2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2-1认识一元二次方程练习新版北师大版

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20042002的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-= A ．（1）（2）（3）． B ．（2）（3）（4）． C ．（1）（2）（6）． D ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）22469154x x x x +=-+； （2）2(31)(2)51x x x x -+=-++ （3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0.1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ）A ．22(3)4x x-=-+． B ．0ax b +=．C 25x -=．D 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，3mn ，22mn n -．B ．1，3m -，22mn n -．C ．1，m -，2n -．D ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．29ax bx c ++=． B ．3560k x k ++=．C 20x x -=．D ．2(3)30m x -+-=．第19题． 填表第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -++=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题． m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） A ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 B ．22285x xy y +-C ．2132x x -- D ．2132x x--第27题． 将方程25x x +=化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积 为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．参考答案 1.答案：3k ≠ 2.答案：C 3.答案：A4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -．（2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-． 5.答案：C6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-g g7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠ 10.答案：C 11.答案：C12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -． 13.答案：D 14.答案：15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时， 有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间．分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间． 16.答案：C 17.答案：B 18.答案：C 19.答案：20答案：0a ≠；0a =，0b ≠ 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -． 23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a 3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =210-= 26.答案：D27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：1 30.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。

北师大版2018九年级数学上册第二章 一元二次方程单元练习题一（附答案）1．如果代数式3x 2-6的值为21，则x 的值为（ ）A ． 3B ． ±3C ． -3D ． 2．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足等式( )A ． 16(1+2x)=25B ． 25(1-2x)=16C ． 25(1-x)²=16D ． 16(1+x)²=253．若方程(m-1)x 2+5x+m=0是关于x 的一元二次方程,则m 的取值不可能的是（ ）A ． m>1B ． m<1C ． m=1D ． m=04．关于 x 的一元二次方程 x 2 － mx +2 m －1=0的两个实数根分别是 x 1 、 x 2 ,且 x 1 2 + x 2 2 =7,则（ x 1 － x 2 ） 2 的值是（ ）A ． 1B ． 12C ． 13D ． 255．方程20x x -=的解是（ ）A ． 0x =B ． 1x =C ． 1201x x ==，D ． 1201x x ==-，6．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）A ． 0.09B ． 1.1C ． 1.6D ． 1.7 7．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（ ） A ． B ． C ． D ．8．从正方形铁片上截去2cm 宽的一个矩形，剩余矩形的面积为280cm ，则原来正方形的面积为（ ）．A ． 2100cmB ． 2121cmC ． 2144cmD ． 2169cm9．某市2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为%，则%满足的关系是A ．B ．C ．D ．10．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是A．B．C．D．11．设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=________．12．写出解为x=﹣3的一个一元二次方程：_____．13．已知m是方程3x2﹣6x﹣2=0的一根，则m2﹣2m=_____．14．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．15．某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为______．16．若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为__________．17．一个一元二次方程，两根分别为2和﹣3，这个方程可以是________．18．若、为方程的两根，则的值是______，的值是_______ 19．已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是_____．20．若2x（x+3）=1的两根分别为x1，x2，则x1+x2=_____，x1x2=_____，=_____，x12+x22=_____，（x1﹣3）（x2﹣3）=_____，|x1﹣x2|=_____．21．解方程:(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.22．解方程：．23．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1＜0，x2＜0；（3）若x1x2﹣|x1|﹣|x2|=6，求k的值．24．解方程：x2-3x-7=0．25．长沙市市政绿化工程中有一块面积为160m2的矩形空地，已知该矩形空地的长比宽多6m．（1）请算出该矩形空地的长与宽；（2）规划要求在矩形空地的中间留有两条互相垂直且宽度均为1m的人行甬道（其中两条人行甬道分别平行于矩形空地的长和宽），其余部分种上草．如果人行甬道的造价为260元/m2，种草区域的造价为220元/m2，那么这项工程的总造价为多少元？26．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．27．已知关于x的方程求证：无论m取何值时，方程总有实数根；若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．28．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：（1）小明的解法从第步开始出现错误；此题的正确结果是．（2）用因式分解法解方程：x（2x-1）=3（2x-1）答案1．B【解析】解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．点睛：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．2．C【解析】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x），第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2．∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2=16．故选C．3．C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．【详解】∵（m−1）x2＋5x＋m＝0是关于x的一元二次方程，∴m−1≠0，解得m≠1，∴说法m＞1、m＜1、m＝0都是可以的，说法m＝1错误．故选：C．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．4．C【解析】分析：根据一元二次方程根与系数的关系，x1＋x2＝m，x1x2＝2m−1，根据x12＋x22＝7，将（x1＋x2）2−2x1x2＝7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1−x2）2＝x12＋x22−2x1x2求出即可．详解：∵一元二次方程x2−mx＋2m−1＝0的两个实数根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝m，x1x2＝2m−1，∵x12＋x22＝7，∴（x1＋x2）2−2x1x2＝7，∴m2−2（2m−1）＝7，∴整理得：m2−4m−5＝0，解得：m＝−1或m＝5，∵△＝m2−4（2m−1）≥0，当m＝−1时，△＝1−4×（−3）＝13＞0，当m＝5时，△＝25−4×9＝−11＜0，∴m＝−1，∴一元二次方程x2−mx＋2m−1＝0为：x2＋x−3＝0，∴（x1−x2）2＝x12＋x22−2x1x2＝7−2×（−3）＝13．故选：C．点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．5．C【解析】试题分析：x2－x＝0，x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，所以x1＝0，x2＝1，故选C．点睛：本题主要考查了解一元二次方程，常见的解法有配方法，公式法和因式分解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．本题也可采用选项验证的方法．6．D【解析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．解：∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7．故选D．点睛：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．7．D【解析】分析：方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断.详解：原方程移项可得：x2-6x=10，配方，可得：x2-6x+9=10+9，利用完全平方公式，可得：(x-3)2=19.故选D.点睛：本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟记并理解用配方法解一元二次方程的方法和步骤是做题的关键.8．A【解析】设正方形的边长为x cm,由题意得x(x-2)=80,解之得x1=10,x2=-8（舍去）.∴原来正方形的面积为：10×10=100(cm2).故选A.9．D【解析】设2016年的国内生产总值为1，∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．10．D【解析】【分析】三、四月份的月平均增长率是x，设一月份产值为a，根据题意得到二月份的产值是a（1-20%），在此基础上连续增长x，则四月份的产量是a（1-20%）（1+x）2，则根据四月份比一月份增长15%列方程即可．【详解】设一月份的产量为a，由题意可得，，则，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 11．﹣2014【解析】试题分析：∵a为x2＋x－2011＝0的根，∴a2＋a－2011＝0，∴a2＋a＝2011，∴a3＋a2＋3a＋2014b＝a（a2＋a）＋3a＋2014b＝2011a＋3a＋2014b＝2014（a＋b），∵a、b为x2＋x－2011＝0的两个实根，∴a＋b＝－1，∴a3＋a2＋3a＋2014b＝2014（a＋b）＝－2014．故答案为：－2014．点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．12．x2+6x+9=0．【解析】由x=﹣3得x+3=0，然后把它两边平方即可得到满足条件的一元二次方程为x2+6x+9=0．故答案为：x2+6x+9=0．13．2 3【解析】把x=m代入方程得：3m2﹣6m﹣2=0，即3m2﹣6m=2，3（m2﹣2m）=2，∴m2﹣2m=23，故答案是：23．14．k＜1【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意进行分析解答即可.【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=，解得：.故答案为：.【点睛】熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.15．【解析】【分析】设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，那么三月份的利润为16（1+x），五月份的利润为16（1+x）（1+x），然后根据5月份的利润达到25元即可列出方程，解方程即可．【详解】设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，依题意得：16（1+x）2=25，∴1+x=±1.25，∴x=0.25=25%或x=-2.25（负值舍去）．即该工厂平均每月利润增长的百分率是25%．故答案为：25%．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的知识，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．16．2018【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．详解：由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018故答案为：2018点睛：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．17．x2+x﹣6=0【解析】试题分析：设该方程为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），∵该方程的两根分别为2和－3，∴2＋（－3）＝－1＝，2×（－3）＝－6＝，∴b＝a，c＝－6a．当a＝1时，该一元二次方程为x2＋x－6＝0．故答案为：x2＋x－6＝0．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为，两根之积为是解题的关键．18．－5－6【解析】【详解】这里a=1，b=5，c=﹣6，∴，.故答案为﹣5；﹣6.19．501，499或﹣501，﹣499．【解析】【分析】可设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据平方差是2000列方程求解即可．【详解】设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，根据题意得：（x+2）2﹣x2=2000或x2﹣（x+2）2 =2000解得：x=499或－501，∴x+2=501或－499．故答案为：501，499或﹣501，﹣499．【点睛】考查一元二次方程的应用；根据两个数的平方差得到等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：连续奇数相差2．20．-3-610-【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-，x1x2=逐一分析计算即可.【详解】方程化为2x²+6x-1=0，∴x1+x2=-3;x1•x2=-;====6；x12+x222=(x1+)²-2x1x2=9-2×（-）=10;（x1-3）•（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9=--3×（-3）+9=-;|x1﹣x2|=.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是灵活运用一元二次方程根与系数的关系：两根之和=-与两根之差=．21．（1）x1=-1,x2=-11.（2）x1=,x2=.【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.【详解】(1) (3x+8+2x-3)(3x+8-2x+3)=5(x+1)(x+11)=0,∴x+1=0或x+11=0,∴x1=-1,x2=-11.(2) ∵a=2,b=-6,c=3,∴b2-4ac=36-24=12.∴x=,∴x1=,x2=.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解方程时会根据所给的方程选择适当的方法解方程．22．（1），；（2），．【解析】分析：（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．详解：方程整理，得因式分解，得于是，得或，解得，；方程整理，得，，，，，即，．点睛：本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．23．（1）k＜；（2）证明见解析；（3）-4.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，解不等式即可求出k的取值范围；（2）由一元二次方程根与系数的关系以及k的取值范围对两根之和、两根之积进行判断即可得；（3）根据两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到k2+1+2k﹣3=6，结合k的取值范围解方程即可．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，∴x1+x2=2k﹣3＜﹣，x1x2=k2+1＞，∴x1＜0，x2＜0；（3）∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|=6，x1＜0，x2＜0，∴x1x2+（x1+x2）=6，即k2+1+2k﹣3=6，∴（k+4）（k﹣2）=0，解得：k1=﹣4，k2=2（不合题意，舍去），∴k的值为﹣4．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.24．x1，x2【解析】试题分析：利用求根公式来解方程．试题解析：在方程x2-3x-7=0中，a=1，b=-3，c=-7．则==，解得x1，x2考点：解一元二次方程-公式法．25．（1）该矩形空地的长为16 m，宽为10 m；（2）这项工程的总造价为36200元．【解析】【分析】（1）直接利用已知假设出矩形的长与宽，进而得出方程求出答案；（2）首先求出人行甬道和草区域的面积进而得出答案．【详解】（1）设该矩形空地的长为x m，则宽为（x﹣6）m，由题意可得：x（x﹣6）=160．化简得：x2﹣6x﹣160=0，解得：x1=16，x2=﹣10（不合题意，舍去）当x=16时，x﹣6=16﹣6=10（m）．答：该矩形空地的长为16m，宽为10m．（2）由题意可得：（16﹣1）（10﹣1）=135（m2），160﹣135=25（m2），135×220+25×260=29700+6500=36200（元）．答：这项工程的总造价为36200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等式方程是解题的关键．26．（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】(1)根据根与系数关系，由，可得方程有两个实数根；（2）此方程有两个不相等的整数根，则，n可以有无数个整数.【详解】（1）解：．∴方程有两个实数根（2）答案不唯一例如：方程有两个不相等的实根∴时，方程化为因式分解为：∴，【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根判别式. 解题关键点：熟记一元二次方程的根判别式意义.27．证明见解析4和2【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．【详解】解：证明：，无论m取何值，这个方程总有实数根；若腰长为4，将代入原方程，得：，解得：，原方程为，解得：，．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，，即，此时方程为，解得：，由于，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边程度为4和2．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；代入求出m值．28．(1)二; x1=0，x2=165；(2) x1=12，x2=3【解析】试题分析：（1）先判断，再用因式分解法求解即可；（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：解：（1）3x2﹣8x（x﹣2）=0，x[3x﹣8（x﹣2）]=0，x=0，3x﹣8（x﹣2）=0，x=0或x=3.2，小明的解法是从第二步开始出现错误的，此题的正确结果是x=0或3.2，故答案为：二，x=0或3.2；（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1），x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，2x﹣1=0，x﹣3=0，∴x1=12，x2=3。

《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。

第1课时一元二次方程基础题知识点 1 一元二次方程的看法1．一元二次方程的一般形式是()A． x 2＋ bx＋ c＝0B． ax2＋ c＝ 0(a ≠ 0)C． ax2＋ bx＋c＝ 0D． ax2＋ bx＋c＝ 0(a ， b， c 为常数，且 a≠ 0)2．方程 2x2－7x＝ 5 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A．7，2， 5B． 2，－ 7，5C． 2，－ 7，－ 5D． 2， 7，53．若方程 (m＋ 2)x2－ 3x－ 1＝ 0 是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是 () A． m>－ 2B． m<－ 2C． m≠－ 2D． m≠ 24．以下说法正确的选项是 ( )2A．形如 ax ＋bx＋ c＝0 的方程称为一元二次方程B．方程 (x ＋ 2)(x － 2) ＝ 0 是一元二次方程2C．方程 x －2x＝ 1 的常数项为0D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不可以为05．在以下方程中，是一元二次方程的有()①2x2－ 1＝ 0；② ax2＋ bx＋ c＝ 0；③ (x ＋ 2)(x － 3) ＝x2－ 3；④ 2x2－1x＝ 0.A．1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个6．把以下方程化成一元二次方程的一般形式，此中不正确的选项是()A． 2x2＝ 5x＋16 化为 2x2－ 5x－ 16＝ 0B． 2(x － 3) 2＝ (x ＋ 3)(x － 3) 化为 x2－ 12x＋ 27＝ 0C． x2－ 3＝ 5x 化为 x2＋ 5x－ 3＝ 0D. 2x 2＋ 1＝x2＋ 2x化为 ( 2－ 1)x 2－ 2x＋ 1＝ 07．方程 5x2＝ 6x － 8 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A． 5， 6，－ 8B． 5，－ 6，－ 8C． 5，－ 6， 8D． 6，5，－ 88．已知方程 (m＋ 2)xm2－ 2＋ (3m－ 6)x － 5＝ 0 是关于 x 的一元二次方程，求m的值．知识点 2 建立一元二次方程9．( 黔西南中考 ) 某校准备修筑一个面积为180 平方米的矩形活动场所，它的长比宽多11 米，设场所的宽为x 米，则可列方程为 ()A． x(x － 11) ＝ 180B． 2x＋ 2(x － 11) ＝ 180C． x(x ＋ 11) ＝ 180D． 2x＋ 2(x ＋ 11) ＝ 18010．( 兰州中考 ) 如图，在一块长为22 米、宽为17 米的矩形地面上，要修筑相同宽的两条相互垂直的道路( 两条道路各与矩形的一条边平行) ，节余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方米．若设道路宽为x 米，则依据题意可列出方程为 ________________________ ．11．建筑一个面积是140 m2的长方形库房，使其一边靠墙，墙长是16 m ，在与墙平行的一边开一个 2 m 宽的门，现用砌 32 m 长的墙的资料来建库房，求该库房的长和宽．( 只列出方程 )中档题12．若将关于 x 的一元二次方程3x2＋ x－ 2＝ ax(x － 2) 化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－ 2，则该方程中的一次项系数为()A． 5B． 3C．－ 5D．－ 313．( 宁夏中考 ) 如图，某小区有一块长为18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在此中修筑两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于 x 的方程是 ()A． x2＋ 9x－ 8＝ 0B． x2－ 9x－ 8＝ 0C． x2－ 9x＋ 8＝ 0D． 2x2－ 9x ＋ 8＝ 014．如图，在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°，点 P、 Q同时由 A、B 两点出发分别沿AC、 BC方向向点C匀速挪动，它们的速度都是 1 cm/s ，假如设 x s后△ PCQ的面积为 Rt △ ABC面积的一半，那么所列方程应当是() 111A.2(8 － x)(6－ x) ＝2× 8× 6×211B.2(8 － x)(6－ x) ＝2× 8× 61C.2(8 － x)(6－ x) ＝ 8× 61D.2(8 － x)(6－ x) ＝ 2× 8 × 615．( 呼伦贝尔中考 ) 学校要组织足球竞赛．赛制为单循环形式( 每两队之间赛一场 ) ．计划安排 21 场竞赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．依据题意，下边所列方程正确的选项是()21A． x ＝ 21 B.2x(x － 1)＝ 2112C. 2x ＝ 21D． x(x － 1) ＝ 2116．方程 (a 2－ 4)x 2＋ (a －2)x ＋ 3＝0，当 a________时，它是一元二次方程；当a________时，它是一元一次方程．17．教材或资料出现这样的题目：把方程1x2－x＝ 2 化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次2项系数和常数项．此刻把上边的题目改编成下边的两个小题，请回答以下问题：(1) 下边式子中有哪些是方程12化为一元二次方程的一般形式？( 只写序号 ) x － x＝ 221212222①2x － x－ 2＝ 0；②－2x ＋ x＋ 2＝0；③ x －2x ＝ 4；④－ x＋ 2x＋4＝ 0；⑤3x － 2 3x－ 4 3＝ 0.122综合题18．依据以下提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．(1)已知两个数的和为 7，积为 6，求这两个数；(2) 如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为 2 cm 的小正方形，此后把四边折起来，做成一个没有盖子的长方体盒子，使它的容积为32 cm3，所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？参照答案1．D 2. C 3.C28. 依据题意，得m －2＝ 2， 2由 m － 2＝ 2，得 m ＝± 2.m ＋2≠0.∵ m ＋2≠0，∴ m ≠－ 2.∴ m ＝ 2.9. C 10. (22 －x)(17 － x) ＝ 30011. 设库房的宽为 x m ，则其长为 (32 ＋ 2－2x)m ，依据题意得 x(32 ＋ 2 － 2x) ＝ 140.化简，得 x 2－17x ＋ 70＝ 0.12. A 13. C 14. A 15. B 16. ≠±2＝－ 217. (1) ①②④⑤.(2) 若设它的二次项系数为 a(a ≠0) ，则一次项系数为－2a 、常数项为－ 4 a( 即满足二次项系数∶一次项系数∶常数项＝ 1∶－ 2∶－ 4 即可 ) ．18. (1) 设此中一个数为 x ，则另一个数为 (7 － x) ，则 x(7 － x) ＝ 6，即 x 2－ 7x ＋ 6＝0.(2) 设正方形纸板的边长应是x cm ，则没有盖子的长方体盒子的长、宽为(x －2×2) cm ，高为 2 cm.依据题意列方程，得 (x －2×2)(x －2×2) ×2＝ 32，即 x 2－ 8x ＝ 0.。

北师大版2018九年级数学上册第二章 一元二次方程单元练习题二（附答案）1．某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式是（ ）A ． x （x+1）=28B ． 12x （x-1）=28 C ． x （x-1）=28 D ． 2x （x-1）=282．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了个人，列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ． m=±2B ． m=2C ． m= -2D ． m≠±24．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设每次 降价的百分率为x ，则列出方程正确的是 ( )A ． 2580(1+x)=1185B ． 21185(1+x)=580C ． 2580(1-x)=1185D ． 21185(1-x)=5805．方程2269x x -=的一次项系数、 常数项分别为( ) ．A ． 2， 9B ． －6，－9C ． －6，9D ． 6， 96．用配方法解方程，变形后的结果正确的 是( )A ． (x+4)²=15B ． (x+4)²=17C ． (x-4)²=15D ． (x-4)²=177．下列方程中一定是一元二次方程的是( )A ． 3x ＋1x＝4 B ． ax 2＋bx ＋c ＝0 C ． x 2＝0 D ． 3x 2－2xy －5y 2＝0 8．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ． 12x x-= B ． 210x -= C ． 20ax bx c ++= D ． 326x -= 9．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a+4=0，b 2－6b+4=0，且a≠b ，则的值是（ ）A ． 7B ． －7C ． 11D ． －11 10．一元二次方程2x 2–3x=1的二次项系数a 、一次项系数b 和常数c 分别是（ ）A ． a=2，b=3，c=–1B ． a=2，b=1，c=–3C ． a=2，b=–3，c=–1D ． a=2，b=–3，c=111．方程的根是__．12．已知x ＝-2是方程220x mx ++=的一个根，则m 的值是_________．13．根据下表得知，方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似解为x ≈_____（精确到0.1）14．已知关于x 的方程x 2－－k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__________．15．若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为_______.16．某种T 恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 400元，每件应降价________元．17．一元二次方程 2x 2x c ++=0有两个相等实数根，则c=__________18．如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2-2m =1，n 2-2n =1，那么代数式2m 2+4n 2-4n +2015= ______ ．19．x 2+6x +______ =(x+____)2 ； x 2-3x+_________=(x-_______)220．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+nx+n ﹣3=0的两个实数根，且x 1+x 2=﹣2，则x 1x 2=_____．21．解方程：（1）x （x+4）=﹣5（x+4）； (2)；22．解一元二次方程()222369x x x +=-+23．某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？24．顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题？营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？营业员：有，请看《购买A品牌系列空调的优惠办法》．根据以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：（1）求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？（2）请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？25．如图，线段AB＝60厘米．(1)点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？(2)几分钟后，P、Q两点相距20厘米？26．某店只销售某种进价为40元/kg的特产. 已知该店按60元/kg 出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元.（1）每千克该特产应降价多少元？（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？27．解方程（1）(x-4)2 =2x-8; （2）y2-6y-7=0；（3）(2x+1) (x-3)=2.28．解方程：（1）(x＋1)2＝9；（2）x2－4x＋2＝0．答案1．B【解析】若有x 个队伍参赛，则比赛的场次一共为x +（x －1）+（x －2）+…+2+1=12x x +（），所以12x x +（）=4×7，即12x （x －1）=28. 故选B.点睛；若有x 个队伍进行比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，则一共要进行的比赛场次为12x x +（）. 2．C【解析】平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即64人患了流感，由此列方程，∴x+1+（x+1）x=64整理得，（1+x ）2=64．故选C ．【点睛】实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．3．B【解析】试题解析：∵方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，∴|m|=2，且m+2≠0．解得 m=2．故选B ．4．D【解析】试题解析：设平均每次降价的百分率为x ，由题意得出方程为：1185（1-x ）2=580．故选D ．5．B【解析】∵在一元二次方程的一般形式：“()200ax bx c a ++=≠”中，“a b c 、、”分别是二次项系数、一次项系数和常数项；而方程2269x x -=化为一般形式为：22690x x --=，∴方程2269x x -=的一次系数、常数项分别为：-6、-9.故选B.点睛：在解有关一元二次方程各项系数的问题时，一定要先把原一元二次方程化成形如“()200ax bx c a ++=≠”的一般形式，同时要注意各项系数包括数字前面的符号. 6．C【解析】用配方法解方程时，配方过程如下： 移项得：， 配方得：， ∴. 故选C.7．C【解析】试题解析：A 、该方程是分式方程，故本选项错误；B 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；C 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误.故选C ．8．B【解析】A 选项： 1x的次数是－1，故是错误的； B 选项：x 的次数是2，且只有一个未知数，故是正解的；C 选项： 20ax bx c ++=有4个未知数，故是错误的；D 选项：x 的次数是1,故是错误的；故选B.9．A【解析】根据已知两等式得到a 与b 为方程x 2-6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b 与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b 与ab 的值代入计算即可求出值．解：根据题意得：a 与b 为方程x 2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4， 则原式===7．故选A ． “点睛”此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．C【解析】∵2x 2﹣3x=1， ∴2x 2﹣3x-1=0，∴次项系数a 、一次项系数b 和常数c 分别是2、-3、-1.故选C.11．123,1x x ==-【解析】40%x-1=-2或x-1=2x1=-1,x2=3.故答案是： 123,1x x ==-12．3【解析】试题解析：已知方程x 2+mx +2=0的一个根是-2，则把x =-2，代入方程得到4-2m +2=0，解得m =3．13．-4.3【解析】根据表格得，当-4.4＜x ＜-4.3时，-0.11＜y ＜0.56，即-0.11＜x 2+2x-10＜0.56， ∵0距-0.11近一些，∴方程x2+2x-10=0的一个近似根是-4.3，故答案为-4.3．14．-3【解析】试题解析：根据题意得：△=（2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，解得：k=-3，15．- 1【解析】试题分析：将方程转化为一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)后，根据一次项系数为-1建立方程即可求出m的值.解：∵，，，，又∵一次项的系数为－1，∴，解得，.故答案为：-1.视频16．6或10【解析】每件应降价x元，（20-x）（40+10x）=1400,解得x1＝6，x2＝10,每件应降价6或10元 .17．1【解析】试题解析：∵一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，∴△=4-4c=0，解得c=1．点睛：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．18．2029【解析】试题解析： ,m n 满足2221,2 1.m m n n -=-= ，,m n ∴为方程2210x x --=的两个实数根, 2212,12m m n n =+=+，2, 1.m n mn ∴+==-∴()()22244201521241242015m n n m n n +-+=+++-+, 244842015,m n n =+++-+4420212029.m n =++=故答案为： 2029.点睛：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根与系数的关系满足： 1212,.b c x x x x a a+=-⋅= 19． 9， 3， ，【解析】配方可得x 2 +6x +9=（x +3）2 ；x 2-3x +=（x -） 2.20．-1【解析】试题解析：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+nx+n-3=0的两个实数根，且x 1+x 2=-2， ∴-n=-2，即n=2，∴x 1x 2=n-3=2-3=-1．21．(1)x 1=﹣4，x 2=﹣5 （2）x 1=﹣3，x 2=8．【解析】（1）x （x+4）=﹣5（x+4）；则 x 1=﹣4，x 2=﹣5(2)；则x 1=﹣3，x 2=8．22．10x =， 26x =-【解析】试题分析：根据方程的特点，用“直接开平方法”解即可.试题解析：原方程可化为： ()()22233x x +=-，直接开平方，得()233x x +=±-，则30x =，或60x +=，解得： 10x =， 26x =-23．每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．【解析】试题分析：利用每盆花卉每天售出的盆数×每盆的盈利=每天销售这种花卉的利润y ，列出函数关系式解答即可．试题解析：解：设每盆花卉降低x 元，花圃每天盈利y 元，则y =（40-x ）（20+2x ）=-2x 2+60x +800 =-2（x -15）2+1250，由0{ 400x x ≥->， 解得：0≤x ＜40，故当x =15时，y 最大=1250，答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．24．（1）A 品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；（2）当A 品牌系列空调的某一型号的价格为每台＜3000元时，应选方案二；当A 品牌系列空调的某一型号的价格为每台3000元时，两种方案都可以选；当A 品牌系列空调的某一型号的价格为每台＞3000元时，应选方案一．【解析】试题分析：（1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据增长率的一般公式即可列出方程解决问题；（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，然后分别用x 表示两种方法的函数关系式，接着分情况讨论，不同情况的方法收费，比较大小即可得到结论．试题解析：（1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据题意，得a（1-x）2=a（1-19%），解得x1=1.9（不合题意，舍去），x2=0.1=10%．（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，则y1=0.95x+90，y2=0.98x，当y1＞y2时，x＜3000（元），此时应选方案二；当y1=y2时，x=3000（元），此时选两种方案都一样；当y1＜y2时，x＞3000（元），此时应选方案一．答：（1）A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；（2）当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＜3000元时，应选方案二；当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台3000元时，两种方案都可以选；当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＞3000元时，应选方案一．点睛：本题是用对话形式给出的数量关系，是方程和函数的综合题，可以根据题目的问题，寻找相关的数量.列出两种优惠方案的函数关系式，抓住购买多少，两种优惠方案一样这个分界线，分三种情况加以说明.25．(1)6分钟;(2) 4或8分钟【解析】试题分析：（1）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论．试题解析：解：（1）设经过x分钟后，P、Q两点相遇，依题意得：4x+6x=60，解得：x=6．答：经过6分钟后，P、Q两点相遇．（2）设经过y分钟后，P、Q两点相距20厘米，依题意得：①4y+6y+20=60，解得：y=4；②4y+6y﹣20=60，解得：y=8．答：经过4或8分钟后，P 、Q 两点相距20厘米．点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是结合路程=速度×时间与题意，列出一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题时，理清各数量之间的关系式关键．26．（1）4元或6元；（2）9折.【解析】试题分析：（1）设每千克应降价x 元，则此时每千克利润为()6040x --元，销售量为()10010x +千克，由：总利润=每千克利润⨯销售量可列方程，解方程可求得答案；（2）由“要尽量让利于顾客”可知应采用最大的降价方式销售，由（1）可得此时的实际销售价格，由此可计算出应打的折扣数.试题解析：（1）设每千克应降价x 元，根据题意得： ()()6040100102240x x --+=，化简得： 210240x x -+=，解得1246x x ==，，答：每千克应降价4元或6元.（2）∵要尽可能让利于顾客，∴应降价6元，此时售价为：54元，∵5460=0.9÷，∴该店应按原价打9折出售.27．（1）x 1=4 ，x 2=6;（2）y 1=-1，y 2=7；（3）， .【解析】试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）因式分解法求解可得；（3）公式法求解可得试题解析：（1）原方程可化为（x-4）2-2（x-4）=0，∴（x-4）（x-6）=0，∴x-4=0或x-6=0，解得：x1=4，x2=6；（2）（y+1）（y-7）=0，∴y+1=0或y-7=0，解得：y1=-1，y2=7；（3）原方程可化为：2x2-5x-5=0，∵a=2，b=-5，c=-5，∴△=25+40=65＞0，∴x=，∴，.．28．（1）x1＝2，x2＝－4；（2）x1＝2x2＝2【解析】试题分析：（1）直接开平方；（2）先变形,再开平方；试题解析：（1）(x+1)2=9x+1=3或x+1=-3∴x1=2,x2=--4(2)x2－4x＋2＝0x2-4x+2+2=2(x-2)2=22x-=x-=或2∴x 1,x 2=2。

第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。

第二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x 2＋3x ＋y ＝0B ．x 2＋1x＋5＝0C.2x 2＋13＝x ＋12D ．x ＋y ＋1＝02．一元二次方程x 2－2x －3＝0配方后可变形为( )A ．(x －1)2＝2 B ．(x －1)2＝4 C ．(x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝73．下列方程采用配方法求解较简便的是( )A ．3x 2＋x －1＝0 B ．4x 2－4x －5＝0 C ．x 2－7x ＝0D ．(x －3)2＝4x 24．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－25．下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A ．x 2＋2x －3＝0B ．x 2＋x ＋14＝0C ．x 2＋2x ＋1＝0D ．－x 2＋3＝06．x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于37．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x ，则可列方程为( )A ．200＋200(1＋x )2＝1 400B ．200＋200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1 400 C ．200(1＋x )2＝1 400D ．200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1 4008．已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( )A ．－43 B.83 C ．－83 D.439．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长是( )A．5 B．7 C．5或7 D．1010．如图，在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴上方满足上述条件的点P共有( )(第10题)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．把一元二次方程(x－3)2＝4化为一般形式是__________，其中二次项为________，一次项系数为________，常数项为________．12．方程(x＋3)2＝x＋3的解是__________．13．若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．14．当k＝________时，关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根(写出一个你喜欢的k的值)．15．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是x＝1，则它的另一个根是________，m＝________．16．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，可列出方程：______________．(第16题)17．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，则x2＋3x＝________．18．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程：________________．三、解答题(26题10分，其余每题8分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)(6x－1)2＝25；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x 2－2x ＝2; (4)x (x －7)＝8(7－x )．20．先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．21．如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6 m 2.已知床单的长是2 m ，宽是1.4 m ，求花边的宽度．(第21题)22．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．(1)填表：时间九月十月清仓时销售单价/元10050销售量/副200(2)如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9 200元，那么十月份的销售单价应是多少元？23．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．博物馆既要考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆通过门票价格的浮动来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？(第23题)24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？25．已知关于x 的方程(k －1)x 2＋(2k －3)x ＋k ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围．(2)是否存在实数k ，使此方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．26．请阅读下列材料．问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y2.把x ＝y2代入已知方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋y2－1＝0.化简，得y 2＋2y －4＝0. 故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． (1)已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数； (2)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案一、1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.A 7．B 8.D 9.B10．C 点拨：根据题意，可设点P 的坐标为(x ，－x ＋6)．∵点P 在x 轴上方，∴y ＞0，即－x ＋6＞0，x ＜6.∵矩形PBOA 的面积为5， ∴|x |(－x ＋6)＝5，即x (－x ＋6)＝5或－x (－x ＋6)＝5. 解得x 1＝1，x 2＝5，x 3＝3＋14，x 4＝3－14.∵3＋14＞6，不合题意，舍去， ∴符合要求的点P 共有3个． 二、11.x 2－6x ＋5＝0；x 2；－6；5 12．x 1＝－3，x 2＝－2 13.2 017 14．0(答案不唯一) 15.x ＝3；－4 16．(x ＋1)2＝25(答案不唯一) 17.1 18．x 2－9x ＋6＝0(答案不唯一)三、19.解：(1)两边开平方，得6x －1＝±5，即6x －1＝5或6x －1＝－5.∴x 1＝1，x 2＝－23.(2)移项，得x 2－4x ＝－1. 配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4， 即(x －2)2＝3.两边开平方， 得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－ 3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. (3)将原方程化为一般形式，得x 2－2x －2＝0.∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝10. ∴x ＝2±102×1，即x 1＝2＋102，x 2＝2－102. (4)移项，得x (x －7)＋8(x －7)＝0.变形，得(x －7)(x ＋8)＝0.∴x －7＝0或x ＋8＝0. ∴x 1＝7，x 2＝－8.20．解：原式＝(x －1)÷2－x －1x ＋1＝(x －1)÷1－xx ＋1＝(x －1)·x ＋11－x＝－x －1.解方程x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2.当x ＝－1时，(x －1)÷(2x ＋1－1)无意义，所以x ＝－1舍去；当x ＝－2时，原式＝－(－2)－1＝2－1＝1.21．解：设花边的宽度为x m ，依题意，得(2－2x )(1.4－2x )＝1.6，解得x 1＝1.5(不合题意，舍去)，x 2＝0.2.答：花边的宽度为0.2 m.22．解：(1)100－x ；200＋2x ；400－2x(2)根据题意，得100×200＋(100－x )(200＋2x )＋50(400－2x )－60×800＝9 200.解这个方程，得x 1＝20，x 2＝－70(舍去)．当x ＝20时，100－x ＝80＞60，符合题意． 答：十月份的销售单价应是80元．23．解：设每周参加人数与票价之间的一次函数表达式为y ＝kx ＋b (x >0)．由题意，得k ＋b ＝7 000，15k ＋b ＝解得k ＝－500，b ＝所以y ＝－500x ＋12 000(x >0)． 根据题意，得xy ＝40 000， 即x (－500x ＋12 000)＝40 000. 整理得x 2－24x ＋80＝0， 解得x 1＝20，x 2＝4. 当x ＝20时，y ＝2 000； 当x ＝4时，y ＝10 000. 因为要控制参观人数， 所以取x ＝20，y ＝2 000.答：每周应限定参观人数是2 000人，门票价格应是20元．24．解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得10(1＋x )2＝12.1，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.(2)今年六月份的快递投递任务是12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)．∵平均每人每月最多可投递快递0.6万件，∴21名快递投递业务员每月最多能完成的快递投递任务是0.6×21＝12.6(万件)． ∵12.6＜13.31，∴该公司现有的快递投递业务员不能完成今年六月份的快递投递任务． 由于(13.31－12.6)÷0.6＝11160，因此至少需要增加2名业务员．25．解：(1)根据题意，得b 2－4ac ＝(2k －3)2－4(k －1)·(k ＋1)＝4k 2－12k ＋9－4k 2＋4＝－12k ＋13＞0，∴k ＜1312.又∵k －1≠0，∴k ≠1. ∴k ＜1312且k ≠1.(2)不存在．理由如下：假设存在，∵方程的两个实数根互为相反数， ∴x 1＋x 2＝－2k －3k －1＝0，则k ＝32.∵32＞1312， ∴当k ＝32时，此方程没有实数根．∴不存在实数k ，使此方程的两实数根互为相反数． 26．解：(1)设所求方程的根为z ，则z ＝－x ，∴x ＝－z . 把x ＝－z 代入已知方程， 得z 2－z －2＝0，故所求方程为z 2－z －2＝0. (2)设所求方程的根为t ，则t ＝1x (x ≠0)，于是x ＝1t(t ≠0)．把x ＝1t代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0，去分母，得a ＋bt ＋ct 2＝0.若c＝0，则有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意，∴c≠0.故所求方程为ct2＋bt＋a＝0(c≠0)．。

2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。

2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。

3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。

4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。

5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。

6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。

7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。

8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。

9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。

10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。

11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。

三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。

北师大新版数学九年级上册《2.1认识一元二次方程》同步练习一．选择题（共16小题）1．已知1是二次方程（m2﹣1）x2﹣2=0的一个根，那么m的值是（）A．或﹣1 B．﹣或1 C．或1 D．﹣2．已知下面三个关于x的一元二次方程20，20，20恰好有一个相同的实数根a，则的值为（）A．0 B．1 C．3 D．不确定3．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则（2m2﹣4m﹣1）（3n2﹣62）的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．74．如果（m﹣2）﹣1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．以上都不正确5．关于x的方程（a﹣1）x22=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a≥﹣1且a≠1 C．a＞﹣1且a≠1 D．a≠±16．已知关于x的方程（a﹣1）1﹣2x﹣1=0是一元二次方程，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣17．若方程（a﹣2）x23=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠2 D．任意实数8．关于x的方程+2﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．1 C．﹣1 D．±19．若方程（m﹣1）x2﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数10．二次方程4x（2）=25化成一般形式得（）A．4x2+2=25 B．4x2﹣23=0 C．4x2+825 D．4x2+8x﹣25=011．一元二次方程（x﹣）（）+（2x﹣1）2=0化成一般形式正确的是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣21=0 D．5x2﹣46=012．方程2x2﹣69的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．﹣2，6，9 D．2，﹣6，﹣913．把方程（1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为（）A．2x2+3x﹣10=0 B．2x2+3x﹣10=0 C．3x2﹣12=0 D．3x2﹣12=0 14．把一元二次方程（x﹣3）2=5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，915．一元二次方程的一般形式是（）A．x20 B．20C．20（a≠0）D．以上答案都不对16．将方程﹣5x2=210化为二次项系数为1的一般形式是（）A．x22=0 B．x2﹣x﹣2=0 C．x210=0 D．x2﹣2x﹣10=0二．填空题（共11小题）17．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣32﹣4=0的一个根为0，则．18．已知x满足方程x2﹣31=0，则x2+的值为．19．已知a是方程x2﹣20191=0一个根，求a2﹣2019的值为．20．已知，关于x的方程（5）x2﹣21是一元二次方程，则．21．若方程（m﹣1）x22﹣1=0是一元二次方程，则m．22．若（1）x2﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．23．当时，关于x的方程（m﹣1）1﹣5=0是一元二次方程．24．已知关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，那么a的取值范围是．25．若关于x的一元二次方程（2）2x﹣1=0是一元二次方程，则．26．设m是方程x2﹣31=0的一个实数根，则=．27．已知关于x的二次方程a（）20的解为，则方程的解为．三．解答题（共8小题）28．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x220的根，求的值；（2）已知x，y为实数，且﹣3，求2的值．29．关于x的一元二次方程（1）x2+52+32=0的常数项为0，求m的值．30．若关于x的一元二次方程20的一个根是1，且a，b满足3，求c．31．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣31=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a33=（）（a2﹣2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a22）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣41=0（x≠0），则=，=，=；（2）2x2﹣72=0（x≠0），求的值．32．已知2是关于x的一元二次方程5x2﹣10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值．33．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（23）2+32=0．（1）已知2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△中、（＜）的边长，当时，△是等腰三角形，求此时m的值．34．已知关于x的一元二次方程（2）x2+3（m2﹣4）=0有一个解是0，求m的值及方程的另一个解．35．阅读下列材料：问题：已知方程x2﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则2x，所以，把，代入已知方程，得（）2+﹣1=0．化简，得y2+2y﹣4=0，故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程20（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．参考答案一．选择题1．D．2．A．3．B．4．C．5．B．6．A．7．C．8．C．9．C．10．D．11．A．12．D．13．C．14．B．15．C．16．A．二．填空题17．﹣2．18．7．19．2019．20．≠1．22．m≠﹣1．23．﹣124．a≠325．2．26．8．27．x1=﹣，x2=0．三．解答题28．解：（1）由题意得n220，∵n≠0，∴2=0，得﹣2；（2）解：由题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，解得x≥且x≤，所以，，﹣3，∴2﹣15．29．解：由题意，得m2+32=0，且1≠0，解得﹣2，m的值是﹣2．30．解：将1代入方程20，得：0；又∵a、b满足等式3，∴a﹣3≥0，3﹣a≥0；∴3，∴3；则﹣a﹣﹣6．31．解；（1）∵x2﹣41=0，∴4，∴（）2=16，∴x2+216，∴x214，∴（x2+）2=196，∴x42=196，∴x4194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣72=0，∴，x2，∴=（）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．32．解：把2代入方程5x2﹣10=0得5×4+2b﹣10=0，解得﹣5，设方程的另一个根为t，则2﹣，解得﹣1，即方程的另一根为﹣1．33．解：（1）∵2是方程的一个根，∴4﹣2（23）2+32=0，∴0或1；（2）∵△=（23）2﹣4（m2+32）=1，=1；∴∴x12，x21，∵、（＜）的长是这个方程的两个实数根，∴2，1．∵，△是等腰三角形，∴当时，有1=，∴﹣1；当时，有2=，∴﹣2，综上所述，当﹣1或﹣2时，△是等腰三角形．34．解：把0代入方程，得m2﹣4=0，解得±2，∵2≠0，∴m≠﹣2，∴2，把2代入方程，得4x2+30，解得x1=0，x2=﹣．答：m的值是2，方程的另一根是﹣．35．解：（1）设所求方程的根为y，则﹣x，所以﹣y，把﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，故答案为：y2﹣2y﹣1=0；（2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0），把代入方程20，得a （）2（）0，去分母，得2=0，若0，有20，于是，方程20有一个根为0，不合题意，∴c≠0，故所求方程为2=0 （c≠0）．。

北师大版九年级上册第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程同步练习1.等号两边都是,只含有未知数,并且未知数的最高次数是的方程,叫做一元二次方程.2.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式：,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中, 是二次项, 是二次项系数; 是一次项,是一次项系数; 是常数项.3.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是( )A.7x2、2x、0B.7x2、-2x、无常数项C.7x2、0、2xD.7x2、-2x、04.下列方程中,不是一元二次方程的是( )A.2x2+7=0B.2x2+2x+1=0C.5x2++4=0D.3x2+(1+x)+1=05.下列各一元二次方程是一般形式的是( )A.6x2=10+5xB.5x-6x2-10=0C.6x2-5x-10=0D.10+5x+6x2=2x+16.一元二次方程5x2=6x-3化为一般形式后的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A.5,6,-3B.5,6,3C.5,-6,3D.-5,-6,-37.若关于x的方程x m-2+3x-5=0是一元二次方程,则m= .8.一个数与比它大3的数的乘积为54,若设这个数为x,根据题意,可列方程为.9.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是( )A.x2-5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x-5=0D.x2+5=010.下列说法中,错误的是( )①方程5x2+x-2=0是一元二次方程;②方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的一般形式;③方程x2+=3是一元二次方程;④一元二次方程4x-3x2=7的二次项系数是-3,一次项系数是4,常数项是-7.A.①B.②C.②③D.④11.把方程3x(x-1)=2(x+2)+6化为一般形式是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是.12.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0,当m满足时,它是一元一次方程;当m满足时,它是一元二次方程.13.根据题意,列出方程(只列方程不求解).(1)小明要用铁丝围成一正三角形的架子,若要使所围成三角形的面积为30 cm2,需多长的铁丝?(2)如图2-1-1,某人欲横渡一条河,由于水流影响,实际上岸地点C偏离了欲到达的地点B,偏离的距离比河宽少210 m.已知他在水中共游了510 m.你能根据所学的知识求出该河有多宽吗?图2-1-114.使方程的叫做方程的解.方程的解也叫方程的根.15.探索一元二次方程的解应先根据实际问题确定其解的.16.观察表中的数据,可得出当2x2-3x-4=0时,未知数x的大致范围是( )A.-2<x<-1或-1<x<0B.-1<x<0或0<x<1C.1<x<2或2<x<3D.-1<x<0或2<x<317.观察表中数据,可得出方程x2+12x-15=0的一个根的十分位的数字应是( )A.1B.2C.3D.418.“一块矩形铁片,面积为1 m2,长比宽多3 m,求铁片的长.”小华在做这道题时,是这样考虑的：设铁片的长为x m,列出的方程为x(x-3)=1.小华列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程：第一步：所以<x< .第二步：所以<x< .(1)请你帮小华填完表格,完成他未完成的部分;(2)通过以上探索,你能估计出矩形铁片的长的整数部分为,十分位为.19.根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的一个解x的范围是( )A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.2620.写出一个一元二次方程,其二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-4,并求出方程的近似解.(精确到个位)21.如图2-1-2所示,在一个矩形的场地内,四周种着宽度相等的草坪.矩形场地的长为18 m,宽为10 m,如果草坪内广场面积为81 m2,请估计草坪的宽度.(精确到0.1 m)图2-1-2参考答案1.整式一个 22.ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 a bx b c3.D4.C5.C6.C7.48.x(x+3)=549.A10.C11.3x2-5x-10=0 3 -5 -1012.m=-2 m≠-213.解：(1)设正三角形的一边长为x cm,则其高为x cm,由题意得x×x=30,即x2=30.(2)设河宽为x m,由题意得x2+(x-210)2=5102.14.左右两边相等的未知数的值15.大致范围16.D17.A18.(1)-1 3 3 4 -0.01 0.36 3.3 3.4(2)3 319.C20.解：一元二次方程为x2-2x-4=0.∵x<-2时,-2x>4,∴x2-2x-4>0.故x>-2.又∵x>4时,x2-2x-4=x(x-2)-4>0,∴x<4.∴-2<x<4.因此可先列表计算：∴方程的解应在-2到-1或3到4之间：∴方程的解为x1≈-1,x2≈3.21.解：设草坪的宽为x m,则广场的长为(18-2x)m,宽为(10-2x)m.根据题意可得方程(18-2x)(10-2x)=81.整理得4x2-56x+99=0.因为x是草坪的宽度,故x不能小于0.此外,x还应比矩形场地长的一半及宽的一半要小,即x<9,x<5.于是可得出x的范围为0<x<5.列表：所以2<x<3.而当x=2.5时,4x2-56x+99=-16,故可进一步列表：所以2<x<2.1.而当x=2.05时,4x2-56x+99=16.81-114.8+99=1.01, 所以2.05<x<2.1.由此,可估计x的值约为2.1.因此草坪的宽度大约为2.1 m.。

1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C )(A)x2+=0 (B)ax2+bx+c=0(C)(x-1)(x+2)=1 (D)3x2-2xy-5y2=02.若关于x的一元二次方程2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为0,则k的值为( C )(A)3 (B)7 (C)13 (D)-23.关于x的方程(m-2)+2mx-3=0是一元二次方程,则m的值是( C )(A)任意实数 (B)2(C)-2 (D)±24.(2018赤峰)2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行现场比赛),比赛总场数为380场.若设参赛队伍有x支,则可列方程为( B )(A)x(x-1)=380 (B)x(x-1)=380(C)x(x+1)=380 (D)x(x+1)=3805.某小区准备在每两幢楼房之间,开辟面积为300平方米的一块长方形绿化带,并且长比宽多5米,设长方形绿化带的宽为x米,则可列方程为x(x+5)=300 ,化为一般形式为x2+5x-300=0 ,它的二次项系数是 1 ,一次项系数是 5 ,常数项是-300 .6.(新定义题)对于符号“※”,我们作如下规定a※b=a2-b2+2,如:2※3=22-32+2=4-9+2=-3,若(x+1)※2=-1,则可得方程的一般形式为x2+2x=0 .7.根据下列问题列方程,并将所列方程化成一般形式.(1)直角三角形的三边长是3个连续偶数,求这个三角形的三边长,设最短的边长为2x;(2)一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求小正方形的边长.解:(1)设最短的边长为2x,则另外两边的长为2x+2,2x+4,根据题意得(2x)2+(2x+2)2=(2x+4)2,化为一般形式得4x2-8x-12=0.(2)设小正方形边长为x,则大正方形边长为3x+1,则得(3x+1)2+x2=53,化为一般形式得10x2+6x-52=0.8.(易错题)若关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2=9的常数项为0,则m的值等于( B )(A)-3 (B)3(C)-3或3 (D)09.将关于x的一元二次方程4ax(x-1)=4a2x-1化为一般形式,其二次项系数与常数项相等,则a的值是.10.已知关于x的方程(m2-1)x2+(m+1)x+1=0.(1)当m为何值时原方程为一元二次方程?并写出方程的二次项系数,一次项系数和常数项;(2)当m为何值时原方程为一元一次方程?解:(1)当m2-1≠0时,(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是一元二次方程,解得m≠±1,当m≠±1时,(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是一元二次方程.二次项系数为m2-1,一次项系数为m+1,常数项为1.(2)当m2-1=0,且m+1≠0时,(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是一元一次方程,解得m=±1,且m≠-1,所以当m=1时,(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是一元一次方程.11.(逆向思维)若关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足条件(a-2)2+|b-3|+=0,试写出这个一元二次方程.解:由(a-2)2+|b-3|+=0,得解得a=4,b=3,c=-7.关于x的一元二次方程中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,得4x2+3x-7=0.第2课时一元二次方程的根1.(2018宁夏)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是( A )(A)1 (B)3-(C)1+(D)2+2.根据下列表格的对应值判断方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)的一个解x的取值范围是( C )(A)3<x<3.23 (B)3.23<x<3.24(C)3.24<x<3.25 (D)3.25<x<3.263.根据下表提供的信息,下列四个数中最接近方程x2-3x-5=0的解的是( D )(A)0 (B)3.5 (C)3.8 (D)4.24.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为( A )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)-25.小颖在学习“用估算法求一元二次方程的近似解”时,对一元二次方程(8-2x)(5-2x)=18的根作了如下估计:则由她所列表格的数据可知,此方程的一个根为 1 .6.关于x的一元二次方程(k-1)x2+5x+k2-1=0的一个根是0,则k的值是-1 .7.有一个面积是15 cm2的长方形,当长增加1 cm,宽增加3 cm时,恰好变成一个正方形,设这个正方形的边长是x cm,列出方程并估算x 的值.解:由题意知,长方形的长是(x-1) cm,宽是(x-3) cm,得方程(x-1)(x-3)=15.化成一般形式是x2-4x-12=0.列表计算:所以x=-2(不合题意,舍去)或x=6.所以正方形的边长是6 cm.8.(新定义题)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,则该方程一定有一个根为( B )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)29.(整体思想)已知m是一元二次方程x2-9x+1=0的解,则m2-7m+的值为17 .10.已知m,n分别是方程x2-2x-1=0的两根,代数式(7m2-14m+a)(3n2- 6n-7)的值能否等于8,若能,求出a的值,若不能,请说明理由.解:因为m,n分别是方程x2-2x-1=0的两根,所以有m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,故m2-2m=1,n2-2n=1.(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=[7(m2-2m)+a][3(n2-2n)-7]=(7+a)×(3-7)=-4(7+a).若-4(7+a)=8,则有a=-9,所以代数式(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)的值能等于8,此时a=-9.11.要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5 cm,这块铁片应该怎样剪?设长为x cm,则宽为(x-5) cm,列方程得x(x-5)=150,即x2-5x-150=0.根据所列方程回答以下问题:(1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说出你的理由;(2)完成下表:(3)你知道铁片的长x是多少吗?解:(1)x不可能小于5.理由:如果x<5,则宽x-5<0,不合题意.x不可能等于10.理由:如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能. (2)(3)铁片长x=15 cm.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1.(2018连城县期中)将一元二次方程x2-4x-7=0配方,所得的方程是( A )(A)(x-2)2=11 (B)(x-2)2=32.一元二次方程x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a,b为整数,则a+b的值为( A )(A)20 (B)12 (C)-12 (D)-203.小明用配方法解下列方程时,只有一个配方有错误,请你确定小明错的是( B )(A)x2-2x-99=0化成(x-1)2=100(B)x2+8x+9=0化成(x+4)2=25(C)t2-6t+4=0化成(t-3)2=5(D)y2+y-1=0化成(y+)2=4.(2018安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( A )(A)12 (B)9 (C)13 (D)12或95.若一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b的值为181 .6.如图,矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的长是 3 .7.用配方法解下列方程:(1)x2-3x+1=0;(2)y(y-4)=-1-2y;解:(1)移项,得x2-3x=-1,两边都加()2,得x2-3x+()2=-1+()2,即(x-)2=,两边开平方,得x-=±,所以x1=,x2=.(2)整理,得y2-2y+1=0,配方,得(y-1)2=0,所以y1=y2=1.(3)整理,得x2-1+2x+6-8=0,即x2+2x-3=0,移项得,x2+2x=3,两边都加12,得x2+2x+12=3+12,即(x+1)2=4,两边开平方,得x+1=±2,所以x1=-3,x2=1.8.已知一元二次方程x2+mx+3=0配方后为(x+n)2=22,那么一元二次方程x2-mx-3=0配方后为( D )(A)(x+5)2=88(B)(x+5)2=19或(x-5)2=19(C)(x-5)2=19(D)(x+5)2=28或(x-5)2=289.如图所示,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,点E和点F分别从点A 和点C出发,以1 cm/s的速度向点B移动,若一个点到达终点,则另一个点也停止移动,几秒钟时矩形BFGE的面积为24 cm2?解:设经过x秒时矩形BFGE的面积为24 cm2,根据题意得(6-x)(8-x)=24,整理得x2-14x+24=0,移项得x2-14x=-24,配方得(x-7)2=25,两边开平方得x-7=±5,解得x1=2,x2=12(不合题意,舍去),答:2秒钟时矩形BFGE的面积为24 cm2.10.(阅读理解题)小明遇到下面的问题:求代数式x2-2x-3的最小值并写出取到最小值时的x值.经过观察式子结构特征,小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题,具体分析过程如下:x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=(x-1)2-4. 所以当x=1时,代数式有最小值是-4.请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题.(1)x2-2x的最小值是;(2)当x为实数时,求x4+2x2+7的最小值.解:(1)x2-2x=x2-2x+1-1=(x-1)2-1,所以当x=1时,代数式x2-2x有最小值,是-1.(2)x4+2x2+7=(x2+1)2+6.因为x2≥0,所以当x2=0时,(x2+1)2+6有最小值,是7.第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.一元二次方程-x2+8x+1=0配方后可变形为( C )(A)(x+4)2=17 (B)(x+4)2=15(C)(x-4)2=17 (D)(x-4)2=152.用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C )(A)4x2-2x=5 (B)2x2-4x=5(C)3x2+12x=5 (D)x2+8x=53.下列配方有错误的是( D )(A)2x2-8x-2=0,化为(x-2)2=5(B)x2+3x+1=0,化为(x+3)2=7(C)2x2-7x-6=0,化为(x-)2=(D)3x2-4x-2=0,化为(3x+2)2=64.方程2x2-4x-2=0的较小的根为m,方程3x2-6x-6=0的较大的根为n,则m+n等于( A )(A)3 (B)-3 (C)2(D)-25.把一元二次方程3x2-2x-3=0化成(x+m)2=n的形式,则m= -,n=.6.形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为=ad-bc,若=21,则x的值为1±2.7.用配方法解下列方程:(1)2x2-3x-3=0;(2)6x2=3x-2.解:(1)两边同除以2,得x2-x-=0.移项,得x2-x=,配方,得x2-x+=+,即(x-)2=.两边开平方,得x-=±.即x-=,或x-=-.所以x1=,x2=.(2)两边同除以6,得x2=x-.移项,得x2-x=-.配方,得x2-x+=-+,即(x-)2=-.因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,(x-)2都是非负数,上式不成立,即原方程无实数根.8.如果多项式P=a2+2b2+2a+4b+2 019,则P的最小值为 2 016 .9.飞机着陆后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)满足s=60t-t2,则飞机着陆后滑行600米需要20 秒.10.(2018老河口市期中)如图,一农户要建一个矩形鸭舍,鸭舍的一边利用长为13 m的住房墙,另外三边用27 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时,鸭舍面积为96 m2?解:设鸭舍垂直于住房墙的一边长为x m,则鸭舍的平行于住房墙的一边长为(28-2x)m,根据题意,得x(28-2x)=96,化简,得x2-14x+48=0,解这个方程,得x1=6,x2=8,当x=6时,28-2x=16>13(不合题意,舍去),当x=8时,28-2x=12<13,答:所建矩形鸭舍的长为12 m,宽为8 m.11.(拓展探究题)关于用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0, b2-4ac≥0),小明提出一种方法:因为ax2+bx+c=0(a≠0),所以4a2x2+4abx+4ac=0,所以4a2x2+4abx+b2=b2-4ac,….(1)请你把小明的过程补充完整;(2)请用上述方法解方程:3x2-4x-1=0.解:(1)因为ax2+bx+c=0(a≠0),所以4a2x2+4abx+4ac=0,所以4a2x2+4abx+b2=b2-4ac,所以(2ax+b)2=b2-4ac,所以2ax+b=±,所以x=.(2)因为3x2-4x-1=0,所以36x2-48x-12=0,所以36x2-48x+16=16+12,所以(6x-4)2=28,所以6x-4=±2,所以x1=,x2=.3 用公式法求解一元二次方程1.用公式法解方程3x-1-2x2=0时,求根公式中的a,b,c的值分别是( C )(A)a=3,b=-1,c=-2 (B)a=-2,b=-1,c=3(C)a=-2,b=3,c=-1 (D)a=-1,b=3,c=-22.一元二次方程x2+2x-6=0的根是( C )(A)x 1=x2=(B)x 1=0,x2=-2(C)x 1=,x2=-3(D)x 1=-,x2=33.(2018广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( A )(A)m<(B)m≤(C)m>(D)m≥4.(2018泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是( D )(A)无实数根(B)有一个正根,一个负根(C)有两个正根,且都小于3(D)有两个正根,且有一根大于35.(2018威海)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是m=4 .6.两个实数的和为4,积为-7,则这两个实数为2+和2-.7.(1)2x2-3x-2=0;(2)x2+=4x;(3)(2x+1)(x-1)=4.解:(1)这里a=2,b=-3,c=-2.因为b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,所以x==,即x1=2,x2=-.(2)整理得4x2-24x+9=0,这里a=4,b=-24,c=9,因为b2-4ac=576-144=432,所以x==.即x1=,x2=.(3)整理得2x2-x-5=0,这里a=2,b=-1,c=-5,因为b2-4ac=1-4×2×(-5)=41>0,所以x=.所以x1=,x2=.8.(2018娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( A )(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)无实数根(D)不能确定9.(易错题)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是-≤k<且k≠0 .10.一个矩形周长为56厘米.(1)当矩形面积为180平方厘米时,长、宽分别为多少?(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?请说明理由.解:(1)设矩形的长为x厘米,则宽为(28-x)厘米,依题意有x(28-x)=180,解得x1=10(舍去),x2=18,28-x=28-18=10.所以长为18厘米,宽为10厘米.(2)不能.理由如下:设矩形的长为a厘米,则宽为(28-a)厘米,依题意得a(28-a)=200,即a2-28a+200=0,则Δ=282-4×200=784-800<0,原方程无实数根, 所以不能围成一个面积为200平方厘米的矩形.11.(分类讨论题)等腰△ABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两个根,求这个等腰三角形的周长.解:(1)当AB=AC时,Δ=(-10)2-4m=0,所以m=25;则原方程为x2-10x+25=0,解这个方程,得x1=x2=5,所以三角形的周长为5+5+8=18.(2)当AB=BC=8时,把x=8代入原方程,得82-10×8+m=0,所以m=16.则原方程为x2-10x+16=0,解这个方程,得x1=2,x2=8,所以三角形的周长为2+8+8=18.综上可得,等腰△ABC的周长为18.4 用因式分解法求解一元二次方程1.下列方程适合用因式分解法解的是( C )(A)x2+x+1=0(B)2x2-3x+5=0(C)2x(2x-5)=3(2x-5)(D)x2+6x+7=02.方程(x-1)2-x+1=0的根为( D )(A)x=2 (B)x=3(C)x=0或x=1 (D)x=1或x=23.下列方程中以1,-2为根的一元二次方程是( D )(A)(x+1)(x-2)=0 (B)(x-1)(x+2)=1(C)(x+2)2=1 (D)(x+)2=4.用因式分解法解方程,下列解题过程中正确的是( D )(A)x(x+2)=0,所以x+2=0(B)(x+3)(x-1)=1,所以x+3=0,或x-1=1(C)(x+5)(x-4)=2×3,所以x+5=2,或x-4=3(D)(x+6)(3x+5)=0,所以x+6=0,或3x+5=05.(2018黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为16 .6.(2018荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为-3 .7.解下列方程:(1)x2+2x=5;(2)3(x-2)2=x(x-2);(3)2x2-2x-5=0;(4)(y+2)2=(3y-1)2.解:(1)x2+2x+1=5+1,所以(x+1)2=6,所以x+1=±,所以x=-1±.所以x 1=-1+,x2=-1-.(2)3(x-2)2=x(x-2),移项,得3(x-2)2-x(x-2)=0,(x-2)(3x-6-x)=0,x-2=0或2x-6=0,x1=2,x2=3.(3)2x2-2x-5=0,因为a=2,b=-2,c=-5,所以Δ=8-4×2×(-5)=48,所以x==,所以x1=,x2=.(4)(y+2)2=(3y-1)2,两边开平方,得y+2=±(3y-1),所以y+2=3y-1,或y+2=-(3y-1),y1=,y2=-.8.已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3,x2=-4,则二次三项式x2-px+q可分解为( A )(A)(x+3)(x-4) (B)(x-3)(x+4)(C)(x+3)(x+4) (D)(x-3)(x-4)9.(易错题)若实数x,y满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)=0,则x2+y2的值是1 .10.(阅读理解题)由多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+ (a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+ )(x+ );(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.解:(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4).(2)因为x2-3x-4=0,x2+(-4+1)x+(-4)×1=0,所以(x-4)(x+1)=0,则x+1=0或x-4=0,所以x1=-1,x2=4.*5 一元二次方程的根与系数的关系1.(2018贵港)已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是( B )(A)3 (B)1(C)-1 (D)-32.一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是( C )(A)x1=-1,x2=2 (B)x1=1,x2=-2(C)x1+x2=3 (D)x1x2=23.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两个实数根,且x1+x2=-2,x1x2=1,则b a的值是( A )(A)(B)-(C)4 (D)-14.(2018眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则+的值是( C )(A)(B)-(C)-(D)5.已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个解为-3,则它的另一个解是x=0 .6.设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则x1+x2=4 ,m= 3 .7.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3-,求方程的另一个根及m 的值.解:设方程的另一个根为t,根据题意得3-+t=-6,(3-)t=m,所以t=-9+,m=(3-)(-9+)=-29+12.8.(2018潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+=4m,则m的值是( A )(A)2 (B)-1 (C)2或-1 (D)不存在9.(2018江西)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x 1,x2,则-4x1+2x1x2的值为 2 .10.(条件探究题)已知:△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:k 取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?解:设边AB=a,AC=b.因为a,b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,所以a+b=2k+3,a·b=k2+3k+2.又因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=5,所以a2+b2=52,即(a+b)2-2ab=52,所以(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,所以k2+3k-10=0,所以k1=-5或k2=2.当k=-5时,方程为x2+7x+12=0,解得x1=-3,x2=-4.所以k=-5不合题意.当k=2时,方程为x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4.所以k=2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题与古代趣题1.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题:牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是( A )(A)x2+2x+1=100 (B)x2-2x+1=100(C)x2+2x-1=100 (D)x2-2x-1=1002.《李白饮酒》数谜诗——李白每天不离酒,三餐依次增一斗;三餐斗数两两乘,乘积相加一四六;要知酒仙量如何,求出每餐饮几斗?谜底:早餐饮( B )(A)5斗(B)6斗(C)7斗(D)8斗3.(2018抚宁县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间中,能使△PBQ的面积为15 cm2的是( B )(A)2 s (B)3 s (C)4 s (D)5 s4.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?经过计算,你的结论是:长比宽多( A )(A)12步(B)24步(C)36步(D)48步5.某市区南北走向的路与东西走向的路交于点O,甲在点O处,乙在甲的北边50 m处,甲以4 m/s的速度向东走,乙以3 m/s的速度向北走,则9 s时两个人相距85 m.6.(2018温州期中)准备在一块长为30 m,宽为24 m的长方形花圃内修建四条宽度相等,且与各边垂直的小路(如图所示),四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形,且边长是小路宽度的4倍,若四条小路所占面积为80 m2,则小路的宽度为 m.7.如图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以 2厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发.(1)经过几秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米?(2)在运动过程中,△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一?若能,求出运动的时间;若不能,说明理由.解:(1)设经过t秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米,所以PB=6-t,BQ=2t.所以S=(6-t)×2t=8,解得t1=2,t2=4.答:经过2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米.(2)不能.理由:根据题意得(6-t)×2t=×6×12,整理得t2-6t+18=0.因为Δ=(-6)2-4×1×18=-36<0,所以原方程无解,所以△PBQ的面积不能等于矩形ABCD的面积的四分之一.8.(综合应用题)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求AE的长(用x的代数式表示);(2)当y=108时,求x的值.解:(1)因为三块矩形区域的面积相等,所以矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍,所以AE=2BE.设BE=a m,则AE=2a m,AB=3a m,所以8a+2x=80.所以a=-x+10.所以AE=2a=-x+20.(2)根据题意,得3(-x+10)x=108.整理,得x2-40x+144=0.解这个方程,得x1=36,x2=4.所以,当y=108时,x的值为36或4.第2课时变化率与利润问题1.(2018安徽)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%,假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则( B )(A)b=(1+22.1%×2)a (B)b=(1+22.1%)2a(C)b=(1+22.1%)2ª(D)b=22.1%×2a2.(2018乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x 元,则有( B )(A)(180+x-20)(50-)=10 890(B)(x-20)(50-)=10 890(C)x(50-)-50×20=10 890(D)(180+x)(50-)-50×20=10 8903.(2018眉山)我市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方米4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( C )(A)8% (B)9% (C)10% (D)11%4.商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价( B )(A)100元(B)200元(C)300元(D)400元5.钢铁厂一月份生产钢铁560吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁1 850吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少?若设二、三月份平均每月的增长率为x,则可列出的方程是560+560(1+x)+560(1+x)2=1 850 .6.某服装店经销一种品牌服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元,经市场预测发现:在每件降价不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多销售5件,若该服装店要使该品牌服装每天的盈利为1 600元,则每件应降价 4 元.7.为发展当地经济,县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模,到2018年底产量达到169吨.(1)求该挂面这两年产量的平均增长率;(2)若按此速度继续扩大生产规模,请你计算到2019年底时,该挂面的产量将达到多少吨?每吨挂面可盈利6千元,则2019年仅挂面一项,能为当地赚多少钱?解:(1)设该挂面这两年产量的平均增长率为x,根据题意得100(1+x)2=169,解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意,舍去).答:该挂面这两年产量的平均增长率为30%.(2)169×(1+30%)=219.7(吨),219.7×6 000=1 318 200(元).答:到2019年底时,该挂面的产量将达到219.7吨,仅挂面一项能为当地赚1 318 200元钱.8.(2018盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元? 解:(1)平均每天销售数量为20+2×3=26(件).(2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.因为每件盈利不少于25元,所以x=20应舍去,所以x=10.答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.9.为防治雾霾,保护环境,某市掀起“爱绿护绿”热潮,经过两年时间,绿地面积增加了44%,则这两年绿地面积的平均增长率是( B )(A)10% (B)20% (C)22% (D)25%10.某商店进了一批服装,进货单价为50元,如果按每件60元出售,可销售800件,如果每提价1元,其销售量减少20件.现要获利12 000元,且销售成本不超过24 000元,问这种服装销售单价应确定为多少元适宜?这时应进多少件服装?解:设在60元基础上再提高x元,则有(10+x)(800-20x)=12 000,整理化简得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20,当x=10时,定价为70元,销售成本为50×(800-200)=30 000元>24 000元,不符合题意.当x=20时,定价为80元,销售成本为50×(800-400)=20 000元< 24 000元,符合题意,故定为80元适宜,此时应进服装400件.11.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品;(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?解:(1)(14-10)÷2+1=3(档次).此批次蛋糕属第三档次产品.(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据题意得[10+2(x-1)]×[76-4(x-1)]=1 080,整理得x2-16x+55=0, 解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).所以,该烘焙店生产的是第五档次的产品.12.(数形结合思想)某商店以20元/千克的单价新进一批商品,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系,如图所示.(1)求y与x的函数表达式;(2)要使销售利润达到800元,销售单价应定为每千克多少元?解:(1)当0<x<20时,y=60;当20≤x≤80时,设y与x的函数表达式为y=kx+b,把(20,60),(80,0)代入,可得解得所以y=-x+80,所以y与x的函数表达式为y=(2)若销售利润达到800元,则(x-20)(-x+80)=800,解得x1=40,x2=60, 所以要使销售利润达到800元,销售单价应定为每千克40元或60元.小专题集训二一元二次方程的解法类型一:直接开平方法1.已知关于x的方程ax2=b的两根为m-1和2m+7,则方程的两根为( B )(A)±2 (B)±3 (C)±4 (D)±72.一元二次方程(2x+1)2-4=0的解是x1=,x2=-.3.解下列方程:(1)2(2x-1)2-32=0;(2)4x2-12x+9=25.解:(1)移项,得2(2x-1)2=32,两边同除以2,得(2x-1)2=16,两边开平方,得2x-1=±4,所以x1=,x2=-.(2)原方程变形为(2x-3)2=25,两边开平方,得2x-3=±5,即2x=3±5,所以x1=4,x2=-1.类型二:配方法1.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,方框①中是嘉嘉作的,方框②中是琪琪作的,对于两人的做法,说法正确的是( A )①②(A)两人都正确(B)嘉嘉正确,琪琪不正确(C)嘉嘉不正确,琪琪正确(D)两人都不正确2.用配方法解一元二次方程x2+6x=1时,应该在等式两边都加上9 .3.用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x;(2)2y2-4y+1=0.解:(1)整理,得2x2-7x+3=0,方程两边都除以2,得x2-x+=0,移项,得x2-x=-,配方,得x2-x+()2=-+()2,即(x-)2=,两边开平方,得x-=±,所以x1=3,x2=.(2)方程两边都除以2,得y2-2y+=0,移项,得y2-2y=-,配方,得y2-2y+1=-+1,即(y-1)2=,两边开平方,得y-1=±,所以y1=,y2=.类型三:公式法1.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是( D )(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=2.方程x2-2x+3=0的解是x 1=x2=.3.用公式法解下列方程:(1)x2-9x+2=0;(2)(3x+2)(x+3)=x+14.解:(1)这里a=1,b=-9,c=2.因为b2-4ac=(-9)2-4×1×2=73>0,所以x=,即x1=,x2=.(2)将原方程化为一般形式,得3x2+10x-8=0.这里a=3,b=10,c=-8.因为b2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,所以x===,即x1=,x2=-4.类型四:因式分解法1.(2018泰山区期中)方程3x(x-1)=4(x-1)的根是( C )(A) (B)1(C)和1 (D)和-12.小华在解方程x2=7x时,只得出一个根x=7,则被他漏掉的一个根是x= 0 .3.用因式分解法解方程:(1)7x(3x-4)=9(4-3x);(2)4(x-1)2=9(3x+2)2.解:(1)原方程可变形为7x(3x-4)-9(4-3x)=0,7x(3x-4)+9(3x-4)=0,(3x-4)(7x+9)=0.3x-4=0,或7x+9=0.x1=,x2=-.(2)原方程可变形为4(x-1)2-9(3x+2)2=0,[2(x-1)]2-[3(3x+2)]2=0.[2(x-1)+3(3x+2)][2(x-1)-3(3x+2)]=0,(11x+4)(-7x-8)=0.11x+4=0,或-7x-8=0.x1=-,x2=-.。

北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。

第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程01基础题知识点1一元二次方程的概念1．下列方程中，关于x的一元二次方程是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B.2x2＋x＝2C．x2＋2x＝x2＋1 D．2＋x2＝02．若关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(C)A．任意实数B．m≠1C．m≠－1 D．m＞1知识点2一元二次方程的一般形式3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0.4知识点35．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝1806．(教材P32习题T1(2)变式)两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为x，则可列方程为x2＋(x ＋2)2＝100．易错点1确定各项时未化为一般形式而出错7．若一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x的一次项系数为－3，则m的值为1．易错点2忽视二次项系数不为0的条件而致错8．已知(m－2)x|m|＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是－2．02中档题9．若将关于x的一元二次方程3x2＋x－2＝ax(x－2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为(A)A．5 B．3C．－5 D．－310．(教材P31引例变式)为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程(B)A．90%×(2＋x)(1＋x)＝2×1B．90%×(2＋2x)(1＋2x)＝2×1C．90%×(2－2x)(1－2x)＝2×1D．(2＋2x)(1＋2x)＝2×1×90%11．【易错】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(a2－4)x＋a－8＝0没有一次项，则a的值为－2.12．已知关于x的方程为(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解：(1)k＝1，x＝1.(2)k≠±1，二次项系数为k2－1，一次项系数为k＋1，常数项为－2.第2课时一元二次方程的解的估算01基础题知识点1一元二次方程的解1．下列各数中，是方程x2＝4x－3的解的是(C)A．－1 B．0 C．1 D．22．(盐城中考)已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为(B)A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．【整体思想】若a 是方程2x 2－x －3＝0的一个解，则2a 2－a 的值为(A)A ．3B ．－3C ．9D ．－9 4．写出一个根为x ＝－1的一元二次方程，它可以是x 2－1＝0(答案不唯一)． 知识点2 估计一元二次方程的近似解 5．根据下表：确定方程x 2－3x －5＝0A ．－3＜x ＜－2或4＜x ＜5 B ．－2＜x ＜－1或5＜x ＜6 C ．－3＜x ＜－2或5＜x ＜6 D ．－2＜x ＜－1或4＜x ＜562x ＝－2或x ＝4．02 中档题7．(宁夏中考)若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是(A)A ．1B ．3－ 3C ．1＋ 3D ．2＋ 38．(本课时T3变式)若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的一个根为x ＝1，则2 019－a －b 的值是(D)A ．2 019B ．2 022C ．2 023D ．2 0249．(南充中考)若2n(n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为12．10(1)x 1＝2，x 2＝3；(2)根据上表可知方程x 2－4x ＋2＝0的根x 的值介于0与1、3与4之间．11．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x 2－■x －5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解为x ＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 解：设被覆盖的数是a ，将x ＝5代入原方程，得 3×52－5a －5＝0. 解得a ＝14.∴被覆盖的数是14.12．(教材P35习题T3变式)对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －12gt 2，其中h是离抛出点所在平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10 m/s 2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25 m/s 的初速度向上抛出，几秒钟后它在离抛出点20 m 高的地方？解：由题意，得25t －5t 2＝20，列表略，估算，当t ＝1 s 和t ＝4 s 时，物体在离抛出点20 m 高的地方．03 综合题13．【整体思想】已知关于m 的一元二次方程7nm 2－n 2m －2＝0的一个根为2，求n 2＋n －2的值． 解：把m ＝2代入方程，得47n －2n 2－2＝0.两边同时除以－2n ，得－27＋n ＋n －1＝0.即n ＋n －1＝27.两边平方，得n 2＋n －2＋2＝28.∴n 2＋n －2＝26.2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法解简单的一元二次方程01 基础题知识点1 直接开平方法 1．方程x 2－9＝0的解是(A)A ．x 1＝3，x 2＝－3B ．x ＝0C ．x 1＝x 2＝3D ．x 1＝x 2＝－32．若关于x 的方程x 2＝a 没有实数根，则实数a 的取值范围是a ＜0． 3．解方程： (1)3x 2＝243； 解：x 2＝81. x ＝±9.∴x 1＝9，x 2＝－9.(2)(x －3)2－9＝0； 解：(x －3)2＝9. x －3＝±3.∴x 1＝0，x 2＝6.(3)4(x －1)2＝25.解：(x －1)2＝254.x －1＝±52.∴x 1＝72，x 2＝－32.知识点2 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 4．用配方法解方程：x 2＋2x －1＝0. 解：移项，得x 2＋2x ＝1．配方，得x 2＋2x ＋1＝1＋1，即(x ＋1)2＝2． 两边开平方，得x ＋1＝即x ＋1＝＋1＝－所以x 1x 25．(临沂中考)一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为(B)A ．(y ＋12)2＝1B ．(y －12)2＝1C ．(y ＋12)2＝34D ．(y －12)2＝346．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝3.7．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可转化为x －3＝±7，则q ＝2. 8．解方程： (1)x 2＋4x ＝2；解：配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 即(x ＋2)2＝6.两边开平方，得x ＋2＝±6. ∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(2)x 2－2x －24＝0；解：移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 两边开平方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.(3)x 2＋3x －4＝0；解：移项，得x 2＋3x ＝4.配方，得x 2＋3x ＋(32)2＝4＋(32)2，即(x ＋32)2＝254.两边开平方，得x ＋32＝±52.∴x 1＝1，x 2＝－4.(4)x 2－6x －4＝0.解：移项，得x 2－6x ＝4. 配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9. 即(x －3)2＝13.两边开平方，得x －3＝±13. ∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.02 中档题9．下列方程一定有解的是(A)A ．(x ＋5)2＝a 2＋1B ．(x －3)2＋1＝0C ．(x ＋a)2＝bD ．(ax ＋3)2＋a 2＝010．若一元二次方程x 2－8x ＝48可表示成(x －a)2＝48＋b 的形式，则a ＋b 的值为(A)A ．20B ．12C ．－12D ．－2011．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为(B)输入x ―→（x －1）2―→×（－3）―→输出－27A ．3或－3B ．4或－2C ．1或3D ．2712．【整体思想】若(x 2＋y 2－5)2＝64，则x 2＋y 2等于(A)A ．13B ．13或－3C ．－3D ．以上都不对13．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为－5. 14．(益阳中考)规定：＝(a ＋b)b ，如：＝(2＋3)×3＝15.若＝3，则x ＝1或－3．15．若一元二次方程x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 的值为181. 16．解方程：(1)x 2－2x ＝2x ＋1；解：移项，得x 2－4x ＝1， 配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4， 即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝±5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(2)x 2－53x －23＝0；解：移项，得x 2－53x ＝23，配方，得x 2－53x ＋(56)2＝23＋(56)2，两边开平方，得x －56＝±76，∴x 1＝－13，x 2＝2.(3)x 2－22x －3＝0.解：配方，得x 2－22x ＋(2)2－(2)2－3＝0， 即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝5或x －2＝－5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称作二阶行列式，规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算，得5x －2＝8，x ＝2.按照这种运算的规定，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，求x 的值．解：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，∴x 2－4x ＝5. 配方，得x 2－4x ＋4＝5＋4， 即(x －2)2＝9.两边开平方，得x －2＝±3. ∴x 1＝－1，x 2＝5.03 综合题18．【关注数学文化】(舟山中考)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2，则该方程的一个正根是(B)A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长提示：将x 2＋ax ＝b 2配方，得(x ＋a 2)2＝(a2)2＋b 2，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得b 2＋(a 2)2＝(AD ＋a2)2.所以AD 的长即为方程的一个正根．第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程01 基础题知识点 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 1．下列对方程2x 2－7x －1＝0的变形，正确的是(B)A ．(x ＋74)2＝5716B ．(x －74)2＝5716C ．(x －74)2＝4116D ．(x ＋74)2＝41162．用配方法解方程： 2x 2－3x －2＝0.解：二次项系数化为1，移项，得x 2－32x ＝1．配方，得x 2－32x ＋916＝2516．方程两边同时开平方，得 x －34＝±54． ∴x 1＝2，x 2＝－12．3．用配方法解方程2x 2－x ＝4，配方后方程可化为(x －14)2＝3316．4．解方程：(1)3x 2＋6x －1＝0；解：x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.(2)4x 2－7x ＋2＝0.解：x 1＝78＋178，x 2＝78－178.02 中档题5．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x －12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是(C)A ．－x ，－34B ．－2x ，－12C ．－2x ，－32D ．x ，－326．多项式x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12的最小值是(B)A ．－2B ．－1C ．0D ．12 7．解方程： (1)23x 2＋13x －2＝0； 解：x 1＝32，x 2＝－2.(2)2x 2－22x ＋1＝0. 解：(2x －1)2＝0， 2x －1＝0，∴x 1＝x 2＝22.03 综合题8．已知代数式A ＝2m 2＋3m ＋7，代数式B ＝m 2＋5m ＋5，试比较A 与B 的大小． 解：A －B ＝2m 2＋3m ＋7－m 2－5m －5 ＝m 2－2m ＋2 ＝(m －1)2＋1.∵(m －1)2≥0，∴(m －1)2＋1>0. ∴A －B>0，即A>B.利用配方法求最值【方法指导】 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x ＋h)2＋k 的形式，当a ＜0，x ＝－h 时，该二次三项式有最大值k ；当a ＞0，x ＝－h 时，该二次三项式有最小值k. 当x ＝3时，代数式x 2－6x ＋10有最小(填“大”或“小”)值，是1．【变式1】 当x ＝2时，代数式2x 2＋8x －3有最小值(填“大”或“小”)，是－11．【变式2】 当x ＝－4时，代数式－12x 2－4x ＋7的最大值是15．3 用公式法求解一元二次方程第1课时 公式法01 基础题知识点1 一元二次方程的求根公式1．利用求根公式求方程3x 2＋4＝5x 的根时，将方程化为一般形式，得3x 2－5x ＋4＝0． 所以a ＝3，b ＝－5，又因为求根公式x 2a所以代入a ，b ，c 的值得x 知识点2 用公式法解一元二次方程 2．一元二次方程x 2－x －1＝0的根是(B)A ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52B ．x 1＝1＋52，x 2＝1－52C ．x 1＝1＋32，x 2＝1－32D ．没有实数根3．用公式法解方程x 2－4x ＋3＝0，其中b 2－4ac ＝4，x 1＝1，x 2＝3． 4．解方程：(1)x 2＋4x －1＝0；解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1， ∴b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20.∴x ＝－4±202×1.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)x 2－5x ＋3＝0；解：∵a ＝1，b ＝－5，c ＝3， ∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×3＝13.∴x ＝－（－5）±132×1.∴x 1＝5＋132，x 2＝5－132.(3)3x 2＋2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0. ∴原方程没有实数根．(4)2x 2－1＝3x.解：∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17.∴x ＝－（－3）±172×2.∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.知识点3 一元二次方程根的判别式5．(滨州中考)一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A)A ．4B ．2C ．0D ．－4 6．(河南中考)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(B)A ．x 2＋6x ＋9＝0B ．x 2＝xC ．x 2＋3＝2xD ．(x －1)2＋1＝07．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥18．(安徽中考)若关于x 的一元二次方程x(x ＋1)＋ax ＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为(A)A ．－1B ．1C ．－2或2D ．－3或19．(宁夏中考)关于x 的方程2x 2－3x ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是c<98．易错点 概念不清10．若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－1． 【变式】 (菏泽中考)关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是k ≤0且k ≠－1． 02 中档题11．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是(D)A ．a>0B ．a ＝0C ．c>0D ．c ＝012．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断13．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为(B)A ．6B ．5C ．4D ．314．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为x 1＝2，x 2＝215．用公式法解方程：(x －1)(1＋2x)＝2. 解：方程化为一般形式，得2x 2－x －3＝0. x ＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝32.16．已知关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0. (1)若方程有实数根，求k 的取值范围；(2)选取一个你喜欢的正整数值作为k 的值，使方程有实数根，并解方程． 解：(1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（－2）2－4×k ×（－1）≥0. 解得k ≥－1且k ≠0.(2)取k ＝3，此时原方程为3x 2－2x －1＝0，解得x 1＝－13，x 2＝1.(答案不唯一，k 取值为k ≥－1且k ≠0的正整数即可)．03 综合题17．【易错】等腰三角形的腰长和底边长是方程x 2－22x ＋1＝0的两根，则它的周长是根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值(范围)【方法指导】 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，注意对a 分类讨论． (1)当a ＝0，且b ≠0时，方程为一元一次方程，必有实数根；(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程没有实数根．已知关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>－14且m ≠0．【变式1】 若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为－14．【变式2】 若该一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是m ＜－14．【变式3】 若该一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是m ≥－14且m ≠0．【变式4】 若方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，则m 的取值范围是m ≥－14．第2课时 公式法的应用01 基础题知识点 公式法的应用1．从一块正方形木板上锯掉3 m 宽的长方形木条，剩下的面积是54 m 2，则原来这块木板的面积是(C)A ．9 m 2B ．64 m 2C ．81 m 2D ．121 m 22．如图，小明家有一块长1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为0.25m.3．(深圳中考)一个矩形周长为56 cm.(1)当矩形面积为180 cm 2时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200 cm 2的矩形吗？请说明理由．解：(1)设矩形的长为x cm ，则宽为(28－x)cm ，依题意，得 x(28－x)＝180.解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18. 则28－x ＝28－18＝10.答：长为18 cm ，宽为10 cm.(2)设矩形的长为x cm ，则宽为(28－x)cm ，依题意，得 x(28－x)＝200.化简，得x 2－28x ＋200＝0.∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200 cm 2的矩形．02 中档题4．【关注数学文化】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(A)A ．12步B ．24步C ．36步D ．48步5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 为20米．6．(教材P44随堂练习变式)(白银中考改编)如图，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植成草坪，使草坪的面积为570 m 2.求道路的宽．解：设道路的宽为x m ．根据题意，得 (32－2x)(20－x)＝570. 整理，得x 2－36x ＋35＝0.解得x 1＝1，x 2＝35(不合题意，舍去)． 答：道路的宽为1 m.7．在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．解：不符合．设小路的宽度均为x 米，则花园的长为(16－2x)米，宽为(12－2x)米，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12.解得x 1＝2，x 2＝12(舍去)．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米． 03 综合题8．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路的面积为80平方米，求小路的宽度．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意，得 (30＋4x ＋24＋4x)x ＝80.整理，得4x 2＋27x －40＝0，解得x 1＝－8(舍去)，x 2＝54.答：小路的宽度为54米．4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－22．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝03．(淮安中考)一元二次方程x 2－x ＝0的根是x 1＝0，x 2＝1．4．解方程：2x(x －1)＋x －1＝0.解：因式分解，得(x －1)·(2x ＋1)＝0.∴2x ＋1＝0或x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1． 5．利用因式分解法求解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；解：x(2x －3)＝0，∴x ＝0或2x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴2x ＋11＝0或2x －11＝0.∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法求解一元二次方程6．已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上．①2(x －1)2＝6; ②(x －2)2＋x 2＝4；③(x －2)(x －3)＝3; ④x 2－2x －1＝0；⑤x 2－5x ＋14＝0; ⑥x 2－2x －98＝0. (1)直接开平方法：①；(2)配方法：④⑥；(3)公式法：③⑤；(4)因式分解法：②．7．用适当的方法解方程：(1)9x 2－25＝0；解：(3x ＋5)(3x －5)＝0，∴3x ＋5＝0或3x －5＝0.∴x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2＝2x ；解：5x 2－2x ＝0，x(5x －2)＝0.∴5x －2＝0或x ＝0.∴x 1＝0，x 2＝25.(3)x 2－4x ＋1＝0.解：∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝2±3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.易错点1 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根8．解方程：(x ＋2)(x －3)＝x ＋2.解：将方程两边约去(x ＋2)，得x －3＝1.①所以x ＝4.②以上解答错在第①步，正确的答案是x 1＝__－2，x 2＝4．9．方程3x(x －2)＝x －2的解是x 1＝13，x 2＝2． 易错点2 用因式分解法解一元二次方程时，忽略了方程右边应该为010．解方程：(x －1)(x ＋3)＝12.解：x 2＋2x －15＝0.∴(x ＋5)(x －3)＝0.∴x 1＝－5，x 2＝3.02 中档题11．一元二次方程x(x －3)＋3－x ＝0的根是(C)A ．1B ．3C ．1和3D ．1和212．(安顺中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或913．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为(C)A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－114．若分式x 2＋5x ＋6x ＋2的值为0，则x 的值为－3． 15．【整体思想】若(2m ＋n)2＋2(2m ＋n)＋1＝0，则2m ＋n 的值是－1．16．解方程：(1)2x 2－22x －5＝0； 解：(2x －1)2＝6， 2x －1＝±6，x ＝1±62. ∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(2)2(t －1)2＋t ＝1；解：2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0.∴t 1＝1，t 2＝12.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0；解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13；解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0，(x ＋4)(x －2)＝0.∴x 1＝2，x 2＝－4.(5)2(x －3)2＝x 2－9.解：2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0，(x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0.∴x 1＝3，x 2＝9.17．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m.根据题意，得π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.运用十字相乘法分解因式解一元二次方程阅读下列材料： (1)将x 2＋2x －35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x 2＝x·x ，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：⇒7x ＋(－5)x ＝2x.③横向写出两因式：x 2＋2x －35＝(x ＋7)(x －5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x 2－10x ＋21＝0； ②x 2－5x －6＝0； ③3x 2－2x －1＝0； ④2x 2＋x －6＝0.解：x 1＝3，x 2＝7. 解：x 1＝－1，x 2＝6. 解：x 1＝1，x 2＝－13. 解：x 1＝－2，x 2＝32.小专题7 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程，用直接开平方法求解．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27.x 2＝9.x ＝±3.∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4.3x －1＝±2.∴x 1＝1，x 2＝－13.类型2 配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解．2．用配方法解下列方程：(1)－x 2＋2x －5＝0；解：x 2－2x ＝－5.x 2－2x ＋1＝－5＋1.(x －1)2＝－4<0.∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0. 解：x 2－24x ＋12＝0.(x －12)2＝132.x －12＝±233，∴x 1＝233＋12，x 2＝－233＋12.类型3 因式分解法能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解．3．用因式分解法解下列方程：(1)x(x －2)＋x －2＝0；解：(x －2)(x ＋1)＝0.∴x －2＝0或x ＋1＝0.∴x 1＝2，x 2＝－1.(2)3(x －5)2＝x(x －5)；解：3(x －5)2－x(x －5)＝0，(x －5)(2x －15)＝0，∴x －5＝0或2x －15＝0.∴x 1＝5，x 2＝152.(3)5(x －3)2＝x 2－9.解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92.类型4 公式法当方程没有明显特征时，运用公式法求解．4．用公式法解下列方程：(1)4x 2－3x ＋1＝0；解：∵a ＝4，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×4×1＝－7<0.∴原方程无解．(2)4x 2－36x ＋3＝0；解：∵a ＝4，b ＝－36，c ＝3，∴b 2－4ac ＝(－36)2－4×4×3＝6.∴x ＝36±68.∴x 1＝62，x 2＝64.(3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)．解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0.∵a ＝1，b ＝－9，c ＝2，∴b 2－4ac ＝81－4×1×2＝73＞0.∴x ＝9±732. ∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.类型5 选择合适的方法解一元二次方程5．用适当的方法解下列方程：(1)x 2－4x －6＝0；解：由原方程，得x 2－4x ＝6.配方，得x 2－4x ＋4＝6＋4，即(x －2)2＝10.直接开平方，得x －2＝±10.∴x 1＝2＋10，x 2＝2－10.(2)x 2－5x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－5，c ＝2，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×2＝17.∴x ＝5±172. ∴x 1＝5＋172，x 2＝5－172.(3)y(y －8)＝－16；解：去括号，得y 2－8y ＝－16.移项，得y 2－8y ＋16＝0.配方，得(y －4)2＝0.∴y 1＝y 2＝4.(4)－3x ＋12x 2＝－2；解：原方程可化为x 2－6x ＝－4，配方，得x 2－6x ＋9＝－4＋9，即(x －3)2＝5.(5)4(x ＋1)2＝9(x －2)2；解：4(x ＋1)2－9(x －2)2＝0.[2(x ＋1)＋3(x －2)][2(x ＋1)－3(x －2)]＝0.∴(5x －4)(－x ＋8)＝0.∴x 1＝45，x 2＝8.(6)(2x －1)(x ＋1)＝(3x ＋1)(x ＋1)．解：(x ＋1)(2x －1－3x －1)＝0，(x ＋1)(－x －2)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝－2.类型6 换元法6．【注重阅读理解】(教材P57复习题T12变式)阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝±5，故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－10＝0，试求a 2＋b 2的值．解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4. ①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172. (3)设x ＝a 2＋b 2，则x 2－3x －10＝0.整理，得(x －5)(x ＋2)＝0.解得x 1＝5，x 2＝－2(舍去)．故a 2＋b 2＝5.*5 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－32．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．(1)x 2＋4x ＝0；解：Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×0＝16＞0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝0.(2)2x 2－3x ＝5；解：原方程可化为2x 2－3x －5＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－52.(3)2x 2＋3＝7x 2＋x.解：原方程可化为5x 2＋x －3＝0，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×5×(－3)＝61>0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝－35.知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值3．(贵港中考)已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(B)A ．3B ．1C ．－1D ．－34．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4.5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值(范围)6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(遵义中考)已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为(A)A ．4B ．－4C ．3D ．－38．关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是m ＞12． 9．(教材P51习题T3变式)已知方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m 的值是－4．易错点 用根与系数的关系时忽视隐含条件“Δ≥0”10．已知关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，则a 的值为－1．【变式】 若关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是－1．02 中档题11．已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是(A)A ．x 2－11x ＋30＝0B ．x 2＋11x ＋30＝0C ．x 2＋11x －30＝0D ．x 2－11x －30＝012．若一元二次方程x 2－7x ＋5＝0的两个实数根分别是a ，b ，则一次函数y ＝abx ＋a ＋b 的图象一定不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．(眉山中考)若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，则βα＋αβ的值是(C) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.582714．甲、乙两位同学解方程x 2＋px ＋q ＝0时，甲看错了一次项系数，解得根为4和－9；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为x 2－5x －36＝0．15．(巴中中考)对于任意实数a ，b ，定义：a ◆b ＝a 2＋ab ＋b 2.若方程(x ◆2)－5＝0的两根记为m ，n ，则m 2＋n 2＝6．16．(孝感中考)已知关于x 的一元二次方程(x －3)(x －2)＝p(p ＋1)．(1)求证：无论p 取何值此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，求p 的值．解：(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0，∴无论p 取何值此方程总有两个实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 21＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1.∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1.∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1.∴3p ＝－6.∴p ＝－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m ＋9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34，∴m ＝－1. ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.运用数学思想求代数式的值数学思想1 整体思想1．如果关于x 的一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两根分别为α，β，那么α2＋4α＋β＝4．2．(内江中考)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为1．3．已知α，β是方程x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值为4．数学思想2 转化思想4．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2． 提示：分类讨论小专题8 一元二次方程根的判别式的应用类型1 证明一元二次方程根的情况1．求证：关于x 的方程(m 2＋1)x 2－2mx ＋(m 2＋4)＝0没有实数根．解：∵Δ＝4m 2－4×(m 2＋1)(m 2＋4)＝4m 2－4m 4－20m 2－16＝－4m 4－16m 2－16＝－4(m 2＋2)2＜0，∴方程(m 2＋1)x 2－2mx ＋(m 2＋4)＝0没有实数根．2．已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －1)x －3(m ＋3)＝0.(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)请选取一个合适m 的负整数，求此时方程的两个根．解：(1)证明：Δ＝[－(m －1)]2－4×1×[－3(m ＋3)]＝m 2＋10m ＋37＝(m ＋5)2＋12.∵(m ＋5)2≥0，∴(m ＋5)2＋12＞0，即Δ＞0.∴无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)本题答案不唯一，如：当m ＝－3时，原方程为x 2＋4x ＝0，即x(x ＋4)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4.3．已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0.(1)求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(k ＋2)]2－4×2k ＝(k －2)2.∵(k －2)2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根．(2)由x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0，得(x －2)(x －k)＝0.∴此方程的两根为x 1＝k ，x 2＝2.若x 1≠x 2，则x 1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12；若x 1＝x 2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不符合三角形的三边关系，故舍去；∴这个等腰三角形的周长为12.类型2 根的判别式及根与系数的关系的综合4．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m ，使1x 1＋1x 2＝0成立？下列结论正确的是(A)A ．m ＝0时成立B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在5．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．6．(孝感中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.∴m 的取值范围为m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m＋4.∴m＝4；当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④，联立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴m的值为4.7．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题类型1利用一元二次方程解决几何图形问题1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)A．x(x－10)＝900B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9002．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(B)A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝63．已知直角三角形两条直角边的长度之和为7，面积为6，则斜边长为(B)A.37 B．5C．25 D．74．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．(1)请找出上述问题中的等量关系：原矩形面积－小路面积＝草坪面积；(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为(x－2)(2x－2)＝312，方程的解为x＝14或x＝－11(舍去)，原来大矩形空地的长和宽分别为28__m，14__m.5．如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为2m2.6．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x的值．解：由题意，得(x ＋1)2﹣1＝24. 整理，得(x ＋1)2＝25.解得x ＝4或x ＝﹣6(不合题意，舍去)． ∴x 的值是4.7．(教材P57复习题T8变式)如图，有一块长方形铁皮，长40 cm ，宽30 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的小正方形的边长为x cm.依题意，得 (40－2x)(30－2x)＝600. 解得x 1＝5，x 2＝30.当x ＝30时，30－2x ＜0，∴x ＝30不合题意，应舍去．∴x ＝5.答：铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．8．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米． (1)当a 为10时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果能，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40.解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．类型2 利用一元二次方程解决动态几何问题9．如图，AB ⊥CB ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，一只螳螂从A 点出发，以2 cm/s 的速度向B 爬行，与此同时，一只蝉从C 点出发，以1 cm/s 的速度向B 爬行，当螳螂和蝉爬行x s 后，它们分别到达了点M ，N 的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm 2，根据题意可得方程(D)A ．2x·x ＝24B ．(10－2x)(8－x)＝24C ．(10－x)(8－2x)＝24D ．(10－2x)(8－x)＝4810．(教材P52例1变式)如图，某海关缉私艇在点O 处发现在正北方向相距45海里的点A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B 处将其拦截，试问需要多长时间？解：设需要x 小时，根据题意，得 (60x)2＋452＝(75x)2，解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)． 答：需要1小时．11．如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4 m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s 的速度由南向北走，当乙走到点O 以北50 m 处时，甲恰好到点O 处，若两人继续向前行走，求两人相距85 m 时各自的位置．解：设两人继续向前行走x s 时相距85 m ．根据题意，得(50＋3x)2＋(4x)2＝852. 解得x 1＝9，x 2＝－21(舍去)． 则50＋3x ＝77，4x ＝36.答：两人相距85 m 时，甲走到点O 以东36 m 处，乙走到点O 以北77米处．12．(教材P53习题T2变式)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 方向以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 的面积的14，求t 的值；(2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 的面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64.∵△PCQ 的面积是△ABC 的面积的14，∴12×2t(16－4t)＝64×14，整理，得 t 2－4t ＋4＝0.解得t ＝2. ∴t 的值为2.(2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12，整理得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0， ∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等．第2课时 利用一元二次方程解决营销问题类型1 营销利润问题(此消彼长问题)1．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 880。

2.1 认识一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．B．x（x﹣1）=y2C．2x3﹣x2=2 D．（x﹣3）（x+4）=92．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠03．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，94．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．.3x2﹣4x+2=0 B．.3x2﹣4x﹣2=0 C．.3x2+4x+2=0 D．.3x2+4x﹣2=05．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为﹣1，则（）A．a+b+c=0 B．a﹣b+c=0 C．﹣a﹣b+c=0 D．﹣a+b+c=06．若0是一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0的一个根，则m取值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．以上都不是7．若方程x2+ax﹣2a=0的一个根是1，则a的取值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣28．下列说法不正确的是（）A．方程x2=x有一根为0B．方程x2﹣1=0的两根互为相反数C．方程（x﹣1）2﹣1=0的两根互为相反数D．方程x2﹣x+2=0无实数根9．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．310．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项是0，则m的值（）A．1 B．1或2 C．2 D．±1二．填空题（共5小题）11．将方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式为．12．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．14．若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为．15．若a是方程x2﹣x﹣2017=0的根，则代数式a+（1﹣a）2= ．三．解答题（共5小题）16．把下列方程化为一元二次方程的一般形式．（1）（1﹣2x）（x﹣1）=0；（2）2（x﹣l）+6x﹣7=2x2．17．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）x2+3x+2=0；（2）x2﹣3x+4=0；（3）3x2﹣5=0；（4）4x2+3x﹣2=0；（5）6x2﹣x=0．18．当k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+（k﹣1）x+1=0是一元二次方程？19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，且a，b满足b=++3，求c．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．D．2．A．3．C．4．A．5．B．6．B．7．A．8．C．9．C．10．C．二．填空题（共5小题）11．3x2﹣5x﹣2=0．12．3、2、﹣13．13．﹣2．14．﹣315．2018．三．解答题（共5小题）16．（1）方程整理得：﹣2x2+3x﹣1=0；（2）方程整理得：2x2﹣8x+9=0．17．（1）二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为2；（2）二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为4；（3）二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为﹣5；（4）二次项系数为4，一次项系数为4，常数项为﹣2；（5）二次项系数为6，一次项为﹣1，常数项为0．18．由题意得：k2﹣1≠0，解得：k≠±1，故当k≠±1时，关于x的方程（k2﹣1）x2+（k﹣1）x+1=0是一元二次方程．19．将x=1代入方程ax2+bx+c=0，得：a+b+c=0；又∵a、b满足等式b=++3，∴a﹣3≥0，3﹣a≥0；∴a=3，∴b=3；则c=﹣a﹣b=﹣6．20．△ABC为等腰三角形．理由如下：把x=﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。

认识一元二次方程学校姓名：班级：一．选择题（共小题）．下列方程属于一元二次方程的是（）．．（﹣）．﹣．（﹣）（）．若关于的方程（﹣）﹣是一元二次方程，则的取值范围是（）．≠．．≥．≠．方程﹣的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）．，，．，﹣，．，﹣，﹣．﹣，，．将一元二次方程﹣﹣﹣化成一般形式为（）．﹣．﹣﹣．．﹣．若一元二次方程的一个根为﹣，则（）．．﹣．﹣﹣．﹣．若是一元二次方程（﹣）﹣的一个根，则取值为（）．．﹣．±．以上都不是．若方程﹣的一个根是，则的取值是（）．．﹣．．﹣．下列说法不正确的是（）．方程有一根为．方程﹣的两根互为相反数．方程（﹣）﹣的两根互为相反数．方程﹣无实数根．关于的一元二次方程﹣的一个根是，则的值为（）．﹣．．或﹣．．关于的一元二次方程（﹣）﹣的常数项是，则的值（）．．或．．±二．填空题（共小题）．将方程化为一元二次方程的一般形式为．．一元二次方程（）（﹣）的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．．若关于的一元二次方程有一个根是，则．．若关于的方程的一个根是，则的值为．．若是方程﹣﹣的根，则代数式（﹣）．三．解答题（共小题）．把下列方程化为一元二次方程的一般形式．（）（﹣）（﹣）；（）（﹣）﹣．．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．（）；（）﹣；（）﹣；（）﹣；（）﹣．．当取何值时，关于的方程（﹣）（﹣）是一元二次方程？．若关于的一元二次方程的一个根是，且，满足，求．．已知关于的一元二次方程（）（﹣），其中、、分别为△三边的长．如果﹣是方程的根，试判断△的形状，并说明理由．参考答案一．选择题（共小题）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二．填空题（共小题）．﹣﹣．．、、﹣．．﹣．．﹣．．三．解答题（共小题）．（）方程整理得：﹣﹣；（）方程整理得：﹣．．（）二次项系数为，一次项系数为，常数项为；（）二次项系数为，一次项系数为﹣，常数项为；（）二次项系数为，一次项系数为，常数项为﹣；（）二次项系数为，一次项系数为，常数项为﹣；（）二次项系数为，一次项为﹣，常数项为．．由题意得：﹣≠，解得：≠±，故当≠±时，关于的方程（﹣）（﹣）是一元二次方程．．将代入方程，得：；又∵、满足等式，∴﹣≥，﹣≥；∴，∴；则﹣﹣﹣．．△为等腰三角形．理由如下：把﹣代入方程得﹣﹣，则，所以△为等腰三角形．。

教学资料参考范本撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________知识点 1 一元二次方程的概念1．2017·遵义期末下列方程是一元二次方程的是( )A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0D．(x－1)2＋1＝02．2017·贵阳期末若关于x的方程(m－2)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是________．知识点 2 一元二次方程的一般形式3．一元二次方程3x2－2x－5＝0的二次项系数和一次项系数分别为( )A．－5和2 B．3和－2C．3和2 D．3和－54．2017·贵阳期末一元二次方程3x(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为__________．知识点 3 列一元二次方程5．2017·兰州王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图2－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )图2－1－1A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30006．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何．”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步．”如果设矩形田地的长为x步，可列方程为______________．7．已知关于x的一元二次方程2bx2－(a＋1)x＝x(x－1)的二次项系数为1，一次项系数为－1，求a＋b的值．8．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．。