微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容,也是大学数学的重要的基础课程,容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础,提供以直代曲,把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式,在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容,不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求,也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容,在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中,没有得到它应有的体现,难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册〔选修2—2〔人民教育 ,从微积分产生的时代背景和历史意义出发,简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义,论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性,通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究,结合现代教育教学理论,归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言12文献综述32.1国外研究现状32.2国外研究现状评价32.3提出问题43微积分在中学数学教学中的应用43.1微积分与中学数学的联系43.2微积分在中学数学中的地位和作用43.3微积分在中学数学解题中的应用5导数在求曲线的切线中的应用5导数在不等式证明中的应用5导数在恒等式证明中的应用的6导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用7 导数在几何上的应用9导数在方程解的问题上的应用9导数在数列问题中的应用9运用微分学知识研究函数图像[4]104定积分在中学数学中的应用104.1定积分在求曲边形面积上的应用104.2积分在不等式证明中的应用114.3定积分在组合恒等式证明中的应用115提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性12 5.1提高现代数学教师修养的必要性125.2提高现代数学教师修养的可行性126结论126.1主要发现126.2启示126.3局限性126.4努力方面13参考文献131引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国,公元前4世纪前,恒团,公龙等提出的"一尺之锤,日取其半,万事不竭"；公园3世纪徽的"割圆术"和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究〔祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积,都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲,公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究〔穷竭法,也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后,资本主义生产方式兴起,生产力有了较大发展.到了16世纪,由于航海、机械制造以及军事上的需要,运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系,变量的引进,形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中,都包含着微积分的初步想法.到了17世纪,生产的发展提出了许多技术上的新要求,而要实现技术要求必须有相应的科学知识,例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中,贸易活动占有重要的地位,与此相关的海运事业迅速发展,向外扩的军事需要,也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置〔经纬度、预报气象,天文学因而发展起来,所有这些发展都对数学提出了新的要求,这些要求变现为一些急需解决的问题,可以分为一下四种类型：〔1球运动物体的瞬时速度和加速度.〔2已知曲线求其切线.〔3已知函数求函数的极大值和极小值.〔4求曲线的长度.这些问题都是17世纪时,其他科学,尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之,到17世纪前叶,已经积累了许多关于微积分思想的成果,但微积分作为一门学科来发展,还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后,分别独立建立了微积分学,他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学,17世纪早期,数学家们已经建立起一系列求解无限小问题〔诸如曲线的切线、曲率、极值,求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法,特别是确立了微分与积分的逆运算关系〔微积分基本定理.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面,它极促进了数学科学的发展,丰富了数学科学的思想宝库,随着微积分的理论基础逐步完善,以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展,建立了多种数学分支,如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面,微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用,极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国,由于历史的原因,我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后,广大的教育工作者在不同的时期,从不同的角度,利用不同的方法,对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究,取得了一定的成果.早在1983年,的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书,对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段,教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人,也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体,也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中,有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见,高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外,对微积分的教学研究较早,并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初,德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的"新数学"运动及后来60年代末在法国进行的"现代数学教育改革"运动,他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展,将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代,各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如,日本,文英堂,竹之修,高等学校新编,数学II〔1998；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册〔1988；英国,剑桥大学SMP教材系列,纯数学〔1997；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导,阿利莫夫等主编的高中"代数与分析初步"〔2000等新编高中微积分教材,都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明,文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法,没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少,对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明.2.3提出问题在一些发达的省市,微积分已纳入高考,对微积分的进一步学习迫在眉睫,但就部分高中生而言,他们已具备较强的学习能力,数学学习过程中会根据教师的指导,除学好基础知识外,还会体会微积分的思想,总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生,要教好掌握高中数学知识尚且困难,更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此,除对问题解决中应用微积分外,还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨,包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册〔选修2—2的进一步延伸和发展,而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤,无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识,进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之,学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握,可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接,使不少大一新生一接触到"数学分析"时,就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节,许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题,研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容,为中学生进入大学埋下伏笔,微积分在中学数学解题中提供了新的方法,同时也提供了重要的思想,为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里,由于初等数学知识本身的极限性,对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的,并且切线是不能穿过切线的.因此,求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组,消去y ,化成关于x 的一元二次方程,利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置,即只要曲线在这点的极限存在并连续,那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线,即一条切线除切点外,还可能与这条曲线有其它的公共点,因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1<20XX 卷 理科>已知函数()x x x f ln 2-=,求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0, ()xx f 21'-,()0>x 因为 ()11=f ,()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：即02=-+y x因此,用导数的方法不仅修正了切线的定义,还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具,包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说,前者较易,后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法,如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等,但这些方法毕竟带有局限性,对于一些比较复杂的问题往往就不起作用,而且还有这些情况,题目略有不同,证明方法就迥然不同.总之,证明不等式是方法很多,要得出确定的方法几乎是不可能的.因此,不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证：当1->x 时,恒有 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g , 从其导数入手即可证明：∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：因此,当1->x 时,0)0()(=≤f x f ,即∴x x ≤+)1ln( 〔右面得证现证左面,令111)1ln()(-+++=x x x g ,则： 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ,即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数,故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ,∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即： ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当1->x 时,有： 从此例可以看到,导数作为证明不等式的工具,方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到,这里就恒等式的三种情况〔组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ,则这种方法简单,但是技巧强,若想不到这样或者遗忘公式,就无法作答.方法二 由二项式定理展开得：由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ,对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ,即可得： 利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单,更重要的是可以优化解题过程,开阔学生视野,发展学生思维.例3证明()()2112111321x nx x n nx x x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x 证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则 当2121<<-x 时,()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,()c X F ≡ 令0=x ,则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=F故π=c ,所以在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21, 又π=⎪⎭⎫ ⎝⎛±21F ,所以当21≤x 时 在三角学中,有时从关于正〔余弦的恒等式出发,通过求导,即可得到有关余〔正弦的相应很等式恒等式.导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地,求函数()x f y =的极值的方法是：解方程()0'=x f ,当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ,右侧()00'<x f ,那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ,右侧()00'>x f ,那么()0'x f 是极小值.二、求函数()x f 最值的方法我们知道,如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续,那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点,设1x ,2x ,……,n x ,则如果确知()x f 的最值存在的话,这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ,所以 令()0'=x f ,解得2=x 或2-=x .下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时,2>x 或2-<x ；②当()00'<x f 时,22<<-x当x 变化时,()0'x f ,()x f 的变化如下表：因此,当2-=x 时,()x f 有极大值,极大值为当2=x 时,()x f 有极小值,极小值为例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值.解：由例4可知,在[]3,0上,当2=x 时,有极小值,并且极小值为()342-=f 又由于()40=f ,()13=f因此函数在[]3,0上的最大值是4,最小值是34-. 通过这两个例题我们看到,求函数极大〔小值和最大〔小时,运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到,初等方法只能处理一些特殊问题,有很大的局限性,并且往往需要一定的技巧,还容易遗漏一些极值点,导数法不但方法简单、统一,易于掌握和运用,而且不会漏掉极值点,更重要的是它的应用围比初等方法广得多.导数在几何上的应用导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性,可研究方程根的个数问题.例若3>m ,则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？解：设()123+-=mx x x f ,则()mx x x f 232'-=,当3>m 且[]2,0∈m 时,()0'<x f ,故()x f 在()2,0上单调递减,而()x f 在0=x 与2=x 处都连续,且()010>=f ,()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根．导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+,*∈N n ,且()1,01∈a ,求证： 证明：构造函数()x x x f 23213+-=,则： 当()1,0∈x 时,()0'>x f ,所以()x f 在()1,0上是增函数.因为()1,01∈a ,即：故1=n 时,原不等式成立.设k n =时,原不等式成立,即10<<k a因为()x f 在()1,0上是增函数,所以又()00=f ,()11=f ,所以()10<<k a f ,即即1+=k n 时,原不等式成立,故：当*∈N n 时,导数在数列中的应用还远不止这些,如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等,但基本思想方法是一样的,在这里就不一一例举.运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候,其作用尤为明显,这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前,用描点法作图是十分必要的,不过它有缺陷,带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像,就能克服描点法作图的缺点,可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说,讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容,《课标》对定积分的定位如下："〔1通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础；〔2通过实例,直观了解微积分基本定理的含义；〔3了解微积分的文化价值．可见,高中课程学习定积分,重在粗浅地领略其主要思想和基本方法,从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法,定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ,那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =,b x =,0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积. 例<20XX 卷理科> 求直线l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 解析：本题考查抛物线的性质,定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ,所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值,即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例 4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式,主要是因为导数可以判断函数的单调性,可以求函数的极值和最值,此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算,积分本身又具有单调性,此外也有积分中值定理,再加上积分明显的几何直观,使积分在不等的证明中也有广泛的应用.例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x 而当10≤≤x 时,有22111x x x +>+∴由积分单调性得 4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式,通过求导运算,可以证明组合恒等式,这是我们在3.3中已经介绍过.同样,选择适当的二项式,通过积分运算,也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n n n n n证明：考虑积分()⎰-=101dx x I n的两种算法： ①1110011+==-=⎰⎰-=n du u du u I n n x u ②()dx x C I n k k n k k n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001 比较积分I 的两种计算结果,即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究,如定积分在求平面区域的面积,求平面曲线的弧长,求旋转体的体积,求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论. 5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视,且题型灵活多变,一般的学生难于把握,在解决的过程中更是困难重重,在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法,以其为指导,并熟练掌握微积分的基础知识以后,问题就能够迎刃而解,使得在解决微积分问题时思路清晰,运算简便,尤其是导数在求函数的单调性、极大〔小值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用,以后在处理微积分问题时,若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想,对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容,无论是对于教师还是学生都是"新"的.作为教师要从思想方法上指导学生,6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明,其主要是归结概括,还有诸多知识需待补充,微积分在中学数学中的应用远远不止这些,未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想,其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多,并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键,应用微积分可以解决很多数学数学问题,需进一步学习积累,灵活应用,以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：,1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育,1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》〔选修2—2.人民教育.2009.。
