河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷(文科)(5月份)解析版

2020年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A＝{x∈N|log2（x+1）＜2}，B＝{x|x≤2}，则A∩B的子集个数为（）A．32B．16C．8D．42．（5分）如果复数（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣33．（5分）已知向量＝（），＝（﹣3，），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣1D．14．（5分）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，若点A在抛物线的准线上，则sinα＝（）A．B．C．﹣D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣7，S3＝﹣15，当S n取最小值时，n ＝（）A．4.5B．4C．5D．﹣166．（5分）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A．y＝2x﹣x2﹣1B．y＝2x sin xC．D．7．（5分）如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列说法正确的是（）A．设m为实数，若方程表示双曲线，则m＞2．B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”D．命题“若x0为y＝f（x）的极值点，则f’（x）＝0”的逆命题是真命题9．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S的值为63，则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（）A．i≤5B．i≤6C．i≤7D．i≤810．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min＝，则φ＝（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为5的球面上，且△ABC是斜边长为8的等腰直角三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．64B．128C．D．12．（5分）设max{p，q}表示p，q两者中较大的一个，已知定义在[0，2π]的函数f（x）＝max{2sin x，2cos x}，满足关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解，则m的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（1，1+）C．（，2）D．（1+，2）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）己知（x，y）满足，则的最大值为14．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，若，，则＝．15．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的离心率为16．（5分）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（12分）△ABC中，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求角A；（2）若D是BC 边上一点，且，求tan C．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，PB＝PC ＝，设点E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB．（1）证明：BD∥平面CEF；（2）若PA⊥AC，求三棱锥P﹣ABC的表面积．19．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2020年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入一个税起征点一专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级……每月应纳税所得额不超过3000元的超过3000元至12000超过12000元至25000超过25000元至35000……（含税）部分元的部分元的部分元的部分税率（%）3102025……（Ⅰ）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（Ⅱ）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这50名公司白领的月平均缴纳个税金额为多少？20．（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（2，0），设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2且k1•k2＝﹣．（1）求点C的轨迹E的方程；（2）过F（，0）作直线MN交轨迹E于M、N两点，若△MAB的面积是△NAB 面积的2倍，求直线MN的方程．21．（12分）已知函数．（1）若f（x）有两个极值，求实数a的取值范围；（2）已知x1，x2是f（x）的两个极值点，求证：x1+x2＞2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）﹣tx≤2成立，求实数t的取值范围．2020年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A＝{x∈N|log2（x+1）＜2}，B＝{x|x≤2}，则A∩B的子集个数为（）A．32B．16C．8D．4【解答】解：A＝{x∈N|0＜x+1＜4}＝{x∈N|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}；∴A∩B＝{0，1，2}；∴A∩B子集的个数为：个．故选：C．2．（5分）如果复数（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【解答】解：复数＝＝，复数的实部与虚部相等，所以1﹣a＝﹣2a+1，解得a＝﹣3，故选：D．3．（5分）已知向量＝（），＝（﹣3，），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣1D．1【解答】解：由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴＝．故选：A．4．（5分）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，若点A在抛物线的准线上，则sinα＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：由抛物线，得x2＝﹣4y，其准线方程为y＝1．又点A在抛物线的准线上，∴a＝1，则A（，1），∴|OA|＝，则sin．故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣7，S3＝﹣15，当S n取最小值时，n ＝（）A．4.5B．4C．5D．﹣16【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴3×（﹣7）+3d＝﹣15，解得d＝2．∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9．令a n＝2n﹣9≤0．解得n≤，∴当S n取最小值时，n＝4．故选：B．6．（5分）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A．y＝2x﹣x2﹣1B．y＝2x sin xC．D．【解答】解：根据函数定义域为R，可知C不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，当x→∞时，函数值趋向于﹣∞，故A不符合，对于D：y＝（x2﹣2x）e x，当y＝0时，解得x＝0或x＝2，当x→+∞时，y→+∞，当x→﹣∞时，y→0，故D符合．故选：D．7．（5分）如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设BD＝2，由已知可得△ABD，△BCD设全等的等边三角形，所以S 四边形ABCD＝2××22×＝2，整个图形可以看作由两个弓形组成，其面积S＝2[4π﹣（×4﹣×4×sin）]＝π+2，所以所求的概率为＝，故选：A．8．（5分）下列说法正确的是（）A．设m为实数，若方程表示双曲线，则m＞2．B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”D．命题“若x0为y＝f（x）的极值点，则f’（x）＝0”的逆命题是真命题【解答】解：A．若方程表示双曲线，则（m﹣1）（2﹣m）＜0，得（m﹣1）（m﹣2）＞0得m＞2或m＜1，故A错误，B．若p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，则p∨q为真命题，当p真q假时，满足p∨q为真命题，但p∧q为假命题，即必要性不成立，则“p∧q 为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B正确，C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D．命题“若x0为y＝f（x）的极值点，则f’（x）＝0”的逆命题是，若f′（x）＝0，则x0为y＝f（x）的极值点，错误，比方在f（x）＝x3，中，f′（x）＝3x2，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点，故D错误，故选：B．9．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S的值为63，则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（）A．i≤5B．i≤6C．i≤7D．i≤8【解答】解：由题意，此循环体需要执行6次，每次执行后S的值依次为1，3，7，15，31，63，就应该退出循环，可得判断框内的条件为：i≤6？，故选：B．10．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min＝，则φ＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为将函数f（x）＝sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min＝，不妨x1＝，x2＝，即g（x）在x2＝，取得最小值，sin（2×﹣2φ）＝﹣1，此时φ＝，不合题意，x1＝，x2＝，即g（x）在x2＝，取得最大值，sin（2×﹣2φ）＝1，此时φ＝，满足题意．另解：f（x）＝sin2x，g（x）＝sin（2x﹣2φ），设2x1＝2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ＝﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2＝﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min＝，可得﹣φ＝，解得φ＝，故选：D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为5的球面上，且△ABC是斜边长为8的等腰直角三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．64B．128C．D．【解答】解：如图，∵△ABC是斜边长为8的等腰直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心为斜边AC中点O1，当PO1⊥面ABC时，即P在P1的位置处，三棱锥P﹣ABC的体积的最大．，即＝3∴P1O＝8，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值V＝故选：D12．（5分）设max{p，q}表示p，q两者中较大的一个，已知定义在[0，2π]的函数f（x）＝max{2sin x，2cos x}，满足关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解，则m的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（1，1+）C．（，2）D．（1+，2）【解答】解：设t＝f（x），则方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0可转化为：t2+（1﹣2m）t+m2﹣m＝0，不妨设t1、t2为关于t的方程t2+（1﹣2m）t+m2﹣m＝0的两根，关于x的方程f2（x）+（1﹣2m）f（x）+m2﹣m＝0有6个不同的解等价于函数t＝f （x）的图象与直线t＝t1、t＝t2的交点个数之和为6个，由图可得：当函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1、t＝t2的交点个数之和为6个时，有﹣＜t 2，＜2，设g（t）＝t2+（1﹣2m）t+m2﹣m，由二次方程区间根问题可得：，即，解得：，故选：C．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）己知（x，y）满足，则的最大值为3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k＝，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，得A（，），则k＝＝3，故答案为：3．14．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，若，，则＝．【解答】解：由，，则＝（）•（）＝（）•[+（）]＝（）•（+）＝2+2+＝＝，故答案为：．15．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的离心率为【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，∴e2﹣2e+3＝0，解得e＝．故答案为：．16．（5分）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19的值为283．【解答】解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式a n；当n为偶数时，a n+2＝a n+1，∴a n是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，n为奇数时，a n+2＝a n+a n﹣1（n≥3），即∴a5﹣a3＝3a7﹣a5＝4…∴而a1＝1满足上式故n为奇数是，∴S19＝（a1+a3+…a19）+（a2+a4+…+a18）＝＝220+63＝283故答案为：283．三、解答题（本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（12分）△ABC中，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求角A；（2）若D是BC边上一点，且，求tan C．【解答】解：（1）根据题意，△ABC中，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc，变形可得：2（a2﹣b2）＝a2+c2﹣b2+bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，则cos A＝＝﹣，则A＝；（2）在△ACD中，＝＝2CD，在△ABD中，＝＝BD，又由BD＝3DC，则有3sin B＝2sin C，即3sin（C+）＝2sin C，变形可得：tan C＝．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，PB＝PC ＝，设点E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB．（1）证明：BD∥平面CEF；（2）若PA⊥AC，求三棱锥P﹣ABC的表面积．【解答】（1）证明：连接PD，交CE于点G，连接FG，∵点E为PA的中点，点D为AC的中点，∴点G为△PAC的重心，∴PG＝2GD；又∵PF＝2FB，∴FG∥BD，又∵FG⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，∴BD∥平面CEF；（2）解：由AB＝AC，PB＝PC，PA＝PA，得出△PAB≌△PAC，∵PA⊥AC，PA⊥AB，∴PA＝2，∴S△ABC＝，S△PAC＝1；在△PBC中，BC＝，PB＝PC＝，则BC边上的高为＝，∴S △PBC＝××＝，∴三棱锥P﹣ABC的表面积为S表面积＝S△ABC+2S△PAC+S△PBC＝+2+＝4．19．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2020年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入一个税起征点一专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级……每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分……税率（%）3102025……（Ⅰ）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（Ⅱ）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这50名公司白领的月平均缴纳个税金额为多少？【解答】解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：19600﹣5000﹣1000﹣2000＝11600元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为8600×10%＝860元，所以李某月应缴纳的个税金额为90+860＝950元．（2）有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣1000﹣2000＝12000元，月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%＝990元，有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣1000＝14000元，月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+2000×20%＝1390元，没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000﹣2000＝13000元，月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+1000×20%＝1190元，没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000﹣5000＝15000元月应缴纳的个税金额为：3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元；990×+1390×+1190×+1590×＝1150元，所以在新个税政策下这50名公司白领月平均缴纳个税金额为1150元．20．（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（2，0），设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2且k1•k2＝﹣．（1）求点C的轨迹E的方程；（2）过F（，0）作直线MN交轨迹E于M、N两点，若△MAB的面积是△NAB 面积的2倍，求直线MN的方程．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（2，0），设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2且k1•k2＝﹣．令C（x，y），则，，从而k1k2＝＝﹣，整理，得＝1，由点A，B，C不共线，故y≠0，∴点C的轨迹方程为＝1，（y≠0）．（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），知直线MN不与x轴重合，令直线MN：x＝my﹣，联立，得（m2+2）y2﹣2，由题意得△＞0，，y1y2＝＜0，由S△MAB＝2S△NAB，故|y1|＝2|y2|，即y1＝﹣2y2，∴＝＝++2＝﹣，解得m2＝，即m＝，∴直线MN的方程为x＝﹣＝0或x+．21．（12分）已知函数．（1）若f（x）有两个极值，求实数a的取值范围；（2）已知x1，x2是f（x）的两个极值点，求证：x1+x2＞2．【解答】解：（1）∵f′（x）＝x﹣ae x，由x﹣ae x＝0得a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，故g（x）在（1，+∞）上单减，在（﹣∞，1）上单增，则g（x）在x＝1时取得极大值g（1）＝，当x→+∞时，g（x）→0，故0＜a＜，经检验，当0＜a＜时，有两个极值点，故0＜a＜；证明：（2）要证x1+x2＞2，只需证x1＞2﹣x2，只需证g（x1）＞g（2﹣x2），只需证g（x2）＞g（2﹣x2），令h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x）＝﹣，x＞1，∴h′（x）＝﹣＝（1﹣x）（﹣）＞0，故h（x）在（1，+∞）上单增，∴h（x）＞h（1）＝0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2＝2x，由，得，则曲线C2的直角坐标方程为．由，解得或，故C1与C2交点的直角坐标为（0，0），；（Ⅱ）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）．∴＝＝．∴当时，|MN|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）﹣tx≤2成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由|ax﹣2|≤4得﹣4≤ax﹣2≤4，即﹣2≤ax≤6，当a＞0时，﹣≤x≤，所以，解得a＝1；当a＜0时，≤x≤﹣，所以，无解，所以实数a的值为1（2）由已知g（x）＝f（x）+f（x+3）＝|x+1|+|x﹣2|＝，不等式g（x）﹣tx≤2，即g（x）≤tx+2，由题意知y＝g（x）的图象有一部分在直线y＝tx+2的下方，作出对应图象：由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，又因为k EM＝﹣1，k FM＝，所以t≤﹣1，或t，即t∈（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．。

高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2＜x≤2}，B={x|}，则A∩B=（）A. { x|x＜0}B. {x|x≤2}C. {x|-2＜x＜0}D. {x|-3≤x≤2}2.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（）A. 96B. 126C. 144D. 1744.在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，则a13+a14+a15+a16的值是（）A. 15B. 8C. 18D. 205.已知圆C：x2+y2-2x=0，在圆C中任取一点P，则点P的横坐标小于1的概率为（）A. B. C. D. 以上都不对6.要得到函数的图象，只要将y＝sin2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. 2 D. 48.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是（）A. ①B. ②C. ③D. ④9. 如图，平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且=，若，则λ+μ值为（ ）A. 2B. 4C.D. 10. 已知函数f （x ）=cos x +ln，若f （）+f （）+…+f （）=1009（a +b ）lnπ（a ＞0，b ＞0），则的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 811. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，弦AB的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为（ ）A.B. ±1C.D.12. 已知函数f （x ）=|xe x |，又g （x ）=[f （x ）]2+tf （x ）（t ∈R ），若关于x 的方程g （x ）=-1有四个不同的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某公司的组织结构图如图所示，则信息部被______直接领导．14. 若数列{a n }满足a n +1+a n -1≥2a n （n ≥2），则称数列{a n }为凹数列．已知等差数列{b n }的公差为d ，b 1=2．且数列{}是凹数列，则d 的取值范围为______．15. 已知直线l 与曲线y =x 3-x +1有三个不同的交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），且|AB |=AC |，则=______16. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．19.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表．（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率．参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20.已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．21.设函数，a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）当x＜1时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，求a的最大值．22.在平面角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D．（1）求曲线D的参数方程；（2）已知P为曲线D上的动点，A，B两点的极坐标分别为（3，0），（2，），求•的最大值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x-3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算.可求出集合B，然后进行交集的运算即可.【解答】解：∵B={x|-3≤x＜0}，A={x|-2＜x≤2}，∴A∩B={x|-2＜x＜0}．故选C．2.【答案】B【解析】解：e2i=cos2+i sin2，∵2∈，∴cos2∈（-1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．e2i=cos2+i sin2，根据2∈，即可判断出．本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：文科男教师有：120×30%=36名，所以文科女教师有120-36=84名；∵理科女教师有：225×40%=90名，所以理科男教师有135名．故该校女教师的人数有84+90=174名．故选：D．根据比例图计算文理科女教师人数后相加．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．4.【答案】B【解析】解：在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，由于S4、S8-S4、S12-S8、S16-S12成等比数列，即1，2，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴=S16-S12=8．故选：B．根据等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，由于S4、S8-S4、S12-S8、S16-S12成等比数列，从而求得S16-S12的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了等比数列每相邻k项的和也成等比数列，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：将圆C：x2+y2-2x=0，配方得（x-1）2+y2=1，故C（1，0），所以在圆内且横坐标小于1的点的集合恰为一个左半圆面，所以所求的概率为；故选：B．由题意，本题是几何概型的概率求法，利用p点的位置满足是圆的一半，利用面积比可求．本题考查了几何概型的概率求法；明确满足条件的P点位置，利用面积比求概率即可．6.【答案】A【解析】【分析】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题．利用三角函数的诱导公式，化简得y=cos（2x-）=sin（2x+），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．【解答】解：∵y=cos（2x-）=sin[（2x-）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x-）的图象．故选：A．7.【答案】C【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P到原点的斜率，由图象可知当P位于A时，直线AO的斜率最大，由解得A（1，2）此时z==2，故选：C．作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵Q为BC上异于中点和端点的任一点，∴S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，∴△SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C．确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部，即可判断正确选项．本题考查平行投影以及平行投影的作图方法，考查空间想象能力，属基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断λ=μ 是解题的关键，属于中档题．由题意可得在∠AOB的角平分线上λ=μ，由=2==，解方程求出λ 的值，从而求得λ+μ值．【解答】解：由题意可得，在∠AOB的角平分线上，∴=k（+）．再由可得λ=μ，即．再由=2可得2==，解得λ=2，故μ=2，故λ+μ=4．故选：B．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的对称性，倒序相加法求，利用基本不等式求最值，属中档题．由函数的性质f（π-x）+f（x）=2lnπ得：f（）+f（）+…+f（）=1009（a+b）lnπ=2018lnπ，则a+b=2，（a＞0，b＞0），则=（a+b）（）,利用基本不等式得解．【解答】解：因为函数f（x）=cos x+ln，所以f（π-x）+f（x）=cos（π-x）+cos x+ln+ln=2lnπ，设S=f（）+f（）+…+f（），①所以S=f（）+f（）+…f（），②①+②得：2S=2018×2lnπ，所以S=2018lnπ，所以f（）+f（）+…+f（）=1009（a+b）lnπ=2018lnπ，所以a+b=2，（a＞0，b＞0），则=（a+b）（）=（2+）（2+2）=2，当且仅当=，即a=b=1时取等号.则的最小值为2，故选A．11.【答案】C【解析】解：物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），x0=，y0=，由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，即x0+=5，则x0=4，，两式相减得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），则==，即k==．则=．=，则y0=±，∴直线l的斜率k===±，故选：C．求得焦点坐标，由x0+=5，求得x0=4，作差=，由=．联立即可求得y0，即可求得直线l的斜率．本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、中点坐标公式与斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x-xe x=-e x（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e-1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜-．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-）．故选：A．函数f（x）=|xe x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf （x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中档题．13.【答案】总工程师【解析】解：由已知中某公司的组织结构图知，信息部被总工程师直接领导．故答案为：总工程师．根据已知中某公司的组织结构图，即可得到答案．本题考查了结构图的应用问题，根据结构图，分析出父子节点之间的从属关系是解答的关键．14.【答案】（-∞，2]【解析】解：∵等差数列{b n}的公差为d，b1=2，∴b n=2+（n-1）d，∵数列{}是凹数列，∴+≥×2，∴d≤2，故答案为：（-∞，2]．求出b n=2+（n-1）d，利用数列{}是凹数列，结合新定义，求出d的取值范围．本题考查等差数列的通项，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．15.【答案】3【解析】解：∵f（-x）+f（x）=2，∴曲线y=x3-x+1的图象关于（0，1）对称，∵直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|=AC|，可得A（0，1），B（x2，y2）与C（x3，y3）关于（0，1）对称，∴=x1+x2+x3+y1+y2+y3=3．故答案为：3，可得f（-x）+f（x）=2，∴曲线y=x3-x+1的图象关于（0，1）对称，利用对称性求解本题考查了函数的中心对称，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是[∠AOA1，]∪[∠C1OA1，]．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1===．sin∠C1OA1=sin（π-2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=2××=＞，∴sinα的取值范围是．故答案为：．由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是[∠AOA1，]∪[∠C1OA1，]．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（-cosθ，-sinθ），由（Ⅰ）知S（3，-）．…（8分）故=（cosθ-3，sinθ+），=（-cosθ-3，-sinθ+），∴•=（cosθ-3）（-cosθ-3）+（sinθ-）（-sinθ-）=11（10分）||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面【解析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（-cosθ，-sinθ），由（Ⅰ）知S（3，-），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18.【答案】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的．△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．∴三棱锥P-BDF的体积V=V P-BCD-V F-BCD=-=×==．【解析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P-BDF的体积V=V P-BCD-V F-BCD=-，运算求得结果．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．根据公式计算K2=≈9.98＞6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；（2）设年龄在[55，65）中不赞成“使用微信交流”的人为A、B、C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，10个结果；其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，9个结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为．【解析】（1）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（2）利用对立事件的概率公式，即可求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率．本题考查独立性检验，考查古典概型的概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．①则△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0，则△=3（12-m2）＞0，得．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当时，的最大值为．【解析】（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2-c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM=k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2-c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k OM=k OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．21.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴f'（x）=e x-a，∴f'（1）=e-a，由题设知∴f'（1）=0，即e-a=0，解得a=e．经验证a=e满足题意．（Ⅱ）方法一：令f'（x）=0，即e x=a，则x=ln a，（1）当ln a＜1时，即0＜a＜e对于任意x∈（-∞，ln a）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，ln a）单调递减；对于任意x∈（ln a，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（ln a，1）单调递增，因此当x=ln a时，f（x）有最小值为成立．（2）当ln a≥1时，即a≥e对于任意x∈（-∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）．因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，因为f（x）＞0，所以f（1）≥0，即a≤2e，综上，a的最大值为2e．方法二：由题设知，当x＜1时，，（1）当时，．设，则，故g（x）在（0，1）单调递减，因此，g（x）的最小值大于g（1）=2e，所以a≤2e．（2）当时，成立．（3）当时，，因为，所以当a=2e时成立．综上，a的最大值为2e．【解析】（Ⅰ），可得f'（x）=e x-a，可得f'（1）=0，解得a．（Ⅱ）方法一：令f'（x）=0，即e x=a，则x=ln a，对ln a分类讨论，利用单调性即可得出．方法二：由题设知，当x＜1时，，对x分类讨论，通过分离参数，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，∵将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D．∴曲线D的直角坐标方程为x2+y2=4，∴曲线D的参数方程为（α为参数）．（2）∵P为曲线D上的动点，A，B两点的极坐标分别为（3，0），（2，），∴A，B两点的直角坐标分别为A（3，0），B（3，），依题意设P（2cosα，2sinα），则=（2cosα-3，2sinα），=（2cosα-3，2sinα-），∴=（2cosα-3）2+2si nα（2sinα-）=4-2-12cosα+9=13-2sin（α+β），∴•的最大值为13+2．【解析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4ρcosθ，从而曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4，进而曲线D的直角坐标方程为x2+y2=4，由此能求出曲线D的参数方程．（2）A，B两点的直角坐标分别为A（3，0），B（3，），设P（2cosα，2sinα），从而=（2cosα-3，2sinα），=（2cosα-3，2sinα-），求出=（2cosα-3）2+2sinα（2sinα-）=13-2sin（α+β），由此能求出•的最大值．本题考查曲线的参数方程的求法，考查两向量的数量积的最大值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，即|x-4|+|x-2|≥6，而|x-4|+|x-2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x-4|+|x-2|≥6的解集为{x|x≤0，或x≥6}．（2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2-x≤3-x在[0，1]上恒成立，即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，即-1≤a≤0．【解析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

河南省高考数学(文科)模拟考试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．已知集合{}{260,A xx x B y y =+-<==∣∣，则A B =（ ） A ．[)1,2- B ．[)0,2 C ．[)1,2 D ．[)0,32．已知复数3i1iz +=+，则z =（ ） ABCD3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562557a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．以下结论不正确的是（ ）A ．根据22⨯列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B ．2K 的值越大，两个事件的相关性就越大C ．在回归分析中相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D ．在回归直线0.585y x =-中变量200x =时变量y 的值一定是155．已知x ，y 满足约束条件1021010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）．A ．5-B ．4-C ．2D ．46．将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.87．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．()g x 为奇函数B ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()g x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣ D ．点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中O ，F 分别为BD ，1AA 的中点，设二面角11F D O B --的平面角为α，直线OF 与平面11BDD B 所成角为β，则（ ）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．与正方体棱长有关9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±10．设等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“0q >”是“,0n n S *∀∈>N 恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中圆()222:M x y m n ++=和()22:11N x y +-=外切也形成一个8字形状，若()0,2P -，()1,1A -为圆M 上两点，B 为两圆圆周上任一点（不同于点A ，P ），则PA PB ⋅的最大值为（ ）．A B ．1 C ．3 D ．212．函数()ln ,0 1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()()()210f x m f x m -++=⎡⎤⎣⎦恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10e m -<<B ．10em -<≤C ．10e m -≤<D ．10em -≤≤二、填空题13．若一组数据123,,,,n x x x x 的平均数是30，另一组数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++的平均数是70,则第三组数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是___________.14．已知函数()f x 的图象关于点()2,0对称，且当2x >时()f x 和其导函数()f x '的单调性相反，请写出()f x 的一个解析式：______．15．已知双曲线()22210x y a a-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.16．若关于x 的不等式()2e 2e x xx x a x -≥-有解，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题17．已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c C B a b A B =-+． (1)求A ；(2)若ABCsin 1cos B C =+，点D 为边BC 的中点，求AD 的长．18．配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每千米所需要的时间.相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.2022北京马拉松于2022年11月6日举行，已知图①是本次北京马拉松比赛中某位跑者的心率y （单位：次/分钟）和配速x （单位：分钟/千米）的散点图，图②是本次马拉松比赛（全程约42千米）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；(2)在本次比赛中该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间及他能获得的名次.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数，()()()1221121niii nnin i i ii ii x y nx y b n x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑和a y bx =-.参考数据135y =.19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面四边形ABCD 为矩形，222OH PO DC ===，PO ⊥平面ABCD ，H 为DC 的中点．(1)求证：平面DPO ⊥平面POC ； (2)求三棱锥H POD -体积的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点P 在C 上，1PF 1，且当1PF 垂直于长轴时1PF =(1)求C 的方程；(2)已知点,D O ⎛ ⎝⎭为坐标原点，与OD 平行的直线l 交C 于,A B 两点，且直线DA ，DB 分别与x 轴的正半轴交于,E F 两点，试探究OE OF +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点E 在C 上，以点E 为圆心，EF 为半径的圆的最小面积为π．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点F 的直线与C 交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作C 的切线1l 与2l ，两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程．22．在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.23．如图，在ABC 中D ，E 在BC 上，2BD =，1DE EC ==与BAD CAE ∠=∠．(1)求sin sin ACBABC∠∠的值；(2)求ABC 面积的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解不等式得到集合A ，根据函数y =B ，然后求交集即可. 【详解】()3,2A =-和[)0,B ∞=+，则[)0,2A B =. 故选：B. 2．C【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案. 【详解】复数3i (3i)(1i)2i 1i 2z ++-===-+，故2i z =+所以z =故选：C 3．C【分析】根据等差数列通项公式及前n 项和公式计算得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以4562557a a S +==，，116527256572，⨯∴+=+=a d a d 联立解得123a d ==， 则{}n a 的公差为3． 故选：C ． 4．D【分析】对于A ，()26.6350.01P K ≥≈可得结论；对于B ，2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大；对于C ，在回归分析中相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好； 对于D ，当回归直线方程中当变量等于200时y 的值平均是15，不能说一定是15.【详解】解：对于A ，()26.6350.01P K ≥≈故有99%的把握认为两个分类变量有关系，即A 正确：对于B ，2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，即B 正确；对于C ，在回归分析中相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即C 正确； 对于D ，当回归直线方程中当变量等于200时y 的值平均是15，不能说一定是15，故D 错误. 故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查线性回归方程的意义和独立性检验的应用，独立性检验是先假设两个分类变量无关，计算出2K 的值，并与临界值进行比较，可以判断两个变量有关系的程度.在该假设下，随机变量2K 应该很小，如果实际计算出的2K 的值很大，则在一定程度上说明假设不合理. 5．B【分析】画出可行域及目标函数，利用几何意义求出最小值.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．目标函数2z x y =-+ 即2y x z =+，平移直线2y x z =+，当其过点A 时纵截距最小，即z 最小．由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得3,2,x y =⎧⎨=⎩即点()3,2A ，所以min 2324z =-⨯+=-．故选：B 6．C故选：C. 7．D【分析】由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求解. 【详解】由题知故选：D. 8．A【分析】作出二面角α以及线面角β，通过比较它们的正切值来确定两者的大小关系. 【详解】设点M 为1B D 与1BD 的交点，由于111////,2AF DD OM AF DD OM ==所以四边形AFMO 是平行四边形，所以//FM OA .由于111,,,,OA BD OA DD BD DD D BD DD ⊥⊥⋂=⊂平面11BDD B 所以OA ⊥平面11BDD B ，所以FM ⊥平面11BDD B ，所以FOM β∠=过点F 作1D O 的垂线FH ，垂足为H ，又1,,,FM D O FM FH F FM FH ⊥⋂=⊂平面FHM 则1D O ⊥平面FMH ，又MH ⊂平面FMH ，则1MH D O ⊥，所以FHM α∠= 从而tan MF MH α=，tan MFMOβ=在Rt MOH 中MO MH > 所以tan tan αβ>，所以αβ>． 故选：A9．D【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得2b a =，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，点M 在C 的右支上所以122MF MF a -=因为2||MF MN =，1F N b =与11MF F N MN =+ 所以2b a =，所以2ba= 所以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±.故选：D 10．A【分析】充分性直接证明，必要性举特值12q =-验证.【详解】11111,n n n a a a q q --===．当0q >时0n a >，可知0n S >．所以“0q >”是“n *∀∈N ，0n S >恒成立”的充分条件． 又当12q =-时11212113212nn n S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+．若n 为偶数 则22121111032322nn S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-≥-=>⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 若m 为奇数，则211032nn S ⎡⎤⎛⎫=+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．所以，当12q =-时,0n n S *∀∈>N 恒成立．综上，“0q >”是“,0n n S *∀∈>N 恒成立”的充分不必要条件故选：A ． 11．C【分析】先用待定系数法求出圆M 的方程，进而得到2cos ,PA PB PB PA PB ⋅=，数形结合得到当与直线P A 垂直的直线l 和圆N 相切，切点为B ，且直线l 的纵截距大于0时cos ,PB PAPB 最大，利用点到直线距离公式得到1y x =-+.【详解】根据题意可得()()2222211m n m n ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得1m =和21n =，故圆M 的方程为()2211x y ++=． cos ,2cos ,PA PB PA PB PA PB PB PA PB ⋅=⋅=画图分析可知当与直线P A 垂直的直线l 和圆N 相切，切点为B ，且直线l 的纵截距大于0时cos ,PB PA PB 最大．直线PA 的斜率为1，设l 的方程为()0y x a a =-+>，由圆心()0,1N 到直线l 11a解得1a =1．故l 的方程为1y x =-+P A ：2y x =-的交点坐标为Q ⎝⎭所以PQ =2cos ,23PA PB PB PA PB ⋅=≤=即PA PB ⋅的最大值为3． 故选：C【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 12．A【分析】利用导数研究ln y x x =且,()0x ∈+∞的单调性和极值，进而画出()f x 图象，数形结合知()1f x =有两个根，只需保证()f x m =有三个根，即可确定参数范围.【详解】由()2[()]1()[()][()1]0f x m f x m f x m f x -++=--=，可得()f x m =或()1f x =令ln y x x =且定义域为(0,)+∞，则ln 1y x当1(0,)e x ∈时0'<y ，即y 递减；当1(,)e x ∈+∞时0'>y ，即y 递增；所以min 1ey =-，且1|0x y ==，在x 趋向正无穷y 趋向正无穷综上，根据()f x 解析式可得图象如下图示：显然()1f x =对应两个根，要使原方程有5个根，则()f x m =有三个根，即(),f x y m =有3个交点所以10e m -<<.故选：A【点睛】关键点点睛：导数研究ln y x x =且,()0x ∈+∞性质并画出()f x 图象，结合()f x m =、()1f x =的根个数分布确定参数范围. 13．161【分析】根据数据平均数计算公式可得. 【详解】数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++共有n 个，其平均数为111111()3070.n n ni i i i i i i x y x y y n n n ===+=+=+=∑∑∑因此40y = 故数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是4401161⨯+=.故答案为：161 14．()12f x x =-（答案不唯一） 【分析】先根据对称中心写成()f x ，再验证其单调性和导函数的单调性. 【详解】由()f x 的图象关于点()2,0对称，可设()12f x x =-，则()()212f x x '=--． 当2x >时()f x 单调递减，()f x '单调递增，满足题意．其他满足条件的解析式也可以． 故答案为：()12f x x =- 15．y x = 【分析】求出抛物线的焦点，根据222a c b =-可求a 的值，从而可求渐近线方程. 【详解】∵抛物线28y x =的焦点是（2，0），∴2c =，2413a =-=∴a =∴b a =y x =.故答案为y =. 16．1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】参变分离后令()22e xf x x x x -=-+，则根据已知可得()max a f x ≤，利用导数求出()()max 11e1f x f ==+，即可得出答案.【详解】()2e 2e x xx x a x -≥-()2e 2e x x x x x a -+≥e 0x >22e x x x x a --+≥∴令()22e xf x x x x -=-+则若关于x 的不等式()2e 2e x xx x a x -≥-有解则()max a f x ≤()()()()()2122e e 12e e 1x x x x f x x x x x x ----=-'=-+-+-=-+ 20e x -+>，则当1x <时0fx，当1x >时()0f x '<故当()1x ∈-∞，时()f x 单调递增，当()1x ∈+∞，时()f x 单调递减 则()()x 1ma 11211e ef x f -==-+=+则11ea ≤+故实数a 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦故答案为：1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.17．(1)π6A =(2)AD =【分析】（1）由正弦定理得到222b c a +-=，再利用余弦定理求出π6A =； （2）在第一问的基础上，结合sin 1cos B C =+，利用三角恒等变换求出π6B =，进而由三角形面积得到2a b ==，由余弦定理求出答案.【详解】（1）因为()()()sin sin sin c C B a b A B =-+所以由正弦定理可得()()()c c a b a b =-+即222b c a +-=．由余弦定理可得222cos 2b c A bc a +===-又()0,πA ∈，所以π6A =． （2）因为sin 1cos B C =+所以5π5π5π1sin 1cos 1cos cos sin sin 1sin 6662B B B B B B ⎛⎫=+-=++=+ ⎪⎝⎭即1πsin sin 123B B B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 又0πB <<，则ππ32B +=，所以π6B =．所以a b = 2π3C =．所以21sin 2ABC S ab C ===△所以2a b ==．在△ACD 中由余弦定理可得22222212cos21221732AD AC CD AC CD π⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即AD = 18．(1)25285y x =-+ (2)210分钟，192名【分析】（1）将数据代入公式，计算回归方程；（2）由回归方程计算160y =时x 的值，得跑完马拉松所花时间，由频率分布直方图估计该值所处名次. 【详解】（1）由散点图中数据和参考数据得 4.55677.565x ++++== 135y =∴()()()()()()()222221.53613005126 1.535251.5101 1.5b -⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-+-++=-+ ()135256285a =--⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为25285y x =-+.（2）将160y =代入回归方程得5x =，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425210⨯=分钟 从马拉松比赛前3000名跑者成绩的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累计频率为()0.0008500.00242102000.064⨯+⨯-=.有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000192⨯=名. 19．(1)证明见解析(2)16【分析】（1）首先证明DO OC ⊥，再利用线面垂直的性质定理得PO OD ⊥，最后利用面面垂直的判定定理即可.（2）通过转换顶点知当PO OD ⊥时DOH △的面积最大，此时体积最大，代入数据计算即可. 【详解】（1）∵2OH DC =，H 为DC 中点DH OH CH ∴== ,ODH DOH HOC HCO ∴∠=∠∠=∠πODH DOH HOC HCO ∠+∠+∠+∠=π2DOH HOC ∴∠+∠=∴DO OC ⊥∵PO ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ∴PO OD ⊥∵OP OC O ⋂=，PO ⊂平面POC ，OC ⊂平面POC ∴OD ⊥平面POC 又∵OD ⊂平面DPO ∴平面DPO ⊥平面POC ．（2）由（1）可知OC OD ⊥，∴点O 在以CD 为直径的圆上 ∴当OH CD ⊥时DOH △的面积最大 又H POD P DOH V V --=∴三棱锥H POD -体积的最大值为11111111213223226V OP CD OH =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=．20．(1)2212x y +=(2)是，OE OF +为定值2【分析】（1）由题意可得到关于,,a b c 的等式，联立进行求解即可； （2）根据题意可假设()()1122(0),,,,y x m m A x y B x y =+<，与椭圆进行联立可得21212,1x x x x m +==-，求出直线DA的方程可得到1OE =同理可得1OF =通过计算即可得到定值【详解】（1）1PF 的最大值为a c +当1PF 垂直于长轴时将x c =-代入椭圆可得222b y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21b PF a =所以22221a c ba abc ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以C 的方程为2212x y +=（2）OE OF +为定值. 由题可知直线OD，且直线DA ，DB 分别与x 轴的正半轴交于,E F 两点 故设直线l的方程为()()1122(0),,,,y x m m A x y B x y =+<.联立2212y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2210x m +-=则()222Δ)41240m m =--=-+>解得m <0m <，所以21212,1x x x x m +==- 直线DA的方程为()11211y y x x =--令0y =，得1x =，即1E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以11OE ==，同理可得11OF ==.故2OE OF ⎛⎫+=-2⎛⎫=-()12122222x x x x +-+-+=2=2=所以OE OF +为定值2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21．(1)24x y = (2)1y =-【分析】（1）当圆心在原点时此时半径为2p，圆的面积最小是解题的关键； （2）设出直线MN 的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出交点即可求解. 【详解】（1）设点()00,E x y 与00≥y ，则022p pEF y =+≥ 因为以E 为圆心，以EF 为半径的圆的最小面积为π 所以2ππ2p ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以12p=（负值舍去），解得2p = 所以抛物线C 的标准方程为24x y =．（2）设211,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与222,4x N x ⎛⎫⎪⎝⎭易得()0,1F ，由题意知直线MN 的斜率一定存在 则设直线MN 的方程为()1y kx k =+∈R联立24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=0∆>，所以124x x k +=和124x x =-．由214y x =，得2x y '=，则切线1l 的斜率为12x则切线1l 的方程为()211142x x y x x -=-，即21124x x y x =-①．同理可得切线2l 的方程为22224x x y x =-②．①-②得1222P x xx k +==代入①得22111121121242244P x x x x x x x x y x +=-=⋅-==-所以点P 的轨迹方程为1y =-．【点睛】关键点睛：利用设而不求的方法，设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，通过转化化简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法. 22．(1)83【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆C 的标准方程，又直线l 经过点椭圆焦点F ，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得||||FA FB +的值；（2）设点P 坐标为(2cos )θθ，直线l 的直角坐标方程为0x y -=，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得PAB 的面积最大值.【详解】（1）由2222cos 2sin 4ρθρθ+=得椭圆C 的方程为22142x y +=，其焦点F 坐标为0)由题意得直线l 经过点F ，其参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入椭圆C 的方程整理得23210t t +-=，所以121221,33t t t t +=-=-所以121282223FA FB t t t t +==+=-=.（2）由椭圆方程22142x y +=，可设点P 坐标为(2cos )θθ又直线l 的直角坐标方程为0x y -=∴点P 到直线l 的距离d ==tan φ=所以max 1d ，因为18||,||||||23PAB S AB d AB FA FB =⋅=+=△所以PAB. 23．(1)sin sin ACBABC∠∠=(2)(0,.【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得21AB AD AC AE ⋅=⋅ 和32AB AE AC AD ⋅=⋅，进而可得ABAC=用正弦定理即得；（2）设AC x =，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得.【详解】（1）因为2BD =，1DE EC ==与BAD CAE ∠=∠所以1sin 2211sin 2ABD AECAB AD BADSAB AD SAC AE AC AE EAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 1sin 3212sin 2ABE ADCAB AE BAES AB AE SAC AD AC AD DAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅故223AB AC =，即AB AC =则在ABC中根据正弦定理可得sin sin ACB ABABC AC∠∠==（2）设AC x =，则=AB，由4,4,x x ⎧+>⎪-<解得1)1)x <<在ABC 中2222cos 2AB BC AC ABC AB BC ∠+-==⋅则422223264sin 1cos 48x x ABC ABC x ∠∠-+-=-=()2224221619213264sin 244ABC x x x S AB BCABC ∠--+-+-⎛⎫=⋅==⎪⎝⎭由1)1)x <<，得21616x -<+则2048ABCS<≤故ABC 面积的取值范围为(0,．。

2019年河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x-2≤0}，那么P∪Q等于（）A. ∅B. {1}C. {x|-2≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}2.在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p：∃x0∈R，x02-x0+1＞0；命题q：若a＜b，则，则下列为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=-100，且5S7-7S5=70，则S101等于（）A. 100B. 50C. 0D. -505.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A. （80+16）cm2B. 84 cm2C. （96+16）cm2D. 96 cm26.我国古代数学典籍《九章算术）“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（）A. 4B. 5C. 2D. 37.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A. （kπ-，kπ）（k∈Z）B. （kπ，kπ+）（k∈Z）C. （kπ-，kπ+）（k∈Z）D. （kπ+，kπ+）（k∈Z）9.若实数a，b满足a＞b＞1，m=log a（log a b），，，则m，n，l的大小关系为（）A. m＞l＞nB. l＞n＞mC. n＞l＞mD. l＞m＞n10.已知双曲线C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 311.三棱锥D-ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE∥CD，AB＝CD＝AE＝2，则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.12.设函数f（x）=x2-x lnx+2，若存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=______．14.已知正数x、y满足，则z=4-x的最小值为______．15.已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为______．16.数列{a n}中，，若数列{b n}满足，则数列{b n}的最大项为第______项．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c sin C=（b+a）（sin B-sin A）．（1）试问a，b，c是否可能依次成等差数列？为什么？（2）当cos C取得最小值时，求．18.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．（Ⅰ）作平面CDE与平面ABE的交线l，并写出作法及理由；（Ⅱ）求证：BD⊥CE；（Ⅲ）若平面ADE⊥平面ABE，求多面体ABCDE的体积．19.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．附表及公式附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=．20.设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．21.已知函数f（x）=ln x-mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值．22.已知直线为参数，α为l的倾斜角，且0＜α＜π）与曲线为参数）相交于A，B两点，点F的坐标为（1，0），点E的坐标为（-1，0）．（1）求曲线C的普通方程和△ABF的周长；（2）若点E恰为线段AB的三等分点，求△ABF的面积．23.已知函数f（x）＝2|x＋a|＋|3x-b|．（1）当a＝1，b＝0时，求不等式f（x）≥3|x|＋1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a＋b的值-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1}，∴P∪Q={x|-2≤x≤2}．故选：C．先求出集合P和Q，由此能求出P∪Q．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：∵z=i（1+2i）=i+2i=-2+i，∴复数z所对应的点为（-2，1），故选：B．按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．3.答案：B解析：解：∵x02-x0+1=（）2+＞＞0，∴命题p：∃x0∈R，x02-x0+1＞0是真命题，∵-3＜2，-，∴命题q：a＜b，则是假命题，∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题，故选：B．推导出命题p：∃x0∈R，x02-x0+1＞0是真命题，命题q：a＜b，则是假命题，从而p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．本题考查命题真假的判断，考查复合命题、不等式性质等基本知识．体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．4.答案：C解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=-100，∴5S7-7S5=5（-700+d）-7（-500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（-100）+×2=0，故选：C．由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题．5.答案：A解析：解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高是2，∴斜高是=2，∴四棱锥的侧面积是4××4×2=16．下面是一个棱长是4的正方体，表面积是5×4×4=80，∴几何体的表面积是16+80cm2．故选：A．由几何体的三视图，知该几何体上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高是2，根据勾股定理做出斜高，得到侧面积，下面是一个棱长是4的正方体，得到正方体5个面的面积，最后求和得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形的直观图，本题是一个基础题，这种题目一般不会进行线面关系的证明，而只是用来求体积和面积．6.答案：A解析：解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．7.答案：B解析：解：从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，基本事件总数n==15，取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=-=12，则取出的2只鞋不成对的概率为p===．故选：B．基本事件总数n==15，取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=-=12，由此能求出取出的2只鞋不成对的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：A解析：解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位得y=sin（2x+），即y=cos2x的图象，由-π+2kπ＜2x＜2kπ（k∈Z），可得-+kπ＜x＜kπ（k∈Z），即所得函数的单调递增区间是：（kπ-，kπ）（k∈Z）．故选：A．先根据函数图象平移的原则，求出函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，即可得到结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的性质，属于基础题．9.答案：B解析：【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比较m，n，l的大小．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a（log a b），，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a（log a b）＜log a1=0，0＜＜1，=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．故选：B．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量垂直的等价条件结合直角三角形的边角关系以及双曲线的定义是解决本题的关键．根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1⊥PF2，可得|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴|PF1|•|PF2|=2b2，∴△PF1F2的面积为|PF2|•|PF2|=b2=3，即m2-1=3，∴a2=m2=4，c2=7．则该双曲线的离心率为e=．故选：B．11.答案：B解析：【分析】本题考查的知识要点：几何体与球的接和切的应用，为中档题．首先根据题意，整理出几何体，进一步根据图形求出球的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：根据题意：三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的半径为：正三角形ABC的底面中心．如图所示：故：r=，所以：V==，故选：B．12.答案：C解析：解：f′（x）=2x-ln x+1，f″（x）=2-，∴当x≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）=2-ln＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴，∴方程f（x）=k（x+2）在[，+∞）上有两解a，b．作出y=f（x）与直线y=k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y=k（x+2）过点（，+ln2），则k=，若直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得k=1．∴1＜k≤，故选：C．判断f（x）的单调性得出f（x）=k（x+2）在[，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．13.答案：解析：解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=-1，得f（1）=f（-1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故答案为：．利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．14.答案：解析：解：根据约束条件画出可行域∵z=4-x化成z=2-2x-y直线z1=-2x-y过点A（1，2）时，z1最小值是-4，∴z=2-2x-y的最小值是2-4=，故答案为．先将z=4-x化成z=2-2x-y，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=-2x-y过点A（1，2）时，z1最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：y=±x解析：【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点M、N的横坐标是解题的关键．属于中档题.方法一：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=-x，由垂直的条件可得FM的方程，代入渐近线方程，可得M，N的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得渐近线方程．方法二：由中点和垂直，根据三线合一性质得到角分线，即可知∠FOM=60°，进而可求渐近线方程. 解析：解：方法一：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=-x，由FM的方程为y=-（x-c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=-（x-c），联立方程y=-x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（-c）=-c，即为-c=，由e=，可得-1=，即有e4-5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．方法二：∵，∴M为FN中点，又因为FM⊥OM，∴根据三线合一可知OM平分∠FON，∠FOM=∠NOM，∵根据双曲线对称性可知∠FOM=∠NOx负半轴，∴射线OM、ON等分平角180°，∴∠FOM=60°，tan∠FOM=，∴双曲线渐近线方程为y=±x.故答案为：y=±x．16.答案：6解析：解：由a1=0，a n-a n-1=2n-1，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+a n-a n-1=0+3+5+…+（2n-1）=（n-1）（3+2n-1）=n2-1，若数列{b n}满足b n=n••（）n-1，即有b n=n••（）n-1=n（n+1）•（）n-1，可得=•，由＞1可得n＜，由n为整数，可得1≤n≤6时，b n递增；且n＞6时，b n递减，可得b6为最大项．故答案为：6．由数列的递推式和等差数列的求和公式可得a n，求得b n，判断单调性，即可得到最大项．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查数列的单调性的判断和运用：求最大项，考查运算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）∵4c sin C=（b+a）（sin B-sin A），∴4sin2C=sin2B-sin2A，∴4c2=b2-a2．假设a，b，c依次成等差数列，则，则，即15c2+3a2=2ac，又15c2+3a2≠2ac，从而假设不成立，故a，b，c不可能依次成等差数列．（2）∵4c2=b2-a2，∴．∵，∴．∴，当且仅当5a2=3b2，即时，取等号．∵，∴．解析：（1）利用正弦定理结合假设a，b，c依次成等差数列，转化证明a，b，c不可能依次成等差数列．（2）利用余弦定理以及基本不等式转化求解即可．本题考查数列与三角形的解法，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：（Ⅰ）过点E作AB（或CD）的平行线，即为所求直线l．理由如下：∵AC和BD交于一点，∴A，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，∴四边形ABCD为菱形，从而AB∥DC，又AB⊄平面CDE，且CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，∵AB⊂平面ABE，且平面ABE∩平面CDE=l，∴AB∥l．证明：（Ⅱ）取AE的中点O，连结OB，OD，∵AB=BE，DA=DE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，∵OB∩OD=O，∴AE⊥平面OBD，∵BD⊂平面OBD，∴AE⊥BD，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又AE∩AC=A，∴BD⊥平面ACE，又BD⊂平面BDE，∴BD⊥CE．解：（Ⅲ）∵平面ADE⊥平面ABE，∴DO⊥平面ABE，∴多面体ABCDE的体积：V E-ABCD=2V E-ABD=2V D-ABE==2．解析：（Ⅰ）过点E作AB（或CD）的平行线，即为所求直线l．由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而AB∥DC，进而AB∥平面CDE，由此推导出AB∥l．（Ⅱ）取AE的中点O，连结OB，OD，推导出OB⊥AE，OD⊥AE，从而AE⊥平面OBD，进而AE⊥BD，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥CE．（Ⅲ）由平面ADE⊥平面ABE，得DO⊥平面ABE，多面体ABCDE的体积：V E-ABCD=2V E-ABD=2V D-ABE．本题考查两平面的交线的求法，考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值K2=≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型P（A）==即乙比甲先解答完的概率为．解析：（Ⅰ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（Ⅱ）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率．本题考查几何概型、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．20.答案：解：（1）依题意知A（a，0），B（0，-b），------------------------------------------------------------------（1分）∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，∴，即，--------------------------------（3分）∴椭圆的方程为．-----------------------------------------（4分）（2）由（1）知B（0，-1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为y=kx-1（k＜0），则直线BM的方程为：，------------------------------------------------------------（5分）由消去y得（1+3k2）x2-6kx=0，----------------------------------------------（6分）解得：，y N=kx N-1，---------------------------------------------------------------（7分）∴=∴=，------------------------------------------------（8分）【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在中，令y=0得x=-k，即M（-k，0）∴，-----------------------------------------------------------------------------------（9分）在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴，即，整理得，解得，∵k＜0，∴，------------------------------------------------------（11分）∴点M的坐标为．---------------------------------------------------------------------------（12分）解析：（1）过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，即可求出a，b的值，求得椭圆方程；（2）直线BN的方程为y=kx-1（k＜0），直线BM的方程为：，代入椭圆方程，即可求得x N，求得|BN|，求得|BM|，根据三角形的性质即可|BN|=|BM|，即可求得k的值，求得M点坐标本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，直角三角形的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ），所以，令f′（x）=0得x=1；由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．所以函数极大值，无极小值.（Ⅱ）法一：令．所以．当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx-1不能恒成立．当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．法二：由F（x）≤mx-1恒成立知恒成立.令，则.令φ（x）=2ln x+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2ln x0+x0=0.当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数.所以，而，所以所以整数m的最小值为2．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．22.答案：解：（1）把（θ为参数）消去参数θ，可化为，∴E，F为椭圆C的两个焦点．又A，B在椭圆上，∴|AE|+|AF|=|BE|+|BF|=4．又直线AB过点E，∴△ABF的周长为8；（2）将代入，得（3+sin2α）t2-6t cosα-9=0，设点A，B对应的参数为t1，t2，其中△=36cos2α+36（3+sin2α）=144＞0，且，∴．不妨设|AE|：|BE|=2：1，则t1=-2t2，，∴，即9（3+sin2α）=72cos2α，得，，∴△ABF的面积为．解析：（1）把（θ为参数）消去参数θ，可得曲线C的普通方程，得到E，F为椭圆C 的两个焦点．再由椭圆定义求△ABF的周长；（2）将代入，得关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t的几何意义求得|AB|，再由点E恰为线段AB的三等分点列式求解sinα，代入三角形面积公式即可求解△ABF的面积．本题考查参数方程化普通方程，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，训练了三角函数值的求法，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．∴|x+1|，∴x+1，x+1，解得x，或x．∴不等式f（x）≥3|x|+1的解集为{x|x，或x}．（2）a＞0，b＞0，x≥时，f（x）=2（x+a）+（3x-b）=5x+2a-b．-a≤x＜时，f（x）=2（x+a）-（3x-b）=-x+2a+b．x＜-a时，f（x）=-2（x+a）-（3x-b）=-5x-2a+b．∵函数f（x）的最小值为2，∴当x=时，=+2a-b=2，可得：6a+2b=6，∴3a+b=3．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．可得|x+1|，即可得出．（2）a＞0，b＞0，对a，b分类讨论：x≥时，f（x）=5x+2a-b．-a≤x＜时，f（x）=-x+2a+b．x＜-a 时，f（x）=-5x-2a+b．利用一次函数的单调性及其函数f（x）的最小值为2，可得：当x=时，=2，即可得出．。

2025届河南省高考数学五模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =2．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62563．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．24．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4005．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．207．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．69．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<10．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．23πD ．2053π12．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省名校2025届高考考前模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 2．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e-=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+ B ．2e - C ．1ln 22- D 123．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()R A B ⋂等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2) C ．(-4,2) D ．(0,2)4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12- 5．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A B C D 6．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年8．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．989．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16 D ．12 10．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ）A 253B 153C ．154D 353 11．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( ) A 317 B ．210C ．132 D ．31012．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．19二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

打磨卷系列2024年普通高等学校招生全国统一考试预测卷数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与x 轴相切于原点，且圆心为()0,5-的圆的标准方程为（）A.()22525x y +-= B.()22525x y ++=C.()22525x y ++= D.()22525x y -+=【答案】C 【解析】【分析】借助直线与圆相切的性质可得其半径，即可得解.【详解】5r =，圆心为()0,5-，故该圆的标准方程为()22525x y ++=.故选：C.2.已知向量()2,1AB =- ，()3,2AC =，点()1,2C -，则点B 的坐标为（）A.()2,1-- B.()0,5 C.()2,5- D.()2,1-【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.【详解】由题意得，(2,1)(3,2)(1,3)CB AB AC =-=--=--，设点B 的坐标为(,)x y ，则(1,2)(1,3)CB x y =+-=--，所以点B 的坐标为(2,1)--.故选：A .3.零售业是指通过买卖形式将工农业生产者生产的产品直接售给居民作为生活消费用或售给社会集团供公共消费用的商品销售行业．2024年2月6日，中国商业联合会发布2月份中国零售业景气指数（CRPI ），近12个月的中国零售业景气指数统计图如下：统计图中每月零售业景气指数的中位数与第80百分位数分别是（）A.50.65%50.4%B.50.65%51.1%C.50.8%50.4%D.50.8%51.1%【答案】D 【解析】【分析】将数据从小排到大，根据中位数的定义和百分位的概念求解即可.【详解】将数据从小排到大:50.1%，50.3%，50.4%，50.6%，50.8%，50.8%，50.8%，50.9%，50.9%，51.1%，51.2%，51.3%；则每月零售业景气指数的中位数为50.850.8%50.8%2+=，因为共有12个数据，所以1280%9.6⨯=，根据百分位的概念可得每月零售业景气指数第80百分位数是51.1%；故选：D4.)55121x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）A.30 B.40C.70D.80【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可【详解】512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项55521551C (2)C 2(0,1,,5)kk k kk k k T x x k x ---+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令521,k -=即2k =，此时2335C 280T x x =⋅⋅=，)51展开式的通项()()552155C1C 10,1,,5)r rrrr r r T xr --+=-=-= ，令512r -=，即3r =，此时3345C (1)10T x x =-=-，所以展开式中x 的系数为801070-=.故选：C.5.已知数列{}n a 的前n 项和为*11),2(n n n n S S a na n ++=-+∈N ，则201a =（）A.190 B.210 C.380D.420【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式，结合1n n n S S a +-=变形，再构造常数列求出通项即可得解.【详解】数列{}n a 中，*n ∈N ，112n n n S a na ++=-+，当2n ≥时，1(1)2n n n S a n a -=--+，两式相减得111(1)(1)n n n n a a n a n a ++-=-++-，即1(1)(1)n n n a n a -+=-，因此1(1)(1)n n n na n n a -+=-，显然数列{(1)}n n na +是常数列，而2212S a a =-+，解得11a =，于是1(1)212n n na a +=⨯⨯=，因此2(1)n a n n=+，所以20121202102a ⨯==.故选：B6.已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()m,2到原点的距离为，焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若2π3FPQ ∠=，则PF =（）A.13B.12C.33D.23【答案】D 【解析】【分析】根据点(),2m 到原点的距离为求出抛物线方程，再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【详解】因为点(),2m 到原点的距离为所以2228m +=，解得2m =，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程()220y px p =>，得44p =，所以1p =，所以211:2,(,0),:22C y x F l x ==-.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设1((2P x Q -，因为1||||2PQ PF x ==+，2π3FPQ ∠=，所以PQF △为等腰三角形，π6PQF ∠=，所以1||||2QF PQ x =+，所以1||)2QF x ==+，解得16x =或12x =-(舍)，所以112+623PF ==.故选：D.7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足332b c ab c+=+．若a =，则22b c +的取值范围为（）A.(]12,24B.(]20,24 C.[]12,24 D.[]20,24【答案】B 【解析】【分析】化简332b c a b c+=+求得π3A =，再根据正弦定理表示22b c +，从而求得范围.【详解】由题意得，3322222()()b c b c b bc c b bc c a b c b c++-+==-+=++，所以由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π2π,33A B C =+=，由正弦定理得，4πsin sin sin sin 3a b c A B C ====，所以222222π16sin 16sin cos 8sin 123b c B B B B B ⎛⎫+=+-=++⎪⎝⎭π24cos 2168sin 2166B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角ABC ，所以π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022π032B B π⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以ππ5π2666B <-<，所以1πsin(2126B <-≤，222024b c <+≤，所以22b c +的取值范围为(]20,24.故选：B.8.如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，AC ⊥BC ，1AC BC CC ==，D 为11B C 的中点，E 为线段AC 上的动点（含端点），则平面BDE 截直三棱柱111ABC A B C -所得的截面面积的取值范围为（）A.93,2⎛⎤⎥⎝⎦B.93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.94,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】【分析】过E 作1//EF CC ，交11A C 于F ，连接1B F ，取1C F 的中点H ，连接DH ，可得平面BDE 截直三棱柱111ABC A B C -所得的截面为梯形DHEB ，根据边长关系求出梯形DHEB 的面积即可得到答案.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，AC ⊥BC ，1AC BC CC ==，所以1111142ABC A B C V AC BC CC -=创�，解得12AC BC CC ===，过E 作1//EF CC ，交11A C 于F ，连接1B F ，取1C F 的中点H ，连接DH ，设2CE m =(01)m ≤≤，①当0m =时，平面BDE 截直三棱柱111ABC A B C -所得的截面为正方形11CBB C ，面积为4，②当01m <≤时，因为1//EF CC ，1//CE C F ，所以四边形1ECC F 为平行四边形，则12EF CC ==，12CE C F m ==，因为D ，H 分别为11B C ，1C F 的中点，所以1//DH B F ，112DH B F =，因为1//EF BB ，11EF CC BB ==，所以四边形1BEFB 为平行四边形，所以1//BE B F ，且1BE B F=则//BE DH ，2BE DH =，即平面BDE 截直三棱柱111ABC A B C -所得的截面为梯形DHEB在Rt HFE 中，90EFH ︒∠=，2EF =，HF m =，则HE =在1Rt BB D 中，190BB D ︒∠=，12BB =，11B D =，则BD =在Rt BCE 中，90BCE ︒∠=，2BC =，2CE m =，则BE ==DH =过D 作DM BE ⊥垂足为M ，过H 作HN BE ⊥垂足为N ，所得平面图形如下;则24HE m =+5BD =，221BE m =+，21DH m =+//BE DH设BM x =，则21NE m x=+-所以225DM x =-，222241)HN m m x =+-+，因为22DM HN =，化简可得：21x m =+2151DM m=-+所以222()31135542212DHEBDH BE DM m S m m +⋅+==-++梯形，因为当01m <≤，所以22543m <+≤，则23935422DHEB S m <=+≤梯形，综上，平面BDE 截直三棱柱111ABC A B C -所得的截面面积的范围为93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：A【点睛】方法点睛：立体几何中找截面的步骤一般分为三步：第一步，找截点：方式1：延长截小面上一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点；方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体棱于截点；第二步，连截线：将各截点收尾相连，围成截面；第三步，围截面：连接同一平面内的两个截点，形成截线.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知点2π1,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭在函数()sin(4)π02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭上，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为π2B.π6ϕ=C.函数()f x 的一条对称轴为直线π3x =-D.函数()f x 在ππ,612⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】根据点2π1,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭在函数()sin(4)π02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，求出函数解析式，利用正弦函数的图象与性质依次判断选项即可.【详解】对于A ，由于()sin(4)π02f x x ϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ42T ==，故A 正确；对于B ，由于点2π1,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()sin(4)π02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则π1()sin(π)sin 42f ϕϕ=+=-=-，即1sin 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，故B 正确；对于C ，由B 选项知π()sin(4)6f x x =+，令π4ππ62x k +=+()k ∈Z ，解得ππ124k x =+()Z k ∈，所以当π3x =-时，k 不是整数，即π3x =-不是函数()f x 的一条对称轴，故C 不正确；对于D ，令πππ2π42π262k x k -+≤+≤+()Z k ∈，解得：ππππ62122k k x -+≤≤+()Z k ∈，当0k =时，ππ612x -≤≤，则函数()f x 在ππ,612⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确；故选：ABD.10.已知复数143i z =+，243i z =--，则下列说法正确的是（）A.127z z ⋅=-B.若13z z -=，则28z ≤≤C.若12z z z z -=-，则1z -的最小值为45D.若12|3i ||3i |16z z z z -++--=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹方程为2216448x y+=【答案】BCD 【解析】【分析】利用复数的运算性质，轨迹方程，复数的运算法则，依次判断选项正误即可.【详解】复数143i z =+，243i z =--,对于A ，()()1243i 416923i 5z z +⋅=⋅=--=-+-，故A 错误；对于B ，设i z a b =+，则()143i z z a b -=-+-，所以13z z -==，则22(4)(3)9a b -+-=，所以点(,)a b 的轨迹是以(4,3)为圆心，半径为3的圆，由于z =，将问题转化为点(0,0)与点(,)a b 距离的范围，所以min32z =-=，max 38z ==，则28z ≤≤，故B 正确；对于C ，设i z a b =+，则()143i z z a b -=-+-，()243i z a b z =++-+，由于12z z z z -=-，则=，化简可得：430a b +=，即43ab =-，所以1z -==所以当925a =时，min 451z -=，故C 正确；对于D ，设i z a b =+，则13i=4i z z a b -+-+，23i=4i z z a b --++，所以12|3i ||3i |16z z z z -++--==，即点(,)a b 到点(4,0)-与到点(4,0)的距离之和为定值168>，根据椭圆的定义可得复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以焦点为(4,0)-与(4,0)，长轴长为16的椭圆，则其轨迹方程为2216448x y +=，故D 正确；故选：BCD11.已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，函数()()231G x f x =+-为奇函数，则（）A.函数()f x 的一个对称中心为()2,1B.()01f =-C.函数()f x 为周期函数，且一个周期为4D.()()()()12346f f f f +++=【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：借助奇函数的性质计算即可得；对B ：借助A 中所得，结合赋值法令0x =，借助偶函数的性质，结合赋值法令=1x -代入计算即可得；对C ：由对称性及()0f 的值可得()4f 的值，即可得解；对D ：借助赋值法令1x =代入计算即可得.【详解】对A ：由函数()()231G x f x =+-为奇函数，故()()231231f x f x +-=--+，即()()23232f x f x ++-=，即()()222f x f x ++-=，故函数()f x 的一个对称中心为()2,1，故A 正确；对B ：由()()222f x f x ++-=，令0x =，则()()222f f +=，即()21f =，由函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，故()()()()1111f x x f x x +-+---=，即()()112f x f x x =-++，令=1x -，则()()101222f f -==-=-，故B 正确；对C ：由函数()f x 的一个对称中心为()2,1，()01f =-，则()43f =，即()()40f f ≠，故函数()f x 不以的4为周期，故C 错误；对D ：由()()222f x f x ++-=，令1x =，有()()312f f +=，由()01f =-，()43f =，故()()()()12346f f f f +++=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知集合{R }A x x a =∈<，{}N 6,N B x tx t =∈=∈，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】()6,+∞【解析】【分析】可求出集合B ，然后根据A B B = ，得到B A ⊆，从而求出实数a 的取值范围.【详解】由{}N 6,N B x tx t =∈=∈，可得{}1,2,3,6B =，由于{R }A x x a =∈<，且A B B = ，则B A ⊆，所以6a >，则实数a 的取值范围是()6,+∞，故答案为：()6,+∞13.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，ABC 的三个顶点都在M 上，且直线BC 过原点，直线AC ，AB 斜率的乘积为3，则双曲线M 的离心率为______，双曲线2222:1x y E b a-=的渐近线方程为______．【答案】①.2②.33y x =±【解析】【分析】根据题意可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)C x y --，由直线AC ，AB 斜率的乘积为3化简可得221222123y y x x -=-，由ABC 的三个顶点都在M ，将A ，B 坐标代入椭圆方程，作差化简可得2221222212y y b x x a-=-，结合离心率与渐近线的公式求解即可.【详解】根据题意可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()12x x ≠±，由于ABC 的三个顶点都在M 上，且直线BC 过原点，则22(,)C x y --所以1212ACy y k x x +=+，1212AB y y k x x -=-，则22121212221212123AC AB y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅==+--，因为于ABC 的三个顶点都在M 上，所以2211221x y a b -=①，2222221x y a b -=②，则①-②可得2222121222x x y y a b --=，所以22212222123y y b x x a -==-，所以ba=故双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的离心率为2c e a ===，双曲线2222:1x y E b a -=的渐近线方程为3a y x xb =±=±故答案为：2；3y x =±14.已知函数()267f x x x =-+在[]()1,1m m >上的最大值为A ，在[],21m m -上的最大值为B ，若2≥A B ，则实数m 的取值范围是______．【答案】332⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】作出()f x 得图象，分15m <≤和5m >两种情况讨论函数()f x 在[]()1,1m m >上的最大值和在[],21m m -上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.【详解】由函数()267f x x x =-+，作出()f x 的图象如下：由题得：(1)(3)(5)2f f f ===，当15m <≤时，函数()267f x x x =-+在[]()1,1m m >上的最大值为2，即2A =，要使2≥A B ，则1B ≤，令()1f x =，解得：13x =，22x =，34x =，43x =+，由图可得，要使函数()267f x x x =-+在[],21m m -上的最大值为B ，且1B ≤，则33212m m ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩，或42133m m ≥⎧⎪⎨-≤+⎪⎩3332m -≤≤当5m >时，由图，()267f x x x =-+在[]()1,1m m >上最大值2()67A f m m m ==-+，在[],21m m -上最大值2(21)(21)6(21)7B f m m m =-=---+，由2≥A B ，可得22672(21)12(21)14m m m m -+≥---+，即2726210m m -+≤，因为5m >，所以不等式无解；综上，实数m 的取值范围是333,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故答案为：333,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,3P为椭圆C 上一点，且12PF F △的面积为26（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与C 相交于两个不同的点,A B ，求AB 的最大值．【答案】（1）221124x y +=（2）【解析】【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，12PF F △的面积与222a b c =+计算即可得；（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.【小问1详解】由题意可得22222331122a b c a b c⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2221248a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为221124x y +=；【小问2详解】πtan14k ==，故可设:AB l y x t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221124x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得22463120x tx t ++-=，()()222Δ361631212160t t t =--=->，即44t -<<，126342t t x x -+==-，2123124t x x -=，则AB ====，则当0=t 时，AB有最大值，且其最大值为=16.随着多元化的发展，大学校园中的少数民族学生日益增多为了迎接这些来自不同文化背景的新生，某高校举办了一场特别的少数民族学生（除汉族外）迎新活动，旨在促进不同民族学生间的交流与融合，同时展现学校对多元文化的尊重与包容．学生会统计了参加迎新活动的学生人数，得到相关数据如下：年级回族壮族满族蒙古族其他民族大一学生736757大二学生601210815（1）从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生进行互动，求至少有一名学生为其他民族的概率；（2）从参加活动的大一、大二壮族学生中随机抽取3名，记X 为抽取到的大一学生的人数，求X 的分布列和期望．【答案】（1）1049（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）分别求出从参加活动的大一、大二学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族的概率，结合相互独立事件与对立事件的概率公式计算即可得；（2）由题目条件确定X 的所有可能取值后，求出对应概率，即可得分布列，借助分布列即可得其期望.【小问1详解】设A =“从参加活动的大一学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”，B =“从参加活动的大二学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”，C =“从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生，至少有一名学生为其他民族”，则()7173675714P A ==++++，()1516012108157P B ==++++，则()()()13610111114749P C P A P B ⎡⎤⎡⎤=---=-⨯=⎣⎦⎣⎦；【小问2详解】由表可知参加活动的大一、大二壮族学生分别为6人，12人，则X 的可能取值为0，1，2，3，()03612318C C 550C 204P X ⋅===，()12612318C C 331C 68P X ⋅===，()21612318C C 152C 68P X ⋅===，()30612318C C 53C 204P X ⋅===，故其分布列为：X123P55204336815685204()5533155012312046868204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，120ABC ∠=︒，12AB AA ==，1AD =，1BD AC ⊥，E 是棱1CD 上的点．（1）求证：四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱；（2）若1113D E D C =uuu r uuu r，求平面11AA D D 与平面BDE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21919【解析】【分析】（1）由菱形的性质结合题目条件可得AC ⊥平面1BDD ，再利用线面垂直的性质定理与勾股定理逆定理可得1DD ⊥平面ABCD ，即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，得出两平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】由该四棱柱底面为菱形，故AC BD ⊥，AB AD =，又1BD AC ⊥，1BD BD B =I ，1BD 、BD ⊂平面1BDD ，故AC ⊥平面1BDD ，又1DD ⊂平面1BDD ，故1AC DD ⊥，由12AB AA ==，则2AD AB ==，又1AD =，有22211AD AD DD =+，故1AD DD ⊥，又AC AD A = ，AC 、AD ⊂平面ABCD ，故1DD ⊥平面ABCD ，故四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱；【小问2详解】取BC 中点F ，连接DF ，由120ABC ∠=︒，故60BCD ∠=︒，又BC CD =，则BCD △为等边三角形，故DF BC ⊥，又//BC AD ，故DF AD ⊥，又1DD ⊥平面ABCD ，DF 、AD ⊂平面ABCD ，故1DD DF ⊥，1DD AD ⊥，故1DD 、AD 、AF两两垂直，故可以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D、()B、()C -、()10,0,2D、()F ，则()12D C =-- ，()10,0,2DD =，()DB = ，则111132,,3333D E D C ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则11134,,333DE DD D E ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,m x y z =，则有0140333DB m x DE m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x =，则1y =-，32z =，即31,2m ⎫=-⎪⎪⎭，又y 轴⊥平面11AA D D ，故平面11AA D D 的法向量可为()0,1,0n =，则cos ,19m n m n m n⋅===-⋅，故平面11AA D D 与平面BDE 夹角的余弦值为21919.18.已知函数()()()()ln 1f x x a x a x a =-+-∈R ．（1）若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数a 的值；（2）求证：111ln2sin sin sin 100101198>+++ ．【答案】（1）1-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出导函数()f x '，再转化为()0f x '≥恒成立问题，令()()g x f x '=，然后求导研究()g x 的单调性，求出其最小值，根据最小值大于等于0，求得实数a 的值；（2）由（1）中的分析可得到1ln 1x x≥-，然后构造函数证得sin (0)x x x <>，再进行放缩，利用裂项相消法证明即可.【小问1详解】由题意，得()()1ln 1ln 10x a f x x a x a x x x -⎛⎫=++-=--> ⎪⎝⎭'，由函数()f x 在()0,∞+上单调递增，得()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，令()1()()ln 10g x f x x a x x ⎛⎫==-->⎪⎝⎭'，则()2211x ag x a x x x +⎛⎫=--= ⎪⎝'⎭，当0a ≥时，因为0x >，所以()0g x '>恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，又(1)0g =，所以()g x 恒大于等于0不成立.当a<0时，由()0g x '=得x a =-，所以当,()0x a g x '>->，当0,()0x a g x '<<-<，所以函数()g x 在()0,a -上单调递减，在(),a ∞-+上单调递增，则min min ()()()ln()1f x g x g a a a '==-=-++，若()0f x '≥恒成立，则ln()10-++≥a a ，令()ln()1(0)h x x x x =-++<，则11()1x h x x x+'=+=，当1x <-时，()0h x '>，当10x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，所以max ()(1)0h x h =-=，所以当ln()10-++≥a a 时，1a =-.综上，若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则1a =-.【小问2详解】由（1）得，当1a =-时，()1ln 10f x x x=+-≥'恒成立，即1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时等号成立，令1n x n =-，则*,l N ,1n21n n n n n >≥∈-，所以()*1lnln ln 1,2,N .1nn n n n n n <=--≥∈-令()sin (0)t x x x x =-≥，则()1cos 0t x x '=-≥恒成立，所以函数()t x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0t x t >=，即sin x x <，所以()*11sinln ln 1,2,N n n n n n n<<--≥∈，所以()()111sinsin sin ln100ln 99ln101ln100100101198+++<-+-+ ()ln198ln197+-198ln198ln 99ln ln 299=-==，故111ln2sinsin sin 100101198>+++ 得证.【点睛】关键点点睛：在第二问的证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出1ln 1x x≥-，再巧妙赋值1n x n =-，得出()*1lnln ln 1,2,N 1nn n n n n n <=--≥∈-，其次，还需要联想sin ,x x 的大小关系，构造函数()sin (0)t x x x x =-≥得出sin x x <，即可得出()*11sinln ln 1,2,N n n n n n n<<--≥∈，再累加即可得证.19.从数据组:(1,2,3,,)n ΩL 中取出()*,k k k n ∈≤N 个不同的数构成一个新数据组∏：12(,,,)k x x x L ．若a ∀∈Ω，,i j x x ∃∈∏，,{1,2,,}i j k ∈L ，使得i j a x x λμ=+，{},1,0,1λμ∈-，则称数据组∏为数据组Ω的一个k 维基本数据库.（1）判断数据组∏：()1,4是否为数据组Ω：()1,2,3,4,5的一个2维基本数据库；（2）判断数据组∏：()2,3,4是否为数据组Ω：()1,2,3,4,5,6,7,8,9的一个3维基本数据库.（3）若数据组∏是数据组Ω的一个k 维基本数据库，求证：2k k n +≥.【答案】（1）是（2）不是（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据k 维基本数据库的定义直接运算判断即可；（2）根据k 维基本数据库的定义直接运算判断即可；（3）设12k x x x <<< ，计算出i j x x λμ+的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合定义即可得证.【小问1详解】因为()11104,21111,31114,40114,51114=⨯+⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以数据组∏：()1,4是数据组Ω：()1,2,3,4,5的一个2维基本数据库；【小问2详解】因为等式922,923,933,924λμλμλμλμ=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，934,944λμλμ=⨯+⨯=⨯+⨯，对于{},1,0,1λμ∈-均不可能成立，所以数据组∏：()2,3,4不是数据组Ω：()1,2,3,4,5,6,7,8,9的一个3维基本数据库；【小问3详解】不妨设12k x x x <<< ，则形如{}()10,1,2,3,,i j x x i j k ⋅+⋅∈ 的正整数共有k 个；形如{}()111,2,3,,i i x x i k ⋅+⋅∈ 的正整数共有k 个；形如{}()11,1,2,3,,,i j x x i j k i j ⋅+⋅∈≠ 的正整数至多有2C k 个；形如(){}()11,1,2,3,,i j x x i j k -⋅+⋅∈ 的正整数至多有2C k 个；又数据组:(1,2,3,,)n ΩL 含n 个不同的正整数，数据组∏是数据组Ω的一个k 维基本数据库，故22C C k k k k n +++≥，化简得2k k n +≥.【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义问题，解决此类问题的关键是读懂新定义，利用新定义解决问题.。

一、单选题二、多选题1.已知等差数列}的前n 项和为，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知是虚数单位，复数则（ ）A．B．C．D．3. 设是内一点，且，，则（ ）A．B．C．D．4.若过直线上一点M 向圆Γ：作一条切线于切点T ，则的最小值为（ ）A．B ．4C．D．5.已知函数，则A．B．C．D．6.设，使函数的定义域是R ，且为偶函数的所有的值是（ ）A ．2B ．1，2C．，2D．，1，27.函数满足、，都有，且，则（ ）A．B ．数列单调递减C．D．8. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．9. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（）A ．若点为的中点，则过P 、Q、三点的截面为四边形B．若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为C ．不存在点，使D ．与平面所成角的正切值最小为10. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ）A．河南省顶级名校2022届高三5月全真模拟考试文科数学试题(2)河南省顶级名校2022届高三5月全真模拟考试文科数学试题(2)三、填空题四、解答题B．是偶函数C ．在上单调递减，在上单调递增D ．不等式的解集是11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）A．B．C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港12. 设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（ ）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．以为直径的圆与轴相切D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点13.定义运算：，若复数满足，其中为虚数单位，则___________.14. 集合，，若，求实数的取值范围_________．15. 已知过点且斜率为k 的直线l ，与圆C ：交于M ，N 两点，若弦的长是2，则k 的值是________．16.已知正整数数列满足：，，.（1）已知，，求和的值；（2）若，求证；（3）求的取值范围.17. .如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，.（1）若，求证：平面（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值.18. 在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．19. 在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且.(1)求角C；(2)若，求的周长的取值范围.20. 已知函数.（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，，求的值.21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角中，内角的对边分别为，且______．(1)求；(2)若，，求线段长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。

2024年河南省名校高三数学下学期5月模拟联考试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{21,x A yy B x y ==-==∣∣，则A B ⋃=（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(]1,1-D ．[1,1]-2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（）A ．16B ．30C ．24D ．183．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为4π3的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F，短轴长为M 在椭圆上，若||MF 的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）A ．3B ．4C ．1D ．25．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6936a a a a +=+（）A ．4B ．8C ．18D ．146．若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（）A．2BC ．23D ．127．设1ln sin1,cos1,2a b c =-==，则（）A ．a c b<<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．c a b<<8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，P 为C 左支上的点，A 为右顶点，若2FA PA PF ==，则C 的离心率为（）A ．127B ．75C ．125D ．157二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，设O 为坐标原点，复数2,z z 对应的点分别为A ，B ，若OA OB ⊥，则z 可能是（）A ．2i B．1CiDi10．已知π4x =为函数()sin cos (0,0)f x a x b x a b =+≠≠的极值点，则（）A ．a b=B ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数C ．()f x 的图象关于直线5π4x =对称D ．()f x 在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．已知圆台12O O 的上下底面半径分别为1，2AB 为下底面圆2O 的一条直径，CD 为上底面圆1O的一条弦，且||CD =）A ．圆台的体积为733B ．圆台的母线与下底面所成角为π6C ．当A ，B ，C ，D 不共面时，四面体ABCD 的外接球的表面积为16πD ．AC BD ⋅的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．()322x x --的展开式中，2x 的系数为．（用数字作答）13．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60C =︒，7c =，若3,a b D -=为AB 中点，则CD =．14．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．已知函数()ln f x ax x =-，且()f x 在1x =处的切线方程是0x y b -+=．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．16．甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为13，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．(1)求进行双打比赛的概率；(2)设随机变量X 为比赛场次，求X 的分布列及数学期望．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,,ABCD PA AB AB CD ⊥∥，且22222AB CD AD BC AP =====．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的正弦值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，点P （不位于y 轴左侧）到y 轴的距离为,1d PF d =+．(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)若圆222:()(0)M x m y m m -+=>与点P 的轨迹有且仅有一个公共点，求m 的最大值；(3)在（2）的条件下，当m 取最大值，且4d >时，过P 作圆M 的两条切线，分别交y 轴于,A B 两点，求PAB 面积的最小值．19．已知{}n a 为单调递增的正整数数列，给定整数k ，若存在不全为0的,1,2,,i x i n = ，使得1122k k k n n x a x a x a t +++= ，则称t 为k 阶n 维表示数．(1)若12112,4,4(2)n n a a a a n +-===+≥，求{}n a 的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；(2)已知11a =，是否存在12,,,n x x x ，使得t 同时是0阶n 维表示数，1阶n 维表示数，…，n 1-阶n 维表示数．若存在，求出12,,,,n t x x x ；若不存在，请说明理由．1．B【分析】根据指数函数性质和一元二次不等式的解法求出集合,A B ，然后由集合的并集运算可得.【详解】由指数函数的值域可得()1,A =-+∞，解不等式210x -≥得[]1,1B =-，所以[1,)A B =-+∞ .故选：B ．2．C【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得.【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为4:3:5，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，所以高三年级三个班优秀学生总人数为861024++=人.故选：C 3．A【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.【详解】因为底面半径2r =，所以底面周长2π4πL r ==，又圆锥母线长34π3L l ==，所以圆锥侧面积π6πS rl ==．故选：A ．4．D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于,a c 的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为b =，则2223ac b -==，又||MF 的最大值是最小值的3倍，即3()a c a c +=-，所以2a c =，所以2,1a c ==，则其焦距为22c =.故选：D 5．B【分析】根据,n n a S 的关系可得递推公式12n n a a -=，利用递推公式可得.【详解】当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理得12n n a a -=，所以6936a a a a +=+()3363628a a a a +=+.故选：B ．6．D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sin cos ,cos sin αβαβ，再根据和角公式计算即可.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 6αβαβαβ-=-=，又tan 2tan αβ=，即sin 2sin cos cos αβαβ=，则sin cos 2cos sin αβαβ=，所以11sin cos ,cos sin 36αβαβ==，故111sin()sin cos cos sin 362αβαβαβ+=+=+=.故选：D 7．A【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定,a b 与c 的大小即可.【详解】因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2πsin sin124=<，又ln y x =定义域上单调递增，所以2ln 21ln sin1lnln 222a >⇒<<，而cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以π1cos1cos 32b =>=，所以ac b <<.故选:A8．A【分析】利用给定条件结合余弦定理得到齐次方程，求解离心率即可.【详解】如图，设C 的焦距为2c ，则,2a cFA a c PF +=+=，由2FA PA PF ==，可知1cos 4PFA ∠=，设C 的右焦点为1F ，则152a c PF +=，由余弦定理得222514222224a c a c a c c c +++⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得(712)()0c a c a -+=，所以712c a =，离心率为127，故A 正确.故选：A ．9．ACD【分析】设i,,z a b a b =+∈R ，根据复数的四则运算以及几何意义可得()()22,2,,A a b ab B a b --，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，则2222i,i z a b ab z a b =-+=-，可知()()22,2,,A a b ab B a b --，即()()22,2,,OA a b ab OB a b =-=-uu r uu u r ，若OA OB ⊥ ，则()22a a b -()222()30ab b a a b +-=-=，整理得所以0a =或223a b =，对比选项可知ACD 正确，B 错误.故选：ACD ．10．ABC 【分析】由π4x =是导函数的零点，可得a b =判断A 选项；由π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭解析式判断奇偶性判断选项B ；利用函数对称性的特征判断选项C ；由正弦型函数的单调性判断选项D.【详解】π4x =为函数()sin cos (0,0)f x a x b x a b =+≠≠的极值点，()cos sin f x a x b x '=-，由π04f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭可得a b =，A 选项正确；由于()π()sin cos sin cos sin 4f x a x b x a x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 42f x x x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，B 选项正确；()5π5ππππsin sin 3πsin 22444f x x a x a x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于直线5π4x =对称，C 选项正确；由于a 的正负未知，所以()f x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性不确定，D 选项错误，故选：ABC ．11．ACD【分析】对于A 选项，直接套用公式计算即可，对于B 选项，先做出圆台的轴截面进行判断，对于C 选项，当AB 与CD 异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，根据几何关系确定圆心即可计算判断，对于D 选项，需要建立空间直角坐标系，进行用坐标法计算取值范围.【详解】对于A 选项，圆台体积为()173π1π4π33⨯+⨯+=，A 选项正确；对于B 选项和C 选项，先做出轴截面：根据几何关系，可知圆台的母线与下底面所成角为π3，B 选项错误；对C 选项，当AB 与CD 异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，由几何关系得出2122O B O B ==，即下底面圆心2O 刚好为四面体ABCD 的外接球球心，则外接球半径为2，表面积为16π，C 选项正确.对选项D ，需建立空间直角坐标系，由||CD =，可知OC OD ⊥，不妨设(2,0,0),(2,0,0)A B -，(cos ,sin C θθ，则(sin ,cos D θθ-，所以(2cos ,sin (sin 2,cos AC BD θθθθ=+=--，所以(2cos )(2sin )sin cos 3AC BD θθθθ⋅=-++++2(sin cos )11θθ=-+-≤，D 选项正确.故选：ACD12．6【分析】因式分解得()()3312x x +-，分别由()31x +和()32x -通项相乘得()6332C C nn m m n x ---，根据4m n +=可得.【详解】()()()3332212x x x x --=+-，()31x +的展开式通项为33C m mx-，()32x -的展开式通项为()332C nn nx --，()()3363333C 2C 2C C nnm m n n n m m nx x x ----⋅-=-，令62m n --=，得4m n +=，所以3x 的系数为()()()1231322313333332C C 2C C 2C C 6-+-+-=．故答案为：6131292【分析】根据余弦定理可得40ab =，即可利用向量的模长求解1292CD =.【详解】由余弦定理，22222cos ()c a b ab C a b ab +-=-=+，将3a b -=代入解得40ab =，因为()12CD CA CB =+ ，所以2222()3129444b a ab a b ab CD ++-+===，所以129CD =12914．32e3t【分析】利用给定条件得到2123e 32x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.【详解】易知23e ,0()23,0,xx x f x x x ⎧⎛⎫'+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩，设()()1121,,,A x y B x y ，则2123e 32x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设切线斜率为k，则21BQx AP x =，所以22112222113e 23x x BQ x x x AP⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，设23e 2()(0)3x x g x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>，则3(23)(2)e ()6x x x g x x -+'=，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x <'单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()g x 的最小值为3234e 29g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以||||BQ AP 的最小值为342e 3．故答案为：342e3【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用给定条件得到2123e 32x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后把目标式表示为23e 2()3x x g x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，求导得到单调性，再求最值即可．15．(1)2a =，1b =(2)单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为1ln 2+，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得()2ln f x x x =-，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.【详解】（1）因为()ln f x ax x =-，所以()1f x a x'=-，又()f x 在1x =处的切线方程为y x b =+，所以(1)11f a '=-=，(1)1f a b ==+，解得2a =，1b =．（2）由（1）可得()2ln f x x x =-定义域为()0,∞+，则121()2x f x x x-'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，则()f x 在12x =处取得极小值，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，因此极小值为11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值．16．(1)23(2)分布列见解析，11()3E X =【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解；（2）X 的可能取值为3，4，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设进行双打比赛为事件A ，甲班前3场获胜2场为事件1A ，乙班前3场获胜2场为事件2A ，所以()2213122C 339P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以()2223214C 339P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()()12122()3P A P A A P A P A =⋃=+=．所以进行双打比赛的概率为23；（2）X 的可能取值为3，4，33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）可知，2(4)3P X ==，X 的分布列为：X34P1323()121134333E X =⨯+⨯=，所以X 的数学期望为113．17．(1)证明见解析(2)154【分析】（1）先由线段关系证AC BC ⊥，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【详解】（1）由题意2222AB CD AD BC ====，则60ABC ∠= ，因为1,2BC AB ==，所以90,ACB AC BC ∠=⊥ ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，且,PA AB PA ⊥⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，且,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ；（2）如图，以A 为原点，,AP AB分别为x 轴，y 轴正方向，在平面ABCD 内过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(0,2,0),0,,,0,,22P B D C⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以1(1,0,0),0,2AP AD ⎛== ⎝⎭，1(1,2,0),0,,2PB BC ⎛=-=- ⎝⎭，设平面PAD 的一个法向量1(,,)n x y z = ，则11002n AP x y n AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，得11)n =- ，设平面PBC 的法向量()2,,n m n p =，则22203022n PB m n n n BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1p =，得2n = ，设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ，则121221cos 244n n n n θ⋅===⨯⋅，所以平面PAD 与平面PBC4=．18．(1)24y x =(2)2(3)32【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点距离公式及点线距离计算即可；（2）联立圆与C 方程计算即可；（3）设,,A B P 坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得200022000044,44x x a b ab x y x x x --+==--，利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.【详解】（1）设(),,0P x y x ≥，则||PF d x ==，1x =+，两边平方可得222(1)21x y x x -+=++，整理得24y x =，所以点P 的轨迹方程C 为24y x =；（2）依题意，联立圆M 与C ，2222(),4,x m y m y x ⎧-+=⎨=⎩可得2(42)0x m x +-=，解得0x =或24x m =-，由于仅有一个公共点，所以240m -≤，解得2m ≤，所以m 的最大值为2；（3）不妨设()000(0,),(0,),,,4A a B b P x y x >，显然2004y x =，则直线00:y aPA y x a x -=+，直线00:y b PB y x b x -=+，依题意直线PA 与圆22:(2)4M x y -+=2=，整理可得()222000004440x x a x y a x -+-=，同理可得()222000004440x x b x y b x -+-=，显然()0040x x ->，所以a ，b 为关于x 的一元二次方程()222000004440x x x x y x x -+-=的两根，所以200022000044,44x x a b ab x y x x x --+==--，则20200000044xAB x x ====-，则PAB 面积为20002000411162482244xAB d x x x x x ⎛⎫⨯=⨯⨯=-++⎪--⎝⎭2832⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当08x =时等号成立，所以PAB 面积的最小值为32．【点睛】思路点睛：第三问设点,,A B P 坐标，利用斜截式表示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计算即可.19．(1)2n a n =，2024是3阶3维表示数，理由见解析(2)当0=t 时，不存在不全为0的12,,,n x x x 使结论成立，当0t ≠时，123,0n x t x x x ===== 【分析】（1）利用给定递推关系求出2n a n =，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.（2）利用给定定义结合分类讨论思想求解12,,,,n t x x x 即可.【详解】（1）由于114,2n n a a n +-=+≥，因此{}n a 的奇数项与偶数项都是等差数列，且公差均为4，又因为12a =，24a =，因此{}n a 是2为首项，2为公差的等差数列，即2n a n =，当3n =时，设3312332462024x x x ⨯+⨯+⨯=，则3312323253x x x +⨯+⨯=，此时取1232,1,9x x x ===即可（取法不唯一）；（2）由题意可知12,,,n x x x 满足方程组1211221111122,,,n n n n n n n n x x x t x a x a x a t x a x a x a t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩从最后一行开始，分别用前一行的1a -倍加到下一行，对后n 1-行的1x 进行消元，到()()()()()()()()()1222111222111222221211,01,01,01,n n n n n n n n n n x x x t x a a x a a t a x a a a x a a a t a x a a a x a a a t a --+++=⎧⎪+-++-=-⎪⎪+-++-=-⎨⎪⎪+-++-=-⎪⎩从最后一行开始，分别用前一行的2a -倍加到下一行，对后2n -行的2x 进行消元，得到()()()()()()()()()()()1221111211232112,01,0011,0011,n n n n n n n n n n n x x x t x a a x a a t a x a a a a t a a x a a a a a t a a -+++=⎧⎪+-++-=-⎪⎪+++--=--⎨⎪⎪+++--=--⎪⎩ 以此类推，有()()()()()()()()()()()()()12221112112121121,01,0011,00111,n n n n n n n n n n n n x x x t x a a x a a t a x a a a a t a a x a a a a a a t a a a --+++=⎧⎪+-++-=-⎪⎪+++--=--⎨⎪⎪+++---=---⎪⎩ 由于11a =，因此方程组为()()()()()()()12221121121,00,000,000,n n n n n n n n n n n x x x t x a a x a a x a a a a x a a a a a a -+++=⎧⎪+-++-=⎪⎪+++--=⎨⎪⎪+++---=⎪⎩ 当0=t 时，不存在不全为0的12,,,n x x x 使结论成立，当0t ≠时，122,0n x t x x x ===== ．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得到所要求的内容即可．。

河南省名校联考2023届高三5月最终模拟文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________有一个函数无极值，则a 的取值范围是______．16．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH ，立两根高48丈的标杆BC 和DE ，两竿相距BD =800步，D ，B ，H 三点共线且在同一水平面上，从点B 退行100步到点F ，此时A ，C ，F 三点共线，从点D 退行120步到点G ，此时A ，E ，G 三点也共线，则山峰的高度AH =_________步.（古制单位:180丈=300步）三、解答题17．已知{}n a ，{}n b 分别为等差数列，等比数列，且11a =，12b =，33a =，24b =.(1)求{}na ，{}nb 的通项公式；(2)求数列{}2213n n a b -+的前n 项和n S .18．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为1CD 的中点，且点E 既在平面11AB C 内，又在平面1ACD 内．(1)证明：E AOÎ；(2)若14AA=，2AB=，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理由），并求线段1A H的长．19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．根据椭圆的定义1PQF △的周长为即23a c =①由该椭球横截面的最大直径为又因为222a b c =+，所以②联立可得255c =，a =。