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垂径定理+圆中的角+切线证明

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∙第2题图 GFOE D CB A ∙第3题图 O EDC B A∙第1题图 E D CB A 初三数学培优卷―― 垂径定理+圆中的角【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、351．如图11-①，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A DE ，与⊙O 相切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且.CE CB =（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）连接AE ，AE 的延长线与BC的延长线交于点（如图11-②所示）.若2AB AD ==，求线段BC 和EG 的长.练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AD 的长。

2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。

3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。

4. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜55.如图6，AB 为半圆O 的直径，OC AB OD ⊥，平分BOC ∠，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则AEO∠的度数是____________°.6．如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线．(2)当AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．例 图 EOD CB A B 图11-②GC图11-①BC A B 图6D CE OE AEBDO C1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙Ｏ交BC 于点D ，DE ⊥AC 。

求证：⑴点D 是BC 的中点； ⑵DE 是⊙Ｏ的切线。

2、如图，M 在△ABC 的AC 边上，且MB = MA = MC ，AB 是⊙O 的直径， 求证：BC 是⊙O 的切线3、如图，ABC ∆的内切圆⊙O 与各边分别相切于点D 、E 、F .且cm AB 9=，cm BC 14=，cm CA 13=，求AF 、BD 、CE 的长.4、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，∠C=90°，若AC=12，BC=5， 求⊙O 的半径5、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=20°求：∠P 的度数6、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径。

求证：OP ∥BC7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．8、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．9、如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB 的长；（3）延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．E CAA 第11题N C B D E F M O O10、如图，直线PM 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC∥PM，连接OM 、BC ．求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA 2=OP•BC．11、如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD12、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.13、如图．以O 为圆心的圆与△AOB 的边AB 相切于点C ．与OB 相交于点D ，且OD=BD ，己知sinA=，AC=．（1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面枳．14、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证： （1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC 2=AB•AD．15、如图，AB 是半径O 的直径，AB=2．射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC ．过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F ．过D 点作半圆O 的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q ．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求BQ 的长； （3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点．ABCDEF P.OG . ABCE.O G圆的有关切线证明和计算1、如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，∠B ＝30°（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝6，求AD 的长。

2、如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆⊙O 与斜边AC交于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE 。

（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若AD 、AB 的长是方程x 2－10x ＋24＝0的一个根，求直角边BC3、如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90度，C 是AB 上的一点，以O 交于点E ，交AC 于点D ，其中DE ∥OC （1）求证：AC 为⊙O 的切线； （2）若AD ＝AB 、AE 的长是关于x 的方程x2－8x ＋k ＝0的两个实数根，求⊙O 的半径、CD 的长。

4、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线DE ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CB ＝103，CE ＝203，求AE 的长。

5、已知，如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，过D 作DE ⊥（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果CD ＝4，CE ＝3，求⊙O 的半径。

C6、如图，等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12，以BC 为直径作⊙O 交 AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）求DF 、DE 的长。

7、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，且满足AD ＋BC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝2，BC ＝6，求⊙O 的半径。

8、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，以CD B 作BM ∥AE 。

（1）求证：BM 是⊙C 的切线； （2）作DF ⊥BC 于F ，若AB ＝16，∠DBM ＝60°，求EF 的长。

9、如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD 。

（1）以AB 为直径的圆与边CD 有怎么样的关系？（2）该题材中以CD 为直径的圆与AB 的位置关系如何，请证明你的猜想。

10、如图，AB 为⊙O 的直径，D 为 BE 的中点，DC ⊥AE 交AE 的延长线于C 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CE ＝1，CD ＝2，求⊙O 的半径。

11、如图△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在AB 上，过点B 的⊙O 分别交AB 、BC 于点D 、E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，且EF ＝12BD 。

（1）试判断AC 与⊙O 的位置关系； （2）若AC 与⊙O 相切于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AG 的长。

CBA B C D E12、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点O 在AB 上，以O 为圆心，过B 、E 两点作⊙O ，交AB 于D ，过D 作DF ⊥AC 。

（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝6，AE ＝BC 长。

13、已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，以OA 为半径作⊙与BC 相切于D 点，与AB 交于F ，再以D 为圆心，以CD 为半径作圆交BC 于E 点。

（1）直线AB 与⊙D 有何位置关系； （2）线段EF 、AF 、AC 之间有何数量关系。

14、如图，钝角△ABC ，CD ⊥AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，且∠CEB ＝45°，以AD 为直径作⊙O 。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 直径为10，AC ＝BC ，求△ABC 的周长。

15、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥AE ，⊙O 是Rt △ADE 的外接圆，且交AC 于G 。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若CE ＝4，AC ＋GC ＝10，求直径AD 、DE 的长。

16、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证： （1）∠AOC 错误！未找到引用源。

2∠ACD ； （2）AC 2错误！未找到引用源。

AB·AD ．B17、如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP•BC．18、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.19、如图．已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°．四边形ABCD的周长为l5．(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积。

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圆定理证明

圆定理证明

圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2 (该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B;C、D, 则有PA ·PB=PC ·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2,L1 与圆交于A、B(可重合，即切线),L2 与圆交于C、D(可重合),则有PA ·PB=PC ·PD。

相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)相交弦说明几何语言：若弦AB 、CD 交于点P则PA ·PB=PC ·PD (相交弦定理)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P, 则PC^2=PA ·PB (相交弦定理推论)相交弦定理CADPo°B⊙O中，AB、CD 为弦，交于PPA ·PB=PC·PD连结AC、BD,证：△APC△DPB切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：∵PT 切⊙O于点T,PBA 是⊙O的割线∴PT 的平方=PA ·PB (切割线定理)推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，P BA,PDC 是⊙O的割线∴PD·PC=PA ·PB (切割线定理推论)(割线定理)由上可知：PTA2 (平方)=PA ·PB=PC ·PD证明切割线定理证明：设ABP 是⊙O的一条割线，PT 是⊙O的一条切线，切点为T, 则PT^2=PA ·PB证明：连接AT,BT∵∠PTB=∠PAT (弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBTO△PTA (两角对应相等，两三角形相似)则PB:PT=PT:AP即：PT^2=PB ·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

圆中三大切线定理

圆中三大切线定理

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯圆7级期末复习之圆中的 重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合 圆5级圆中三大切线定理 2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

圆的十大定理

圆的十大定理

圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。

这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。

二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。

这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。

三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。

这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。

四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。

五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。

这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。

六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。

这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。

七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。

八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。

这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。

九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。

这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。

十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。

圆中三大切线定理

圆中三大切线定理

14初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理秋季班第十五讲秋季班第十三讲秋季班第二讲2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。