柯西不等式练习题

（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。

（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。

2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。

x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。

（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。

4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。

（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。

5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。

7x y z6.（093x 5 。

宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。

7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。

（1）求证：当a 0时，x 9。

（2）当x 5时，求实数a的最值。

8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。

1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。

9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。

11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。

2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。

（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。

新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解）柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当cd ab=取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A ．B ．4C ．D ．5 2．若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 4．已知正数,x y 满足811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．105．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．106．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是( )A ．B ．263C ．4D ．153 8．若直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ）A．9B ．8C ．3+D ．4+ 9．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y+=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y+=______2x y +的最小值为 ______．参考答案1．C【解析】试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．解：∵a+b=2，∴=1 ∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立） 故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．2．A【解析】【分析】由直线过点()1,2，可得121a b+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,2， 所以121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=， 当且仅当4b a a b =，即2,4a b ==时等号成立. 故选：A【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题.3．D【解析】试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n=时等号成立，取得最小值8考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值4．A【解析】【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值 【详解】 811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y x x y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 5．A【解析】【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解.【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A【解析】【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值，即可得解. 【详解】解：0x 、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时， 等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7．D【解析】【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】 解：圆222610x y x y ++-+=，22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称， ∴该直线经过圆心(1,3)-，把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>，得：330a b --+=33a b ∴+=，0a >，0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选：D ．【点睛】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用． 8．A 【解析】【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系，用“1”的代换把2za b +凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，∴121a b+=，∴12222(2)()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时等号成立，∴2+a b 的最小值为9．故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．9．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 10．8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=， 因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题11．9【解析】【分析】利用 “1”的代换，将x y +化为45x y y x++，进而利用基本不等式求最小值即可； 【详解】∵x ，y 是正数，且141x y+=∴()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =即2y x =（此时3x =，6y =）时取等号；故x y +的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了利用基本不等式中“1”的代换求最值，注意不等式中等号成立的条件，属于简单题；12．1，3+【解析】试题分析：由()222log log log x y x y +=+得且，所以，2x y +=(2x y +),当且仅当时取得等号考点：基本不等式。

柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理，它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。

练习题一：设a、b、c、d为实数，求证：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得：4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得：4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得：3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得：3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数，所以左边大于等于0，右边也大于等于0，因此不等式成立。

练习题二：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得：3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得：2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

练习题三：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】 实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是【例2】 已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是【例3】 函数y =,此时x =【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r ++.2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.25. 设,,a b c 为互不相等的正整数,求证:221112323b c a ++++.第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n aa a ab b b b a b a ba b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是 . 【解析】【解法1】由柯西不等式得()2224132(2)32x yx y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭故211(2)6116x y +⨯= 211,x y ∴+2x y ∴+【解法2】万能k 法222,2,32(2)6x y k y k x x k x +==-+-=令()2222232446,118260x k kx x x kx k +-+=-+-=Δ0,1111.k -【解法3】2222326,1,23x y x y +=+= 令2x y z +=，直线20x y z +-=与椭圆相切时有最值由硬解定理（见圆锥曲线）得22430z ⨯+-=，z =【解法4】三角换元221,,,23x y x y αα+===令辅助角公式()αααϕ=+【例2】已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是 . 【解析】【解法1】实数,x y 4=,由柯西不等式可得,()()2212311(2111),x y x +++++⨯+即44816x y ++,求得2x y +,2==时,取等号, 故x y +的最小值是2.【解法2】4=,2213,,22a b a b x y --====, 题目转换为4a b +=,求()22221312222a b a b --+=+-的最小值, 地位等价法,()22221312,2 2.222a b a b a b --==+=+-=【解法3】4=,2213,,,422a b a b x y a b --====+=,()22222131()2162222622222a b a b ab ab a b ab --+--+=+-=-=-=- 26 2.2a b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】2.【例3】函数y =,此时x = .【解析】由柯西不等式得2222251(5211x ⎡⎤⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦2269∴⨯,326x ∴,当且仅当1=,取等号,即25152x =时,取等号.【答案】25152. 【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值. 【解析】(1)证明:()()222222()()0,a b cd ac bd ad bc ++-+=-()()22222()a b c d ac bd ∴+++.(2)由柯西不等式可得()2222211(31a ⎡⎤++++⎣⎦.21,10,3a b a +=∴∴.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -. 【解析】(1),,x y z ∈R ,且1x y z ++=,由柯西不等式可得()222222111(1)(1)(1)x y z ⎡⎤++-++++⎣⎦2(111)4x y z -++++=,可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++, 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)证明：由1x y z ++=,柯西不等式可得()22222222111(2)(1)()(21)(2)x y z a x y z a a ⎡⎤++-+-+--+-+-=+⎣⎦,可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-, 即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +,由题意可得2(2)133a +,解得1a -或3a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r++.【解析】(1)解:()()12123x x x x ++-+--=,当且仅当12x -时,等号成立,()f x ∴的最小值为3,即3a =.(2)证明:由(1)知,3p q r ++=,又,,p q r 为正实数,∴由柯西不等式得,()()2222222111(111)pq r p q r ++++⨯+⨯+⨯22()39p q r =++==,即22p q +23r +2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.【解析】证明:正数,,a b c 满足111,1abc a b c ab bc ac =++∴++=,再由柯西不等式可得()211149(123)36ab bc ac ab bc ac ⎛⎫++++++=⎪⎝⎭,当且仅当231a b c ===、、时,取等号,故4936ab bc ac ++成立.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为.【解析】由柯西不等式得,()()22222()ma nb mn a b +++,()222225,5,5,ab ma nb m n m +=+=∴+∴4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.2【解析】设椭圆的长半轴为a ,双曲线的实半轴为11,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-,(1)在椭圆中,(1)化简为即2212443c a r r =-,即122213114r r c e =-,(2)在双曲线中,(1)化简为即2211244c a r r =+,即12222114r r c e =-+,(3)联立(2)(3)得,2212134e e +=,由柯西不等式得22212121131113e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即21211443e e ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭163=,即12111643e e +=,当且仅当12e e ==时取等号.故1211e e +最大值为. 【解法2】设椭圆的长半轴为1a ,双曲线的实半轴为112,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()()()222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-,由12112222r r a r r a +=⎧⎨-=⎩,得1121212121211,r a a a a r r a a e e c c =+⎧+∴+==⎨=-⎩,令221122222121222211144413124r r m c r r r r r rr r r r ====+-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当2112r r =时,1max?max?16,3r m c ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭, 即1211e e +的最大值为. 【解法3】设12,PF m PF n ==,则1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩,则12a a m+=,则121211a a m e e c c ++==,由正弦定理得()2sin60sin 120m c θ=-即()()2sin 12044120sin6033m c θθ-==-=. 【答案】A.5.设,,a bc 为互不相等的正整数,求证:221112323b ca ++++.【解析】证明:由柯西不等式可得211149b c a a b c ⎛⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,即为21111112349b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当222149ab c ==,即有1,2,3a b c ===时,上式取得等号. 故不等式221112323b c a ++++成立.。

高二数学柯西不等式试题1.设正数,(1)满足，求证：；(2)若，求的最小值。

【答案】（1）不等式的证明，可以运用均值不等式来得到证明。

（2）根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。

【解析】⑴证明：（利用柯西不等式）⑵根据题意，由于，那么，在可以根据均值不等式同时取得等号得到其最小值为【考点】均值不等式点评：主要是考查了不等式的证明以及最值的求解，属于中档题。

2.若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．x1y1＋x2y2B．x1x2＋y1y2C．x1y2＋x2y1D．【答案】A【解析】依题意取x1=，x2=，y1=，y2=。

计算x1y1＋x2y2=，x1x2＋y1y2=，x 1y2＋x2y1=，故选A。

【考点】本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。

点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。

3.（本题12分）已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d=3，a2＋2b2＋3c2＋6d2=5，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）应用柯西不等式，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2，推出。

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2【考点】本题主要考查柯西不等式的应用，不等式的证明。

点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。

4.（本小题满分13分）已知实数满足，且的最大值是7，求的值．【答案】.【解析】本题是考查柯西不等式的应用.根据柯西不等式：,可得出的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.解：由柯西不等式：. …………………6分因为所以，即. ……………………9分因为的最大值是7,所以，得，……………………10分当时，取最大值，所以.…………………13分5.观察下列式子, ….则可归纳出.【答案】(n∈N*)【解析】解：因为观察下列式子, ….则可归纳出(n∈N*)成立。

柯西不等式与平均值不等式训练题1一．选择题（共20小题）1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．42．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值64．（2015•上海）已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A．a2+b2有最小值B．有最小值C．有最大值 D．有最大值5．（2015•浙江）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．6．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．27．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1 C．2 D．49．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在10．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．312．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+213．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．414．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]15．已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A．B．C．3 D．416．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A ．B ．C ．D ．17．已知a ＞0，b ＞0且a≠1，若函数y=log a x 过点（a+2b ，0），则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．218．已知a ＞0，b ＞1且2a+b=4，则+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．19．若正数a ，b 满足+=1，则+的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．4920．已知x ，y ∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．最小值﹣D ．最大值﹣二．解答题（共10小题） 21．已知正实数a 、b 满足：a 2+b 2=2．（1）求的最小值m ；（2）设函数f （x ）=|x ﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得f （x ）=2m成立，说明理由． 22．已知不等式x 2﹣5ax+b ＞0的解集为{x|x ＞4或x ＜1}（1）求实数a ，b 的值；（2）若0＜x ＜1，f （x ）=，求f （x ）的最小值．23．已知函数f （x ）=的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足+=n 时，求7a+4b 的最小值．24．已知a ，b 都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．25．已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．26．已知关于x 的不等式：|2x ﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，若2a+2b+2c=m ，求++的最小值．27．已知正数x ，y ，z 满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx 的最大值． 28．已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．（1）若a+b+c=0，求a 的最大值．（2）若ab+bc+ca 的最大值为M ，解不等式|x+1|+|x ﹣1|≥3M ．29．已知正实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，求证：++≥3．30．已知a ＞0，b ＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a ，b 的值；（2）求证：a 2+b 2≥2．一．选择题（共20小题）1．C；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C；7．A；8．A；9．A；10．D； 11．B；12．C； 13．D； 14．D； 15．A； 16．A； 17．A； 18．D； 19．A； 20．B；二．解答题（共10小题）21.解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．22．解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．23．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．24．证明：．（Ⅱ）解：≥，即，又∵得，即，∴．∴当且仅当上式等号成立．25．证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥326．解：（1）由关于x的不等式：|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1，解得≤x≤．由于整数解有且仅有一个值为1，∴，∴1＜m＜3．故整数m的值为2．（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．∵，，，∴，即∴，当且仅当a=b=c 时取等号故的最小值为1．27．解：∵正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1﹣2（x+y）＞0，解得．∴3xy+yz+zx=3xy+[1﹣2（x+y）]（x+y）≤﹣2（x+y）2+（x+y）==+，当x+y=，x=y=时，取等号．∴3xy+yz+zx的最大值为．28．解：（1）∵a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）∴a2≤2（1﹣a2），∴3a2≤2，即，∴a 的最大值为．（2）∵，∴M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M对一切实数a，b，c 恒成立，则|x+1|+|x﹣1|≥3，当x≥1时，化为2x≥3，解得，满足x≥1，∴；当﹣1≤x＜1时，化为x+1﹣x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；当x＜﹣1时，化为﹣2x≥3，解得x≤﹣，满足x≤﹣1，∴x≤﹣．综上可得：不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集为∪．29．证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．30．解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+===5++≥=9，当且仅当，b=时等号成立．∴+的最小值为9．（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号．。

二维形式的柯西不等式题型一。

利用柯西不等式证明不等式例1已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ≥(a ＋b )2.练习1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.2．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 题型二。

利用二维形式的柯西不等式求最值例2 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值练习4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值． 5．已知2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．6．求函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值及此时x 的值．本节练习1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65C.2536D.36254．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．55．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 6．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.9．解方程4x ＋3＋2 1－2x ＝15.10．试求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x 的最大值，并求出相应的x 的值．三维形式的柯西不等式利用柯西不等式求最值例1 (1)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值．(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29. 求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．练习1．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.2．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d 的最小值为________． 3．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27 B ．2 3 C ．4D ．54．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．应用练习1．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，则a ＋2b ＋3c 的最小值为( )A ．9B ．3 C. 3D ．62．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－254．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.345．已知：2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是________．7．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________． 8．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．10．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值．。

柯西不等式练习一、单选题1．已知：221a b +=，221x y +=，则ax by +的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]0,12．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =+的最小值是（）A ．5-B ．6-C ．3D ．43．已知a ，0b >，5a b +=的最大值为（）A ．18B ．9C ．D ．4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（）．A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥5．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（）．A ．2a b +B C D ．26．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（）A ．14B ．114C ．29D ．1297．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（）A ．9B ．3C ．1D ．68．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定9．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是()A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =的最大值是()ABC ．3D ．5二、填空题11．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.12．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=，则______.14．在平面直角坐标系中，A （2,0-），B （0,1），C 为221x y +=上的动点，则AC BC +的取值范围为_______.三、解答题15．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=.（1）证明：22224x y z ++≥.（2）求+.16．设函数()2|1||3|f x x x =++-的最小值为t ．（1）求t 的值；（2）若正数,a b 满足a b t +=4．17．已知a ，b ，c 是非负实数，满足1a b c ++=.求()2323b c a b c a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值.18．已知0a >，0b >，0c >.（1）若2a b +=，求212a b a b +++的最大值M ；（2）若4a b c ++=，求22249a b c ++的最小值.19．设正数a ，b ，c 满足3a +2b +c =1，求1a +1a b ++1b c+的最小值.20．（1）已知函数 ()|1||2|f x x x =-+-，解不等式()2f x ；（2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.。