[首发]江苏省徐州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题答案

2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃≤,使得210x x -+≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤,210x x -+> B. 0x ∃≤,210x x -+≤ C. 0x ∀≤,210x x -+< D. 0x ∀>,210x x -+>【答案】C 【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结论．【详解】解：∵命题“0x ∃≤,使得210x x -+≥”是一个特称命题, ∴它的否定是0x ∀≤,210x x -+<, 故选：C ． 2.不等式112x <-的解集是（ ） A. (,3)-∞ B. 2,)+∞（ C. (,2)(3,)-∞⋃+∞D. （2,3）【答案】C 【解析】将分式不等式112x <-转化为整式不等式组()()23020x x x ⎧-->⎨-≠⎩,解出即可． 【详解】解：∵112x <-, ∴1102x -<-, ∴302xx -<-,∴()()23020x x x ⎧-->⎨-≠⎩,解得：2x <或3x >, 故选：C ．3.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若148a =-,99S =-,则18S =（ ） A. 162- B. 1-C. 3D. 81-【答案】D 【解析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式和通项公式列方程组,求出1,a d ,由此能求出18S ． 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵148a =-,99S =-,∴111389369a d a d +=-⎧⎨+=-⎩,化简得1113841a d a d +=-⎧⎨+=-⎩,∴119979a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴1811858113S a d =+-=, 故选：D ．4.若平面,αβ的法向量分别为(1,2,4)a =-,(,1,2)b x =--,且αβ⊥,则x 的值为（ ） A. 10 B. 10-C.12D. 12-【答案】B 【解析】由αβ⊥得a b ⊥,则0a b ⋅=,解方程即可． 【详解】解：∵αβ⊥, ∴a b ⊥, ∴0a b ⋅=,∴280x ---=, ∴10x =-, 故选：B ．5.已知方程22152x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,且焦距为2,则m 的值为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8【答案】A 【解析】由方程表示焦点在y 轴上的椭圆得250m m ->->,再根据焦距为2得()()251m m ---=,解方程即可得m 的值．【详解】解：∵方程22152x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,∴250m m ->->, ∴752m <<, 又椭圆的焦距为2, ∴()()251m m ---=, 解得：4m =, 故选：A ．6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,所以将其称为三角形数；类似地,称图（2）中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数,则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A. 289B. 1024C. 1225D. 1378【答案】C 【解析】记三角形数构成的数列为{}n a ,计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ,则11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++,…, 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式,使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ．7.已知a 、b 都是实数,>ln ln a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】>b 有可能为0,故不能推出ln ln a b >,反过来,ln ln a b >则a b >成立,故为必要不充分条件.8.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画,现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ,横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ),设该游客离墙距离为xcm ,视角为θ.为使观赏视角θ最大,x 应为（ ）A. 77B. 80C. 100D.772【答案】D 【解析】 设ACD α,BCD β,则θαβ=-,利用两角差的正切公式用x 表示出θ,再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ,设ACD α,BCD β,则θαβ=-,则2371751577BD （cm ）,7777154AD（cm ）,∴154tan AD CDxα,77tan BD CDxβ, ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx, ∴当且仅当11858x x即772x 时,tan θ有最大值,此时θ也最大,故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的有（ ） A. 若a b >,则22ac bc >B. 若22a b c c>,则a b >C. 若a b >,则22a b >D. 若a b >,则22a b >【答案】BC 【解析】根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可． 【详解】解：对于A,若0c ,则22ac bc =,故A 错； 对于B,若22a b c c>,则0c ≠,则20c >,则2222a b c c c c ⋅>⋅,化简得a b >,故B 对； 对于C,若a b >,则根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22a b >,故C 对； 对于D,若a b >,取1a =-,2b =-,则2214a b =<=,故D 错； 故选：BC ．10.若双曲线C 的一个焦点(5,0)F ,且渐近线方程为43y x =±,则下列结论正确的是（ ） A. C 的方程为221916x y -= B. C 的离心率为54C. 焦点到渐近线的距离为3D. 两准线间的距离为185【答案】AD 【解析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程,再根据方程求出其它性质,再逐一判断各选项．【详解】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=()0,0a b >>,焦距为2c ,∵双曲线C 的一个焦点(5,0)F ,且渐近线方程为43y x =±,∴222543c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩,解得345a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴双曲线的标准方程为221916x y -=,A 对； ∴其离心率为53c e a ==,B 错；焦点到渐近线的距离4d ==,C 错；准线方程为295a x c =±=±,则两准线间的距离为185,D 对；故选：AD ．11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是（ ） A. 若59S S =,则必有140S = B. 若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项 C. 若67S S >,则必有78S S > D. 若67S S >,则必有56S S >【答案】ABC 【解析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+, 若59S S =,则11510936a d a d +=+, ∴12130a d +=,∴1132da =-,∵10a >,∴0d <, ∴1140a a +=,∴()1141407a a S +==,A 对；∴()112n n n d S na -=+()11322n n d nd -=-+()27492d n ⎡⎤--⎣⎦=,由二次函数的性质知7S 是n S 中最大的项,B 对；若67S S >,则7160a a d =+<,∴16a d <-,∵10a >,∴0d <,∴615a a d =+6d d <-+0d =->,8770a a d a =+<<, ∴5656S S S a <=+,7878S S S a >=+,C 对,D 错； 故选：ABC ．12.下列命题中正确的是（ ）A. ,,,A B M N 是空间中的四点,若,,BA BM BN 不能构成空间基底,则,,,A B M N 共面B. 已知{},,a b c 为空间的一个基底,若m a c =+,则{},,a b m 也是空间的基底C. 若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =,平面α的法向量为2(2,0,)3n =-,则直线//l αD. 若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =,平面α的法向量为(2,0,2)n =-,则直线l 与平面α所成角的正弦值为5 【答案】ABD 【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底,由此可判断A 、B ,若直线的方向向量与平面α的法向量垂直,则线面平行,可判断C ,直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等,由此可判断D ．【详解】对于A ,,,,A B M N 是空间中的四点,若,,BA BM BN 不能构成空间基底,则,,BA BM BN 共面,则,,,A B M N 共面,故A 对；对于B ,已知{},,a b c 为空间的一个基底,则,,a b c 不共面,若m a c =+,则,,a b m 也不共面,则{},,a b m 也是空间的基底,故B 对；对于C ,因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯,则e n ⊥,若l α⊄,则//l α,但选项中没有条件l α⊄,有可能会出现l α⊂,故C 错； 对于D ,∵cos ,e n e n e n =51022==⨯,则则直线l 与平面α所成角的正弦值为5,故D 对； 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1（n∈N *）,则数列{1na }的前10项的和为__．【答案】2011试题分析：∵数列满足,且,∴当时,．当时,上式也成立,∴．∴．∴数列的前项的和11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．∴数列的前项的和为．故答案为．14.在长方体1111ABCD A B C D -中,3AB BC ==,15AA =,则11AB AC ⋅=__________. 【答案】34 【解析】以点A 为原点建立空间直角坐标系,求出1AB ,1AC 的坐标,再求数量积． 【详解】解：以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,∴()13,0,5B ,()13,3,5C , ∴()13,0,5AB =,()13,3,5AC =, ∴1133AB AC ⋅=⨯035534+⨯+⨯=, 故答案为：34．15.若P 是抛物线:C 22y x =上一点,F 为抛物线C 的焦点,点A 7(,2)2,则PA PF +取最小值时点P 的坐标为___________. 【答案】(2,2) 【解析】数形结合,画出示意图,由抛物线的定义可知,当点P 满足PA 与抛物线准线垂直时有PA PF+最小值．【详解】解：作出示意图,过点P 作抛物线准线的垂线PB ,垂足为B ,由抛物线的定义可知,PB PF =,由图可知,当点P 满足PA 与抛物线准线垂直时PA PF +取最小值, 将2y =代入到22y x =得2x =,此时点P 的坐标为(2,2), 故答案：(2,2)．16.已知正项等比数列{}n a 满足2020201820192a a a =+,若存在两项,m n a a 14m n a a a ⋅=,则4n mmn+的最小值是_________,此时22m n +=_________. 【答案】 (1). 32(2). 20【解析】由2020201820192a a a =+得等比数列的公比2q,从而可得6m n +=,再用基本不等式求最值．【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >, ∵2020201820192a a a =+, ∴22q q =+, ∴2q或1q =-（舍去）,m n a a ⋅=1111m n a q a q --⋅⋅⋅212m n a +-=, 14m n a a a ⋅=224m n +-=,则6m n +=,∴4n m mn +14m n =+()1146m n m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1456n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5166≥+⨯32=, 当且仅当4n m m n=且6m n +=即2m =,4n =时,等号成立, 此时2241620m n +=+=, 故答案为：32；20． 四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 2230{|}A x x x =--≤,:q {}22|,0B x x m m =≤>.（1）若2m =,求A B ；（2）若p 是q 的充分条件,求m 的取值范围.【答案】（1）{}12A B x x ⋂=-≤≤； （2）[)3,+∞．【解析】（1）先求出集合A ,再把2m =代入求出集合B,再根据交集的定义求出A B ；（2）由p 是q 的充分条件得A B ⊆,再根据子集的定义求解．【详解】解：（1）由题意,得{}13A x x =-≤≤,当2m =时,{}22x x B =-≤≤, ∴{}12A B x x ⋂=-≤≤；（2）由已知,p 是q 的充分条件,则A B ⊆, 又{}B x m x m =-≤≤,∴13m m -≤-⎧⎨≥⎩,解得：3m ≥, ∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．18.已知函数2()2f x ax bx =++,且不等式()0f x >的解集是(3,2)-.（1）求+a b 的值；（2）若不等式23()3f x x x c ≥-++对于[1,1]x ∈-恒成立,求实数c 的取值范围.【答案】（1）23a b +=-（2）11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由题意可知0a <且220ax bx ++=的解是123,2x x =-=,再根据韦达定理即可求解；（2）利用分离变量法将恒成立问题转化为最值问题,再进行求解．【详解】解：（1）∵不等式220ax bx ++>的解集是()3,2-,∴0a <且220ax bx ++=的解是123,2x x =-=, ∴3212(3)26b a a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩, 解得：13a b ==-, ∴23a b +=-； （2）∵23()3f x x x c ≥-++对于[1,1]x ∈-恒成立, ∴22111226222c x x x ⎛⎫≤-+=-+ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立, 当[]1,1x ∈-时,22111112262222x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭, ∴2min 11(226)2x x -+=, ∴112c ≤, ∴实数c 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．19.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知36a =,且774S a =.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设2n n na b =,求数列{}n b 的n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =（2）1242n n n T -+=-【解析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ,再根据等差数列得通项公式与前n 项和公式求解；（2）先求出n b ,再利用错位相减法求n T ．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则111267214(6)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩, 解得122a d =⎧⎨=⎩, ∴2n a n =；（2）由（1）知,12222n n n n n a n n b -===, ∴0231123422222n n n T -=+++++, 23111231222222n n n n n T --=+++++, 两式相减得,02111111222222n n n n T -=++++-, ∴2321111122122222n n n n T --=++++++- 121221212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-- 4242nn +=- 1242n n -+=-,综上：1242n n n T -+=-． 20.已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数),过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ,1l 交曲线E 于,A B 两点,2l 交曲线E 于,C D 两点,点,M N 分别是线段,AB CD 的中点,若121k k +=,求证：直线MN 过定点.【答案】（1）24y x =（2）见解析【解析】（1）由题意可得,点P 到定点(1,0)的距离等于它到1x =-的距离,从而点P 的轨迹是以(1,0)为焦点,1x =-为准线的抛物线,从而求出答案；（2）先写出直线AB 的点斜式方程,再联立抛物线方程消元,得韦达定理结论,利用中点坐标公式求出点M ,同理求出点N ,从而求出直线直线MN 的斜率及直线方程,从而得出直线MN 过定点．【详解】解：（1）∵点P 到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1, ∴点P 到定点(1,0)的距离等于它到1x =-的距离,∴点P 的轨迹是以(1,0)为焦点,1x =-为准线的抛物线,∴动点P 的轨迹E 的方程为24y x =（2）由题意,直线AB 的方程为1()y k x m =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,由12()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩,得211440k y y k m --=, ∴121214,4y y y y m k +==-, 又线段AB 的中点为M ,所以21122,M m k k ⎛⎫+⎪⎝⎭,同理22222,N m k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴直线MN 的斜率121212M N MN M N y y k k k k k x x k k -===-+, ∴直线MN 的方程为：1221122y k k x m k k ⎡⎤⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即12()2y k k x m =-+,∴直线MN 过定点(,2)m ．21.如图,在三棱锥P ABC -中,已知AC BC ⊥,2AC BC a ==,平面PAB ⊥平面ABC ,点,O D 分别是,AB PB 的中点,PO AB ⊥,连接CD .（1）若2PA a =,并异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角P PB C--的5,求PA 的长. 【答案】（13226 【解析】 （1）连接OC ,以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出PA 、CD ,利用向量法求出异面直线所成角的余弦值；（2）设PO h =,证得OC 是平面PAB 的一个法向量,再求出平面PBC 的一个法向量,从而可求出2223h a =,再用勾股定理求出PA ． 【详解】解：（1）连接OC ,∵平面PAB ⊥平面ABC ,PO ⊥AB ,∴PO ⊥平面ABC ,所以PO ⊥OC , ∵AC =BC ,点O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB 且2OA OB OC a ===,如图,以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -,．2PA a =,2PO a =．(0,2,0)A a ,2,0)B a ,(2,0,0)C a ,2)P a ,22(0,,)22a a D ． 从而(02,2)PA a a ，=--, 22(2,)22CD a a ，=-． ∵cos PA CDPACD PA CD ，=2323a a ==⋅∴异面直线PA 与CD 3 （2）设PO h =,则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥OC ,OC ⊥AB ,∴OC ⊥平面PAB ． 从而(2,0,0)OC a =是平面PAB 的一个法向量,不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =, ∵(02,)PB a h =-，,(22,0)BC a a =-，,0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴2,.ay hz x y ==⎪⎩不妨令x =1,则y=1,z =则2(1,1,n =．由已知,2222OC n OC n a a ⋅==,化简,得2223h a=． ∴2PA OA =222a =+=． 22.在直角坐标系xOy 中,已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的上顶点坐标为(0,2),离心率为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上的点P 的横坐标为2,且位于第一象限,点P 关于x 轴的对称点为点Q ,,A B 是位于直线PQ 异侧的椭圆上的动点.①若直线AB 的斜率为12,求四边形APBQ 面积的最大值； ②若动点,A B 满足APQ BPQ ∠=∠,试探求直线AB 的斜率是否为定值？说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）①3②为定值,见解析【解析】（1）直接根据椭圆几何性质求解；（2）由（1）可得P 点坐标为P ,则(2,Q , ①设直线AB 方程,联立椭圆方程,设1122(,),(,)A x y B x y ,得韦达定理,表示出四边形APBQ 面积APBQ S ,从而求出四边形APBQ 面积最大值为3； ②由题意可得直线AP 斜率与直线BP 斜率互为相反数,设直线AP 的方程,联立椭圆方程,设1133(,),(,)A x y P x y ,得两根之和,求得1x =设22(,)B x y ,同理可得2x =根据斜率计算公式得直线AB 的斜率为定值．【详解】解：（1）由题意2,c b e a ===可得2228,4a b c ===, 则椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）由（1）可得P 点坐标为P ,则(2,Q ,①设直线AB 方程为1:2AB l y x m =+,联立椭圆方程22184x y +=, 化简可得22322802x mx m ++-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则212124416,33m m x x x x -+=-=,1212APBQ S PQ x x =⋅-12PQ =12=⋅∴当0m =时,四边形APBQ ； ②由题意,因为APQ BPQ ∠=∠,则直线AP 斜率与直线BP 斜率互为相反数,设直线AP 的方程为:(2)AP l y k x -=-,联立椭圆方程22184x y +=,化简可得()2222128)840k x k x k ++-+--=,设1133(,),(,)A x y P x y ,则13x x +=又32x =,所以1x =设22(,)B x y ,同理可得2x =,所以()1212121228(2)(2)412k x x y y k x k x k x x k k --=-=--+-=+,所以直线AB的斜率212128ky y k x x --===-为定值．。

江苏省徐州市2019－2019学年度第一学期期末考试高二数学(理)试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线24y x =的焦点坐标是 ▲ ． 2．命题“2,10x x ∀∈>R +”的否定是 ▲ ．3．过点()3,2A 且与直线210x y -+=平行的直线方程是 ▲ ．4．已知直线1l ：230x my ++=与直线2l ：310x y --=相互垂直，则实数m 等于 ▲ ．5．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是 为 ▲ ．6．已知点()8,6A -与圆22:25C x y =+，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值 是 ▲ ．7．已知双曲线1422=-y m x 的一条渐近线方程为x y =，则实数m 等于 ▲ ． 8．棱长为1的正方体的外接球的表面积为 ▲ ． 9．曲线()232f x x x =-在1x =处的切线方程为 ▲ ．10．已知向量()()2,3,2,1,5,1=-=--a b ，则m +a b 与23-a b 相互垂直的充要条件为 ▲ ．11．椭圆()222210x y a b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．12．设,αβ为两个不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥；②若,,l m m n αα⊥⊥P ，则l n P ；③若,l αβα⊂P ，则l βP ；④若,l l αβ⊥P ，则αβ⊥．其中正确命题的序号是 ▲ ．13．设F 为抛物线28x y =的焦点，点,,A B C 在此抛物线上，若FA FB FC =++0u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC =++u u u r u u u r u u u r▲ ．14．如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长 为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆 的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，则梯形ABCD 的面积S 的 最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知过点()1,4A -的圆的圆心为()3,1C ． ⑴求圆C 的方程；⑵若过点()2,1B -的直线l 被圆C 截得的弦长为45，求直线l 的方程． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，且,E F 分别是,BC CD 的中点． ⑴求证：平面PEF ⊥平面PAC ； ⑵求三棱锥P EFC -的体积． 17．(本小题满分14分)椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点． ⑴求2ABF ∆的周长； ⑵若l 的倾斜角为4π，求2ABF ∆的面积． 18．(本小题满分16分)某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量()L p 关于行驶速度()km /h v 的函数解析式可以表示为：()3138012012800080p v v v =-+<≤．已知甲、乙两地相距100km ，设汽车的行驶速度为(km /h)x ，从甲地到乙地所需时间为()h t ，耗油量为()L y ． ⑴求函数()t g x =及()y f x =；(第14题图)(第16题图)⑵求当x 为多少时，y 取得最小值,并求出这个最小值． 19．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =2BD AE ==，M 是AB 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：⑴求证：CM EM ⊥；⑵求CM 与平面CDE 所成角的大小． 20．(本小题满分16分)已知函数()1ln sin g x x x θ=+g 在[)1,∞+上为增函数，且()0,θ∈π，()f x mx =-⑴求θ的值；⑵若函数()()y f x g x =-在[)1,∞+上为单调函数，求实数m 的取值范围； ⑶设()2eh x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立， 求实数m 的取值范围．江苏省徐州市2019－2019学年度第一学期期末考试高二数学(理)答案与评分标准一、填空题：1．()1,0 2．2,10x x ∃∈R +≤ 3．240x y --= 4．6 5．72 6．5 7．4 8．3π 9．0x y -= 10．171311．12 12．②③④ 13．12 14．2332r二、解答题：15．⑴圆C 半径r 即为AC ，所以()()2213415r AC ==---=+，……………2分所以圆C 的方程为()()223125x y --=+．……………………………………6分 ⑵圆心C 到直线l 的距离为()225255-=，……………………………………8分当直线l 垂直于x 轴时，方程为2x =，不满足条件，所以直线l 的斜率存在，10分 设直线l 的方程为()12y k x =-+，即210kx y k ---=， 由()22312151k k k ---=-+，解得12k =-，所以直线l 的方程为20x y +=．…14分(第19题图)16．⑴连结BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF BD P ，所以EF AC ⊥，………………………4分因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ， 所以EF PA ⊥，因为PA AC A =I ， 所以PAC EF 平面⊥，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．…………………………8分 ⑵11111123323P EFC EFC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．……………………………………14分 17．由椭圆的定义，得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，又AB BF AF =+11，所以，2ABF ∆的周长a BF AF AB 422=++=．又因为42=a ，所以2=a ，故2ABF ∆点周长为8．………………………………6分 ⑵由条件，得)0,1(1-F ，因为AB 的倾斜角为4π，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为1+=x y ．………………………………………………………8分由221,1,43y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得09672=--y y ，……………………………………10分设),(,),(2211y x B y x A ，解得12362362,y y +-==， 所以，2121211122122222ABF S F F y y ∆=⋅-=⨯⨯=．…………………………14分 18．⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为()()1000120t g x x x==<≤，………2分则()313100812800080y f x pt x x x ⎛⎫===-+⋅ ⎪⎝⎭()2180015012012804x x x =+-<≤．………………………………………8分 ⑵332280080640640x x y x x-'=-=，由0y '=，得80x =，列出下表： x()0,8080 ()80,120()f x ' -+()f x↓极小值11.25↑分答：当汽车的行驶速度为80km/h 时，耗油量最少为11.25L ．…………………16分 19．⑴分别以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．…………………………………………2分设AE a =，则()(),,0,0,2,M a a E a a --，所以()(),,0,,,CM a a EM a a a =-=-u u u u r u u u u r，………4分 所以()()00CM EM a a a a a ⋅=⨯-⨯⨯-=++u u u u r u u u u r，所以CM EM ⊥．…………………………8分 ⑵()()0,2,,2,0,2CE a a CD a a =-=u u u r u u u r，设平面CDE 的法向量(),,x y z =n ，则有20,220,ay az ax az -+=⎧⎨+=⎩即2,,z y x z =⎧⎨=-⎩令1y =，则()2,1,2=-n ，…………………12分21022cos ,23a a CM CM a CM ⨯--⨯⨯⋅===-⨯++u u u u r u u u u r u u u u rn n n，…………………14分 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45︒．…………………………………16分 20．⑴由题意，()2110sin g x x x θ'=-+g ≥在[)1,∞+上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥． 因为()0,θ∈π，所以sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[)1,∞+上恒成立， 因为sin 1y x θ=⋅-是增函数，所以只要1sin 10θ⋅-≥，即sin 1θ≥，所以sin 1θ=，因为()0,θ∈π，所以2θπ=．…………………………………3分 ⑵由⑴得，()1ln g x x x =+，所以()()2ln mf xg x mx x x-=--．令()()()2ln mF x f x g x mx x x=-=--，则()222mx x m F x x -'=+． 因为()F x 在其定义域内为单调函数，所以220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，…………5分220mx x m -+≥等价于()212m x x +≥，即221xm x +≥在[)1,∞+上恒成立， 而22211112x x x x x x==⋅++≤，当且仅当1x =是等号成立，所以1m ≥．…7分 对于220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，设()22x mx x m ϕ=-+，则①当0m =时，20x -≤在[)1,∞+上恒成立；②()0,11,1220,m m m ϕ⎧<⎪⎪<⎨⎪⎪=-<⎩解得0m <．所以0m ≤．综上，m 的取值范围是(][),01,-∞∞+U ．…………………………………………10分 ⑶设()()()()2e2ln m H x f x g x h x mx x x x=--=---． ①当0m ≤时，因为[]1,x e ∈，所以10m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，且2e 2ln 0x x --<，所以()0H x <，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立．…………12分②当0m >时，()222222e 22em mx x m H x m x x x x -'=-=++++，因为[]1,e x ∈，所以2e 20x -≥，又20mx m >+， 所以()0H x '>在[]1,e 上恒成立，所以()H x 在[]1,e 上是单调增函数，()()max e 4emH x H e m ==--． 所以只要e 40e m m -->，解得24ee 1m >-． 故m 的取值范围是24e ,e 1⎛⎫∞ ⎪-⎝⎭+．…………………………………………………16分。

2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（5分）向量十：二鼻"二：二,-，若」 '则x 的值为（） A. - 3 B. 1 C. - 1 D . 32. （5分）已知函数f （x ） =x+lnx ,则f'（1）的值为（）A. 1B. 2C. - 1 D .- 2 3. （5分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500人，其中高三学生数是高一 学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300人，现在按丁的抽样比用分层 抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A. 8B. 11C. 16 D . 104. （5分）某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出万元）的统计资料如下表所示:5. （5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等 马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐 王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,为（ y （单位: 根据统计资料，则（ ） A. 月收入的中位数是15, B. 月收入的中位数是17, C. 月收入的中位数是16, D. 月收入的中位数是16， x 与y 有正线性相关关系x 与y 有负线性相关关系 x与y 有正线性相关关系 x与y 有负线性相关关系 则田忌获胜的概率6 . (5 分)点集Q= (x, y) | 0<x<e, 0<y<e}, A={ (x, y) | y>e x, (x, y) €內，在点集Q中任取一个元素a,贝U a€ A的概率为( )7. （5分）下列说法错误的是（ ）A .函数f （x ）的奇函数”是“f （0） =0”的充分不必要条件.B. 已知A , B , C 不共线，若-： = |,则P >△ ABC 的重心.C. 命题？ x o € R , sinx o 》T 的否定是：? x € R, sinx v 1”.D.命题若a=，则cos 的逆否命题是： 若cosy • —，则，——”. 322 3 2 28. （5分）过双曲线21 - :.的右焦点且垂直于x 轴的直线与双a 2b 2 曲线交于A , B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ ABD 为直角三角形，则此双 曲线离心率的值为（ ）A . 「B.门.：C. Y ：或 门.：D. 「或：：'.:9. （5分）若双曲线x 2+my 2=m （m € R ）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）A. ： :B. ： :■-C. , _ I :,D.，-，—10. （5分）已知正三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 ABi 与侧面2=x 2 - 9lnx 在区间［a - 1, a+1］上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A . (1, 2] B . [4, +x)C . (-X, 2] D. (0, 3] 12. (5分)设函数f (x )=二sin 丄三,若存在f (x )的极值点X 。

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：“若，则”的逆否命题是______．【答案】若，则【解析】【分析】根据原命题和其逆否命题的形式，即可得到结果。

【详解】否定前提：否定结论：前提和结论都需要否定，然后调换位置本题正确结果：若，则【点睛】本题考查命题的基本定义，属于基础题。

2.已知复数（是虚数单位），则．【答案】【解析】试题分析：考点：复数模的定义3.已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】，【解析】【分析】通过标准方程确定和，根据的关系，得到焦点。

【详解】由题意得：，由得：焦点坐标为本题正确结果：，【点睛】本题考察了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题。

4.“”是“”成立的______条件在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写．【答案】充分不必要【解析】【分析】通过求解不等式得到，判断其与的关系即可得到结果。

【详解】由可得：当时，必有当时，则未必成立（如）本题正确结果：充分不必要【点睛】本题考查充要条件的基础知识，属于基础题。

5.函数，的单调递减区间是______．【答案】【解析】【分析】对求导，通过得到单调递减区间。

【详解】有题意得：令，解得：当时，，此时单调递减本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间，属于基础题。

要注意在上是单调递减的。

6.若双曲线C：的离心率为，则的值为______．【答案】3【解析】【分析】通过离心率得到的关系，再利用双曲线得到之间的关系。

【详解】离心率，即又，所以本题正确结果：【点睛】本题考察了双曲线离心率以及之间的关系，属于基础题。

7.直线l过点，且与曲线相切于点，若，则实数a的值是______．【答案】2【解析】【分析】利用切线斜率既等于导函数的值，又可以表示为两点连线斜率公式的形式，得到关于的方程，解方程得到结果。

【详解】即切线斜率直线过，则本题正确结果：【点睛】本题考察了导数的几何意义，关键在于构造出关于切线斜率的等量关系，属于基础题。

2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y 2=4x 的准线方程是（ ） A.x=﹣1 B.x=1 C.x=﹣2 D.x=2 2.数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，则此数列的第3项是（ ） A.15 B.255 C.20 D.31 3.命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”的否定是（ ） A.∃x 0∉R ，f （x 0）≥0 B.∀x ∉R ，f （x ）≥0 C.∀x ∈R ，f （x ）≥0 D.∀x ∈R ，f （x ）＜0 4.在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14=（ ） A.45 B.41 C.39 D.375.实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b的最小值是（ ）A.18B.6C.2D.26.设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）A. B.C.D.8.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.59.椭圆中，以点M （﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A. B. C. D.10.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A.2B.2C.2D.411.与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（ ）A.=1 B. =1 C. =1 D. =112.当|m|≤1时，不等式1﹣2x＜m（x2﹣1）恒成立，则x的取值范围是（）A.（﹣1，3）B.C.（﹣3，1）D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集是.14.若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n= .15.方程表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是.16.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}的通项公式为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实数根，命题q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.18.解关于x的不等式 2ax2﹣（2a+1）x+1＞0（a＞0）.19.已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值.20.已知点P为曲线C：x2+y2=4上的任意一点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？21.已知各项都为整数的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a3+1，a6成等比数列.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n.22.如图，椭圆的两顶点A（﹣1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（1）当|CD|=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，求证：点P与点Q横坐标之积为定值.参考答案1.A.2.D.解析：数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31.3.C.解析：∵命题“∃x0∈R，f（x0）＜0”是特称命题.∴否定命题为：∀x∈R，f（x）≥0.4.B.解析：设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a6=17得， =3，则a14=a6+（14﹣6）×3=17+24=41，5.B.解析：实数a，b满足a+b=2，则3a+3b≥2=2=2=6，当且仅当a=b=1时，取得等号，即3a+3b的最小值是6.6.A.7.D.8.B.9.D.10.C.11.A.12.B.13.答案为：（0,0.5）；14.答案为：2n+1﹣2.解析：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a3+a5=40=q（a2+a4）=20q，解得q=2，∴20=a2+a4=a1（2+23），解得a1=2.则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2.15.答案为：（0.5，1）.16答案为：a n=3n﹣2.解析：数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），可得a n+2=3（a n﹣1+2），则数列{a n+2}为首项为3，公比为3的等比数列，可得a n+2=33n﹣1=3n，即有a n=3n﹣2.17.解：18.解：19.解：20.解：21.22.解：。

2018-2019学年高二上学期期末考试一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则” B ．命题“，”的否定“，”C ．若为假命题，则，均为假命题D ．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+点，若，则实数的值为（）A．B．C．2 D．312．已知双曲线22221x ya b-=的左、右顶点分别为,A B，P为双曲线左支上一点，ABP∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（）A．155B．154C．153D．152二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为()()222310x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：()()22223x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：()()22221213,5r r -+-+=∴=，所以所求的圆的方程为()()22235x y -++=，化简为：22-4680x y x y +++=，故选B.【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实B．命题“，”的否定“，”C．若为假命题，则，均为假命题D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件【答案】A【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.【详解】否定“若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；命题“，”的否定“，”，不正确；若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.【详解】对应的双曲线方程为，双曲线的一个焦点是，且，则，则，则，则，即双曲线的方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输.【详解】若输入的值分别为,则,不满足条件，循环；，余数为13 ,即，不满足条件，循环；，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线方程解得，，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：共6个,出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】由椭圆的定义得12128{8AF AF BF BF +=+=两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16-10=6 故选D ． 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】延长到点,使得,连接,则是平行四边形，可得,根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，在中，根据余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+ 【答案】B【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，2241515()()PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A 、B （A 在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D ．【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为,A B ， P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C ．153 D ．152【答案】C【解析】由题意知等腰ABP ∆中， ||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆外接圆的半径为5a ， ∴225sin aa θ=， ∴5sin 5θ=， 25cos 5θ=， ∴25254253sin22,cos22155555θθ⎛⎫=⨯⨯==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(),x y ，则118cos2,sin255a ax a AP y AP θθ=+===， 故点P 的坐标为118,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭．由点P在椭圆上得2222118551a aa b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理得2223ba=，∴221513c bea a==+=．选C ．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,a b间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．【答案】30【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．【答案】【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.【详解】设，则①，②，是线段的中点，，直线的斜率是，所以，①②两式相减可得，即，，，故答案为.【点睛】本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）命题是真命题，则若，，的取值范．（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假.①若真假，，且，则得；②若假真，则得，且，得．综上，实数的取值范围为或.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）（2）可靠【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）由题意：，,．，故回归直线方程为：．(2)当时，，当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用独立事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.【详解】(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互独立，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x<y,为图中阴影部分区域.设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.【点睛】本题主要考查古典概型、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.（2），所以易得点到直线的距离为,当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；当的斜率存在时，设的方程为，由得,故的方程为；综上，的方程为或.【点睛】本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且F A＝FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，∴＝(，0，)，＝(，1,0)，设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令x＝1，则n＝(1，－，－1)，∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴二面角A－FC－B的余弦值为．【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.试题解析：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

江苏徐州18-19高二上学期年末考试--数学（理科）高二数学试题(理科)参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径、 锥体的体积ShV 31= ，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题。

每题5分。

共计70分、请把答案填写在答题纸相应位置上2、直线03=+-y x 的倾斜角为、3、抛物线x y 42=的焦点坐标是、4、双曲线19422=-y x 的渐近线方程是、 5、球O 的半径为3，那么球O 的表面积为、6、假设一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，那么那个正三棱锥的体积为、7、函数2)(x x f =在点(1，)1(f )处的切线方程为、8、向量),2,3(z a -=，)1,,1(-=y b ，假设b a //，那么yz 的值等于.9、圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相内切，那么实数m 的值为、 10、命题012:22<-+-m x x p ；命题：q 062<--x x ，假设p 是q 的充分不必要条件，那么正实数m 的最大值为。

11、两条直线0411=++y b x a 和0422=++y b x a 都过点A (2，3)，那么过两点),(111b a P ，),(222b a P 的直线的方程为.12、1F 是椭圆192522=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，)1,1(A 是一定点，那么1PF PA +的最大值为、13、如图，c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且CD AB //，假设椭圆以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，那么当梯形ABCD 的周长最大时，椭圆的离心率为、 14、设函数xx f 1)(=，bx ax x g +=2)(，假设)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有两个不同的公共点，那么当)1,0(∈b 时，实数a 的取值范围为、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题纸制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、(本小题总分值14分)如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点、(1)求证：EF ∥平面11D CB ；(2)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB 、16、(本小题总分值l4分)圆C 通过三点)0,0(O ，)3,1(A ，)0,4(B 、 (1)求圆C 的方程；(2)求过点)6,3(P 且被圆C 截得弦长为4的直线的方程、 17、(本小题总分值14分)在长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，2=AD ，31=AA ，M ，N 分别是棱1BB ，BC 上的点，且2=BM ，1=BN ，建立如下图的空间直角坐标系、求：〔1〕异面直线DM 与AN 所成角的余弦值； 〔2〕直线DM 与平面AMN 所成角的正弦值。

徐州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ） AB ．12C ．12- D． 2． 设集合,,则( )ABC D3． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ） A．B．C．D．4． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1215． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[0，+∞）B ．[0，3]C ．（﹣3，0]D ．（﹣3，+∞）6． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．7． 已知点M 的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（ ）A ．（1，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）8． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 39． 已知函数f （x ）=2x﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f ′（x 0）＜0 B ．f ′（x 0）=0C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定10．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 11．ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 12．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．14．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值； ③若m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ．15．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos2）a n +sin2，则该数列的前16项和为 ．16．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ．17．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．18．设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2.20．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？21．已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值．22．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．23．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．24．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．徐州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D 【解析】试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=． 考点：余弦的两角和公式. 2． 【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。

2018～2018学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题(理)参考公式：柱体的体积公式：Sh V =,其中S 是柱体的底面面积,h 是高.锥体的体积公式：Sh V 31=,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.圆柱的侧面积公式：cl S =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是母线长. 球体的表面积公式：24R S π=，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．命题p ：R x ∈∀，1sin ≤x 的否定是 ． 2．准线方程为1-=x 的抛物线的标准方程为 ． 3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为 ．4．双曲线1622=-y m x 的一条渐近线方程为x y =，则实数m 的值为 ． 5．若直线:1l 014=-+y x 与:2l 02=++y kx 互相垂直，则k 的值为 ． 6．函数x x y 33-=的单调减区间是 ．7．在正方体1111D C B A ABCD -中，与AB 异面且垂直的棱共有 条．8．已知函数x x x f sin 3cos )(+=，则)3(πf '的值为 ．9．“b a =”是“22b a =”成立的 条件．(填“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)10．若圆422=+y x 与圆1)(22=+-y t x 外切，则实 数t 的值为 ．11．如图，直线l 是曲线)(x f y =在点))4(,4(f 处的 切线，则)4()4(f f '+的值等于 ．12．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，满足︒=∠12021PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．13．已知)1,3(A ，)0,4(-B ，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，则PB PA +的最大值 为 ．14．已知函数x x f ln )(=，x x x g 221)(2-=，当2>x 时3)(2)()2(+'+<-x g x xf x k 恒成立，则整数k 最大值为 ． 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在三棱锥ABC P -中，AB AP =，平面⊥PAB 平面ABC ，︒=∠90ABC ，E D ,分别为BC PB ,的中点．(1) 求证：DE ∥平面PAC ； (2) 求证：AD DE ⊥．16.(本小题满分14分)已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分 别为)2,1(-P ，)4,3(Q .(1)求圆C 的方程； (2)若直线b x y +=2被圆C 截得 的弦长为52，求b 的值．17．(本小题满分14分)在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=A A ，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线B A 1与1AC 所成角的余弦值； (2)求直线1AB 与平面AD C 1所成角的正弦值．18．(本小题满分16分)某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按 照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容 积为π3．设圆柱体的底面半径为x ，圆柱体的高为h ，瓶体的表面积为S . (1)写出S 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)， 可以使表面积S 最小，并求出最小值.19.(本小题满分16分)已知二次函数)4()(2<++=c c bx ax x h ，其导函数)(x h y '= 的图象如图所示，函数)(ln 8)(x h x x f +=．(1)求b a ,的值； (2)若函数)(x f在区间)21,(+m m 上是单调增函数，求实数m 的取值范围； (3)若对任意]1,1[-∈k ，]8,0(∈x ，不等 式)()1(x f x k ≥+恒成立，求实数c 的取值范围．20.(本小题满分16分)把半椭圆)0(12222≥=+x by a x 与圆弧)0()(222<=+-x a y c x合成的曲线称作“曲圆”，其中)0,(c F 为半椭圆的右焦点.如图，2121,,,B B A A 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知3221π=∠FB B ，扇形211B A FB 的面 积为34π. (1)求c a ,的值； (2)过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于Q P ,两点，试将PQ A 1∆的周长L 表示为θ的函数； (3)在(2)的条件下，当PQ A 1∆的周长L 取得 最大值时，试探究PQ A 1∆的面积是否为定值？ 若是，请求出该定值；若不是，请求出面积 的取值范围.2018~2018学年度第一学期期末抽测 高二数学（理）参考答案与评分标准一、填空题 1．,sin 1x xR $? 2．24y x = 3．π 4．6 5．4- 6．(1,1)- 7．48．0 9．充分不必要 10．3± 11．11212． 13．10+ 14．5二、解答题15．（1）因为,D E 分别为,PB BC 的中点，所以DE PC ∥，…………………………2分又DE Ë平面PAC ，PC Ì平面PAC ，故DE ∥平面PAC ．……………5分 （2）因为,AP AB PD DB ==，所以AD PB ^， ………………………………7分因为平面PAB ^平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，又BC AB ^，BC Ì平面ABC ，所以BC ^平面PAB ，…………………10分 因为AD Ì平面PAB ，所以AD BC ^，……………………………………11分 又PB BC B =，PB ，BC Ì平面ABC ，故AD ^平面PBC ，………13分 因为DE Ì平面PBC ，所以D E AD ^．……………………………………14分16．（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为(2,1)，…………………2分圆C的半径12r PQ ==，…………………………………………………4分 所以圆C 的方程是：22(2)(1)10x y -+-=．………………………………6分（2）设圆心C 到直线2y x b =+的距离是d =9分据题意得：2210d +=，…………………………………………………12分即2(3)5105b ++=，解之得，2b =或8b =-17．（1）以1{,,}AB AC AA为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0)B ，1(0,0,4)A ，1(0,2,4)C ，(1,1,0)D ，所以1(2,0,4)A B =-，1(0,2,4)AC=， (111111)4cos ,5A B AC A B AC A B AC×<>==-， 所以异面直线11,A B AC 所成角的余弦值为45．…7分（2）由（1）可知1(0,2,4)AC =，(1,1,0)AD=，设平面1C AD 的法向量为(,,)x y z =n ，则可得100AC AD ìï?ïíï?ïîn n ，即2400y z x y ì+=ïïíï+=ïî，………9分取2x =，可得2y =-，1z =，故(2,2,1)=-n 是平面1C AD 的一个法向量，…………………………………11分 而1(2,0,4)AB=，设直线1AB 与平面1C AD 所成的角为q ，111sin cos ,AB AB ABq ×=<>==n n n13分 所以直线1AB 与平面1C AD．………………………14分 18．（1）据题意，可知23x h p p =，得23h x =，………………………………………2分 2222136423,(0)2S x x x x x xxp p pp p =?+?+> ………………………6分（注：未写出定义域的扣1分） （2）'266S x x pp =-，…………………………………………………………………8分 令'0S =，得1x =?，舍负…………………………………………………10分当1x =时，S 取得极小值，且是最小值……………………………………15分 答： 当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S 取得最小值9p ．…………16分19．（1）据题意，扇形的半径即为a ，所以214π33a =解得2a =，1cos601c OF B F ==装=．…2（2）不妨取Q 在x 轴上方，当π(0,)3q Î时，取1A P 的中点M ，连结MF ，1(1,0)A -为 椭圆的左焦点，11L AQ FQ FP A P =+++ 11()2AQ FQ FP A M =+++22a a a =++ 当π2π[,]33q Î时，11L AQ FQ FP A P =+++228a a =+=，………………6分 当2π(,π)3q Î时，11L AQ FQ FP A P =+++π22sin 2a a a q-=++ 64cos 2q=+，………………………………………8分(第19题图)所以π64sin ,(0,),23π2π()8,[,],332π64cos ,(,π).23L q q q q q q ìïï+?ïïïïïï=?íïïïïï+?ïïïî………………………………………9分 （3）1A PQ △的面积不是定值．由（2）可知，当且仅当π2π[,]33q Î时，L 取得最大值8， 此时,P Q 均在半椭圆221(0)43x y x ≥+=上， 设PQ的方程为1(x my m =+-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立221,143x my x y ì=+ïïïíï+=ïïïî，消去x 并整理得，22(43)690m y my ++-=，………11分 223636(43)0m m D =++>，12122269,4343m y y y y m m-+=-=++， 22221212122222236(44)144(1)()4(43)9(1)6(1)1m m y y y y y y m m m ++-=+-==+++++2214419(1)61m m =++++，………………………………………13分 令21m t +=，则4[1,]3t Î，记14()9,[1,]3g t t t t =+?，'21()90g t t =->，所以()g t 在4[1,]3t Î上单调增且恒正，故20m =时，212y y -取得最大值14416，所以12max 123y y -==，当213m =时，212y y -取得最小值57675，所以12min y y -=，故11121||||2A PQ S A F y y D =鬃-?．…………………………………16分 20．（1）'()2h x ax b =+，由'(5)0,'(0)10h h ==-，解得1,10a b ==-．……………………………………………………………2分（2）2()8ln 10f x x x x c =+-+，则82(1)(4)'()210x x f x x x x--=+-=，令'()0f x =，得1x =或4x =，列表如下：…………………………………3分……………………………………………………………………………………5分因()f x 在区间1(,)2m m +是单调增函数， 所以1(,)(0,1)2m m +?或1(,)(4,)2m m +??，……………………………6分所以0,112m m ≤≤ìïïïíï+ïïî或4m ≥， 所以实数m 的取值范围为1[0,][4,)2+?．…………………………………8分（3）由(1)()k x f x ≥+在(0,8]x Î恒成立，整理得8ln 11x ck x x x ≥+-+对任意[1,1]k ?恒成立，所以应有8ln 111x cx x x ≥-+-+恒成立，即28ln 10c x x x ≤--+对(0,8]x Î恒成立．………………………………10分设2()8ln 10,(0,8]g x x x x x =--+?， 则82(1)(4)'()2104x x g x x x --=--+=-， 令'()0g x =，得1x =或4x =，列表如下：…………………………………………………………………………………12分(1)(8)9168ln88ln878ln888(ln81)0g g -=-+=->-=->，所以()g x 在(0,8]x Î的最小值为(8)168ln8g =-，又4c <，2168ln84128ln8128ln 12160e --=-<-=-<，所以实数c 的取值范围是(,168ln8]-?．…………………………………16分。

2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．11．已知F为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为：=．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=﹣π．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为：=2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为e．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为（﹣，﹣）∪（0，2）．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m 的取值范围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值范围为a≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值范围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x ∈，f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数，x ∈，f ′（x ）＜0，f（x ）是减函数，若对任意的x 0∈（0，e ]，总存在两个不同的x 1，x 2∈（0，e ]，使得f （x 1）=f （x 2）=g （x 0）．可知f （x ）极大值≥1，f （x ）极小值≤0．可得，，∵f （x ）=a （x ﹣1）2﹣lnx ，，不等式不成立．当a ＞0时，x ∈（0，），h （x ）＜0恒成立，f ′（x ）＜0，f （x ）是减函数，x ∈，f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数，因为x=1时，f （1）=0，只需f （e ）≥1．可得：a （e ﹣1）2﹣1≥1，解得a ≥．综上：实数a 的取值范围为：a ≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连接AC ，交BD 与点O ，连接OM ，先证明出MO ∥PA ，进而根据线面平行的判定定理证明出PA ∥平面MDB ．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，求实数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，求实数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利用向量法能求出AC．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线BC1与AB1所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=60°，∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∴==，解得a=．∴AC=．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。