全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法

全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。

1. 作法。

- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。

- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。

延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。

2. 原因。

- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。

- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。

二、截长补短法。

1. 截长法。

- 作法。

- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。

- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。

在AB上截取AE = AC，然后连接DE。

- 原因。

- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。

这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。

2. 补短法。

- 作法。

- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。

- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。

- 原因。

- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。

三、作平行线法。

1. 作法。

- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。

- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。

过D作DF∥AC交BC于F。

2. 原因。

- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。

常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。

它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。

也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。

逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。

在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AEAD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　当连接、，则为平行四边形M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，举例：FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FAB C DE如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB=AC ． 求证：△CE=2CD ；△CB 平分△DCE ．E DCB A如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：△AEF=△EAF ．F EDCBA321MA BCD EF如图，在正方形ABCD 中，CD=BC ，△DCB=90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF △BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG=CG 且EG △CG ．GF EDCB AM2134GFDA1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB AE DCB AF E DBAGFEDCBAFED CBA6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）GF EDCBA➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线21EDCBA 21EBCDA在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90°321MABCD EFG∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3G FEAD BC三角形全等之倍长中线（作业）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A D CE FA B DCE FGFE CD B A FE CD B AA B DCE FG在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为D CBAF E DCBAFED CBA G FE D CBA∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中FE DB CA21ECDB A 21ECDBA DBA2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略DCB A。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形辅助线之倍长中线法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　当连接、，则为平行四边形AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AE举例：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．F EDCBA 321MA BCD EF1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AE D CB AF EDBAGFE DB AGDAFE DCB A7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） 典型题型 1. 解：（1）如图，（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD21BC DA在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴53<AE <5+3∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC21EDCBA∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中321AFG 321MABCDEFFE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG CG=5 =7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形M2134GFDA在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少G FEAD BC【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAEA D CEFA B DCE F？？GG？？FECDBA ？？FE CD B A A B DCE F？？G∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CDD CBAF E DCBAFEB AG FED CBADA的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21ECDB A 21ECDB A DBA相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等． 2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS角2. 证明略DCB A。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题中线是三角形中的重要线段之一。

为了解决几何问题，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线法的过程是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。

倍长中线最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

常用的辅助线添加方法有两种：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条边，然后连接这两个点构造全等三角形；二是通过作垂线和延长线来间接倍长中线。

例1：在△ABC中，已知AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：在△ABC中，已知AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证BD=CE。

例3：在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证AF=EF。

例4：在△ABC中，已知AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC。

过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC。

求证AE平分∠BAC。

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证∠C=∠BAE。

自检自测：1、在△ABC中，已知BD=DC=AC，E是DC的中点，求证AD平分∠BAE。

2、在四边形ABCD中，已知AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

3、在△ABC中，已知AD为中线，DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F。

求证BE+CF>EF。

4、在直角△ABC中，已知CM⊥XXX于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，XXX于E。

求证CT=BE。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

和三角形中线有关的题型的证法——倍长中线法我们知道三角形有角平分线、垂线、中线三条重要的线段，其中之一就是中线.中线作为三角形的重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长一条直线到某点，使这延长线等于另一条线段，构造两个全等三角形，倍长中线法的几种添加辅助线的情形如下.如图，线段AD是△ABC的边BC上的中线，方式1：如图1，延长AD到E，使DE=AD，连接BE；方式2：如图2，（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE；方式3：如图3延长MD到N，使DN=MD，连接CD下面举例说明运用倍长中线法添加辅助线的情形过程．1.△ABC中，AB＝5，AC＝9，求BC边上的中线AD的长的取值范围．分析：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，证出三角形全等，再根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答．解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，∴△ABD≌△ECD，∴EC＝AB＝5，△AEC中，∵9﹣5＝4，9+5＝14，∴4＜2AD＜14，∴2＜AD＜7．2.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG ＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．分析：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠F＝∠FGA，即可求得∠CAD＝∠BAD，即可解题．解：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，∴∠BEG＝∠CEH，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∴BG＝CH，∵CF＝BG，∴CH ＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．3.如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝900，连接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度数；（2）求证：△DEF为等腰直角三角形．分析：（1）先依据等腰直角三角形的性质求得∠ECA、∠FCB的度数，然后依据∠ECA+∠ECF+∠FCB＝180°求解即可；（2）延长ED到点G，使得DG＝DE，连接BG，FG，然后依据SAS证明△EDA≌△GDB，接下来依据SAS证明△ECF≌△GBF，最后再证明△EFD≌△GFD，从而可证明△DEF为等腰直角三角形．解：（1）∵△ACE和△CBF均为等腰直角三角形，∴∠ECA＝450，∠FCB＝450．∵∠ECA+∠ECF+∠FCB＝1800，∴∠ECF＝900．（2）证明：延长ED到点G，使得DG＝DE，连接BG，FG．∵D为线段AB的中点，∴AD＝BD．∵在△EDA和△GDB中，，∴△EDA≌△GDB（SAS）．∴EA＝GB，∠A＝∠GBD＝450．∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴CF＝FB，AE＝EC，∠A＝∠ECA＝∠FCB＝∠FBC＝450．∴CF＝FB，EC＝BG，∠ECF＝900．∵在△ECF和△GBF中，，∴△ECF≌△GBF（SAS）．∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFB．∵∠CFB＝∠CFG+∠GFB＝900，∴∠EFG＝∠EFC+∠CFG＝900．∵在△EFD和△GFD中，，∴△EFD≌△GFD．∴∠EDF＝∠GDF＝900，∠EFD＝∠GFD＝450．∴ED＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形．4.如图，由△ABC的顶点A引一条射线AD，与边BC交于D点，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，为了使BE＝CF，射线AD应该具有什么性质？分析：当射线AD是BC的中线时，BE＝CF，可通过证明△BED≌△CFD证明．解：当射线AD是BC的中线时，BE＝CF.理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，∴∠BED＝∠CFD＝900，∵D是BC中点，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CFD，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF．5.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．(1)求证：AD是△ABC的中线；(2)如果AB=4,AC=6,S△ABC=10，AD长为偶数，求BE的长.分析:（1）欲证明AD 是△ABC 的中线，只要证明BD ＝CD ，即证明△BED ≌△CFD 即可；（2）S △ABC =10，S △ABD =AD ·BE ÷2=5，求出AD 可取的数，BE 长的结果就求出来了.解：（1）证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠F ＝90°，在△BED 和△CFD 中，，∴△BED ≌△CFD ，∴BD ＝CD ，∴AD 是△ABC 的中线；（2）延长AF 至G ，使DG=AD ，连接CG ，易证△CGD ≌△BAD ，∴CG=AB=4，∵AC=6，∴AG 的取值范围是2＜AG ＜10，∴1＜AG ＜5，∵AG 为偶数，∴AG 可取2或4，∵S △ABC =10，BD=CD ，∴S △ABD =AD ·BE ÷2=5，∴BE=5或2.56.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．分析：如图，作辅助线；证明△DGF ∽△ECF ，得到DG ＝CE ，此为解决该问题的关键性结论；证明BD ＝GD ，即可解决问题．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ∽△ECF ，∴DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．7.已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．分析：根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到△ADC ≌△GDB ，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC ＝DB ，在△ADC 和△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DB DC GDB ADC DGAD ，∴△ADC ≌△GDB （SAS ），∴∠CAD ＝∠G ，BG ＝AC ，又∵BE ＝AC ，∴BE ＝BG ，∴∠BED ＝∠G ，∵∠BED ＝∠AEF ，∴∠AEF ＝∠CAD ，即：∠AEF ＝∠FAE ，∴AF ＝EF ．8.如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC ．求证：CD ＝2CE分析：过B 作BF ∥AC 交CE 的延长线于F ，由E 为AB 中点，得到AE ＝EB ，再由BF 与AC 平行，得到两对内错角相等，利用AAS 得到三角形ACE 与三角形BFE 全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE ＝EF ，AC ＝BF ，即CF ＝2CE ，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC ＝AB ，根据B 为AD 中点，得到AC ＝AB ＝BD ＝BF ，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS 得到三角形CBD 与三角形CBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到CD ＝CF ，等量代换即可得证．证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，∵CE是中线，BF∥AC，∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，在△ACE 和△BFE中，，∴△ACE≌△BFE（AAS），∴CE＝EF，AC＝BF，∴CF＝2CE，又∵∠ACB＝∠ABC，CB 是△ADC的中线，∴AC＝AB＝BD＝BF，∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，∴∠DBC＝∠FBC，在△DBC和△FBC 中，，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC＝CF＝2CE．9.如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．分析:如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．由△BDE≌△CDM（SAS），推出BE＝CM，由DE＝DM，DF⊥EM，推出FE＝FM，在△FCM中利用三边关系定理即可解决问题；证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．10.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．分析:延长AM至N，使MN＝AM，证△AMC≌△NMB，推出AC＝BN＝AD，求出∠EAD＝∠ABN，证△EAD≌△ABN即可．证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝900，∴∠EAD+∠BAC＝1800，∴∠ABN＝∠ABC+∠C＝1800﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中，∵，∴△ABN≌△EAD （SAS），∴DE＝AN＝2MN．跟踪练习：1.如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．2.如图，∠ACB=900，D是AB中点，连接CD，求证：CD=AB／23.△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，试判断AD与AB的位置关系4.如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF，求证：AC＝BF5.如图，△ABC中，∠A＝900，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长6.如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．7.如图，AD是△ABC的中线，（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）过点D作DE∥AB交AC于E，过点D作DF∥AC交AB于F，求证：DE＝AB．8.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．9.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．10.如图，在△ABC中，∠B＝60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O，求证：AC＝AE+CF．11.如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AE＝AD，F为CD的中点，探究BE与AF的关系，并给出你的证明．跟踪练习答案1.（1）证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连接BE．在△ACD和△EBD中,，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE（全等三角形的对应边相等），在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC ＜2AD＜AB+AC；（2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm，∴8﹣5＜2AD＜8+5，∴＜AD＜．2.证明：延长CD至P,使D为CP中点，连接AP.∵DP=DC，DA=DB，∠ADP=∠CDB，∴△ADP≌△BDC,∴AP=BC,∠P=∠PCB∵∠PCB+∠ACP=900,∴∠P+∠ACP=900,∴∠CAP=900,∴∠CAP=∠ACB.在△ACP与△ABC中，AP=BC，AC=AC，∠CAP=∠ACB，∴△ACP≌△CAB，∴CP=AB，∵CD=CP／2，∴CD=AB／23.解：延长AD至E，使得AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝13，∵AD＝6，∴AE＝12，∵52+122＝132，∴AB2+AE2＝EB2，∴∠BAE＝90°，∴AD⊥AB．4.分析：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AE＝EF，得∠CAD＝∠AFE，可证出∠G＝∠BFG，即得出AC＝BF．∴△BDG≌△CDA（SAS），证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∵，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G.又∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE .又∠BFG＝∠AFE，∴∠CAD＝∠BFG，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．5.分析：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，易证△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明∠ABG＝900，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝EG，即可求得EF的长，即可解题．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝900，∴∠DBG+∠ABC＝900，即∠ABG＝900，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG ＝＝5．6.分析：延长FE 到G ，使EG ＝EF ．连接CG ，由于已知条件通过SAS 证得△DEF ≌△CEG 得到DF ＝GC ，∠DFE ＝∠G ，由平行线的性质和已知条件得到∠G ＝∠CAE ，故有∠BAE ＝∠CAE ，结论可得．证明：如图，延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵，∴△DEF ≌△CEG ．∴DF ＝GC ，∠DFE ＝∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE ＝∠BAE ．∵DF ＝AC ，∴GC ＝AC ．∴∠G ＝∠CAE ．∴∠BAE ＝∠CAE ．即AE 平分∠BAC ．7.分析:（1）延长AD 到E 使AD ＝DM ，连接BM ，利用已知条件可证明△BDM ≌△ADC ，所以AM ＝2AD ，BM ＝AC ，由三角形的三边关系定理即可证明AB+AC ＞2AD ；（2）根据三角形中位线定理即可证明DE ＝AB ．证明：（1）延长AD 到M 使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△BDM 和△ADC 中,，∴△BDM ≌△ADC ，∴AC ＝BM ，AM ＝2AD ，∵AB+BM ＞AM ，∴AB+AC ＞2AD ；（2）∵DE ∥AB 交AC 于E ，DF ∥AC 交AB 于F ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ＝AF ，∵BD ＝CD ，∴BF ＝AF ，∴DE ＝AB ．8.分析:延长AD 至点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ，CG ，易证四边形ABGC 是平行四边形，即可求得∠EAF ＝∠ABG ，即可求证△EAF ≌△BAG ，即可解题．证明：延长AD 至点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ，CG ，∵AD ＝DG ，BD ＝CD ，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴AC ＝AF ＝BG ，AB ＝AE ＝CG ，∠BAC+∠ABG ＝1800，∵∠EAF+∠BAC ＝1800，∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EAF 和△BAG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG AF ABG EAF AB AE ，∴△EAF ≌△BAG （SAS ），∴EF ＝AG ，∵AG ＝2AD ，∴EF ＝2AD ．9.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．解：证明：方法一：作BF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．∴∠F ＝∠CGE ＝90°．又∵∠BEF ＝∠CEG ，BE ＝CE ，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵∠F ＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．10.分析：在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO 和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH+CH代换即可得证．证明：如图，在AC上取一点H，使AH＝AE，∵AF是△ABC的角平分线，∴∠EAO＝∠HAO，在△AEO和△AHO中，，∴△AEO≌△AHO（SAS），∴∠AE0＝∠AHO，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠3＝∠AHO，∠2+∠B＝∠AEO，∴∠3＝∠B＝60°，又∵∠B＝60°，CE、AF是△ABC的角平分线，∴∠4＝∠1+∠CAF＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠3＝∠4，在△CFO和△CHO中，，∴△CFO≌△CHO（ASA），∴CF＝CH，由图可知，AC＝AH+CH，∴AC＝AE+CF．11.分析：延长FA交BE于H，延长AF到G使FG＝AF，连接CG，根据全等三角形的性质得到CG＝AD，∠G＝∠FAD，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠ACG＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到∠CAG＝∠B，等量代换即可得到结论．解：BE⊥AF，理由：延长FA交BE于H，延长AF到G使FG＝AF，连接CG，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，在△CFG 与△DFA中，，∴△CFG≌△DFA，∴CG＝AD，∠G＝∠FAD，∵AB⊥AC，AD⊥AE，AE＝AD，∴∠BAC ＝∠DAE＝90°，AE＝CG，∴∠BAE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠CAD＝180°﹣∠CAD，∵∠ACG＝180°﹣∠CAF﹣∠G ＝180°﹣∠CAE﹣∠DAF＝180°﹣∠CAD，∴∠ACG＝∠BAE，在△ACG与△BAE中，，∴△ACG≌△BAE，∴∠CAG＝∠B，∵∠BAH+∠CAG＝90°，∴∠BAH+∠B＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AF⊥BE．。

全等三角形辅助线之倍长中线、截长补短、三线合一、角平分线(2019-2020整理版) 知识梳理倍长中线角平分线之截长补短角平分线等腰三角形EDCBA“角平分线+平行”模型“角平分线+垂直”模型“角平分线+斜交”模型E DCBAEDCBA等腰三角形三线合一模型等角对等边模型等边对等角模型FE DBA典型例题一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．MCBADCBA【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而B G E A G F ∠=∠∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠ ∴AD 为ABC ∆的角平分线．FEDC BA FEDCBAF GE DCBAHAF GBE DC【练3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【解析】 延长FM 到N ，使M N M F =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =， 又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EMF EMN ∠=∠=， 利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =，在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．GFEDCBAFACD E B MFECBANMFECBA【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练2】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【解析】 延长FD 到点G ，使FD GD =，连结EG 、BG ．在CDF ∆和BDG ∆中CD BD CDF BDG FD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF BDG ∆∆≌ ∴BG CF =，FCD GBD ∠=∠∵90A ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒∴90ABC GBD ∠+∠=︒在EDF ∆和EDG ∆中90ED ED EDF EDG FD GD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴EDF EDG ∆∆≌∴EF EG =故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．【练3】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．(勾股定理)【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有 ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒==ADF BGF ⇒∠=∠AD GB⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒=．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．FEMCBAF EDCBAGAE BDCF FEDCBA 图 6GEFDB CA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【解析】 解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠， CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD ∆∆≌，因此2CD CF CE ==．解法二：如图所示，取CD 的中点G ，连接BG ．因为G 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BG 是DAC ∆的中位线，从而1122BG AC AB BE ===，由BG AC ∥可得GBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，故BCE BCG ∆∆≌， 从而EC GC =，2CD CE =．【练1】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CE【练2】如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=︒，而条件BM ME =不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明AM E FM B ∆∆≌EDCBA54321KE DCBAMECBAFNO H ABC EM则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ∠=︒而90CAD DAB ∠+∠=︒，90DAB ABN ∠+∠=︒，故CAD ABN ∠=∠ 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠ 而90D DON FOH F ∠+∠=∠+∠=︒ 故90AHD ∠=︒，亦即AM CD ⊥二、 截长补短截长法与补短法，是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法是解决几何问题中常用的方法之一。

在利用中线解决问题时，我们可以通过添加辅助线，采用倍长中线法来构造全等三角形，从而运用全等三角形的知识来解决问题。

具体来说，倍长中线法的过程是：延长某一中线一倍，使其构造出全等三角形，然后利用全等三角形的有关知识来解决问题。

在构造全等三角形时，我们可以采用两种常用的方法：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条中线，然后利用对顶角的SAS证明全等；二是通过间接倍长的方法，利用垂线和平行线构造出全等三角形。

倍长中线法最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

我们可以通过经典例题来练这种方法，例如求中线的取值范围、证明BD等于CE、证明AF等于EF 等问题。

自检自测题也是巩固这种方法的好办法。

例如证明AD平分∠BAE、探究线段AB与AF、CF之间的数量关系、证明BE+CF>EF等问题都可以通过倍长中线法来解决。

辅助线-倍长中线法一、知识梳理中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明.【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1：直接倍长延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ， 方式2:间接倍长延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD二、例题讲解题型一、证明线段不等例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2ADD A B CE D A B CF E D C B A N D C BA M EB D CA图1AB C D EMN变式1、如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求证：AB+AC>AD+AE变式2、如图，AD 为三角形ABC 的中线，DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F. 求证：BE+CF>EF题型二、证明线段相等例2 如图2，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 。

图2题型三、证明线段倍分例3 已知,如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,分别以AB,AC 为直角边向外作等腰直角三角形(其中∠BAE=∠CAF=90∘,AE=AB,AC=AF)，求证：EF=2AD.第 14 题图DF CBEAFEDABC三、课堂巩固1、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

2、已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠4、如图，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE =2CD ．DABCE D AB CA B F D E CA DB ECNMPCBA课后作业1已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN。