数学分析(I)复习题

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

数学分析题库（1-22章）一．选择题１．函数712arcsin162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-.２．函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）.（A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数xe y 1=的（ ）.（A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）.（A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小.５．xx x x 2)1(lim -∞→的值（ ）．（A ）e; (B)e1; (C)2e ;(D)0.６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）． （A ）0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ;(C) ()()x f x f x ∆-→∆0lim; (D)()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000. ７．若()()2102lim0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）.（A ）4; (B)2; (C)21; (D)41,８．过曲线xe x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）.（A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）.（A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.11．函数()x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）te 253; (B)t e 53; (C) t e --53 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是),(b a 上的（ ）（A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数; （C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数. 13．()n =（A ） 21; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x→=（ ）（A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ） ∞+.15．狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(的间断点有多少个（ ）（A ）A 没有; (B) 无穷多个; （C ） 1 个; （D ）2个. 16．下述命题成立的是（ ）（A ） 可导的偶函数其导函数是偶函数; (B) 可导的偶函数其导函数是奇函数; （C ） 可导的递增函数其导函数是递增函数; （D ） 可导的递减函数其导函数是递减函数. 17．下述命题不成立的是（ ） （A ） 闭区间上的连续函数必可积; (B) 闭区间上的有界函数必可积; （C ） 闭区间上的单调函数必可积; （D ） 闭区间上的逐段连续函数必可积. 18 极限=-→xx x 10)1(lim （ ）（A ） e ; (B) 1; （C ） 1-e ; （D ） 2e . 19．0=x 是函数 xxx f sin )(=的（ ） （A ）可去间断点; （B ）跳跃间断点; （C ）第二类间断点; （D ） 连续点. 20．若)(x f 二次可导，是奇函数又是周期函数，则下述命题成立的是（ ） （A ） )(x f ''是奇函数又是周期函数 ; (B) )(x f ''是奇函数但不是周期函数;（C ） )(x f ''是偶函数且是周期函数 ; （D ） )(x f ''是偶函数但不是周期函数.21．设xx x f 1sin1=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则)(x f '等于 （ ） （A ）2cos sin x x x x - ; (B)2sin cos x xx x - ;（C ）2sin cos x x x x + ; （D ） 2cos sin xxx x +. 22．点（0，0）是曲线3x y =的 ( )（A ） 极大值点; (B)极小值点 ; C ．拐点 ; D ．使导数不存在的点. 23．设x x f 3)(= ，则ax a f x f ax --→)()(lim等于 （ ）（A ）3ln 3a; （B ）a3 ; （C ）3ln ; （D ）3ln 3a.24． 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法; （B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法; （C ） 它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 ; （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 25．若()f x 在(,)a b 可导且()()f a f b =,则（ ）（A ） 至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （B ） 一定不存在点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （C ） 恰存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （D ）对任意的(,)a b ξ∈，不一定能使()0f ξ'= .26．已知()f x 在[,]a b 可导，且方程f(x)=0在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么在(,)a b 内（） ()0f x '=. （A ） 必有； （B ） 可能有； （C ） 没有； （D ）无法确定.27．如果()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，c 为介于 ,a b 之间的任一点，那么在(,)a b内（）找到两点21,x x ，使2121()()()()f x f x x x f c '-=-成立.（A ）必能； （B ）可能；（C ）不能； （D ）无法确定能 .28．若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(,)x a b ∈ 时，()0f x '>，又()0f a <,则（ ）. （A ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b >； （B ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b <； （C ） ()f x 在[,]a b 上单调减少，且()0f b <；（D ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，但()f b 的 正负号无法确定. 29．0()0f x '=是可导函数()f x 在0x 点处有极值的（ ）. （A ） 充分条件； （B ） 必要条件 （C ） 充要条件； （D ） 既非必要又非充 分 条件.30．若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）. （A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； （D ）极大值必大于极小值 .31．若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在此区间内( ).（A ） 单调减少，曲线是凹的； （B ） 单调减少，曲线是凸的； （C ） 单调增加，曲线是凹的； （D ） 单调增加，曲线是凸的.32．设lim ()lim ()0x ax af x F x →→==，且在点a 的某邻域中（点a 可除外），()f x 及()F x 都存在，且()0F x ≠,则()lim ()x a f x F x →存在是''()lim ()x a f x F x →存在的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分也非必要条件 . 33．0cosh 1lim1cos x x x→-=-（）.（A ）0； （B ）12-； （C ）1； （D ）12. 34．设a x n n =∞→||lim ，则 （ ）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。

A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。

A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。

A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。

A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。

2、=+∞→x x x)21(lim ________。

3、设x y 2sin =，则='''y ________。

4、设,2xe y =则y '''=_______。

5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。

6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。

三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。

数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。

答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。

答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。

答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。

答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。

答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。

答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。

数学分析试题库--计算题、解答题--答案数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限 解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim 2n n n n n n n n n２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim 00===-→→x e x e x x x x４.这是00型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x xx ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝120(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n6 211lim(1)nn n n→∞++ 22(1)121lim(1)1n n n n n n nn +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→n n n n ，∞=+∞→1lim 2n n n故原极限＝ee=1.7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8.00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+9. xx xx x sin tan lim 0--→; 解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x→→--=--2201cos limcos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2x xx→+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan limsin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==，（3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11xe x ey x xsin cos -='12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='='14 . cos sin()2y x x π'==+ ()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+15 xe x ey x x2cos 22sin +='16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+=' 17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x y n π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-；20.求下列函数的高阶微分：设xe x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d 解 因为xx x x x e x x xx e x e x e xe x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以3233333)ln 332()()(dxx xx x e dx dx uv d uv d x ++-==)ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e xe x e x dx d v u dx d x x x xx x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e v u dx -++=-21. ;)(arctan 23x y =解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x t t由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t tdy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+--求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()24sec ()42cos()4t t dy d t d ydx t dxdx e t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y .解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''====()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e xxxxy x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e xx x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'--26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.27．x(,2)-∞- －２ (－2,－1)－１(－1,0) ０(0,)+∞y '－ ０ ＋ 不存在 ＋ ０ － ()y f x = 递减，凹 极小值 －３ 递增，凹递增，凹极大值 １递减，凹28．解 （1）)0(01sinlim )(lim 0f xxx f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.0≠∀x，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos 1sin 11cos 1sin2sin 2cos2lim 1sin )(lim 0x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m m x x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续. 29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当=x 时，)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin )(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点.（2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列221ππ+=n x n ，421ππ+=n yn，则0→nx，0→ny.即在0=x 的任何右邻域)0(0+U内，既有数列}{nx 中的点，也有数列}{ny 中的点.并且0)(>'nx f ，0)(<'ny f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为01sin lim)0(240=-='→xx x f x ，0)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x∈∀，取},min{2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y在0x =处不可导. 列表如下x [1,0)- 0 (0,1) 1(1,2)2(2,3]()f x '-不存在 +0 -+()f x递减极小值 (0)0f = 递增 极大值 (1)5f = 递减 极小值(2)4f =递增所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值：解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=--令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x==,而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为max min (1)2,(1)10f f =-=-.34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点. 35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}na 是有理数列.点集{}1,2,na n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}na 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}na 是有理数列.点集{}1,2,nan =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}na 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫⎪⎝⎭.因为H中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x.38.526323323666129.6116ln 1322361.du x u x dx x x dx x x x u u x x x x C u u u u C ⎛⎫==-+-⎪++⎝⎭+⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则 ()()222222222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a x dx a td a t a tdt t dt a x t t C a a x C a -===+⎛⎫⎛=++=+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 1111213ln 1.33x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令22x t x +=-则有()()2222218,11t tx dx dtt t+-==--,()()()()()()22222124222111112212ln 2arctan ln.12122x t dx dt dt xx t t t t x x tx t C C t x x x +⎛⎫==- ⎪---⎝⎭-+++-++=-+=----+-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan2x t =,则有22212cos ,11t x dx dtt t -==++,22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeex dx xdx xdx x x x x x x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222xt t t t tedx x t e dt tde te e dt e e ===-=-=⎰⎰⎰.46.12111122200011arcsin arcsin 11222211d x xdx x x x x x πππ-=-=+=+-=---⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x =+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠.48.()()()()().xxxaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abca ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b t a t dt ab tdt abπππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为2222220()()2(1cos )2sin 82t s x t y t dt a t dt a dt aπππ''=+=-==⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式22()1()baS f x f x dxπ'=+⎰可得所求旋转曲面的面积为)202sin 1cos 22ln21S x xdx πππ⎡⎤=+=⎣⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx x x A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xe dx+∞-⎰收敛,其值为12. 54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdxx x +∞+⎰收敛,其值为1ln 2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4n nk k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛. 57.因为1lim1212nn n n n u n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim2nn nn→∞-=,且级数11n n∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n→∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sinnn n∞=-∑条件收敛.59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nx n ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nx n ∞=∑在(0,)x π∈上收敛.又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nxn n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛.60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x un收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n↗；ⅲ> en x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(|对 ∀∈x ] 1 , 0 [ 和n ∀成立. 由Abel判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛. 61.)(x f n =221x n nx +, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x fn}的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x fn=0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x fn― 0|=)(x f n .可求得10max≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n .⇒函数列{)(x fn}在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0nf =，故0)0(lim )0(==∞→nn ff .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[)(∞→n ，所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63.)(x f n 2222xn xe n -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x fn-=)(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x fn不一致收敛.64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0),, 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x fn=0. 因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=nf, ⇒ )0(f =∞→n lim)0(n f =0.于是, 在]1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x fn n x ,)(∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.65. 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 .解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为)3 , 3 (-.3±=x 时,通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为)3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x), (∞+∞-∈x .因此, ⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-101002!) 1(2dx n x dx en nn x ∑⎰∞==-012!) 1(n n ndx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=.67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数. 解+-+-+-=+-nx x x x x nn 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11)1 (n nn nx ,]1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx ,]9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x xn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x .因此,∑∞=+0!1n nx n n =)(x S =x x xex xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰,∈x ), (∞+∞-.解法二∑∞=+0!1n n x n n =∑∞=+0!n nn nx ∑∞==0!n n n x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x =∑∞=+=+=+=0)1(!n xx x x ne x e xe e n x x ,∈x ), (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=. 解=+=x xxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0|| ,!1n nx xn n.70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x 解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdx x nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n n ππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-=（ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nxf x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n2sin )(12的值， ,2,1=n .解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n2022=⎰ππsin d()=-⎰220πππf x nx x sin d .作变换π-=x t ，则()()()b f t n t t n 20221=--⎰πππsin d()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n2 . 所以,02=nb ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。

数学分析(I)复习题一、选择填空题n TT1. 设= n sin —，则数列｛*”｝是 ( )(A) 收敛数列；(B)无穷人；(C)发散的有界数列; 2. 命题①若 hw\a n = a ,贝ijlimo “ = a ； n —>oo*n —>oo② 若对于任意自然数p ,都有lim a n =d ，则lim^ =ci (P 为任一自然数);“一>8 Pn->co③ 若 lim a n =a ，则 lim|a 打=a ；7T —>OO>20*④ P£>0,U(a,£)中含仏｝的无穷多项,贝ij lima” =a ."T8中不止确的个数是() (A) 1(B)2(C)3(D)43. 当刃T oo 时,卜•列变量屮非无穷小量的是()/7丄,2171(A) —(6?>1)(B2(C) — (D) sin-a n n4. 设函数/在(a — 恥 + 力)上单调，则/(a + 0)与/@一0) (A)都存在FL 相等； (B)都存在但不一定相等; (C)有一个不存在；(D)都不存在兀2_］丄5当兀T 1时，函数一£一啲极限是()x-l(A) 2;(B) 0; (C) 8； (£>)不存在但不为g2、- --- ax-b) 兀+ 1 7(A) a = \,b = \\ (S) a = -l.b = l\ (C) a = \y b = —1;(D) a = —\,b =cin x7. 设f(Q = L —,则兀=0是/的 ()I x I(D)无界但不是无穷人。

6•已知lim =0,则(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)第二类间断点。

8.若函数/在(Q,b)上连续，则/ ( )(C)在(Q,b)的任一闭区间上有界；(D)在［a,b］有界。

e x -e----- ,X <1x-\9.设= { -1, x = l,则广(对在兀=1点处()lnx .------，x > 11-x(A)无定义；(B)仅左连续；(C)仅右连续；(D)连续.10.下列说法正确的是( )(A)若/⑴在勺点处的左极限、右极限存在，贝厅(兀)在勺点连续；(B)若对于V^>0,/(x)在(a +》,b-5)上连续，则/(兀)在［讪上连续;(C)若f (兀)在(°劝上连续，助a + 0)J(b-0)存在，则/(兀)在(°劝上一致连续；(D)若I f(x)l在兀。

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2n n n n n n n n n ２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim00===-→→x e x e x x x x ４.这是型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x x x ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝12(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 211lim(1)nn n n →∞++22(1)121lim(1)1n n n n n n n n +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→nn n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1. 7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. xx xx x sin tan lim--→;解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=--2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2 x x x →+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11x e x e y xxsin cos -=' 12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+ 15 x e x e y xx2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+='17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x yn π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d解 因为xx x x x e x x xx e x e x e x e x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以 3233333)ln 332()()(dx x xx x e dx dx uv d uv d x ++-== )ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e x e x e x dx d v u dx d x xx x x x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e vud x-++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+22. ;xx y x =解： 令1xy x =,1ln ln y x x =两边对两边对x 求导有11ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ ln ln x y x x =两边对x 求导有(ln )x y x x y''= 1121 ()ln (ln ) (ln )ln ((ln )ln ) (ln ln )xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x ---''=+=++'=++=++23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt所确定的函数的二阶导数:22dx y d 解法1：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin cos sin cos sin t t t t dy e t e t t t dx e t e t t t++==-- 求22d y dx 即求参量方程cos sin ,cos sin cos ;t dy t tdx t t x e t +⎧=⎪-⎨⎪=⎩的导数 222223(cos sin )(cos sin )()2(cos sin )(cos sin )(cos sin )t t t t t t dyd d y t t dx dx dxe t t e t t -++-===-- 解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t t dy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+-- 求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()4sec ()4cos()4t t dy d t d ydx t dxdx t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y.解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''==== ()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e x x x x y x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e x x x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'-- 26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.28．解 （1）)0(0sinlim )(lim 0f x x x f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.00≠∀x ，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos1sin 11cos 1sin 2sin 2cos2lim 1sin )(lim 00x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m mx x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续.29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin)(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点. （2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=n x n ，421ππ+=n y n ，则0→n x ，0→n y .即在0=x 的任何右邻域)0(0+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点.并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为001sin lim)0(240=-='→x x x f x ，00)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩ 令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y 在0x =处不可导. 列所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在0x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值： 解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=-- 令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x ==, 而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为 max min (1)2,(1)10f f =-=-. 34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点.35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}n a 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}n a 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为H 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x .38.5232326129.6116ln 1326ln 1.x dx x x dx x x x x x x x C C ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则()()22222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a td a t a tdt t dta x t t C a C a ===+⎛⎫⎛=++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 111121ln 1.x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=+++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令t =则有()()2222218,11t t x dx dt t t +-==--, ()()2222242211111ln2arctan 2arctan.1t dt dt t t t t tt C C t ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-++=-+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan 2xt =,则有22212cos ,11t x dx dt t t-==++, 22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeeex dx xdx xdx x x x xx x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222t t t t te dt tde tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰.46.12111000011arcsin arcsin 12222d x xdx x x πππ-=-=+=+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x=+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠. 48.()()()()().xx xaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abc a ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b ta t dt ab tdt ab πππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为22202sin 82t s a dta πππ====⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式2(baS f x π=⎰可得所求旋转曲面的面积为)02sin 2ln1S πππ⎤==⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx xx A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xedx +∞-⎰收敛,其值为12.54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠ ()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdx x x +∞+⎰收敛,其值为1ln2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4nn k k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.57.因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim21nn nn→∞-=,且级数11n n ∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sin n n n ∞=-∑条件收敛. 59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nxn ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nxn ∞=∑在(0,)x π∈上收敛. 又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nx n n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.61. )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得10max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0n f =，故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63. )(x f n 2222x n xen -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 65. 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+nn a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此,⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅ 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解+-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ] 1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n nx n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n nn x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . 70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰ 11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n nππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-= （ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nx f x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n 2022=⎰ππsin d ()=-⎰220πππf x nx xsin d . 作变换π-=x t ，则()()()b f t n t tn 20221=--⎰πππsin d ()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n 2 .所以,02=n b ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。

数列的极限1． 下列说法能否作为a 是数列}{n a 的极限的定义？为什么？(1)．对于无穷多个0>ε，存在+∈NN ，当Nn >时，不等式ε<-||a a n 成立。

(2).对于任给的0>ε，存在+∈N N ，当Nn >时，有无穷多项na 使不等式ε<-||a a n 成立。

(3).对于给定的10010-=ε，不等式1010||-<-a a n 成立。

2．判断题(1).若A a n n =∞→lim ，则||||lim A a n n =∞→。

( )(2)．若||||lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→l i m。

（ ） (3).若}{n a 收敛，则0)(l i m 1=-+∞→n n n a a 和1lim 1=+∞→nn n a a 。

( )(4).收敛数列一定是单调数列；无穷小量一定是单调数列。

( )(5).如果数列}{n a 收敛于a,那么||a a n -随着n 的增加而单调减少趋于0。

( )(6).非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数。

( )(7).}{n a 收敛的充分必要条件是}{2k a 和}{12-k a 收敛于同一极限。

(8).若数列}{n a 收敛，a a n n =∞→lim ,c a ≥,则存在N,当 Nn >时，有ca n ≥.（ ）(9)0lim ,0lim .==∞→n n n n x x 则若.2．选择题(1).若1lim 2=∞→n n x ，则○11lim=∞→nnx. ○21lim-=∞→nnx○3nnx∞→lim不存在.○4}{nx有界.3.求极限（1）)2222(lim284nn∞→(2)nnn2sin2lim+∞→(3))2411(lim3233nnnnnn++++++∞→(4)4)411(lim+∞→-+n n n(5) nn nn++∞→21lim(6)若daannn=-+∞→)(lim1，求nann∞→lim4．设aann=∞→lim，证明(1).annann=∞→][lim(2).若,0>>naa，则1lim=∞→nnna5．设)(21,0,011nnn xaxxxa+=>>+.证明}{nx收敛，并求其极限。

数学分析考试试题数学分析考试试题数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微积分等基本概念和方法。

作为一门理论性较强的学科，数学分析的考试试题往往具有一定的难度和深度，需要学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。

下面我们来看一些典型的数学分析考试试题。

1. 极限计算题计算极限是数学分析中的基本内容之一，也是考试中常见的题型。

例如，给出一个函数序列$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}$，要求计算$\lim_{n\to\infty}f_n(x)$。

这类题目要求学生能够灵活运用极限的定义和性质，进行计算和推理。

2. 函数连续性题函数连续性是数学分析中的重要概念，也是考试中常见的考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\1,&x=0\\e^x,&x>0\end{cases}$，要求判断函数在$x=0$处的连续性。

这类题目要求学生能够理解函数连续性的定义和性质，判断函数在给定点处的连续性。

3. 导数计算题导数是微积分的重要内容，也是考试中的重点考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+1$，要求计算$f'(x)$。

这类题目要求学生能够熟练掌握导数的定义和计算方法，进行函数的求导运算。

4. 函数极值和拐点题函数的极值和拐点是微积分中的重要概念，也是考试中的难点。

例如，给出一个函数$f(x)=x^3-3x^2+3x$，要求求出函数的极值和拐点。

这类题目要求学生能够掌握函数极值和拐点的定义和判定方法，进行函数的求解和分析。

5. 定积分计算题定积分是微积分中的重要内容，也是考试中的常见题型。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求计算$\int_1^e f(x)dx$。

这类题目要求学生能够熟练掌握定积分的定义和计算方法，进行积分的求解和计算。

一、填空题：（一）。

（二）设，则。

（三）设，则，=。

（四）当时，与等价。

（五）函数在点可微是函数在点连续的条件。

（六）设，则为其间断点。

（七）设，则。

（八）已知，则。

（九）设，它的严格单调上升区间为。

（十）设，则在严格上凸。

（十一）设，则，=。

（十二）当时，与等价。

（十三）设，则为其间断点。

（十四）设，则。

（十五）函数的拐点是二、选择题（一）“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的（）。

A、充分条件但不是必要条件B、必要条件但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件有非必要条件（二），则是（）。

A无界函数；B、偶函数；C、单调函数；D、以为周期的函数（三）下列等式正确的是（）。

A、B、C、D、（四）设，则满足（）。

A、在无界B、在有界C、当时有极限D、当时为无穷大量（五）设函数为内的可导偶函数，则是（）A、内的偶函数B、内的奇函数C、内的非奇非偶函数D、可能是奇函数，可能是偶函数（六）当时，与为同阶无穷小，则（）。

A、0B、1C、2D、3（七）函数在区间上满足l a g r a n g e中值定理，则（）。

A、B、1C、D、（八）=（）。

A、0B、1C、D、（九）设在上可导，是的最大值点，则（）。

A、B、C、时D、以上都不对（十）函数在区间上的最小值是（）。

A、B、C、D、（十一）数列收敛于，则对任意的的（）邻域之外，数列中的点（）。

A、必不存在B、至多只有有限多个C、必定有无穷多个D、可能有有限多个，可能有无穷多个（十二）设数列满足，下列说法正确的是（）。

A、若收敛，则必发散B、若无界，则必有界C、若有界界，则必为无穷小D、若为无穷小量，则必为无穷小量（十三）当时，与为同阶无穷小，则（）。

A、1B、3C、5D、7（十四）函数在区间上满足L a g r a n g e中值定理，则（）。

A、B、1C、D、（十五）=（）。

A、0B、1C、D、（十六）函数在区间上的最小值是（）。

A、0B、1C、2D、（十七）设在处连续，那么在处（）。

数学分析(I)复习题一、选择填空题YITC1.x zt = n sin —,则数列｛兀｝是( )(A)收敛数列；(B)无穷人；(C)发散的有界数列；(D)无界但不是无穷人。

2.命题①若lim|a w I = a ,则lima” = a；n-><x> >8②若对于任意自然数p ,都冇lim a n =a,则lim a n = a (P为任一自然数);n—>oo P n-»co④0£>0,[/(。

,£)中含血｝的无穷多项,贝Ulima“ = a .屮不正确的个数是( )(A) 1 (B)2 (C)3 (D)43.当朴->8时，下列变量中非无穷小量的是()n —nt 7T(A)—(^>1) (B) e" (C) — (£>) sin- a n n4.设函数/在(a —》,d + 5)上单调，则/(a + 0)与/(a—0)(A)都存在且相等；(B)都存在但不一定相等；(C)有一个不存在；(D)都不存在/一1丄5当兀T 1时，函数 ~ 严啲极限是()(A) 2; (B)0; (C) 8；(D)不存在但不为g2)(x6己知lim ----------- a x-b) =0,则兀+ 1 丿(A) a = l,b = 1; (B) a = -l,b = 1;(C) a = \y b = -1; (£)) a = -l,/? = -l.Qin r7.设，则x = 0是/的 ( )(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)第二类间断点。

8.若函数/在(a,b)上连续，则/ ( )(C)在(a, b)的任一闭区间上有界；(D)在［a, b］有界。

e x -e 1----- ,X < 1X — 19.设f(x)= -1, x = l,贝”(兀)在无=1点处( )lnx ,------ ，x > 1\- x(A)无定义；(B)仅左连续；(C)仅右连续；(D)连续.10.下列说法正确的是( )(A)若/⑴在勺点处的左极限、右极限存在，贝厅(朗在勺点连续；(B)若对于VS > 0J(兀)在(a + &b-5)上连续，则/⑴在［讪上连续;(C)若/⑴在(a,b)±连续,l/(a + 0)J@-0)存在，贝叭兀)在(讪上一致连续；(D)若丨f(x) I在必点连续，贝疗⑴在勺点也连续.X — X11.设/(x)= ------------- ，则其( )sin^x(A)冇无穷多个第一类间断点；(B)只有一个可去间断点;(C)有两个跳跃间断点；(D)有三个可去间断点.12.设/是奇函数，且lim/Q = 0,贝ij ( )5 x(A)兀=0是/的极小值点；(B)兀=0是/的极大值点；(C)y = /(x)在兀=0的切线平行于兀轴;(D)y = /(x)在x = 0的切线不平行于兀轴13.设y = /(x)在兀。

方法一：应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式： （1），作差，解方程，解出，则取或（2）将a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。

方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正整数,当时有：则数列{}c n收敛，且。

方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。

方法五：两个重要极限是和方法六：（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有方法七：Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则方法八：形如数列极限方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．），常见等价无穷小有：当时,,；方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求极限，数列极限转化成函数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式：对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式（４）Cauchy－Schwarz 不等式:(),有（５），；；；导数微分及应用习题判断:1、若可微，且为上的偶函数，则必为][l l-上的偶函数；,（）2 若是上的奇函数，则)f'必为[]l l,-上的偶函数；（）(xx点的极限存在3、如果函数在点的左、右极限都存在，则函数在（）x点可导；（）4、若函数)f在(x(xf在点连续，则)5、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点的极限一定存在；（ ）6、若函数)(x f 在点0x x =可微，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ）7、如果函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在，则)(x f 在0x 点可导 ；（ ）8、若函数)(x f 在点0x x =连续，则函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）9、若)(x f 在0x 点不可导，则函数)(x f 在点0x x =一定不连续；（ ） 10、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 在0x 点不可导 ； （ ） 11、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 的左、右 极限一定不存在；（ ）12、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为，则（ ）13、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（ ）14、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（ ） 15、函数在处不可导；（ ）16、函数1-=x y 在1=x 处不连续；（ ） 17. 若)(0x f '存在，且，则（ ）18、若)(x f 在上可导，则)(x f 在],[b a 上有界； （ ）19、若)(x f 在0x 点导数不存在，则曲线在点处没有切线；（ ） 20、曲线上点处的法线的斜率为；（ ）21.设)(x f y =在0x x =可微，则当时，是关于高阶的无穷小；（ ） 22、若，则)(x f 在处不可导；（ ）23、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导但；（ ） 24、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导且；（ ） 25、若，则； （ ）1.设)(x f 在0x x =的某个邻域内具有二阶连续导数，则（ ）.A 、0；B 、)(0x f '；C 、；D 、；.2、设在0x 的邻域内连续，且有，则（ ）.A 、0；B 、；C 、；D 、.3.设，则（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、.4.设)(x f 在1=x 点处可微，，则（ ）.A 、2；B 、1；C 、0；D 、.5.设，其中)(x f 为二阶可导函数，则（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.6.如果在区间内，，则在),(b a 内)(x f 与)(x ϕ（ ）.A 、仅相差一个常数；B 、完全相等；C 、均为常数；D 、为常数）.7.设)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '为（ ）.A 、偶函数；B 、可能是偶函数；C 、奇函数；D 、非奇非偶函数.8、设()x f 在0x x =处可导，则（ ）. A 、0； B 、； C 、； D 、)(0x f '.9、设，则（ ）.A 、－3；B 、3；C 、0；D 、∞. 10、设()x f 在区间),(b a 内连续，，则在点0x 处()x f （ ）.A 、极限存在且可导；B 、极限不存在，但可导；C 、极限存在，但不一定可导；D 、极限不一定存在. 11.设，则在处()x f （ ）.A 、 无定义；B 、不连续；C 、连续且可导；D 、连续但不可导. 12、设，在0=x 可导，则必有（ ）.A、；B、；C、；D、.13、，则在0x处的导数（）.=A、0；B、－1；C、不存在；D、1.14、可微的周期函数其导数（）.A、一定是周期函数，且周期不变；B、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C、不一定是周期函数； D、一定不是周期函数.15、设()xf为可微的偶函数，且对任意的，则（）.A、；B、；C、2；D、－2.16.曲线上，切线平行于直线的点的坐标为（）.A、（1，－3）；B、（3，－3）；C、（－1，5）；D、（2，0）.''y（）.17、设，其中为可微函数，则=A、；B、；C、；D、.18、设，则（）.A、；B、；C、；D、.19.设)f为可微函数，若，则（）.(uA、；B、；C、；D、.20、下列函数中导数等于的是（）.A、；B、；C、；D、.21、曲线在点处的切线与直线垂直，则此曲线在点M 处的切线方程为（ ）. A 、；B 、；C 、； D 、.22.设，则（ ）.A 、；B 、；C 、2；D 、.23、设，则=''y （ ）.A 、；B 、； C 、； D 、.24、下列函数中在点0=x 连续且可导的是（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.25、设方程确定是的函数，则（ ）.A 、；B 、1；C 、；D 、0.26.其中为可微函数，则=22dxyd （ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.27.设，其中l 为有限值，则()x f 在a x =处（ ）.A 、可导且0)(='a f ；B 、可导但0)(≠'a f ；C 、不一定可导；D 、肯定不可导.28.曲线在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（ ）.A 、（1，0）；B 、（0，1）；C 、（1，3）；D 、（1，－2）. 29、设，则=dy （ ）.A 、；B 、； C 、； D 、.30.设具有二阶导数，，则=''y （ ）. A 、； B 、； C 、； D 、.31、函数，则()x f 在0=x 处（ ）.A 、间断；B 、连续但不可导；C 、连续且导数为0；D 、连续且导数为－1. 32.设，在0=x 可导，则的值为（ ）.A 、； B 、1,2=-=b a ； C 、1,2==b a ； D 、.33、，则（ ）.A 、；B 、；C 、6；D 、－6.34.若)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点（ ）.A 、无意义；B 、左、右极限不相等；C 、不一定可导；D 、不可微. 35、若，则( ).A 、；B 、； C 、； D 、.36.若，且，则=)(x f （ ）.A 、； B 、； C 、； D 、．37、设函数 ，则=')0(f （ ）.A 、-1；B 、；C 、1；D 、． 38.，在0=x 处（ ）.A 、不可导；B 、连续且可导；C 、不连续但可导；D 、不连续.39、设，则)(x f 的有关论证正确的是（ ）.A 、)(x f 在点0=x 处可微；B 、，C 、，D 、)(x f 在点0=x 处可导.40.设（其中 为常数），则（ ）. A 、； B 、0； C 、1； D 、x . 41、设（其中 n a a a ,,,21 为常数），则（ ）. A 、!n ； B 、0； C 、1； D 、x .42.设，则（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、0.43.设函数，则函数)(x f 在0=x 处（ ）.A 、不连续；B 、连续，不可导；C 、可导，但不连续；D 、可导且导数也存在.44、设，则=22dxy d （ ）. A 、；B 、；C 、；D 、.45.已知函数，则函数)(x f 在点0=x 处的导数（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、不存在.46.设，则（ ）. A 、21； B 、； C 、1； D 、0. 47.设，则（ ）. A 、0； B 、1； C 、－1； D 、2.48、设，则=+)1(n y （ ）. A 、； B 、； C 、； D 、0. 49、设，则（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、. 50.下列命题中正确的是（ ）.A 、若，则有；B 、若)()(x g x f =，则有)()(x g x f '='； C 、若，则； D 、若0)(0=x f ；则0)(0='x f .51.)(x f y 在点0x 处的左、右导数存在且相等是)(x f 在点0x 处可导的 （ ）.A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充分必要条件；D 、无关条件.52.设函数，则为（ ）.A 、2；B 、3；C 、－1；D 、不存在.1. × ；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ；1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ；12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.中值定理和罗比达法则★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。