题13．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y2=5m得到y2=m要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是y2≥1得到m≥1∵椭圆方程中，m≠5m的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．14．【答案】D．【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为：A→B→C→A→D→B→A→C→D→A接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A…周期为9．∵质点经过2015次运动，2015=223×9+8，∴质点到达点D．故答案为：D．【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．15．【答案】4．【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（3，4），显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b时“=”成立，故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．16．【答案】．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．17．【答案】m≥2．【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．故答案为m≥2．18．【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴时，函数取得极小值，也是函数的最小值∴f（x）min===﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），又∵a1=1，∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=﹣1+2n；6分（2）由（1）可知b n=n（a n+1）=n•2n=n•2n﹣1，∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， 于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．则所求和为12nn 6分21．【答案】【解析】满分（14分）．解法一：（Ⅰ）当a=4时，f （x ）=4x 2+2x ﹣lnx ，x ∈（0，+∞），．…（1分）由x ∈（0，+∞），令f ′（x ）=0，得．xf ′（x ） ﹣+f （x ） ↘ 极小值 ↗ 故函数f （x ）在单调递减，在单调递增，…（3分）f （x ）有极小值，无极大值．…（4分） （Ⅱ），令f ′（x ）=0，得2ax 2+2x ﹣1=0，设h （x ）=2ax 2+2x ﹣1．则f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0等价于h （x ）在（0，1）有唯一的零点x 0 当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）当a ＞0时，由函数h （x ）图象的对称轴，函数h （x ）在（0，1）上单调递增，且h （0）=﹣1，h （1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a ＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；当a ＜0，△≠0时，由h （0）=﹣1， 只需h （1）=2a+1＞0，得．…（7分）综上，．…（8分）（说明：△=0未讨论扣1分）（Ⅲ）设t=1﹣x ，则t ∈（0，1），p （t ）=g （1﹣t ）=at 2+2t ﹣3﹣lnt ，…（9分），由，故由（Ⅱ）可知，方程2at 2+2t ﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x 0，且当t ∈（0，x 0）时，p ′（t ）＜0，p （t ）单调递减；t ∈（x 0，1）时，p ′（t ）＞0，p （t ）单调递增．…（11分）又p （1）=a ﹣1＜0，所以p （x 0）＜0．…（12分） 取t=e ﹣3+2a ∈（0，1），则p （e ﹣3+2a ）=ae ﹣6+4a +2e ﹣3+2a ﹣3﹣lne ﹣3+2a =ae ﹣6+4a +2e ﹣3+2a ﹣3+3﹣2a=a （e ﹣6+4a ﹣2）+2e ﹣3+2a ＞0， 从而当t ∈（0，x 0）时，p （t ）必存在唯一的零点t 1，且0＜t 1＜x 0， 即0＜1﹣x 1＜x 0，得x 1∈（0，1），且x 0+x 1＞1，从而函数g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，满足x 0+x 1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ），令f ′（x ）=0，由2ax 2+2x ﹣1=0，得．…（5分）设，则m ∈（1，+∞），，…（6分）问题转化为直线y=a 与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．又当m ∈（1，+∞）时，h （m ）单调递增，…（7分） 故直线y=a 与函数h （m ）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t →0时，p （t ）→+∞进行证明，扣1分）【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．22．【答案】（1）1222=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21.【解析】试题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），消去参数α得曲线C 的普通方程为1222=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x 代入1222=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,21[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. （10分）考点：参数方程化成普通方程．23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 21=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，∴CD AQ //，且CD AQ 21=，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 24．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有2223c bc a b -=-， 即bc a c b 3222=-+. 3分由余弦定理得：232cos 222=-+=bc a c b A ，又),0(π∈A ，故6π=A . 6分 （Ⅱ） ABC ∆33sin 21=∴A bc ，34=∴bc ①， 8分又由（Ⅰ）2223c bc a b -=-及,2=a 得1622=+c b ，② 10分 由 ①②解得32,2==c b 或2,32==c b . 12分。

2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1或4 B ．1 C ．4 D ．8 3.若角︒600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A. 34 B. 34-C. 34±D. 34.如果实数、满足条件 则的最大值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．35.若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知,则（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°9.为得到函数()x x x f 2sin 32cos +=，只需将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y （ ） A ．向左平移12π B ．向右平移127π C ．向左平移24π D ．向右平移247π 10.一艘轮船从出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛．如果下次航行直接从出发到，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ） A ．北偏东， B ．北偏东， C ．北偏东，D ．北偏东，11. 若，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是_________.14.已知0＜α＜β＜π，且，则tan （β－α）的值为 ．15.如图：边长为4的正方形的中心为，以为圆心，1为半径作圆．点是圆上任意一点，点是边上的任意一点（包括端点），则的取值范围为 ． 16. 给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；④若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；⑤函数的图像关于点成对称中心图形.其中正确命题的序号是 .三、解答题17. （本题满分10分）已知． （1） 化简；（2） 若，求的值；（3） 若，且，求的值．18. （本题满分12分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）. （1）若||，且，求的坐标；（2）若||=，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 19.（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小； （2）已知，的面积为，求边长的值．20.（本题满分12分）已知函数(其中)的周期为，其图象上一个最高点为.（1）求的解析式；（2）当时，求的最值及相应的的值.21. （本题满分12分） 已知函数21cos cos sin 3)(2--=x x x x f ，)(R x ∈ （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且3=c ，0)(=C f ，若A C A sin 2)sin(=+，求b a 、的值.22.（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角分别为向量()C A m sin 2,2cos 1-+=,()C A n cos ,tan = ,记函数()n m A f ⋅=,（1）若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积；（2）若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围．一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）BABDA DBADC AB二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16．②③⑤ 17、18、19、20、解析：21、（1）1)62sin(21)2cos 1(212sin 23)(--=-+-=πx x x x f ，)(x f 的最大值为0；最小正周期为π （2）01)62sin()(=--=πC C f ，解得3π=C ；又A B C A sin 2sin )sin(==+ ，由正弦定理21=b a ---------------①， 由余弦定理3cos 2222πab b a c -+=，即922=-+ab b a -------------②由①②解得：3=a ，32=b 。

上蔡县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）A ．0B ．C ．D ．2． 下列式子表示正确的是（ ）A 、{}00,2,3⊆B 、{}{}22,3∈C 、{}1,2φ∈D 、{}0φ⊆3． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ．4． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D5． 设函数，则有（ ）A ．f （x ）是奇函数，B ．f （x ）是奇函数， y=b xC ．f （x ）是偶函数D ．f （x ）是偶函数，6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．8． 已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）9． 已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．510．若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．411．已知曲线C 1：y=e x 上一点A （x 1，y 1），曲线C 2：y=1+ln （x ﹣m ）（m ＞0）上一点B （x 2，y 2），当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．e ﹣1D ．e+112．如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题13．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）=其中a ，b ∈R ．若=，则a+3b 的值为 ．14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1，内，则正整数k的值为________．k k+15．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）16．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．17．数列{ a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋c（c为常数），{a n}的前10项和为S10＝200，则c＝________．18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是．三、解答题19．函数。

上蔡县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点，若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）A ．+=1B ．+y 2=1 C ．+=1D ．+=12． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或D ．或3． 已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．x 3＞y 3D ．sinx ＞siny4． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．25． 函数y=（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（ ）A ．（，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，）D ．（﹣∞，2）6． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47． 过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ）A ．2x+y ﹣5=0B ．2x ﹣y+1=0C ．x+2y ﹣7=0D ．x ﹣2y+5=08． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．9． 已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣210．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题13．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= ．14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．15．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．16．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．17．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．18．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．三、解答题19．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式；（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．20．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．21．设函数f （x ）=lnx ﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g （x ）=x 2﹣2bx ﹣，若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]，使f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数b 的取值范围．22．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.（1）当1a b ==时，求满足()3xf x =的x 的取值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333xx f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.23． 定圆22:(16,M x y +=动圆N 过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程.24．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．上蔡县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：∵△AFB的周长为4，1∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．【答案】C【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，离心率e=．焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，离心率e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．3．【答案】C【解析】解：∵实数x、y满足a x＜a y（1＞a＞0），∴y＜x．对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确；对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立；对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确；对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．故选：A．【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．5．【答案】B【解析】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得x＜2，或x＞3，故函数y=（x2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），故选B．6．【答案】A【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），∴a n=5t2﹣4t=﹣，∴a n∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．∴q﹣p=2﹣1=1，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【答案】A【解析】解：联立，得x=1，y=3，∴交点为（1，3），过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，解得c=﹣5，∴直线方程是：2x+y﹣5=0，故选：A．8．【答案】D第Ⅱ卷（共90分）9． 【答案】B 【解析】解：向量，向量与平行，可得2m=﹣1． 解得m=﹣．故选：B ．10．【答案】A【解析】解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i ， ∴z==﹣1+i故选A ．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．11．【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A. 考点：三视图【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 12．【答案】D 【解析】试题分析：由已知()2sin()6f x x πω=+，T π=，所以22πωπ==，则()2sin(2)6f x x π=+，令 2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，可知D 正确．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．14．【答案】 ．【解析】解：由方程组解得，x=﹣1，y=2故A （﹣1，2）．如图，故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x 2）dx ﹣∫﹣11（﹣4x ﹣2）dx=﹣（﹣4）=故答案为：【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．15．【答案】．【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角，∴tan（α﹣β）===，解得：tanα=1，∴α=．故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．16．【答案】．【解析】解：如图所示，分别取AC，A1C1的中点O，O1，连接OO1，取OE=1，连接DE，B1O1，AE．∴BO⊥AC，∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直棱柱．由直棱柱的性质可得：BO ⊥侧面ACC 1A 1． ∴四边形BODE 是矩形． ∴DE ⊥侧面ACC 1A 1．∴∠DAE 是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角，为α，∴DE==OB ．AD==．在Rt △ADE 中，sin α==．故答案为：．【点评】本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】1ln 2 【解析】 试题分析：()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 18．【答案】 （﹣1，1] ．【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．故答案为：（﹣1，1]三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，不等式即为﹣1≤x+＜≤1，解得﹣≤x＜﹣1，即解集为[﹣，﹣1）；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只须，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．20．【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，∴O为BD的中点，又∵F为BE中点，∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，∴DE∥平面ACF．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．21．【答案】【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）（Ⅱ）=（6分）令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=（9分）若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，等价于g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，e]上的最小值（*） （10分）又，x ∈[0，1]①当b ＜0时，g （x ）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾②当0≤b ≤1时，，由及0≤b ≤1得，③当b ＞1时，g （x ）在[0，1]上为减函数，，此时b ＞1（11分）综上，b 的取值范围是（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，转化为g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，e]上的最小值．22．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6【解析】试题解析：（1）由题意，131331x xx +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133x x=-=舍或，所以1x =-（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1{ 3a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()13133x x f x +-+=+①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有：()()()()211212121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减．因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，即220t t k +-<在时有解所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞②因为()()()12333x xf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-即()33xxg x -=+所以()()222233332x x x xg x --=+=+-不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()()23323311x xx x m --+-≥⋅+-，即：93333x xx xm --≤+++恒成立 令33,2x xt t -=+≥，则9m t t≤+在2t ≥时恒成立令()9h t t t =+，()29'1h t t=-，()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

2019-2020学年河南省驻马店市上蔡县黄埠镇第一中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为，那么其表面积最小时的底面边长为（）A． B． C． D．参考答案：B2. 在等差数列{a n}中，若a2＋0a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－·a8的值为 ()A.4B.6C.8D.10参考答案：C3. 如图，F1,F2分别是椭圆 (a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以｜OF1｜为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.参考答案：D略4. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度参考答案：A5. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的半径为（）A．B．C． D．参考答案：C6. 随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1参考答案：C【考点】概率的基本性质．【分析】利用随机事件的定义，结合概率的定义，即可得到结论．【解答】解：∵随机事件是指在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件∴随机事件A发生的概率的范围0＜P（A）＜1当A是必然事件时，p（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0故选C．7. 有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为A．5，10，15，20，25 B．5，15，20，35，40 C．5，11，17，23，29 D．10，20，30，40，50参考答案：D略8. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C北偏东，灯塔B 在观察站C南偏东，则A、B之间的距离是（）A．a km B． km C． km D．2a km参考答案：A9. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15， 17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：D【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题．10. 已知椭圆，则( )A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.参考答案：3412. 不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是．参考答案：?【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为x2﹣2x+3＜0，计算△＜0，判断原不等式的解集是?．【解答】解：不等式﹣x2+2x﹣3＞0化为x2﹣2x+3＜0，△=4﹣4×1×3=﹣8＜0，不等式对应的方程无实数解，所以原不等式的解集是?．故答案为：?．13. 椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）14. 经过点M(3，-l)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为．参考答案：15. 若函数,则．参考答案：e16. 在△中，若°，°，，则_______.参考答案：17. “”是“”的条件（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）.参考答案：既不充分也不必要略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

上蔡县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，a n=f（n），则a2017等于（）A．2017 B．﹣8 C．D．N ，则输出的S的值是（）2．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.3．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A ．B ．C ．D ．4． 若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 5． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） A．B．C．D．6． 已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ． 7． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°8． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．3 9． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB10．sin （﹣510°）=（ ） A．B．C．﹣ D．﹣11．已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 12．直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在二、填空题13．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．14．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线xC y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．15．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是__________________.16．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．17．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．18．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．三、解答题19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =P ABD -的体积3V =，求A 到平面PBC 的距离.111]20．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？21．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点（1）求证：直线AF∥平面BEC1（2）求A到平面BEC1的距离．22．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．23．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．24．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若首项a1=10，证明数列{a n}为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列{a n}为递增数列，求首项a1的最小值．上蔡县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．2． 【答案】B3． 【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2． 故答案为：C 4． 【答案】B 【解析】试题分析：直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ，直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，解得定点()1,3，当点（3,1）是弦中点时，此时弦长AB 最小，圆心与定点的距离()()5123122=-+-=d ，弦长545252=-=AB ,故选B.考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 1111]5． 【答案】C【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：a ，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C6． 【答案】C考点：平面向量数量积的运算． 7． 【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．8． 【答案】B 【解析】考点：等比数列前项和的性质. 9． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ． 故选D10．【答案】C【解析】解：sin （﹣510°）=sin （﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C ．11．【答案】B【解析】由题意设()()e sin xg x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2x π∈时恒成立，而'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e co s 0xh x x =≥，所以()h x 在[0,]2π上递增，所以21()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2e k π≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2π上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π<<时，()g x '为一个递增函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02g k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．12．【答案】C【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，则θ为钝角．故选：C．二、填空题13．【答案】a≤0或a≥3．【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，∴B⊆A，则有a+1≤1或a≥3，解得：a≤0或a≥3，故答案为：a≤0或a≥3．14．【答案】－4－ln2【解析】点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

2023～2024年度上学年河南名校高二年级第一次联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册至选择性必修第一册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，则B 的坐标为（）．A.()0,3,6 B.()2,0,6 C.()2,3,0 D.()2,0,3【答案】B 【解析】【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影点的坐标.【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影为点()2,0,6B 故选：B2.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200件、300件、400件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取了45件进行检验，则抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为（）．A.30B.15C.20D.25【答案】D 【解析】【分析】根据分层抽样的方法分别求出甲、乙种型号产品的数量.【详解】由题意得，根据分层抽样的方法抽取的甲型号产品的数量为2004510200300400⨯=++，乙种型号产品的数量为3004515200300400⨯=++，抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为101525+=．故选：D 3.若3i1iz -=+，则z z +=（）．A.2-B.2i- C.2D.2i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再结合共轭复数的意义及复数加法求解作答.【详解】依题意，(3i)(1i)24i 12i (1i)(1i)2z ---===-+-，12i z =+，所以2z z +=.故选：C4.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A 表示“掷出的点数大于2”，则与A 互斥且不对立的事件是（）．A.掷出的点数为偶数B.掷出的点数为奇数C.掷出的点数小于2D.掷出的点数小于3【答案】C 【解析】【分析】根据已知写出对应事件的基本事件，根据互斥、对立概念判断各项与事件A 的关系.【详解】由题意，{1,2,3,4,5,6}Ω=，而事件{3,4,5,6}A =，“掷出的点数为偶数”对应基本事件有{2,4,6}，与A 不互斥，“掷出的点数为奇数”对应基本事件有{1,3,5}，与A 不互斥，“掷出的点数小于2”对应基本事件有{1}，与A 互斥且不对立，“掷出的点数小于3”对应基本事件有{1,2}，与A 对立．故选：C5.已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为8π5的扇形，则该圆锥的体积为（）．A.48πB.45πC.16πD.15π【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.【详解】设该圆锥的母线长为l ，高为h ，由8π2π45l ⋅=⨯，得5l =，则3h ==，所以该圆锥的体积为21π4316π3⨯⨯=．故选：C6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，13AA =，60BAC ∠=︒，11120A A AC A B =∠=∠︒，1B C 与1BC 的交点为M ，则AM =（）．A.12B.54C.32D.4【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得1111222AM AB AC AA =++，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解.【详解】由题意得()11111111112222222AM AC CM AC CB CC AC AB AC AA AB AC AA =+=++=+-+=++，所以AM ==32==.故选：C.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =，点D 在棱BC 上运动，若1AD DB +棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.20πD.32π【答案】A【解析】【分析】利用展开图结合余弦定理求得1BB ，取111,A A C C B B 的中心分别为M ，N ，则MN 的中点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，进而利用勾股定理求得外接球的半径，进而可得答案.【详解】如图，将ABC 与矩形11BB C C 展开至同一平面，易知1150ABB ∠=︒.设1BB x =，由题意知1AD DB +的最小值为1AB ，即1AB =.由余弦定理可得22211112cos AB AB BB AB BB ABB =+-⋅∠，即2310x x +-=0，解得2x =或5x =-（舍去）.取111,A A C C B B 的中心分别为M ，N ，连接MN ，则MN 的中点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，设ABC 的外接圆的半径为r ，则22sin 60ABr ==︒，即1r =，设三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，在OMA 中，1,1,12AA OA R OM AM ====,则222122AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24π8πR =.故选：A.8.已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（）．A.467B.477C.487D.7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()1,2,5u =- 是直线l 的一个方向向量，()2,4,n a =-是平面α的一个法向量，则下列说法正确的是（）．A.若//l α，则2a =B.若//l α，则10a =-C.若l α⊥，则2a =D.若l α⊥，则10a =-【答案】AD 【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.【详解】若//l α，则u n ⊥，得2850a --+=，得2a =，A 正确，B 错误．若l α⊥，则u n//，得422521a -===--，得10a =-，C 错误，D 正确．故选：AD10.河南省地理条件优越，是我国的粮食主要产区之g ，素有“中原粮仓”之称．2018～2022年河南省粮食产量如图所示，则（）．2018～2022年河南省粮食产量图A.2018～2022年河南省粮食产量的极差为282万吨B.在2019～2022年这4年中，2022年河南省粮食产量的增长速度最大C.2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6695万吨D.2018～2022年河南省粮食产量的60％分位数为6742万吨【答案】ABD 【解析】【分析】根据极差、百分位数的定义，结合粮食产量图逐一判断即可.【详解】A ：由图可知2018～2022年河南省粮食产量的极差为68266544282-=万吨，本选项正确；B ：由图可知2022年河南省粮食产量的增长速度最大，本选项正确；CD ：2018～2022年河南省粮食产量从小到大依次为6544万吨，6649万吨，6695万吨，6789万吨，6826万吨，因为50.3 1.5⨯=，50.63⨯=，所以2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6649万吨，60％分位数为6695678967422+=万吨．选项C 不正确，选项D 正确，故选：ABD11.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A OD B --，在图2中，则（）．A.3AB =B.点D 到直线AB 的距离为33C.点D 到平面ABM 的距离为1414D.平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为147【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，求出图1中点,,,A B D M 的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点,,,A B D M 的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得1,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则10,,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,1,1AB =-，得3AB = ，A 正确．取()1,0,0a DB == ，()33331,1,13333AB u AB ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21a =，3a u ⋅=，所以点D 到直线AB3=，B 错误．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =r，110,,32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即011032x y z y z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取3y =，则2z =，=1x -，所以平面ABM 的一个法向量()1,3,2n =-，所以点D 到平面ABM的距离为14DB n n ⋅==，C 正确．平面OBD 的一个法向量为()0,0,1m =，则平面OBD 与平面ABM夹角的余弦值为7m n m n ⋅== ，D 正确.故选：ACD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足AP AB AD λμ=+，[],0,1λμ∈，E ，F分别为1DD ，BC 的中点，则下列结论正确的是（）．A.当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的平面截该正方体所得的截面为五边形B.当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的平面截该正方体所得的截面面积为C.当1A P=PC 的最小值为1D.当1A P =PC 的【答案】BCD 【解析】【分析】取11111,,,A D A B D BB C 的中点，并与点,E F 顺次连接得正方体的截面，证明1A P 平行于此截面即可判断AB ；当1A P =P 的轨迹求解判断CD 作答.【详解】如图，连接AC ，BD ，11B D ，当12λμ==时，12AP AC = ，分别取11111,,,A D A B D BB C 的中点,,,G J I H ，连接,,,,,EG GF F HI H IJ JE ，过点,E F 的截面为六边形EGFHIJ ，正方体1111ABCD A B C D -对角面11BDD B 是矩形，则1111//,BD B D BD B D =，于是11//////IJ B D BD GF ，111122IJ B D BD GF ===，同理//EG HI ，//FH JE ，EG GF FH HI IJ JE =====，则六边形EGFHIJ 为正六边形，设AC 与GF 的交点为M ，设11A C 与IJ 的交点为N ，连接FN ，MN ，由1111//,=A C AC A C AC ，得1//A N PM ，1111144A N A C AC PM ===，则四边形1A NMP 为平行四边形，于是1//A P MN ，又MN ⊂平面FMN ，1A P ⊄平面FMN ，因此1//A P 平面FMN ，当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的截面为六边形EGFHIJ ，该截面面积为1622⨯=，A 错误，B 正确；由1A P =1AP ==，点P 在底面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心、圆心角为π2、半径为1的圆弧，如图，当,,A P C 三点共线时，PC 取最小值1AC AP -=，显然PC =CD 正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,2a = ，()1,1b =- ，()1,4c =- ，若()//a b c λ+，则λ=__________．【答案】2【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合共线向量的坐标表示公式进行求解即可.【详解】由题意得()1,2a b λλλ+=-+，因为()//a b c λ+ ，所以()()1241214λλλλ-+=⇒-=-+-，得2λ=．故答案为：214.现有3张分别标有1、3、5的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出2张卡片，则抽到的2张卡片的数字之和不小于8的概率是__________．【答案】13【解析】【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设事件A 为“抽到的2张卡片的数字之和不小于8”，则这个试验的样本空间可记为()()()()()()()()(){}1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,5,1,5,3,5,5Ω=，共包含9个样本点，事件A 包含的样本点有：()3,5、()5,3、()5,5，包含3个样本点，所以()3193P A ==．故答案为：13.15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2Ba a c =+，则A =__________．【答案】π2【解析】【分析】根据正弦定理，结合降幂公式、两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】由正弦定理得22sin cossin sin 2BA A C =+，则1cos 2sin sin sin 2B A AC +⋅=+，得sin sin cos sin sin A A B A C +=+，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，即cos sin 0=A B ．因为0πB <<所以sin 0B >，因此cos 0A =．又0πA <<，所以π2A =．故答案为：π216.在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，G 为PAC △的外心，D 为直线BC 上的一动点，设直线AD 与BG 所成的角为θ，则θ的取值范围为__________．【答案】ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设CD CB λ= ，则()2229cos 161λθλλ=-+，求出2cos θ的范围，从而得到θ的取值范围.【详解】不妨设2PA AB ==，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则()0,0,0A，)B ，()0,2,0C ，()002P ,,，由题意得G 为PC 的中点，所以()0,1,1G ．设CD CB λ= ，R λ∈，得))1,0,,0CD λλ=-=- ，则()))0,2,0,,0,2,0AD AC CD λλ=+=+-=- ，因为()BG = ，所以()222229cos 161AD BG AD BG λθλλ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪=== ⎪-+⎝⎭ ．当0λ=时，cos 0θ=．当0λ≠时，2229993cos 31141131616116424θλλλ==≤=⎛⎫⎡⎤⎛⎫⨯-+ ⎪-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得30cos 2θ<≤．综上，0cos 2θ≤≤，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ62θ≤≤．故答案为：ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量24p a b c =-- ，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，用基底{},,a b a b c +- 表示向量p ．【答案】()()13422p a b a b c =-++-- 【解析】【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+ ，又24p a b c =-- ，根据对应系数相等列方程组求解即可.【详解】设()()p x a b y a b zc =++-+ ，则()()24p x y a x y b zc a b c =++-+=-- ，所以124x y x y z +=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，得12324x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩．故()()13422p a b a b c =-++-- ．故答案为：()()13422p a b a b c =-++-- 18.小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照()0,4，[)4,8，[)8,12，[)12,16，[)16,20，[]20,24分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）求通话时间在区间[)4,12内的通话次数；（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）0.04a =（2）40（3）7.28分钟【解析】【分析】（1）根据频率之和为1列方程来求得a .（2）先求得通话时间在区间[)4,12内的频率，从而求得通话时间在区间[)4,12内的通话次数.（3）根据频率分布直方图求得平均数的求法求得正确答案.【小问1详解】由()0.10.060.020.020.0141a +++++⨯=，得0.04a =．【小问2详解】因为通话时间在区间[)4,12内的频率为()0.060.0440.4+⨯=，所以通话时间在区间[)4,12内的通话次数为1000.440⨯=．【小问3详解】这100次通话的平均时间的估计值为:()20.160.06100.04140.02180.02220.0147.28⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分钟．19.如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，4AB =，2AC =.（1）求sin ABC ∠的值；（2）过点A 作AD AB ⊥，D 在边BC 上，记ABD △与ACD 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的值.【答案】（1）10（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理可得BC ，由正弦定理可得sin ABC ∠；（2）求出cos ABC ∠，由AD AB ⊥可求得cos AB BD ABC =∠，进而得CD ，由12S BD S CD =求得结果.【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，则216824402BC ⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，故BC =.由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，则sin sin .10AC BAC ABC BC ⋅∠∠==【小问2详解】因为135BAC ∠=︒，所以090ABC ︒<∠<︒，因为10sin 10ABC ∠=，所以310cos 10ABC ∠=.因为AD AB ⊥，所以cos AB ABC BD ∠=，所以410cos 3AB BD ABC ==∠，则3CD BC BD =-=.设点A 到直线BC 的距离为d ，因为112S BD d =⋅，212S CD d =⋅，所以122S BD S CD ==.20.如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD ，其中ECD 是边长为2的正三角形，BCD △是以BDC ∠为直角的等腰三角形，AB =.（1）证明：//AE 平面BCD .（2）求平面ACE 与平面BDE 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21919【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】取CD 的中点F ，连接EF ，BF .因为ECD 是边长为2的正三角形，所以EF CD ⊥，且3E F 因为平面ECD ⊥平面BCD ，且平面ECD 平面BCD CD =，EF ⊂平面ECD ，所以EF ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB EF ∥.因为3AB EF ==ABFE 为平行四边形，所以AE BF ∥.因为AE ⊄平面BCD ，BF ⊂平面BCD ，所以AE ∥平面BCD .【小问2详解】过点B 作BP CD ∥，以B 为坐标原点，分别以BP ，BD ，BA的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(003A ,,，()0,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，(1,3E ，故(2,2,3AC = ，(3CE =-uur ，()0,2,0= BD ，(1,3BE = .设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11111223030m AC x y z m CE x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令123x =，得()3,3,2m = .设平面BDE 的法向量为()222,,x n y z = ，则222220230n BD y n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令23x =，得)3,0,1n =- .设平面ACE 与平面BDE 的夹角为θ，则19cos cos ,192123419n m m n n m θ⋅===++ .21.A ，B ，C ，D 四人参加双淘汰赛制比赛．在第一轮的两场比赛中，A 对B ，C 对D ，这两场比赛的胜者进入优胜组，负者进入奋斗组．第二轮的两场比赛分别为优胜组和奋斗组的组内比赛，奋斗组中的胜者与优胜组中的负者均进入超越组，奋斗组中的负者直接被淘汰，优胜组中的胜者进入卓越组，第三轮比赛为超越组组内比赛，胜者进入卓越组，负者为季军．第四轮比赛为卓越组组内比赛，胜者为冠军，负者为亚军，每轮比赛都相互独立．（1）设A ，B ，C ，D 四人每轮比赛的获胜率均为12．①求A 和B 都进入卓越组的概率；②求D 参加了四轮比赛并获得冠军的概率．（2）若B 每轮比赛的获胜率为23，A ，C ，D 三人水平相当，求A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的概率．【答案】（1）①18；②18；（2）7108.【解析】【分析】（1）①分析A 和B 在第二轮、三轮的比赛结果，再利用相互独立事件的概率公式计算作答；②按照D 在第一轮的胜负分类，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（2）由题意可得A ，C 在第一轮比赛中均获胜进入第二轮，按负者与B 、D 比赛并获胜分类求解作答.【小问1详解】①若A 和B 都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，则A 和B 都进入卓越组的概率为11112228⨯⨯=．②D 参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种：第一种情况：D 在C ，D 组内比赛获胜，D 进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其概率为11111222216⨯⨯⨯=；第二种情况：D 在C ，D 组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，其概率为11111222216⨯⨯⨯=，所以D 参加了四轮比赛并获得冠军的概率为11116168+=．【小问2详解】A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的情况有两种：第一种情况：A ，C 在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D 比赛并获胜，其概率为11111323236⨯⨯⨯=；第二种情况：A ，C 在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B 比赛并获胜，其概率为11211323327⨯⨯⨯=，所以A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的概率为1173627108+=．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAB ，π2ABC PAB BCD ∠=∠=∠=，22PA AB BC CD ====，点M ，N 分别在线段PB ，AC 上．（1）当M ，N 分别是PB ，AC 的中点时，证明：AB MN ⊥．（2）当MN 的长度最小时，求直线PB 与平面AMN 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EN ，EM ，证得AB EN ⊥，AB EM ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面EMN ，进而证得AB MN ⊥；（2）证得PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，设()0,2,2AN AC λλλ== ，()2,2,0PM PB μμμ==- ，根据MN 的长度最小时，列出方程求得12,33λμ==，进而求得平面AMN 的一个法向量()2,1,1n =--，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，取AB 的中点E ，连接EN ，EM ，因为,M N 分别是,PA AC 的中点，所以//EN BC ，//EM AP ，又因为AB BC ⊥，AB AP ⊥，所以AB EN ⊥，AB EM ⊥，因为EN EM E = ，且,EN EM ⊂平面EMN ，所以AB ⊥平面EMN ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以AB MN ⊥．【小问2详解】解：因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ⋂平面PAB AB =，PA AB ⊥且PA ⊂平面ABP ，所以PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,AP AB 所在的直线分别为x 和y 轴，以过点A 垂直与平面ABP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()0,2,2C ，()2,0,0P ，所以()0,2,2AC = ，()2,0,0AP = ，()2,2,0PB =- ．设()0,2,2AN AC λλλ== ，()2,2,0PM PB μμμ==- ，[],0,1λμ∈，()22,22,2NM NA AP PM μμλλ=++=--- ．当MN 的长度最小时，即MN 是直线AC ，PB 的公垂线，则444044440NM AC NM PB μλλμμλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，解得12,33λμ==，此时24,,033AM AP PM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，220,,33AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则2403322033n AM x y n AN y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取1y =，则2x =-，1z =-，可得平面AMN 的一个法向量()2,1,1n =--，设直线PB 与平面AMN 所成角为θ，则3sin cos ,2n PB n PB n PBθ⋅=== ，因为π(0,2θ∈，所以π3θ=，即直线PB 与平面AMN 所成的角为π3.。