24.1.2 垂直于弦的直径练习 学生版

前言：
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（最新精品同步练习题）
基础导练
1.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）
A．3 B．4 C．5 D．
7
2.如图，AB为圆O的弦，圆O的半径为5，OC⊥AB于点D，交圆
O于点C，
且CD=2，则AB的长是 .
能力提升
3.绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4.已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离是多少？
1。

人教版九年级数学上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习题一、选择题1．下列说法中，不正确的是(D)A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D ．圆的每一条直径都是它的对称轴2．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D)A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则OE ＝(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(B)A.7 B．27 C．6 D．86．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A．8 B．10 C．12 D．167．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为(B)A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm8．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB 与CD的距离为(D)A．1 B．7 C．4或3 D．7或1二、填空题9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．10.如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那四边形OEAD的周长为14cm．11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O 的半径是2．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为26寸．14.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为1 2．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6)．三、解答题16．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝12AB＝1米，∠CDA＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．17．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1 图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.。

一．选择题（共15小题）1．下列说法中正确的是（）A．平分弦的直径一定垂直于弦B．长度相等的弧是等弧C．平行弦所夹的两条弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．6C．3D．93．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.55．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 7．下列说法中正确的个数有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径一定垂直于弦；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；④直径是弦；⑤长度相等的弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（）A．B．5 C．D．69．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸11．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm13．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m14．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm15．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸二．填空题（共10小题）16．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB=12，CD=2．则⊙O半径的长为．17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA= ．18．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是．21．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．22．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为cm．23．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为cm．24．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，则直径CD 长为寸．25．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为．三．解答题（共6小题）26．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．27．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．28．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC 的长．29．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．30．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．31．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：A、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：C．2．【解答】解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴=，∴∠DCF=∠EOD=30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴CF=CD•cos∠DCF=12×=6，故选：B．3．【解答】解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD，故选：D．4．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．5．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm∴OE=6cm，AE=AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA==10cm 故选：B．6．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE=BE=AB=20，在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，∴OE==15，∴DE=OD+OE=40，CE=OC﹣OE=10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．7．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；④直径是弦；正确；⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；故选：A．8．【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=CD=BC=4，AD=BC=4，∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB==2，则圆的半径为2．故选：C．9．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC=AC=AB=×16=8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，故选：D．10．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．11．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．12．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．13．【解答】解：如图，设OA=r，则OD=r﹣4，∵AB=16m，∴AD=8m．在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，即（r﹣4）2+82=r2，解得r=10（m）．故选：C．14．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=4，OD=10，∴OC=6，又∵OB=10，∴Rt△BCO中，BC=，∴AB=2BC=16．故选：C．15．【解答】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．故选：D．二．填空题（共10小题）16．【解答】解：连接AO，∵半径OC⊥弦AB，∴AD=BD，∵AB=12，∴AD=BD=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴OD=R﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：R2=（R﹣2）2+62，∴R=10，答：⊙O的半径长为10．17．【解答】解：x2﹣11x+24=0（x﹣3）（x﹣8）=0x﹣3=0，x﹣8=0，x1=3，x2=8，∵AB＞OC，∴AB=8，OC=3，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故答案为：5．18．【解答】解：如图，OA=16，则OC=8，根据勾股定理得，AC==8，∴弦AB=16．故答案为：16．19．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y=﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，所以AC的垂直平分线解析式是x=2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．20．【解答】解：连接OC，由题意，得OE=OA﹣AE=4﹣1=3，CE=ED==，CD=2CE=2，故答案为2．21．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC=AB=30cm，在Rt△OBC中，OC==40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′==30cm，水面上升的高度为：40﹣30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．22．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故答案为：2.523．【解答】解：连接OB；Rt△OBD中，BD=AB=2cm，根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2，即：（OB﹣1）2+22=OB2，解得：OB=2.5；所以轮子的直径为5cm．故答案为：5．24．【解答】解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣CE=r﹣1，∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（r﹣1）2，解得r=13（寸）．∴CD=2r=26寸．故答案为：26．25．【解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB，∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，∴OB=OC=BC=1m，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°．∴弧形门洞的周长（含线段BC）为： +1=+1，故答案为：（+1）m．三．解答题（共6小题）26．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°，在Rt△OEM中，∵OE=4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD=2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．27．【解答】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE===2．28．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，CF=FD=4，∴AB⊥CD，∵∠ACB=90°∴∠A=∠BCF，∴△BCF∽△CAF，∴=，∴CF2=AF•BF，设AF=x，∴16=2x，∴x=8，∴由勾股定理可知：AC=429．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，∴OE=8m．∵水管水面上升了2m，∴OF=8﹣2=6m，∴CF==8m，∴CD=16m．30．【解答】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．31．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．22.2二次函数与一元二次方程学习目标：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．重点、难点1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．导学过程：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1） 一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷一．填空题（共1小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为二．解答题（共48小题）2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．3．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？4．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．（1）求油槽的半径OA；（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．6．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．7．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm（1）求⊙O的面积；（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．8．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB＝CD＝8．（1）求证：AC＝BD；（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形．9．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．10．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，P A＝6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．11．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．13．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．（1）求证：CM＝DN．（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．14．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）连接AB，求DE的长．15．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求BD的长．16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．17．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC＝CD＝DB，求证：∠AOC＝∠DOB．18．已知：如图，OA＝OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC＝BD．19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AE＝，ON＝1，求⊙O的半径．21．如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，求的值．24．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．25．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．26．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．27．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？28．如图，矩形ABCD的四个顶点在⊙O上，过O作OE⊥AD于F，交⊙O于E点，连AE、DE（1）求证：AE＝DE；（2）若AB＝AE＝2，求⊙O的半径．29．已知⊙O中ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；（1）如图（1）连接OD，OC，在BC上取一点M，使MB＝OB，连接OM，求证：OB+BC ＝CD；（2）如图（2），在（1）的条件下，过O作OE⊥AC于E，若CD＝4OB，OE＝2，求⊙O半径．30．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE＝1，OE＝2，OF ＝1．求ED，EC的长．31．如图，已知⊙O的半径长为4，弦AB垂直平分半径OC，弦DE∥AB，过点B作AD的平行线交直线DE于点F．（1）当点E，F不重合时，试说明△BEF是等腰三角形．（2）填空：当AD＝时，四边形ABFD是菱形．32．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．33．如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD＝OD，若OB⊥AC于E点．（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．34．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长35．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．36．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE 的长．38．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到D，使DA＝AO，AE垂直于弦AC，垂足为点A，点E在DC上，求S△AEC：S△AOC．39．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE＝3，CE ＝2，且tan∠OBC＝1，求四边ABDC的面积．40．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE﹣BF的值．41．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，求AB的长．42．已知：如图，点O是∠EPF的平分线的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D．试探究∠OBA与∠OCD的关系，并说明理由．43．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB＝4，AD＝12．求线段EF的长．44．如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD．（1）求证：BC＝BD；（2）已知CD＝6，求圆O的半径长．45．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB＝5，AC ＝4，求：BD的长．46．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，求证：OE ＝OF．47．如图，点A，B是⊙O上两点，点P是⊙O0上的动点（P与A，B不重合），连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足．（1）求证：∠OEF+∠OFE＝∠P；（2）EF＝5，点O到AB的距离为2，求⊙O的半径的长．48．如图，在Rt△A0B中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以点O为圆心，OA为半径作圆交AB于点C，求BC的长．49．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长．2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH＝DH，DM＝EM，BN＝CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN＝DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．二．解答题（共48小题）2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．3．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．（1）求油槽的半径OA；（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理进行解答即可；（2）利用垂径定理和勾股定理进行解答即可．【解答】解：（1）设OA为xcm，根据勾股定理可得：x2＝402+（80﹣x）2，解得：x＝50，答：油槽的半径OA为50cm，（2）设油面下降的高度为y，根据勾股定理可得：502＝302+（80﹣50﹣y）2，解得：y＝70或y＝﹣10（舍去），答：油面下降的高度为70cm．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．【分析】作直径CM，连接BM，DM，AM，根据垂径定理求出CG＝BG，根据三角形中位线的性质求出BM＝2OG，求出AB∥DM，求出∠BAM＝∠AMD即可．【解答】证明：作直径CM，连接BM，DM，AM，∵OG⊥BC，OG过O，∴CG＝BG，∵CO＝OM，∴BM＝2OG，∵CM为⊙O直径，∴∠CDM＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CHB＝90°，∴∠CHB＝∠CDM，∴AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD，∴AD＝BM，∴AD＝2OG．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线的性质，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．6．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm（1）求⊙O的面积；（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．【分析】（1）连接OA，根据AB＝8cm，CD＝2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理列式即可求出r，进而求出面积．（2）在Rt△ACE中，已知AC、EC的长度，可求得AE的长，根据垂径定理可知：OF ⊥AE，FE＝F A，利用勾股定理求出OF的长．【解答】解：（1）连接OA，如图1所示∵C为AB的中点，AB＝8cm，∴AC＝4cm又∵CD＝2cm设⊙O的半径为r，则（r﹣2）2+42＝r2解得：r＝5∴S＝πr2＝π×25＝25π（2）OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3EC＝EO+OC＝5+3＝8∴EA＝＝＝4∴EF＝＝＝2∴OF＝＝＝【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出辅助线是解题的关键．8．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB＝CD＝8．（1）求证：AC＝BD；（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB＝CD判断＝，再得到＝，从而判断AC＝BD；（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF＝DF，AG＝BG，则利用CD＝AB得到AG＝DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG 是正方形；【解答】（1）证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AC＝BD（2）四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，∴∠GEF＝∠OFE＝∠OGE＝90°∴四边形OFEG是矩形，，．∵AB＝CD，∴DF＝AG．∵OD＝OA，∴在Rt△OFD与Rt△OGA中，∴Rt△OFD≌Rt△OGA（HL），∴OF＝OG．∴矩形OFEG是正方形．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．9．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．【分析】过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，根据垂径定理解答即可．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，在Rt△OEM中，∵OE＝4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．【点评】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．10．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，P A＝6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．【分析】（1）设OC＝x，证明△CEO∽△PCO，得，代入x可得结论；（2）由勾股定理得CE的长，根据垂径定理可得CD的长．【解答】解：（1）设OC＝x，∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE＝OA＝x，∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO＝∠CEO＝90°，∴∠P+∠COP＝90°，∠ECO+∠COP＝90°，∴∠P＝∠ECO，∴△CEO∽△PCO，∴，∴＝，x＝6则⊙O的半径为6；（2）由（1）得：OC＝6，OE＝3，由勾股定理得：CE＝＝3，∵CD⊥OA，∴CD＝2CE＝6．【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．11．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．【分析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB ＝DQ，PC＝QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OP A≌RT△OQA，得出AP ＝AQ，进而即可证得结论．【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，∵BC＝DE，∴PB＝DQ，PC＝QE，在RT△OPB和RT△OQD中，，∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），∴OP＝OQ，在RT△OP A和RT△OQA中，，∴RT△OP A≌RT△OQA（HL），∴AP＝AQ，∴AP+PC＝AQ+QE，即AC＝AE．【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到＝，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴＝，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．13．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．（1）求证：CM＝DN．（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．【分析】（1）过O作OF⊥CD于F，根据平行线分线段成比例定理得到MF＝NF，根据垂径定理得到CF＝FD，结合图形计算即可；（2）连结OD，根据勾股定理求出OF，设OE＝x，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】（1）证明：过O作OF⊥CD于F，∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∴AM∥FO∥NB，∵OA＝OB，∴MF＝NF，∵OF⊥CD，O为圆心，∴CF＝FD，∴CF﹣MF＝FD﹣FN，即MC＝ND；（2）解：连结OD，∵AB＝10，CD＝8，∴OD＝5，FD＝4，∴OF＝3，设OE＝x，则EB＝x+5，AE＝5﹣x，∵NB∥FO，∴△EBN∽△EOF，∴＝，即BN：3＝（5+x）：x，∴BN＝，①∵MA∥FO，∴△AME∽△OFE，∴AM：3＝（5﹣x）：x，∴AM＝②两式相减即可得到，BN﹣AM＝6．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键．14．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）连接AB，求DE的长．【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；（2）如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC 和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，可得DE的长．【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3，∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，∴OD＝＝4，即线段OD的长为4．（2）如图（2），∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝＝5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE＝AB＝．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．15．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求BD的长．【分析】连接DC，过点C作CE⊥BD交BD于点E，根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质求出CE，根据勾股定理求出BE，根据垂径定理计算．【解答】解：连接DC，过点C作CE⊥BD交BD于点E，则DE＝EB，∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣130°﹣20°＝30°，∴CE＝BC＝1，由勾股定理得，BE＝＝，∴BD＝2BE＝2．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据垂径定理得到OE＝OF即可．【解答】解：OE＝OF理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，∵OH过圆心，OH⊥AB∴AH＝BH，又∵AE＝BF∴AH﹣AE＝BH﹣BE即EH＝FH，∵EH＝FH，OH⊥EF∴OH垂直平分EF，∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了垂径定理，关键是根据圆的性质，垂径定理等知识的综合应用及推理论证能力．17．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC＝CD＝DB，求证：∠AOC＝∠DOB．【分析】先根据等腰三角形的性质由OA＝OB得到∠A＝∠B，再利用“SAS”证明△OAC ≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．【解答】证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠AOC＝∠DOB【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了全等三角形的判定与性质．18．已知：如图，OA＝OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC＝BD．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE ＝DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC＝AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AE＝，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE ＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1，连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；【解答】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）∵AE＝2，AE⊥CD，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3；【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，在△DCE与△OBE中，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE＝，CD＝2，∴OD＝CD＝2，∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6．【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．【分析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，根据角的平分线的性质得出OE＝OD＝OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME ＝ND，然后根据垂径定理即可证得结论；（2）根据角平分线的性质，得出OM＝ON＝OH，进一步证得四边形ONCH是正方形，证得OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，进而证得OH＝CD＝2，EF＝CD＝CG＝4，AC＝6，设BM＝BH＝x，则BC＝x+2，AB＝x+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．【解答】（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴RT△OME≌RT△OND（HL），∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF；（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．【点评】本题考查了角平分线的性质和垂径定理，熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，求的值．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝59°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；（2）①由勾股定理得，AB＝，∴，解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；②∵AD＝AE，∴AE＝EC＝，由勾股定理得，a2+b2＝，整理得，．【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．24．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．【分析】（1）连接EO，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出CF＝DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．））【解答】（1）解：直线EO与AB垂直，理由是：连接OE，并延长交CD于F，∵EO过O，E为AB的中点，∴EO⊥AB；（2）证明：∵EO⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，∵EF过O，∴CF＝DF，∴EC＝ED．【点评】本题考查了垂径定理和线段垂直平分线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．25．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．【分析】（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO＝∠APO，由AO∥PD可得∠CPO＝∠AOP，从而有∠APO＝∠AOP，则有AP＝AO．（2）过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝12，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH的长，从而进一步可得OP的长．【解答】（1）证明：如图，∵PG平分∠EPF，∴∠CPO＝∠APO．∵AO∥PE，∴∠CPO＝∠AOP，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO．（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝AB＝12，∴PH＝P A+AH＝AO+AH＝13+12＝25．在Rt△AHO中，OH＝＝＝5，由勾股定理得：OP＝＝＝＝5．则OP的长为5．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．26．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．【分析】（1）想办法证明∠A＝∠G即可解决问题．（2）设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，在Rt△OEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．27．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？【分析】连接OC，OA，根据C为AB中点可知OC⊥AB，AC＝AB，设圆形管道的半径为r，则OC＝50﹣r，再根据勾股定理求出r的值即可．【解答】解：连接OC，OA，∵污水面宽AB＝30m，C为AB中点，∴OC⊥AB，AC＝AB＝15cm．∵C点距管道底部的距离为50cm，∴OC＝50﹣r，在Rt△OAC中，∵AC2+OC2＝OA2，即152+（50﹣r）2＝r2，解得r＝27.25（cm），∴圆形管道的直径＝2r＝54.5cm．答：圆形管道的直径为54.5cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．28．如图，矩形ABCD的四个顶点在⊙O上，过O作OE⊥AD于F，交⊙O于E点，连AE、DE（1）求证：AE＝DE；（2）若AB＝AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂径定理即可证得；（2）延长EO交⊙O于H，连接BH，从而证得四边形ABHE是等腰梯形，根据直径所对的圆周角是直角证得∠EAH＝90°，然后通过等腰三角形和平行线的性质即可证得∠AHE＝30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得直径，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵OE是⊙O的半径，OE⊥AD，∴OE平分AD，∴AE＝DE；（2）解：如图，延长EO交⊙O于H，连接BH∵AB⊥AD，OE⊥AD，∴AB∥EH，∴BH＝AE，∠BAH＝∠AHE，∵AB＝AE＝2，∴AB＝AE＝BH＝2，∴四边形ABHE是等腰梯形，∴∠AEH＝∠BHE，连接AH，∵EH是直径，∴∠EAH＝90°，∵AB＝BH，∴∠BAH＝∠AHE，∴∠BHA＝∠AHE，设∠BHA＝∠AHE＝∠BAH＝x，∴∠AEH＝2x，∵∠EAB+∠AEH＝180°，∴x+90°+2x＝180°，解得x＝30°，∴∠AHE＝30°，∴EH＝2AE＝2×2＝4，∴⊙O的半径＝2．【点评】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角的性质，等腰梯形的判定和性质，平行线的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半的性质等，作出辅助线构建等腰梯形以及直角三角形是关键．29．已知⊙O中ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；。

24．1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理1．(佛山中考)半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是(C )A ．3B ．4C . 5D .72．(黔东南中考)如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为点E ，∠ACD ＝22.5°，若CD ＝6 cm ，则AB 的长为(B )A ．4 cmB ．3 2 cmC ．2 3 cmD ．2 6 cm3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为(D )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm .5．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52．知识点2 垂径定理的推论 6．下列说法正确的是(D )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的弦平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(D) A．8 B．2 C．10 D．58．(毕节中考)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(B)A．6 B．5 C．4 D．3知识点3垂径定理的应用9．(曲靖月考)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为(B)A．1B．2C．3D．410．(绍兴中考)绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 11．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．02 中档题12．如图，已知⊙O 的半径为4，OC 垂直弦AB 于点C ，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长为43．13．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5_cm .14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．15．(黔东南中考)如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝43．16．(邵阳中考)如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r. ∵EF ＝1，∴OF ＝r －1. ∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2， 即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.即圆O 的半径为138米．17．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm .又⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm . 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm . ∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3 cm ≤OP ≤5 cm .03 综合题18．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC.由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27. AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.。

24.1.2垂直于弦的直径一．选择题1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．102．如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．3．已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是（）A．B．C．4 D．4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜55．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．C．∠BOD=2∠A D．OM=MB6．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm二．填空题7．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．8．如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG﹦1，则EF为．9．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为．10．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB=2，⊙O上存在点C，使得弦AC=2，则∠BOC= °．三．解答题11．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．12．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．参考答案一．选择题1．C；2．D；3．B；4．B；5．D；6．D；二．填空题7．；8．；9．2；10．30°或150°；三．解答题11．解：如图：连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=1 2 AB=4．设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2 ∴r2=（r-1）2+42整理得：2r=1712．证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF∴EM=FM，∴AE=BF．。

24．1.2 垂直于弦的直径1．下列命题错误的是( B )A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B ．平分弦的弦垂直于这条弦C ．垂直于弦的直径平分这条弦D ．弦的中垂线经过圆心2．如图24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若CD ＝8，OP ＝3，则⊙O 的半径为( C )图24－1－13A ．10B ．8C ．5D ．33．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( D )图24－1－14 A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD【解析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立；B 为CD ︵的中点，即CB ︵＝DB ︵，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． －1－15，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C .若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为__2__．15【解析】 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋（3）2＝2.5．如图24－1－16，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24__．【解析】 如图，连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝AM ＋BM 2＝18＋82＝13，∴OM ＝13－8＝5. 在Rt △ODM 中，DM ＝OD 2－OM 2＝132－52＝12，∵直径AB 丄弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.第56．如图24－1－17，在半径为13的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝24，则．图24－17第6题答图【解析】 如图，连接OA ，∵OC ⊥AB ，AB ＝24，∴AD ＝12AB ＝12. 在Rt △AOD 中，∵OA ＝13，AD ＝12，∴OD ＝OA 2－AD 2＝132－122＝5，∴CD ＝OC －OD ＝13－5＝8.7．如图24－1－18，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4__.【解析】 ∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得AC ＝PC ，PD ＝BD ，∴CD 是△APB 的中位线，∴CD ＝12AB ＝12×8＝4. 8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件，如图24－1－19所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__8__mm.第8题答图【解析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，∴OD＝3 mm.在Rt△AOD中，∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．9．如图24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，并且AC＝BD.求证：OC＝OD.图24－1－20第9题答图证明：如图，过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC 为5 m，则水面宽AB为(D)图24－1－21A．4 m B．5 mC．6 m D．8 m11．如图24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为(B)图24－1－22A．2 B．3C．4 D．5【解析】连接OD.∵直径AB⊥CD于H，∴DH＝12CD＝12×22＝ 2.在Rt△BDH中，BH＝BD2－DH2＝（3）2－（2）2＝1.设⊙O的半径为R，则在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R －1)2＋(2)2＝R 2，∴2R ＝3，故选B.12．[2013·吉林]如图24－1－23，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB .点P 是半径OB 上任意一点，连接AP .若OA ＝5 cm ，OC ＝3 cm ，则AP 的长度可能是__答案不唯一，5≤AP ≤8__cm(写出一个符合条件的数值即可)．图24－1－2313．如图24－1－24，两个圆都以点O 为圆心．求证：AC ＝BD .图24－1－24第13题答图证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，在小⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EC ＝ED ，在大⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EA ＝EB ，∴AC ＝BD .14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，图24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16 cm ，水面最深地方的高度为4 cm ，求这个圆形截面的半径．图24－1－25第14题答图解：(1)作出图形，如图所示；(2)如图，过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． 由题意可知CD ＝4 cm.设这个圆形截面的半径为x cm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10 cm.15．如图24－1－26，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝102，求点O到直线PF的距离；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为第15题答图解：(1)∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB，∵AB＝102，∴AH＝52∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝102－（52）2＝5 2.(3)P，A，O，C A，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.1.2垂直于弦的直径一、单选题^于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长1．如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC AB为（）A．6B．5C．4D．3 2．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD BC=3．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（）A．3B．C．6D．4．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD 是（）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形5．如图，O 的直径AB ^弦CD 于点E ，连接BD ．若8CD =，3OE =，则BD 的长为（）A B ．C D ．6．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，P 是弦AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），下列符合条件的OP 的值是（）A ．5.8B ．3.8C ．1.3D ．2.57．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若AB =，则⊙O 的半径为（）A ．B ．C ．D ．8．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于点C ，交AB于点D ，测出,AB CD 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出40cm,10cm AB CD ==，则轮子的半径为（）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm二、填空题9．如图，⊙O 的半径为2，弦AB =C 是弦AB 上一动点，OC 长为整数，则OC 的长为______．10在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm 、深约为2cm 的小坑，则该铅球直径约为____cm ．11．如图，在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝12cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，则OC 的长为_____cm ．12．如图，在⊙O 中，直径AB 的长为10，弦CD 的长为6，且AB ⊥CD 于E ，则AE 的长为_____．13．如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽AB 的长为8dm ，水面到管道上部最高处点D 的距离为2dm ，则管道半径为________dm ．14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点(5,0)A ，一直线过点(2,3)D 与圆O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________．15．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB 在圆心O 下方，若⊙O 的直径为60cm ，水面宽AB ＝48cm ，则水的最大深度为_____cm ．16．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ．则AB和CD之间的距离_____．三、解答题17．如图翠湖公园一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB=24米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径是多少米？18．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．19．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，连接AC．(1)请写出三个不同类型．．．．的正确结论；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．20．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．7/7参考答案1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．1或210．29211．812．913．514．15．1216．7cm 或17cm 17．1318．10cm 319．520．cm。

24.1.2 垂直于弦的直径5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC 的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 思路解析：连结AO，得Rt△AOC，然后由勾股定理得出.答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解.解：连结OA.∵OM ⊥AB ， ∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4， ∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm).快乐时光医学院的口试教授问一学生某种药每次口服量是多少?学生回答:“5克.”一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?” 教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC,所以BC=2×233=33. 答案：B2.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示.作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ，∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8. ∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8.Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6.∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°，∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）.∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值.（1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP ≤5.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑“学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。

24．1．2 垂直于弦的直径一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围. 思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。

人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，如果AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ． CE DE =B ．BC BD =弧弧 C ． BAC BAD ∠∠= D ．AC CD = 2．已知⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 为3，则弦AB 的长是（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）．A ．AB ⊥CDB ．∠AOB =4∠ACDC ．AD BD = D ．PO =PD二、填空题 4．如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=________．5．P 为⊙O 内一点，OP ＝3cm ，⊙O 的半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_____cm ，最长弦长为_____cm ．6．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）.三、解答题7．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．8．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD 长．9．AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=，求∠DAC的度数．参考答案1．D【分析】由于AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，再根据圆周角定理由弧BC＝弧BD得到∠BAC＝∠BAD，根据圆心角、弧、弦的关系由弧BC＝弧BD，得AC＝AD，于是可判断AC＝ED不正确．【详解】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝CD，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，∴∠BAC＝∠BAD，AC＝AD，故选D．2．D【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AM=12AB，再根据勾股定理求出AM的值．【详解】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=12 AB，由勾股定理可得，，所以AB=2AM=8．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.也考查了勾股定理的应用.3．D【解析】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，△AOB是等腰三角形，∴∠AOB=2∠AOP．∵∠AOP=2∠ACD，∴∠AOB=2∠AOP=2×2∠ACD=4∠ACD．故选D．点睛：本题主要利用平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧的性质选择．4．8【解析】解：连接OC，如图所示．∵点E是BD的中点，∴∠BOE=∠COE，OD⊥BC，BD=DC．∵BD=3，∴BC=6．∵AB=10，∴OB=OE=5．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．设OD=x，∵OB=5，OD=x，BD=3，∴52=32+x2．解得：x=4，∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12AC，∴AC=8．点睛：本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键．5．8 10【解析】试题分析：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．考点：点与圆的位置关系.6．AB=CD【解析】试题分析：∵OE=OF，∴AB=CD，弧AB=弧CD．（在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．答案不唯一）．故答案为AB=CD，或弧AB=弧CD．考点：圆心角、弧、弦的关系．7．AN=BM 理由见解析.【解析】试题分析：证过O作OP⊥CD与P，由垂径定理得PC=PD，而CN，DM，OP相互平行，所以OM=ON所以BM=AN．试题解析：解：AN=BM．理由如下：过O作OP⊥CD于P，由垂径定理得PC=PD，又∵CN⊥CD、DM⊥CD，∴DM∥OP∥CN （垂直于同一条直线的两直线平行），又∵PC=PD，∴OM=ON（平行线分线段成比例），又∵OA=OB，∴OB-OM=OA-ON，即BM=AN．8．2√15【解析】试题分析：过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．试题解析：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=1OE=1，2在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF=√OD2−OF2=√15，则CD=2DF=2√15．考点：垂径定理；勾股定理．9．（1）30°（2）90°【解析】试题分析：过O作OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，根据垂径定理求出AE、AF，解直角三角形求出∠CAB 和∠DAB ，即可得出答案．试题解析：解：过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AD 于F ，∵AC =8，AD ，∴由垂径定理得：AE =CE =4，AF =DF ，∵AB =16，∴OA =8，在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，cos ∠CAB =AE OA =48=12，所以∠CAB =60°，在Rt △AFO 中，∠AFO =90°，cos ∠DAB =AF OA 所以∠DAB =30°，图1中∠DAC =∠CAB +∠DAB =60°+30°=90°； 图2中∠DAC =∠CAB ﹣∠DAB =60°﹣30°=30°； 即∠DAC 的度数是90°或30°．点睛：本题考查了垂径定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆周角定理的应用，用了分类讨论思想，能求出∠CAB 和∠DAB 是解此题的关键．。

为明学校学生限时训练数学学科编号:使用时间:第课《24.1.2垂直于弦的直径（2）》限时练班级: 姓名: 小组: 分数: 卷面:A卷基础过关题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是。

2.如图，在圆O中，MN为直径，若MN⊥AB，则，，，若AC=BC,AB不是直径，则，， .3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB)，点O是这段弧的圆心，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D。

AB=180m,CD=40m，则这段弯路的半径是m．4、如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=25cm，AB=40cm，则CD= cm .5、如图，在⊙O中，半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．36、如图，已知AB为⊙O的直径，且AB=15cm，弦CD⊥AB于M如图，若OM:OA=3：5则CD 的长为（）A、3cmB、6cmC、12cmD、24cm7、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A．2B．3C．4D．58、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6B．9﹣C．D．25﹣3B卷拓展提升9、.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），求这条圆弧所在圆的圆心坐标。

10、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，求圆的半径长。

11、如图，圆O的弦AB、CD交于点P，AB=CD，求证：OP平分∠BPD12、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，求△ACB的面积为13、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，求⊙O的半径OA的长C卷能力挑战题14、在直径为100cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=80cm，求油的最大深度。

24．1圆（第二课时）24．1．2垂直于弦的直径◆随堂检测1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.4、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求：⊙O的半径.◆典例分析已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高.分析：等腰△ABC的三个顶点都在圆上，底边BC的位置可以有两种可能，即点A在弦BC所对的优弧或劣弧上.注意不能只考虑圆心在△ABC内部的情况.解：作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高.设圆心O到BC的距离为d，则依据垂径定理得BC=4,d2=52-42=9，所以d=3.当圆心在三角形内部时BC 边上的高为5+3=8；当圆心在三角形内外部时BC 边上的高为5-3=2.◆课下作业●拓展提高1、如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）A 、43cmB 、23cmC 、3cmD 、2cm2、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A 、AB ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACDC 、AD BD D 、PO=PD3、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且O C B A C B A OB AC P O ED C O BGOE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．●体验中考1、(2009年)如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的AB ），点是这段弧的圆心，是AB 上一点，，垂足为，则这段弯路的半径是_________m ． 2、（2009年）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ABC △）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．参考答案：◆随堂检测O C OC AB ⊥D 300m AB =，50m CD =，A OCB D5 B A C E D O1、B.2、A.3、答案：OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC 、弧AD=弧BD4、解：过点O 作OE ⊥AB 于E.∵弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离OE=3cm ，∴依据垂径定理得AE=4cm,在Rt △AOE 中,由勾股定理得OA=5cm.即⊙O 的半径为5cm.◆课下作业●拓展提高1、C .2、D.3、 解：连结OA 、OC ，在Rt △OCG 中,22210(2)r r =+-, Rt △26r =,在Rt △OAE 中,222(4)r AE R =+-,∴解得83AE =∴2163AB AE cm ==. 4、解：由图可得，在Rt △OCF 中，222(90)300R R --=，解得545R =.∴这段弯路的半径是545R m =．5、解：过点O 作OH ⊥CD ，垂足为H ，∵AE=2，EB=6，∴OA=OB=4,OE=2,∵∠DEB=30°，∴OH=1，224115-=∴CD=215●体验中考1、250. 依据垂径定理和勾股定理可得.2、解：先画出两条角平分线，其交点即为圆心；再确定半径；最后画出圆形花坛．。

初中数学试卷桑水出品24.1.2 垂直于弦的直径5分钟训练(预习类训练,可用于课前)___________.1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43 cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出.答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA.∵OM ⊥AB ， ∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM=4， ∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm).快乐时光医学院的口试教授问一学生某种药每次口服量是多少?学生回答:“5克.”一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?”教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB、BO，由题意知：AB=AO=OB，所以△AOB为等边三角形.AO垂直平分BC,所以BC=2×233=33.答案：B2.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，连结OA，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图(1)所示.作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA、OC.∵AB∥CD，GH⊥AB，∴GH⊥CD.∵OG⊥AB，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8. ∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8.Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6.∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°，∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）.∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）.答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值.（1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11. 在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6. ∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP ≤5.。

课前诊测
如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 cm.
精准作业
必做题
1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为 .
2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径.
解：如图，连接AO
.
选做题
如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm，
P为AB延长线上一点，BP=4cm，则OP= cm.
参考答案
课前诊测
如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为4 cm.
精准作业
必做题
1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为8 .
2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径.
解：如图，连接AO
设⊙O的半径R，则OA=R,OC=R-2
∵C为AB的中点
∴AC=BC=1
2
AB=
1
2
×12=6
∵OC⊥AB
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2+OC2=AO2
即（R-2）2+62=R2
解得 R=10
因此，⊙O的半径为10.
选做题
如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm，P为AB延长线上一点，BP=4cm，
则OP= 65 cm.。