2018北师大版高中数学必修四学案：第三章 3 二倍角的三角函数(二)

3.3 二倍角三角函数第2课时 半角公式半角公式 预习交流1如何确定公式中正、负号？巧记“半角公式〞无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号〞即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋〞号，而y ＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－〞号．预习交流2怎样用sin α，cos α表示tan α2？预习交流3假设cos 22°＝a ，那么sin 11°＝________，cos 11°＝________.(用a 表示)答案：α预习交流1：提示：根号前“±〞是由角“α2〞所在范围来确定，如果不能确定角“α2〞范围，“±〞应保存．预习交流2：提示：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α此公式特点是用角α正、余弦表示半角α2正切，与半角公式相比，防止了开方与讨论符号麻烦，用起来简单明了，在三角恒等变形中经常使用．1．用半角公式求值sin α＝－817且π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2值．思路分析：半角公式是用单角余弦值求半角三角函数值，因此要先根据条件求出cos α，再代入半角公式求值．|cos θ|＝35，且5π2＜θ＜3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2值．角α某三角函数值，用半角公式可求α2正弦、余弦、正切值，思路是先由利用同角公式求出该角余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据α2范围确定正负号．2．利用公式化简证明 化简：错误!(0＜θ＜π)．思路分析：式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进展化简．sin x tan x ＜0，化简1＋cos 2x 结果是( )． A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x1.三角函数式化简方法与技巧：(1)应用公式：根据式子构造，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．(2)统一函数名称与角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数名称与角种类．(3)特殖值与特殊角三角函数互化：如3＝tan 60°. (4)注意“1”代换，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan 45°＝1. 2．证明三角恒等式常用方法：(1)直接法：直接从等式一边开场转化到等式另一边，一般是按照由繁到简原那么进展，依据是相等关系传递性．(2)综合法：由一个等式(或已有公式等)恒等变形到所要证明等式．(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式证明．3．利用公式解决三角函数综合问题函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b (a >0)．(1)化简函数解析式将其写成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式； (2)求函数递减区间及函数图像对称中心．思路分析：先用二倍角公式化成“2x 〞三角函数，再用辅助角公式化简，最后研究其性质．在题设条件不变根底上，假设x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，f (x )最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 值．运用公式解决三角函数综合问题思路：(1)运用与、差、倍角公式化简．(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，研究其性质． 答案：活动与探究1：解：∵sin α＝－817，π＜α＜3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8172＝－1517.又π2＜α2＜3π4， ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－15172＝－1717，tan α2＝sin α2cosα2＝－4.迁移与应用：解：∵|cos θ|＝35，5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－35.又∵5π4＜θ2＜3π2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sinθ2cosθ2＝2.活动与探究2：解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin θ2·co s θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22×2cos2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ2<π2 ＝sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ.迁移与应用：B 解析：∵sin x ·tan x ＜0，∴cos x ＜0.∴1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝－2cos x .活动与探究3：解：(1)f (x )＝12a sin 2x －3a ·1＋cos 2x 2＋32a ＋b＝12a sin 2x －32a cos 2x ＋b ＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)． (2)令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋1112π.∴f (x )递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．∴函数图像对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋π6，b . 迁移与应用：解：∵f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)， 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3.当2x －π3＝π2时，f (x )max ＝a ＋b ，当2x －π3＝－π3时，f (x )min ＝－3a2＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－3a2＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3－2.∴a ＝2，b ＝3－2.1．在tan x2定义域内，以下各式中恒成立一个是( )．A ．tan x2＝1－cos x1＋cos xB ．tan x2＝－1－cos x1＋cos xC ．tan x 2＝1－cos xsin xD ．tan x2＝sin x1－cos x2．假设cos α＝23，且α∈(0,2π)，那么sin α2等于( )．A.66 B ．－66 C.306 D ．－3063．sin α2＝45，cos α2＝－35，那么α所在象限是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 最小正周期是________．5．α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cosα－β2值．答案：1．C2．A 解析：∵α∈(0,2π)，∴α2∈(0，π)．∴sin α2＝1－cos α2＝1－232＝16＝66. 3．C 解析：sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－352－1＝－725＜0，∴α在第三象限．4．2π 解析：f (x )＝2×1＋cos x2＋sin x ＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋1. ∴T ＝2π.5．解：由题意得cos α＝－35，cos β＝513.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365. 又π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴0＜α－β2＜π2.。

【学习目标】1•能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法2 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法3能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. IT 问题导学 --------------------------知识点一半角公式思考1我们知道倍角公式中，"倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 2 a 替换 a,结果怎样？思考2根据上述结果，试用 sin a, cos a 表示sin a cos 扌，tan 扌思考3利用tan a cot !和倍角公式又能得到3 2与sin a ，cos 诂怎样的关系?梳理正弦、余弦、正切的半角公式 a sin 2 = ____________ , a cos 2= ____________ ata n 2= ____________________________________ 第三章三角恒等变形 §3二倍角的三角函数（二）知识点二辅助角公式 思考1 asin x + bcos x 化简的步骤有哪些?思考2在上述化简过程中，如何确定 B 所在的象限?梳理辅助角公式类型一应用半角公式求值已知 sin 9=4, 5n < 9v 3 n,求 5 2反思与感悟 （1）若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.（2）由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：① 先化简所求的式子；② 观察已知条件与所求式子之间的联系 （从角和三角函数名称入手 ）.跟踪训练 1 已知 sin a= — 17，且 n<o <32n ,求 sin 扌，cos 扌和tan 扌.asin x + bcos x = ''a 2+ b 2sin （x + 9 .（其中 tan 9=b ） a类型二 三角恒等式的证明例2求证： 1 + sin 4 0— cos 4 0_ 1 + sin 4 0+ cos 4反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边， 也可以用左右归一，变更论证等方法•常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1 ”的 代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.sin a+ 1 1 a 1跟踪训练2证明：=-tan -+ .1 + sin a+ COS a2 2 2 类型三利用辅助角公式研究函数性质(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.已知函数f(x) = -,3sin2sin 2 芸(x € R )•反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练 3 已知函数f(x)= cos 扌+ x •os n-x , g(x) = |sin 2x — 4.(1)求函数f(x)的最小正周期；⑵求函数h(x)= f(x) —g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.类型四三角函数在实际问题中的应用例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地•一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上,相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值. 反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).±3±32 .已知tan ^= 3，贝V cos B 等于（4 4 4 3A ・5B . — 5C 后D . — 5 3 .函数 f(x)= sin 2x + . 3sin xcos x 在区间A . 1B . 2 C"3 D . 34 .函数 f(x)= sin x — cos x , x € 0, n 的最小值为a a—cos 二2 2 ------------- .(180 < a <360 °2+ 2cos a 规律与方法•1 .学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式， 而忽视对思想方法的理解，要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asin x + bcosx=[ a 2 + b 2sin （x +妨，其中$满足：①$与点（a, b ）同象限；②tan甌当堂训练 1 .若 cos a= 3,a€ (0, n)则cos £的值为( 的最大值是（(1 + sin a+ cos a ； (sin 5.化简：b亠 b a $= a(或sin l'a2+ b2, cos kF + b」3.研究形如f(x)= asin x + bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式•因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高例女口sin x±jos x=考常考的考点之一•对一些特殊的系数a, b应熟练掌握,问题导学知识点一 思考1结果是COS a= Zcos 2^— 1 =1 — 2s in 2£= cos 2a — sin 2* 2 2 2a ••• tan =知识点二思考1 (1)提常数，提出，a 2+ b 2得到答案精析思考3 tan a a sin a cos 2 a a sin? 2cos 2 a a cos^ 2cos 2 sin a1 + cos aa sina 2tan 2= a a sin 22sin 2 1— cos a sin 2 ------ =± a cos 2 1+ cos a 1 — cos a 梳理 ±1 + cos a 1 — cos a sin a 1 — COS a 1 + cos a sin acosa .°= "a2+ b 2, sinO= —2 2(或sina2+ b2a°=" a2+ b2, cos—a2+ b2).一般°为特殊角⑵定角度，确bsin x+ —2 2cos xa + b3等，则得到，a2+ b2(cos Osin x+ sin9cos x)(或.TT b2•sin Osin x+ cos 9cos x)).(3)化简、逆用公式得 as in x + bcos x = a 2+ b 2si n(x + 0)( 或 asin x + bcos x = a 2+ b 2cos(x — 0)). 思考2 0所在的象限由a 和b 的符号确定. 题型探究 4 5 n 例 1 解■/ sin 0=，且片 v 0v 3n, 5 2 ••• cos 0=-寸 1 - si n 2 = — 3. 由 cos 0= 2cos 20— 1, sin 4 0+ (1 — cos 4 0) •••左边= T sin a=— 8, n«H • cos a=—垃 17 2 17' tan 门= =—4. 2 a cos 2 例2证明要证原式，可以证明 1 + sin 4 0— cos 4 0 2tan 0 = 2 . 1 + sin 4 0+ cos 4 0 1 — tan 0 …cos 得cos J5 5 . 5 n T v tan 0= = 2. 2 1+cos 0 跟踪训练1 解sin 4 0+ (1 + cos 4 0)22sin 2 0cos 2 0+ 2sin 2 02 2sin 2 Ocos 2 + 2cos 2 02sin 2 0 cos 2 0+ sin 2 0 = =ta n 2 0, 2cos 2 0 sin 2 0+ cos 2 02tan 0 丄右边= 厂=tan 2 0,1 — tan 0•••左边=右边,•••原式得证.跟踪训练2证明•••左边a2ta n? ----------- + 12 a 1 + tan -a 2 a 2tan 21 — tan2 1 + + 2 a 2 a 1+ tan q 1 + tan2 a - a 一tan + 2tan ? + 12 a a 2 a1 + tan + 2tan + 1 — tana o 抨3+1丿1+1=2si n ?!-n+1 =2sin 2x —=2 厝sinM -7t + 1 — cosgg —石丿 ；cos 2 & - 1 a A =1tan a+* 1 -n12• f(x)的最小正周期为T= 2T=n.(2)当f(x)取得最大值时, sin 2x —3 = 1,n n有2x—3= 2k n+ ,即x= k n+ (k€ Z),•••所求x 的集合为{x|x= k n+ 1n，k€ Z}.sin x '2cos x+ 2飞in x 跟踪训练3解(1)f(x)= *cos x—23sin x -1 21 2 3.2=4cosx—4si nx1 + cos 2x 3 1—cos 2x81 1 =Q UOS 2x—4,• f(x)的最小正周期为T = 22n= n.(2)h(x) = f(x)- g(x)2 1=2cos 2x-2sin 2x当2x + n = 2k d(€ Z )时，h(x)有最大值 n=k n — 8， k €所以 PQ = MB = 100-90cos 0,PR = MR — MP _22(cos 2x + n ,例4解如图, 连接 AP ,设/ PAB = 00 ° 90°,延长交AB 于M ,则 AM = 90cos 0, MP = 90sin 0于，此时x 的取值集合为=100—90sin ft所以S矩形PQCR= PQ PR=(100 —90cos 0)(100 —90sin ft =10 000 —9 000(sin 0+ cos ft + 8 100sin Ocos ft令t = sin 0+ cos ft1 w t w ,2),t2—1贝U sin 0cos 0= .故当t= 1■时，S矩形PQCR 有最小值950 m2;当t= ,2时，S矩形PQCR有最大值(14 050 —9 000 . 2)跟踪训练4 解连接OC,设/ COB = ft-AB = OB —OA = cos ft—AD=cos 0—sin ft二S 矩形ABCD = AB BC=(cos 0—sin ft sin ft2=—sin 0+ sin 0cos ft2(1 —cos 2 0)+ ?sin 2 ft =1(sin 2 ft+ cos 2ft—*=_22cos(2 ft—45 °—2.当 2 ft—45°= 0°即ft= 22.5 时,S max =.2—1 2 2 (m )•所以S矩形PQCR= 10 000—9 000t + 8 100则0°<0<45° OC = 1. 28 1002+ 950.当堂训练 2.B 3.C 4•— 1 a2 cos 2—cos 2cos a= a • cos 2因为 180°a <360°所以 90°0<180 °所以cos 2<0 ,所以原式=cos a2tan 扌 + 2 21 a 1 亠、斗•••割出的长方形桌面的最大面积为.2 — 1 2~5.解2cos原式= cos=^ta n + =右边, •原等式成立.例 3 解⑴■/ f(x) = 3sin(2x —》+ 2sin2 x—。

§3 二倍角的三角函数(二)内容要求 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．知识点 半角公式 (1)S α2：sin α2＝±1－cos α2； (2)C α2：cos α2＝±1＋cos α2； (3)T α2：tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)．【预习评价】1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为( )A ．－33B.33C.63 D ．－63答案 B2．已知cos α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos α2的值为( ) A.66 B.306 C ．－66D ．－306答案 B题型一 应用半角公式求值【例1】 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2.解 sin α2＝±1－cos α2＝± 1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.规律方法 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan θ2，还要注意运用公式tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值．【训练1】 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sinθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二 利用半角公式化简【例2】 化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＋cos α＋sin α2＋2cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜α＜2π.解 ∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜α2＜π，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α24cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2－2cosα2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. 规律方法 对于三角函数式的化简有下面的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使三角函数式中的项数尽量少； (4)尽量使分母不含有三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 【训练2】 化简：12－1212＋12cos 2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 解 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α＞0，则由半角公式得12＋12cos 2α＝cos α，∴原式＝12－12cos α.又α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2＞0，从而12－12cos α＝sin α2， 即原式＝sin α2.方向1 三角恒等式的证明【例3－1】 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.证明 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2 ＝tan x2＝右边．所以原等式成立．方向2 三角恒等变形的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12得证．方向3 三角函数的实际应用【例3－3】 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π4的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝α，当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？求出这个最大面积．解 在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在Rt △OAD 中，OA ＝AD ＝BC ＝sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－sin α)sin α ＝cos αsin α－sin 2α ＝12sin 2α－1－cos 2α2 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α＋22cos 2α－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－12.由0＜α＜π4，得π4＜2α＋π4＜3π4.∴当2α＋π4＝π2，即α＝π8时，S 最大＝2－12.因此，当α＝π8时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2－12.规律方法 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.课堂达标1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 答案 A2．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A.12B.32 C ．1D ．2解析 ∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.答案 A 3．计算：tan 12°－3212°－＝________.解析 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝－12sin 48°＝－4.答案 －44．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________.解析 ∵5π4＜θ4＜3π2，∴sin θ4＜0.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－132＝－33. 答案 －335．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.解 原式＝α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝α2＋cos α22－2α2＋cos α2＋α2－cos α222α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.课堂小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a(或sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2).基础过关1．下列各式与tan α相等的是( ) A. 1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.答案 D2．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2B.1－cos α2C ．－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C3．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .答案 D4．已知sin α2－cos α2＝－55，且α∈(5π2，3π)，则tan α2＝________.解析 由条件知α2∈(5π4，3π2)，∴tan α2＞0.由sin α2－cos α2＝－55，∴1－sin α＝15.∴sin α＝45，cos α＝－35，tan α2＝sin α1＋cos α＝2.答案 25．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.答案 π6．已知π2≤α＜32π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，求cos 2α及sin 2α的值． 解 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0， 所以3π2＜α＋π4＜7π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)， cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)， 所以sin α＋cos α＝－425，cos α－sin α＝325.因此cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－2425.sin 2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝3225－1＝725.7．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值． 解 f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.能力提升8．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0°，90°]上是递增的．∴a <c <b . 答案 C9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A10．若f (x )＝cos 2x －2a (1＋cos x )的最小值为－12，则a ＝________.解析 f (x )＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －2a －1，令t ＝cos x ．则－1≤t ≤1，函数f (x )可转化为y ＝2t 2－2at －2a －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a22－2a －1，当a 2＞1，即a ＞2时，当t ＝1时，y min ＝2－2a －2a －1＝－12，解得a ＝38，不符合a ＞2，舍去；当a 2＜－1，即a ＜－2时，当t ＝－1时，y min ＝2＋2a －2a －1＝1≠－12，不符合题意，舍去；当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，当t ＝a 2时，y min ＝－a 22－2a －1＝－12， 解得a ＝－2±3，因为－2≤a ≤2，所以a ＝－2＋ 3.综上所述，a ＝－2＋ 3.答案 －2＋ 311．函数f (x )＝－2sin 2x ＋sin 2x ＋1，给出下列四个命题： ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴； ③函数f (x )的图像可由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到； ④若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是[0，2]． 其中正确命题序号是________．解 f (x )＝－2sin 2x ＋sin 2x ＋1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. f (x )在[π8，58π]上是减函数，①正确．当x ＝π8时，f (x )取最大值2，故②正确， y ＝2sin 2x 向左平移π8个单位长度可得f (x )的图像，故③错．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π，则f (x )∈[－1，2]，故④错． 答案 ①②12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 13．(选做题)函数f (x )＝6cos 2ωx 2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B ，C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域;(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 函数f (x )的值域为[－23，23]．(2)因为f (x 0)＝835， 由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3 ＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.。

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（1）导学案北师大版必修4【学习目标】1．探索、发现并推导二倍角公式，了解公式之间的内在联系．2．掌握二倍角公式的特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的求值问题．【重点难点】重点：二倍角公式的推导及其应用.难点：二倍角公式的灵活应用.【使用说明】复习回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，利用由一般到特殊的思想推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，注意公式之间的内在联系；熟记二倍角公式及其特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的问题．【自主学习】1．复习回顾：()sinαβ+= ；()cosαβ+= ；()tanαβ+= ．2．探索新知：3．若tan2α=，则tan2α=________．【合作探究】1．设α是第二象限角，已知3cos5α=-，求sin2,cos2αα和tan2α的值．【课堂检测】1． 求下列各式的值：(1) 2sin15cos15； (2) 22cos 22.5sin 22.5-； (3) 212sin 15-； (4) 212cos 15-； (5) sin cos88ππ； (6) 2tan 751tan 75-． 2．已知73cos ,2,82πααπ=<< 求sin 2,cos 2αα和tan 2α的值．3．已知等腰三角形一个底角的正弦值为3,5求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值．【课后训练】1． 求下列各式的值： (1) 22sin cos 1212ππ-； (2) 2'12sin 6730-； (3) sin15sin 75； (4) 25tan125tan 112ππ-．2．已知83cos ,(,2),172πααπ=∈ 求cos2α和tan 2α的值．3．把图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 怎样截取才能使横截面面积最大?。

3.3 二倍角的三角函数一、复习回首： 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中假如，公式会变得怎样？二、学生演板：sin 2 2 sin cos cos2cos2sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2tan 22 tan1tan2这组公式有何特色？应注意些什么？三、公式剖析： 1．每个公式的特色，嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是的48倍角 .2 ．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos21cos2,sin 21cos2这两个形式此后常用 .例 1. 求值：22①． sin2230’cos2230’=1sin 452 24②． 2 cos21cos4282③． sin 2cos28cos4282④．8 sin cos cos cos4sin cos cos2sin cossin162 484824122424121212例2.化简①． (sin 5cos5)(sin5cos5)sin 25cos25cos53 12121212121262②．cos42sin 4(cos22sin 2)(cos2sin 2)cos 2222③．11 2 tan tan 2tan1tan1tan 21④． 1 2 cos2cos212cos2 2 cos212例 3、已知sin 5 ,(,) ，求sin2， cos2， tan2的值。

132解：∵ sin5 , (, )∴ cos1 sin 212 132120 13∴ sin2= 2sincos=169cos2=1 2 sin 2119120169tan2=1191 例 4.cos20 cos40 cos80 = sin 20 cos 20 cos 40 cos80sin 40 cos 40 cos802sin 20sin 201 1sin 1604sin 80 cos8018sin 20sin 208例 5. 求函数 y cos 2xcos xsin x 的值域 .解： y1 cos 2x 1 sin 2x2sin( 2x4) 1 ————降次2222四、公式变形：sin21cos ,cos 21cos , tan 2 2 1 cos 22221 cos[ 展现投影 ] 这组公式有何特色？应注意些什么？7 ，求 sin, cos , tan 的值 .例 6. 已知 cos252 22例 7. 已知 sin4 ，( ,3) ，求 sin, cos , tan 的值 .522 22五、稳固小结 ：1．公式的特色要嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是 的倍角 .482．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） .3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos 21 cos2 ,sin 21 cos2这两个形式此后常用 .224. 半角公式左侧是平方形式，只需知道角终边所在象限，就能够开平方；公式的“实质”2是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 .25．注意公式的构造，特别是符号 .六、评论设计七、课后反省：。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1． 能利用倍角公式推导半角公式，掌握半角公式的结构特征．2． 灵活应用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明．【重点难点】倍角公式和半角公式及其应用．【使用说明】 复习回顾倍角公式，在倍角公式中用2α代替α根据提示推导半角公式，熟记公式的结构特征并灵活应用．【自主学习】1． 复习回顾： sin 2α＝___________________；cos 2α＝__________________＝___________________＝____________________；tan 2α＝__________________．2． 新知探索：在二倍角公式2cos 212sin αα=-和2cos 22cos 1αα=-中，用2α代替α得： cos α＝___________________和cos α＝____________________． 由此得：sin 2α＝__________________； cos 2α＝___________________． 用上面两个公式两边分别相除，可得：tan 2α＝_________________．又根据正切函数的定义，还可得：sin sin 2cos 222tan 2cos cos 2cos 222ααααααα⋅===⋅___________；sin sin 2sin 222tan 2cos cos 2sin 222ααααααα⋅===⋅____________．以上得到的五个有关半角的三角函数公式，称之为半角公式． 在这些公式中，根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确 定，如果2α所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．2．已知等腰三角形顶角的余弦值等于513，求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值．3． 求证： (1) 12tan tan tan 2A A A -=-； (2) 21sin 2cos ()42παα-=+．【课堂检测】【课后训练】1． 填空： (1) sin8π＝__________，cos 8π＝__________，tan 8π＝__________； (2) 已知4sin ,180270,5αα=-<<则tan 2α＝__________． 2．已知tan 2α=，α是锐角，求tan 2α的值．3．求证：(1) sin (1cos 2)sin 2cos θθθθ+=； (2) 21sin 2cos ()42παα+=-．。

⾼中数学第三章三⾓恒等变换3.3⼆倍⾓的三⾓函数教案北师⼤版必修41.3 ⼆倍⾓的三⾓函数整体设计教学分析“⼆倍⾓的三⾓函数”是在研究了两⾓和与差的三⾓函数的基础上，进⼀步研究具有“⼆倍⾓”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，⼜为以后求三⾓函数值、化简、证明提供了⾮常有⽤的理论⼯具.通过对⼆倍⾓的推导知道，⼆倍⾓的内涵是：揭⽰具有倍数关系的两个三⾓函数的运算规律.通过推导还让学⽣加深理解了⾼中数学由⼀般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学⽣运算和逻辑推理能⼒的重要内容，对培养学⽣的探索精神和创新能⼒、发现问题和解决问题的能⼒都有着⼗分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和⾓公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学⽣在探究中既感到⾃然、易于接受，还可清晰知道和⾓的三⾓函数与倍⾓公式的联系，同时也让学⽣学会怎样发现规律及体会由⼀般到特殊的化归思想.这⼀切教师要引导学⽣⾃⼰去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学⽣在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得⼀些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充⼀些⾼技巧、⾼难度的练习，更不要再补充⼀些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维⽬标1.通过让学⽣探索、发现并推导⼆倍⾓公式,了解它们之间、以及它们与和⾓公式之间的内在联系,并通过强化题⽬的训练,加深对⼆倍⾓公式的理解，培养运算能⼒及逻辑推理能⼒,从⽽提⾼解决问题的能⼒.2.通过⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式的运⽤，会进⾏简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这⼀基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作⽤.使学⽣进⼀步掌握联系变化的观点，⾃觉地利⽤联系变化的观点来分析问题，提⾼学⽣分析问题、解决问题的能⼒.3.通过本节学习，引导学⽣领悟寻找数学规律的⽅法，培养学⽣的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：⼆倍⾓公式推导及其应⽤.教学难点：如何灵活应⽤和、差、倍⾓公式进⾏三⾓式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(复习导⼊)请学⽣回忆上两节共同探讨的和⾓公式、差⾓公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学⽣默写这六个公式.教师引导学⽣：和⾓公式与差⾓公式是可以互相化归的.当两⾓相等时,两⾓之和便为此⾓的⼆倍,那么是否可把和⾓公式化归为⼆倍⾓公式呢?今天,我们进⼀步探讨⼀下⼆倍⾓的问题，请同学们思考⼀下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导⼊)出⽰问题，让学⽣计算，若sin α=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学⽣会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课新知探究提出问题①还记得和⾓的正弦、余弦、正切公式吗？(请学⽣默写出来，并由⼀名学⽣到⿊板默写) ②你写的这三个公式中⾓α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表⽰形式吗？④细⼼观察⼆倍⾓公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中⾓的含义吗？思考过公式成⽴的条件吗？⑥让学⽣填空：⽼师随机给出等号⼀边括号内的⾓，学⽣回答等号另⼀边括号内的⾓，稍后两⼈为⼀组，做填数游戏：sin()=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆⽤吗？想⼀想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α吗？活动：问题①,学⽣默写完后，教师打出课件，然后引导学⽣观察正弦、余弦的和⾓公式，提醒学⽣注意公式中的α,β，既然可以是任意⾓，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并⿎励学⽣⼤胆试⼀试.如果学⽣想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进⼊下⼀个问题，如果学⽣没想到这种特殊情况，教师适当点拨进⼊问题②，然后找⼀名学⽣到⿊板进⾏简化，其他学⽣在⾃⼰的坐位上简化.教师再与学⽣⼀起集体订正⿊板上的书写，最后学⽣都不难得出以下式⼦，⿎励学⽣尝试⼀下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学⽣去思考、去探究，并初步地感受⼆倍⾓的意义.同时开拓学⽣的思维空间，为学⽣将来遇到的3α或3β等⾓的探究附设类⽐联想的源泉. sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β?sin2α=2sin αcos α（S 2α）; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β?cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=?-+ββ(T 2α).这时教师适时地向学⽣指出，我们把这三个公式分别叫作⼆倍⾓的正弦，余弦，正切公式，并指导学⽣阅读教科书，确切明了⼆倍⾓的含义，以后的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”.教师适时提出问题③，点拨学⽣结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此⼆倍⾓的余弦公式⼜可表⽰为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍⾓公式（⽤多媒体演⽰）.倍⾓公式给出了α的三⾓函数与2α的三⾓函数之间的关系.问题④,教师指导学⽣，这组公式⽤途很⼴，并与学⽣⼀起观察公式的特征，⾸先公式左边⾓是右边⾓的2倍；左边是2α的三⾓函数的⼀次式，右边是α的三⾓函数的⼆次式，即左到右→升幂缩⾓，右到左→降幂扩⾓.⼆倍⾓的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应⽤，对公式中的含义学⽣可能还理解不到位，教师要引导学⽣观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这⾥的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”,遇到“三倍⾓”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过⼆倍⾓公式,可以⽤单⾓的三⾓函数表⽰⼆倍⾓的三⾓函数； (Ⅲ)⼆倍⾓公式是两⾓和的三⾓函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的⾓α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠k π+2π(k∈Z )时才成⽴，这⼀条件限制要引起学⽣的注意.但是当α=k π+2π,k∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能⽤此公式，但tan2α是存在的,故可改⽤诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学⽣明了⼆倍⾓的相对性，即⼆倍⾓公式不仅限于2α是α的⼆倍的形式,其他如4α是2α的⼆倍,2α是4α的⼆倍,3α是23α的⼆倍,3α是6α的⼆倍，2π-α是4π-2α的⼆倍等,所有这些都可以应⽤⼆倍⾓公式. 例如:sin 2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运⽤还在于它的逆⽤以及它的变形⽤，这点教师更要提醒学⽣引起⾜够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,⼀般情况下:sin2α≠2sin α,cos2α≠2cos α,tan2α≠2tan α.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去).若tan2α=2tan α,则αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tan α=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧（略）. 应⽤⽰例思路1例1 已知tan α=21,求tan2α的值.解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2 设α是第⼆象限⾓,已知cos α=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值.解:因为α是第⼆象限⾓,所以sin α＞0,tan α＜0. 由于cos α=-0.6,故sin α=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sin α2cos α=-0.96, cos2α=2cos 2α-1=23(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3 在△ABC 中,已知AB=AC=2BC(如图1),求⾓A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sin θ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π,于是cos θ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形⽊料截成长⽅形(如图2),应怎样截取,才能使长⽅形⾯积最⼤?图2解:如图2,设圆⼼为O,长⽅形⾯积为S,∠AOB=α,则 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)22(Rcos α) =2R 2sin α2cos α =R 2sin2α.当sin2α取最⼤值,即sin2α=1时,截⾯⾯积最⼤.不难推出α=4π时,长⽅形截⾯⾯积最⼤,最⼤截⾯⾯积等于R 2.例5 已知sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学⽣分析题⽬中⾓的关系，观察所给条件与结论的结构，注意⼆倍⾓公式的选⽤，领悟“倍⾓”是相对的这⼀换元思想.让学⽣体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的⼆倍⾓,因此可以考虑⽤倍⾓公式.本例是直接应⽤⼆倍⾓公式解题，⽬的是为了让学⽣初步熟悉⼆倍⾓的应⽤，理解⼆倍⾓的相对性，教师⼤胆放⼿，可让学⽣⾃⼰独⽴探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π.⼜∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[23(2α)]=2sin2αcos2α=231353(-1312)=-169120;cos4α=cos[23(2α)]=1-2sin 22α=1-23(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)3119169=-119120.点评：学⽣由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学⽣注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应⽤是⾼考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：本题在两⾓和与差的学习中已经解决过，现⽤⼆倍⾓公式给出另外的解法，让学⽣体会它们之间的联系，体会数学变化的魅⼒. 2.(2007⾼考海南,宁夏卷,9)若22)4sin(2cos -=-παα,则cos α+sin α的值为( ) A.-27 B.-21 C.21D.27 答案:C3.(2007⾼考重庆卷,6)下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215°C.2sin 215°-1D.sin 215°+cos 215° 答案:B例6 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan θ.活动：教师先让学⽣思考⼀会，⿎励学⽣充分发挥聪明才智，战胜它，并⼒争⼀题多解.教师可点拨学⽣想⼀想，到现在为⽌，所学的证明三⾓恒等式的⽅法⼤致有⼏种：从复杂⼀端化向简单⼀端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利⽤分析综合法解决，有时⼏种⽅法会同时使⽤等.对找不到思考⽅向的学⽣，教师点出：可否再添加⼀种，化倍⾓为单⾓？这可否成为证明三⾓恒等式的⼀种⽅法？再适时引导，前⾯学习同⾓三⾓函数的基本关系时曾⽤到“1”的代换，对“1”的妙⽤⼤家深有体会，这⾥可否在“1”上做做⽂章？待学⽣探究解决⽅法后，可找⼏个学⽣到⿊板书写解答过程，以便对照点评给学⽣以启发.点评时对能够善于运⽤所学的新知识解决问题的学⽣给予赞扬；对暂时找不到思路的学⽣给予点拨,⿎励.强调“1”的妙⽤很妙，妙在它在三⾓恒等式中⼀旦出现，在证明过程中就会起到⾄关重要的作⽤，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:⽅法⼀:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+ )cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tan θ=右边,所以,原式成⽴. ⽅法⼆:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成⽴. ⽅法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+?++--?++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin ?+?+=-+++-+++=tan θ=右边. 所以，原式成⽴.点评：以上⼏种⽅法⼤致遵循以下规律：⾸先从复杂端化向简单端；第⼆，化倍⾓为单⾓，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙⽤，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常⽤的⼏种⽅法都⽤到了，不论⽤哪⼀种⽅法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是⼀道灵活应⽤⼆倍⾓公式的经典例题，有⼀定难度，但也是训练学⽣思维能⼒的⼀道好题.本题需要公式的逆⽤，逆⽤公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运⽤公式.教学中教师可让学⽣充分进⾏讨论探究，不要轻易告诉学⽣解法，可适时点拨学⽣需要做怎样的变化，⼜需怎样应⽤⼆倍⾓公式,并点拨学⽣结合诱导公式思考.学⽣经过探索发现，如果⽤诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊⾓,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆⽤⼆倍⾓公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===??.点评：⼆倍⾓公式是中学数学中的重要知识点之⼀，⼜是解答许多数学问题的重要模型和⼯具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细⼼体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后⼀个例题，结合三⾓形，具有⼀定的综合性,同时也是和与差公式的应⽤问题.教师可引导学⽣注意在三⾓形的背景下研究问题,会带来⼀些隐含的条件,如A+B+C=π,0＜A ＜π,0＜B ＜π,0＜C ＜π,就是其中的⼀个隐含条件.可先让学⽣讨论探究，教师适时点拨.学⽣探究解法时教师进⼀步启发学⽣思考由条件到结果的函数及⾓的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产⽣不同的解题思路,所以学⽣会产⽣不同的解法，不过它们都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤，本质上没有区别.不论学⽣的解答正确与否，教师都不要直接⼲预.在学⽣⾃⼰尝试解决问题后,教师可与学⽣⼀起⽐较各种不同的解法，并引导学⽣进⾏解题⽅法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：⽅法⼀:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-?=-A A , ⼜tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-?=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-?--=-+BA B A . ⽅法⼆:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A .⼜tanB=2, 所以tan(A+B)=2112 431243tan tan 1tan tan -=?-+=-+B A B A .于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---=+-+B A B A . 点评：以上两种⽅法都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤,本质上没有区别,其⽬的是为了⿎励学⽣⽤不同的思路去思考,以拓展学⽣的视野. 变式训练1.(2007⼴东东莞)设向量a =(cos α,21)的模为22,则cos2α等于…( )A.-41B.-21C.21D.23解析:由|a |=41cos2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2341-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007四川卷,17)已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cos α=71,0＜α＜2π,得sin α=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tan α=3471734cos sin =?=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-?=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π.⼜∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=7131413+7343211433=. ∴β=3π.点评:本题主要考查三⾓恒等变形的主要基本公式,三⾓函数值的符号,已知三⾓函数值求⾓以及计算能⼒. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题⼩结1.先由学⽣回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前⾯学过的两⾓和公式有什么新的认识？对三⾓函数式⼦的变化有什么新的认识？怎样⽤⼆倍⾓公式进⾏简单三⾓函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握⼆倍⾓公式及其推导，明⽩从⼀般到特殊的思想，并要正确熟练地运⽤⼆倍⾓公式解题.在解题时要注意分析三⾓函数名称、⾓的关系，⼀个题⽬能给出多种解法，从中⽐较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想⽅法之⽬的.设计感想1.新课改的核⼼理念是：以学⽣发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应⽤，充分体现了“学⽣主体、主动探索、培养能⼒”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学⽣探究和⾓公式的特殊情形中得到了⼆倍⾓公式，在这个活动过程中，由⼀般化归为特殊的基本数学思想⽅法就深深地留在了学⽣记忆中.本节课的教学设计流程还是⽐较流畅的.2.纵观本教案的设计，学⽣发现⼆倍⾓后就是应⽤，⾄于如何训练⼆倍⾓公式正⽤，逆⽤，变形⽤倒成了次要的了.⽽学⽣从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，⼜发现了怎样逆⽤公式及活⽤公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终⽬的.3.教学⽭盾的主要⽅⾯是学⽣的学，学是中⼼，会学是⽬的，根据⾼中三⾓函数的推理特点，本节主要是教给学⽣“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应⽤”的探索创新式学习⽅法.这样做增加了学⽣温故知新的空间，增强了学⽣的参与意识，教给了学⽣发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学⽣真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学⽣会体会到数学的美，产⽣⼀种成功感，从⽽提⾼了学习数学的兴趣.第2课时导⼊新课思路1.我们知道变换是数学的重要⼯具，也是数学学习的主要对象之⼀，三⾓函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引⼊辅助⾓的变换.前⾯已经利⽤倍⾓公式进⾏了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利⽤⼆倍⾓公式的逆⽤推导出半⾓公式,并⽤它来解决⼀些三⾓函数式的化简,求值等.思路2.先让学⽣写出上节课学习的⼆倍⾓公式,接着出⽰课本例5让学⽣探究,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①α与2α有什么关系? ②如何建⽴cos α与sin22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式⼦有什么共同特点？④通过上⾯的三个问题，你能感觉到代数变换与三⾓变换有哪些不同吗?活动：教师引导学⽣联想关于余弦的⼆倍⾓公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α⽤2α代替,解出sin22α即可. 教师对学⽣的讨论进⾏提问，学⽣可以发现：α是2α的⼆倍⾓.在倍⾓公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-①在倍⾓公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=αtanααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=??==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=??==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半⾓三⾓函数的公式,称之为半⾓公式. 在这些公式中,根号前⾯的符号由2α所在象限相应的三⾓函数值的符号确定,如果2α所在象限⽆法确定,则应保留根号前⾯的正,负两个符号.教师引导学⽣观察上⾯的①②③④⑤式，可让学⽣总结出下列特点： (1)⽤单⾓的三⾓函数表⽰它们的⼀半即是半⾓的三⾓函数;(2)由左式的“⼆次式”转化为右式的“⼀次式”(即⽤此式可达到“降次”的⽬的).2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半⾓公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学⽣通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三⾓变换,由于不同的三⾓函数式不仅会有结构形式⽅⾯的差异，⽽且还有所包含的⾓，以及这些⾓的三⾓函数种类⽅⾯的差异.因此，三⾓恒等变换常常先寻找式⼦所包含的各个⾓间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三⾓恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式⼦结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的⼆倍⾓. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）.应⽤⽰例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半⾓公式的应⽤，利⽤半⾓公式进⾏化简解题.教师提醒学⽣注意半⾓公式和倍⾓公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对⽴统⼀的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+4532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学⽣理解倍⾓公式与半⾓公式的内在联系.变式训练(2005北京东城)已知θ为第⼆象限⾓,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. ⼜θ为第⼆象限⾓,∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, ⽽2θ在第⼀,三象限,∴cos2θ=±53.答案:C例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tan α. 解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的⼀半,运⽤半⾓公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=1,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学⽣利⽤⽴⽅差公式进⾏对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学⽣深挖本例的思想⽅法,由sinx2cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学⽣的运算,化简能⼒及整体代换思想.本题也可直接应⽤上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此⽅法往往适⽤于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运⽤和化简的⽅法. 变式训练(2007⾼考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是___________. 答案:-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:ABA B 2424sin sin cos cos +=1.活动：此题可从多个⾓度进⾏探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式⼀致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式⼊⼿,⽽条件等式中含有A,B ⾓的正、余弦,可利⽤平⽅关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利⽤三⾓代换.∴cos 4A2sin 2B+sin 4A2cos 2B=sin 2B2cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A2cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴A B A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法⼆:令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的⾓度来观察问题,本例从⾓与函数的种类两⽅⾯观察,利⽤平⽅关系进⾏了合理消元. 变式训练在锐⾓△ABC 中,A,B,C 是它的三个内⾓,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++⼜A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA2tanB＞1.∴S＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21=- . ⼜1 005°=23360°+285°是第四象限的⾓,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=- ,cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+ ,tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=.例2 证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学⽣思考，对于三⾓恒等式的证明，可从三个⾓度进⾏推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以⿎励学⽣试着多⾓度的化简推导.注意式⼦左边包含的⾓为x,三⾓函数的种类为正弦，余弦，右边是半⾓2x，三⾓函数的种类为正切.解：⽅法⼀：从右边⼊⼿，切化弦，得tan(24x +π)=2sin2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的⾓之间的关系，想到分⼦分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. ⽅法⼆：从左边⼊⼿，分⼦分母运⽤⼆倍⾓公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sinx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三⾓函数的种类差异，想到弦化切，即分⼦分母同除以cos2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x xx x +=-+=-+πππ点评：本题考查的是半⾓公式的灵活运⽤，以及恒等式的证明所要注意的步骤与⽅法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满⾜:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法⼀:3sin 2α+2sin 2β=1?3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0?3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α23sin 2α+cos α23sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3331=1.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法⼆:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α23sin 2α-sin α23sin αcos α=0. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α＞0.∴tan(2π-2β)＞0. ⼜∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3 求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三⾓恒等式,⼀般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三⾓式的变换中经常使⽤的⽅法. 证明:证法⼀:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成⽴. 证法⼆:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+=ββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成⽴.点评：此题进⼀步训练学⽣三⾓恒等式的变形,灵活运⽤三⾓函数公式的能⼒以及逻辑推理能⼒.变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运⽤⽐例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.⽽上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成⽴,即原等式得证.知能训练1.若sin α=135,α在第⼆象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜27π,则tan 2θ=__________________.答案:1.A3.-3 课堂⼩结1.先让学⽣⾃⼰回顾本节学习的数学知识:和、差、倍⾓的正弦、余弦公式的应⽤,半⾓公式、代数式变换与三⾓变换的区别与联系.三⾓恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使⽤,换元法,⽅程思想,等价转化,三⾓恒等变形的基本⼿段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半⾓公式,积化和差,和差化积公式以及如何利⽤已有的公式进⾏简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三⾓式的结构进⾏分析，根据结构特点选择合适公式，进⾏公式变形.还要思考⼀题多解、⼀题多变，并体会其中的⼀些数学思想，如换元、⽅程思想，“1”的代换，逆⽤公式等.2.在近⼏年的⾼考中，对三⾓变换的考查仍以基本公式的应⽤为主，突出对求值的考查.特别是对平⽅关系及和⾓公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地⽅，同时要注意结合诱导公式的应⽤，应⽤诱导公式时符号问题也是常出错的地⽅.考试⼤纲对本部分的具体要求是：⽤向量的数量积推导出两⾓差的余弦公式，体会向量⽅法的作⽤.从两⾓差的余弦公式进⽽推导出两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式，⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运⽤上述公式进⾏简单的恒等变换.备课资料备⽤习题 1.已知cos α=135(23π＜α＜2π),则tan 2a 等于( ) A.32 B.23 C.-23 D.-322.已知α为钝⾓,β为锐⾓,且sin α=54,sin β=1312,则cos 2βα-等于( ) A.7 B.-7 C.-65657 D.65657 3.(2005江苏,10)若sin(6π-α)=31,则cos(32π+2α)等于( )A.-97 B.-31 C.31 D.974.(2006北京崇⽂)已知θ是第⼆象限⾓,sin θ=54,则tan(2θ-4π)的值为( ) A.7 B.-31 C.31 D.-34参考答案: 1.D 由3π＜α＜2π可知,⾓α是第四象限的⾓, ∴sin α=-1312)135(1cos122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由已知,得cos α=-53,cos β=135. 于是cos(α-β)=cos α2cos β+sin α2sin β =-653313125413553=?+?. ∵α为钝⾓,β为锐⾓,∴2βα-为锐⾓.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.3.A cos(32π+2α)=cos ［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.4.C由已知sin θ=54,cos θ=-53,∴tan (2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )cos(1) 2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。

第一课时 二倍角公式及其应用预习课本P124～125，思考并完成以下问题 1．二倍角的正弦公式是什么？2．二倍角的余弦公式是什么？3．二倍角的正切公式是什么？[新知初探]二倍角的公式[点睛](1)成立的条件：在公式S 2α，C 2α中，角α可以为任意角，T 2α中则只有当α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4(k ∈Z)时才成立． (2)倍角公式不局限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等都是适用的． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α使得sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α ( ) (2)cos 215°－sin 215°＝2cos 215°－1＝1－2sin 215° ( ) 答案：(1)√ (2)√2．若sin α2＝33，则cos α的值为 ( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为 ( ) A ．－43 B.43C ．－34 D ．－2解析：选A ∵α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.4．sin 22.5°cos 202.5°＝________.解析：sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)＝－12sin 45°＝－24.答案：－24给角求值[典例] (1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°) ＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征． [活学活用] 化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为 ( )A.sin 28°2 B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° 解析：选Atan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.三角函数式的化简[典例] 化简：θ)； (2)11－tan θ－11＋tan θ. [解] (1)原式＝1＋cos (2θ＋30°)2＋1－cos (2θ－30°)2＋cos θsin θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θ· cos 30°－sin 2θsin 30°)＋12sin 2θ＝1－sin 2θsin 30°＋12sin 2θ＝1.(2)原式＝1＋tan θ－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝tan θ＋tan θ1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.三角函数式化简的四个方向三角函数式的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． [活学活用]化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解：法一：原式 ＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2＝(cos 2α－sin 2α)⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1.法二：原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.给值求值[典例] 已知x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，求cos 2x 的值．[解] 法一：(变角求值) cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45， ∴cos 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425. 法二：(变结构求值)由已知条件得cos x －sin x ＝－325，将此式两边平方得2sin x cos x ＝725， ∴sin 2x ＝725.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ∴cos 2x ＝－ 1－sin 22x ＝－1－⎝⎛⎭⎫7252＝－2425.解决上面典例要注意角“2x ”与“π4－x ”的变换方法，即cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； 常见的此类变换，还有：(1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x . 已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x ，cos 4x ，tan 4x 的值． 解：法一：(变角求值) ∵sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)． ∴sin 2x ＝－223.∴sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429.∴cos 4x ＝2cos 22x －1＝2×19－1＝－79.∴tan 4x ＝sin 4x cos 4x ＝427. 法二：(变结构求值) 由sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16， 得22(sin x ＋cos x )×22(cos x －sin x )＝16， ∴－sin 2x ＋cos 2x ＝13，即cos 2x ＝13.下同解法一．层级一 学业水平达标1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝ ( )A ．－154B ．±158C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cosx ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 解析：选D 由已知得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，所以sin 2α＝34，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32，cos α＝12. 因此，tan α＝ 3.6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos 150°＝－cos 30°＝ －32. 答案：－327．已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan 2α＝______.解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－321－916＝－247.答案：－2478．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.解析：原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝23·sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°23·2sin 20° ＝sin 160°16sin 20°＝sin 20°16sin 20°＝116. 答案：1169．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值．解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43.∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.10．化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β.解：法一：(从角入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.法二：(从次数入手)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos2α·cos 2β＝14＋14＝12.层级二 应试能力达标1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为 ( ) A.1925 B.1625 C.1425 D.725 解析：选D 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝725.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( )A ．43 B.833C ．4D ．8解析：选D ∵f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2＝2tan x －－cos x 12sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝412＝8. 3．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选A y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，为奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π，故选A.4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直，得a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.5．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 36．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 答案：－797．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x 2＝2，∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x ) ＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x＝24.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2α sin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.。

§2二倍角的三角函数在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？ 【提示】 成立．1．sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； 2．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α ＝2cos 2α－1(C 2α)； 3．tan 2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α).二倍角公式cos 2α＝2cos 2α－1中的α换作α2可得什么样的结论？cos α2等于多少？【提示】 cos α＝2cos 2α2－1得cos α2＝±1＋cos α2. 1．sin α2＝±1－cos α2； 2．cos α2＝±1＋cos α2； 3．tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.求下列各式的值．(1)cos 275°－sin 275°；(2)cosπ12cos 512π； (3)12－cos 2π8；(4)－23＋43cos 215°. 【思路探究】 将已知式子变形、处理，然后逆用二倍角公式求解． 【自主解答】 (1)cos 275°－sin 275°＝cos(2×75°)＝cos 150°＝－32. (2)cosπ12cos 512π＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (3)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1) ＝－12cos π4＝－12×22＝－24. (4)－23＋43cos 215°＝23(2cos 215°－1)＝23cos 30°＝23×32 ＝33.利用二倍角公式求值时，需要对所给式子分析其特点，从角的关系出发或从函数名的关系出发，将所给式子变形，然后灵活运用二倍角公式求解．求下列各式的值： (1)2tan 15°1－tan 215°； (2)tanπ12－1tanπ12； (3)cos π7cos 27πcos 47π.【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)tan π12－1tan π12＝tan π12－cosπ12sinπ12＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝sin 2π12－cos 2π12cos π12sin π12＝－cos π612sinπ6＝－32×2×2＝－2 3. (3)cos π7cos 27πcos 47π＝sin π7cos π7cos 27πcos 47πsinπ7＝12sin 27πcos 27πcos 47πsin π7＝14sin 47πcos 47πsinπ7＝18sin 87πsin π7＝18sin (π7＋π)sinπ7＝－18sin π7sinπ7＝－18.化简：(1tan α2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)．【思路探究】 题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即可．【自主解答】 (1tanα2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝(1＋cos α－1＋cos αsin α)(cos αcos α＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.三角函数式化简的原则与技巧：(1)原则形式简单三角函数名称尽量少次数尽量低最好不含分母能求值的尽量求值 (2)技巧：“切化弦”、“升幂或降幂”、“1”的代换．若32π<α<2π，化简 12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， ∴cos α>0，cos α2 <0，∴ 12＋12 12＋12cos 2α ＝ 12＋12 12(1＋cos 2α) ＝ 12＋1212×2cos 2α ＝ 12＋12cos α ＝ 12(1＋cos α) ＝cos 2α2＝－cos α2.已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间． 【思路探究】化简函数式――→和差公式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 形式。