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第13节欧拉图与哈密顿图

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欧拉图与哈密顿图

欧拉图与哈密顿图
哈密顿回路。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的

欧拉图与哈密顿图演示文稿

欧拉图与哈密顿图演示文稿
欧拉回路: 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点 的回路。
欧拉图: 具有欧拉回路的图; 半欧拉图:具有欧拉通路而无欧拉回路的图。
第6页，共40页。
举例
欧拉图
半欧拉图
无欧拉通路
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
第7页，共40页。
无向欧拉图的判定定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。 定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度 顶点。
(3)是半哈密顿图。 (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
第24页，共40页。
定理15.6
定理15.6 设无向图G＝<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V，且V1≠，均 有 p(G-V1)≤|V1| 其中，p(G-V1)为G-V1的连通分支数。
证明 设C为G中任意一条哈密顿回路， 易知，当V1中顶点在C上均不相邻时， p(C-V1)达到最大值|V1|， 而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时， 均有p(C-V1)＜|V1|，所以有 p(C-V1)≤|V1|。 而C是G的生成子图，所以，有p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|。
设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
第28页，共40页。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论：
第17页，共40页。
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法，能不走桥就不走桥
(1) 任取v0∈V(G)，令P0＝v0。 (2) 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从

欧拉图和哈密尔顿图

欧拉图和哈密尔顿图

例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解 ——G 中包含所有边的回路权最小，称为 最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路 ， a
7
14Biblioteka b7 13 11d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则

d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权 的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不 等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每 个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题 是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万 亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年

欧拉图和哈密而顿图

欧拉图和哈密而顿图

17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
12
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。

欧拉图和哈密尔顿图

欧拉图和哈密尔顿图

（b）中去掉结点u1和u2以后，p（G–{ u1，u2}）=3， 由此 可以判定，这两个图都不是哈密尔顿图。
用正十二面体代表地球。游戏题的内容是：沿着正十二面体的棱寻
找一条旅行路线，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton回路问题。
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。 具有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次 且仅一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈 密尔顿图。
解一
a
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
欧拉图算法
int main() { memset(g,0,sizeof(g)); cin >> n >> e; for (i = 1; i <= e; i++) { cin >> x >> y; g[y][x] = g[x][y] = 1; du[x]++; //统计每个点的度 du[y]++; } start = 1; // 如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是 for (i = 1; i <= n; i++) // 欧拉路。没有奇点就从任意点开始， if (du[i]%2 == 1) // 这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点) start = i; circuitpos = 0; find_circuit(start); for (i = 1; i <= circuitpos; i++) cout << circuit[i] << ' '; cout << endl; return 0; }

欧拉图和哈密尔顿图

欧拉图和哈密尔顿图
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造

二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件

二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件

网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边

离散数学(第13章)陈瑜研究

离散数学(第13章)陈瑜研究
2018/10/21 计算机学院 10/98
定理13.1 无向连通图G＝<V，E>是欧拉图当 且仅当G的所有结点的度数都为偶数。 证明： “” 设G是Euler图，则G必然存在一条包含所有 边（也包含所有结点）的回路C，对uV，u必 然在C中出现一次（可出现多次），每出现u一次， 都关联着G中的两条边，而当u又重复出现时，它 又关联着G中的另外的两条边，（为什么？） 因而u每出现一次，都将使得结点u的度数增加 2度，若u在通路中重复出现j次，则deg(u)＝2j。 即u的度数必为偶数。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
例13.2
V1 V2 V3 V4 V5 V2 V3 V1 V1 V4
(a)
(b)
现在，我们是 V5 不是已经解决 了哥尼斯堡七 V2 V4 桥问题？ (c)
V3
由定理13.1及推论13.1.1容易看出：
a) 是欧拉图；
b) 不是欧拉图，但存在欧拉道路； c) 既不是欧拉图，也不存在欧拉道路。

欧拉图与哈密顿图

欧拉图与哈密顿图
欧拉图与哈密顿图
Euler and Hamilton Graph
高晓沨 (Xiaofeng Gao)
Department of Computer Science Shanghai Jiao Tong Univ.
2016/12/6
欧拉道路与欧拉回路
Euler Path and Euler Circuit
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
12
欧拉道路(欧拉迹)
【推论】若无向连通图G中只有2个度为奇数的顶 点。则G中存在欧拉道路。 【证明】设vi和vj是两个奇点，做G’=G+(vi,vj)。 则G’中各顶点的度都是偶数。由之前定理知，G’ 有欧拉回路，它包含(vi,vj)这条边。删去此边，即 可得到一条从vi到vj的简单道路，它恰好经过了G 的所有边，即是一条欧拉道路。
证明由欧拉回路定理或欧拉道路推论既得。
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
20
范例 (2)
【例】 判断下图是否可以一笔画成：
a
b
d
c
e
G
a
b
e
d
c
H
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao
21
哈密顿回路与道路
【定义】无向图G的一条经过全部节点的初 级回路(道路)称为G的哈密顿回路(道路).
(i) 由定理条件:必有经过P中节点的初级回路C. (ii) 由连通性:C必可与C外某相邻节点构成比P更长的初
级道路.
2016/12/6
IntroductionToCS--Xiaofeng Gao

离散数学课件15欧拉图与哈密顿图

离散数学课件15欧拉图与哈密顿图

04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。

离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件

离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件

例5 设G是非平凡的欧拉图，且v ∈V(G)。证明：G 的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当 G-v是森林。
证明：“必要性”
若不然，则G-v有圈C。 考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。
由于G是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数， 从而，H是欧拉图。
12
1
0.5 n 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
18
1
0.5 n 0
如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重 复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、管梅谷的结论
定理2 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在 这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被 满足：
在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图， 因此，由Fleury算法得欧拉环游C.
在C中删去ei （1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )

图论中的哈密顿图与欧拉图

图论中的哈密顿图与欧拉图

图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。

在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。

本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。

一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。

具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。

哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。

2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。

二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。

具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。

欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。

2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。

三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。

1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。

旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。

哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。

2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。

在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。

在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。

四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。

哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。

欧拉图及哈密顿

欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。

离散数学中的欧拉图与哈密顿图

离散数学中的欧拉图与哈密顿图

欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。

它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。

欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。

如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。

而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。

1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。

欧拉图的性质是其路径的存在性。

既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。

根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。

因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。

哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。

如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。

哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。

与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。

唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。

至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。

这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。

欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。

欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。

而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。

在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。

总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。

欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。

这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。

第十三章 欧拉图

第十三章 欧拉图

第十三章欧拉图与哈密顿图欧拉图产生的背景就是前面介绍的七桥问题。

1736年，瑞士数学家欧拉发表了图论的第一篇著名论文“哥尼斯堡七桥问题”。

欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥问题是不能解的。

下面给出有关定义及定理。

定义2－1.1 设是无向连通图或有向弱连通图。

通过G的每条边一次且仅一次的路径(循环)称为G的欧拉路径(循环)。

具有欧拉循环的图称为欧拉图(规定平凡图是欧拉图)。

例2－1.1图2－1.1，有欧拉路径，，无欧拉路径和欧拉循环，，是欧拉图。

如何判断一个无向连通图或有向弱连通图是否为欧拉图？是否有欧拉路径？定理2－1.1 设是无向连通图，则1）当且仅当G的每个顶点都是偶顶点时，G才是欧拉图。

2）当且仅当G除两个顶点是奇顶点外，其他顶点都是偶顶点时，G才有欧拉路径。

证明 1)设是欧拉图：当时，G只含一个顶点，这个顶点显然是偶顶点。

当时，由所给条件知有G的欧拉循环，因为G的每条边在中出现且仅出现一次，故必通过G的每个顶点，且通过顶点时，此顶点的度就增加2，从而G的每个顶点都是偶顶点。

设G的每个顶点都是偶顶点：当时，G显然是欧拉图。

当时，由所给条件，G中必有循环，故也必有基本循环，从G中去掉各边后得生成子图，中每个顶点仍为偶顶点。

若是零图，则就是G的欧拉循环。

即G是欧拉图；若不是零图，即还有边，则必有与有一公共顶点的基本循环。

由于两条有一公共顶点的简单循环通过这个公共顶点可合并成一条简单循环，故和可合并成一条简单循环。

再从中去掉各边后得；最后得出一条通过G每条边的简单循环，这就是G的欧拉循环，故G是欧拉图。

2)设和是G有欧拉路径当且仅当有欧拉循环(即是欧拉图)，故由1)即得结论。

★用上面定理就能判断一个无向连通图是否为欧拉图，是否有欧拉路径。

例2－1.2 对于图2－1.2图2－1.2根据定理2－1.1中1)的结论知是欧拉图。

还可由其证明方法具体找出一条欧拉循环。

先将和合并成简单循环，再将和合并成简单循环，这就是G的一条欧拉循环。

第13节欧拉图与哈密顿图

第13节欧拉图与哈密顿图
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
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集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.

欧拉图与哈密顿图

欧拉图与哈密顿图
欧拉图与哈密顿图
图的周游
图的周游 周游是一种按某种方式系统地访问图中的所有结点的过程，它使每个结点都被且只 周游 被访问一次。图的周游也称图的遍历 遍历。 遍历
图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。 图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。
深度优先周游
先访问图中某个（未访问过的）结点V，然后选择 一个V邻接到的未被访问过的结点W，再访问W， 并按同样方法前进； 当遇到一个所有邻接于它的结点都被访问过了的结 点时，退回到已访问结点序列中最后—个拥有相邻 结点未被访问过的结点，访问它的一个未被访问过 的相邻结点U，再从U出发按同样方法前进。 当所有已被访问过的结点的相邻结点都被访问时， 如果图中还有未被访问的顶点，则从另一未被访问 过的顶点出发重复上述过程，直到图中所有顶点都 被访问过时，周游结束。
所谓哈密顿图, 起源于一种游戏, 所谓哈密顿图 , 起源于一种游戏 , 是英国数学家哈密顿 年提出, 游戏叫周游世界游戏, (Hamilton)于1859年提出 这种游戏叫周游世界游戏,用 于 年提出 这种游戏叫周游世界游戏 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图) 20个顶点代表20个大城市,(如左下图 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图 ) 这个正十二面体同构于一个平面图( 如右下图), ),要求沿 这个正十二面体同构于一个平面图 ( 如右下图 ), 要求沿 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线， 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线，通过每个城市恰 好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。 回路问题。 好一次又回到出发城市。这便是 回路问题
对图进行深度优先周游时，按访问顶点 的先后次序所得到的顶点序列，称为该 图的深度优先搜索序列 深度优先搜索序列，简称DFS序列 深度优先搜索序列 序列
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集合与图论
欧拉图
哥尼斯堡七桥问题：
“一笔画”问题：
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集合与图论
欧拉图的定义
定义1 包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为 欧拉闭迹. 存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图. 定义2 包含图的所有顶点和边的迹称为欧拉迹. 包含欧拉迹的图称为半欧拉图.
说明：
(1)上述定义对无向图和有向图都适用. (2)规定平凡图为欧拉图. (3)环不影响图的欧拉性.
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
不妨设这条边为v1vp，所得到的图记为G . 于是G 与G的顶点相同，并且G 的每一个顶点 的度大于或等于该点在G中的度 . 因此只要证明G 中至少有一个度小于p/2即可. 由图G 的做法可知，G 中有一条起于v1而终于vp 的哈密顿路，不妨设此生成路上各顶点依次为: v1,v2,...,vp. 设degv1=k，degvp=h，在G 中与v1相邻的顶点为： vi1,vi2,...,vik，其中2=i1<i2<...<ik≤p-1 这时顶点vir-1,(r=2,3,...,k)不能与顶点vp相邻.
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
定理2 设G是一个有p个顶点的图，p≥3，如 果(G)≥p/2，则G是一个哈密顿图. 证 假设G是一个p个顶点的非哈密顿图，p≥3， 则G中至少有一个顶点的度小于p/2. 因为完全图是哈密顿图，从而G不是完全图. 因此G中至少有两个不相邻的顶点，把G中不相 邻的两顶点间加一条边; 如果得到的是一个哈密顿图，停止； 否则，就重复做下去，经有限步后必得到一个哈 密顿图，然后去掉最后一次加进去的边.
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集合与图论
实 例
无欧拉迹
欧拉图
欧拉图
有欧拉迹 非欧拉图
有欧拉迹 非欧拉图
无欧拉迹
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集合与图论
哈密顿图
周游世界问题(W. Hamilton, 1859年)
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集合与图论
哈密顿图
定义1 图G的一条生成路称为G的哈密顿路. 所谓G的生成路就是包含G的所有顶点的路. G的一个包含所有顶点的圈称为G的一个哈密顿圈. 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 5/25 共顶点的圈构成.
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集合与论
哈密顿图的必要条件
如果第二个顶点在路的中间，去掉第二个顶点 后是二条路. 这时(H-S)≤2=S. 假设S=k， (H-S)≤S. 当S=k+1时，先从H中去掉k个顶点，则得到的路 的个数小于或等于k； 当去掉第k+1个顶点时，若它在一个路的端点， 则H-S的支数不变，若它不在端点，则H-S的支数加1； 仍然满足(H-S)≤S. 因为H-S是G-S的一个生成子图， 所以(G-S)≤(H-S)≤S.
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集合与图论
欧拉图的判别定理
(充分性)设G是连通的且每个顶点的度都是偶 数，则知G中有一个圈Z1. 如果Z1包含了G的所有边，从而也就包含了G的所 有顶点，因此Z1是G的欧拉闭迹，故G是欧拉图. 否则Z1不包含G的所有边，这时从G中删去圈Z1上 的边，得到的图记为G1.
G1的每个顶点的度均为偶数，并且至少有一个顶 点的度数不为零，则G1中有圈Z2，从G1中删去Z2得到 4/25 的图记为G2.
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集合与图论
欧拉图的判别定理
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每个顶 点的度都是偶数。
证 (必要性)设G是一个欧拉图，则G中有一条包含 G的所有顶点和所有边的闭迹，所以G是连通的. 设G是n个顶点m条边的欧拉图，则G中存在欧拉 闭迹. 设为C=vi0ej1vi1ej2...vi(m-1)ejmvi0，在这里每条边都 不相等. v，v在C中每出现一次就获得两度，若出现k次 就获得2k度，所以degv=2k，即v的度数为偶数.
集合与图论
欧拉图的判别定理
且这些圈构成一条欧拉闭迹。对圈的个数n用归纳 法证明。当n=1时，按圈的定义显然成立. 假设当n=k时成立，也就是k个边不重的有公共顶点 的圈Z1,Z2,...,Zk形成一个欧拉闭迹. 当n=k+1，因为每个圈与其它圈有公共顶点，所以 圈Zk+1必与某个圈Zi有公共顶点，设这个公共顶点为v， 在圈Zk+1上从v开始走遍Zk+1. 按归纳假设前k个圈是一个欧拉闭迹，因此从v开始 有一条欧拉闭迹. 6/25 因此定理成立.
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集合与图论
实 例
例1： 证明下述各图不是哈密顿图:
(a)
(b)
(c)
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集合与图论
实 例
例2：证明右图不是哈密顿图. 证 假设存在一条哈密顿圈, a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密顿圈上, 从而点c出现3次, 矛盾. 此外, 该图满足定理1的条件, 这表明此条件是必 要、而不充分的.
集合与图论
欧拉图的判别定理推论
推论1 设G是一个连通图，则下列命题等价： (1) G是一个欧拉图. (2) G的每个顶点的度都是偶数. (3) G的边集能划分成若干互相边不相交的圈.
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集合与图论
欧拉图的判别定理推论
推论2 图G有一条欧拉迹当且仅当G是连通的 且恰有两个奇度顶点. 证 设G有欧拉迹，则由定理6.5.1的证明可知， 除了这条迹的起点和终点外的每个顶点的度都是偶数. 假设G是连通的且恰有两个奇度顶点u和v，在 G中的u与v间加一条边得到图G (G 可能是多重图)， 则G 的所有顶点的度都是偶数，由定理1，G 有欧 拉闭迹. 从这个欧拉闭迹中去掉我们增加的u与v间的边，便 得到G的欧拉迹.
说明：
(1)有哈密顿路的图是连通图. (2)每个哈密顿图是连通的，并且每个顶点的度大 于或等于2. (3)完全图是哈密顿图. (4)有哈密顿通路不一定有哈密顿回路. (5)环与平行边不影响图的哈密顿性. 11/25
集合与图论
哈密顿图的必要条件
定理1 设G=(V, E)是哈密顿图，则对V的每个非空 子集S，均有 (G-S)≤S，其中G-S是从G中去掉S中 那些顶点后所得到的图，而(G-S)是图G-S的支数. 证 设H是G的哈密顿圈，先考虑(H-S)的支数. 当S=1，因为H是圈，去掉一个顶点 后剩下的顶点构成一条路，这时(H-S) =1≤S. 当S=2时，去掉第一个顶点后是 一条路，如果第二个顶点在路的端 点，去掉第二个顶点后还是一条路.