微积分(理工类)(II)期中测验试卷答案

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。

《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六总分得分一、 单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的 （ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、 填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分 得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

《微积分II 》期中综合练习（解答） 2012.4.17一、填空题：（每小题4分，共32分） 1、001211(1)11limlim.(1)2(1)2xx x t dtx x x ⎛⎫⎪⎝⎭→→--=====---⎰型2、3322ee e2211d d ln lim 1 1.(ln )(ln )(ln )(ln )A x x x x x x A +∞+∞+∞→+∞⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 3、设()f x 连续，且120()3(),()f x x f x dx f x =-=⎰则21().4f x x =-【注】 等式两边积分得111111223000111()d d 3()d ()d d .41212f x x x x f x x f x x x x x =-⇒===⎰⎰⎰⎰⎰4、设()f x =则定义域f D =22{(,)|14}.x y x y ≤+<5、6666600000cos cos 1d d d d cos d sin .2x y x x y x x y x x x x x πππππ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 6、设(,),(,)f x y x y xy f x y -+==则221().4y x - 【注】221(,)[()()].4f x y x y xy x y x y -+==+-- 7、函数ln(2)z x x y =+的偏导z y ∂=∂22x x y+， 22222(2)24.2(2)(2)z z x x y x yy x x y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭ 8、设33z x y xy =+，则 2332(1,1)(1,1)d [(3)d (3)d ]|4d 4d .zx y y x x xy y x y =+++=+二、计算下列各题：（每小题8分，共40分） 1、()πππ22sin 2333πππ1666π14sin d (22cos2)d 2sin 2.32x tx t t t t t t =======-=-=-⎰⎰令 2、eeeee2211111(ln )d [(ln )]2ln d e 2[ln ]2d e 2.x x x x x x x x x =-=-+=-⎰⎰⎰3、设函数(,)z f x y =由方程1ze x y z =++-确定，求.z z x y∂∂∂∂、。

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（ ） i 51i +A ．-1 B ．0 C ．1 D ．i 【答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由，虚部为1，故选项C 正确. 54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+故选：C.2．（ ）()1023d x x +=⎰A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】．()()112023d 34x x x x+=+=⎰故选：C3．如果函数在区间上的平均变化率为,则 ()f x ax b =+[1,2]3=a A ． B ． C ． D ．3-232-【答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知 ()()2321a b a b y a x +-+===-A A 故选C 4．函数的导数为（ ） ()sin cos f x x x =+A ． B ． C ．D ．0cos sin x x +cos sin x x -sin x -【答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数. ()f x 【详解】∵ ，， (sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-∴ ， ()cos sin f x x x '=-故选：C. 5．函数的单调递减区间为（ ） 21ln 2y x x =-A ．（-1，1） B ．（0，1） C ．[1，+∞） D ．[0，+∞]【答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数的定义域为， 21ln 2y x x =-()0+∞，， 211x y x x x-'=-=令，解得，令，解得， 210x x->1x >210x x -<01x <<则的单调递减区间为，单调递增区间为，21ln 2y x x =-()0,1()1,+∞故选：.B 6．已知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（ ）13A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解. 2211()()f x x a x '=+-+22140[()]≤a --【详解】由得， 321113()()f x x a x x =+-++2211()()f x x a x '=+-+根据题意得，解得． 22140[()]≤a --02a ≤≤故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆14的离心率为 ( ) A ．B ． 1312C ． D ．2334【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 24b =，故选B. 12c e a ⇒==【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到，利用方程思想和:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 2142b c e a =⇒==是本题的关键节点.24b=8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭12e =24y x =-圆方程为A ．B ．C ．D ．22143x y +=22186x y +=2212x y +=2214x y +=【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所24y x =-以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选22143x y +=A ．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺的双曲线C ：上支的2221(0)y x a a -=>一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则与P 到C 的一条渐近线的距离之PF 和的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．4||PF PQ PF PQ +=++'【详解】依题意，双曲线，2221y x a-=则，解得，21514a +=2a =所以双曲线方程为，2214y x -=则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， (0,F (F '12x y =±根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 1:2l x y =2y x =又点P 为双曲线上支上的动点，则， 24PF a PF PF '+=+'=过点P 作，垂足为Q ，过点作，垂足为M ， PQ l ⊥F 'F M l '⊥则，444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'+'==所以与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为． PF 5故选：C ．10．函数的极值点为（ ）()232ln 5f x x x =-+A ．8B ．C ．1D 6ln 3+【答案】D【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数()f x ()0,∞+()f x '符号，进而可得出的极值点．()f x 【详解】依题意可得函数定义域为，()f x ()0,∞+则， ()()223126x f x x x x-'=-=令，解得()0f x '=x =x =则当时，，此时单调递减；x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x当时，，此时单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x所以是的极值点，且为极小值点． x =()f x 故选：D ．11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ln ()xf x x=A ．在处的切线方程为B ．的单调递减区间为 ()f x 1x =1y x =+()f x (e,)+∞C ．的极小值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e()1f x =-【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得，ln ()xf x x=(0,)+∞21ln ()x f x x -'=对于A ，，而，因此图象在处的切线方程为，A 错误； (1)1f '=(1)0f =()f x 1x =1y x =-对于B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x B 正确；对于C ，由选项B 知，当时，取得极大值，C 错误；e x =()f x 1e对于D ，因为函数在上单调递增，且，()f x (0,e)e 1,(1)1)e0(f f =-<-=即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无()1f x =-(0,1)1x >()0f x >(1,)+∞解，所以方程只有一个解，D 错误. ()1f x =-故选：B12．过点作曲线切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） ()0,b e x y =A ． B ． ()0,1(),1-∞C ． D ．(],1-∞(]0,1【答案】A【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数()00,P x y ()00e 1xb x =-()()1exg x x =-分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b 的取值范围．()()1e xg x x =-()00e 1x b x =-【详解】设切点为， ()00,P x y 由，则，e x y =e x y '=所以过的切线方程为，即，()00,P x y ()000e e x x y x x -=-()000e 1e xx y x x =+-故有且仅有两根，()00e 1xb x =-设，则，()()1e xg x x =-()e xx g x '=-当时，，此时单调递增； 0x <()0g x '>()g x 当，，此时单调递减，0x >()0g x '<()g x 又当时，，，，0x <()0g x >()001e g ==()10g =所以的图象如下：()g x故有且仅有两根，则b 的取值范围为．()00e 1xb x =-()0,1故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线的准线方程为______. 24y x =【答案】 116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是【解析】抛物线方程14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．()e xf x -=()f x 1x =【答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由，则，()e x f x -=()e xf x -'=-所以，，()11ef =()e 11f '=-所以函数在处的切线方程为，即()f x 1x =()1e1e 1y x -=--e 20x y +-=故答案为：．e 20x y +-=15．求过点且与圆相切的直线方程为______. 3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心 到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. (1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双()2222:10,0x y C a b a b-=>>l C a b -l 曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率C M N N x 2ON OM =C 为____________.【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得FM b =FN ，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线OM ON 22b a 的离心率的值.C 【详解】如下图所示：因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，l ab -OM b a因为，所以，，1a bb a-⋅=-OM l ⊥易知直线的方程为，即， OM b y x a =0bx ay -=b =因为直线、关于轴对称，则， OM ON x MOF NOF ∠=∠由角平分线的性质可得，所以，， 12MOFNOF MFOM S S NF ON ===△△22FN FM b ==，所以，，a =22ON OM a ==由勾股定理可得，即，整理可得，222OMMN ON +=()()22232a b a +=2213b a =所以，双曲线的离心率为C c e a =====三、解答题17．已知直线与圆. 20x y m -+=225x y +=(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值. 【答案】(1) (,5)(5,)-∞-⋃+∞(2) m =【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离(0,0)O r =20x y m -+=d ==∵直线与圆无公共点，或， d r ∴>5m >5m <-故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，A B两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，OA OB AOB A O dd ∴==m =18．求下列函数的极值：（1）；()3126f x x x =-++（2）． ()2221xf x x =-+【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为． 10-223-1-【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化x ()f x '()f x 情况即可.【详解】（1）．令，解得，．()()()2312322f x x x x '=-+=-+-()0f x '=12x =-22x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),2-∞-2-()2,2- 2()2,∞+()f x '-0+0-()f x 单调递减 10-单调递增 22 单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为2x =-()f x ()210f -=-2x =()f x ．()222f =（2）．令，解得，．()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++()0f x '=11x =-21x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),1-∞-1-()1,1- 1()1,+∞()f x '-0+0-()f x 单调递减 3-单调递增 1-单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为=1x -()f x ()13f -=-1x =()f x ．()11f =-19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.1111ABCD A B C D -(1)求证：；1BD AC ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值. 1BD 1ACD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；1AC BD ⊥（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. 1ACD 1CC 1CC 1ACD 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z间直角坐标系，则，，()()2,0,0,0,2,0A C ()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，即.114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ 1AC BD⊥（2）由（1）得，()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- 设平面的一个法向量为，1ACD (),,n x y z =r 则取 则 1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，2,x =()2,2,1n =()12,2,4BD =-- 设直线与平面所成角为 ，则： 1BD 1ACDθsin =cos ,n θ 所以直线与平面1BD 1ACD 20．已知椭圆倍，且右焦点为. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线与椭圆C 交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线:l y kx m =+M N (2,0)Q MQ NQ 的斜率互为相反数，求证:直线过定点.l【答案】(1) 2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；a =1c =,,abc （2）设，，联立直线与椭圆方程得， 得到韦达()11,M x y ()22,N x y ()222214220k x kmx m +++-=定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可0MQ NQ k k +=()()12122240kx x m k x x m +-+-=得到，则可得到定点坐标.m k =-【详解】（1）由椭圆．Ca =所以．)222b c =+又，所以，解得．所以()1,0F )221b =+1b =a =所以椭圆的标准方程为． C 2212x y +=（2）联立，得， 2212y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214220k x kmx m +++-=设，，可得，， ()11,M x y ()22,N x y 122421km x x k -+=+21222221m x x k -=+由题知，即， 0MQ NQ k k +=()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------即，()()12122240kx x m k x x m +-+-=即， ()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++化简得，解得， 244021k m k --=+m k =-∴直线的方程为，故直线恒过定点.l ()1y k x =-l ()1,0【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得()11,M x y ()22,N x y ，则得到韦达定理式，根据，则，展()222214220k x kmx m +++-=0MQ NQ k k +=1212022y y x x +=--开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标. ()()12122240kx x m k x x m +-+-=m k =-21．已知函数在处有极值.2()ln f x ax b x =+1x =12（1）求a ，b 的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.()y f x =【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是. 112a b ==-，()01，()1+∞，【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数，2()ln f x ax b x =+. ()2b f x ax x'=+ 又在处有极值，()f x 1x =12∴，即， 1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得. 112a b ==-，（2）由（1）可知，其定义域是， 21()ln 2f x x x =-()0+∞，且. 1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=令，解得，（舍），()0f x '=1x ==1x -由，得；()0f x '<01x <<由，得.()0f x '>1x >所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ()y f x =()01，()1+∞，【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数．()e ax f x x =-(1)讨论函数的单调性； ()f x (2)证明：． ()1ln 1+-≥x ax f x 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；0a =0a >a<0（2）可转化为，令，即证明.设()1ln 1+-≥x ax f x ()1ln e 10eax ax x x -+≥e ax t x =()1ln 100t t t -+≥>，利用导数求的最小值即可证明. ()()1ln 10g t t t t=-+>()g t 【详解】（1），()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+①当时，，在上单调递减；0a =()f x x =-R ②当时，令，得， 0a >()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x ¢>1x a>-()0f x '<③当时，令，得， a<0()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x '<1x a>-()0f x ¢>综上所述，当时，在上单调递减；0a =()f x R 当时，在上单调递增，在上单调递减； 0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）,即为，即， ()1ln 1+-≥x ax f x 1ln 1e ax x ax x +-≥-()1ln e 10e ax axx x -+≥令，可得，即证明. e ax t x =0t >()1ln 100t t t-+≥>设，则， ()()1ln 10g t t t t =-+>()22111t g t t t t-'=-=当时，，函数单调递减；()0,1t ∈()0g t '<()g t 当时，，函数单调递增.()1,t ∈+∞()0g t '>()g t 所以，即. ()()1ln1110g t g ≥=-+=()1ln 100t t t-+≥>所以. ()1ln 1+-≥x ax f x 【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

微积分试题一、 填空题（每题2分⨯10=20分）1、函数()f x =的定义域是2、 设()2f x x =- ，则[(2)]f f =3、 22929lim 1n n n n →∞--=- . 4、 0sin 5limsin x x x→= 5、 1lim(1)x x x →∞+= 6、 '(arcsin )x =7、 函数2y x =，则=dy 8、 函数3x y e =的导数为 . 9、 02sin lim x x x→= . 10、数学思维从思维活动的总体规律的角度来考察，可分为形象思维、 、和直觉思维。

二 选择题（每题2分⨯5=10分）1、 若),1()(+=x x x f 则=-)(x f （ ）.A x(x-1)B (x-1)(x-2)C x(x+1)D (x+1)(x+2)2、1sin(1)lim 1x x x →-=-( ). A 1 B 0 C 2 D 21 3、 函数)(x f 在0x x =处有定义是)(x f 在0x x =处连续的（ ）.A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 无关条件4、设)(x f y -=，则='y （ ）.A )('x fB )('x f -C '()f x --D )('x f -5、 设函数(),()u x v x 在x 可导，则（ ）A []uv u v '''=B []uv u v '''=-C []u v u v '''⨯=+D []uv u v uv '''=+三、计算题（每小题6分，共24分）1、已知2(tan )6sec f x x =-，求)(x f 2、求极限333lim 22x x x x→∞- 3、求极限0tan sin lim x x x x→- 4、求极限10lim(14)xx x →+四、计算题（每小题8分，共24分）1、求4x y x e =的导数2、设)(x y y =由隐函数5y e xy =+确定，求y '。

1装 订 线汕头大学09-10学年 春季学期 微积分II 期中考试试卷开课单位 数学系 任课老师 陈燕明 周继振 谷敏强 谭超强 评 卷 人 学生姓名 学号 所在开课班 所在系/院一．解答下列各题。

(每小题7分,共21分) 1、求43y y x u +=的全微分。

解：23ux y x∂=∂ 334ux y y∂=+∂ 故2333(4)du x ydx x y dy =++2、用点向式方程及参数方程表示直线L ：124x y z xy z -+=⎧⎨++=⎩解：显然点A （3，0，-2）和点B(1,1,1)在该直线上，从而该直线方向向量为(2,1,3)AB=-。

（3分）从而点向式方程为：111213x y z ---==- 参数方程为：12113x ty t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩3、求极限 00x y →→解：0000→→→→=x x y y 12=-2二．求解下列各题：(每小题7分,共21分) 1、求微分方程ln 0'-=xy y y 的通解。

解：原方程可化为：ln dy y y dx x= 即：ln dy dxy y x=两边积分得：1ln(|ln()|)ln ||y x C =+ 即 cx y e = 2、 求微分方程-+=x dyy e dx的通解。

解：先求解0dyy dx+= 即dydx y=-，两边积分得：1ln ||y x C =-+。

从而x y ce -=。

用常数变异法，设方程的解为：()x y u x e -= 带入原方程得：()1u x '=，(1分) 故()u x x C =+ 故原方程的通解为()x y C x e -=+3、求一曲线，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y 。

解：设该曲线方程为()y f x =，则根据题设有2dyx y dx=+ 先求解dyy dx=，解得x y ce =。

利用常数变异法，设()x y u x e =为原方程的解，带入得：()2x u x xe -'= 解得：()22xx u x xee C --=--+。

浙江工商大学杭州商学院微积分(下)期中考试试卷课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共14分）1. =⎰∞+-0d e x x x . 2. =+⎰-222d sin 1cos ππx xx x . 3. 若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰b x x x f x2d )(d d . 4. 设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 5. =+-→→xy xy y x 42lim 00 . 6. 设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 .7. 设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、)ln()1arcsin(1y x y z -+-=的定义域是（ ）. (A) 1|1|0<-<y 且 0>-y x(B) 1|1|≤-y 且 0>-y x (C) 0|1|≠-y 且 0>-y x (D) 1|1|0≤-<y 且 0>-y x2、x y 2=在]2,0[上的平均值是（ ）. (A) 2ln 2 (B) 2ln 23 (C) 2ln 23 (D) 2ln 3 3、下列广义积分收敛的是（ ）。

(A) x xd e 0 2⎰∞-- (B) ⎰∞+- 02d e x x (C) ⎰∞++ 1 d 11x x (D) ⎰-+01 d 11x x4、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处 ( ) .(A) 连续，偏导数存在 (B) 不连续，偏导数存在(C) 连续，偏导数不存在 (D) 不连续，偏导数不存在5、),(y x xy f z -=，则=∂∂+∂∂y zx z（ ）.（A ）y fx f ∂∂+∂∂ （B ）)()(y x fxy f -∂∂+∂∂ （C ）)()(xy fy x ∂∂+（D ）0 三、计算题（每小题8分，共48分）1、计算 ⎰--11d 45x x x.2、计算 ⎰-20d cos 1πx x .3、已知)sin(e y x z +=, 求d z .4、已知 233=++yz z x ，求x z∂∂，y z∂∂.5、设,sin e y x u x -= 求yx u ∂∂∂2在点)1,2(π的值.6、设⎰-=220d e )(x t t x f ，求⎰-'322d )(x x f x .四、应用题（每小题8分，共16分）1、计算由曲线x y =2和2-=x y 所围平面图形的面积，并求此平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 .2、某厂需用单价分别为4元和3元的两种原料生产某种产品，当这两种原料的投入量分别为x 和y 时，该种产品的生产量为 y x z ln 4ln 2+=，试问现用10800元购买这两种原料，各购多少时可获得最大产量？五、证明题（本题7分）设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(<x f ，证明：⎰--=xt t f x x F 0d )()12()(在)1,0(内有且只有一个零点。

1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )． （A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z z b a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（ ）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （ ）． （A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（ ）． （A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（ ）． （A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x（C ）⎰∞+ 1 2d xx x （D ） 1d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z∂∂，yz ∂∂， y x z ∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求xz∂∂，y z ∂∂．三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→． 11．求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 8⎰． 添加1． 220|1|d -⎰x x 添加2 设2 0()12 0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,,，求2(1)d f x x -⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x=++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．参考答案一、 单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6． D二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7． 23e 2x xy xz y +=∂∂，)e e (2y y y x y z +=∂∂ y y y y x y x y x z e )1(20)e e (22+=++=∂∂∂ ． 8．)(cos e 21y f y f xzxy ⋅'+'=∂∂=21cos e f y f y xy '+'，)sin (e 21y x f x f yzxy -'+'=∂∂21sin e f y x f x xy '-'= ． ……7分 9．u u vu x zv v ln 1+=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-)2ln(2)2()(y x y x y x y x y x ， ……3分)1(ln 21-⋅+⋅=∂∂-u u vu y zv v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=-)2ln(2)(2)2()(y x y x y x y x y x ． ……7分 10．xx x t x x xt x 2)sin (e lim d e lim22cos 021 cos 0-⋅-=→→⎰ 2e lim2cos0xx →= 2e=． 11． e 2 1ln d x x x ⎰=)31(d ln 3e 1 x x ⎰⎰-=e 1 23d 311e ln 31x x x x ……4分1e 911e ln 3133x x x -= 913e 23+=． 12.令3t x =，t t x d 3d 2=，2080t x ，8⎰=t tt d 132 0 2⎰+ ……4分 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-202)1ln(23t t t ……6分 =3ln 3． ……7分四、解答下列各题13．微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解. 解：分离变量，得x xy y d 11d 11-=+， ……2分两边积分，得C x y ln )1ln()1ln(+--=+，方程的通解为 C y x =+-)1)(1(． ……6分 14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解. 解：12)(+-=x x p ，3)1()(+=x x q . ……2分 方程通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+--C x x y x x x x d e )1(ed 123d 12 ……3分 []⎰+++=C x x x d )1()1(2 ……5分])1(21[)1(22C x x +++=. ……6分将1|0==x y 代入通解中，得21=C ， ……7分所求特解为：]1)1[()1(2122+++=x x y ． ……8分15. 若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1 0()d f x x ⎰及)(x f ．解：设A= 10()d f x x ⎰，则方程化为 2211)(Ax xx f ++=, ……2分 对上式在[0，1]上积分 ，有01)3(arctan 3Ax x A += ,得 8π3=A ， 所以， 228π311)(x xx f ++=． ……8分 五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解：（1）面积⎰--=112d )1(x x A ……2分11)31(3--=x x ……4分=34. ……6分 （2）体积x x V d )1(π114⎰--= ……3分11)51(π5--=x x ……5分=5π8. ……7分 六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f baad )(d )(b ⎰⎰-+=.证明：设x b a t -+=, ……1分 右⎰-=ab t t f )d )(( ……4分⎰=bat t f d )(=左． ……5分。

微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。

3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。

五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。

(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。

参考答案及提示第一章 函数习题一1、（1）-1、2、-3. （2）-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解：∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.（3） 解：由题意有：⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .（3）∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.（4）∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解：由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ，∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、（1）uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、（1）47-=x y . （2）1)1(2-+=x x y . （3）2arcsin31x y =. （4）21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、（1）,8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解：由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ，且342lg 1))7((+=-f f .3、解：令t x =ln ，即te x =，则ttee tf )1ln()(+=，∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解：11)()(9333+=+=x x x f ， 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明：∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解：由题知：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x ， ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、（1）3231,1615,87,43,21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2（3）5sin 51,82,63,21,0π（4）,!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ，!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛3、（1）证明：对0>∀ε，]1[ε=∃N ，当Nn >时，ε<+=-+1111n n n ，则11lim =+∞→n n n ；（2）证明：对0>∀ε，]11[2+=∃εN ，当N n >时，ε<=-nn111，则01l i m=∞→nn .4、（1）2 （2）∞+ （3）∞- （4）∞ （5）∞+ （6）0 （7）∞ （8）0（9）不存在 （10）∞- （11）不存在 （12）不存在 （13）0 （14）∞ 5、提示：用左右极限来证. 证明：∵1lim lim==++→→x x x xx x ，1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim，即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ，,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，∴)(lim 1x f x →不存在.7、（1）证明：对0>∀ε，01>=∃εM ，当M x >时，ε<=-xx101，则01lim=∞→xx ；（2）证明：对0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<--)2(x 时，ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、（1）（2）（4）是无穷小. 9、（1）xsinx 是无穷小，x25是无穷大 （2）10,52x x-是无穷小，xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时，f(x)是无穷大量，当21→x 时，f(x)是无穷小量.11、（1）∵1sin ≤n 为有界变量，且011lim =+∞→n n ，∴01sin lim=+∞→n n n .（2）∵2arctan π≤x 为有界变量，且01lim2=∞→xx ，∴0arctan lim2=∞→xx x .（3）∵当0→x 时，11cos ≤x为有界变量，且0lim 0=→x x ，∴01coslim 0=→x x x .（4）∵011lim1=+-→x x x ，∴∞=-+→11lim1x x x .12、（1）原式75342452=+⨯-⨯=； （2）原式213)1(4)1(212=--⨯+---=；（3）∵0123lim23=+-+-→x x x x ，∴原式∞=； （4）原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ；（5）原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ；（6）原式＝0； （7）原式＝21；（8）原式＝)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ；（9）原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ；*（10）原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解：∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ，0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时，f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ，0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知，01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ，)(lim x f x +∞→不存在.14、解：由题知，当3→x 时，→+-k x x 22k= -3.*15、解：∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、（1）原式2211211lim=--=∞→nn ；（2）原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明：（1）∵1)22(lim 21=++-→x x x ，11lim 1=-→x ，∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .（2）∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ，1lim2=∞→nn n ，∴由夹逼定理有，原式＝1，得证.18、（1）原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ；（2）原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ；（3）原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim； （4）原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、（1）原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++； （2）原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→；（3）原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、（1）原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ；（2）原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、（1）∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ，1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数，即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续，及)(x f 在]2,0[上连续.（2）∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ，∴－1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===，且1)1(=f ，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解：∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ，d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(；dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222，84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(，又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、（1）∵)(x f 在1-=x 处无定义，∴1-=x 为)(x f 的间断点.（2）∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ，且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. （3）∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 为)(x f 的间断点.（4）∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ，0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ，∴)(lim 2x f x →不存在，即2=x 为)(x f 的间断点.24、（1）证明：令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论，)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. （2）证明：令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论，)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、（1）原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ；（2）原式211lim 2=++=+∞→xx x x ；（3）原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解：∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知，要使)(x f 在整个数轴上连续，必须满足005=⇒=a a .3、解：∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在，0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 是)(x f 间断点.因此，)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解：∵111sinlim22=-+→axxx ， ∴左边＝aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→，∴2=a .。

中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。

⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。

()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。

().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。

2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。

3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。

4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。

5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。

6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。

1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）（1） 021sin cos sin2x x x x →+- （2）tan sin (11)[ln(1)]x xx x x x →+-+- （3） 21lim (sincos )x x x x →∞+ （4）2211lim[()ln(1)cos ]x x x x x x x→∞++--解：（1）22002222220001sin cos lim (1sin cos )sin 2sin sin sin sin 2lim 2(lim lim )4x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x →→→→→+=+++==+= （2）tan sin sin tan sin 000(1)tan sin 2lim 2lim[ln(1)][ln(1)](11)[ln(1)]x x x x x x x x e e x xx x x x x x x x x -→→→--==+-+-+-+- 21000tan (1cos )22lim lim lim 2[ln(1)]ln(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x -→→→-====-+-+-+-（3） 001ln(sin 2cos )sin 2cos 1lim lim 2021lim (sin cos )lim (sin 2cos )t t t t t t x t t tx t t t ee e x x→→++-→∞→+=+=== （4）222211111lim[()ln(1)cos ]lim[ln(1)]lim ln(1)lim cos x x x x x x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞++--=+-++- 1200ln(1)(1)11lim 10lim 122t t t t t t t -→→+-+-=+-=+= 2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）（1）1lim(123)nn nn →∞++ （2）211lim (arctanarctan )1n n n n →∞-+ 解：（1）13(123)333nn n nn ≤++≤→∞Q ，1lim(123)3nn nn →∞∴++=（2）法一、由拉格朗日定理，知11(,)1n nξ∃∈+，使得22111(arctan arctan )111n n n n n ξ-=⋅+++，211lim (arctanarctan )11n n n n →∞∴-=+ 法二、220arctan arctan111lim (arctanarctan )lim 1n x xx x n n n x +→∞→-+-=+厦门大学《高等数学》课程期中试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2011.11.27高等数学A 类教学组21210(1)(221)lim 12x x x x x+--→+-++== 3．（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（1）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞；（2）试求211lim()n x n n nx x +→∞。

一、 计算题（每题10分）（1）20sin 1cos x x dx x π++⎰（2）⎰（3）51(2sin )x x dx -+⎰（4）⎰（5）220cos sin x x dx x ⎰（6）2⎰（7）⎰（8）102(1)dx x x +⎰二、 判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，计算反常积分的值（每题10分）（1）1e ⎰（2） 2(ln )k dx x x +∞⎰三、 计算题（每题10分）（1）设22222220(,)00x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，求(,)(,)x y f x y f x y 及（2）求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值四、 每题10分（1）(),,()y z xy zF u u F u x z z x y z xy x y =+=∂∂+=+∂∂设而为可导函数，证明：（2）2(,,),yz z f u x y u xe f x y ∂==∂∂设，其中具有连续的二阶偏导数，求五、应用题（每题15分）（1）由不等式0sin ,02y x x π≤≤≤≤确定一个平面区域。

求：平面区域的面积S ；该平面区域绕x 轴旋转时所产生的旋转体体积x V 。

（2）求由曲线sin ,cos ,(0),2y x y x x π==≤≤直线0,2x x π==所形成的平面图形绕x 轴旋转时所产生的旋转体体积x V 。

六、证明题（每题15分）（1）设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()1f a =，()22b b a f x dx a b-=+⎰，求证：在(,)a b 内至少存在一点,()0f ξξ=’使（2）证明不等式：120127≤≤⎰。

北 京 交 通 大 学2007 -2008 学年第一学期《微积分》期中考试试卷（考试时间120分钟）班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()()1,1,0,1,,0,1.1,1.x x f x g x x x ⎧<⎧≤⎪⎪==⎨⎨≥>⎪⎪⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ 0 。

2．已知()lim20071abb n n n n →∞=--，则常数a =20062007-，b =12007。

3．当0x →时，sin cos x e x x -+-与n x 是同阶无穷小，则n = 2 。

4．函数()21lim1nn xf x x →∞-=+的间断点为x = -1 。

5．设函数()221,0,cos ,0.x e x f x xa x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a = 2。

6．设()'0f x 存在，则()()000limx x xf x x f x x x →-=-()()'000f x x f x -。

7．设函数()y y x =由方程()sin 0x y e e xy --=确定，则0x dy ==dx 。

8．已知函数()f x 具有任意阶导数，且()()2'f x f x =⎡⎤⎣⎦，则当2n >时，()()n f x =()1!n n f x +⎡⎤⎣⎦。

9．曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在对应于4t π=的点处的切线方程为20y +-=。

二、计算下列各题 (每题6分，共12分 )1.)()()121cos 211limln 1xx xx-→++解：原式()()2222201221cos 20121cos 0lim 21cos 12lim 21lim 14211.622x xxx x x x x x x x x x x x e e →-→-→-+==+==分分分2．设()11,0,1,0.x x f x x e a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，求常数a 使()f x 在0x =处连续；并讨论此时()f x 在0x =处是否可导。

微积分考试题目及答案1. 求函数f(x) = x^2的导数。

解答：根据导数的定义，导数是函数在某一点处的变化率。

对于f(x) = x^2，我们可以使用求导法则来求导数。

根据幂函数的求导法则，当函数为x^n时，导数为nx^(n-1)。

应用该法则，我们有：f'(x) = 2x^(2-1)= 2x因此，函数f(x) = x^2的导数为2x。

2. 求函数f(x) = e^x的导数。

解答：根据指数函数的求导法则，当函数为e^x时，导数也为e^x。

因此，函数f(x) = e^x的导数为e^x。

3. 求函数f(x) = ln(x)的导数。

解答：根据对数函数的求导法则，当函数为ln(x)时，导数为1/x。

因此，函数f(x) = ln(x)的导数为1/x。

4. 求函数f(x) = sin(x)的导数。

解答：根据三角函数的求导法则，当函数为sin(x)时，导数为cos(x)。

因此，函数f(x) = sin(x)的导数为cos(x)。

5. 求函数f(x) = cos(x)的导数。

解答：根据三角函数的求导法则，当函数为cos(x)时，导数为-sin(x)。

因此，函数f(x) = cos(x)的导数为-sin(x)。

6. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数。

解答：应用求导法则，我们对每一项分别求导。

根据幂函数的求导法则，导数为nx^(n-1)。

所以：f'(x) = 2*3x^(3-1) - 5*2x^(2-1) + 3*1x^(1-1) + 0= 6x^2 - 10x + 3因此，函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数为6x^2 - 10x + 3。

7. 求函数f(x) = x^2的不定积分。

解答：对于幂函数的不定积分，可以使用幂函数的积分法则来求解。

根据该法则，当函数为x^n时（n不等于-1），不定积分为(1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常量。