2018届苏教版 函数与方程 单元测试

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考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2016·湖北高考理科·Ｔ9）函数f （x ）=xcos x ²在区间[0,4]上的零点个数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【解题指南】本题考查函数零点的定义,转化成求方程根的个数问题. 本题考查基本不等式的应用,解答本题的关键把条件的左边通分利用基本不等式证明.【解析】选C.由方程xcos x ²=0在区间[0,4]上的解有10,x ，共6个零点. 2.（2016·湖北高考文科·Ｔ3）函数f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【解题指南】解答本题可先求导数，转化成求方程根的个数问题，最后再利用方程与函数的思想求解.【解析】选D. f(x)=xcos 2x 是由y 1=x 与y 2=cos 2x,相乘构成的函数,当x=0时, y 1=0, y 2=1，此时f(x)=0,当0<x ≤2π时, y 1≠0, y 2=cos2x 有4个零点,此时f(x)=0有4个零点,综上所述f(x)=xcos 2x 有5个零点.选D.3.（2016·北京高考文科·Ｔ5）函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解题指南】利用函数与方程思想，把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题，再转化为两个函数图象的交点个数问题.【解析】选B.函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数，是方程121()02x x -=的解的个数，是方程121()2xx =的解的个数，也就是函数12y x =与1()2x y =的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.4.（2016·天津高考理科·Ｔ4）函数3()22x f x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解题指南】先判断函数的单调性，再确定零点.【解析】选B.因为2()2ln 23x f x x '=+＞0，所以函数3()22x f x x =+-在（0,1）上递增，且(0)10210,(1)21210,f f =+-=-<=+-=>所以有1个x12y x=1()2x零点. 二、填空题5.（2016·福建高考理科·Ｔ15）对于实数a 和b ，定义运算“”：a b 22,,a a b a ba b b a b a b ⎧-≤*=⎨->⎩，设()(21)(fx x x=-*-1)(1)fx x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m mR =∈，恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是_______．【解题指南】根据新定义，得到一个分段的二次函数式，通过图象找出三个实根的具体位置，同时运用根与系数的关系进行求解 【解析】当x ≤0时, 2x-1≤x-1,则f(x)=(2x-1)(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x 2-x, 当x>0时,2x-1>x-1,则f(x)=(2x-1)(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x 2+x. 可知当m ∈1(0,)4时,f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),其中,x 2,x 3是方程-x 2+x-m=0的根, x 1是方程2x 2-x-m=0的一个根,则23x x m =，1x所以123xxx 123xxx显然，该式随m 的增大而减小，因此，当m =0时，123m a x ()0x xx =；当12m =14时，123m i n()xx x ．【答案】0).三、解答题6.（2016·上海高考理科·T21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿 直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向.（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解题指南】本题考查圆锥曲线中的抛物线知识，以及不等式中的均值不等式知识，更考查考生的识图能力.【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912xy =中，得P 的纵坐标y P =3.由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP=730，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.7.（2016·湖南高考理科·Ｔ20）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（1）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间.（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】（1）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),Tx Tx Tx 由题设有 12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x⨯====-+ 其中,,200(1)x k x k x -+均为1到200之间的正整数.（2）完成订单任务的时间为{}123()m a x (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为 2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是 ①当k=2时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()m a x (),()m a x ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而. 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =. ②当k >2时，12()(),T x T x >由于k 为正整数，故3k ≥，此时 150********=200-(1+k)x 200-(1+3)x 50-x ≥，记{}1375(),()m a x(),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()m a x (),()fx T x T x ={}1m a x (),()T xT x ≥1000375()m a x ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011. ③当k<2时，12()(),T x T x <由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()m a x(),()m a x ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x Tx 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似①的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.关闭Word 文档返回原板块。

专题2：函数的图象与性质班级 姓名一、前测训练1．求下列函数的值域：（1）y ＝sin(2x ＋π3) x ∈[0，π6] （2）y ＝1－x 21＋x 2（3）y ＝x ＋1－x （4）f (x )＝(12)x －x ，x ∈[－1，2] （5）f (x )＝x 2＋2x 2＋1 （6）f (x )＝x ln x答案：（1）[32，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，54]；（4）[－74，3]；（5）[22－1，＋∞)； （6）[－1e ，＋∞).2．（1）f (x )＝x (12x －1＋12)的奇偶性为 ．（2）若f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 的值为 ．答案：（1）偶函数；（2）12．3．（1）函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的增区间为 ； (2)f (x )＝log 12(x 2－2x )的增区间为 ；(3)f (x )＝ln x －2x 2的减区间为 ．答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)；（3）(12，＋∞) ．4．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝ ． （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2) 0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ．答案：（1）⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3x ，x ＜00， x ＝0 1＋3x ， x ＞0；（2）(－2，2).5．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝ ；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝ ．答案：（1）－12；（2）⎩⎨⎧x －4，4≤x ≤56－x ，5＜x ≤66．（1）已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，①将函数y ＝f (x )图象向右平移2个单位后的解析式为 ．②与函数y ＝f (x )图象关于y 轴对称的函数解析式为 ． （2）方程1－x 2＝x ＋m 有一个实数解，则m 的取值范围为 ．答案：（1）①y ＝ln(2x －3)；②y ＝ln(1－2x )；（2）[－1，1)∪｛2｝. 7．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ． （2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 则实数a ＝ ． 答案：（1）log 2(4－x )；（2）0或－3．四、反馈练习(专题2：函数的图象与性质)1.函数)32lg()(xx x f -=的定义域为 ；答案 )0,(-∞(考查函数的定义域).2.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f ；答案 2-(考查函数的奇偶性).3.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0单调递减，.0)2(=f 若,0)1(>-x f 则x 的取值范围是 ；答案 )3,1(-(考查函数的奇偶性和单调性).4.设奇函数),)((R x x f y ∈=满足对任意R t ∈都有),1()(t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时，,)(2x x f -=则=-+)23()3(f f ；答案 41-(考查函数图像的对称性).5.已知函数)1(2log -=ax y 在（1,2）上单调递增，则实数a 的取值范围是 ；答案[)+∞,1(考查复合函数的单调性).6.函数)(x f 对一切实数x 都满足)21()21(x f x f -=+，并且方程0)(=x f 有三个实根，则这三个实根的和为 ；答案 23(考查函数图像的对称性,函数零点).7. 已知函数)(x f 对任意R x ∈满足)()(x f x f =-，且当0≥x 时，.1)(2+-=ax x x f 若)(x f 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ；答案 ),2(+∞(考查函数图像的对称性,函数零点).8.已知函数x x x f +=3)(，对任意的[]2,2-∈m ，0)()2(<+-x f mx f 恒成立，则x 的取值范围是 ；答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2(考查函数的奇偶性和单调性).9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=.1,2,1,5)3()(x xa x x a x f 是()+∞∞-,的减函数，那么a 的取值范围是 ；答案 (]2,0(考查分段函数的单调性).10.若不等式xx x a 2log 221≥-+在)2,21(∈x 时恒成立,则实数a 的取值范围为 . 答案 [)+∞,1 (考查函数图像,不等式恒成立).11.设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,12,01,1)(x x bx x ax x f 其中.,R b a ∈若)23()21(f f =，则b a 3+的值为 ；答案 10-(考查分段函数,函数的周期性).12．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-.0,12,0,2)(x ax x e x f x (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜.2)()(21x f x f + 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 答案 ①③④(考查分段函数的单调性,函数图像).13.已知函数)(x f 是定义在R 上的单调递增奇函数，若当20πθ≤≤时，0)22()s i n 2(c o s 2<--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.答案 21->m (考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).14. 已知函数)()(R x e e x f xx∈-=-，其中e 为自然对数的底. （1）判断函数)(x f 的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.答案 (1)奇函数，单调增；（2）21-=t .(考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).15.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，∴－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. ∴a ＋3>0，a >－3.∴0<a ≤1.③当a >1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2，2a ＋2>0，显然成立． 综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．(考查函数的单调性,不等式恒成立).16.设函数xxa ka x f --=)((a ＞0且a ≠1)是奇函数．(1)求k 的值；(2)若f (1)＞0，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0；(3)若f (1)＝32，且)(2)(22x mf a a x g x x -+=-在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．解 (1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，k ＝1.(2)因为f(1)＞0，所以a－1a＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数．于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.(3)因为f(1)＝32，所以a－1a＝32，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，得t≥f(1)＝32，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.若m≥32，则当t＝m时，y min＝2－m2＝－2，解得m＝2.若m＜32，则当t＝32时，y min＝174－3m＝－2，解得m＝2512(舍去)．综上得m＝2.(考查函数的奇偶性和单调性).。

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考点4 函数及其表示一、选择题1. （2016·辽宁高考文科·Ｔ7）已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=（ ）.1..1.2A B C D -【解题指南】准确理解函数概念和性质，熟悉对数的运算性质 【解析】选D. 11lg 2lg lg(2)lg1022+=⨯==，()()3)13()]1f x f x x x +-=-++-+3)3)2x x =++ln 33)2x x ⎡⎤=+⎣⎦2ln (3)2x ⎡⎤=-+⎣⎦ln122=+=2.（2016·江西高考理科·Ｔ2）函数y x)=-的定义域为（ ） A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]【解题指南】二次根式的被开方数大于或等于零，对数的真数大于零. 【解析】选B.要使函数有意义，则x 01x 0≥⎧⎨->⎩，解得0x 1≤<.故函数的定义域为[0,1).3.(2016·福建高考理科·T10) 设S,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y=f(x)满足:(1){}S x x f T ∈=)(,(2)对任意x 1,x 2∈S,当x 1<x 2时,恒有f(x 1)<f(x 2),那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是 ( ) A.A=N *,B=N B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或 C.{}R B x x A =<<=,10D.A=Z ,B=Q【解析】选D.对于A,取f(x)=x -1;对于B,取8,1,()5(1),13;2-=-⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩x f x x x 对于C,取()tan()2f x x ππ=-;对于D,假设存在f(x)满足要求,且y 1=f(x 1),y 2=f(x 2),因为x 1<x 2,有f(x 1)<f(x 2),即y 1<y 2, [x 1,x 2]包含于Z,[y 1,y 2]包含于Q, 不妨取x 1=1,x 2=2,[1,2]只有两个元素,而[y 1,y 2]中有无数多个有理数.不符合函数的定义.4.（2016·陕西高考理科·Ｔ10） 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有( ) A.[－x ] ＝ －[x ] B. [2x ] ＝ 2[x ] C.[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D. [x －y ]≤[x ]－[y ]【解题指南】根据本题的特点，可选择代值法逐一验证. 【解析】选D.对A,设x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以A 选项错. 对B,设x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以B 选项错. 对C,设x=y=1.8,[x+y]=[3.6]=3, [x]+[y]=2,所以C 选项错.5.（2016·陕西高考文科·Ｔ10）设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x ,有( ) A .[－x ]=－[x ] B. [x +12]=[x ] C. [2x ]=2[x ]D.1[][][2]2x x x ++=【解题指南】根据本题的特点，可选择代值法逐一验证.【解析】选D.对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项错误;对B, 设x = 1.8, 则[x+21] = 2, [x] = 1, 所以B 选项错误;对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C 选项错误;故D 选项正确.6.（2016·天津高考理科·Ｔ8）已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 （ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭D.⎛- ⎝⎭∞ 【解题指南】将原函数转化为分段函数脱去绝对值号，再分情况讨论求解.【解析】选A. 因为22,()(1||),⎧+≥=+=⎨-<⎩x ax x f x x a x x ax x ，当a ≥0时,函数f(x)是增函数,由于x+a ≥x,所以不等式f(x+a)<f(x)无解,即a ≥0时无意义;当a<0时,若x<0,由f(x+a)<f(x)得x+a-a(x+a)2<x-ax 2,解得212->a x a.又因为函数f(x)是奇函数,不等式f(x+a)<f(x)的解集2211,22⎛⎫--=- ⎪⎝⎭a a A a a ，由11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦得，21122-<-a a0.<<a 7.（2016·重庆高考文科·Ｔ3）函数21log (2)y x =-的定义域为 ( )A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞D.(2,4)(4,)+∞【解题指南】直接利用分母不为零和真数大于零来求解函数的定义域.【解析】选C.要使函数有意义,需满足⎩⎨⎧≠->-0)2(log 022x x 解得2>x 且3≠x ,故选C.8.（2016·大纲版全国卷高考理科·Ｔ4）已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( )A.()1,1-B.)21,1(-- C.()-1,0 D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解题指南】利用换元，由)(x f 的定义域得2x +1的取值范围，可得所求的解。

2.1.1 第2课时 函数的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝|x ＋1|的图象为________．(填序号)【解析】 将y ＝|x |左移1个单位即得到y ＝|x ＋1|的图象． 【答案】 ①2．函数y ＝|x |x＋x 的图象是________．(填序号)【解析】 函数y ＝|x |x＋x 的定义域为{x |x ≠0}，故图象与y 轴交点处应为空心小圆圈，故排除①②.当x <0时，y ＝－1＋x <0，故排除④. 【答案】 ③3．已知函数y ＝ax 2＋b 的图象如图2­1­4所示，则a ＝________，b ＝________.图2­1­4【解析】 由图象可知，当x ＝1时，y ＝0； 当x ＝0时，y ＝－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.【答案】 1 －14．如图2­1­5，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值等于________．图2­1­5【解析】 由题意知，f (3)＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f＝f (1)＝2. 【答案】 2 5．函数y ＝1－1x －1的图象是________．(填序号)【解析】 y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 【答案】 ②6．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[0,3]的值域为________．【解析】 ∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∴函数的图象是以直线x ＝2为对称轴，以(2,2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2,6]．【答案】 [2,6]7．如图2­1­6是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．图2­1­6【解析】 根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．【答案】 ④8．若函数y ＝f (x )的图象经过点(0,1)，那么函数y ＝f (x ＋4)的图象经过点________． 【解析】 y ＝f (x ＋4)可以认为把y ＝f (x )左移了4个单位，由y ＝f (x )经过点(0,1)，易知f (x ＋4)经过点(－4,1)．【答案】 (－4,1) 二、解答题9．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x (元)与日销售量y (件)之间有如下关系：(1)确定商品销售价x(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中关系写出关于P 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【解】 (1)∵f (x )为一次函数，∴设y ＝ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，故所求的函数关系式为y ＝162－3x .又∵y ≥0，∴0≤x ≤54.(2)依题意，得P ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432.当x ＝42时，P 最大，P 最大＝432.即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．10．已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值.【解】 已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)，∵1ax ＋1≥0，a <0，∴x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]．[能力提升]1．若f (x )＝x 2＋ax －3a －9的值域为[0，＋∞)，则f (1)＝________. 【解析】 由题知f (x )min ＝－3a －－a24×1＝0，∴a 2＋12a ＋36＝0，∴a ＝－6，∴f (1)＝1－6＋18－9＝4. 【答案】 42．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m ＋1)与0的大小关系是________．【解析】 因为二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝－12，且与y 轴正半轴相交，所以由图象可知f (x )<0的解集的区间长度小于1，故若f (m )<0，则必有f (m ＋1)>0.【答案】 f (m ＋1)>03．如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．【解析】 ①由抛物线的对称轴是y 轴可知b ＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；②由抛物线图象可知，a >0，由直线的图象知a ＜0矛盾，故不可能；③由抛物线图象可知，a <0，由直线的图象a ＞0矛盾，不可能；由此可知④可能是两个函数的图象．【答案】 ④4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)就a 的取值范围讨论方程f (x )＝a 的解的情况．【解】 (1)先作出y ＝x 2－4x ＋3的图象，然后将其在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，原x 轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象．(2)由图象易知，当a<0时，原方程无解；当a＝0与a>1时，原方程有两个解；当0<a<1时，原方程有四个解；当a＝1时，原方程有三个解.。

[A 级 基础演练]1．函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域为( ) A ．(0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析：选D.由题意，知⎩⎨⎧ 2x －1≥0，log 3x ≠0，x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，x ≠1，故选D.2．(2017·浙江温州一模)函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞).的值域为( ) A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：选D.当x <1时，0<3x <3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 3．(2017·江西吉安模拟)如果log12x <log12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 解析：选D.因为y ＝log12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x >y >1.4．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝a x 的图象与y ＝log a x 图象关于y ＝x 对称，符合条件的只有B.5．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.53，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选C.因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.53＜log 0.51＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.6．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝ .解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：107.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34＋log 354＋log 345＝ . 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23-3＋log 31＝278. 答案：2788．函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈[1,2])的值域为 ．解析：因为函数y ＝2x ，y ＝log 2x 在[1,2]上都单调递增，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在[1,2]上也单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值2，当x ＝2时，函数f (x )取得最大值5，即值域是[2,5]．答案：[2,5]9．已知函数f (x )＝log a2m －1－mx x ＋1(a >0，a ≠1)是奇函数，求函数f (x )的定义域．解：因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即log a (2m －1)＝0，∴2m －1＝1，所以m ＝1，此时f (x )＝log a 1－x 1＋x .由1－x 1＋x>0，解得－1<x <1.即函数定义域为(－1,1)． 10．已知函数f (x )＝lnx 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1.(1)求ab 的取值范围．(2)求y ＝f (x )关于(0,0)对称的函数解析式．解：(1)由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.(2)设所求解析式上一点P(x，y)，关于(0,0)对称点为P′(－x，－y)在y＝lnx1－x上，∴－y＝ln －x1＋x ，∴y＝ln1＋x－x.∴关于(0,0)对称的解析式为f(x)＝ln 1＋x －x.[B级能力突破]1.已知0<m1<2<m2，a>0，且a≠1，若log a m1＝m1－1，log a m2＝m2－1，则实数a的取值范围是()A．2<a<3B．0<a<1C．1<a<2D．3<a<4解析：选C.依题意，知方程log a x＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下作出函数y＝log a x与y＝x－1的图象，显然a>1，由图可知m1＝1，要使m2>2，需满足log a2>2－1，即a<2，综上知：实数a的取值范围是1<a<2，选C.2．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则() A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B.因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．3．(2017·江西重点中学联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为()A．4 B．－4C．6 D．－6解析：选B.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即30＋m＝0，解得m＝－1，∴f(log35)＝3log35－1＝4，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－4.4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．答案：(1,2]5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．解析：∵a >0，且a ≠1，∴设u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0，即1<a <2. ∴a 的取值范围是(1,2)．。

[全盘巩固]一、选择题1．函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．{x |x >6} B ．{x |－3<x <6} C ．{x |x >－3} D ．{x |－3≤x <6}2．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋74．(2015·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.125．(2016·邵阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 二、填空题6．下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值， 是从集合A 到集合B 的函数的为________．7．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))＝________.8．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式． 10．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．[冲击名校]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1 ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．－22．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈ 0，1 ，1x，x ∈[1，2]，若x ∈(0,4]时，t 2－7t 2≤f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 D ．[2，＋∞) 3．已知函数f (x )＝x 21＋x2，x ∈R .(1)求f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的值；(2)计算：f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6，故函数的定义域为[－3,6)．2．解析：选C A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．3．解析：选B 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1. 4．解析：选D f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12.5．解析：选C 由题意函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0,1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊂[－2,2]．由于x ＝0时，y ＝1，x ＝±2时，y ＝0，故在定义域中一定有0，而±2必有其一，又a ，b ∈Z ，取b ＝2时，a 可取－2，－1,0，取a ＝－2时，b 可取0,1.故满足条件的整数数对(a ，b )共有5对． 二、填空题6．解析：其中②，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；其中③，A 中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素．答案：①7．解析：因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. 答案：128．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ， 由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－34三、解答题9．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈ 30，40 ，110x －2，x ∈[40，60].[冲击名校]1．解析：选C f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3.2．解析：选C 当x ∈(2,3)时，x －2∈(0,1)，则f (x )＝2f (x －2)－2＝2(x －2) 2－2(x －2)－2，即为f (x )＝2x 2－10x ＋10，当x ∈[3,4]时，x －2∈[1,2]，则f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2. 当x ∈(0,1)时，当x ＝12时，f (x )取得最小值，且为－14；当x ∈[1,2]时，当x ＝2时，f (x )取得最小值，且为12；当x ∈(2,3)时，当x ＝52时，f (x )取得最小值，且为－52；当x ∈[3,4]时，当x ＝4时，f (x )取得最小值，且为－1. 综上可得，f (x )在(0,4]的最小值为－52.若x ∈(0,4]时，t 2－7t 2≤f (x )恒成立，则有t 2－7t 2≤－52.解得1≤t ≤52.3．解：(1)由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1. (2)原式＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 2 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋3＝72.。

专题2.11 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．【答案】1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】1(0,)2【解析】3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ． 【答案】112π-【解析】试题分析：由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,,x x x x x ，，，满足1234516,,612x x x x x π+=-=+=-，因此所有零点之和为112π-4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩ 5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】26. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，xx x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.【答案】605【解析】7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+ 【解析】试题分析:由题设可知函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln 240a a a ,所以2ln 20+<≤a ,故应填答案[)0,2ln 2+.8.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，则m 的取值范围为 . 【答案】m ＝－29. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ． 【答案】2【解析】作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

第二章 函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |2x －1＞1}，则A ∩B ＝ ( )A.{x |x ＞1}B.{x |x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D.∅解析：集合B 中不等式2x －1＞1⇒2x －1＞20⇒x ＞1，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}.答案：C2.函数y ＝1－x ＋x 的定义域为 ( ) A.{x |x ≤1} B.{x |x ≥0} C.{x |x ≥1或x ≤0} D.{x |0≤x ≤1} 解析：由题意知10,0,x x -⎧⎨⎩≥≥∴0≤x ≤1.答案：D3.设m ，n ∈R ，函数y ＝m ＋log n x 的图象如图所示，则有 ( ) A.m ＜0,0＜n ＜1 B.m ＞0，n ＞1 C.m ＞0,0＜n ＜1 D.m ＜0，n ＞1解析：由函数图象可知该函数为增函数，所以n ＞1，又图象与x 轴的交点在(0,1)之 间，故该图象是由y ＝log n x 的图象向上平移得到的，所以m ＞0. 答案：B4.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一 个是 ( ) A.y ＝2x －2 B.y ＝(12)x第二章 函 数C.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)解析：直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝(12)x 是单调递减的，也不符合要求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中， 基本符合要求. 答案：D5.设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )A.f (b －2)＝f (a ＋1)B.f (b －2)>f (a ＋1)C.f (b －2)<f (a ＋1)D.不能确定解析：∵f (x )为偶函数，∴b ＝0，∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递增，∴a >1， ∴f (b －2)＝log a 2，f (a ＋1)＝log a |a ＋1|，|a ＋1|>2，∴f (a ＋1)>f (b －2). 答案：C6.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实 数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f [f (52)]的值是 ( )A.0B.12C.1D.52解析：∵对任意实数x ，有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )， ① f (x )为偶函数∴f (－x )＝f (x )，即xf (x ＋1)＝(1＋x )f (－x )， ② 令x ＝0代入①中得f (0)＝0； 令x ＝－12代入②中得－12f (12)＝12f (12)，∴f (12)＝0；再令x ＝12代入①中得12f (32)＝32f (12)＝0，∴f (32)＝0；再令x ＝32代入①中得32·f (52)＝52f (32)＝0，∴f (52)＝0，∴f (f (52))＝f (0)＝0.答案：A7.设函数f (x )＝－x 2＋4x 在[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值所组成的集合 为 ( ) A.[0,6] B.[－1,1] C.[1,5] D.[1,7]解析：由－x 2＋4x ＝4得x ＝2，由－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，结合二次 函数的图象知－1≤m ≤2,2≤n ≤5，故－1＋2≤m ＋n ≤2＋5，即1≤m ＋n ≤7. 答案：D8.(2009·山东高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝log(1),0,(1)(2),0x x f x f x x -⎧⎨--->⎩≤则f (2 009)的值为 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：∵x ＞0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， 又f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )， 故f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，故函数周期为6. ∴f (2 009)＝f (6×334＋5)＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C9.函数f (x )＝ln(1－x 2)的图象只可能是 ()解析：函数f (x )＝ln(1－x 2)的定义域为(－1,1)，且f (x )为偶函数，当x ∈(0,1)时，函数 f (x )＝ln(1－x 2)为单调递减函数；当x ∈(－1,0)时，函数f (x )为单调递增函数，且函数 值都小于零，所以其图象为A. 答案：A10.已知π4<x <π2，设a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x ，则 ( )A.a <b <cB.b <a <cC.a <c <bD.b <c <a解析：因为π4<x <π2，所以0<cos x <sin x <1<tan x ，而sin x ＋cos x >1，cos x >1－sin x ，故a <b <c .答案：A11.已知f (x )＝(31)4,1,log ,1.a a x a x x x -+<⎧⎨⎩≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0，13)C.[17，13)D.[17，1) 解析：依题意有0<a <1且3a －1＜0，得0<a <13，考虑端点x ＝1，则(3a －1)＋4a ≥0得a ≥17.答案：C12.(2010·郑州模拟)设函数f (x )＝52,20,()log (02x x g x x x ⎧-<⎪⎨-+<⎪⎩≤≤若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是 ( ) A.14 B.－34 C.34 D.－14解析：当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，由于f (x )为奇函数，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时， f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5 (2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知函数f (x )＝22log (0),1(0)x x xx ->⎧⎨-⎩≤则不等式f (x )＞0的解集为 . 解析：当x ＞0时，－log 2x ＞0，即log 2x ＜0 ∴0＜x ＜1，当x ≤0时，1－x 2＞0，即x 2＜1，∴－1＜x ≤0，综上所述：f (x )＞0的解集为(－1,1). 答案：(－1,1)14.若x 1、x 2为方程2x ＝(12)的两个实数解，则x 1＋x 2＝ . 解析：∵2x ＝(12)＝2∴x ＝1x－1即x 2＋x －1＝0 ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－115.函数f (x )在R 上是增函数，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，若 f (4)＝5，则不等式f (3m 2－m －2)＜3的解集为 . 解析：∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故解集为(－1，43).答案：(－1，43)16.对任意的函数f (x )，g (x )，在公共定义域内，规定f (x )·g (x )＝min{f (x )，g (x )}(min {f (x )，g (x )}表示取f (x )与g (x )中最小的一个)，若f (x )＝lg(3－x )，g (x )＝lg 2x －3， 则f (x )·g (x )的最大值为 .解析：由3032302x x ->⎧⇒⎨->⎩<x <3，在x ∈(32，3)内，f (x )＝lg(3－x )为减函数，g (x )＝lg 2x －3为增函数，并且当x ＝2时，lg(3－x )＝lg 2x －3＝0，因此，当x ∈(32，2]时，lg(3－x )≥lg 2x －3，当x ∈(2,3)时，lg 2x －3>lg(3－x )，∴f (x )·g (x )＝33,(2),2lg(3),(23)x x x ⎧<⎪⎨⎪-<<⎩≤ 于是f (x )·g (x )的最大值为x ＝2时的值，故其最大值为0. 答案：0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知f (x )＝22,1,2,12,,2,2x x x x x x ⎧+-⎪⎪-<<⎨⎪⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a 的值.解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去. ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.18.(本小题满分12分)函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝ 2x ＋2－3×4x 的最值.解：由3－4x ＋x 2＞0得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.∵x ＞3或x ＜1， ∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值.解：(1)证明：法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x ). 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2).又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2).因此f (x )在R 上是减函数. 法二：设x 1＞x 2， 则f (x 1)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2).又∵x ＞0时，f (x )＜0.而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数. (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3). 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 22x －12x ＋1(x <－12或x >12)的反函数为f －1(x ).(1)证明f －1(x )是奇函数；(2)求f －1(x )的单调区间.解：(1)∵f (－x )＝log 2－2x －1－2x ＋1＝－log 22x －12x ＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，从而f －1(x )是奇函数.(2)易知t ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1在(－∞，－12)和(12，＋∞)上均是增函数，且y ＝log 2t 是增函数，∴f (x )在(－∞，－12)和(12，＋∞)上均是增函数.又x ∈(－∞，－12)时，f (x )>0，x ∈(12，＋∞)时，f (x )<0，于是f －1(x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是增函数.21.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间 [－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点.若存在，求出范围，若不存在， 说明理由.解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以 a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.22.(本小题满分12分)(2010·长郡模拟)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人 均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况的调查中发现： 人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中(x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的 销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销量与地区的人均GDP 关系 更合适？说明理由.①y ＝ax 2＋bx ，②y ＝kx ＋b ，③y ＝log a x ＋b ，④y ＝a x ＋b . (2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；若人均GDP 为4千美 元时，年人均A 饮料的销量为5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各 个地区中，年人均A 饮料的销量最多是多少？(3)因为A 饮料在B 国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A 饮料在人 均GDP 低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降 10%，根据(2)所求出的模拟函数，求出各个地区中，年人均A 饮料的销量最多是 多少？解：(1)用函数y ＝ax 2＋bx 来描述A 饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适. 因为函数y ＝kx ＋b ，y ＝log a x ＋b ，y ＝a x ＋b 在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征.(2)依题意知，函数过点(1,2)和(4,5)，则有∴y ＝－14x 2＋94x (0.5≤x ≤8)∵y ＝－14x 2＋94x ＝－14(x －92)2＋8116≤8116∴在各地区中，当x ＝92时，年人均A 饮料销量最多是8116升.(3)依题意知当x ∈[0.5,3)或x ∈(6,8]时 y ＝0.95·(－14x 2＋94x )∵函数在[0.5,3)上为增函数， ∴y <0.95×(－94＋274)＝17140∵函数在(6,8]上为减函数， ∴y <0.95×(－364＋544)＝17140当x ∈[3,6]时，y ＝0.9·[－14(x －92)2＋8116]≤729160∵17140<729160，∴在各地区中，当x ＝92时，年人均A 饮料销量最多为729160升.。

函数及其表示一、填空题1．设f (2x －1)＝2x －1，则f (x )的定义域是________．解析 ∵x ∈R ，∴2x >0，∴2x －1>－1，∴f (x )的定义域是(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)2．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝________.解析 利用集合的运算求解．由题意知：B ＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，又∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案 {x |1<x ≤2}3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (a )＝4，则实数a ＝________. 解析 当a ＞0时，有a 2＝4，∴a ＝2；当a ≤0时，有－a ＝4，∴a ＝－4，因此a ＝－4或2.答案 －4或24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于________． 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－2＝－32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413. 答案 4135．设函数f (x )＝－x 2－2x ＋15，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________.解析 由－x 2－2x ＋15≥0，得x 2＋2x －15≤0，解得－5≤x ≤3，所以A ＝[－5,3]．又由y ＝－x 2－2x ＋15＝－(x ＋1)2＋16≤16，得0≤f (x )≤4，所以B ＝[0,4]，所以A ∩B ＝[0,3]．答案 [0,3] 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝________.解析 “分段”求值．f (f (－4))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝f (16)＝4.答案 47．函数y ＝1－lg x ＋2 的定义域为________．解析 由题意可知1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg x ＋2 的定义域为(－2,8]．答案 (－2,8]8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为________．解析 依题意，满足f (a )＝1的实数a 必不超过零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1.答案 －19．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析当(x 2－2)－(x －1)≤1时，－1≤x ≤2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＜－1或x ＞2，f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 恰有两个解，由图象可知当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时满足条件．答案 (－2，－1]∪(1,2]10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．解析 若y ＝3，则由2x 2＋1＝3，得x ＝±1；若y ＝19，则由2x 2＋1＝19，得x ＝±3.所以函数f (x )定义域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9个孪生函数．答案 9二、解答题11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c x ≤0 2 x >0 ，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2 2－2b ＋c ＝c －1 2－b ＋c ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2 x ≤0 2 x >0 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由x ＝1>0，所以舍去．当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2，所以方程f (x )＝x 的解为－2、2.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln 1x ，x >0，1x ，x <0，解不等式f (x )>－1.解 当x >0时，ln 1x>－1，即ln x <1，故0<x <e ； 当x <0时，1x>－1，即x <－1，故不等式的解集是 (－∞，－1)∪(0，e)．13．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解 (1)由图象可知；当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24. (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈ 10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈ 20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150＜650.当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650.当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40,20＜t ≤35，故t ＝30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.。

1.[2017南京三模]已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ． 【答案】{}2【考点定位】集合的运算【题型概述】集合考查重点为交、并、补的运算2.[2017苏锡常镇三模]已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B = ▲ ． 【答案】(1,2).-【解析】(1,2).A B =-3.[2017苏北三市三模]已知集合{1,1,2}A =-，{0,1,2,7}B =，则集合A B 中元素的个数为 ▲ ． 【答案】5【解析】{1,0,1,2,7}A B =- ,所以集合A B 中元素的个数为54.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 .①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称；②对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；③若实数,x y 满足221,x y +=则2yx +；④若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos .A B <【答案】①②③5.已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4；②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。

其中正确命题的个数有 个. 【答案】2.考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用. 6.给出下列四个命题：①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点；②在ABC ∆中，已知4,12AB AC AB BC ==- 则4AB = ；③“1a =”是“函数()1xxa e f x ae -=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；④若命题p 是：对任意的x R ∈，都有sin 1x <，则p ⌝为：存在x R ∈，使得sin 1x >．其中所有真命题的序号是________．【答案】①②③【解析】①结合零点判定定理：10f f e ⋅（）（）＜可知①正确；②在ABC ∆中，由已知()4,121616AB AC AB BC AB AC AB BC AB AC BC ⋅=⋅=-⇒⋅-⋅=⇒-=()21616164AB AC CB AB AB AB AB ⇒+=⇒⋅=⇒=⇒=；②正确；③1a =时“函数111(),()()111x x x x x x e e e f x f x f x e e e -----=-===-+++，正确；④若命题p 是：对任意的x R ∈，都有sin 1x <，则p ⌝为：存在x R ∈，使得sin 1x ≥．故④不正确 考点：命题的真假判断．7.记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三角形”的 。

§2.5函数与方程单元测试一.填空1.设函数y=x 3与y=(12)x －2的图象的交点为(k,k+1),k ∈N*,则k=_____________.2.若函数f(x)=x 2－ax+1有负值,则实数a 的取值范围是_______________.3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,20,)(2x x c bx x x f ,若f(－4)=f(0),f(－2)=－2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为______.4.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t,都有f(2＋t)＝f(2－t),请比较f(1),f(2),f(4)的大小_______.则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有_______个6.已知函数f(x)=log a [x －(2a)x ]对任意x ∈[12,＋∞)都有意义,则实数a 的取值范围是__________.7.关于x 的方程lg(ax －1)－lg(x －3)=1有解,则a 的取值范围是 。

8.若实数x,y 满足3x 2+2y 2=6x,则x 2+y 2的取值范围是________。

二.解答题9.△ABC 的三边a,b,c 满足b ＝8－c,a 2－bc －12a+52=0,试确定△ABC 的形状。

10.若方程lg(－x 2+3x －m)=lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解,求实数m 的取值范围。

§2.5函数与方程单元测试答案：1.k=1,提示：令32()2x g x x -=-，可求得：(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。

易知函数()g x 的零点所在区间为(12)，。

所以k=12. 22-<>a a 或 提示：令0,0)(>∆=x f 即可。

3. 3个提示：由)0()4(f f =-可得)(2x f c bx x =++关于2-=x 对称，∴22-=-b, ∴,2)2(,4-=-=f b ∴2=c ，∴24)(2++=x x x f ，∵x x f =)(，∴212--=或或x 。

(二) 函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．若f (x)＝ax2－2(a＞0)，且f (2)＝2，则a＝______.【解析】∵f (2)＝2a－2＝2，∴a＝1＋22.【答案】1＋2 22．设全集为R，函数f (x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M＝________.【解析】由1－x2≥0，知－1≤x≤1.∴M＝[－1,1]，∴∁R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．下列各图表示的对应能构成映射的是________．(填序号)【解析】(1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于(4)，(5)，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于(6)，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的是(1)，(2)，(3)．【答案】(1)(2)(3)4．下列每组函数是同一函数的是________．(填序号)(1)f (x)＝x－1，g(x)＝(x－1)2；(2)f (x)＝x2－4x－2，g(x)＝x＋2；(3)f (x)＝|x－3|，g(x)＝x－2；(4)f (x)＝x－x－，g(x)＝x－1x－3.【解析】(1)中函数定义域不同；(2)中函数定义域不同；(3)中函数定义域和对应关系都相同，是同一函数；(4)中定义域不同．【答案】(3)5．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d .例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为________．【解析】 由题意得a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23,4d ＝28，解得d ＝7，c ＝1，b ＝4，a ＝6.【答案】 6,4,1,76．已知f (x )＝g (x )＋2，且g (x )为奇函数，若f (2)＝3，则f (－2)＝________. 【解析】 ∵f (2)＝3，∴g (2)＝1.∵g (x )为奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，∴g (－2)＝－g (2)＝－1， ∴f (－2)＝g (－2)＋2＝－1＋2＝1. 【答案】 17．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， ∴y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 由f (a )≤f (2)，得f (|a |)≤f (2)． ∴|a |≥2，得a ≤－2或a ≥2. 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞)8．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2. 【答案】 －29．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．【解析】 ∵π是无理数，∴g (π)＝0， 则f (g (π))＝f (0)＝0. 【答案】 010．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则实数a 的取值范围为________．【解析】 函数f (x )＝x 2－2x ＋3在x ＝1处取得最小值为2，在x ＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a 的取值范围为[1,2]．【答案】 [1,2]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋6，x ≤0，－4x，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 因为f (x )＝10，所以当x ≤0时，由x 2＋3x ＋6＝10，得x ＝－4或x ＝1＞0(舍去)；当x ＞0时，由－4x ＝10，得x ＝－25＜0(舍去)．故x ＝－4.【答案】 －412．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有最________值，为________．【解析】 由题意知f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，因为f (x )和g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x ) ＝－[f (x )＋g (x )]， 即f (x )＋g (x )也是奇函数，所以f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4. 【答案】 小 －413．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是_________________．【解析】 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又因为f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32.【答案】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋5214．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当x ＞0时，x ≥ax 恒成立，即a ≤1， 当x ＝0时，0≥a ×0恒成立，即a ∈R ， 当x ＜0时，－x ≥ax 恒成立，即a ≥－1，若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，所以－1≤a ≤1. 【答案】 －1≤a ≤1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2. (1)若函数的图象经过原点，且满足f (2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵f (0)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2＝0，4＋m －＋m －m 2＝0，∴m ＝1.(2)∵y ＝f (x )在[2，＋∞)上为增函数， ∴对称轴x ＝－m －2≤2，∴实数m 的取值范围是[0，＋∞)．16．(本小题满分14分)(1)求函数f (x )＝4－2x ＋(x －1)0＋1x ＋1的定义域；(要求用区间表示)(2)若函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，求f (3)的值和f (x )的解析式． 【解】 (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0，x －1≠0，x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠1且x ≠－1.所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2]．(2)因为f (x ＋1)＝x 2－2x ，所以令x ＝2，得f (3)＝22－2×2＝0.用配凑法求函数解析式：∵f (x ＋1)＝x 2－2x ，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 故f (x )＝x 2－4x ＋3，(x ∈R )．17．(本小题满分14分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2. 【解】 (1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32>0，x ＋32<6，解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3,9)．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2x ，x ＝，1－2x x ，(1)画出函数f (x )图象；(2)求f (a 2＋1)(a ∈R )，f (f (3))的值； (3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围． 【解】 (1)图象：(2)f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2，f (f (3))＝f (－6)＝13. (3)当x >0时，3－x 2≥2，解得0<x ≤1. 当x ＝0时，2≥2符合题意． 当x <0时，1－2x ≥2，解得x ≤－12.综上，f (x )≥2时，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或0≤x ≤1.19．(本小题满分16分)已知二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在[t ，t ＋1](t ＞0)上的最大值．【解】 (1)因为二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2，故函数图象的对称轴为x ＝1， 设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，a ＜0. 根据f (－2)＝9a ＋2＝－16， 求得a ＝－2，故f (x )＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x .(2)当t ≥1时，函数f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， 故最大值为f (t )＝－2t 2＋4t ，当0＜t ＜1时，函数f (x )在[t,1]上是增函数，在[1，t ＋1]上是减函数， 故函数的最大值为f (1)＝2.综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜t ＜1，－2t 2＋4t ，t ≥1.20．(本小题满分16分)我市某中学要印制本校高中毕业证书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是按每份定价1.5元的8折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元6折优惠，且甲、乙两厂都规定：一次印制数量至少是500份．(1)分别求两个印刷厂收费y (元)与印刷数量x (份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2 000份毕业证书，应选择哪个厂？需要多少费用？【解】 (1)y 甲＝1.2x ＋900(x ≥500，且x ∈N )，y 乙＝1.5x ＋540(x ≥500，且x ∈N )． (2)如图，作一次函数y 甲＝1.2x ＋900(x ≥500)和y 乙＝1.5x ＋540(x ≥500)的图象，两个函数图象的交点是P (1200,2340)．由图象可知，当500≤x ＜1 200(份)时，选择乙厂比较合算；当x＝1 200(份)时，两厂收费相同；当x＞1 200(份)时，选甲厂比较合算．所以要印2 000份毕业证书，应选择甲厂，费用是3 300元．。