高中数学第二讲证明不等式的基本方法复习课练习(含解析)新人教A版选修45

选修4-5 第2讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. 若|a －c |<|b |，则下列不等式中正确的是( ) A. a <b ＋c B. a >c －b C. |a |>|b |－|c | D. |a |<|b |＋|c |答案：D解析：|a |－|c |≤|a －c |<|b |，即|a |<|b |＋|c |.故选D.2. [2013·鸡西模拟]若实数x 、y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( )A. 最大值3＋2 2B. 最小值3＋2 2C. 最大值6D. 最小值6答案：B解析：由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·(1x 2＋1y 2)＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y2x2时，等号成立，故选B.3. [2013·广东调研]已知a ，b 为实数，且a >0，b >0. 则(a ＋b ＋1a )(a 2＋1b ＋1a2)的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C解析：因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，①同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.②由①②及不等式的性质得(a ＋b ＋1a )(a 2＋1b ＋1a 2)≥33b ×331b＝9.4. [2013·柳州模拟]已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2答案：C 解析：2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥ 22 x －a ·2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 5. [2013·金版原创]若q >0且q ≠1，m ，n ∈N *，则1＋q m ＋n 与q m ＋q n的大小关系是( )A. 1＋q m ＋n >q m ＋q nB. 1＋qm ＋n<q m＋q nC. 1＋qm ＋n＝q m＋q nD. 不能确定答案：A 解析：1＋qm ＋n －q m－q n＝q m(q n－1)－(q n－1)＝(q n－1)(q m－1)， ①当0<q <1时，q n<1，q m<1. ②当q >1时，q n>1，q m>1. ∴(q n－1)(q m－1)>0，∴1＋qm ＋n>q m＋q n，故选A.6. [2012·湖北高考]设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A. 14 B. 13 C. 12 D. 34答案：C解析：由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2，而由已知有(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40＝202＝(ax ＋by ＋cz )2，故a x ＝b y ＝c z＝k ，代入得a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，解得k ＝12(舍去负值)，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝12.故选C.二、填空题7. 函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________． 答案：3解析：y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x )2＋(2x ＋1)2]＝3×3， ∴y ≤3.8. [2013·许昌模拟]对于任意实数a 、b ，若|a －b |≤1，|2a －1|≤1，则|4a －3b ＋2|的最大值为________．答案：6解析：因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6.9. 已知x ，y ，z 为正实数，且1x ＋1y ＋1z＝1，则x ＋4y ＋9z 的最小值为________．答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得x ＋4y ＋9z ＝[(x )2＋(2y )2＋(3z )2]·[(1x)2＋(1y)2＋(1z)2]≥(x ·1x＋2y ·1y ＋3z ·1z)2＝36.当且仅当x ＝2y ＝3z 时等号成立， 此时x ＝6，y ＝3，z ＝2.所以当x ＝6，y ＝3，z ＝2时，x ＋4y ＋9z 取得最小值36. 解法二：∵1x ＋1y ＋1z＝1，∴x ＋4y ＋9z ＝(x ＋4y ＋9z )(1x ＋1y ＋1z )，即x ＋4y ＋9z ＝14＋4y x ＋9z x ＋x y＋9z y＋x z ＋4yz≥14＋24y x ·x y＋29z x ·x z＋29z y ·4yz＝36.(当且仅当x ＝2y ＝3z 时取“＝”)，即x ＝6，y ＝3，z ＝2时，(x ＋4y ＋9z )min ＝36.故填36.三、解答题10. 已知a >0，证明： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.解：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，因为a >0，所以只要证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22(a＋1a)，故只需证 2a 2＋1a 2≥a ＋1a ，即证a 2＋1a 2≥2，而由基本不等式可知a 2＋1a2≥2成立．故a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.11. [2013·正定模拟]设正有理数x 是3的一个近似值，令y ＝1＋21＋x .(1)若x >3，求证：y <3； (2)求证：y 比x 更接近于 3. 证明：(1)y －3＝1＋21＋x －3＝3－3＋x －3x 1＋x ＝ 1－3 x －3 1＋x， ∵x >3，∴x －3>0，而1－3<0，∴y < 3. (2)∵|y －3|－|x －3| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3 x －3 1＋x －|x －3|＝|x －3|(3－11＋x －1)＝|x －3|(3－2－x1＋x)， ∵x >0，3－2<0，|x －3|>0， ∴|y －3|－|x －3|<0，即|y －3|<|x －3|.∴y 比x 更接近于 3. 12. [2013·南昌调研]已知x ＋y >0，且xy ≠0. (1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2(1x ＋1y)恒成立，试求实数m 的取值范围或值．解：(1)∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0. ∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)(ⅰ)若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2(1x ＋1y )等价于m 2≥x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝ x ＋y 2－3xy xy <－3xyxy ＝－3，即x 3＋y 3xy x ＋y<－3，∴m >－6； (ⅱ)若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2(1x ＋1y )等价于m 2≤x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy x ＋y≥1，∴m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－6,2]．。

2.3 反证法与放缩法A 级 基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3bB. 3a ＜3b C. 3a ＝3b ，且3a ＜3bD. 3a ＝3b 或3a ＜3b 解析：应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a ＜3b .答案：D2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( )A ．a ，b ，c ，全不为0B ．a ，b ，c 至少有一个为0C ．a ，b ，c 至少有一个不为0D ．a ，b ，c 至多有一个不为0解析：“a ，b ，c 全为0”的否定是“a ，b ，c 至少有一个不为0”．答案：C3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．答案：C4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：因为a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，所以a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( ) A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M ＞ND ．M ＜N解析：依题设，1－a ，1－b ，1－c 均大于0，又a ＋b ＋c ＝1， 所以3（1－a ）（1－b ）（1－c ）≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23， 所以(1－a )(1－b )(1－c )≤827， 从而827－27a≥(1－b )(1－c )＝(a ＋c )(a ＋b )， 所以M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1， 所以lg 9·lg 11＜1.答案：lg 9·lg 11＜18．设M ＝12＋12＋1＋12＋2＋…＋12－1，则M 与1的大小关系为________． 解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以 M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210,210个＝1. 答案：M ＜1三、解答题9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. 证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ② 由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. 10．已知n ∈N *，求证：1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＜（n ＋1）22. 证明：由基本不等式，得n （n ＋1）＜n ＋n ＋12＝2n ＋12， 所以1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＜32＋52＋…＋2n ＋12＝3＋5＋…＋（2n ＋1）2＝n （n ＋2）2＝n 2＋2n 2＜（n ＋1）22，故原不等式成立．B 级 能力提升1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( )A ．a ＋b 有最小值2＋2 2B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2＋2 2解析：1＋a ＋b ≤ab ≤（a ＋b ）24， 所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，解得a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋2 2.答案：A2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋z t的最小值为________． 解析：因为x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z 100， 所以x y ＋z t ≥1z ＋z 100≥2 1z ·z 100＝15， 当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时，等号成立．答案：153．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减得a n ＋1＝12a n . 所以a n 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以a n ＝12n －1. (2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ， 所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *，所以①式等号左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．。

描述：高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法
一、知识清单
不等式证明的基本方法
二、知识讲解
1.不等式证明的基本方法
比较法
要证明一个不等式也可以如同进行实数大小比较一样，采用做差、变形、确定符号的方式进行，我们将这种方法称之为比较法（comparison method）．
分析法和综合法
从欲证的不等式出发，执“果”索“因”，层层推求使结论成立的充分条件，直至能够可定这些充分条件已经具备为止，进而断言原不等式式成立，我们把这种方法称之为分析法（analysis method）．从已知的基本不等式出发，利用不等式的基本性质导出欲证不等式，这种证明方法称为综合法（synthesis method）．所谓综合法就是由“因”导“果”，从题设条件出发，利用已知定义、公理、定理等逐步推进，证得所要求证的结论的方法．
反证法和放缩法
反证法（reduction to absurdtity）是先假设所要证的不等式不成立，也就是说不等式的反面成立，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出和已知条件或已知条件不等式相矛盾的结果，从而断定假设错误，因而确定要证的不等式成立．
放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎无处不在．它的依据是不等式的基本性质：”若，，则．“一般可考虑利用添项、舍项、已知不等式及函数的单调性等欲证不等式的左边或右边进行放大或缩小．
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a >b b >c
a >c。

第二讲 讲明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理． 答案：B2．已知a >2，b >2，则有( ) A ．ab ≥a ＋b B ．ab ≤a ＋b C ．ab >a ＋b D ．ab <a ＋b解析：作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12＝1. 答案：C3．用反证法证明命题“如果a <b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD ．3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 的大小关系包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b ， ∴应假设的内容为3a ＝3b 或3a <3b . 答案：D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 由题中两式相减，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案：A5．已知a >b >c >0，A ＝a 2a b 2b c 2c，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b，则A 与B 的大小关系是( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：∵a >b >c >0，∴A >0，B >0.∴A B ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a cb ＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c .∵a >b >0，∴a b>1，a －b >0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b >1. 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b cb －c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c >1.∴A B>1，∴A >B . 答案：A6．若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：∵y ＝3x在R 上是增函数，且0<x <y <1， ∴3x<3y，故A 错误．∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 3x <log 3y <log 3 1＝0，∴0>1log 3x >1log 3y ，∴log x 3>log y 3，故B 错误．∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 4x <log 4y ，故C 正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上是减函数，且0<x <y <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故D 错误． 答案：C7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是( )A ．a ，b ，c 全为正数B ．a ，b ，c 全为非负实数C ．a ＋b ＋c ≥0D ．a ＋b ＋c >0解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0.∴a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 答案：C8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．243解析：3a＋3b≥23a·3b＝2·3a ＋b＝2×3＝6(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．答案：B9．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 解析：3a －3b <3a －b⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b ⇔3ab 2<3a 2b ， ∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a . 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 答案：D10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.则ac ＋bd 的X 围为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,2) C ．(－1,3]D ．(1,2]解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数， 所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.所以－1≤ac ＋bd ≤1. 答案：A11．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则B 适合的条件是( ) A ．0<B ≤π4B ．0<B ≤π3C ．0<B ≤π2D ．π2<B <π解析：∵b ＝a ＋c2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2－2ac ＋3c 28ac＝3a 8c ＋3c 8a －14≥2·38－14＝12， ∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<B ≤π3，选B.答案：B12．若a ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|， Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M ，排除A 、B 、C ，故选D 项．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________． 解析：a －b ＝3－2－6＋5＝3＋5－(2＋6)， 而(3＋5)2＝8＋215，(2＋6)2＝8＋212， ∴3＋5>2＋ 6.∴a －b >0，即a >b . 同理可得b >c .∴a >b >c . 答案：a >b >c14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________． 解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．答案：三角形中至少有两个内角是钝角 15．已知a ，b ，c ，d 都为正数，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值X 围是________． 解析：由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 答案：(1,2)16. 请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①______________________________________________________________， 只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2， 即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②________________________________________________________________. 解析：对于①只有当ac ＋bd ≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可． 答案：①因为当ac ＋bd ≤0时，命题显然成立，所以当ac ＋bd ≥0时 ②∵(ab －bc )2≥0，∴a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴命题成立三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． 证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ；将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．18．(12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 19．(12分)已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．解析：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0. 又∵a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a ＋ba 2＋b 2a －b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 20．(12分)若0<a <2,0<b <2,0<c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a ，不能同时大于1. 证明：假设三数能同时大于1， 即(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1那么2－a＋b2≥2－a b>1，①同理2－b＋c2>1，②2－c＋a2>1，③由①＋②＋③得3>3，上式显然是错误的，∴该假设不成立，∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.21．(13分)求证：2(n＋1－1)<1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N＋)．证明：∵1k>2k＋k＋1＝2(k＋1－k)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n>2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)] ＝2(n＋1－1)．又1k<2k＋k－1＝2(k－k－1)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n<1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)] ＝1＋2(n－1)＝2n－1<2n.故原不等式成立．22．(13分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设＝a2n·b n，证明当n≥3时，＋1<.解析：(1)∵S n＝2n2＋2n，∴当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋2(n－1)，∴a n＝S n－S n－1＝4n(n≥2)．当n ＝1时，S 1＝4，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .又∵T n ＝2－b n ，∴当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n ＋b n －1－2， 即2b n ＝b n －1. ∴b n b n －1＝12. 而T 1＝b 1＝2－b 1，∴b 1＝1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)证明：由(1)，知＝(4n )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝16n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴＋1＝16(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴＋1＝16n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 16n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴＋1<12×(2)2＝1，又由＝a 2n ·b n 可知，＋1和均大于0， ∴＋1<.。

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2。

2分析法与综合法同步检测一、选择题1。

设a，b＞0,，，则A,B的大小关系是（）A。

A＝B B。

A＜B C。

A＞B D.大小不确定答案:C解析：【解答】用综合法:，所以.所以.又,，所以.【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是对所给关系式A,B两边平方作差比较即可.2。

下面对命题“函数是奇函数”的证明不是综合法的是A。

且x≠0有,则是奇函数B.且x≠0有，所以，则是奇函数C。

且x≠0，∵,∴，∴,则是奇函数D.取,，又,则是奇函数答案：D解析：【解答】D项中，选取特殊值进行证明，不是综合法。

【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据综合法的特征分析判断即可.3. 若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点,动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( ）A。

外心 B。

内心 C。

重心 D。

垂心答案：B解析：【解答】∵，∴。

∴AP是△ABC中∠BAC的内角平分线，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件平行四边形法则得到AP是△ABC中∠BAC的内角平分线,证明问题。

一 比较法1．理解作差比较法和作商比较法． 2．用比较法证明不等式．1．比较法的种类比较法一般分为两种：____________和____________． 2．作差比较法(1)作差比较法的证明依据：__________.(2)基本步骤：①______；②______；③__________；④________.用作差比较法证明不等式时，要判断不等式两边差的符号，对不等式两边求差后，要通过配方、因式分解、通分等，对所得代数式进行变形，得到一个能够明显看得出其符号的代数式，进而得出证明．【做一做1－1】 当a ＜b ＜0时，下列关系式中成立的是( )A.a 2＜b 2B ．lg b 2＜lg a2C.b a＞1D ．21()2a ＞21()2b【做一做1－2】 若P ＝2，Q ＝6－2，R ＝7－3，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＞Q ＞R B ．P ＞R ＞Q C ．Q ＞P ＞R D ．Q ＞R ＞P 3．作商比较法(1)作商比较法的证明依据：____________(2)基本步骤：①______；②______；③______________；④________. 【做一做2－1】 比较大小：log 34__________log 67. 【做一做2－2】 比较大小：121log 3________131log 2.答案：1．作差比较法 作商比较法2．(1) ①a <b ⇔a －b <0；②a ＝b ⇔a －b ＝0；③a >b ⇔a －b >0 (2)作差 变形 判断符号 下结论【做一做1－1】 B 方法1：取特殊值a ＝－4，b ＝－1，则知选项A ，C ，D 不正确，选项B 正确，故选B ；方法2：∵a ＜b ＜0，∴a 2＞b 2.而函数y ＝lg x (x ＞0)为增函数，∴lg b 2＜lg a 2，B 项正确．【做一做1－2】 A ∵2＋2＝22＞6，∴2＞6－2，即P ＞Q ； 又∵6＋3＞7＋2，∴6－2＞7－3，即Q ＞R .∴P ＞Q ＞R .3．(1)当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ⇔ab＝1；a >b ⇔ab >1；a <b ⇔a b <1.(2)作商 变形 判断与“1”的大小 下结论【做一做2－1】 ＞ 设log 34＝a ，log 67＝b ，则3a ＝4,6b ＝7，得7×3a ＝4×6b＝4×2b ×3b，即3a －b＝4×2b7，由log 67＝b 可知，b ＞1， 所以2b＞2，则3a －b＝4×2b7＞1，所以a －b ＞0，即a ＞b ，即log 3 4＞log 6 7.【做一做2－2】 ＞ 12131log 31log 2＝112211log log 33⋅＝2121(log )3，又∵121log 3＞121log 2＝1， ∴2121(log )3＞1. ∴121log 3＞131log 2.1．作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号． (4)结论：肯定不等式成立的结论．若差式的符号不能确定，且与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论． 2．作商比较法中的符号问题的确定 剖析：在作商比较法中，b a＞1b ＞a 是不正确的，这与a ，b 的符号有关，比如若a ，b ＞0，由b a ＞1，可得b ＞a ，但若a ，b ＜0，则由ba＞1得出的反而是b ＜a ，也就是说，在作商比较法中，要对a ，b 的符号作出判断．否则，结论将是错误的．对于此类问题，可分为含参数变量类的和大小固定的，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程．使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明．题型一 利用作差比较法证明不等式【例1】 已知a ≥1，求证：a ＋1－a ＜a －a －1.分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．反思：根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号．又因为a ≥1，所以不等式两边都大于0，故还可以用作商比较法进行证明．题型二 利用作商比较法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 分析：因为a ，b 均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．反思：作商比较法的前提条件是两个数a ，b 都大于0，对a b进行整理，直到能清晰看出ab与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧． 题型三 比较法在综合题目中的应用【例3】 已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n∈N ＋)． (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，求函数f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)，并比较2f ′(1)与23n 2－13n 的大小．分析：在比较大小时，作差法的差式与“n ”的取值有关，且大小关系随“n ”的变化而变化．反思：此类题是典型的结论不唯一的比较大小的问题．在数列中，大小问题可能会随“n ”变化而变化．往往n ＝1,2，…前几个自然数对应的值与后面n ≥n 0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论．答案：【例1】 证明：∵(a ＋1－a )－(a －a －1)＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1a ＋1＋a a ＋a －1＜0，∴a ＋1－a ＜a －a －1.【例2】 证明：∵a b ＋ba a ＋b＝ab a ＋b＋b aa ＋b＝a ab ＋b ＋bab ＋a＝a ab ＋a 2＋b ab ＋b 22ab ＋a ＋b ab ＝a 2＋b 2＋a ＋b ab 2ab ＋a ＋bab， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴a 2＋b 2＋a ＋b ab 2ab ＋a ＋b ab ≥2ab ＋a ＋b ab2ab ＋a ＋b ab＝1， 当且仅当a ＝b ＞0时取等号． ∴a b ＋ba≥a ＋b . 【例3】 (1)证明：由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，① ∴n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，② ①②两式相减，得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 1＋a 2＝2a 1＋6. 又a 1＝5，故a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)．故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋. 又∵a 1＝5，∴a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知a n ＝3×2n－1.∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1. 从而f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋ (2))]－n n ＋12＝3(n ×2n ＋1－2n ＋1＋2)－n n ＋12＝3(n －1)·2n ＋1－n n ＋12＋6.则2f ′(1)－(23n 2－13n )＝12(n －1)·2n －12(2n 2－n －1)＝12(n －1)·2n－12(n －1)(2n ＋1)＝12(n －1)[2n－(2n ＋1)]．(*) 当n ＝1时，(*)式＝0，∴2f ′(1)＝23n 2－13n ；当n ＝2时，(*)式＝－12＜0，∴2f ′(1)＜23n 2－13n ； 当n ≥3时，n －1＞0，又2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C nn ≥2n ＋2＞2n ＋1，∴(n －1)[2n－(2n ＋1)]＞0，即(*)式＞0，从而2f ′(1)＞23n 2－13n .1．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＜Q C ．P ＝Q D ．大小不确定 2．下列命题：①当b ＞0时，a ＞bab ＞1； ②当b ＞0时，a ＜b ab ＜1；③当a ＞0，b ＞0时，ab ＞1a ＞b ；④当ab ＞0时，ab＞1a ＞b .其中是真命题的为( )A ．①②③B ．①②④C ．④D ．①②③④3．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是__________．4．对于任意的实数x ，求证：x 2＋3＞2x .5．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列． (1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由．答案：1．A P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝321log 1a a a ++.当0＜a ＜1时，0＜a 3＋1＜a 2＋1，则0＜3211a a ++＜1，∴321log1aaa++＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，3211aa++＞1，∴321log1aaa++＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.2．A3．x3＞x2－x＋1 ∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，且x＞1，∴x－1＞0.又x2＋1＞0，∴x3－(x2－x＋1)＞0，即x3＞x2－x＋1.4．证明：∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，∴x2＋3＞2x.5．解：(1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0.∴q＝1或12 -.(2)若q＝1，则S n＝(1)22n nn-+＝232n n+＝(3)2n n+.当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝(1)(2)2n n-+＞0，故S n＞b n.若q＝12-，则S n＝(1)12()22n nn-+⋅-＝294n n-+＝(9)4n n--.当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝(1)(10)4n n---，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，S n＞b n；当n＝10时，S n＝b n；当n≥11时，S n＜b n.。

2.2 综合法与分析法[A 级 基础巩固]一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则()A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0.答案：A2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤2(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是()A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1， 所以0＜a ＜b ＜1，所以a aa b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b＜1，a ＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B二、填空题6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0， 所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12， 又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22， 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋1＞0，b ＋1＞0，所以[(a ＋1)(1＋b )]12≤a ＋1＋b ＋12＝a ＋b ＋22， 所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥lg[(1＋a )(1＋b )]12. 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≥8．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P ，Q ，R 按从大到小的排列顺序为________．解析：P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，2R ＝1a ＋1b ， 所以R ＝2ab a ＋b ≤Q ＝ab ≤P ＝a ＋b 2， 当且仅当a ＝b 时取等号．答案：P ≥Q ≥R三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a .证明：要证c －c 2－ab ＜a ，只需证明c ＜a ＋c 2－ab ，即证b －a ＜2c 2－ab ，当b －a ＜0时，显然成立；当b －a ≥0时，只需证明b 2＋a 2－2ab ＜4c 2－4ab ，即证(a ＋b )2＜4c 2，由2c ＞a ＋b 知上式成立．所以原不等式成立．10．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数．求证：aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. 证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m ，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )·(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0， 即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 是△ABC 的边长，m >0，故有a ＋b >c ，即(a ＋b －c )m 2>0.所以abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的．因此aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m 成立．B 级 能力提升1．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P 解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，所以a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，所以a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .答案：D2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n 的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小． 因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n .答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法综合检测 新人教A 版选修4-5(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且bc ＞ad ，则a b ，a ＋c b ＋d ，a ＋2c b ＋2d ，cd中最大的是( )A.a bB ．a ＋cb ＋d C.a ＋2cb ＋2dD ．c d【解析】 因为a ，b ，c ，d 均是正数且bc ＞ad ， 所以有c d ＞a b. ①又c d －a ＋c b ＋d ＝c b ＋d －a ＋c dd b ＋d＝bc －add b ＋d ＞0，∴c d ＞a ＋cb ＋d，②c d －a ＋2c b ＋2d ＝c b ＋2d －a ＋2c ·d d b ＋2d＝bc －add b ＋2d ＞0，∴c d ＞a ＋2cb ＋2d.③由①②③知c d最大，故选D. 【答案】 D2．(2013·商丘模拟)已知x ＞y ＞z ，且x ＋y ＋z ＝1，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．xy ＞yz B ．xz ＞yz C ．x |y |＞z |y |D ．xy ＞xz【解析】 法一 特殊化法：令x ＝2，y ＝0，z ＝－1，可排除A 、B 、C ，故选D. 法二 3z ＜x ＋y ＋z ＜3x ， ∴x ＞13＞z ，由x＞0，y＞z得xy＞xz.故D正确．【答案】 D3．对于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值( ) A．恒为正值B．恒为非负值C．恒为负值D．不确定【解析】依题意2b＞0，∴b＞0且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒为正值．【答案】 A4．已知数列{a n}的通项公式a n＝anbn＋1，其中a，b均为正数，那么a n与a n＋1的大小关系是( )A．a n＞a n＋1B．a n＜a n＋1C．a n＝a n＋1D．与n的取值有关【解析】a n＋1－a n＝a n＋1b n＋1＋1－anbn＋1＝abn＋b＋1bn＋1∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.∴a n＋1－a n＞0，因此a n＋1＞a n.【答案】 B5．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时，正确的反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】因为自然数a，b，c中可能有：全为奇数、二奇一偶、一奇二偶、全为偶数，共4种情况，故应选D.【答案】 D6．设a＝lg 2－lg 5，b＝e x(x＜0)，则a与b的大小关系是( )A．a＜b B．a＞bC．a＝b D．a≤b【解析】 a ＝lg 2－lg 5＝lg 25＜0.又x ＜0，知0＜e x＜1， 即0＜b ＜1， ∴a ＜b . 【答案】 A7．(2012·山东高考改编)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝( )A.23 B ．2 C ．6D ．2或6【解析】 ∵|kx －4|≤2， ∴－2≤kx －4≤2， ∴2≤kx ≤6，∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}， ∴k ＝2. 【答案】 B8．设a ＝x 4＋y 4，b ＝x 3y ＋xy 3，c ＝2x 2y 2(x ，y ∈R ＋)，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 最大 B ．b 最小C ．c 最小D ．a ，b ，c 可以相等【解析】 因为b ＝x 3y ＋xy 3≥2x 3y ·xy 3＝2x 2y 2＝c ，故B 错，应选B. 【答案】 B9．要使3a －3b ＜3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 【解析】3a －3b ＜3a －b ⇔(3a －3b )3＜a －b .⇔33ab 2＜33a 2b ⇔ab (a －b )＞0. 当ab ＞0时，a ＞b ；当ab ＜0时，a ＜b . 【答案】 D10．已知x ＝a ＋1a －2(a ＞2)，y ＝(12)b 2－2(b ＜0)，则x ，y 之间的大小关系是 ( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ＝yD ．不能确定【解析】 因为x ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a ＞2)． 又b 2－2＞－2(b ＜0)， 即y ＝(12)b 2－2＜(12)－2＝4，所以x ＞y . 【答案】 A11．(2013·开封模拟)已知a 、b 为非零实数，则使不等式a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＞0，b ＜0【解析】 因ab ＜0⇔a b ＋b a≤－2，∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a≤－2的充分不必要条件． 【答案】 D12．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 适合的条件是( )A ．0＜B ≤π4B ．0＜B ≤π3C ．0＜B ≤π2D ．π2＜B ＜π【解析】 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－a ＋c242ac，＝3a 2＋c 2－2ac8ac＝3a 2＋c 28ac －14≥12.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．∴cos B 的最小值为12.又y ＝cos B ，在(0，π2)上是减函数，∴0＜B ≤π3.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________． 【解析】 “三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”故应填三角形中至少有两个内角是钝角．【答案】 三角形中至少有两个内角是钝角14．已知a ，b ∈R ＋，则x ＝a b b a，y ＝a a b b的大小关系是________．【解析】 x y ＝a b b a a a b b ＝a b －a ·b a －b ＝(a b)b －a，若a ≥b ，则a b ≥1，而b －a ≤0，∴x y ≤1. 若a ＜b ，则a b＜1，而b －a ＞0，∴x y＜1. 综上，y ≥x . 【答案】 y ≥x15．用分析法证明：若a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＞ab.完成下列证明过程． ∵b ＋m ＞0，b ＞0，∴要证原不等式成立，只需证明b (a ＋m )＞a (b ＋m )，即只需证明________． ∵m ＞0，∴只需证明b ＞a ， 由已知显然成立．∴原不等式成立．【解析】 b (a ＋m )＞a (b ＋m )与bm ＞am 等价， 因此欲证b (a ＋m )＞a (b ＋m )成立， 只需证明bm ＞am 即可． 【答案】 bm ＞am16．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值范围是________．【解析】 由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d ＜a a ＋b ＋c ＜aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d ＜b b ＋c ＋d ＜bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d ＜c c ＋d ＋a ＜cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d ＜d d ＋a ＋b ＜dd ＋b.以上四个不等式相加， 得1＜S ＜2. 【答案】 (1,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若q ＞0且q ≠1，m ，n ∈N *，比较1＋q m ＋n与q m ＋q n的大小．【解】 1＋qm ＋n－q m －q n ＝q m (q n －1)－(q n－1)＝(q n－1)(q m －1)，①当0＜q ＜1时，q n＜1，q m＜1. ②当q ＞1时，q n＞1，q m＞1. ∴(q n－1)(q m－1)＞0， 故1＋qm ＋n ＞q m ＋q n.18．(本小题满分12分)已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b .【证明】 ∵a ＞0，b ＞0， ∴(1a ＋4b )(a ＋b )＝5＋4a b ＋b a≥5＋24ab·b a＝9.由a ＋b ＞0，得1a ＋4b ≥9a ＋b.19．(本小题满分12分)设a ，b ，c 是不全相等的正实数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 法一 要证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c只需证：lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)＞lg(abc )只需证：a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc∵a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ca ＞0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc ＞0成立．∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴上式中等号不成立． ∴原不等式成立．法二 ∵a ，b ，c ∈{正实数}， ∴a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ca ＞0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc ， ∴lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)＞lg(abc )，即lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .20．(本小题满分12分)若0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1.【证明】 假设三数能同时大于1， 即(2－a )b ＞1，(2－b )c ＞1，(2－c )a ＞1. 那么2－a ＋b2≥2－a b ＞1，同理2－b ＋c2＞1， 2－c ＋a2＞1 三式相加2－a ＋b ＋2－b ＋c ＋2－c ＋a2＞3，即3＞3.上式显然是错误的， ∴该假设不成立．∴(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时都大于1. 21．(本小题满分12分)求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N ＋)．【证明】 ∵1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，k ∈N ＋， ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )] ＝2(n ＋1－1)． 又1k ＝22k ＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，k ∈N ＋， ∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)] ＝1＋2(n －1)＝2n －1＜2n . ∴2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)等差数列{a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n .等比数列{b n }中，b 1＝1，且b 2S 2＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜34.【解】 (1)设{a n }的公差为d (d ∈N )，{b n }的公比为q ，则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝qn －1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd －1q3＋n －1d －1＝q d ＝64， ①S 2b 2＝6＋d q ＝64. ②由①知，q ＝641d ＝26d③由②知，q 为正有理数．所以d 为6的因子1,2,3,6中之一 因此由②③知d ＝2，q ＝8 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2) 则1S n ＝1nn ＋2＝12(1n －1n ＋2) ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2)＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)＜12×32＝34.。