2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354 , , 3 , 2 , 1 中仸取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。

1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和D C B A ''''，且正方形D C B A ''''的顶点A '在正方形ABCD 的中心。

当正方形D C B A ''''绕A '转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。

这个结论对吗？证明你的判断。

1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列 <<<<4321n n n n ，试求：21n n ⋅之值。

2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。

2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KG OH FK EO //,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的（即两边都是直线）。

但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，幵加以证明。

A B 图2.23.1、若0 , , , >d c b a ，证明：在方程02212=+++cd x b a x ， 02212=+++da x c b x ，02212=+++ab x d c x ，02212=+++bc x a d x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。

3.2、（1）能否把1992 , , 3 , 2 , 1 这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(2009年)初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A．64.8ºB．57.6ºC．48ºD．16º2．如图，已知点B在反比例函数y＝kx的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、C．若△ABC的面积是4，则反比例函数的解析式是（）A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝－4x D．y＝4x3．如果a＋2ab＋b＝2，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.141∶1 B．1∶1 C．1∶0.618 D．1.732∶15．The number of integer solutions for the syetem of inequalities⎩⎨⎧x－2a≥0，3－2x＞－1about x is just 6，then the range of value for real number a is （）A．－2.5＜a≤－2 B．－2.5≤a≤－2 C．－5＜a≤－4 D．－5≤a≤－4(integer solutions 整数解syetem of inequalities 不等式组the range of value 取值范围)6．若分式|x|－23x－2的值是负数，则x的取值范围是（）A．23＜x＜2 B．x＞23或x＜－2C．－2＜x＜2且x≠23D．23＜x＜2或x＜－27．在100到1000的整数中(含100和1000)，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有（）A．890个B．884个C．874个D．864个8．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF＝∠F AB B．BC＝3FCC．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC9．计算：33)7411()7411(-++，结果等于（）A．58 B．387C．247D．32710．已知在代数式a＋bx＋cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A CBD A ．0个 B ．1个 C ．10个 D ．无穷多个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是 ．12．若14x ＋5－21x 2＝－2，则6x 2－4x ＋5＝ ．13．不等式x －1＞2 x 的最大整数解是 ．14．已知m 是整数，以4m ＋5、2m －1、20－m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有个．15．当x 依次取1，2，3， (2009)1 2， 1 3， 1 4，…， 1 2009时，代数式 x 21＋x 2的值的和等于 ．16．由直线y ＝x ＋2、y ＝－x ＋2和x 轴围成的三角形与圆心在点(1，1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于 ． 17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，斜边AB 边上的高为h ，则两直角边的和a ＋b 与斜边及其高的和c ＋h 的大小关系是a ＋b c ＋h （填“＞”、“＝”、“＜”）． 18．The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠BEC is right angle ．Supposethe length of CE is a ，and the length of BE is b ，then the distance between point A and line CE equals to ．(be composed of 由…组成 right angle 直角 length 长度 distance 距离)19．如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，BD 平分∠ABC ，若BD 将△ABC 的周长分为4∶3的两部分，则△ABD与△BCD 的面积比等于 ．20．如果将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同；若将(n ＋1)个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n 的最大值等于 ，最小值等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．如果自然数a 与b (a ＞b )的和、差、积、商相加得27，那么a ＝ ，b ＝ ． 22．若 a b ＋c ＝ b c ＋a ＝ ca ＋b ，则2a ＋2b ＋c a ＋b －3c＝ 或 ．23．若关于x 的方程 1 x －1－ a2－x ＝ 2(a ＋1) x 2－3x ＋2无解，则a ＝ 或 或 ．24．对于正整数k ，记直线y ＝－k k ＋1x ＋ 1k ＋1与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则S k ＝ ，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ ．25．将 1 2， 1 3， 1 4，…， 1100这99个分数化成小数，则其中的有限小数有 个，纯循环小数有 个(纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数)．【部分详解】1、解：扇形的圆心角=8÷50×360°=57.6°．故选B．2、解：由题意得：三角形的面积等于1/ 2 |k|，∴|k|=8，又∵反比例函数图象在四象限．∴k＜0，∴k=-8，∴反比例函数的解析式是y=-8/ x ．故选A．3、4、5、这六个整数解为1,0，-1，-2，-3，-4-5<2a<=-4,故选A6、7、解：在100到1000中（包括100和1000），完全平方的有100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484、529、576、625、676 729、784、841、900、961，共22个，完全立方的有125、216、343、512、729、1000，共6个，729既是完全平方数，又是立方数，∴既不是完全平方数，也不是完全立方数个数为901-22-6+1=874．故选C．8、9、10、解：根据题意，得a+3b+9c=2008，①a+7b+49c=2009，②，由②-①，得4b+40c=1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选A．11、解：安装的频率=95/ 200 ，∴该地区已安装电话的户数大约=20000×95 /200 =9500．故答案为：9500．12、13、14、解：根据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5）+（2m-1）＞20-m，7m＞16①；（4m+5）+（20-m）＞2m-1，m＞-26②；（2m-1）+（20-m）＞4m+5，3m＜14③．整理16/7 ＜m＜14/ 3 ．∵m取整数∴m=3或4．故这样的三角形有2个．故答案为：2．15、16、17、18、19、20、解：①对于n值为最大的情况，从已知n值最小为出发点，在增加一个盒子之后若出现使得各个盒子中的棋子数不相同，则应该有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．而1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，如果n=65，n+1=66，就能够找到11个不重复且不为0的方法了，所以最大值是64个②对于n值最小的情况，必有一盒子中放有1棋子，而其它的也都各不相同，为使总棋子数最小则其它应依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不同的方法，所以n值最小为55．故答案为：64、55．21、22、23、24、25、解：分母中只含有质因数2的数是：2，4，8，16，32，64；分母中只含有质因数5的数是：5，25；分母中只含有质因数2和5的数是：10，20，40，50，80，100；一共有：6+2+6=14（个）；答：能化成有限小数的分数有14个．故答案为：14．1/2,1/4,1/5,1/8,1/10.1/16.1/20,1/25,1/32,1/40,1/50,1/64,1/80,1/100分母分解的质因数中不含2或5，则该分数为纯循环小数100以内的质数为25个，去掉2和5还有13个还有9,21,33,39,49,51,57,63,69,77,87,91,93,99共14个所以共有39个。

希望杯第二十届(2009年) 初二第二试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）2．如果1-<<y x ，那么代数式xyx y -++11的值是（ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（ ）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）1 4．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108° （C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( ) （A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection pointofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）（A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形 8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（ ）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ． 则在以下结论 ①21)2(=F ②2(24)3F = ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=． 中，正确的结论有（ ）（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要 分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离． 现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： ．13．已知实数x ，y ，z 满足3321zy x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是 ，最小值是 ．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inverse number ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and0)2(=f ，then=++ba dc ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ．19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和321S S S ++3．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xky =的图象上，求k 可能取的一切值．第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）【详解】1解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．23、4、5、解：∵假设面积是48的矩形的边长分别为x，y，且边长和对角线的长都是整数，∴xy=48，∴x，y，中一定有一个偶数，∴可能是：2×24，3×16，4×12，6×8，四种可能．∵对角线的长是整数，∴只有6×8符合要求；即矩形的边长为6，8，∴它的周长等于28．故选：B．6、7、解：四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形．故选D．8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、从最后4名选手来分析，他们共要比赛6场，每一场的得分时2分，结果4场下来，就是12分，所以答案是12。

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题1、=（）A．B．C．D．2、每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（）A．5元B．-5元C．6元D．-6元3、如图，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分别交MN于点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4、如果有理数a，b使得，那么（）A．a+b是正数B．a-b是负数C．a-b2是正数D．a-b2是负数5、As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if AO⊥BO，and the area of the shadowy part is 25cm2，then the area of the circuiar ring equals to（）（π≈3.14）A．147cm2B．157cm2C．167cm2D．177cm26、已知多项式p1（x）=2x2-5x+1和p2（x）=3x-4，则p1（x）×p2（x）的最简结果为（）A．6x3-23x2+23x-4B．6x3+23x2-23x-4 C．6x3-23x2-23x+4D．6x3+23x2+23x+47、若三角形的三边长a，b，c满足a＜b＜c，且a2+bc=t12，b2+ca=t22，c2+ab=t32，则t12、t22、t32中（）A．t12最大B．t22最大C．t32最大D．t32最小8、如图，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（）A．Q桩B．P桩C．N桩D．M桩9、电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（）A．20张B．15张C．10张D．5张10、将图中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（）A．B．C．D．二、填空题11、据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装__________瓦（取整数）的节能灯一只．12、将五个有理数，，，，每两个的乘积由小到大排列，则最小的是__________；最大的是__________．13、十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：19（10）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（2），即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__________．14、如图，点P在正方形ABCD外，PB=10，△APB的面积为60，△BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为__________．15、已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于__________．16、若abc≠0．则的最大值是__________；最小值是__________．17、已知F（x）表示关于x的运算规律：F（x）=x3，（例如F（2）=23=8，F（3）=33=27，…）．又规定△F（x）=F（x+1）-F（x），则△F（a+b）=__________．18、一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有__________人．19、If the product of a simple binomial x+mand a quadratic （x-1）2 is a cubic multinomial x3+ax+b，then a=__________，b=__________，m=__________．若（x+m）（x-1）2=x3+ax+b，则a=__________，b=__________，m=__________．20、方程x+…+=2009的解是x=__________．三、解答题21、如果两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x与y的和的最小值，及x与y的积的最大值．22、某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？23、5个有理数两两的乘积是如下的10个数：-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．请确定这5个有理数，并简述理由．2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．试题解析：，=，=，=．故选A．2、答案：B试题分析：求出购买全部饰物所花的钱数，用每只玩具熊的售价减去购买全部饰物所花的钱数即可求解．试题解析：1+2+4+8+16+32+64+128=255元．250-255=-5元．则这只熊比原售价便宜了-5元．故选B．3、答案：D试题分析：可先作出简单的旋转后的图形，进而结合平行线的性质以及对顶角相等即可得出结论．试题解析：旋转后的图形如图，∵OA⊥OB，∠BOQ=30°，∴∠AOP=60°，∵MN∥PQ，∴∠OCD=∠AOP=60°，即∠ACM=∠OCD=60°，∵OA⊥OB，且OB逆时针旋转30°，∴∠AOB=60°，∠BOQ=60°，在△COD中，则∠ODC=60°，即∠BDN=60°．∴题中等于60°的角共有7个．故选D．4、答案：D试题分析：根据分式的值为0的条件列出不等式组，再根据a、b的取值范围进行解答即可．试题解析：∵，∴，解得，A、当b＜-1时，a+b是负数，故A选项错误；B、因为b＜-1，所以a-b是正数，故B选项错误；C、因为b＜-1，a=1，所以b2＞1，a-b2是负数，故C选项错误；D、因为b＜-1，所以b2，＞1，a-b2是负数，故D选项正确．故选D．5、答案：B试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，可得R2-r2=50，又知圆环的面积为两个圆的面积之差，据此即可解得答案．试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，∵AO⊥BO，∴阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，∴R2-r2=50，∵圆环的面积为两个圆的面积之差，∴圆环的面积=π（R2-r2）=50π=157cm2．故选B．6、答案：A试题分析：先根据题意，得出p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），再根据多项式的乘法法则计算即可．试题解析：∵p1（x）=2x2-5x+1，p2（x）=3x-4，∴p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），=6x3-8x2-15x2+20x+3x-4，=6x3-23x2+23x-4．7、答案：C试题分析：作差法得出t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b），t32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b），t32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a），根据已知和三角形三边关系即可得出t12、t22、t32中最大的数．试题解析：∵t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b）＞0，t 32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b）＞0，t 32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a）＞0，∴t32＞t12＞t22．故选C．8、答案：C试题分析：可看出，绳子拴在M、P处时，牛的活动区域的面积相同，则分别计算绳子拴在N、P、Q处时的活动面积即可．试题解析：绳子拴在N处时的活动面积：π×202=300πm2；绳子拴在P处时的活动面积：π×202+π×42+π×162=268πm2；绳子拴在Q处时的活动面积：π×202+π×82+π×122=252πm2；∵300＞268＞252，∴应拴在N柱上．故选C．9、答案：C试题分析：设三种票分别买了x、y、z张．则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，然后解z-x的值即可．试题解析：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得由②，得y=30-x-z，③将③代入②，得z-x=10，所以，20的比10块得多10张．10、答案：D试题分析：正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面．试题解析：A、希应在左上角，不符合题意；B、汉字的位置不对，不符合题意；C、不是正方体的侧面展开图，不符合题意；D、符合题意．故选D．二、填空题11、答案：试题分析：根据题意，设改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．然后根据比例的性质列出关于x的一元一次方程，解方程即可．试题解析：设为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．则根据题意，得11：80=x：100，解得，x=，∵x是整数，∴x=≈14．故答案是：14．12、答案：试题分析：将乘积由小到大排列，由于有负数，故最小一定是负数，最大一定是正数，找出相乘得负数的与相乘得正数的比较即可．试题解析：∵＜＜＜＜，∴数与相乘的积最小，为，∴×=，（）×（）=，＞．故答案为：，．13、答案：试题分析：仿照例子，首先把413写成2的方幂的降幂的多项式的形式，然后确定二进制数．试题解析：413=256+128+16+8+4+1，=1×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20，=110011101．（2）故答案为：110011101．14、答案：试题分析：由两个三角形的面积可知：P到AB的距离是P到BC的距离的2倍．设P到BC的距离为x，利用勾股定理，求出BC，则可求出正方形的面积．试题解析：因为△APB的面积为60，△BPC的面积为30，P到AB的距离是P到BC的距离的2倍设P到BC的距离为x，则x2+（2x）2=102x=2，所以•BC•2=30，BC=6故BC2=180，即正方形ABCD的面积为180．故答案为180．15、答案：试题分析：先设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，把左边展开，并合并同类项，然后利用等式的对应相等性，可得到关于m、n、p、q的方程组，解即可求m、n、p、q，从而可求p+q的值．试题解析：设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，即有x4+（2+m）x3+（5+2m+n）x2+（5m+2n）x+5n=x4+px2+5q，∴，解得，∴pq=30．故答案为：30．16、答案：试题分析：由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式的最小值为-4．试题解析：由题意知abc≠0，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式有最小值为-4，故答案为4，-4．17、答案：试题分析：先利用△F（x）=F（x+1）-F（x），对△F（a+b）展开，得△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），再利用F（x）=x3展开式子的右边，然后结合立方公式计算即可．试题解析：∵△F（x）=F（x+1）-F（x），∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），又∵F（x）=x3，∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），=（a+b+1）3-（a+b）3，=（a+b）3+3（a+b）2×1+3（a+b）×12+13-（a+b）3，=3（a+b）2+3（a+b）+1．故答案是：3（a+b）2+3（a+b）+1．18、答案：试题分析：前6站上车100人，包含前6站下车人数和第6站停车后仍然在车上人数，前7站下车80人包含6站下车人数和第6站没下车的人但在第7站下车的人数，由此列出等式，进一步解答即可．试题解析：前7站下车的人数，一定是在第一站到第六站上车的人数，前6站上车100人=前6站下车人数+第6站停车后仍然在车上人数①，前7站下车80人=前6站下车人数+第6站没下车的人但在第7站下车的人数②，①②两者相减为：第6站停车后仍然在车上人数-第6站没下车的人但在第7站下车=20人，这时候这些人都会在终点下车了．故答案为：20．19、答案：试题分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a，b，m的值．试题解析：（x+m）（x-1）2=（x+m）（x2-2x+1）=x3-（2-m）x2+（1-2m）x+m=x3+ax+b，可得2-m=0，1-2m=a，m=b，解得：a=-3，b=2，m=2．故答案为：-3，2，2．20、答案：试题分析：本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．试题解析：原方程可化为：=2009；即；提取公因式，得；化简得：2x（1-）=2009；解得：x=1005．三、解答题21、答案：试题分析：由题意得出关于x、y的不定方程，再根据x，y为整数可得出x+y，x-y，xy都是整数，再由它们与的和是整数100，也是整数，进行讨论即可．试题解析：由题意得，（y≠0），即，亦即，∵x，y为整数，∴x+y，x-y，xy都是整数，又∵它们与的和是整数100，∴也是整数，（1）=25，（y+1）2=22时，y+1=±2，则或；（2）=4，（y+1）2=52时，y+1=±5，则或；（3）=1，（y+1）2=102时，y+1=±10，则或；（4）=100，（y+1）2=12时，y+1=±1，则（舍去）或；由上可知，满足题意的整数x，y共7对；其中x+y的最小值为-200+（-2）=-202；xy的最大值为：（-200）×（-2）=400．故答案为：7对；-202；400．22、答案：试题分析：假设出第4天的植树棵数与植树人数，从而表示出其他6天的植树棵树与人数，从而得出有关总数9947的方程，得出mn=1521，进而分析得出m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521，其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a），可以得出植树最多与最少是哪一天．试题解析：设第4天有m人植树，每人植树n棵，则第4天共植树mn棵．于是第3天有（m-5）人植树，每人植树（n+5）棵，则第3天共植树（m-5）（n+5）棵．同理，第2天共植树（m-10）（n+10）棵；第1天共植树（m-15）（n+15）棵；第5天共植树（m+5）（n-5）棵；第6天共植树（m+10）（n-10）棵；第7天共植树（m+15）（n-15）棵．由7天共植树9947棵，知：（m-15）（n+15）+（m-10）（n+10）+（m-5）（n+5）+mn+（m+5）（n-5）+（m+10）（n-10）+（m+15）（n-15）=9947．化简得7mn-700=9947，即mn=1521因为1521=32×132，又每天都有人植树，所以m＞15，n＞15．故m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521．其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a）=392-a2=1521-a2＜1521，①（其中a=5或10或15）．所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵．由①知，当a=15时，392-a2的值最小．又当a=15时，植树人数为39+15=54或39-15=24，所以植树最少的那天有54人或24人植树．23、答案：试题分析：首先将将5个有理数两两的乘积由小到大排列，由5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．再分别从若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，可得x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x 5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），去分析求解即可求得答案．试题解析：将5个有理数两两的乘积由小到大排列：-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．∵5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，∴这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．（1）若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，则x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x1x4=-15，x4x5=100，三式相乘，得（x1x4x5）2=9×106，又∵x1＜0，x4＞0，x5＞0，∴x1x4x5=-3000，则x1=-30，x4=0.5，x5=200．再由x1=-30，x1x2=-12，x1x3=-12.6，得x2=0.4，x3=0.42．经检验x1=-30，x2=0.4，x3=0.42，x4=0.5，x5=200满足题意．（2）若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x2x5=-15，x1x2=100，三式相乘，得（x1x2x5）2=9×106，又∵x1＜0，x2＜0，x5＞0，解得x1x2x5=3000，∴x1=-200，x2=-0.5，x5=30，再由x5=30，x3x5=-12.6，x4x5=-12，得x3=-0.42，x4=-0.4．经检验，x1=-200，x2=-0.5，x3=-0.42，x4=-0.4，x5=30满足题意．综上可得：这5个有理数分别是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．。

2009 年第 20 届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第 1 试）一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）1．（ 4 分）在一次视力检查中，八年级（1）班的 50 人中只有8 人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8°B ．57.6°C． 48°D． 16°2．（4 分）如图，已知点 B 在反比率函数y＝的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、 C．若△ ABC 的面积是4，则反比率函数的分析式是（）A ．y＝﹣B ．y＝C． y＝﹣D． y＝3．（ 4 分）假如a+ab+b＝，且b是有理数，那么（）A ．a 是整数B ． a 是有理数C． a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数4．（ 4 分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4 等，它们有以下的关系：将上一个型号（例如 A3）的复印纸在长的方向对折后获得两张下一型号（A4）的复印纸，且各样型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414： 1B ．1： 1C． 1： 0.618D． 1.732： 15．（4 分） The number of integer solutions for the syetemof inequalities about x is just 6， then the range of value for real number a is（）（integersolutions 整数解； syetemofinequalities 不等式组； therangeofvalue 取值范围）A ．﹣ 2.5＜ a≤﹣ 2B ．﹣ 2.5≤ a≤﹣ 2C．﹣ 5＜a≤﹣ 4D． a 不存在6．（ 4 分）若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）A ．＜x＜2B． x＞或x＜﹣2C ．﹣ 2＜ x ＜ 2 且 x ≠D ．＜ x ＜ 2 或 x ＜﹣ 27．（ 4 分）在 100 到 1000 的整数中（含 100 和 1000 ），既不是完整平方数，也不是完整立方数的有（）A ．890 个B ．884 个C ． 874 个D ． 864 个8．（ 4 分）如图， 在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边的中点， 点 F 在 BC 上， ∠ EAF ＝∠ DAE ，则以下结论中正确的选项是（）A ．∠ EAF ＝∠ FAB B ．BC ＝ 3FC C ． AF ＝ AE+FCD ． AF ＝ BC+FC 9．（ 4 分）计算：，结果等于（ ）A ．56B ．38C ． 24D ． 3210．（ 4 分）已知在代数式 a+bx+cx 2中， a 、b 、 c 都是整数，当 x ＝ 3 时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009，这样的代数式有（ ）A ．0 个B ．1 个C ． 10 个D ．无量多个二、填空题（共 15 小题，满分 80分）11．（4 分）某地域有 20000 户居民，从中随机抽取 200 户，检查能否已安装电话，结果如右表所示，则该地域已安装电话的户数大概是．电话安装状况动迁户原住户已安装 60 35未安装456022＝ ．12．（ 4 分）若 14x+5 ﹣21x ＝﹣ 2，则 6x ﹣4x+5 13．（ 4 分）不等式 x ﹣ 1＞ x 的最大整数解是．14．（4 分）已知 m 是整数，以 4m+5、2m ﹣ 1、20﹣ m 这三个数作为同一个三角形三边的长， 则这样的三角形有个．15．（ 4 分）当 x 挨次取 1， 2， 3， ， 2009， ， ， ， ， 时，代数式 的值的和等于．16．（ 4 分）由直线 y＝ x+2 、 y＝﹣ x+2 和 x 轴围成的三角形与圆心在点（1，1），半径为 1 的圆构成的图形覆盖的面积等于．17．（4 分）在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，斜边AB 边上的高为h，则两直角边的和a+b 与斜边及其高的和c+h 的大小关系是a+b c+h（填“＞”、“＝”、“＜”）．18．（4 分） The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE，where∠ BEC is right angle． Suppose the length of CE is a， and the length of BE is b， then the distance between point A and line CE equals to．（ be composed of 由构成right angle 直角length 长度distance 距离）如图是由正方形ABCD 和三角形BCE 构成，此中∠ BEC 的是直角．假定CE 长度是 a，BE 的长度是b，那么 A 点和直线CE 之间的距离等于？19．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AB＞ BC，BD 均分∠ ABC，若 BD 将△ ABC 的周长分为4：3 的两部分，则△ ABD 与△ BCD 的面积比等于．20．（4 分）假如将 n 个棋子放入10 个盒子内，能够找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这 10 个盒子内的棋子数都不一样；若将（n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，而且这11 个盒子内的棋子数都不一样，那么整数n 的最大值等于，最小值等于．21．（ 8 分）假如自然数 a 与 b（ a＞ b）的和、差、积、商相加得27，那么a＝，b ＝．22．（ 8 分）若＝＝，则＝或．23．（ 8 分）若以 x 为未知数的方程无解，则a＝．24．（ 8 分）对于正整数 k，记直线 y＝﹣x+与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k，则 S k＝，S1+S2+S3+S4＝．25．（ 8 分）将，，，，这99个分数化成小数，则此中的有限小数有个，纯循环小数有个（纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数）．2009 年第 20 届“希望杯” 全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）1．（ 4 分）在一次视力检查中，八年级（1）班的 50 人中只有8 人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8°B ．57.6°C． 48°D． 16°【剖析】先求出视力达标人数所占百分比，再乘以360°即可求得扇形的圆心角度数．【解答】解：扇形的圆心角＝8÷ 50× 360°＝ 57.6°．应选： B．【评论】本题考察扇形统计图及有关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．2．（4 分）如图，已知点 B 在反比率函数y＝的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、 C．若△ ABC 的面积是4，则反比率函数的分析式是（）A ．y＝﹣B ．y＝C． y＝﹣D． y＝【剖析】依据反比率函数中比率系数的几何意义，三角形的面积等于|k|，以及函数所在的象限，即可确立k 的符号．从而获得函数的分析式．【解答】解：由题意得：三角形的面积等于|k|，∴|k|＝ 8，又∵反比率函数图象在四象限．∴k＜ 0，∴k＝﹣ 8，∴反比率函数的分析式是y＝﹣．应选： A．【评论】本题考察了反比率函数系数k 的几何意义，由三角形的面积求得k 的值是解决本题的要点．3．（ 4 分）假如a+ab+b＝，且b是有理数，那么（）A ．a 是整数B ． a 是有理数C． a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数【剖析】先把等式变形为a+b＝（1﹣ab），再依据等式一边出现无理数则a，b 中必有一个数为无理数即可进行解答．【解答】解：∵ a+ab+b＝，∴a+b＝（ 1﹣ ab）等式一边出现无理数，若 a， b 均为有理数，则等式恒不建立，又∵ b 为有理数，∴ a 必为无理数．应选： C．【评论】本题考察的是有理数及无理数的观点及运算，能把原式化为a+b＝（1﹣ab）的形式是解答本题的要点．4．（ 4 分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4 等，它们有以下的关系：将上一个型号（例如 A3）的复印纸在长的方向对折后获得两张下一型号（A4）的复印纸，且各样型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414： 1B ．1： 1C． 1： 0.618D． 1.732： 1【剖析】由题意得，小长方形长：宽＝大长方形长：宽，相像比为大矩形的长：小矩形的长，据此求解．【解答】解：设小长方形的宽为x，长为 y，则大长方形的宽为y，长为 2x，由题意得：y： x＝ 2x：y，∴ x： y＝1：，设x＝ k， y＝ k，则 2x＝ k，∴相像比＝ 2x：y＝2k：k＝：1≈ 1.414：1．【评论】本题考察相像多边形的性质．相像多边形对应边之比等于相像比．5．（4 分） The number of integer solutions for the syetemof inequalities about x is just 6， then the range of value for real number a is（）（integersolutions 整数解； syetemofinequalities 不等式组； therangeofvalue 取值范围）A ．﹣ 2.5＜ a≤﹣ 2B ．﹣ 2.5≤ a≤﹣ 2C．﹣ 5＜a≤﹣ 4D． a 不存在【剖析】先依据②中 x 的取值范围及x 只有整数 6 这一个解即可得出对于2a 的不等式，求出 a 的取值范围即可．【解答】解：，由②得 x≤﹣ 4，由①得 x≥ 2a，∵x 的值只有整数 6，∴而 x≤﹣ 4，∴不存在知足条件的 a 的值．应选： D ．【评论】本题考察的是一元一次不等式组的整数解，由不等式的整数解得出对于 a 的不等式，是解答本题的要点．6．（ 4 分）若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）A ．＜x＜2B． x＞或x＜﹣2C．﹣ 2＜ x＜ 2 且 x≠D．＜x＜2或x＜﹣2【剖析】依据题意列出不等式组，解不等式组则可．【解答】解：∵分式的值是负数，∴＜ 0，∴或，解得 x＜﹣ 2 或＜x＜2．应选： D ．【评论】本题考察分式的值的正负性和解含绝对值的一元一次不等式组的知识点，难度中等．7．（ 4 分）在 100 到 1000 的整数中（含100 和 1000 ），既不是完整平方数，也不是完整立方数的有（）A ．890 个B ．884 个C． 874 个D． 864 个【剖析】第一找到100 到 1000 的整数中是完整平方数，或许是完整立方数的数，除掉这些数其余的数既不是完整平方数，也不是完整立方数．【解答】解：在 100 到 1000 中（包含100 和 1000 ），完整平方的有100、 121、144、 169、196、 225、 256、289、 324、 361、 400、 441、 484、529、 576、 625、 676 729、 784、 841、 900、 961，共 22 个，完整立方的有125、 216、343、 512、 729、 1000，共 6 个，729既是完整平方数，又是立方数，∴既不是完整平方数，也不是完整立方数个数为901﹣22﹣ 6+1 ＝874．应选： C．【评论】本题主要考察完整平方数的知识点，解答本题的要点是找出在100 到 1000 的整数中是完整平方数，或许是完整立方数的数．8．（ 4 分）如图，在正方形ABCD 中， E 是 CD 边的中点，点 F 在 BC 上，∠ EAF ＝∠ DAE ，则以下结论中正确的选项是（）A ．∠ EAF ＝∠ FAB B ．BC＝ 3FC C． AF ＝ AE+FC D． AF ＝ BC+FC【剖析】把△ ADE 绕 A 点逆时针旋转 90°得△ ABG，依据旋转的性质得∠ 1＝∠ 5，∠ 3 ＝∠G，∠ADB＝∠ABG，DE ＝BG，则∠GBF＝180°，即G，B，F 共线，再依据∠3 ＝∠2+∠ 4，∠ 1＝∠ 2，可获得∠ G＝∠ 5+∠ 4，则 AF ＝ GF；而后设正方形 ABCD 的边长为 2a，BF ＝ x，则 AF＝ x+a，在 Rt △ ABF 中，利用勾股定理获得x＝a，则 FC ＝a，AF＝a， BC+FC ＝ 2a+ a＝a＝ AF ，获得正确选项．【解答】解：把△ ADE 绕 A 点逆时针旋转90°得△ ABG，如图，∴∠ 1＝∠ 5，∠ 3＝∠ G，∠ ADE＝∠ ABG， DE＝ BG，∴∠ GBF＝ 180°，即 G， B，F 共线，又∵∠ 3＝∠ 2+∠4，∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 5+∠ 4，∴∠ G＝∠ 5+∠ 4，∴AF＝ GF ；设正方形ABCD 的边长为2a，则 DE＝ a，2 2 2设BF ＝ x，则 AF ＝x+a，在 Rt△ ABF 中，（x+a）＝4a +x ，解得 x＝ a，则FC ＝ a， AF＝ a，∴BC+FC ＝ 2a+ a＝ a＝ AF．因此 D 选项正确．应选： D ．【评论】本题考察了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理．9．（ 4 分）计算：，结果等于（）A ．56B ．38C． 24D． 32【剖析】利用＝，当 a ＞ 0 时＝a；当a≤ 0 时＝﹣a，先将开方，再进行运算即可．【解答】解：∵（ 11+4 ）＞ 0，（ 11﹣ 4 ）＞ 0，∴原式＝（ 11+4 ）+（ 11﹣ 4 ），＝（ 11+4） +（ 11﹣ 4 ） ，∵ 2+ ＞ 0， 2﹣＜ 0，∴原式＝（ 11+4 ）（ 2+ ） +（ 11﹣ 4 ）（ ﹣ 2）， ＝ 22+11 +8 +28+11﹣22﹣ 28+8，＝ 38 ． 应选： B ．【评论】 本题考察二次根式的化简，在化简中注意结果要化到最简二次根式，特别是二次根式的乘除运算要与加减运算划分，防止相互扰乱．10．（ 4 分）已知在代数式 a+bx+cx 2中， a 、b 、 c 都是整数，当 x ＝ 3 时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009，这样的代数式有（）A ．0 个B ．1 个C ． 10 个D ．无量多个【剖析】 依据已知条件“当 x ＝ 3时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009”列出对于 a 、b 、c 的三元一次方程组， 而后利用 “加减消元法” 消去 a ，而后依据 “ a 、b 、 c 都是整数”来确立 b 、 c 的值．【解答】 解：依据题意，得，由 ② ﹣① ，得4b+40c ＝1， ③∵ a 、 b 、 c 都是整数，∴ ③ 的左侧是 4 的倍数，与右侧不等，因此，这样的代数式不存在；应选： A ．【评论】 本题主要考察了三元一次不定方程的解法．依据题意列出方程组，及依据已知条件“ a 、 b 、 c 都是整数”来确立未知数的取值范围是解题的要点所在．二、填空题（共 15 小题，满分 80 分）11．（4 分）某地域有 20000 户居民，从中随机抽取200 户，检查能否已安装电话，结果如右表所示，则该地域已安装电话的户数大概是9500 ．电话安装状况动迁户原住户已安装 60 35 未安装4560【剖析】 依据频数＝总数×频次，可得出答案． 【解答】 解：安装的频次＝ ，∴该地域已安装电话的户数大概＝ 20000×＝ 9500．故答案为： 9500．【评论】 本题考察用样本预计整体的知识，属于基础题，解答本题的要点是掌握频数＝总数×频次这个关系．2 2 ﹣4x+5＝ 7．12．（ 4 分）若 14x+5 ﹣21x ＝﹣ 2，则 6x【剖析】 依据已知条件求得 3x 2﹣ 2x ＝ 1，而后将所求的代数式转变为含有3x 2﹣ 2x 的形式，将 3x 2﹣ 2x ＝ 1 代入此中求解即可．【解答】 解：∵ 14x+5 ﹣ 21x 2＝﹣ 2，即 21x 2﹣14x ＝ 7， ∴ 3x 2﹣ 2x ＝ 1，∴ 6x 2﹣ 4x+5，＝ 2（ 3x 2﹣ 2x ） +5，＝ 7．故答案是： 7．【评论】 本题考察了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确见告，而是隐含在题设中，第一应从题设中获得代数式3x 2﹣ 2x 的值，而后利用“整体代入法”求代数式的值．13．（ 4 分）不等式 x ﹣ 1＞x 的最大整数解是 ﹣ 3 ．【剖析】 本题需先解出不等式，再依据求出的结果确立不等式的最大整数解．【解答】 解：∵ x ﹣ 1＞x ，∴ x ﹣x ＞ 1，（ 1﹣） x ＞1，∵，∴，∴ x＜，∴不等式x﹣ 1＞x 的最大整数解是﹣3．故填：﹣ 3．【评论】本题主要考察了二次根式的混淆运算和不等式的解法，在解题时要注意符号的变化问题．14．（4 分）已知 m 是整数，以 4m+5、2m﹣ 1、20﹣ m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有2个．【剖析】先依据三角形三边关系列出不等式求出m 的取值范围，再由m 是整数，求出m 的值，从而获得三角形的个数．【解答】解：依据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5 ） +（2m﹣ 1）＞ 20﹣ m，7m＞ 16①；（4m+5 ） +（20﹣ m）＞ 2m﹣ 1，m＞﹣ 26②；（2m﹣ 1） +（ 20﹣ m）＞ 4m+5，3m＜ 14③ ．整理＜ m＜．∵m 取整数∴m＝ 3 或 4．故这样的三角形有 2 个．故答案为： 2．【评论】本题考察了三角形三边关系．本题实质上就是依据三角形三边关系定理列出不等式（组），而后解不等式（组）即可．15．（ 4 分）当 x 挨次取 1， 2， 3，， 2009，，，，，时，代数式的值的和等于2008．【剖析】因为当x＝时和当x＝ k 时，分别代入代数式，再把它们所得的和相加的 1.2，3，， 2009，，，，，恰巧分别对应互为相反数，从而问题的得解．【解答】解：∵当 x＝时，＝，当 x＝ k 时，＝，故这两值相加得：+ ＝ 1，∴当 x 挨次取1，2， 3， 2009 ，，，，，时，原式＝ + + + + + + + + ，＝+（+）+（+）++（+），＝+1+1+ 1，＝．【评论】本题考察因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不一样的分式相加是一个常数．16．（ 4 分）由直线 y＝ x+2 、 y＝﹣ x+2 和 x 轴围成的三角形与圆心在点（1，1），半径为 1 的圆构成的图形覆盖的面积等于4+．【剖析】依据圆心知足直线的分析式获得圆心在直线上，而且圆心到两坐标轴的距离均为1，由此能够获得图形覆盖部分为半径为 1 的半圆加上两直线与坐标轴围成的三角形的面积的和，利用圆的面积计算公式计算出半圆的面积加上三角形的面积即可．【解答】解：∵圆心为点（ 1， 1），∴圆心在直线 y＝﹣ x+2 上，∵点（ 1， 1）到两坐标轴的距离均是 1，且半径为 1，∴图形覆盖部分为半径为 1 的半圆，∴图形覆盖的面积等于× π× 12＝．∵两直线分别与 x 轴交于（﹣ 2， 0）和（ 2， 0）、与 y 轴交于（ 0，2）， ∴两直线与坐标轴围成的面积为：× 4× 2＝ 4，∴图形覆盖的面积＝ 4+ ．故答案为： 4+．【评论】 本题考察了一次函数的有关知识，解决本题的要点是利用已知条件判断重叠部 分是个什么样的图形．17．（4 分）在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，斜边 AB 边上的高为 h ，则两直角边的和 a+b 与斜 边及其高的和 c+h 的大小关系是 a+b ＜ c+h （填“＞”、“＝”、“＜”）．【剖析】 因为线段的和永久为正，因此能够经过比较两线段的和的平方来比较两线段的 和的大小，即平方之差大于零，平方就大，不然就小．【解答】 解：∵（ c+h ） 2﹣（ a+b ）2 2222＝（ c +2ch+h ）﹣（ a +2 ab+b ）， 且，2222∴（ c +2ch+h ）﹣（ a +2 ab+b ）＝ h 2＞ 0， ∴ a+b ＜c+h ．故答案为：＜．【评论】 本题考察了勾股定理的知识，同时题目还浸透了比较两个正数的大小的方法，即：两正数的平方差大于零，前一个正数大于后边的正数，反之亦然．18．（4 分） The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠ BECis right angle ． Suppose the length of CE is a ， and the length of BE is b ， then the distancebetween point A and line CE equals toa+b ．（ be composed of 由 构成right angle 直角length 长度distance 距离）如图是由正方形 ABCD 和三角形 BCE 构成，此中∠ BEC 的是直角．假定CE 长度是 a ，BE 的长度是 b ，那么 A 点和直线 CE 之间的距离等于？【剖析】依据∠ BEC 的是直角， CE 长度是 a， BE 的长度是b，利用勾股定理求出BC，再利用正方形的性质求证△AMB ∽△ CBE，而后可得AM ，再利用勾股定理求出MB，然后可得 CM ，再利用相像三角形的对应边成比率求出MN ，而后用 AM +MN 即可得出答案．【解答】解：∵∠ BEC 的是直角， CE 长度是 a， BE 的长度是 b∴ BC＝，又∵ AN⊥ CE，四边形 ABCD 是正方形，∴△ AMB∽△ CBE∴＝，即＝，∴ AM ＝，由勾股定理得 MB＝＝＝，∴ CM ＝ BC﹣ BM ＝﹣＝，∵△ AMB∽△ CMN ，∴＝，∴＝，∴ MN ＝，∴ AN＝ AM+MN ＝+ ＝ a+b．故答案为： a+b．【评论】本题主要考察正方形的性质，勾股定理，相像三角形的判断与性质等知识点，综合性较强，有必定的拔高难度，属于难题．19．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AB＞ BC，BD 均分∠ ABC，若 BD 将△ ABC 的周长分为4：3 的两部分，则△ ABD 与△ BCD 的面积比等于4： 3 ．【剖析】依据角均分线的性质定理及等比定理解答．【解答】解：∵ BD 是∠ ABC 的均分线，∴按角均分线性质定理及合比定理，得＝＝＝，∴S△ABD： S△DBC＝ AB× BDsin ∠ABD ： BC× BDsin∠ CBD ，又∵∠ ABD ＝∠ CBD ，∴sin∠ ABD ＝ sin∠ CBD ，∴AB： BC＝ 4：3，∴S△ABD： S△DBC＝ 4： 3．故答案为： 4： 3．【评论】本题考察了三角形的面积．解答本题时，利用到了角均分线的性质定理、合比定理及三角形的面积公式．20．（4 分）假如将 n 个棋子放入10 个盒子内，能够找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这 10 个盒子内的棋子数都不一样；若将（n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，而且这11 个盒子内的棋子数都不一样，那么整数n 的最大值等于64，最小值等于55．【剖析】第一依据n 个棋子放入10 个盒子内，整数的倍值循环，因此获得不一样的状况是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10．将（ n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，搁置的状况是1、2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11．从已知 n 值最小为出发点，在增添一个盒子以后若出现使得各个盒子中的棋子数不同样，则应当有 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11．而 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 ＝ 66，假如 n＝ 65， n+1＝ 66，就可以找到11 个不重复且不为 0 的方法了，因此最大值是64 个②对于 n 值最小的状况，必有一盒子中放有 1 棋子，而其余的也都各不同样，为使总棋子数最小则其余应挨次为2、3、 4、5、 6、 7、 8、 9、 10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不一样的方法，因此 n 值最小为 55．故答案为： 64、55．【评论】本题考察抽屉原理．解决本题的要点是理清题意，找到恰巧各不同样的状况，做为临界点，分别再增添一颗取最小值，n 不存在；减少两颗取最大值．21．（ 8 分）假如自然数 a 与 b（ a＞b）的和、差、积、商相加得27，那么 a＝6，b＝2．【剖析】依据题意列出对于a、 b 的等式，由数的整除性可知 b 必能整除 a，设 a＝ kb，此中 k 为整数，把 k 代入对于a、b 的式子，依据 k 为整数即可求出k 的值，从而求出a、b 的值．【解答】解：由题意得（a+b）+（ a﹣ b） +ab+ ＝ 27，即2a+ab+ ＝27，2整理得， 2ab+ab +a＝ 27b，故 b 必能整除a，设 a＝ kb，此中 k 为整数，2代入上式得k（ 2b+b +1 ）＝ 27，k（ b+1）2＝ 33，∴k（ b+1）＝ 9，∵ k、 b 为整数，∴k＝ 3， b＝ 2，a＝ 3× 2＝6．故答案为： 6， 2．【评论】本题考察的是数的整除性问题，依据题意列出对于a、b 的式子，得出 b 必能整除 a，设出 a＝ kb 是解答本题的要点．22．（ 8 分）若＝＝，则＝或﹣5．【剖析】 先依据 ＝ ，易求﹣ c ＝ a+b （ a ﹣b ≠ 0），再把 a+b ＝﹣ c 整体代入原式计 算即可；还有一种状况是 a ﹣ b ＝ 0，＝，易求 c ＝ 2a （ b ﹣ c ≠ 0），再把 a ＝ b ， c＝ 2a 代入原式计算即可．【解答】 解：∵＝ ，∴ ac+a 2＝b 2+bc ，∴若 a ﹣ b ≠ 0，那么﹣ c ＝a+b ，∴原式＝＝ ＝ ；∵当 a ＝ b ＝ c 时，已知条件是建立的，∴原式＝＝﹣ 5．故答案是或﹣ 5．【评论】 本题考察了分式的化简求值．注意分状况议论，除了惯例思路，还要考虑特别状况．23．（ 8 分）若以 x 为未知数的方程无解，则 a ＝ ﹣ 1 或﹣ 或 2 ．【剖析】 第一解方程求得x 的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或 2，据此即可求解 a 的值．【解答】 解：去分母得： x ﹣ 2+a （ x ﹣ 1）＝ 2（ a+1）解得： x ＝当 a+1＝0 即 a ＝﹣ 1 时，方程无解．依据题意得：＝ 1 时，解得 a ＝﹣ ；当＝ 2 时，解得： a ＝﹣ 2故答案是﹣ 1 或﹣或﹣ 2．【评论】 本题主要考察了方程增根产生的条件，假如方程有增根，则增根必定是能使方程的分母等于 0 的值．24．（ 8 分）对于正整数 k ，记直线 y ＝﹣x+ 与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则 S k ＝， S 1+S 2+S 3+S 4＝ ．【剖析】依据直线的分析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，从而用含k 的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，最后令k 分别等于 1、 2、 3、 4 求出 S1、 S2、 S3、S4的值，而后求出S1+S2+S3+S4的值即可．【解答】解：令 y＝ 0，得：﹣x+ ＝ 0，解得： x＝，∴直线 y＝﹣x+ 与 x 轴的交点坐标为（， 0），令 x＝ 0，得 y＝，∴直线 y＝﹣x+ 与 y 轴的交点坐标为（0，），k＝? ? ＝，S∴ S1+S2+S3+S4＝+ + + ，＝+ + + ，＝．故答案为：；．【评论】本题考察了一次函数的有关知识，特别是求一次函数与两坐标轴的交点坐标更是常常考察的要点内容之一．25．（ 8 分）将，，，，这 99 个分数化成小数，则此中的有限小数有14 个，纯循环小数有26 个（纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数）．【剖析】有限小数就是利用 1 除以分母能除尽的数，则分母必定是 2 的倍数或 5 的倍数，在从 2 到 100 这 99 个数中，是 2 的倍数或 5 的倍数的数，据此即可判断．而后再在节余的 40 个数中去掉不合适的数就是纯小数．【解答】解：这 99 个分数中分母是 2 的 x 次方的有： 2， 4， 8，， 64，共 6 个；5 的 x 次方有： 5， 25，共 2 个；是 10 以及 2 和 5 但不是10 和其余数的倍数的数有：10，20，40，50，，100，共 6 个；分母能被2、 5 且只好被2、 5 整除的（能化为有限小数的）数共有6+2+6＝ 14 个．而是2、 5 倍数的数共有50+20﹣ 10＝ 60 个．能化为纯循环小数的有100﹣ 60﹣14＝ 26 个．故答案是： 14，26．【评论】本题考察了有理数的观点，理解有限小数就是利用 1 除以分母能除尽的数，则分母必定是 2 的倍数或 5 的倍数是要点．。

第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。

如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。