第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。

22,x y +x x 2t te2111))[n n s s s s s14解：（简要过程）（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

的值。

将f(x)二阶泰勒展开二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2f f x f f x x x =++因为二阶倒数大于0，所以，所以lim ()x f x ®+¥=+¥，lim ()x f x ®-¥=-¥证明完成。

证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t y ì=+>-í=î所确定，其中()t y 具有二阶导数，曲线()y t y =与22132t u y e du e -=+ò在1t =出相切，求函数()t y 。

解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t y =与22132t u y e du e-=+ò在1t =出相切得出相切得3(1)2ey =，'2(1)e y ='//()22dy dy dt dx dx dt t ty ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t y y ==++-=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=å证明：证明：（1）当1a >时，级数1nn na S a +¥=å收敛；收敛； （2）当1a £且()ns n ®¥®¥时，级数1nn na S a +¥=å发散。

专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.(1) 求极限121lim(1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算2∑⎰⎰∑为下半球面z =0a >.(3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭内满足331()sin cos f x x x '=+，求()f x .二、（10分）求下列极限(1)1lim1nnn en→∞⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111lim3nn n nna b c→∞⎛⎫++⎪⎪⎪⎝⎭, 其中0,0,0a b c>>>三、（10分）设()f x在1x=点附近有定义，且在1x=点可导，(1)0,(1)2f f'==. 求22(sin cos)limtanxf x xx x x→++.专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：四、（10分）设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分()f x dx ∞⎰收敛.求 01lim ()yy xf x dx y →+∞⎰.五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 证明：(1) 存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+.六、（14分）设1n >为整数，20()1...1!2!!nxt t t tF x e dt n -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰.证明: 方程()2n F x =在,2n n ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个根.专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：.七、（12分）是否存在11R 中的可微函数()f x 使得2435(())1f f x x x x x =++--？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明..八、(12分)设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞，当自然数n →∞时()0f x n +→. 证明: 函数序列{():1,2,...}f x n n +=在[0,1]上一致收敛于0.。

第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)(150分钟)一、(25分，每小题5分)(1)设£ = (1 +。

)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求limxn->xi、L(2)求lime"A 1+— o"I x)(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j oJo（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一\r）⑸求直线述了。

与直线A字二宁弓的距离。

解：(1) £=(1 +。

)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。

)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x⑵lim厂A->X 1+丄I X)f 1 2lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = limeA->X .V->X令x=l/t,则UnU+f)-f)原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO(3)/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。

答案好像是二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且f\x） > 0, lim f\x） = a > 0, lun f\x） = 0 v 0,且存在一点x0,使得/（x0） < 0。

A->-X证明：方程/(x) = 0在(YO、*O)恰有两个实根。

解：(简要过程) 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边 找两大于0的值。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2010年数学竞赛试题评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1. 16-；2. 21y x x =-++； 3. 41π-； 4.()212,xxdx f x y dy ⎰⎰；5. 2222sin cos(sin );x x ⋅ 6. ()222xy x x y ee ----+； 7. ()0,12dzdx dy =--；8.13； 9. 23-； 10. 0.二、选择题（每小题3分，共30分）1. D;2. B;3. C;4. C;5. C;6. A;7. A;8. B;9. C; 10. C.三、解答题（每小题10分，共70分） 1. 解(2limsin n →∞=()2limsin n n π→∞3分=2lim sin n n π→∞⎛ ⎪⎪⎝⎭3分 =2sin2π3分=1 1分 2. 解 令ln x t =，则()()ln 1t te f t e +=, 2分()f x dx ⎰=()ln 1x xe dx e+⎰=()ln 1xxe de--+⎰2分=()ln 11x xxxxe e e e dx e--⋅-+++⎰ 2分 =()1ln 11x xxxxe e e e dx e -+--+++⎰2分 =()()ln 1ln 1xx x ee x e C --++-++. 2分第一页3. 解 令u t x =-，则()212x xx f u du e --=-+-⎰, 2分()()()1,,x x f x x e f x x e ---⋅-=--=- 1分 ()100x f x e x '=-=⇒=, 1分又 0(0)0,f e ''=-< 1分 ∴0x =为()f x 的极大值点，极大值为()01f =-. 2分又 ()lim lim 11,x x x f x e x x →-∞→-∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ()l i m l i m 0x xx x x e x e →-∞→-∞--=-=，∴y x =为其斜渐近线，无水平和垂直渐近线. 3分4. 解 利用微分形式不变性, 在()u u ϕ=+()xyp t dt ⎰两边求微分，得()()()du u du p x dx p y dy ϕ'=+-, 2分故 ()()()()11p x p y du dx dy u u ϕϕ=-''--, 1分从而 ()dz f u du '==()()()()()()11f u p x f u p y dx dy u u ϕϕ''-''--, 2分于是 ()()()1f u p x z x u ϕ'∂='∂-, 2分z y∂∂()()()1f u p y u ϕ'-='-. 2分故 ()()0.z zp y p x x y∂∂+=∂∂ 1分 5. 解13,xuf f xϕ∂'''=+⋅∂ 4分22ux ∂∂()2111331333x x xx x f f f ff ϕϕϕϕ'''''''''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ 3分()211133332x x x x f f f f ϕϕϕ''''''''''''=+⋅+⋅+⋅ 3分6. 解 ()2221,y yDyM x y d dx x yρσ==+⎰⎰⎰3分 第二页21x yx dy y=3分=1arctan 4y dy π⎫-⎪⎝⎭ 2分1ln 2122=- 2分 7. 解 添加直线段AO =0y ：, 2分原式OA AOAO+=-⎰⎰1分()D0x e y dxdy =---⎰⎰ 3分=sin 0xx dx e ydy π⎰⎰2分()115e π=- 2分 四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明 ()f x 在0x =的某个邻域(0)U 内具有二阶连续导数，且()0lim0x f x x→=，∴ ()00f =，从而()00f '=. 3分当n 充分大时，使得1n在0x =的这个邻域(0)U 内，故由Taylor 公式有 ()()()()2211111100,0,2!2f f f f f n n n n n ξξξ⎛⎫⎛⎫'''''=++⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3分又 ()f x 在邻域(0)U 内具有二阶连续导数，∴∃常数0M >，使得()f M ξ''≤, 2分∴ 212Mf n n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 2分2. 证明 用先二后一法计算左边的三重积分，得()Df z dv ⎰⎰⎰()11zD dz f z dxdy -=⎰⎰⎰ 4分()()1211f z z dz π-=-⎰ 4分 ()()1211f u u du π-=-⎰. 2分第三页。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。