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……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A 卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设sin x x 为()f x 的一个原函数, 且常数0a ≠, 则()d f ax x a =⎰( A ). A ．3sin ax C a x + B ．2sin ax C a x + C ．sin ax C ax + D ．sin axC x+2. 设直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=, 则直线L ( C ).A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交 3. 设()f x 是区间[0,1]上连续函数, 且10()d 2f x x =⎰, 则π220(cos )sin 2d f x x x =⎰( B ). A ．1B ．2C ．3D ．44. 曲线211ln 42y x x =-自1x =至e x =之间的一段弧的弧长s =( C ). A ．21(e 2)4+ B ．21(1e )4- C ．21(e 1)4+ D ．21(e 1)4- 5. 设向量,a b 满足a b a b -=+, 则必有( D ). A ．0a b -=B ．0a b +=C ．0a b ⨯=D ．0a b ⋅=二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6.20d sin()d d x x t t x -=⎰2sin x .7. 由不等式23x y x ≤≤及2x ≤所确定的平面图形的面积为1712.8. 设()1a b c ⋅⨯=, 则()[()()]b c c a a b +⋅+⨯+=2.9.=1arcsin Cx-+.10. 曲线2224,x y z y z ⎧++=⎨=⎩在yOz 平面上的投影曲线是,(0,y z y x =⎧≤⎨=⎩.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)11. (6分)计算.x解:2d 2tx t t t = ---------------------(3分) .C C =-=- ---------------------(2+1分)12. (6分) 计算22ln(4)d .x x x+⎰ 解: 222ln(4)d ln(4)1d x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝++⎭⎰⎰ ---------------------(2分) 22ln(4)12d 4x x x x x x ⎡⎤+=--⋅⎢⎥+⎣⎦⎰ ---------------------(2分)22ln(4)1d 212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ---------------------(1分) 2ln(4)arctan .2x x C x +=-++ ---------------------(1分)13. (6分)计算20x ⎰.解:220x x =⎰⎰---------------------(2分)111(1x tt t -=-====-⎰---------------------(2分)111t t --=-⎰⎰π02=- ---------------------(1+1分)π2=.。
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。
（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。
（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。
3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
2023年上海市春季高考数学试卷（2023•上海）已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．故答案为：2．（2023•上海）已知向量a =（3，4），b =（1，2），则a -2b =（1，0）．→→→→【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a =（3，4），b =（1，2），所以a -2b =（3-2×1，4-2×2）=（1，0）．故答案为：（1，0）．→→→→（2023•上海）不等式|x-1|≤2的解集为：[-1，3]．（结果用集合或区间表示）【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】运用|x|≤a ⇔-a≤x≤a,不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．【解答】解：不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，即为-1≤x≤3，则解集为[-1，3]，故答案为：[-1，3]．（2023•上海）已知圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，则圆C 的半径为 1．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】把圆C 的一般方程化为标准方程，可得圆C 的圆心和半径．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，可得圆C 的标准方程为（x+1）2+y 2=1，故圆C 的圆心为（-1，0），半径为1，故答案为：1．（2023•上海）已知事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=0.5．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件A的对立事件为A，若P（A）=0.5，则P（A）=1-0.5=0.5．故答案为：0.5．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为116．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a•4b≤14×(a+4b2)2=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值为154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．【分析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：7．（2023•上海）设（1-2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4=17．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C 04+C44•(−2)4=17．故答案为：17．（2023•上海）已知函数f（x）=2-x+1，且g（x）=V WX log2(x+1)，x≥0f(−x)，x<0，则方程g（x）=2的解为x=3．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．【解答】解：当x≥0时，g（x）=2⇔log2（x+1）=2，解得x=3；当x＜0时，g（x）=f（-x）=2x+1=2，解得x=0（舍）；所以g（x）=2的解为：x=3．故答案为：x=3．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5．【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为C310=10×9×83×2×1=120，恰有1名男生2名女生的事件个数为C14C26=4×6×52×1=60，则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5，故答案为：0.5．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1=i z2（i为虚数单位），满足|z1-1|=1，则|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．√【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1-1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，因为z1=i•z2，所以z2=sinθ+i（cosθ+1），所以|z1-z2|=(cosθ−sinθ+1)2+(sinθ−cosθ−1)2=2[2sin(θ−π4)−1]2=2|2sin(θ−π4)−1|，显然当sin(θ−π4)=22时，原式取最小值0，当sin(θ−π4)=-1时，原式取最大值2+2，√√√√√√√A．y=sinxC．y=x3D．y=2x 故|z1-z2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．√√（2023•上海）已知OA、OB、OC为空间中三组单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC，OB与OC夹角为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，则|OP•OC|最大值为217．→→→→→→→→→→→→→→→→→→√【专题】综合题；转化思想；分析法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】将问题坐标化，表示出OA，OB，OC的坐标，再设OP=(x,y,z)，代入条件，结合不等式的性质求解．→→→→【解答】解：设OA=(0，0，1)，OB=(32，12，0)，OC=(0，1，0)，OP=(x,y,z)，不妨设x,y,z＞0，则|OP|=x2+y2+z2=1，因为|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，所以y≤32x+12y≤z，可得x≥33y，z≥y,所以1=x2+y2+z2≥13y2+y2+y2，解得y2≤37，故OP•OC=y≤217．故答案为：217．→→√→→→→→→→→→√√→→√√（2023•上海）下列函数是偶函数的是（ ）【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A ．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B ．从2018年开始，进出口总额逐年增大D ．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小A ．DD1C ．AD1D ．B 1C【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析．【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B 对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C 错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D 正确．故选：C ．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 为边A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于A ，当P 是A 1C 1的中点时，BP 与DD 1是相交直线；对于B ，根据异面直线的定义知，BP 与AC 是异面直线；A．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n-1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．（2023•上海）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【分析】由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→-∞，S n→-∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；即可判断．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n 不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d=0，a n=0，则|S k|=|S k+1|，矛盾；若d=0，a n＜0，当n→+∞，S n→-∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d=0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n-1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取a1=a2=⋯=a2022=−1，a n=(12)n,n≥2023，n∈N即可．故选：C．（2023•上海）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；（2）求直线ME到平面PAB的距离．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【分析】（1）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，求解即可；（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE的长即可．【解答】解：（1）连接AM，PM，∵PA⊥平面ABC，∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，∵M为BC中点，∴AM=12BC=52，∴tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF=M，∴平面MEF∥平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME∥平面PAB，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，∵ME∥平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE=2，∴直线ME到平面PAB的距离为2．√（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c,求边长c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．√【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a,结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）∵A+C=120°，且a=2c,∴sinA=2sinC=2sin（120°-A）=3cosA+sinA，∴cosA=0，∴A=90°，C=30°，B=60°，∵b=2，∴c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA＞0，∴sinC=22，∵A-C=15°，∴C为锐角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a sin60°=2sin75°=82+6，∴a=432+6=32−6，∴S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．√√√√√√√√√√√√√√√√√（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L 2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f•nT +13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．√【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F 0=2πRH +πR 2．V 0=πR 2H ，所以S =F 0V 0=πR (2H +R )πR 2H=2H +RHR．（2）由题意可得S=18n 10000+13n =32n 100+13n，n ∈N *，所以S′=32200n -13n2=92n 32−200600n2，令S′=0，解得n=32000081≈6.27，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，所以S 的最小值在n=6或7取得，当n=6时，S=32×6100+13×6≈0.31，当n=7时，S=32×7100+13×7≈0.16，所以在n=6时，该建筑体S 最小．√√√√√√√（2023•上海）已知椭圆Γ：x2m2+y 23=1（m ＞0且m≠3）．（1）若m=2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且EA 1•EA 2=-2，求实数m 的值；（3）过椭圆Γ上一点P 作斜率为3的直线l,若直线l 与双曲线y25m2-x 25=1有且仅有一个公共点，求实数m 的取值范围．√→→√【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意可得a,b,c,可求离心率；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），由已知可得p 2=23m 2，p 2-m 2+1=-2，求解即可；（3）设直线y=3x+t,与椭圆方程联立可得t 2≤3m 2+3，与双曲线方程联立可得t 2=5m 2-15，可求m 的取值范围．√【解答】解：（1）若m=2，则a 2=4，b 2=3，∴a=2，c=a2−b2=1，∴e=c a =12；（2）由已知得A 1（-m,0），A 2（m,0），设E （p,1），∴p2m2+13=1，即p 2=23m 2，∴EA 1=（-m-p,-1），EA 2=（m-p,-1），∴EA 1•EA 2=（-m-p,-1）•（m-p,-1）=p 2-m 2+1=-2，∵p 2=23m 2，代入求得m=3；√→→→→（3）设直线y=3x+t,联立椭圆可得x2m2+(3x +t )23=1，整理得（3+3m 2）x 2+23tm 2x+（t 2-3）m 2=0，由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得(3x +t )25m2-x 25=1，整理得（3-m 2）x 2+23tx+（t2-5m 2）=0，由Δ=0，t 2=5m 2-15，∴5m 2-15≤3m 2+3，∴-3≤m≤3，又5m 2-15≥0，∴m≥3，∵m≠3，综上所述：m ∈（3，3]．√√√√√√√√（2023•上海）已知函数f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,g （x ）=kx+m （其中a≥0，k,m ∈R ），若任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y=g （x ）是函数y=f （x ）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g （x ）在x 处取得的最小值记为f （x ）．（1）若a=2，g （x ）=x,试判断函数y=g （x ）是否为函数y=f （x ）的“控制函数”，并说明理由；（2）若a=0，曲线y=f （x ）在x=14处的切线为直线y=h （x ），证明：函数y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数”，并求f （14）的值；（3）若曲线y=f （x ）在x=x 0，x 0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，证明：当且仅当c=x 0或c=1时，f （c ）=f （c ）．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，代入即可求解；（3）f （x ）=ax 3-（a+1）x 2+x,f′（x ）=3ax 2-2（a+1）x+1，y=f （x ）在x=x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），求导整理得到函数t （x ）必是函数y=f （x ）的“控制函数“，又此时“控制函数“g （x ）必与y=f （x ）相切于x 点，t （x ）与y=f （x ）在x =12a 处相切，且过点（1，0），在(12a，1)之间的点不可能使得y=f （x ）在(12a ，1)切线下方，所以f (c )=f (c )⇒c =12a =x 0或c=1，即可得证．【解答】解：（1）f （x ）=2x 3-3x 2+x,设h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x 3-3x 2，h′（x ）=6x 2-6x=6x （x-1），当x ∈[0，1]时，易知h′（x ）=6x （x-1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max =h （0）=0，即f （x ）-g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）f (x )=−x 2+x ,f (14)=316，f ′(x )=−2x +1，f ′(14)=12，∴h (x )=12(x −14)+316=12x +116，f (x )−h (x )=−x 2+12x −116=−(x −14)2≤0，∴f （x ）≤h （x ），即y=h （x ）为函数y=f （x ）的“控制函数“，又f(14)=h(14)=316，且g(14)≥f(14)=316，∴f(14)=316；证明：（3）f（x）=ax3-（a+1）x2+x,f′（x）=3ax2-2（a+1）x+1，y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），t（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0），t（x0）=f（x0），t（1）=0⇒f（1）=0，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1⇒f′(x0)(1−x0)=f(1)−f(x0)=(1−x0)[a(1+x0+x02)−(a+1) (1+x0)+1]⇒3a x02−2(a+1)x0+1=a x02−x0⇒(2a x0−1)(x0−1)=0，x0≠1⇒a=12x0∈(12，+∞)⇒x0=1 2a ，f′(x0)=3ax02−2(a+1)x0+1=3a(12a )2−2(a+1)(12a)+1=−14a，f(x0)=a(12a )3−(a+1)(12a)2+12a=2a−18a2，t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=−14a (x−12a)+2a−18a2⇒t(x)=−14a(x−1)，f(x)=x(x−1)(ax−1)≤t(x)⇒ax2−x+14a ≥0，(x−12a)2≥0恒成立，函数t（x）必是函数y=f（x）的“控制函数“，∀g(x)=kx+m≥f(x)⇒∀f(x)≥f(x)，f(x)=f(x)，x∈(0，1)是函数y=f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y=f（x）相切于x点，t（x）与y=f（x）在x=12a处相切，且过点（1，0），在(12a ，1)之间的点不可能使得y=f（x）在(12a，1)切线下方，所以f(c)=f(c)⇒c=12a=x0或c=1，所以曲线y=f（x）在x=x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)．。
微 积 分 课 后 习 题 答 案习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ； （2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析上海春季高考数学试卷答案真题解析2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析数学试卷和答案正在整理和发布当中，考生可收藏本页。
稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。
（二）统一文化考试1。
统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。
语文、数学每科目总分150分。
外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。
统一文化考试成绩总分为450分。
根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。
其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。
2。
统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。
统一文化考试均在标准化考场进行。
3。
统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。
市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。
考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。
（三）志愿填报1。
考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。
其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。
微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。
2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。
2019年一般高等学校春天招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律是零分．1．函数f(x)x21(x0)的反函数f1(x)______．2．若复数z知足方程zi i1（i是虚数单位），则z=________．3．函数ysinx1的最小正周期为________．cosx4．二项式(x1)6的睁开式中常数项的值为________．x5．若双曲线的一个极点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线y x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：lim(n3)n=________．n n18．若向量，知足||||，则与所成角的大小为________．9．在大小同样的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中随意选用3个，则所选的3个球中起码有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术均匀数的运算，即aa bb，则两边均2含有运算符号“ *”和“+”，且对于随意3个实入选a、b、c都能成立的一个等式能够是_______11．对于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：（1）对随意的，f(x)都是非奇非偶函数；（2）不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使f(x)是奇函数；（4）对随意的，f(x)都不是偶函数此中一个假命题的序号是_______由于当=_______时，该命题的结论不可立12．甲、乙两人于同一天赋别携款1万元到银行积蓄，甲存五年期按期积蓄，年利率为2.88%乙存一年期按期积蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期按期积蓄按规定每次计息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行拿出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假设利率五年内保持不变，结果精准到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分13．若a、b为实数，则a b0是a2b2的（）（A）充足不用要条件．B）必需不充足条件．C）充要条件．D）既非充足条件也非必需条件．14．若直线x 1的倾斜角为，则（）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在42（15．如有平面A）过点B）过点C）过点D）过点P与，且且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于l,,P,P l，则以下命题中的假命题为（）的直线平行于．l的平面垂直于．的直线在内．l的直线在内．16．若数列{a n}前8项的值各异，且a n8a n对随意的n N都成立，则以下数列中可取遍{a n}前8项值的数列为（）（A）{a2k1}（B）{a3k1}（C）{a4k1}（D）{a6k1}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤．17．（此题满分12分）已知R为全集，A{x|log1(3x)51}，求AB2},B{x|2x218．（此题满分12分）已知2sin2sin2k()，试用k表示sin cos的值．1tg4219．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．1）求a对于h的函数分析式；2）设容器的容积为V立方米，则当h为什么值时，V最大？求出V的最大值．（求解此题时，不计容器的厚度）20．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE A1B，AF A1D（1）求证：A 1C 平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角 （或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试依据上述定理，在AB 4 ，AD3，AA 1 5时，求平面AEF 与平面DBBD 所11成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（此题满分16分）此题共有2个小题，第1小题满分9分，第 2小题满分7分已知椭圆C 的方程为x2y 21，点P(a,b)的坐标知足a2b 21过点P 的直线l 与椭22圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：1）点Q 的轨迹方程；2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（此题满分18分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知{a n }是首项为 2，公比为1的等比数列， S n 为它的前n 项和．2（1）用S n 表示S n1；（2）能否存在自然数S k1cc 和k ，使得2成立．S k c数学试卷答案重点及评分标准 说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，假如考生的解法与所列解法不一样，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅究竟，不要由于考生的解答中出现错误而中止对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步此后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后边部分的给分，这时原则上不该超事后边部分应给分数之半，假如有较严重的观点性错误，就不给分． 3．给分或扣分均以 1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给 4分，不然一律得零分．1．x1(x1)．2．1i ．3．2．4．20．x 2 y 215．916 ．6．(x1)2 (y1)21．7．e 2 ．8．90°．49．5．10．a(b*c) (a b)*(a c),(a*b) c (a*c)(b*c),a*(b c) (a b)*c (bc)*a (ac)*b,(a*b)c (b*a)c 等.11．（1），k(kZ)k(kZ)k(k Z)；（1），2；（4），2等（两个空格全填对时才能得分，此中 k 也能够写成任何整数）12．二、（第13至16题）每一题正确的给4分，不然一律得零分13．A14．C15．D16．B三、（第17至22题）17．解由已知log1(3x)log1422由于y log1x为减函数，所3x42由3x4 3x0解得1x3所以A{x|1x3}由51，解得2x3所以B{x|2x3} x2于是A{x|x1或x3}故AB{x|2x1或x3}18．解2sin2sin22sin cos 由于1tg所以k2sin cos因此(sin cos)212sin cos1k又4，于是sincos0 2所以sin cos1k19．解（1）设h'为正四棱锥的斜高a241h'a2,由已知21a2h2h'2,4解得a1(h0) h21（2）V1ha2h(h0)33(h21)易得V13(h1)h由于h 1h12，所以1 2hVh6等式当且仅当h1，即h1时获得h故当h 1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米．620．证（1）由于CB平面A1B，所A1C在平面A1B上的射影为A1B由A1B AE,AE平面A1B，得A1C AE，同理可证A1C AF由于A1C AF,A1C AE所以A1C平面AEF解（2）过A作BD的垂线交CD于G，由于D1DAG，所以AG平面D1B1BD设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG9．4如图成立直角坐标系，则得点A(0,0,0)，9,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0)，G(4 AG 9{4,3,5}，{,3,0},A1C4由于AG与A1C所成的角为所以AGA1C122 cos25|AG||A1C|122arccos25由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为122 arccos2521．解（1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为Q(x,y)．当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y k(xa)b2y22y2由已知x111,x221（1）22y k(x a)b,y k(x a)b（2）1122由（1）得(x1x2)(x1x2)1y2)(y1y2)0，（3）(y1由（2）得2y1y2k(x1x2)2ak2b，（4）1x 2y1y2y1y2由（3）、（4）及x x，y，k，22x1x2得点Q的坐标知足方程2x2y22axby0（5）当x1x2时，k不存在，此时l平行于y轴，所以AB的中点Q必定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）明显点Q的坐标知足方程（5）综上所述，点Q的坐标知足方程2x2y22ax by0设方程（5）所表示的曲线为L，2x2y22ax by0,则由x2y21,2得(2a 2b2)x242b20ax由于8b2a2b21，由已知a2b21，22所以当a2b21时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）2当a2b21时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点2由于（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为2x2y22ax by0（2）由2x2y22ax by0,0，0），（0，b）x0,解得曲线L与y轴交于点（2x2y22ax by0,由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）0,当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且0b2，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且0 a 1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当0a 1且0b2(1a2)，即点P（a，b）在椭圆C内且不在座标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
高等数学A3教材答案1. 微分学1.1 函数与极限1.1.1 第一节题目1：a) 证明函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处连续。
b) 求函数g(x) = √(2 - x) 的定义域。
解答1：a) 对于函数 f(x) = x^2，在 x = 2 处连续的定义是：当x → 2 时，f(x) → f(2)。
由于 f(2) = (2)^2 = 4，因此我们需要证明当x → 2 时，f(x) → 4。
设ε > 0，我们需要找到一个δ > 0，对于所有满足 0 < |x - 2| < δ 的x，有 |f(x) - 4| < ε。
考虑 |f(x) - 4| = |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| = |x - 2| |x + 2|。
由于我们希望对于所有满足 0 < |x - 2| < δ 的 x，有 |f(x) - 4| < ε，因此我们可以将问题转化为寻找合适的δ 和 M，满足 |x + 2| < M，当 0 <|x - 2| < δ 时，有 |x - 2| < ε / M。
选择 M = 4，则当 |x - 2| < ε / 4 时，有 |x - 2| |x + 2| < ε。
因此，我们可以取δ = ε / 4，这样就满足了当x → 2 时，f(x) → 4，即函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处连续。
b) 对于函数g(x) = √(2 - x)，要求出其定义域，需要考虑根号内的值大于或等于零。
因此，我们可以得到不等式 2 - x ≥ 0。
解这个不等式，得到x ≤ 2。
所以，函数g(x) = √(2 - x) 的定义域为 (-∞, 2]。
1.1.2 第二节题目2：讨论函数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) 的连续性。
解答2：为了讨论函数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) 的连续性，我们需要考虑两个方面：函数是否在 x = 2 处定义，以及函数在 x = 2 处的极限是否存在。
2023年上海春季高考物理试卷(含答案)第一部分：选择题共计40题，每题2分，满分80分。
1. 在电子在磁场中受力的实验中，电子在磁场中受力的方向为（）。
A. 垂直于电子速度方向B. 与电子速度方向相同C. 与电子速度方向垂直D. 与电子速度方向相反2. 光通过常规屈光系统后，两条彩色光线的光程差为零，此时它们的相位差为（）。
A. 0B. πC. 2πD. 3π3. 一个质点在带电导体表面保持静止的必要条件是（）。
A. 导体表面场强为零B. 导体表面场强不为零C. 导体表面电势为零D. 导体表面电势不为零...第二部分：解答题共计4题，满分40分。
1. 请解释为什么在真空中声波无法传播，以及声波传播所依赖的介质和条件。
解答：...2. 请描述单层光栅的原理，并说明它在哪些实际应用中被使用。
解答：...3. 对于一个通过直线导线的电流，根据安培环路定理，我们可以得出一个结论。
请简要描述这个结论并说明其应用。
解答：...4. 请描述如何利用电场力来让带电粒子保持静止。
解答：...第三部分：实验题共计2题，满分20分。
1. 请设计一个实验来证明电流会在导体中形成闭合回路。
实验设计：...结果分析：...结论：...2. 请设计一个实验来确定一恒力对物体做功与该物体位移的关系。
实验设计：...结果分析：...结论：...参考答案第一部分：选择题1. A2. A3. A...第二部分：解答题1. 真空中没有介质传播声波需要介质，声波传播需要依靠介质压力和密度的变化。
2. 单层光栅原理基于光的干涉和衍射，常用于激光技术、光谱分析等应用中。
3. 根据安培环路定理，在直线导线中，电流的磁场强度与电流和导线形状有关，可应用于电磁感应和计算电磁场强度等方面。
4. 利用电场力使带电粒子保持静止需要使电场力与其他力的合力为零，可以通过改变电场强度或者调整带电粒子的电荷量来达到这个目的。
第三部分：实验题1. 实验设计：- 准备一个导体回路，并连接电源。
第 1 页（共6 页）第 2 页（共6 页）命题纸使用说明：1、字迹必须端正，以黑色碳素墨水书写在框线内，文字与图均不得剪贴，以保证“扫描”质量。
成绩上海大学0 3年春季学期试卷课程名：电路A（一）标准答案学分： 4学号：姓名：院、系：一、计算以下小题20Ω，求R ab答：由平衡电桥原理，中间四个节点等电位。
所以：R ab = 2R//2R//3R = 3R/4 = 15Ω或：R ab = R//R//1.5R + R//R//1.5R= 3R/4 = 15Ω答：I2Ω = 4/2 = 2A，所以I4V = 7–I2Ω = 5A，方向如图。
显然，满足关联参考方向，因此P4V = U4V I4V = 4×5 = 20W消耗功率。
2．计算4V 电压源的功率Ω10ΩΩ显然I = 55/22 = 2.5A。
4．已知某电路的节点方程为如下，请画出可能的电路图并标明元件值。
0.5U n1– 0.3U n2 = 10– 1.2U n1 + 1.4U n2 = 0U n1– U n2 + U n3 = 0答：原节点方程改写为2U n1– 1.2U n2 = 40– 1.2U n1 + 1.4U n2 = 0U n3 = U n2– U n1 = U1.2SR5．如图所示含源二端网络，已知当负载R = 12Ω时电流I = 2A，负载短路时I = 5A。
求负载R = 24Ω时电流I 等于多少？答：含源二端网络可等效为一电压源与电阻串联u= U oc– R o i，已知当负载R = 12Ω时电流I = 2A，负载短路时I = 5A可得方程为24= U oc–2R o0= U oc– 5R o 解得U oc = 40V，R o = 8Ω当R = 24Ω时，24i= U oc– R o ii = 40/32 = 1.25ARΩ6．求左边单口网络的等效电阻。
答：凡是与电压源并联的元件为多余元件，受控源也同样满足，因此，原电路可简化为右下图。
2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知z ＝2+i （其中i 为虚数单位），则z = ．2．（4分）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ． 3．（4分）不等式x−1x＜0的解集为 ．4．（4分）若tan α＝3，则tan （α+π4）＝ ．5．（4分）设函数f （x ）＝x 3的反函数为f ﹣1（x ），则f ﹣1（27）＝ ．6．（4分）在（x 3+1x）12的展开式中，则含1x 4项的系数为 ．7．（5分）若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为 ．8．（5分）已知在△ABC 中，∠A =π3，AB ＝2，AC ＝3，则△ABC 的外接圆半径为 ． 9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）10．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP →•CP →的最小值为 ．11．（5分）已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的右支上，若x 1x 2＞y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为 ．12．（5分）已知函数y ＝f （x ）为定义域为R 的奇函数，其图像关于x ＝1对称，且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝lnx ，若将方程f （x ）＝x +1的正实数根从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则lim n→∞（x n +1﹣x n ）＝ ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）下列函数定义域为R 的是（ ） A ．y =x −12B ．y ＝x ﹣1C ．y =x 13D ．y =x 1214．（5分）若a ＞b ＞c ＞d ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a +d ＞b +cB ．a +c ＞b +dC ．ac ＞bdD ．ad ＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{a n}是递增数列B．若T2022＞T2021，则数列{a n}是递增数列C．若数列{S n}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{T n}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{a n}中，a2＝1，其前n项和为S n．（1）若{a n}是等比数列，S2＝3，求limS n；n→∞（2）若{a n}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π6，求Γ的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知z ＝2+i （其中i 为虚数单位），则z = 2﹣i ． 【解答】解：∵z ＝2+i ， ∴z =2−i ． 故答案为：2﹣i ．2．（4分）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ （1，2） ． 【解答】解：∵集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3）， ∴A ∩B ＝（1，2）． 故答案为：（1，2）． 3．（4分）不等式x−1x＜0的解集为 （0，1） ．【解答】解：由题意得x （x ﹣1）＜0， 解得0＜x ＜1，故不等式的解集（0，1）． 故答案为：（0，1）．4．（4分）若tan α＝3，则tan （α+π4）＝ ﹣2 ． 【解答】解：若tan α＝3，则tan （α+π4）=tanα+tan π41−tanαtan π4=3+11−3×1=−2． 故答案为：﹣2．5．（4分）设函数f （x ）＝x 3的反函数为f ﹣1（x ），则f ﹣1（27）＝ 3 ．【解答】解：函数f （x ）＝x 3的反函数为f ﹣1（x ），整理得f −1(x)=√x 3； 所以f ﹣1（27）＝3．故答案为：3．6．（4分）在（x 3+1x ）12的展开式中，则含1x 4项的系数为 66 ．【解答】解：展开式的通项公式为T k +1＝C 12k （x 3）12﹣k （1x）k ＝C 12k x36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k ＝40，得k ＝10，即T 11＝C 1210x ﹣4=66x 4，即含1x 4项的系数为66， 故答案为：66．7．（5分）若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为 4 ．【解答】解：根据题意，若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则直线x +my ＝2和mx +16y ＝8重合，则有1×16＝m ×m ，即m 2＝16，解可得m ＝±4， 当m ＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 当m ＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 故m ＝4． 故答案为：48．（5分）已知在△ABC 中，∠A =π3，AB ＝2，AC ＝3，则△ABC 的外接圆半径为 √213． 【解答】解：在△ABC 中，∠A =π3，AB ＝2，AC ＝3，利用余弦定理BC 2＝AC 2+AB 2﹣2AB •AC •cos A ，整理得BC =√7， 所以BC sinA=2R ，解得R =√213．故答案为：√213． 9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17 .（用数字作答）【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数， 当其千位数字为3或4时，有2A 33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数， 当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数， 故答案为：17．10．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP →•CP →的最小值为 −98 ． 【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B （2，0），C （0，2），M （1，0）， 直线BC 的方程为x2+y 2=1，即x +y ＝2，点P 在直线上，设P （x ，2﹣x ）， ∴MP →=（x ﹣1，2﹣x ），CP →=（x ，﹣x ），∴MP →•CP →=x （x ﹣1）﹣x （2﹣x ）＝2x 2﹣3x ＝2(x −34)2−98≥−98， ∴MP →•CP →的最小值为−98． 故答案为：−98．11．（5分）已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的右支上，若x 1x 2＞y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为 [1，+∞） ．【解答】解：设P 2的对称点P 3（x 2，﹣y 2）仍在双曲线右支，由x 1x 2＞y 1y 2， 得x 1x 2﹣y 1y 2＞0，即OP 1→⋅OP 3→＞0恒成立，∴∠P 1OP 3恒为锐角，即∠MON ≤90°， ∴其中一条渐近线y =1a x 的斜率1a≤1，∴a ≥1，所以实数a 的取值范围为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．12．（5分）已知函数y ＝f （x ）为定义域为R 的奇函数，其图像关于x ＝1对称，且当x ∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，x n，则limn→∞（x n+1﹣x n）＝2．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，x n，则limn→∞（x n+1﹣x n）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴limn→∞（x n+1﹣x n）＝2．故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y=x−12B．y＝x﹣1C．y=x13D．y=x12【解答】解：y=x−12=1√x，定义域为{x|x＞0}，y=x−1=1x，定义域为{x|x≠0}，y=x 13=√x3，定义域为R，y=x 12=√x，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是y=x 1 3．故选：C．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．16．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{a n}是递增数列B．若T2022＞T2021，则数列{a n}是递增数列C．若数列{S n}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{T n}是递增数列，则a2022≥a2021【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{a n}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为−12，满足T2022＞T2021，但是数列{a n}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a 1＝1，公比为12，S n =1−(12)n12=2（1−12n ），数列{S n }是递增数列，但是a 2022＜2021，所以C 不正确；数列{T n }是递增数列，可知T n ＞T n ﹣1，可得a n ＞1，所以q ≥1，可得a 2022≥a 2021正确，所以D 正确； 故选：D ．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O 、O 1，AA 1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA 1＝4，M 为AA 1的中点，求直线MO 1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO 1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．【解答】解：（1）因为AA 1为圆柱的母线，所以AA 1垂直于上底面， 所以∠MO 1A 1是直线MO 1与上底面所成角，tan ∠MO 1A 1=A 1M O 1A 1=21=2， 所以∠MO 1A 1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO 1的截面为正方形，所以AA 1＝2， 所以圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π•12•2＝2π， 圆柱的侧面积为S ＝2πrh ＝2π•1•2＝4π．18．（14分）已知在数列{a n }中，a 2＝1，其前n 项和为S n ． （1）若{a n }是等比数列，S 2＝3，求lim n→∞S n ；（2）若{a n }是等差数列，S 2n ≥n ，求其公差d 的取值范围． 【解答】解：（1）在等比数列{a n }中，a 2＝1，S 2＝3，则a 1＝2，∴公比q =12，则S n =a 1(1−q n )1−q =4(1−12n )，∴lim n→∞S n =lim n→∞4(1−12n )=4； （2）若{a n }是等差数列， 则S 2n =(a 2+a 2n−1)⋅2n2=2dn 2+(2−3d)n ≥n ， 即（3﹣2n ）d ≤1，当n ＝1时，d ≤1； 当n ≥2时，d ≥13−2n 恒成立，∵13−2n∈[﹣1，0），∴d ≥0． 综上所述，d ∈[0，1]．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，AB ＝30m ，AD ＝15m ．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到0.01m 2） （1）若∠ADE ＝20°，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）作DH ⊥EF ，垂足为H ，则EF ＝EH +HF ＝15tan20°+15tan50°≈23.3m ；（2）设∠ADE ＝θ，则AE ＝15tan θ，FH ＝15tan （90°﹣2θ），S 四边形ADEF ＝2S △ADE +S △DFH ＝2×12×15×15tan θ+12×15×15tan(90°−2θ)，=152（30tan θ+15cot2θ）=152（30tan θ+15×1+tan 2θ2tanθ）=2254(3tanθ+1tanθ)≥225√33， 当且仅当3tan θ=1tanθ，即tan θ=√33时取等号，此时AE ＝15tan θ＝5√3，最大面积为450−225√32≈255.14m 2．20．（16分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），A 、B 两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线l ：x ＝a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB =π6，求Γ的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆Γ于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求|CD |的最小值．【解答】解：（1）由题可得B （0，﹣1），F （c ，0），因为∠AFB =π6，所以tan ∠AFB =b c =1c =tan π6=√33，解得c =√3， 所以a ²＝1+（√3）²＝4，故Γ的标准方程为x 24+y ²＝1；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时A （﹣a ，0），B （0，﹣1），C （a ，2），D （a ，1），则直线BC ：y =3a x ﹣1，直线AD ：y =12a x +12，交点为（3a 5，45），满足(3a 5)2a 2+(45)2=1， 故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）B （0，﹣1），P （a cos θ，sin θ），则直线BP ：y =sinθ+1acosθx ﹣1，所以C （a ，sinθ+1cosθ−1）， A （﹣a ，0），Q （﹣a cos θ，﹣sin θ），则直线AQ ：y =sinθacosθ−a （x +a ），所以D （a ，2sinθcosθ−1），所以|CD |=sinθ+1cosθ−1−2sinθcosθ−1=2sin θ2cos θ2+sin 2θ2+cos 2θ2cos 2θ2−sin 2θ2−4sin θ2cos θ2−2sin 2θ2−1， 设tan θ2=t ，则|CD |＝2（11−t+1t ）﹣2， 因为1a +1b ≥4a+b ，所以11−t +1t ≥41−t+t =4，则|CD |≥6，即|CD |的最小值为6．21．（18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，现有两种对f （x ）变换的操作：φ变换：f （x ）﹣f （x ﹣t ）；ω变换：|f （x +t ）﹣f （x ）|，其中t 为大于0的常数．（1）设f （x ）＝2x ，t ＝1，g （x ）为f （x ）做φ变换后的结果，解方程：g （x ）＝2；（2）设f （x ）＝x 2，h （x ）为f （x ）做ω变换后的结果，解不等式：f （x ）≥h （x ）；（3）设f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （x ）先做φ变换后得到u （x ），u （x ）再做ω变换后得到h 1（x ）；f （x ）先做ω变换后得到v （x ），v （x ）再做φ变换后得到h 2（x ）．若h 1（x ）＝h 2（x ）恒成立，证明：函数f （x ）在R 上单调递增．【解答】解：（1）∵f （x ）＝2x ，t ＝1，g （x ）为f （x ）做φ变换后的结果，g （x ）＝2， ∴g （x ）＝f （x ）﹣f （x ﹣1）＝2x ﹣2x ﹣1＝2x ﹣1＝2， 解得x ＝2．（2）∵f （x ）＝x 2，h （x ）为f （x ）做ω变换后的结果，f （x ）≥h （x ），∴x 2≥|（x +t ）2﹣x 2|＝|2tx +t 2|，当x ≤−t 2时，f （x ）≥h （x ）恒成立；当x ＞−t 2时，2tx +t 2≤x 2，解得x ≥（1+√2）t ，（舍）或x ≤（1−√2）t ，综上，不等式：f （x ）≥h （x ）的解集为（﹣∞，（1−√2）t ]．（3）证明：f （x ）先做φ变换后得到u （x ），u （x ）再做ω变换后得到h 1（x ），∴u （x ）＝f （x ）﹣f （x ﹣t ），h 1（x ）＝|f （x +t ）﹣f （x ）﹣[f （x ）﹣f （x ﹣t ）]|， f （x ）先做ω变换后得到v （x ），v （x ）再做φ变换后得到h 2（x ），∴v （x ）＝|f （x +t ）﹣f （x ）|，h 2（x ）＝|f （x +t ）﹣f （x ）|﹣|f （x ）﹣f （x ﹣t ）|， ∵h 1（x ）＝h 2（x ），f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f （x +t ）﹣f （x ）﹣[f （x ）﹣f （x ﹣t ）]|＝|f （x +t ）﹣f （x ）|﹣|f （x ）﹣f （x ﹣t ）|，∵t ＞0，∴{f(x +t)−f(t)＞f(t)−f(t −1)f(x +t)−f(x)＞0f(x)＞f(x −t)，∴函数f （x ）在R 上单调递增．。
2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。
2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。
下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。
✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。
6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。
由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。
那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。
7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。
8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。
9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。
