第三章 三角函数(无附答案)人教版

第三章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .[试一试]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________. [练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 角的集合表示及象限角的判定1.①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅3．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．扇形的弧长及面积公式[典例] (1)，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [试一试]1．(2013·全国大纲卷)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513D.12132．(2013·洛阳统考)cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝( ) A.12B.32 C ．－12D ．－321．诱导公式的应用原则负化正，大化小，化到锐角为终了． 2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….[练一练]1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π32．(2013·芜湖调研)若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12三角函数的诱导公式1.已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}2．sin 600°＋tan 240°的值等于________．3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝________. 4.tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos(－α－3π)sin (－3π－α)＝________.[类题通法]诱导公式应用的步骤提醒：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．[典例] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[类题通法]1．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[针对训练]已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.诱导公式在三角形中的应用[典例] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[类题通法]1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． [针对训练]在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．第三节 三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [试一试]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈RB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π1．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．[练一练]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0三角函数的定义域与值域1.函数f (x )＝3sin ⎝⎭⎫2x －π6在区间⎣⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，32．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．3．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．三角函数的单调性[典例] (1) y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x .[类题通法] 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[针对训练]1．(2013·安徽师大附中3月月考)设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx 2cos ωx2在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．[1，＋∞)2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为________．正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对A ．是奇函数且图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图像关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图像关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图像关于直线x ＝π对称角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(1)(2013·哈尔滨二模)若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1(2)(2014·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1角度三 三角函数对称性的应用3.(2013·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34[类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通 过检验f (x 0)的值进行判断．第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．21．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种方法2．学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．[练一练]1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位2．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.的解析式1.(2013·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π32．(2014·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 [类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.的图像[典例] 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？[类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．(2)图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同．[针对训练]1．(2013·全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. 2．(2014·合肥模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像． 的图像与性质的综合应用[典例] (2013·安徽望江中学模拟)如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点,MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．[针对训练](2013·安徽江南十校联考)将函数y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B.22 C.32D ．12．(2013·江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13D.231．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝(α＋β)－β； β＝α＋β2－α－β2； α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β.[练一练]1．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141D ．1 2．(2013·全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16B.13C.12D.23三角函数公式的基本应用1.已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.2．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．[类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．三角函数公式的逆用与变形应用＝tan A ＋tan B C 的值是( )A ．－22 B .22 C.12D ．－12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B.12C.32D ．－32[针对训练]1．(2014·赣州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B .35 C.32D.352．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．角的变换[典例] (2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．[1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧． [针对训练]1．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.162．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．第六节 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1.化简：sin 2α－2cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[类题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．三角函数式的求值角度一 1．(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.角度二 给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.角度三 给值求角3．已知α，β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，求2α＋β.[类题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．三角恒等变换的综合应用[典例] (2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．[针对训练](2014·安徽示范高中联考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图像，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[试一试]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36 C.63D.662．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1．把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .[练一练]1．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．23C ．4 3D. 32．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.利用正弦、余弦定理解三角形[典例] (2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[类题通法]1．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[针对训练](2014·豫东、豫北十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点(a ，b )在直线4x cos B －y cos C ＝c cos B 上．(1)求cos B 的值；(2)若BA ·BC ＝3，b ＝32，求a 和c .利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[典例]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B ＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[典例]，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sin B＝3 3.(1)求cos A及sin C的值；(2)若b＝2，求△ABC的面积．[类题通法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．[针对训练]在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫C －π4＝22. (1)求角C 的大小；(2)若c ＝23且sin A ＝2sin B ，求△ABC 的面积．第八节正弦定理和余弦定理的应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[试一试]若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°[练一练]如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式S 2α，C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π2＋π4(k ∈Z )时才成立．(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等等都是适用的． 【做一做1－1】 已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75B.125C.1225D.2425【做一做1－2】 已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79 【做一做1－3】 已知tan α＝3，则tan 2α等于( )A ．6B ．－34C ．－38 D.98答案：2sin αcos α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α【做一做1－1】 D sin 2α＝2sin αcos α＝2425.【做一做1－2】 C cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.【做一做1－3】 B tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用：2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝12sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝cos 2α； 2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)公式的有关变形： 1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22； 1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22； 1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.题型一 利用二倍角公式求值 【例1】 求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12.分析：第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出cos π5，cos 2π5，cos π8，tan π12的值，则会使问题复杂化．题型二 知值求值【例2】 已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 分析：利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α，进而求出tan 2α的值．反思：已知α的某个三角函数值，求sin 2α，cos 2α，tan 2α值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α的其他三角函数值；(2)代入S 2α，C 2α，T 2α计算即可．题型三 二倍角公式在三角形中的应用【例3】 在△ABC 中，cos B ＝35，tan C ＝12，求tan(B ＋2C )的值．分析：求出tan B 和tan 2C 的值，再用和角的正切公式求值．反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，π)．本题若忽视这一点，则易错得sin B ＝±45.题型四 易错辨析【例4】 化简2－2＋2＋2cos α(3π＜α＜4π)． 错解：原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2－2cos α4＝4sin 2α8＝2sin α8.错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．反思：利用二倍角公式化简1±cos α时，由于1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，则1＋cos α＝2⎪⎪⎪cos α2，1－cos α＝2⎪⎪⎪sin α2，要根据α2所在象限确定sin α2，cos α2的符号，从而去掉绝对值符号．答案：【例1】 解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2×1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.【例2】 解：∵sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－120169×169119＝－120119.【例3】 解：∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴tan B ＝sin B cos B ＝43.又tan 2C ＝2tan C1－tan 2C＝2×121－14＝43， ∴tan(B ＋2C )＝tan B ＋tan 2C1－tan B tan 2C＝43＋431－43×43＝－247.【例4】 正解：因为3π＜α＜4π，所以3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8＜π2，则cos α2＞0，cos α4＜0，cos α8＞0. 所以原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2＋2cos α4＝4cos 2α8＝2cos α8.1．12－sin215°的值是( )2．已知α为第二象限角，且sin α＝13，则sin 2α＝__________. 3．2πtan8π1tan 8-＝__________.4．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin 2A ＝__________. 5．已知cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．答案：1．D原式＝12－1cos(215)2-⨯︒＝cos302︒＝4.2．9-由于α为第二象限角，则cos α＝3-，则sin 2α＝2sinαcos α＝9 -.3.12原式＝12×2π2tan8π1tan8-＝1πtan228⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝1πtan24＝12.4.120169∵0＜A＜π，∴sin A1213.∴sin 2A＝2sin A cos A＝120 169.5．解：∵cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝＝513-.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513⎛⎫- ⎪⎝⎭×1213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝120169，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2513⎛⎫- ⎪⎝⎭＝119169，tan 2α＝sin2cos2αα＝120119.。

第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1。

能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．2．余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)（2）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。

(×) (3）y＝sin｜x｜是偶函数．(√）(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x（x∈R）的一个周期．（×）解析：根据三角函数的图象与性质知（1)(2）（4)是错误的，(3）是正确的．2．小题热身(1）函数y＝tan3x的定义域为（D）A。

第三章三角函数、解三角形错误!错误!错误!1。

了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为______、______和______从终边位置来看可分为________和轴线角α与β角的终边相同β＝______________（或α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°,k∈Z1．若α是第二象限角，β是第三象限角,则角α，β的大小关系是________．解析:角α可以大于角β，也可以小于角β，但是不能等于角β.答案：不确定2．终边在直线y＝x上的角的集合是________．解析：终边在直线y＝x上，且在[0°,360°）内的角为45°，225°，写出与其终边相同的的角的集合,整合即得．答案:｛α|α＝k·180°＋45°，k∈Z｝知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中:分类定义(公式）1弧度的角把长度等于______长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad表示角α的弧度数公式｜α｜＝______(弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°＝______ rad②1 rad＝________弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝__________答案半径错误!错误!错误!°r｜α| 错误!lr错误!r2｜α｜3．（必修④P10习题1.1A组第10题改编）单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（)A．10π B．9πC。

910π D。

错误!π解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×错误!＝错误!π，由弧度数的定义得109π＝lr，所以l＝109π。

答案：D4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r,弧长为l,则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1。

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。

了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。

第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。

3.3 二倍角的三角函数(一)知识点1 二倍角公式 1． sin 2α＝2sin_αcos_α.2． cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3． tan 2α＝2tan α1－tan 2α.知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°.【训练1】 求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( )A.15 B ．－15 C ．－75D.75(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425 D.725【迁移1】 若(1)中α∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π4，求sin α＋cos α的值．【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值．题型三 三角函数式的化简或证明【例3】 化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.【训练2】 化简下列各式：(1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°； (3)11－tan θ－11＋tan θ.课堂达标1．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12D.322．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29D.793．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________.5．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.基础过关1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．12．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－2473．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.234．2sin 222.5°－1＝________.5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.6．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin 2α的值．7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 能力提升8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459D ．－2599．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833 C ．4D ．810．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f⎝⎛⎭⎫x －π6＝65，求cos x 的值．。

第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数◆考纲·了然于胸◆ 1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[要点梳理]1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)：角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角。

负角：按照顺时针方向旋转而成的角。

零角：射线没有旋转.(2)象限角与轴线角：(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }． 质疑探究1：(1)第二象限角一定是钝角吗？(2)终边相同的角一定相等吗？提示：(1)钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角；(2)终边相同的角不一定相等． 2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式(3)规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .质疑探究[小题查验]1．－870°角的终边在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．(2016·龙岩质检)已知α为第二象限角，sin α＝45，则tan α的值为( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－433．(2016·洛阳一模)已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B,3cos A －1)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 5．给出下列命题：①三角形的内角必是第一、二象限角．②第一象限角必是锐角．③不相等的角终边一定不相同．④若β＝α＋k ·720°(k ∈Z )，则α和β终边相同．⑤点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限． 其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)考点一 象限角及终边相同的角(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 2．表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．3．已知角α终边所在的象限，求2α、α2、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、α2、π－α等的范围，再根据范围确定象限．[题组集训]1．若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为________．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 3．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为______________________．4．如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是____________，角2α的终边所在位置是________，角α3终边所在的位置是________．考点二 三角函数的定义(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求sin α的值． [发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求sin α的值．[发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 活学活用 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三 三角函数线、三角函数值的符号(重点型考点——师生共研) 【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 (2)已知cos α≤－12，则角α的集合为________．【名师说“法”】(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．跟踪训练(1)y＝sin x－32的定义域为____________．(2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第________象限．考点四扇形的弧长、面积公式的应用(深化型考点——引申发散)【例3】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．[发散1]去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[发散2]若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．[发散3]若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．易错警示3错用三角函数的定义(2016·天津模拟)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.成功破障已知角α的终边经过点P(－3，m)，且sin α＝34m(m≠0)，则tan α的值为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．【失误与防范】1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．课时活页作业(十七)[基础训练组]1．(2016·南平质检)喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是() A．30°B．－30°C．60°D－60°2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>03．(2016·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )满足f (sin α＋cos α)＝sin α cos α，则f (0)＝( )A ．－12B ．0 C.12 D ．14．(2016·潍坊模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) 5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，126．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 7．已知角β的终边在直线y ＝3x 上，则sin β＝________.8．(2016·玉溪模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[能力提升组]11．(2016·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称12．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－313．(2016·太原模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 14．(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 15．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2 sin α2 cos α2的符号．第2节 同角三角函数基本关系及诱导公式◆考纲·了然于胸◆1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[要点梳理]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系31．给出下列命题：①sin 2θ＋cos 2φ＝1.②同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．③六组诱导公式中的角α可以是任意角． ④诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关． ⑤若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.其中正确的是( )A ．①③B ．④C ．②⑤D ．④⑤2．(2015·高考福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.324．若cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，则tan α＝________.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2 α的值是________．考点一 同角三角函数关系式的应用(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求sin α＋cos α的值．[发散2] 保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．[发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，求tan α的值．[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 考点二 三角函数的诱导公式的应用(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)给角求值的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π4之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：(2)给值求值的原则：寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现π2的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系，然后求解．常见的互余与互补关系①常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题．[题组集训]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 2．已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.3．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos (3π2＋α)－sin 2(π2＋α)(1＋2sin α≠0)，则f (－23π6)＝________.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.考点三 同角关系式、诱导公式在三角形中的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 在△ABC 中，若sin(3π－A )＝2sin(π－B )，cos(3π2－A )＝2cos(π－B )．试判断三角形的形状．【名师说“法”】(1)在△ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.(2)求角时，一般先求出该角的某一个三角函数值，如正弦值，余弦值或正切值，再确定该角的范围，最后求角． 跟踪训练在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．思想方法11 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例 化简：sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．即时突破 已知A ＝sin (kπ＋α)sin α＋cos (kπ＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[课堂小结]【方法与技巧】同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ(1＋1tan 2θ)＝tan π4＝….【失误与防范】利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．课时活页作业(十八)[基础训练组]1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．(2016·济南质检)α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－353．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．(2016·皖北模拟)若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－455．(2016·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.136．(2016·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．7．(2015·辽宁五校第二次联考)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈(3π2，2π)，则tan x ＝________.8．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是________．9．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.10．设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ.(1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ； (2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值．[能力提升组]11．(2016·厦门模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( )A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 212．(2016·太原二模)已知sin α＋cos α＝2，α∈(－π2，π2)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1 13．(2016·海淀模拟)已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．014．(2016·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 15．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tanB.第3节 三角函数的图象与性质◆考纲·了然于胸◆1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．[要点梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝cos x 在第一象限内是减函数B ．函数y ＝tan x 在定义域内是增函数C ．函数y ＝sin x cos x 是R 上的奇函数D ．所有周期函数都有最小正周期2．(2015·新课标卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZC ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z3．(2016·三明模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0 4．函数y ＝tan (2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．5．(2015·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是__．考点一 三角函数的定义域、值域问题(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[题组集训]1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．2．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为________．3．当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性(重点型考点——师生共研) 【例】 (1) y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为________．(2)(2016·洛阳模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间[－π2，2π3] 上是增函数，则ω的取值范围是________．互动探究 在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 【名师说“法”】求三角函数单调区间的两种方法](1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．提醒：]求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 跟踪训练(1)y ＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用． 角度一 三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2(π4＋x )＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数2．(2016·长沙一模)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．角度二 求三角函数的对称轴或对称中心3．(2016·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称角度三 三角函数对称性的应用 4．(2016·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.345．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.[通关锦囊](1)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义；②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；③利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． (2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心．②若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．③若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[题组集训]1．(2016·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π32．(2016·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是(π8，0)，则f (x )的最小正周期是________．易错警示4 三角函数单调性忽视x 的系数致错 典例 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间为________．提醒：](1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．即时突破 函数y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 【失误与防范】1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．课时活页作业(十九)[基础训练组]1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．[－π6，π6] B ．[k π－π6，k π＋π6]，k ∈Z C ．[2k π－π6，2k π＋π6]，k ∈Z D ．R2．(2016·南昌联考)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π23．(2016·广州测试)若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 4．(2016·九江模拟)下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移|m |个单位，若所得的图象关于直线x ＝π6对称，则|m |的最小值为( )A.π3 B.π6 C ．0 D.π126．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．7．(2016·大庆模拟)若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是2，则ω＝________.8．(2016·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．9．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，求f (x )的值域． 10．设函数f (x )＝sin(πx 3－π6)－2cos 2πx6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[能力提升组]11．(2014·课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④ B ．①③④ C ．①②③ D ．①③12．(2016·济南调研)已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]13．(2016·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f (x ＋π3)为( )A ．奇函数且在(0，π4)上单调递增B ．偶函数且在(0，π2)上单调递增C ．偶函数且在(0，π2)上单调递减D ．奇函数且在(0，π4)上单调递减14．(2015·安阳模拟)已知函数y ＝A cos(π2x ＋φ)(A >0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为________． 15．(2016·荆门调研)已知函数f (x )＝a (2cos 2x 2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．第4节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用◆考纲·了然于胸◆1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．[要点梳理]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.2.函数y3．图象的对称性:函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．[小题查验]1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．(2015·高考山东卷)要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．44．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.5．把函数y ＝sin(5x －π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．考点一 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(基础型考点——自主练透)确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[题组集训]1．(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }2．(2016·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6) B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2 C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋23．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．2＋3 B.3 C.33D ．2－ 3 考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(题点多变型考点——全面发掘)【例1】 (2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.[发散1] 将本例变为：由函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到y ＝2sin(2x －π3)的图象？[发散2] 将本例中函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为． [发散3] 将本例变为：若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．[类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[提醒] ]平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点三 三角函数模型的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 (2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【名师说“法”】本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质． 跟踪训练如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．规范答题3 三角函数图象与性质的综合问题典例 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos (x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．即时突破 (2016·湖北八校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π6，π4]上的值域．[课堂小结]【方法与技巧】1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离) 【失误与防范】1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x 前面的系数提出来． 2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．课时活页作业(二十)[基础训练组]1．(2016·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π22．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2]3．(2016·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．(2016·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32。

3．2 三角函数的定义域与值域例1．求下列函数的定义域 （1）x x y 2cos 2sin 33--=；（2）)21(cos log sin +=x y x . 例2．求下列函数的定义域（1）x x y cos lg 252+-=；（2）).0)(cos sin 3|cos |2lg(π<≤--=x x x x y 例3．求下列函数的值域 （1）4sin 5cos 22-+=x x y ； （2）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 5+-=；（3）2sin 31sin 3++=x x y ；（4）)4(tan 1)4(tan 122x x y -+--=ππ； 例4．求下列函数的值域 （1）)2sin 5sin 2(log 2-+-=x x y a ；（2）x x y cos )6sin(π-=.【备用题】求函数x xx xy 2sin cos sin 12sin +--=的值域.【基础训练】1．在坐标系中，分别画出满足不等式的角x 的区域，并写出不等式的解集：（1）∈-<x x ,21sin _____________.（2）∈>x x ,21cos ______________. （3）∈->x x ,1tan ______________.（4）∈>x x ,3cot _____________.2．（1）1tan 1-=x y 的定义域为________________.（2）xx y cot tan 1-=的定义域为________________.3．.____________3)1sin 2(_,__________1cos 22的值域为的值域为+-=-=x y x y 4．4|cos sin 3|--=x x y 的值域为___________，2cos 1cos 4+-=x x y 的值域为_____________.5．当x x x x sin ,cot ,cos ,40时π<<从小到大排列为_____________.【拓展练习】1．若αααα则,11sec csc cos 2-=-⋅所在的象限是 （ ）A ．第二象限B ．第四象限C ．第二象限或第四象限D ．第一或第三象限 2．若θ为锐角，则θθcos sin +的取值范围是 （ ）A ．]2,1(B ．]2,1[C ．]2,0[D ．]2,2[- 3．α在第三、四象限，m mm 则,432sin --=α的取值范围是（ ）A ．（－1，0）B ．（－1,21）C ．（－1,23）D ．（－1，1） 4．函数||sin |sin |x x y +=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，2]D ．[0，1]5．（1）已知)(cos ),23,21()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.（2）设)(,cos )1sin 2(2x f x x f 则=-的定义域为_____________. 6．xy sin 21+=的值域为___________，)cos(sin x y =的值域为___________，1cot 4tan 22++=x y 的值域为_____________.7．求下列函数的定义域 （1）.251sin 2xx y -+=（2）.3sin 2lg(cos 21++=x x y8．求下列函数的定义域（1）).cot tan 2lg(cos sin 2x x x x y +++= （2）).2sin(cos lg x y =9．求下列函数的值域（1）).1sin 2)(1cos 2(22++=x x y（2）.sin 1cos sin 22xxx y +=10．求下列函数的值域（1）].,[2sin 21cos sin 1ππ-∈+++=x xx x y（2）.cos cos 3x x y -=11．求下列函数的值域（1）.csc 2sec 22x x y +=（2）).80sin(5)20sin(3οο+++=x x y12．求).2|(|sin )cos 2(22≤+-=m m y 的最小值θθ。

第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( A ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4〖解析〗 由图象(图象略)知T ＝π.2．已知直线y ＝m (0<m <2)与函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A (1，m )，B (5，m )，C (7，m )，则ω＝( A )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π6〖解析〗 由题意，得函数f (x )的相邻的两条对称轴分别为x ＝1＋52＝3，x ＝5＋72＝6，故函数的周期为2×(6－3)＝2πω，得ω＝π3，故选A. 3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R )，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数〖解析〗 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．故选B.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为〖a ，b 〗，则b －a 的值是( B ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3〖解析〗 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为〖－2,1〗，所以b －a ＝3.5．(2021·河北邢台模拟)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 〖解析〗 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( B ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称〖解析〗 ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴函数f (x )图象的对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z .故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，故选B.二、多选题7．关于函数f (x )＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ACD ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数 C ．f (x )有零点D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 〖解析〗 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性及零点．函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；根据周期函数的定义，可知函数f (x )一定不是周期函数，故B 错误；因为f (0)＝0，所以函数f (x )有零点，故C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝x 与y ＝sin x 均为增函数，所以函数f (x )也为增函数，故D 正确． 8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称〖解析〗 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π6－π3＝－32，所以函数f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确．综上选B 、C.三、填空题9．若y ＝cos x 在区间〖－π，α〗上为增函数，则实数α的取值范围是 －π<α≤0 . 10．(2021·云南昆明高三调研测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 π .〖解析〗 函数f (x )的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f (x )的最小正周期，又函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期为π，故f (x )的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 11．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2部分图象如图所示，若x 1，x 2∈〖a ，b 〗且x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，满足f (x 1＋x 2)＝1，则φ＝ π6 ，此时y ＝f (x )的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ) .〖解析〗 因为f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且f (a )＝f (b )＝0，故可得b －a ＝π2，因为f (x 1＋x 2)＝1，故可得2sin 〖2(x 1＋x 2)＋φ〗＝1，则可得2(x 1＋x 2)＋φ＝5π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，故可得2sin 〖(x 1＋x 2)＋φ〗＝2，则可得(x 1＋x 2)＋φ＝π2，解得φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，故可得x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．故答案为：π6；⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 〖解析〗 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．∴单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 四、解答题13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．〖解析〗 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 14．(2021·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最小值1，求a 的值． 〖解析〗 (1)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1．(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )最大值为3C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )最大值为4〖解析〗 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( B )A ．2B ．1C ．4D ．12〖解析〗 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.3．(2021·常德模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，则θ的一个值为( D )A ．－π3B ．－π6C ．2π3D ．5π6〖解析〗 由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为函数f (x )为奇函数，所以θ＋π6＝k π(k ∈Z )，故θ＝－π6＋k π(k ∈Z )．当θ＝－π6时，f (x )＝2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为增函数，不合题意．当θ＝5π6时，f (x )＝－2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.4．如果函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A ．〖－6,0)B ．〖－4,0)C ．(0,4〗D ．(0,6〗〖解析〗 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω<0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增， 则⎩⎨⎧ω<0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω<0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin(－6x )＝－12sin 6x 在⎣⎡⎦⎤－π8，－π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π12，π12上单调递减，排除选项A.故选B.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间； (3)求x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域． 〖解析〗 (1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)． y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22， 故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22.。

3.2.3 诱导公式(二)[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．[知识链接]1．2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．2．在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有 sin α＝ac ，cos α＝b c，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝b c ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ac .根据上述结论，你有什么猜想？ 答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.3．若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？答 角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称．[预习导引] 1．诱导公式五～六 (1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.(2)公式六：tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π2，k ∈Z ；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π2，k ∈Z .2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.要点一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos (π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角．则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 规律方法 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪演练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α的值．解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.要点二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－απ－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同． 跟踪演练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝π＋θ＋1π＋θ－1. 证明 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝π＋θ＋1π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. ∴左边＝右边，故原式成立． 要点三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝α－3ππ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－π－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－sin αα－cos α－cos αα＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15，又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.规律方法 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪演练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ，sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α ＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22. 3．式子cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝.答案 1解析 原式＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin3π－α＋α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴sin3π－α＋α＋π5cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α ＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－2α＋cos 2α2α＋cos 2α ＝sin 2α－cos 2α2α＋cos 2α＝tan 2α－12α＋＝4－1＋＝335.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．一、基础达标1．已知f (sin x )＝cos3x ，则f (cos10°)的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.32答案 A解析 f (cos10°)＝f (sin80°)＝cos240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α＝15.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13C ．－223D.223答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3B.2m3C ．－3m2D.3m 2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m 2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .5.α＋π2α＋3πα＋4πα－π3π2＋α的值为．答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α ＝－tan 2αtan 2α＝－1.6．计算sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝. 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.7．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 二、能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9．已知tan(3π＋α)＝2，则α－3π＋π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α＝. 答案 2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， 求sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3π＋α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin 3α＋cosα5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 三、探究与创新 13．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧ π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β， 3－α＝－2π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．π4，β＝π6满足条件．综上所述，存在α＝。