【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第七章 不等式 7-1 Word版含解析

第七章 不 等 式§7.1 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．本节在高考中主要考查运用不等式的性质判断正误、比较大小等，也有与函数单调性综合的题目，小题居多，难度一般不大．1．比较原理两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________．其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________； a ＝b ⇔__________． 2．不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．第一部分为以下4条性质定理： (1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________．第二部分为两个不等式的运算性质，共有7条： (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ______bd ；(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________． 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．【自查自纠】1．a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝0 2．(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd (8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b ，∴－1a <－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )≥g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ，b ∈R ＋，A ＝a 3＋b 3，B ＝a 2b ＋b 2a ，则A ，B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A <BC ．A ≤BD ．与a ，b 的大小有关解：A －B ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －ab )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，A ≥B .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝⎛⎭⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞.若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是__________．解：∵a ，b ∈R ＋，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ÷1a ＋b ＝（a ＋b ）2ab >2ab ab ＝2>1，∴1a ＋1b >1a ＋b .故填1a ＋1b >1a ＋b.燃导火线后要在燃放前转移到域．已知导火线的燃烧速度为4 m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的已知一个铁钉受击>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a范围是________解：由＜－β＜4，所以的取值范围是解：∵－＜－β＜π2的大小．解法一：a ＋m b ＋m － 的是________①log 0.5(②(－a )③(－a )a为正整数，则个结论：§7.2一元二次不等式及其解法1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．一元二次不等式的解法是高考必考内容之一，常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题．小题易出现考查“三个二次”关系的题目，多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查；解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题，着重考查分类与整合思想．1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)解一元二次不等式见下表：)4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.【自查自纠】1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜b a a＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)(Ⅰ){}x|x＜x1或x＞x2(Ⅱ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a(Ⅵ)若0＜a＜1，则不等式(x－a)⎝⎛⎭⎫x－1a＜0的解是()的解集为的解集为－2a＞0解：(1)当①当m＝－时，原不等式的解集为②当m＝.(2)当m2(1)x2－(3)x2－解：(1)而y＝的解集为所以方程＋1，x＜1，x≥0，()A．{x|－|－5≤x≤1}解：∵不等式∴x1＝－∴由韦达定理知＜x＜3}，求不等式解：由题意知因为不等式a＜0，由根与系数的关系得b解：(1)，不等式的解集为(2)当m的系数是参数时，首先对它是否为∈R)．解：不等式整理为当a＝0当a≠0时，解：x2x21≥0.⎭⎬⎫－2x ≤0，则A ．{x |－C ．{x |0≤⎦⎤0，12成立，则A ．0 解法一：－2，2]时，解法一：当－a2＜－5有一解，则A ．a <－C ．－1<解法一：个实根一个小于－值范围是( A ．－C ．－2<速生产某种产品得利润是100(1)要使生产该产品15元的价格销售，每天能卖出1元，日销售量将减少盏售价不低于应怎样制定这批台灯的销售价格？．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，则m 的取值范围是( )．m ＞0 B ．0＜m ＜2 ．m ＞12D ．m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.故选D . ．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集⎭⎬⎫<－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) ．{x |x <－1或x >lg2} ．{x |－1<x <lg2}－1]·(x2－－1中，令y＝0，得⎭⎫1－12－aa－1－1＝§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本节属于高考常考内容，以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主；关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点，也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题，难度一般不太大，小题居多．1．二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数．【自查自纠】1．(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是()A．点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B．点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C．点(1，0)在区域y≥2x内D．点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立．故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y ＋6＝0的()A．左下方B．左上方C．右下方D．右上方解：画出直线及区域范围知C正确．故选C.(2013·天津)设变量x，y满足约束条件画出原不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，当目标函数z ＝y 时，z 取得最小值，所以示的平面区域为的取值范围是作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影y ＝a (x ＋1)恒过定点k BC ＝12，k AC ＝4，∴区域为D ，若指数函数的点，则a 的取值范围是A ．(1，若要指数函数y ＝a x 与可行域有交点，则底利用指数函数的性质，)，9时，底数a 最大，即点此时有a 2＝9⇒ a ＝3，所以－y ≥－1，＋y ≤3，≥0，≥0，依题意，画出可行域，如图所示，可行域为，显然，当直线y ＝12x －取得最小值为－3；过点B (3，0)A．有最小值B．有最小值C．有最大值画出不等式表示的平面区域，如图，由，令z＝0，画出y＝－(2，0)时，z取得最小值为，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区向右上方移动时，z＝x＋区域被直线()由题目所给的不等式组可知，其表示的平面如图可得阴影部分即为满足x－的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为标函数z＝ax的取值范围是A．(－1＋2y的斜率为－a2，目标函数在点画出可行域三角形ABO ，可知处取最大值为4，即4＝＋y －2≥02y ＋4≥0－y －3≤0.最小值？最大值、最小值各是多少？如图，作出可行域(图中的阴影部分包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －23x －，同理可得B (0，2)，C (1，，y )到原点的距离的平方，所以， 个根在(0，1)(1)b －2a －1的值域；(2)(a －1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，所表示的平面区域为纵坐标均为整数的点的通项公式为2y－5＞＋y－7＞≥0，y≥0，()画出可行域如图，令3x＋4y＝z，，0)，(2，0)，(3，0)，处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(42)，(2，4)，(4，1)逐个试验韭菜，种植面积不超过元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表黄瓜≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域如图所示．类产品，甲种设备每天能生产件，乙种设备每天能生产件．已知设备甲每天的租赁费为的租赁费为300对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元．故填2300.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处，目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断． 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数i P Z ＝mx ＋ny ，比较各个i P Z ，得最大值或最小值．1．(2012·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3解：不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0，2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (3，0)时，z 取得最大值6.故选C .3．(2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解：可行域如图阴影部分所示，函数y ＝2x 的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1，2)，当直线x ＝m 经过点(1，2)时，实数m 取到最大值为1.故选B.4．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x ()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[2，10]C ．[2，9]D ．[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C .5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一如图，由条件可知，当直线x右上方时，可行域可以组成一个三角形，即时，可行域可以组成一个△OAB；当＝x＋y，则y＝－ABC，且x＋y的最大值只在点－y－3＝0，－my＝－1先作出可行域，而目标函数就是将直线y＝－kx平行移动发现，直线在y轴上的截距最大，故时，发现z不可能等于12.⎪⎧x－4y＋3≤0，3作出可行域如图中阴影部分，联立易得1)，C(5，2)．⇔y＝43x－z13，易知平移最大，z最大值为4×5－3×2如图，作出可行域，作直线l ：6x ＋12向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点且与原点距离最大，此时z ＝6x ＋12y 取最大值．＝300，得M (20，24)．所以生产甲种ax ＋b ＝0的两根分别在区间上的几何意义是：函数y ＝轴的两个交点的横坐标分别在区间不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （f （f （则在坐标平面aOb 的切线，可求得切线方程为在区域内，故⎝⎛⎭⎫y x min ＝e.对应点C 时， ⎩⎪⎨⎪⎧5y ＝20－5x ，4y ＝20－12x ⇒§7.4 基本不等式及其应用1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 纵观近年高考，基本不等式一直都是热点，涉及范围较广，且常考常新，但一般不外乎以下四个层次：①直接考：即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查，属基础知识型测试；②变化考：即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①，属知识、技能型测试；③灵活考：即从题面上看不一定是考查基本不等式，但若能灵活应用基本不等式，往往能突破题目难点，优化解题思路，避免分类与整合等，多为解答题，属能力型测试；④综合考：如综合各种数学思想，或与其他学科、背景综合等，属较高能力要求．1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．【自查自纠】 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b 22设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B .若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．故选A.(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .故选A.下列函数中，最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x；②y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)；③y ＝4e x ＋e －x ；④y ＝log 3x ＋log x 3(0＜x ＜1)．解：注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①的定义域为x ∈R ，且x ≠0，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；③符合一正、二定、三相等，且最小值为4；④没有最小值．故填③.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是 ．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，的值域．解：∵y＝（最小值为解：∵t当且仅当M，则对任意实常数A．2∈C．2∈解法一：m2＋2m求矩形场地的一面利用旧墙三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用45元/m ，新墙的造价为的函数；，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，设矩形的另一边长为x －2)＋180·2a ，得a ＝360x ，3602制造一个底宽孔流入，经沉淀后从高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab 为排出的水中杂质的质量分数，y ＝kab，是比例系数且k ＞0.最小，只需ab 最大．2ab ＋2a ≤60(a ＞(a ＞0，b ＞0)．，30，得0＜ab 时取“＝”号，ab ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂同解法一得b ≤30－a ，代入1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是(10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值．解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a＋b )2－4ab ＝1－4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab＋4ab －1≤2－12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . 解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x ＞0，∴0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎡⎦⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2013·惠州模拟)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA＝β－α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β－α)＝9x －4x 1＋9x ×4x＝5x x 2＋36＝5x ＋36x ≤52x ×36x ＝512，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔ (x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}．故选A.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1) ⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则y x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.(]0，1 C ．(1，＋∞)D.[)1，＋∞解：画出不等式组所表示的平面区域，而yx 表示过可行域上任意一点P ()x ，y 和原点连线的斜率，故选C .4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．aD ．12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解：函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号．故选C.6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．log a b ＋log b aB ．x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－x解：对于选项A ，可能有log a b ＜0，不正确；对于选项B ，x 2＋5x 2＋4＝（x 2＋4）＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，但等号不可能成立，不正确；对于选项C ，可能有tan θ＜0，不正确；对于选项D ，∵2x ＋2－x ＝2x ＋12x≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，正确．故选D. 7．(2012·山东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是()A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32解：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x(1＋a)x＋1＋a＋bf(x)＝x2＋(1＋a)x 方程x2＋(1＋a)x＋1图中的阴影部分为满足题意的可行域，(3，－4)，C(－5，0)三点都在圆周上0经过原点，所以直线mx＋P在线段DB上移动，因为直线若不等式的解集为因为不等式的解集为－16由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5，2)使z＝320x＋504y取得最小值，504×2＝2608.每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花＋4bx＋c，。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1[答案]C[解析]本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax ， 比较y ＝±32x ，∴a ＝2. 2．(2013·某某高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25B.45C.255D.455[答案]C[解析]本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x 2，即x －2y ＝0， ∴d ＝|2|5＝255. 3．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定[答案]C[解析]由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x [答案]C[解析]由题意可得2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，故a 2＝c 2－b 2＝2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x . 5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋82D ．8 2[答案]C[解析]|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A.10B ．210 C.5D ．2 5[答案]B[解析]由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→|＝2PO ＝|F 1F 2|，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.二、填空题7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. [答案]16[解析]本题考查双曲线的标准方程以及a 、b 、c 基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a 2＝m ，b 2＝9，而c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2，∴52＝m ＋9.∴m ＝16.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案]2[解析]本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知 a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a 2＝5， ∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2. 9．(2013·某某高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[答案]44[解析]如图，由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A 恰为右焦点知，线段PQ 过双曲线的右焦点，则|PF |＝|P A |＋2a ＝|P A |＋6，|QF |＝|QA |＋6，所以|PF |＋|QF |＝|PQ |＋12＝4b ＋12＝28，∴△PQF 的周长为28＋16＝44.三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M (92，－1)； (2)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率e ＝54. [解析](1)∵双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，∴可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又 ∵双曲线过点M ⎝⎛⎭⎫92，－1，∴λ＝4×814－9＝72. ∴双曲线方程为4x 2－9y 2＝72，即x 218－y 28＝1. (2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上，∴可设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝5.又e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 解法2(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)． 又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 能力强化训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案]A[解析]∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.2．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案]C[解析]本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．(理)(2013·某某高考)如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[答案]D[解析]不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，①并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，②由①②知12－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|，∴|BF 1|·|BF 2|＝6－2a 2.下面求|BF 1|·|BF 2|的值． 在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16，又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，∴|BF 1|·|BF 2|＝2，因此有c 2－a 2＝1，∵c 2＝3，∴a 2＝2，∴C 2的离心率e ＝c a ＝62. 二、填空题3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为________．[答案]4[解析]设C ：x 2a 2－y 2a2＝1. ∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4. 得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b 2，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析]∵(b 2＋c )(c －b 2)＝3 2. ∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ， e ＝c a ＝521＝52121. 三、解答题5．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析]设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0. 因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．[分析] 由离心率为2可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．[解析](1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1→⊥MF 2→.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法2：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a ，b ，c ，e ”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．(理)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．[解析](1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2.即a 21－a 22＝b 21＋b 22. 由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)， 所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 21－b 21)－2(a 22＋b 22)2(a 21－a 22) ＝b 21－b 22a 21－a 22＝b 21－b 22b 21＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 21＋b 22.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ ＝12(a 21－a 22)·2b 1b 2b 21＋b 22＝b 1b 2. (2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24， 所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.。

基础达标检测一、选择题1．已知条件p ：x >1，条件q ：1x ≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当x >1时，一定有1x <1，因而一定有1x ≤1；但当1x ≤1时，可以推得x <0或x ≥1，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(文)x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .(理)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C. 3．(2013·天津高考)设a 、b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0， 即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0， 所以(a －b )a 2<0是a <b 的充分不必要条件．4．设a 、b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b[答案] C[解析] a <b <0时，a 2>b 2排除A ； 当a ＝1，b ＝2时ab 2>a 2b ，排除B ； 当b >a >0时，b a >ab 排除D ；因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2，a 2b 2>0，又a <b ，所以a －b <0， 即1ab 2－1a 2b <0，所以1ab 2<1a 2b ，故选C. 5．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1B ．2a <2bC ．lg ab <0 D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba <1.故选D.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定 [答案] B[解析] 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 1)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．二、填空题7．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________．[答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0，∴a <b <c .8．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 若x >y ，a >b ，则－x <－y ，∴a －y >b －x . 若x >y ，a >b ，则－b >－a ， ∴x －b >y －a ，即a ＋x >b ＋y ； 若x >y ，a >b ，则推不出ax >by . 若x >y ，a >b ，推不出a y >bx . 综上，①③⑤错误，②④正确．9．已知a 1，a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是M ________N .[答案] >[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N . 三、解答题10．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．[解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b ) ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )(1b 2－1a 2) ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .能力强化训练一、选择题1．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2[答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确． 若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确． 当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．2．(文)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 本题考查对取整函数的理解．可用排除法． 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A 错； 令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，C 错；选D.(理)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] [答案] D[解析] 取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A 、B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 错．二、填空题3．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解． 令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎨⎧2＝m ＋n －3＝m －n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152， ∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1. (理)(2012·宜春模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋cb ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c 的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c>a b ≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案]A[解析]∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x，∴x －2x <0，即x (x －2)<0.解得0<x <2，选A. 2．(文)若a <b <0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1bC.－a >－b D ．|a |>－b [答案]B[解析]取a ＝－2，b ＝－1，逐一检验即可知选B. (理)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B.12<(12)a <(12)bC ．a 2<ab <1D ．log 12b <log 12a <0[答案]B[解析]依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有(12)0>(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可取特值a ＝12，b ＝14检验．3．(文)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)[解析]由题意知－12、－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝ba ，－12×(－13)＝－1a. ∴a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，∴2<x <3.(理)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 [答案]C[解析]方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.4．已知a 1<a 2<a 3<0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值X 围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a 1，0B.⎝⎛⎭⎫2a 1，0 C.⎝⎛⎭⎫1a 3，0D.⎝⎛⎭⎫2a 3，0 [答案]B[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 1x <1，－1<1－a 2x <1，－1<1－a 3x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1<x <0，2a 2<x <0，2a 3<x <0.∵a 1<a 2<a 3<0，∴0>2a 1>2a 2>2a 3，∴2a 1<x <0，故选B. 5．(文)(2013·东城区统一检测)“x 2－2x －3>0成立”是“x >3成立”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3，所以x 2－2x －3>0是x >3成立的必要不充分条件． (理)(2013·某某一模)若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵当x ∈[－1,0]时，恒有ax ＋b >0成立， ∴当x ＝－1时，b －a >0，当x ＝0时，b >0， ∴2b －a >0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲， 例如：a ＝32b ，b >0时，则2b －a ＝12b >0，但是，当x ＝－1时，a ·(－1)＋b ＝－32b ＋b ＝－12b <0，∴甲是乙的充分不必要条件．6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定 [答案]B[解析]由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N ，选B. 二、填空题7．(文)(2013·某某期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．[答案]a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1[解析]作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.(理)(2013·某某一模)给出下列四个命题： ①若a >b >0，则1a >1b ；②若a >b >0，则a －1a >b －1b ；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >ab；④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)． [答案]②[解析]①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab <0，∴①错误．②若a >b >0，则1a <1b ，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b 正确．∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b (2a ＋b )－a (a ＋2b )(a ＋2b )b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b －a )(b ＋a )(a ＋2b )b<0，∴③错误．④当a －b <0时此式不成立，∴④错误．8．(2012·某某某某统考)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝(12)x －m ，若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________．[答案][－52，＋∞)[解析]要使对∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，只需使f (x )在区间[1,2]上的最小值大于等于g (x )在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f ′(x )＝2(x 3－1)x 2≥0对x ∈[1,2]恒成立，所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，从而函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为f (1)＝3.易知函数g (x )在区间[－1,1]上单调递减，故函数g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (1)＝12－m .由题意得3≥12－m ，解得m ≥－52.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案](－∞，1][解析]原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤2x ≥0或②⎩⎨⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]． (理)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0的解集是________．[答案]{x |x <－1或x >2}[解析]不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－x －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2－(x ＋1)×0－1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋x >0. ∴x >2或x <－1. 三、解答题10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么X 围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析]依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的X 围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b ，P ＝logc a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab )，则有( )A ．P <M <NB ．M <P <NC ．N <P <MD ．P <N <M [答案]A[解析]因为a >b >0，且ab ＝1， 所以a >1,0<b <1，a ＋b >2ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以log c a <log c (ab )<log c b ， 即P <M <N ，选A.(理)已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是() A ．log 2a >0 B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2[答案]D[解析]当a ＝14，b ＝34时A 不成立；对B 有2a －b <12⇒2a －b <2－1⇒a －b <－1，又a ＋b ＝1，可得a <0，与a >0矛盾；对C 有2b a ＋a b <12⇒2b a ＋a b <2－1⇒b a ＋a b <－1，与b a ＋ab >2(∵a ≠b ，且a >0，b >0)矛盾，故选D.12．(文)已知x ∈R ，A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝x 2＋9x ＋20，则A 、B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A ＝B C ．A <B D ．与x 有关 [答案]D[解析]A －B ＝(x ＋3)(x ＋7)－(x 2＋9x ＋20)＝x －1，当x >1时A >B ，当x ＝1时A ＝B ，当x <1时A <B ，故选D.(理)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b [答案]A[解析]解法1：特值法：令a ＝0，则b ＝1，c ＝5， ∴c >b >a ，排除B 、D ；令c ＝b ，则a ＝2，∴b ＝c ＝5，也满足b >a ，排除C ，选A. 解法2：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴1＋a 2>a ，∴b >a ，∴c ≥b >a .13．(2013·某某名校模拟)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) [答案]C[解析]把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.二、填空题14．(文)若关于x 的不等式2x 2－(2a ＋1)x ＋a <0的整数解有且仅有1、2，则实数a 的取值X 围是________．[答案](2,3][解析]将不等式变形为：(2x －1)(x －a )<0， 由题设条件知a >12，∴12<x <a ，∵不等式的整数解有且仅有1、2，∴2<a ≤3.(理)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，比较S 3a 3与S 5a 5的大小，结果为________．[答案]S 3a 3<S 5a 5[分析] 可以利用等比数列前n 项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．[解析]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.三、解答题15．已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >yy ＋b .[解析]∵x >y >0，∴0<1x <1y，∵b >a >0，∴0<a x <b y ，∴1<1＋a x <1＋by ，即1<x ＋a x <y ＋b y ，∴x x ＋a >yy ＋b.16．(文)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，某某数a 的取值X 围． [解析](1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0， 所以f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立．又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，则要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≥0，g (1)≥0，成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，2a －1≥0，解得a ≥1. 解法二：要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，∴g (x )≤1，∴a ≥1.(理)(2013·某某模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．[解析](1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )(a ≠0)， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .考纲要求1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．3．了解证明不等式的基本方法——比较法． 4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 补充材料1．实际应用中不等关系与数学语言间的转换将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换．2．利用不等式性质求数(式)的取值X 围应用不等式的性质求多个变量线性组合的X 围问题时，由于变量间相互制约，“取等号”的条件会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法解决．3．数的大小比较比较数或式的大小时，可以利用不等式的性质进行比较；也可以作差(与0比)和作商(与1比)比较；还可以利用函数的单调性进行比较，要注意结合题目的特点选取恰当的方法．4．含参数的不等式问题一般分为两类：一类是已知参数的取值X 围，求不等式的解；另一类是求使不等式有解(或恒成立)的参数的取值X 围，求解时要注意分类讨论．对于含参数的一元二次不等式，往往既要按二次项系数a 的正负分类，又要按判别式Δ的符号分类．5．恒成立问题一般地，a >f (x )恒成立，f (x )的最大值为M ，则a >M ； a <f (x )恒成立，f (x )的最小值为m ，则a <m . 6．求解含参不等式恒成立问题的常用方法 (1)变换主元，转化为一次函数问题；(2)转化为二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想求解． (3)分离参变量，构造函数求最值． 7．不等式的解法 (1)分式不等式的解法先通分化为一边为f (x )g (x )，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；A B ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ·B ≥0B ≠0；A B ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0. 如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．(2)高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论；二是平方法．(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．(6)超越不等式讨论解的个数可用图解法．8．(1)无理不等式和含绝对值的不等式多数题目都可以用平方法求解，平方后要注意取值X 围是否发生变化．(2)关于不等式解集的选择题，大多能用检验排除法求解．(3)去掉绝对值号时可以用绝对值的定义．(4)含无理式时，必须注意定义域的制约．(5)注意方程的根、函数的零点，不等式解集的端点三者之间的关系．备选习题1．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a[答案]C[解析]a ＝log 32＝ln2ln3<ln2＝b ， 又c ＝5－12 ＝15<12， a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a <b . 2．(2013·某某市调研)若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)[答案]B[解析]∵x ∈[2,4]时，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4∈[5,13]，又存在x ∈[2,4]时，使m >x 2－2x ＋5成立，∴m >5，故选B.3．设a ＋b <0，且b >0，则( )A ．b 2>a 2>abB ．b 2<a 2<－abC ．a 2<－ab <b 2D ．a 2>－ab >b 2[答案]D[解析]由a ＋b <0，b >0，可得a <0,0<b <－a ，则b 2－a 2＝(b －a )(a ＋b )<0，可知A 、C 错误，a 2＋ab ＝a (a ＋b )>0，b 2＋ab ＝b (b ＋a )<0，可知B 错误，D 正确．[点评] 可对a 、b 取特值检验．4．(2013·某某莱州一中质检)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <4}，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |x >12或x <14}B ．{x |x <14} C ．{x |x >12} D ．{x |12<x <14} [答案]A[解析]由条件知a <0且b a ＝－6，c a＝8，∴b ＝－6a ，c ＝8a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0化为8ax 2－6ax ＋a <0，∴8x 2－6x ＋1>0，∴x <14或x >12，故选A. 5．(2013·某某模拟)设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值X 围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π) [答案]D[解析]由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．设A ＝log 201320141111＋120142222＋1，B ＝log 201320142222＋120143333＋1，则A 与B 的大小关系为________． [答案]A >B[解析]设20141111＝x ，则x >1，A ＝log 2013x ＋1x 2＋1，B ＝log 2013x 2＋1x 3＋1， ∵x ＋1x 2＋1－x 2＋1x 3＋1＝x (x －1)2(x 2＋1)(x 3＋1)>0， y ＝log 2013x 为增函数，∴log 2013x ＋1x 2＋1>log 2013x 2＋1x 3＋1，即A >B .。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-7对数与对数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题 1．函数y ＝1－1x －1的图像是( )[答案]B[解析]将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) [答案]C[解析]y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x <0.3．(文)(2013·某某高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[答案]A[解析]本题考查函数的图像与性质． ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1， 则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0， 所以排除B 、D ，选A.(理)(2013·某某高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )[答案]C[解析]本题考查函数图像的形状．函数的定义域为：3x －1≠0，∴x ≠0，排除A ； 取x ＝－1，则f (－1)＝－113－1>0，排除B ；当x →＋∞时，3x －1比x 3增大要快， ∴x 33x －1大于0而且趋向于0，排除D. 故选C.4．函数y＝2x－x2的图像大致是()[答案]A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是()①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④[答案]C[解析]由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C.6．(2013·高考)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1[答案]D[解析]∵曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x的图像向左平移1个单位即得到函数f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案]x[解析]因为f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x －2)＋2＝x.8．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．[答案](2,8][解析]当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．9．(2014·某某调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．[答案]6[解析]在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.三、解答题10．若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？[解析]原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①作出函数y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图像如图，显然该图像与直线y ＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知：当 3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝1314时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.2．(文)(2014·宁都一中月考)已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )·(x －b )的图像如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图像可能为( )[答案]B[解析]由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图像可知，a >1,0<b <1，所以排除A ，D ；函数g (x )的图像是由函数u (x )＝log a x 的图像向左平移b 个单位得到的，故选B.(理)(2014·某某调研)我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf (x 1＋x 2＋…＋x n n )，那么下列四个图像中在[0，π2]上满足凹函数定义的是( )[答案]A[解析]要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A ，B ，C 这三个选项中可以考虑特殊值法．取x 1＝0，x 2＝π2，则显然选项B ，C 不满足f (x 1)＋f (x 2)≥2f (x 1＋x 22)，故选A.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案]0[解析]由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围是________． [答案]⎝⎛⎭⎫1，54 [解析]如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝________.[答案]3[解析]由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2014)＋f (2015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2014)＋f (2015)＝1＋2＝3.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝2x －a2x ，将y ＝f (x )的图像向右平移两个单位，得到y ＝g (x )的图像．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝1对称，求函数y ＝h (x )的解析式． [解析](1)由题设，g (x )＝f (x －2)＝2x －2－a2x －2.(2)设(x ，y )在y ＝h (x )的图像上，(x 1，y 1)在y ＝g (x )的图像上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2－y ，∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )， 即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2.(理)设函数f (x )＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．[解析](1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎨⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；word11 / 11 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．6．(2014·某某模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．[解析](1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0，－2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7.而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]－2x －1，x ∈[－2，0].。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案]C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C. 2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案]B[解析]f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x)有意义应满足⎩⎨⎧ x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确． 3．(2013·某某高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案]B[解析]本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b ) [答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ， 对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b .对C 选项lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1， 对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案]A[解析]由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案]B[解析]∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B. 二、填空题7．(2013·某某高考)lg 5＋lg 20的值是________．[答案]1[解析]本题考查对数的运算． lg 5＋lg 20＝lg5 12 ＋lg20 12 ＝12lg5＋12lg20 ＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1. 8．(文)方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．[答案]x ＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x >0，2x ＋2>0，x 2＋x ＝2x ＋2，解得x ＝2.(理)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，所以x ＝ 5.9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值X 围．[解析](1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值X 围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝() A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2， 又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D. 2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4[答案]B[解析]∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. (理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e － 12 ，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12 ＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值X 围是________． [答案](－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．[答案]{x |－1<x ≤0或x >2}[解析]当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2.∴x 的取值X 围是{x |－1<x ≤0或x >2}．三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值X 围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值X 围的制约．[解析]∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0即1<a <2. ∴a 的取值X 围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式；(2)求f (log 1224)的值．[解析](1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值X 围为(0,1)．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-7空间向量及其运算课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．已知AB →＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152[答案]D[解析]AB →∥CD →⇔AB →＝kCD →，得2＝3k ，∴k ＝23.∴x ＝6，y ＝152.2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1[答案]C[解析]如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)．3．(2014·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC＝π3，则cos<OA →，BC →>的值为( )A ．0 B.12C.32D.22[答案]A[解析]设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件<a ，b >＝<a ，c >＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， ∴cos<OA →，BC →>＝0.4．已知A (－1,0,1)、B (x ，y,4)、C (1,4,7)，且A 、B 、C 三点在同一条直线上，则实数x 、y 分别等于( )A ．x ＝0，y ＝1B ．x ＝0，y ＝2C ．x ＝1，y ＝1D ．x ＝1，y ＝2 [答案]B[解析]由条件和AB →∥AC →，∵AB →＝(x ＋1，y,3)，AC →＝(2,4,6)，∴x ＋12＝y 4＝36，∴x ＝0，y ＝2.5．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[答案]C[解析]k a －b ＝(－k －1，－2，k －3)， ∵k a －b 与b 垂直，∴1×(－k －1)＋2×(－2)＋3(k －3)＝0，∴k ＝7.6．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657 [答案]D[解析]由于a ，b ，c 三向量共面． 所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.故选D.二、填空题7．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. [答案]0[解析]设AB →＝b ，AC →＝c ，AD →＝d 则CD →＝d －c ，BD →＝d －b ，BC →＝c －b . 原式＝b · (d －c )＋d ·(c －b )－c ·(d －b )＝0.8．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______. [答案]2[解析]c －a ＝(1,1,1)－(1,1，x )＝(0,0,1－x )． ∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2－2x ＝－2. ∴x ＝2.9．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则M 点的坐标为________．[答案](1，32，1)[解析]由长方体的几何性质得，M 为AC 1的中点， 在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)． ∴中点M 的坐标为(1，32，1)．三、解答题10．如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． [解析]记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，<a ，b >＝<b ，c >＝<c ，a >＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos<BD 1→，AC →>＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC |＝66.∴AC →与BD 1→夹角的余弦值为66.能力强化训练一、选择题 1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案]A[解析]①错，向量a ，b 所在的直线可能重合；②错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a ，b ，c 要求不共面．2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°[答案]B[解析]如图，AB 1→＝AB →＋BB 1→， BC 1→＝BC →＋CC 1→，设|BB 1→|＝1，∴AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→＋BB 1→·BC →＋BB 1→·CC 1→＝2·2·cos120°＋1＝0.∴AB 1⊥BC 1. 二、填空题3．若A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________．[答案]锐角三角形[解析]∵AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0. ∴AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AB ⊥AD .∴BC 2＋CD 2＝AB 2＋AC 2＋AC 2＋AD 2>AB 2＋AD 2＝BD 2，∴∠BCD 为锐角． 同理∠BDC ，∠CBD 也为锐角．∴△BCD 为锐角三角形． 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： ①|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|2＝3|A 1B 1→|2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°； ④此正方体体积为|AB →·AA 1→·AD →|.则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． [答案]③④[解析]∵|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|＝|A 1C →|＝3|A 1B 1→|， ∴①正确；∵A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→， 由三垂线定理知A 1C →⊥AB 1→，∴②正确；③AD 1与A 1B 异面直线的夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，A 1B →＝D 1C →，注意方向．④因为AB →·AA 1→＝0，正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|. 三、解答题5．如图所示，在四棱锥M －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AM 的长为b ，且AM 和AB ，AD 的夹角都等于60°，N 是CM 的中点．(1)以AB →，AD →，AM →为基向量表示出向量CM →，并求CM 的长； (2)求BN 的长． [解析](1)CM →＝AM →－AC →＝AM →－(AB →＋AD →)＝AM →－AB →－AD →， |CM →|2＝(AM →－AB →－AD →)2＝AM →2＋AB →2＋AD →2－2AM →·AB →－2AM →·AD →＋2AB →·AD → ＝b 2＋a 2＋a 2－2ba cos60°－2ba cos60°＋2a 2cos90° ＝2a 2－2ab ＋b 2. ∴CM ＝|CM →|＝2a 2－2ab ＋b 2.(2)BN →＝BC →＋→＝BC →＋12(AM →－AB →－AD →)＝12(AM →－AB →＋AD →)，∴|BN →|2＝14(AM →2＋AB →2＋AD →2－2AM →·AB →＋2AM →·AD →－2AB →·AD →)＝14(2a 2＋b 2)∴BN ＝|BN →|＝122a 2＋b 2.6．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .[分析] 建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解．[解析]如图所示，以C 为原点建立空间直角坐标系C —xyz . (1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)． ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3. ∴BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1||CB 1→|＝3010.∴异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值为3010. (3)依题意得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝(12，12，0)．∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0.∴A 1B →⊥C 1M →.∴A 1B ⊥C 1M .。

基础达标检测一、选择题1．(文)(2014·福州调研)若x >0，则x ＋4x 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 2 D ．4[答案] D[解析] ∵x >0，∴x ＋4x ≥4.(理)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 [答案] B[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．2．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 [答案] B[解析] 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x >0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝(x 4)2＋(16－x 4)2≥(x 4＋16－x 4)22＝8，当且仅当x 4＝16－x4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.3．(文)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14[答案] B[解析] 本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用． 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. (理)下列函数最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C ．y ＝3x ＋4·3－x D ．y ＝lg x ＋4log x 10[答案] C[解析] A 中没有强调x ＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B中虽然x ∈(0，π)，sin x ＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x ＝4sin x 即sin x ＝±2矛盾，所以等号取不到，故不对．C 中3x ＞0，∴可直接运用基本不等式3x ＋4·3－x ≥24＝4，当且仅当3x ＝43x ，即3x ＝2，x ＝log 32时取等号，故正确．D 中由于没有给出x 的范围，所以lg x 不一定大于0，故不对．4．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2][答案] D[解析] 本题考查均值不等式．由2x ＋2y ≥22x ·2y ，则2x ＋y ≤12即2x ＋y ≤2－2，x ＋y ≤－2.5．当x >54时，f (x )＝4x ＋14x －5的最小值是( )A ．－3B ．2C ．5D ．7[答案] D[解析] ∵x >54，∴4x －5>0.f (x )＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2(4x －5)×14x －5＋5＝7(当x ＝32时取等号)．6．(文)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8[答案] C[解析]由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．(理)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q[答案] B[解析] 解法1：取a ＝100，b ＝10. P ＝2，Q ＝32＝lg1032＝lg 1 000， 则有R ＝lg55＝lg 3 025>Q ， 即P <Q <R . 解法2：∵a >b >1，∴lg a >lg b >0.∴P ＝lg a ·lg b ＝lg a ·lg b <lg a ＋lg b2＝Q ， ∴Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg ab <lg a ＋b 2＝R ， ∴P <Q <R . 二、填空题7．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案] 36[解析] 本题主要考查均值不等式等号成立的条件． 由于x >0，a >0，f (x )＝4x ＋ax ≥4a .此时当4x ＝ax 时，f (x )取得最小值4a ，即a ＝4x 2. ∴a ＝4×32＝36.8．设点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图像上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．[答案] －2[解析] ∵(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限的图像上运动， ∴m ＋n ＝1且m >0，n >0.∴mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n 时等号成立．∴log 2m ＋log 2n ＝log 2(m ·n )≤log 214＝－2. ∴log 2m ＋log 2n 最大值为－2.9．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是________． [答案] 4[解析] 由已知易得x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当3y x ＝x3y 时取得等号． 三、解答题10．(1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．[分析] (1)由于x >0，且12x ·3x ＝36是常数， 故可直接利用基本不等式求值．(2)由于4x －3·x 不是常数，故需利用拆、凑项将原函数变为f (x )＝4x －3＋(x －3)＋3，然后再用基本不等式求解． [解析] (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号． ∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3， ∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.能力强化训练一、选择题1．(文)已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7[答案] D[解析] ∵3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ＋3y ＋1＝2×3＋1＝7，(当且仅当x ＝3y ＝1等号成立)∴所求最小值为7.(理)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4， 则直线应过圆心，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)．2．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为9 000元，年维修费第一年是2 000元，以后逐年递增2 000元．问这种汽车使用________年时，它的年平均费用最小( )A ．11B ．10C ．9D ．8[答案] B[解析] 设汽车使用n 年时，年平均费用为y ，则y ＝10＋0.2n ＋n (n －1)2×0.2＋0.9nn＝10＋n ＋0.1n 2n＝10n ＋n 10＋1≥2＋1＝3，当且仅当n ＝10时，年平均费用y 最小，选B.二、填空题3．设x >1，y >1，且lg(xy )＝4，则lg x ·lg y 的最大值为________． [答案] 4[解析] ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，∴lg x ·lg y ≤(lg x ＋lg y 2)2＝lg 2(xy )4＝4(当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y＝100时取等号)．∴当x ＝y ＝100时，lg x ·lg y 有最大值4.4．当a >0，a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值是________．[答案] 2 2[解析] A (2,1)，故2m ＋n ＝1. ∴4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n ＝2 2.当且仅当4m ＝2n ，即2m ＝n ， 即n ＝12，m ＝14时取等号． ∴4m ＋2n 的最小值为2 2. 三、解答题5．(文)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[分析] 两次利用基本不等式时，注意等号能否成立及成立时的条件．[解析] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab .当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立． 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝2 2. 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立． 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．(理)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.求证： ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[分析] 由不等式左边含字母a ，b 右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a ，b ，不等号方向又不对，因a ＋b ＝1，能否把左边展开，实行“1”的代换．[解析] 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1. 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a . 同理1＋1b ＝2＋ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8， 因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 6．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (x >0)(单位：元)．(1)将总费用y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．[解析] 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360，由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x >0)(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习1-1集合的概念及其运算课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·新课标高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}[答案]A[解析]本题考查了集合的运算，由x＝n2，n∈A，得B＝{1,4,9,16}，则A∩B＝{1,4}，选A，注意集合B中的元素是集合A中元素的平方．(理)(2013·新课标高考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B[答案]B[解析]本题考查集合的关系与运算．A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}∴A∪B＝R，故选B.2．(文)(2013·某某高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}[答案]A[解析]本题考查了集合的运算、补集、交集．(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(理)(2013·高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]本题考查集合的交集运算问题．∵A∩B＝{－1,0,1}∩{x|－1≤x<1}＝{－1,0}，∴选B.3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅[答案]B[解析]由题意可得，A＝{x|－1<x<2}，而B＝{x|－1<x<1}，故B A.4．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝() A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}[答案]D[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案]B[解析]本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的非空真子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个[答案]A[解析]由已知得P＝M∩N＝{1,3}，所以P的非空真子集有22－2＝2个．故选A.6．(文)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，2][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－2，2]，∴M∩N＝[0，2]，故选D.[点评]本题特别易错的地方是将数集误认为点集．(理)若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案]A[解析]考查集合的基本概念及运算．A⊆A∪B＝B∩C，∴A⊆C，选A.二、填空题7．已知集合A＝{3，2，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．[答案]－ 2[解析]因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝2或a＝－2；当a＝2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－ 2.8．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值X围是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵∁R B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．[答案]6[解析]由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．三、解答题10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，某某数m的取值X围；(3)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[分析](1)求A、B→确定A∪B，∁U B→求得A∩(∁U B)；(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的X围；(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的X围．[解析](1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，∴A＝{x|－2<x<4}．当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁U B＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.能力强化训练一、选择题1．(文)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．9[答案]C[解析]当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复．故集合B中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C.(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x ∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于()A．A B．BC．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)[分析]本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．[答案]B[解析]画一个一般情况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.2．设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4a 2＋4a ＋2，a ∈R }，则下列关系正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ⊆N[分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解．[答案]A[解析]由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R )，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R )，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1.故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.二、填空题3．(文)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝______.[答案]{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y 2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． (理)已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是________．[答案](2,3)[解析]B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1.又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a .∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.4．(2014·某某模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为________．[答案]0或2或3[解析]当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝{6m}⊆{2,3}可得 6m ＝2或6m＝3， 解得m ＝3或m ＝2，综上可得实数m ＝0或2或3.三、解答题5．(文)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，求a 2 015＋b 2 015的值． [解析]由已知得a ≠0，∴b a＝0，即b ＝0. 又a ≠1，∴a 2＝1，∴a ＝－1.∴a 2 015＋b 2 015＝(－1)2 015＝－1.(理)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[解析](1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.6．(文)(2014·某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，某某数a 的取值X 围．[分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．[解析]由x 2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ，(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，得a ＜－1.(2)若A ≠∅，则0∈A 或－4∈A ，当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值X 围是：a ≤－1或a ＝1.(理)(某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值X 围．[解析]∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}．(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }．要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4不等式组无解，即不存在符合条件的a ，∴综上可知，当A⊆B时，a的取值X围是43≤a≤2. (2)要满足A∩B＝∅，当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，或a≥4；∴0<a≤23当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，，若A∩B＝∅，则a≤2或a≥43∴a<0；验证知当a＝0时也成立．或a≥4时，A∩B＝∅.综上所述，a≤23(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，显然a>0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.。

基础达标检测一、选择题1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析]本题考查一元二次方程根的个数问题．“方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m2－4>0，解得m>2或m<－2.2．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，则()A．a≥1 B．a<－1C．a>－1 D．a∈R[答案] C[解析]∵不等式的解集为{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.3．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列{a n}的第四项为()A．3 B．－1C．2 D．3或－1[答案] D[解析] ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案] B[解析] ①当x －2>0，即x >2时， 不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2. 所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <15 B ．a >15 C ．a <－1或a >15 D ．a <－1[答案] C[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号．[解析] 由题意得f (－1)·f (1)<0， 即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C.6．(文)(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72 C.154 D.152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为(x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ，∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52. (理)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30][答案] C[解析] 本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t ，由相似知识得x 40＝40－t40，∴t ＝40－x ，所以(40－x )x ≥300，即x 2－40x ＋300≤0， 解得10≤x ≤30，故选C. 二、填空题7．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．[答案] －1<a <1[解析] 令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a <1.8．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则pq＝________.[答案] 127[解析] 由－4<2x －3<4，得－12<x <72. 由题意得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ， ∴p q ＝127.9．关于x 的不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a＝____________.[答案] 12[解析] 原不等式可化为(a －1)x ＋1x －1＜0.∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}， ∴a －1＜0且－1a －1＝2.∴a ＝12. 三、解答题10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R . [解析] (1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程 (1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}． (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.能力强化训练一、选择题1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C. 2．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析] 本小题主要考查不等式解法．∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1)得 x 2－4x ＋6>3， ∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3， ∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}[答案] C[解析] 不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎨⎧ x ＋1<0x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1或(2)⎩⎨⎧x ＋1≥0x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1；解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x|x≤2－1}，选C.二、填空题3．(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_____________．[答案](－5,0)∪(5，＋∞)[解析]本题考查函数性质和解不等式应用．当x>0时，x2－4x>x，∴x>5，当x＝0时，f(0)＝0，不合题意．当x<0时，－x>0时，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5<x<0，综上f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．4．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．[答案]20[解析]由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20. 三、解答题5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1. 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， ∴0<m ≤12.6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围是(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．高考资源网（ ）您身边的高考专家 版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区 试卷投稿QQ 2355394696方法二：因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34， 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是{m |m <67}．。

基础达标检测一、选择题1．(文)二元一次不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( )[答案] C [解析](x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0⇔⎩⎨⎧x －2y ＋1>0，x ＋y －3<0，或⎩⎨⎧x －2y ＋1<0，x ＋y －3>0，画图易知，C 正确．(理)(教材改编题)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 [答案] A[解析] 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)在直线x ＋y－1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0.则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 画出可行域(如图)，由图可知，当直线l 经过点A (1，－1)时，z 最大，且最大值为z max ＝1－2×(－1)＝3.3．(文)(2013·四川高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16[答案] C[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．z ＝5y －x ，可得y ＝15x ＋15z .表示直线在y 轴上的截距．截距越大z 越大，截距载小，z 越小，如图所示．平移直线l 0：y ＝15x .当l 0过A 点(4,4)时可得z max ＝a ＝16. 当l 0过B 点(8,0)时可得z min ＝b ＝－8. 故a －b ＝16－(－8)＝24.(理)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x＋2y 的最大值是( )A ．－52 B ．0 C.53 D.52[答案] C[解析] 令z ＝x ＋2y ，根据不等式组作出其表示的平面区域，如图阴影部分所示．平行移动y ＝－12x ＋12z .可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A (13，23)时，z 有最大值为13＋43＝53.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3[答案] B[解析] 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，线性目标函数最值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－2≥0x－2y＋4≥0x－1≤0得可行域如图．令z＝0，得直线l0：3x－2y＝0，平移l0，当其过A(0,2)时z最小值为－4.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y≥02x＋y≤2y≥0x＋y≤a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a≥43B．0<a≤1C．1≤a≤43D．0<a≤1或a≥43 [答案] D[解析]由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．6．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4t 1.2万元0.55万元韭菜6t0.9万元0.3万元)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50[答案] B[解析]解法1：本题考查不等式、函数单调性与数学知识的应用，设种植黄瓜x(x≤50)亩，种植韭菜为( 50－x)亩，由已知1.2x＋0.9(50－x)≤54.∴x≤30，利润y＝4×0.55x＋6×0.3(50－x)－1.2x－0.9(50－x)＝0.1x＋45，由于g(x)＝0.1x＋45增函数，当x＝30(亩)时，y取最大值为48万元，此时种植黄瓜面积为20亩，故选B.解法2：本题可应用线性规划知识求最优解．设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤501.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ∈N＋，求目标函数z ＝x ＋0.9y 的最大值．根据题意画出可行域如图．当目标函数线l 向右平行，移至点A (30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．二、填空题7．若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是______．[答案] [－3,0][解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想． 根据约束条件，画出可行域如图，对应△ABC 边界及内的区域，其中A (0,3)，B (0，32)，C (1,1)，则t ＝x －y ∈[－3,0]．8．(文)(2013·新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．[答案] 3[解析]本题考查线性规划中最优解问．z＝2x－y⇒y＝2x－z，－z越小z越大，－z表示直线y＝2x－z 在y轴上的截距，作可行域如图．平移直线l0：y＝2x到l过点A(3,3)时，z最大为3.注意z＝2x－y 中，y前的系数为负时，截距越大，z越小．(理)(2013·陕西高考)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．[答案]－4[解析]本题主要考查了线性规划中最优解问题．作出曲线y＝|x－1|与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－1,2)时，z取到最小值，此时最小值为－4.9．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c ，如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设购买A ，B 两种矿石各x 万吨和y 万吨， 最少费用为z 百万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋6y ，作出可行域求解可得z min ＝15. 三、解答题10．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解析]作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1y ≤22y －x ≥1所表示的平面区域．如图阴影部分及边界．考查z ＝2y －2x ＋4，将它变形为y ＝x ＋12z －2，这是斜率为1随z 变化的一组平行线，12z －2是直线在y 轴的截距，当直线在y 轴上的截距最大时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2y －2x ＋4取得最大值；当直线在y 轴上的截距最小时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2y －2x ＋4取得最小值．由图可知，当直线z ＝2y －2x ＋4经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最大，解方程组⎩⎨⎧x ＝0y ＝2得A 的坐标(0,2)，所以z max ＝2y－2x＋4＝2×2－2×0＋4＝8.当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点B时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎨⎧x－2y＋1＝0x＝1得B点的坐标(1,1)，所以z min＝2y－2x＋4＝2×1－2×1＋4＝4.能力强化训练一、选择题1．给出平面区域如下图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A.14 B.35C．4 D.53[答案] B[解析]目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l应与AC重合，即－a＝k AC＝225－21－5＝－35，∴a＝35.2．(2013·湖北高考)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[答案] C[解析] 本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题．设需A 型车x 辆，B 型车y 辆，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≤7x ＋y ≤2136x ＋60y ≥900x ，y ∈N＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤7x ＋y ≤213x ＋5y ≥75x ，y ∈N＋由目标函数z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z 2 400，z2 400表示直线在y 轴上的截距，要z 最小，则直线在y 轴上的截距最小，画出可行域(如图)，平移直l ：y ＝－23x 到l 0过点A (5,12)时，z min ＝5×1 600＋2 400×2＝36 800.故选C.二、填空题3．(文)(2014·成都月考)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.[答案] －3[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3<3，解得m ＝－3.(理)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．[答案] －2[解析] 本题考查了线性规划知识，需要我们把约束条件中的绝对值符号化掉，|x |＋2|y |≤2，可化为以下四个不等式组．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋2y ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≤0－x －2y ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤0x －2y ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0－x ＋2y ≤2.可行域如图阴影部分所示易得A (2,0)，z ＝y －x 在A (2,0)处取得最小值 z min ＝－2. 4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x y ≤mxx ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．[答案] 3[解析] 本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m .由m >1可画出可行域如图所示，则当直线z ＝x ＋5y 过点A 时z有最大值．由⎩⎨⎧y ＝mxx ＋y ＝1得A (1m ＋1，m m ＋1)，代入得1m ＋1＋5mm ＋1＝4，即解得m ＝3.三、解答题5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值； (2)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值．[解析] 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由⎩⎨⎧ x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1,2)；由⎩⎨⎧ x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2,1)；由⎩⎨⎧ x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)．(1)过原点(0,0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x ，由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又OM ＝13，ON ＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，所以z 的最大值为13，z 的最小值为92.(2)由图像可得，原点与可行域内的点A 的连线的斜率值最大，与点B 的连线的斜率值最小，又k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx ≤2. ∴z 的最大值为2，z 的最小值为12.6．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？[分析] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x ，y 个单位，由题意得到线性约束条件及目标函数，进而画出可行域及求得最优解．[解析] 解法1：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．解法2：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图(解法1中的图)，让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。

阶段性测试题七(不等式)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)已知a ，b 为非零实数且a<b ，则下列命题成立的是( ) A ．a2<b2 B ．ab2>a2b C ．1ab2<1a2b D ．b a <a b[答案] C[解析] 若a<b<0，可得a2>b2，知A 不成立．若⎩⎪⎨⎪⎧ab<0a<b ，可得a2b>ab2，知B 不成立． 若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12有b a >ab ，知D 不成立，故选C ． (理)设x ∈R ，则“x>12”是“2x2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识． 由2x2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x<－1或x>12，又因为x>12⇒2x2＋x －1>0， 而2x2＋x －1>0⇒/ x>12，选A ．2．(2015·邵阳模拟)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式，正确的是( ) A ．log2a>0 B ．2a －b<12 C ．2a b ＋ba <12 D ．log2a ＋log2b<－2[答案] D[解析] 当a ＝14，b ＝34时，选项A 不成立；对于选项B ，a －b ＝－12，2a －b ＝2－12 ＝(12)12 >(12)1＝12，选项B 错误； 对于选项C ，b a ＋a b ＝3＋13，2a b ＋ba ＝23＋13>2>12，选项C 错误，故选D ．3．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a<v<abB ．v ＝abC ．ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2 [答案] A[解析] 设从甲地到乙地的全程为s ， 则v ＝2ssa ＋sb ＝2ab a ＋b ∵0<a<b ，∴a ＋b<2b ，a ＋b>2ab ，所以2ab 2b <2ab a ＋b <2ab 2ab ，则a<2ab a ＋b<ab ，即a<v<ab.故选A ．4．不等式x2－3x －10≥0的解集是( ) A ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) B ．[－2,5] C ．(－∞，＋∞) D ．∅ [答案] A[解析] 因为根据一元二次不等式的解法，结合二次函数的图像及根的大小，可知x2－3x －10≥0⇔(x －5)(x ＋2)≥0⇔x≥5或⇔x≤－2，可知不等式x2－3x －10≥0的解集是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．故答案为A ．5．已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则y ＋1x 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，＋∞) [答案] A[解析] 作出不等组表示的可行域，可知k ＝y ＋1x ， 表示可行域内的点与P(0，－1)，连线的斜率， 所以k≥kPC ＝1，故选A ．6．(2015·温州一模)不等式f(x)＝ax2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为图中的( )[答案] B[解析] ∵ax2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}， ∴a<0且－2,1为方程ax2－x －c ＝0的两根．∴⎩⎨⎧1a ＝－1－ca ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝－2.∴f(x)＝－x2－x ＋2，∴f(－x)＝－x2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)．故选B ．7．(2014·北京高考)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[答案] D[解析] 如图，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，y≥0所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y －x ＝－4，即x －y －4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x －y ＋z ＝0在x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，故k ＝2－00－4＝－12.故选D ．8．某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业( )年后需要更新设备．( ) A ．10 B ．11 C ．13 D ．21[答案] A[解析] 由题意可知x 年的维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x(x ＋1)，所以x 年平均维护费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x ＝x ＋100x ＋1.5，由均值不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以选A ．9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f ′(x)>0，则满足f(x2－2x)<f(x)的x 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C ．(－3,3) D ．(1,3) [答案] D[解析] 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)内单调递减，所以由f(x2－2x)<f(x)可得|x2－2x|<|x|，解得1<x<3，所以满足f(x2－2x)<f(x)的x 的取值范围是(1,3)．10．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0log 12－x ，x<0，若af(－a)>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] A[解析] 若a>0，则由af(－a)>0得，alog12 a>0，解得0<a<1.若a<0，则由af(－a)>0得，alog2(－a)>0，即log2(－a)<0解得0<－a<1，所以－1<a<0. 综上0<a<1或－1<a<0，选A ． 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．若关于x 的不等式m(x －1)>x2－x 的解集为{x|1<x<2}，则实数m 的值为________． [答案] 2[解析] 解法1：由m(x －1)>x2－x 整理得(x －1)(m －x)>0，即(x －1)(x －m)<0，又m(x －1)>x2－x 的解集为{x|1<x<2}，所以m ＝2.解法2：由条件知，x ＝2是方程m(x －1)＝x2－x 的根， ∴m ＝2.12．(文)(2014·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤4，y≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 7[解析] 本题考查了简单线性规划最优解问题．可行域如图，要使z ＝2x ＋y 最大，则该直线过点A ，而点A 的坐标由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋y ＝4可得，A(3,1)，∴zmax ＝2×3＋1＝7.(理)(2014·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤4，y≥k ，，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________.[答案] －2[解析] 本题考查线性规划中参数的求值问题．求出约束条件中三条直线的交点为(k ，k)，(4－k ，k)，(2,2)，且y≤x ，x ＋y≤4的可行域如图，所以k≤2，要使z ＝2x ＋y 最小，该直线过点A(k ，k)，∴3k ＝－6⇒k ＝－2，故填－2.13．已知向量a ＝(x ，－2)，b ＝(y,1)，其中x ，y 都是正实数，若a ⊥b ，则t ＝x ＋2y 的最小值是________． [答案] 4[解析] 因为a ⊥b ，所以a·b ＝(x ，－2)·(y,1)＝0， 即xy ＝2，又t ＝x ＋2y≥22xy ＝4， 所以t ＝x ＋2y 的最小值是4.14．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． [答案] (－∞，0][解析] ∵4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x)2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值为0. ∴a 的取值范围为(－∞，0]．15．已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x ＝2对称，若f(x)＝4x －15，则不等式g xx2－1≥0的解集是________．[答案] (－∞，－1)∪[14，1)[解析] 若f(x)＝4x －15，则g(x)＝f(4－x)＝4(4－x)－15＝1－4x ，故不等式g xx2－1≥0等价于1－4xx2－1≥0， 即(x －1)(x ＋1)(4x －1)≤0(x≠1且x≠－1)， 解得x<－1或14≤x<1.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知不等式kx2－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．[解析] (1)∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}．∴k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x ＋6k ＝0的两根． ∴x1x2＝6，x1＋x2＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k≠0，要使不等式解集为∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧k>0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k>01－6k2≤0，解得k≥66.即k 的取值范围是k≥66.17．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，关于x 的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，解关于x 的不等式loga(x －1x )<0的解集．[解析] 因为关于x 的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，所以a>1，故loga(x －1x )<0⇔⎩⎨⎧x －1x >0x －1x <1⇔－1<x<1－52或1<x<1＋52，∴原不等式的解集是(－1，1－52)∪(1，1＋52)．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(x ，m)，b ＝(1－x ，x)，其中m ∈R.若f(x)＝a·B ． (1)当m ＝3时解不等式f(x)<x ；(2)如果f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，求实数m 的取值范围． [解析] 由于a ＝(x ，m)，b ＝(1－x ，x)， 所以f(x)＝a·b ＝－x2＋(m ＋1)x.(1)当m ＝3时，f(x)＝－x2＋4x ，不等式f(x)<x ， 即－x2＋4x<x ，解得x>3或x<0，所以m ＝3时，不等式f(x)<x 的解集为 (－∞，0)∪(3，＋∞)．(2)如果f(x)＝－x2＋(m ＋1)x 在(－2，＋∞)上单调递减，则有m ＋12≤－2，解得m≤－5， 所以实数m 的取值范围是m≤－5.19．(本小题满分12分)已知α，β是三次函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx(a ，b ∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a ，b)所在的区域面积S.[解析] 由函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx(a ，b ∈R)可得，f ′(x)＝x2＋ax ＋2b ， 由题意知，α，β是方程x2＋ax ＋2b ＝0的两个根， 且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝2b>0f ′1＝1＋a ＋2b<0，f ′2＝4＋2a ＋2b>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b>0a ＋2b ＋1<0a ＋b ＋2>0，画出可行域如图，所以S ＝12.20．(本小题满分13分)函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)； (2)求f(x)；(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0， 得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f(x ＋0)－f(0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x2＋x ， ∴f(x)＝x2＋x －2.(3)f(x)>ax －5化为x2＋x －2>ax －5， ax<x2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a<x2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x .当x ∈(0,2)时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x ， 即x ＝3时取等号，由3∈(0,2)，得(1＋x ＋3x )min ＝1＋2 3. ∴a<1＋2 3.21．(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[分析] (1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求最值，得出结论； (2)先由限制条件确定x 的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论． [解析] (1)设污水处理池的宽为x(x>0)m ，则长为162x m. 则总造价f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋12 960(x>0)≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x (x>0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2m ，宽为10m 时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤160<162x ≤16，∴1018≤x≤16.设g(x)＝x ＋100x (1018≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)． ∴当长为16m ，宽为1018m 时，总造价最低，为38 882元．。

1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4. 4．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________． 答案 (23，＋∞)解析 由2×(－2)－3t ＋6<0， 得3t >2，∴t >23.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43 D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是_______________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．[－1,1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝⎛⎭⎫1，12时z 取得最大值32. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是[1,5]．引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值范围 例5 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1)5 (2)12解析 (1)显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)(2016·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．3(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)A (2)[1，32]解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是[1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．(2016·昆明质检)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，a ，b ∈N ，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x 等于( ) A ．10 B ．12 C ．13 D ．16 答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x max ＝a ＋b ＝13.7．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y＝2x，当k<－1或0<k<2或k>2时，不等式组表示一个三角形区域．(2)由不等式组表示的可行域，可知z＝ax＋y在点A(1,1)处取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3.答案(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)(2)3现场纠错解析(1)直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)． z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ， 因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号．1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 由[3×(－3)－2×(－1)－a ]·[3×4－2×(－6)－a ]<0， 得(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 答案 D解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值， 可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8.7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.8．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1. 故选D.9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12， ∴a >12.12．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________． 答案 3解析 画出可行域如图阴影部分所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.*13.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F 是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．14.已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)． 15．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距z最小，即z取得最小值．2 400故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。