高二数学寒假作业 专题13 导数在研究函数中的应用(一)(测)(含解析)

导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．考点二 利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . （1）当1a =时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；考点三 利用导函数求函数最值问题【例3】已知a 为实数，.（1）求导数； （2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．](1,1- B ．)(0,+∞ C ．[)1,+∞ D ．](0,1()))(4(2a x x x f --=()xf '()01=-'f ()x f2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞4.设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点5．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5 D ．6【复习与巩固】A 组 夯实基础一、选择题1．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f c f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3.函数()e xf x x =-（e 为自然对数的底数）在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.1B.1C.e ＋1D.e －1二、填空题4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是________________．5.若函数()23exx axf x +=在0x =处取得极值，则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()21ln ,2f x x x =-求函数()f x 的单调区间8.已知函数(),1ln xf x ax x x=+>． （1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，求函数()f x 的极小值.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.若函数32y x ax a =-+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3，则该函数在[]1,1-上的最小值是（ ） A ． B ．0 C ．D ．1二、填空题4．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围；(2)求g (x )的最大值．12-128．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．《导数在研究函数中的应用》标准答案一．自主归纳1.（1）f ′(x )>0 （2）f ′(x )<0 （3）f ′(x )＝0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二．自我查验1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2.解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞3.解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增，当(e,)x ∈+∞时函数单调递减， A. 三．典型例题【例题1】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．【变式训练1】（1）当1a =时，()322f x x x x =+-+，∴()2321f x x x '=+-， ∴切线斜率为()14k f '==，又()13f =，∴切点坐标为()1,3，∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=．（2）()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-，由()0f x '=，得x a =-或3ax =.0,.3a a a >∴>-Q 由()0f x '>，得x a <-或3a x >，由()0f x '<，得.3aa x -<<∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【例题2】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110xf x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减； 所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式训练2】解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax 1＋ax 22. 当a ＝43时，若f ′(x )＝0， 则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得，故， 则43x =或，由，，41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故，.【变式训练3】1）当0a ≥时，函数()e 20x f x a '=+>，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()e 2x f x a '=+，令e 20x a +=，得ln(2)x a =-，所以当(,ln(2))x a ∈-∞-()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 21=a 2421)21)(4()(232+--=--=x x x x x x f ()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 2750)(min -=x f时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()e 20x f x ax =+>，不符合题意. 当0a <时，()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增.①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+.解2e 0a +=，得.②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-，解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意.应用体验： 1.D【解析】函数的定义域为)(0,+∞，令1110x y x x-'=-=≤，解得](0,1x ∈，又0x >，所以](0,1x ∈，故选D. 考点：求函数的单调区间. 2.A【解析】导数为()()()e e 1e x x x f x x x ---'=+⋅-=-，令()0f x '<，得1x >，所以减区间为()1,+∞.考点：利用导数求函数的单调区间． 3.C【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． 4.【解析】()22212x f x x x x-'=-+=，由()0f x '=得2x =，又函数定义域为()0,+∞，当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 递增，因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值点． 5.D【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-Q ，令()0,f x '= 可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增，在(),c e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，又(),,,a b c c ∈-∞，且a b c <<，故()()()f c f b f a >>． 考点：利用导数求函数单调性并比较大小． 2.B【解析】()2a f x x x '=+，由题意可得()121201af a '=⨯+=+=，2a ∴=-.故选B.考点：极值点问题. 3.D【解析】()e 1x f x '=-，令()0,f x '=得0x =.又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>，所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立，则()2320f x x x m '=++≥，即232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--，则()max m g x ≥⎡⎤⎣⎦，因为()g x232x x =--为R 上的二次函数，所以()2max11333g x g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11233⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.5.0【解析】()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==， 由题意得()00f a '==． 考点：导数与极值． 6.1【解析】因为()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点：函数的最值与导数.7.【解析】()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,+∞，()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则1x =或1-（舍去）.∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， ∴()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,+∞．考点：利用导数求函数的单调区间． 8.（1）14a ≤-（2）【解析】（1）函数(),1ln x f x ax x x =+>，则()2ln 1ln x f x a x-'=+，由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立，∴2211111ln ln ln 24a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭， ∵()1,x ∈+∞，()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时，函数2111ln 24t x ⎛⎫=--⎪⎝⎭取最小值41-，41-≤∴a ，（2）当2a =时，()2ln x f x x x =+，()22ln 12ln ln x x f x x -+'=， 令()0f x '=，得22ln ln 10x x +-=，解得21ln =x 或ln 1x =-（舍去），即x =当1x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， ∴()f x的极小值为f =.B 组 1.D【解析】因为函数()213ln 22f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调，所以()2141222x f x x x x-'=-=在区间()1,1a a -+上有零点，由()0f x '=，得12x =，则10,111,2a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩得312a ≤<，故选D ． 考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增，在()0,1内无极值，所以0a ≤符合题意；②当0a >时，令0y '=，即2320x a -=，解得12,33x x =-=，当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，0y '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<，所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭，当x =数取得极大值，当x =原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，1≥，解得32a ≥.综合①②得，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，故选C.考点：导函数，分类讨论思想. 3.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-，当()0f x '>时，1>x 或0<x ，当()0f x '<时，10<<x ，所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增，在区间[]1,0上函数递减，所以当0=x 时，函数取得最大值()30==a f ，则()32332f x x x =-+，所以()211=-f ，()251=f ，所以最小值是()211=-f ． 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：0]，[ln 2，＋∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增．f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，g ″(t )＝e t －2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.∴f(k＋1)>0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．。

高二数学导数在研究函数中的应用试题答案及解析1.已知函数在点处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】解：（I）．根据题意，得即解得所以．（II）设切点为，则，，切线的斜率为则=，即．∵过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实数解，∴函数有三个不同的零点，∴的极大值为正、极小值为负则．令，则或，列表：（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）极大值极小值由，解得实数的取值范围是．【考点】导数的运用点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于中档题。

2.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为_____________．【答案】2【解析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2-4ac≤0，又因为利用均值不等式即可求解．解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2-4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；而对于,当a=c时取等号．故答案为2．【考点】导数的运用点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强3.设函数的临界点是0和4.（1）求常数k的值；（2）确定函数的单调区间和极值.【答案】（1）（2）当为增函数，为减函数；可判断极大值为极小值为【解析】解:（1）依题意有，由于临界点是0和4，∴0和4是方程的两根，可求得（2）由（1）可知，∴当为增函数，为减函数；可判断极大值为极小值为【考点】导数的运用点评：解决的关键是根据导数的符号判定函数单调性，以及临界点的含义得到解析式来求解，属于基础题。

4.函数lnx的单调递减区间是（）A．()B．()C．（）D．（0，e）【答案】D【解析】函数定义域，，令得，所以减区间为【考点】函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数大于零求得增区间5.函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或【考点】函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况6.曲线上的点到直线的最短距离是______________【答案】【解析】设与平行的直线与曲线相切，由得，令得，所以切点，最短距离为【考点】直线与曲线相切点评：本题另一解法：设出曲线上点，求出点到直线的距离，进而求得的最小值7.求曲线过原点的切线方程【答案】【解析】，切线斜率为2，又切线过原点，所以切线为【考点】切线方程点评：函数在某点处切线斜率通过函数在该点处的导数求解8.已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间、极值点，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值．【答案】(1) a＝1，b＝ (2) f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)，x＝0和x＝2是f(x)的极值点，在区间[－2,4]上的最大值为8【解析】(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1， 1分∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2， 2分∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b， 3分又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，解得a＝1，b＝. 4分(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x， 5分、、的变化情况表：表 7分x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，（ 8分）所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．（9分）∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8， (11分)∴在区间[－2,4]上的最大值为8. 12分【考点】函数导数求函数性质点评：由导数的几何意义可求切线斜率，导数大于零得增区间，导数小于零得减区间，增减区间分界处取极值，极值点边界点处可求得函数在某一区间上的最值9.曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________ ．【答案】．【解析】∵，∴，∴切线斜率为，∴在点(1，一3)处的切线方程是y-(-3)=-5(x-1)即【考点】本题考查了导数的几何意义点评：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率10.已知二次函数f(x)的图象如右图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是【答案】C【解析】由图象可以看出，函数在函数是先减后增，故根据单调性与导数的对应关系作出选择解：由图知，当x<1时，导数为负；当x>1时，导数为正；当x=1时，导数为0；对照四个选择项，只有C有这个特征，是正确的．故应选C【考点】导数的正负与函数单调性点评：考查导数的正负与函数单调性的关系，利用图象法来考查这一知识点，是现在比较热的一方式11.函数的增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知函数的定义域为，又，所以函数的增区间为。

寒假作业（25）导数在研究函数中的应用1、定义在R 上的函数()f x 的导函数为(),f'x ,若对任意实数x 有()(),f x f'x >且函数()2019y f x =+为奇函数,则不等式()2019e 0x f x +>的解集是( )A.(,0)-∞B.(0)+∞，C.1(,)e-∞D.1()e+∞， 2、若函数331y x bx =-+在区间[1,2]内是减函数,R b ∈,则（ ） A.4b ≤B.1b ≤C.4b ≥D. 1b ≥3、已知函数()()231f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.[3,0)-B.(,3]-∞-C.[]2,0-D.[]3,0-4、若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞5、设函数()()x x f x x e e -=+，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B.是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 C.是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D.是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数6、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( ) A. 1B. 2C. -2D. -17、若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为( ) A.34a >-B.53a <-C. 5334a -<<-D. 5334a -≤≤-8、已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2e x f x ax +>-,在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[2,)+∞C.(,0]-∞D.[0,2]9、已知函数2()35f x x x =-+,()ln g x ax x =-,若对(0,e)x ∀∈,12,(0,e)x x ∃∈且12x x ≠,使得i ()()(i 1,2)f x g x ==,则实数的取值范围是（ ）A ．16(,)e eB ． 746[,e )eC ．741[,e )eD ．7416(0,][,e )e e⋃10、已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()0f x '=无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，()sin cosg x x x kx =--在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同，则实数k 的取值范围是（ ）A.(]1-∞-,B.(-∞C.⎡-⎣D.)+∞11、若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围是_________. 12、函数()22ln f x x x =-+在()0,+∞上的极大值为___________．13、已知函数2()38,[1,5]f x x kx x =--∈,若函数()f x 在定义域内具有单调性,则实数k 的取值范围为___________.14、设函数()()e 220()x f x g x ax a a ==+，＞.若R x ∀∈，曲线()f x 始终在曲线()g x 上方，则a 的取值范围是_______________________________ 15、已知函数()e ln 1xf x a x =--．(1).设2x =是()f x 的极值点．求，并求()f x 的单调区间； (2).证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：令()()=e xf xg x ， 则()()()0,e xf'x f x g'x -=<则函数()g x 在R 上时减函数， 又()2019y f x =+为奇函数， 则(0)20190,(0)2019,f f +==- 不等式()()2019e 0e x x f x f x +>⇔>0(0)2019()(0)0,e f g x g x -=⇔>⇒< 故不等式的解集为(,0)-∞.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：A解析：由已知可知，()()()x x f x x e e --=-+()()x xx e e f x -=-+=-，故()f x 为奇函数.()()x x x x f x e e x e e --'=++-，当0x >时，x x e e ->，所以()0x x e e x -->，又0x x e e -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞,上是增函数故选A.6答案及解析： 答案：B解析：，，函数在处有极值10，，解得，，，。

1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.1 单调性一、学习要求了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性二、学习重点与难点利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程1.导数与函数的单调性问题1 函数2()43f x x x =-+的单调增区间为[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,由()0f x '<得x ∈(,2)-∞问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而(0)0f '=问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间令导数小于0，解得减区间（3）得结论，注意单调区间之间不可用并问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编例2 求函数32()267f x x x =-++的单调减区间(,0),(2,)-∞+∞例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间3(0,),(,2)22πππ3.拓展探究(1)求函数()x f x x e =-单调减区间(0,)+∞(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间1(,)2+∞ (3)求函数1()f x x=的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)(4)求证：当1x >时，有13x>- (略)(5)判断函数()af x x x=+的单调性 （略）(6)若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间0a <,略(7)函数21y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____________(,0]-∞(8)若函数32()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.13a ≥四、巩固提高1.求函数()ln f x x x =的递增区间1(,)e+∞ 2.若函数225y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围(,3]-∞-3.设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围(,[1,)2-∞-⋃+∞ 4.函数2145ln 24a y x ax x +=-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围5[,5]4- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.2 极大值与极小值一、学习要求了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？问题3 极大值一定比极小值大吗？问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？3.例题改编例1 求2()4f x x x =-+的极值 （略）例2 求311()433f x x x =-++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思考之间的联系） （略） 4.拓展探究（1）函数2()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1（4）求函数21x y x=+的极值2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值23x π=时有极大值23π+43x π=时有极小值43π-（6）设3()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略（7）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处的极值10，求,a b 的值4,11a b ==-（8）试研究函数3211()32f x ax bx cx d =+++ (0)a >的单调性、极值、简图（略）四、巩固提高1.如果函数32()3f x x x c =-+的极小值是3，求c 的值及()f x 极大值7,72. 函数32()1f x x mx x =+++在R 上无极值点，求的取值范围[3. 三次多项式函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式3269y x x x =-+4.已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =点处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出的单调区间11,32a b ==增区间1(1,),(,)3+∞-∞- 减区间1(,1)3-.1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.3 最大值与最小值一、学习要求会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值二、学习重点与难点会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解三、学习过程 1.最值的定义问题1 你对最值的理解是什么？ 问题2 最值与极值有怎样的关系？问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？问题4 最大值一定比最小值大吗？问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？ 问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？3.例题改编例1 求2()43f x x x =-++在区间[1,4]-上最大值和最小值 （略） 例2 求1()cos 2f x x x =+在区间[0,2]π上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图 （略） 4.拓展探究 （1）求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值0x =时有最大值4，2x =时有最小值43-（2）求函数1,[0,2]2x y x x -=∈+的值域 （略）（3）求4282y x x =-+在[1,3]x ∈-上的最大值 11（4）已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 37-（5）将正数a 分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值,22a a （6）P 点是曲线2ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值（7）已知函数ln ()xf x x=，求它在[,2](0)a a a >上的最小值02a <≤时，min ln ()()af x f a a == 2a >时，minln(2)()(2)2a f x f a a==（8）已知函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，当[1,3]x ∈时，()f x 的最最小值为4，求a 的值 2a =四、巩固提高 1.求函数1()2f x x x=+在区间(0,2]上的最值 （略）2.已知函数2(),[1,3]xf x x e x -=∈-，求函数()f x 的最大值与最小值max ()(1)f x f e =-= min ()(0)0f x f ==3.已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间[2,2]-上的最大值是20，求()f x 在该区间上的最小值 7-4.设23()252x f x x x =--+，当[1,2]x ∈-时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围 (7,)+∞。

导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的．(2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的．(3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.(3)根据结果确定f (x )的单调区间．3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值．4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．55.函数ln x y x =的最大值为（ ）A ．1e -B ．eC ．2eD ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．。

导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。

如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。

2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。

通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。

3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。

如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。

4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。

例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。

5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。

例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。

6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。

例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。

7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。

总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业专题13 导数在研究函数中的应用
（一）（背）
一、导数与函数的单调性的关系
1.与为增函数的关系。

能推出为增函数，但反之不一定。

如函数在上单调递增，但
，∴是为增函数的充分不必要条件。

2.时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定
有。

∴当时，是为增函数的充分必要条件。

3.与为增函数的关系。

为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。

当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。

∴是
为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。

因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。

但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

4.单调区间的求解过程，已知
（1）分析的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
5.函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在
处连续，因此在单调递增。

同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。

6.已知
（1）若恒成立∴为上
∴对任意不等式恒成立
（2）若恒成立∴在上
∴对任意不等式恒成立。

1.3 导数在研究函数中的应用1、已知定义在R 上的函数()f x 满足()316f =，且()f x 的导函数()41f x x '<-，则不等式()221f x x x <-+的解集为（ ）A. {}|33x x -<<B.{}3x x >-C. {}3x x >D. {}33x x x <->或2、设函数22()2()ln 2f x x x x x x =--+,则函数()f x 的单调递减区间为( ) A.1(0,)2B.1(,1)2C.(1,)+∞D.(0,)+∞3、设2x =-与3a =是函数()*的两个极值点,则常数a b -的值为( ) A ．21B ．-21C ．27D ．-274、函数()f x '是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线 方程为000:()()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x '==-+=-如果()y f x =在区间[],a b 上的图像如图所示，且0a x b <<那么( )A ．00()0,F x x x '==是F(x) 的极大值点B ．00()0,F x x x '==是F(x) 的极小值点C ．00()0,F x x x '≠=不是F(x)的极值点D ．00()0,F x x x '≠=是F(x)极值点5、若函数321()(1)232bf x x x bx =-++在区间[]3,1-上不单调,则()f x 在R 上的极小值为( )A.423b -B.3223b - C.0D.2316b b -6、已知函数f x （）的定义域[15]﹣，，部分对应值如表，f x （）的导函数y f x '＝（）的图象如图所示，下列关于函数f x （）的结论正确的是（ ）x ﹣1 0 4 5 f x （）1221A ．函数f x （）的极大值点有2个B ．函数f x （）在[0]2，上是减函数C ．若1[]x t ∈﹣，时，f x （）的最大值是2，那么t 的最大值为4D ．当12a ＜＜时，函数y f x a ＝（）﹣有4个零点 7、函数3()3f x x ax a =--在()0,1内有最小值,则a 的取值范围是( )A. 01a ≤<B. 01a <<C. 11a -<<D. 102a << 8、函数ln xy x=的最大值为（ ） A.1e - B.e C.2e D.1039、设函数()e (21)x f x x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <,则a 的取值范围是( ) A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10、已知函数11()()2ln ()f x a x a R x x =--∈，()g x ax =-若至少存在一个01[,1]x e∈，使得()()00f x g x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1)+∞，B ．[1)+∞，C ．(0)+∞，D ．[0)+∞，11、若函数321()13f x x x mx =+++在R 上单调递增，则m 的取值范围是______.12、若函数32()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为____________.13、若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围______.14、设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数.若对任意的[],x a b ∈,都有()()f x g x -≤1,则称()f x 与()g x 在[],a b 上是“比邻函数”.若函数()ln f x x =与1()mx g x x-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“比邻函数”,则实数m 的取值范围为_________. 15、已知函数()ln ,()(1)f x x x g x a x ==-. （1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的值；（2）存在12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，12()()f x f x =，求证：0f '<．答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得()f x 的定义域为21(0,),'()2(21)ln 2()22(42)ln f x x x x x x x x x+∞=-+-⋅-+=-.由'()0f x <,可得(42)ln 0x x -<,所以420ln 0x x ->⎧⎨<⎩或420ln 0x x -<⎧⎨>⎩,解得112x <<,故函数()f x 的单调递减区间为1(,1)2,选B.3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：B解析：5答案及解析： 答案：A解析：由题意,得'()()(2)f x x b x =--.因为()f x 在区间[]3,1-上不单调,所以31b -<<.由'()0f x >,解得2x >或x b <;由'()0f x <,解得2b x <<.所以()f x 的极小值为4(2)23f b =-.故选A.6答案及解析： 答案：AB解析：解：由f x '（）的图象，当10240x x f x ≤'﹣＜或＜＜，（）＞，函数f x （）为增函数， 当02440x x f x ≤'＜＜或＜，（）＜，函数f x （）为减函数，即当0x ＝时，函数f x （）取得极大值，当4x ＝时，函数f x （）取得极大值，即函数f x （）有两个极大值点，故A 正确，函数f x （）在[0]2，上是减函数，故B 正确， 作出f x （）的图象如图：若1[]x t ∈﹣，时，f x （）的最大值是2，则t 满足05t ≤≤，即t 的最大值是5，故C 错误， 由0y f x a ＝（）﹣＝得f x a （）＝， 若21f ≤（），当12a ＜＜时，f x a （）＝有四个根，若12f a ＜（）＜，当12a ＜＜时，f x a （）＝不一定有四个根，有可能是2个，故函数y f x a ＝（）﹣有4个零点不一定正确，故D 错误，故正确的是A B ，， 故选：AB ．7答案及解析： 答案：B解析：设22()333()f x x a x a ==-'-,若0a =,则2'()3f x x =,当(0,1)x ∈时, '()0f x >,()f x 在(0,1)是增函数,所以无最小值,排除A 、C. 当12a =时, 21()32f x x ⎛⎫=- ⎝'⎪⎭,令'()0f x =，2x =∴当2x ⎛∈ ⎝⎭时, '()0f x <,()f x 是减函数;当2x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时, '()0f x >.()f x 时增函数, ∴当22x =时, ()f x 有最小值,排除D,故选C.8答案及解析： 答案：A解析：9答案及解析：答案：D解析：由题意可知存在唯一的整数x,使得000e(21)x x ax a-<-,设()e(21),()xg x x h x ax a=-=-,由'()e(21)xg x x=+可知()g x在1(,)2-∞-上单调递减,在1(,)2-+∞上单调递增,作出()g x与()h x的大致图象如图所示,故(0)(0)(1)(1)h gh g>⎧⎨-≤-⎩,即132eaa<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩,所以312ea≤<,故选D.10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：1m≥解析：12答案及解析：答案：-3解析：2'()622(3)(R)f x x ax x x a a=-=-∈,当0a≤时,'()0f x>在(0,)+∞上恒成立,则()f x在(0,)+∞上单调递增,又(0)1f=,所以此时()f x在(0,)+∞内无零点,不满足题意.当0a>时,由'()0f x>,得3ax>,由'()0f x<,得03ax<<,则()f x在(0,)3a上单调递减,在(,)3a+∞上单调递增.又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点,所以3()10327a a f =-+=,得3a =,所以32()231f x x x =-+,则'()6(1)f x x x =-,当(1,0)x ∈-时,'()0,()f x f x >单调递增,当(0,1)x ∈时,'()0,()f x f x <单调递减,则max ()(0)1,(1)4,(1)0f x f f f ==-=-=,则min ()4f x =-,所以()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为-3.13答案及解析： 答案：(,4]-∞ 解析：14答案及解析： 答案：[]e 2,2-解析：因为函数()ln f x x =与1()mx g x x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“比邻函数”,所以对任意的1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()()1f x g x -≤,即1ln 1x m x +-≤,从而11ln 1m x m x-≤+≤+.令11()ln (e)e h x x x x =+≤≤,则22111'()x h x x x x -=-=,从而()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[]1,e 上单调递增,所以()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1h =,又1()(e)e h h >,最大值为1()e 1e h =-,所以11m -≤且1e 1m +≥-,解得e 22m -≤≤.15答案及解析：答案：解：（1）()()ln 0a f x g x x a x ≥⇔+-≥ 令()ln ,()a x ah x x a h x x x-'=+-= 当0a ≤时，()0,(1)0h x h '>=，则(0,1)x ∈，()0h x <，不符合题意，舍去. 当0a >时，(0,)a 是减区间，(,)a +∞是增区间所以，min ()()ln 1h x h a a a ==+- 令1()ln 1,()xF x x x F x x-'=+-=()F x 在0,1（）递增，(1,)+∞递减 max ()(1)0F x F ==()0F x ≤，在1x =取等号，即：1a =. （2）()ln ()1ln f x x x f x x '=⇔=+()f x 在1(0,)e 递减；在1(,)e +∞递增，(1)0f =由12()()f x f x =可知12101x x e<<<<由121122()()ln ,ln f x f x k x x k x x k ==⇒== 12211221121221122112ln ln ln ln ln ln ln ln x x x x k x x x x x x x x x x x x x x kx x -⎧-=⎪⋅--⎪⇒=⎨+++⎪+=⎪⋅⎩要证0f '<成立 只需证：121221ln ln 2x x x x e ⋅<⇔+<-由(*)可知：即证22121121ln 1x x x x x x ->+令21x t x =，即证：21ln (1)1t t t t ->>+令2(1)21()ln (1),()01(1)t t h t t t h t t t t --'=->=>++ 所以，21()(1)0,ln (1)1t h t h t t t ->=>>+ 所以，12ln ln 2x x +<-所以，0f '<. 解析：。

高二数学导数在研究函数中的应用试题1.函数在区间上是（）A．单调增函数B．单调减函数C．在上是单调减函数，在上是单调增函数D．在上是单调增函数，在上是单调减函数【答案】Ｃ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。

解：函数定义域为。

由得，所以函数在区间上是“在上是单调减函数，在上是单调增函数”，故选C。

2.已知函数的图象与轴相切于极大值为，极小值为（）A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为C．极大值为0，极小值为D．极大值为，极小值为0【答案】Ａ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、导数的几何意义等方面的应用。

结合选项可知，只有A符合题意，故选A。

3.函数在上取最大值时，的值为（）A．0B．C．D．【答案】Ｂ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。

解：由=0得，所以选B。

4.函数的极值点为，，则，．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值等方面的应用。

解：即，时，的导数为0. 而，所以，解得。

5.函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】4【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。

函数中没有，是一道错题。

6.函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。

解：即的导数在恒成立。

显然0，所以，解得，故实数的取值范围是。

7.函数在上的值域为．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。

利用导数求函数的最大值、最小值，确定得到值域为。

8.在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当为时，正三棱柱的体积最大，最大值是．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。

解：依题意知，正三棱柱的底面边长为，高为，所以其体积为，令其导数为0，所以为时，体积最大为。

9.已知，证明不等式．【答案】见解析【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用。

专题13 导数在研究函数中的应用（一）【测一测】一．选择题1．设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则( ) A ．x ＝12为f(x)的极大值点 B ．x ＝12为f(x)的极小值点 C ．x ＝2为f(x)的极大值点 D ．x ＝2为f(x)的极小值点2．函数f （x ）=x3﹣mx2+4x 在[1，3]上是单调增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5≤mB. 313≤mC. 4≤mD.316≤m3. 已知函数f （x ）的定义域为（﹣2，2），其导函数)(x f '=2x +2cosx 且f （0）=0，则关于实数x 的不等式f （x ﹣2）+f （x2﹣2x ）＞0的解集为（ ）A. （0，1+） B. （2，4）C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（2，1+）【答案】D【解析】 试题分析：)(x f '=x2+2cosx 知f （x ）=31x3+2sinx+c 而f （0）=0，∴c=0，即f （x ）=x3+2sinx易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f'（x ）=x2+2cosx 在x ∈（0，2）恒大于0根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f （x ﹣2）+f （x2﹣2x ）＞0，f （x ﹣2）＞﹣f （x2﹣2x ），即：f（x﹣2）＞f（2x﹣x2）∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-2222222222xxxxxx，解得：x∈（2，1+）4. 若函数f（x）=3x+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A. [﹣3，+∞）B. （﹣3，+∞）C. [0，+∞）D. （0，+∞）5. 若函数f（x）的导函数)(xf'=2x﹣4x+3，则函数f（x+1）的单调递减区间是（）A. （﹣∞，2）B. （﹣∞，1）C. （1，3）D. （0，2）6．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为)(xf'，当x∈(－∞，0]时，恒有x)(xf'<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是( )A．(－1,2) B.)21,1(-C.)2,21(D．(－2,1)7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数) (x f'的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( ) f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)8. 奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且满足)(xf'＜0，已知f（a﹣2）＜﹣f（2a﹣3），则a的取值范围是（）A. B. （1，2） C.D.【答案】D【解析】试题分析：由)(xf'＜0，得函数f（x）在定义域内为减函数，又f（x）为定义域为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（a﹣2）＜﹣f（7题2a﹣3）⇔f（a﹣2）＜f（﹣2a+3）⇔⎪⎩⎪⎨⎧+->-<+-<-<-<-3221321121aaaa，解得．9. 定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．)(xf'为f（x）的导函数，已知函数y=)(xf'的图象如右图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A. B. （） C. （，3） D. （3，+∞）【答案】C【解析】10. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（）A. B. C.D.二、填空题11．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)9题【解析】试题分析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－ 3.12. 若a ＝ln33，b ＝ln55，c ＝ln88，则a 、b 、c 的大小关系为________(用“>”连接)． 【答案】a>b>c【解析】试题分析：构造函数y ＝lnx x (x>0)，由y ′＝1－lnx x2，令y ′＝0，x ＝e ，且当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，即函数在(e ，＋∞)上为减函数，∵e<3<5<8，∴a>b>c.13．下图是函数y ＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x ＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x ＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．【答案】②③【解析】试题分析：由函数y ＝f(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．14. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行．若f(x)在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．三．解答题15. 已知函数f(x)＝ex(ax ＋b)－x2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．答案：(1)a ＝4，b ＝4；(2)f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减，f(x)的极大值为4(1－e －2)．解析：(1)f ′(x)＝ex(ax ＋a ＋b)－2x －4.由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4.13题16.已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。