排队中最短时间问题

统筹问题之排队取水问题统筹问题是如何把我们经常在生活中遇到的问题安排的更合理，更高效，所以掌握统筹问题的结局方法能更好的快速解题，达到事半功倍的效果。

今天带大家来看看都有哪些统筹问题。

一、排队取水问题【例题1】甲乙丙丁四个人去水房打水，四人打水所用时间分别为2分钟、5分钟、8分钟、10分钟，若水房里只有一个水龙头，要使四个人打水时间与等待时间之和最短，则这个最短的时间是多少?【解析】要使四个人打水与等待的时间最短，因为打水的时间是固定的，只需让等待的时间最短即可，在只有一个水龙头的情况下，我们要让打水时间最短的人先打，打水时间长的人在后面打，所以四个人打水的顺序应该是甲乙丙丁，甲打水2分钟，其余三人每人等待2分钟，乙打水5分钟，剩余两人每人等待5分钟，丙打水8分钟，剩余一人等待8分钟，最后丁打水10分钟，结束，所以打水时间+等待时间=2×4+5×3+8×2+10×1=49分钟。

【例题2】甲乙丙丁四个人去水房打水，四人打水所用时间分别为2分钟、5分钟、8分钟、10分钟，若水房里有两个水龙头，要使四个人打水时间与等待时间之和最短，则这个最短的时间是多少?【解析】如果有两个水龙头，四人打水情况即为：甲乙二人先进行打水，丙丁二人分别排在甲乙二人之后，所用时间为2×2+5×2+8×1+10×1=32分钟。

【例题3】八个人去水房打水，八个人打水所用时间分别为2分钟、5分钟、8分钟、10分钟，12分钟，13分钟，15分钟，17分钟，若水房里有三个水龙头，要使八个人打水时间与等待时间之和最短，则这个最短的时间是多少?【解析】按照打水时间从小到大，分别称为ABCDEFGH，则打水顺序应为：先让ABC分别第一次打水，DEF分别排在ABC后面等待，GH排在DE后面等待即可，所用时间为2×3+5×3+8×2+10×2+12×2+13×1+15×1+17×1=126分钟。

排队问题知识点总结排队论起源于20世纪初学者与工程师们在电报、电话交换、交通运输等实际工作中遇到的问题。

20世纪20年代，这些问题引起了数学家的注意。

1925年丹麦学者A.K.厄劳札( Agner Krarup Erlang )首先提出要建立一个数学模型对通信系统中的电报在传递和处理中的排队问题进行研究。

他用数学上的标准方法解决了问题，从此排队论这一学科便有了起步发展的积淀。

今天，排队论已在交通运输、电信通讯、工程及服务管理、医学卫生、经济学、统计学、计算机科学等系统分析领域中得以广泛应用。

排队问题所涉及的知识点包括排队论基本概念、排队模型、排队系统性能评价、排队过程中的成本分析、排队优化模型等。

下面就对排队问题的相关知识点进行总结阐述。

排队论基本概念排队论是研究由于服务台能力有限以及到达率和要求的总体量之差异所引起的待服务队列问题。

在排队论中，通常会涉及到以下几个基本概念：- 顾客到达模型：描述顾客到达的规律，常用的到达模型包括泊松过程、指数分布、正态分布等。

- 服务台模型：描述服务台的服务能力，包括单一服务台、多重服务台、无限服务台等。

- 排队规则：描述顾客在队列中等待和被服务的规则，包括先来先服务(FIFO)、最短排队等待(SJF)、最高优先权优先服务(HPF)等。

- 排队系统性质：包括平均队长、平均等待时间、系统繁忙度等系统性能指标。

排队模型排队模型是对排队系统进行描述和分析的数学模型。

在排队模型中，通常会考虑到以下几种基本排队模型：- M/M/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/M/c模型：描述多重服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。

- M/G/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合一般分布的排队系统。

- M/D/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间是固定的排队系统。

排队系统性能评价排队系统性能评价是对排队系统性能进行量化与分析的过程，主要包括以下几个方面：- 平均队长：描述系统队列中平均存在的顾客数量。

《7.4 综合与实践排队问题》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、小明去图书馆借书，发现书架上有5排书，每排有10本书。

小明想从书架的一端开始，按照顺序借书，每次借一本。

请问小明借第6本书时，他应该站在第几排第几本书的位置上？A. 第1排第6本书B. 第1排第7本书C. 第2排第1本书D. 第2排第2本书2、一个停车场有3排停车位，每排有5个停车位，共计15个停车位。

如果停车场内已经停了10辆车，那么还剩下多少个停车位可供停车？A. 5个B. 10个C. 15个D. 20个3、某超市为了提高顾客满意度，对顾客排队等候结账的时间进行了调查。

以下是对不同结账方式顾客等候时间的数据统计：结账方式平均等候时间（分钟）人工结账10结账方式平均等候时间（分钟）自助结账8移动支付5若该超市希望顾客等候时间控制在8分钟以内，以下哪种结账方式最符合要求？A. 只有自助结账B. 人工结账和自助结账C. 人工结账和移动支付D. 自助结账和移动支付4、某班级进行排队问题研究，假设班级有40名学生，按照以下排队方式排队：（1）按照学号从小到大排队；（2）每隔5人进行一次调整，即将第6、11、16…位学生调整到队尾。

经过调整后，排在第10位的学生是？A. 9号学生B. 10号学生C. 11号学生D. 12号学生5、某班级有30名学生，排队时按照学号从大到小排列，假设第一个学生站在最左边，最后一个学生站在最右边。

小明是学号第15的学生，请问小明在队伍中的位置是以下哪个选项？A. 第15位B. 第16位C. 第14位D. 第17位6、假设某超市的收银台有4个，顾客按照到达超市的顺序排队结账，每个收银台前都有若干人在排队。

如果收银台前的排队人数如下所示：收银台1有5人，收银台2有3人，收银台3有4人，收银台4有6人。

请问所有顾客平均需要等待多长时间才能结账？（假设每个收银台的结账速度相同，且顾客到达的速率与结账的速率相等）A. 4.5分钟B. 5分钟C. 5.5分钟D. 6分钟7、某学校举办活动，需要安排学生排队参加，若按5人一行排列，最后剩3人；若按7人一行排列，最后剩5人。

一年级上册数学教案快乐的家园北师大版教学目标1. 知识与技能：通过本课的学习，学生应能理解并运用基本的排队数学问题，如顺序、前后、长短等概念。

2. 过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，通过实际操作和团队合作，增强学生的实践能力和沟通能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养其合作精神和团队意识，提高对日常生活的观察能力。

教学内容1. 排队中的数学问题：理解排队的顺序和规律，运用数学知识解决排队中的实际问题。

2. 比较与排序：通过排队活动，学习比较和排序的方法，理解其数学原理。

教学重点与难点1. 重点：使学生掌握排队中的数学问题，能够运用所学知识解决实际问题。

2. 难点：如何引导学生将排队问题与数学知识相结合，培养其观察、分析和解决问题的能力。

教具与学具准备1. 教具：PPT、排队游戏道具、教学视频等。

2. 学具：排队游戏卡片、练习册、彩色笔等。

教学过程1. 导入：通过PPT展示一些排队场景，引导学生观察并发现其中的数学问题。

2. 探究：让学生分组讨论，探索排队中的数学问题，如顺序、前后、长短等。

3. 实践：进行排队游戏，让学生亲身体验排队中的数学问题，并尝试解决。

板书设计1. 快乐的家园排队中的数学问题2. 内容：列出本节课的主要内容和重点，如排队问题、比较与排序等。

作业设计1. 书面作业：完成练习册中与本节课相关的内容。

2. 实践作业：观察日常生活中的排队现象，尝试运用所学知识解决其中的数学问题。

课后反思1. 教学效果：通过本节课的学习，学生是否掌握了排队中的数学问题，能否运用所学知识解决实际问题。

2. 教学改进：根据学生的反馈和作业情况，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

北师大版一年级上数学教案排队中的数学问题教学目标1. 知识与技能：通过本课的学习，学生应能理解并运用基本的排队数学问题，如顺序、前后、长短等概念。

2. 过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，通过实际操作和团队合作，增强学生的实践能力和沟通能力。

五年级间隔问题练习题1. 题目描述：小明参加了一次足球比赛，他在比赛中射门5次，进球2次。

请问，小明的进球间隔是多少？解答：小明的进球间隔是指他连续两次进球之间的时间间隔。

根据题目描述，小明共射门5次，进球2次，即有3次射门没有进球。

我们可以通过计算进球间隔的平均值来得到答案。

首先，我们将小明的进球情况表示为一组数字，0代表未进球，1代表进球，如下所示：0 1 0 0 1接下来，我们需要找出连续两次进球的时间间隔。

通过观察数字序列，我们可以得到两组连续进球的序号是2-3和4-5。

因此，我们需要计算这两组进球间隔的平均值。

进球间隔计算方法：(进球序号2的比赛场次 - 进球序号1的比赛场次) + (进球序号4的比赛场次 - 进球序号3的比赛场次) = 进球间隔1 + 进球间隔2进球序号2的比赛场次为3，进球序号1的比赛场次为1，所以进球间隔1为3-1=2。

进球序号4的比赛场次为5，进球序号3的比赛场次为2，所以进球间隔2为5-2=3。

进球间隔的平均值 = （进球间隔1 + 进球间隔2）/ 2 = （2 + 3）/ 2 = 2.5因此，小明的进球间隔是2.5。

2. 题目描述：小红在一段时间内每隔两天吃一次药，她总共服用了10颗药丸。

请问，小红服用这些药丸一共花了多少天？解答：小红每隔两天吃一次药，即间隔周期为2天。

她总共服用了10颗药丸，我们可以通过计算她服用药丸的天数来得到答案。

假设小红服用药丸的天数为x天，则满足以下条件：x / 2 = 10通过解方程，可以得到：x = 10 * 2 = 20因此，小红服用这些药丸一共花了20天。

3. 题目描述：某班级有30个学生，老师要求同学们排成一队，使得每两个同学之间的间隔都是3个人。

请问，排队的最短长度是多少？解答：为了使每两个同学之间的间隔都是3个人，我们可以采用排列的方式来解答这个问题。

首先，从某个位置开始，我们将3个学生进行排列。

假设我们从第一个位置开始排列，则第一个位置上的学生为A，第二个位置上的学生为B，第三个位置上的学生为C。

摘要本文在研究体检排队问题的同时，采用了M/M/1/S排队论和抽象的迪克斯特拉（Dijkstra）算法，分别对科室抽血、内科、外科等等进行了有效地估计。

通过顾客的到达时间、离开时间、停留时间、等待时间反映了在研究体检所用时间最短的相对优化的时间模型问题1：为某个新来的客人安排他的体检顺序，使其完成需要的全部检查的时间尽量少（在各个体检项目处都可能有人排队等待），通过对数据的处理，对于抽血A、内科B、外科B、B超D、五官科E、胸透F、身高G和体重H八个科室排出耗费时间相对最短的路径的算法。

问题2：通过表格一的数据和上述的算法思想，在有效的假设中，用MATLAB 软件得出了八个科室的有效地相对最佳路径AFHGBCED。

推导所消耗的时间最短。

问题3：关键词：M/M/1/S排队论（Dijkstra）算法1. 问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，我们现通过考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，提出安排策略，尽量减少病人排队等待时间。

该医院门诊每天开放，每天来的体检人数都是同分布的，体检项目包括抽血、内科、外科、B超、五官科、胸透、身高和体重等八个项目当前医院没有完备的系统来确定来的人群的径向流量，提高设备利用率、降低客人的等待时间，医院要求完备的方案来对体检的人进行有效地指导就医。

问题1：为某个新来的客人安排他的体检顺序，使其完成需要的全部检查的时间尽量少（在各个体检项目处都可能有人排队等待），求出时间最短的路径问题2：通过数据来验证问题1的模型的优劣。

问题3：2.1 模型假设1)各个体检项目之间相互独立，互不影响。

2)病人排队体检和体检完毕到下一个科室之间没有时间延迟。

3)入院体检的顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ的负指数分布。

4)各个科室可以抽象一个点。

5）每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布。

6）在团体病人来体检时，假设每个科室的服务设施是空缺的。

2.2 符号说明1：抽血A1、内科B1、外科C3、B超D4、五官科E5、胸透F6、身高G7、体重H82：λ（i）和lamuda(i) 表示单位时间平均到达的顾客数, 称为平均到达率3：μ(i)和mu(i) 位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率4：t(i)：在ABCDEFGH各个科室检查的时间5：β(i):表示在ABCDEFGH各个科室的受检比率3. 问题一3.1 问题分析3.1.1 背景分析“三长一短”（挂号时间长、候诊时间长、交费时间长、看病时间短)一直是中国各大医院的顽疾，也成为影响病人满意度的主要因素。

小学六年级奥数教案—运筹学初步 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

1.统筹安排问题 例1星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？ 分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共分钟（见下图）。

需60 例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

2.排队问题 例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？ 分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。

甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为 （10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。