初中数学一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

知识框图求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么说明：（1）定理成立的条件 （2）注意公式重的负号与b 的符号的区别根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2) (3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，， ，，等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________20(0)ax bx c a ++=≠12,x x 1212,b cx x x x a a +=-=0∆≥12bx x a +=-12,x x 2220070xx +-=2212x x +1211x x +12(5)(5)x x --12||x x -12122,2007x x x x +=-=-2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=121212112220072007x x x x x x +-+===-121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=22121212()()4x x x x x x -=+-2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程.解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

知识框图求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.如果方程有两个实数根12,x x .那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根.试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4)12||x x -．解：由题意.根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值.要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-.12121211x x x x x x ++=.22121212()()4x x x x x x -=+-. 12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+.33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1.x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根.则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1.x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根.则x 1＋x 2＝ .x 1·x 2＝ .（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212.则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3.则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根.且这两个根互为倒数.那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根.求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根.利用根与系数的关系.求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0(2)若关于x 的一元二次方程12x2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m(m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x2＋x －1＝0的两个实数根，则m2＋2m ＋n 的值为 0 . 例4(1)已知α，β是方程x2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m>－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程⎪⎪⎪⎪x2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax －4＝0，① x2＋ax ＋4＝0. ② ∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x2－(m ＋5)⎪⎪⎪⎪x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值例9已知m2－2m －1＝0，n2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m2＋2 018m ＋9＝0，9n2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B )A.59B.95C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x2－2x ＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )A ．0≤m ≤1B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是 112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x1和x2，则x1＋x2＝－k ＋1k ＝－1－1k，① x1·x2＝k －1k ＝1－1k.② 由①－②，得x1＋x2－x1·x2＝－2，整理，得(x1－1)(x2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x1－1)(x2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x1－1＝1，x2－1＝3或x1－1＝－1，x2－1＝－3.故x1＋x2＝6或x1＋x2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k(k －1)＝－3k2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若1x1＋1x2＝4m ，则m 的值为( A ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．不存在2．已知关于x 的方程x2－(a2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a的值是( B )A．5 B．－3 C．5或－3 D．13．已知四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2012－c2012)(a2012－d2012)＝2 012，(b2012－c2012)(b2012－d2012)＝2 012，则(ab)2012－(cd)2012的值为( A )A．－2 012 B．－2 011 C．2 012 D．2 0114．若实数a，b满足12a－ab＋b2＋2＝0，则实数a的取值范围是( C ) A．a≤－2 B．a≥4 C．a≤－2或a≥4 D．－2≤a≤45．已知关于x的方程x2＋(k－2)x＋5－k＝0有两个大于2的实数根，则k的取值范围是( A )A．－5＜k≤－4 B．k>－5 C．k≤－4 D．－4≤k＜－26．关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝4，则x21－x1x2＋x22的值为4 ．7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝2026 .8．设a，b是一元二次方程x2－x－1＝0的两个根，则3a3＋4b＋2a2的值为11 ．9．若方程⎪⎪⎪⎪x2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a>254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝7，求下列代数式的值：(1)(x1－x2)2. (2)x2x1＋2＋x1x2. 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝m ，x1·x2＝2m －1.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2×(2m －1)＝7，∴m2－4m －5＝0.∴m1＝5，m2＝－1.当m1＝5时，Δ＝m2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)； 当m2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－3.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝13，x2x1＋2＋x1x2＝(x1＋x2)2x1·x2＝－13.12．已知方程x2＋px ＋q ＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p ，x1x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a2－15a －5＝0，b2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值． 解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a2＋b2ab ＝(a ＋b)2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x2＋cx ＋16c＝0的两个实数根，∴Δ＝c2－4×16c≥0，c3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x 的方程x3－3x2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k2≥0，得k ≤14， 即分式x(x ＋1)2的最大值为14.。

根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=， 则有122222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩ 因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-． （1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174． ∴a 的取值范围是a ＜4．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝03．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4)12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．课后作业1、复习指南：28-29页2、导学精练：15-16页。

虚系数一元二次方程满足韦达定理韦达定理是数学中一个重要的定理，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。

在本文中，我们将探讨虚系数一元二次方程满足韦达定理的相关内容。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

韦达定理告诉我们，对于这样的一元二次方程，它的两个根x1和x2满足以下关系：x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。

然而，在某些情况下，我们会遇到虚系数的一元二次方程，即方程中的系数为复数。

虚系数一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为复数，且a ≠ 0。

对于这样的方程，韦达定理同样成立。

虚系数一元二次方程与实系数一元二次方程的解法基本相同。

我们可以使用求根公式来求解方程的解。

求根公式是这样的：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

在虚系数一元二次方程中，如果判别式D = b^2 - 4ac小于0，那么方程的解就是两个虚数。

举个例子来说明。

假设我们有一个虚系数一元二次方程2x^2 + (3+2i)x + (4-5i) = 0。

根据韦达定理，我们知道x1 + x2 = -b/a，即x1 + x2 = -(3+2i)/2。

同时，根据求根公式，我们可以计算出判别式D = (3+2i)^2 - 4*2*(4-5i)。

如果D小于0，我们就可以得出方程的解为两个虚数。

虚系数一元二次方程的求解与实系数一元二次方程的求解没有本质区别。

无论是实数还是复数，方程的解都可以通过韦达定理和求根公式得到。

因此，我们可以说韦达定理适用于任何类型的一元二次方程，包括虚系数一元二次方程。

虚系数一元二次方程在实际应用中也有一定的意义。

例如，在电路分析中，我们经常会遇到复数阻抗和复数电流等概念。

虚系数一元二次方程可以帮助我们解决这些问题，从而更好地理解和分析电路的行为。

总结起来，虚系数一元二次方程满足韦达定理，其解法与实系数一元二次方程的解法基本相同。

一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。

因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。

一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。

这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。

二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。

2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。

3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。

4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。

5. ＋=。

6.＋＝=－2。

三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。

那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。

下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。

关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。

例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。

例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。

2.关于两根的非对称式的求值。

对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。

（1）运用根的定义降次，化为对称式。

例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

知识框图求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 3)当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，1)方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； 2)方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； 3)方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；2)若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为0≠a ，0≥∆.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥12()()x kx k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x xx x x x x x x x x ++-+==； ⑨12x x -==；⑩122|||||x x x +==2|x =．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当0≥∆且120x x >时，两根同号．当0≥∆△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当0≥∆且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当0>∆且021<x x 时，两根异号．当0>∆且021<x x ，021>+x x 时，两根异号且正根的绝对值较大； 当0>∆且021<x x ，021<+x x 时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；2)若有理系数一元二次方程有一根b a +，则必有一根b a -(a ，b 为有理数)．【典型例题——基础题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 04322=-+x x (2))0(02≠=+a bx ax 【答案与解析】 (1)04322=-+x x2=a ，3=b ，4-=c ，∵041)4(243422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ∴方程有两个不相等的实数根.(2))0(02≠=+a bx ax∵0≠a ， ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程， 将常数项视为零， ∵2204b a b =⋅⋅-=∆，∵无论b 取任何关数，2b 均为非负数， ∴0≥∆，故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：0122=++-a ax x . 【答案】∵0)1(14)(22<+⨯⨯--=∆a a ，∴该无实根.2．关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】2<k 且1≠k ；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根， ∴01≠-k 且0)1(4)2(2>---=∆k ， 解得：2<k 且1≠k ． 故答案为：2<k 且1≠k ．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根.【答案】∵012)5(3710)]3(3[4)]1([222>++=++=+----=∆m m m m m ， ∴关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将2=x 代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，7-=k ．方法二：将2=x 代入方程，得062252=-+⨯k ，从而7-=k ．设另外一根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为7-．【总结升华】由一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程022=+-c x x 的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】由一元二次方程根与系数的关系易另一根为1-；c 的值为3-．4．已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-m mx ． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案与解析】解：(1)0)2(448)2(222≥-=+-=-+=∆m m m m m ∴方程总有实数根； (2)解方程得，mm m x 2)2(22,1-±+=，mx 21=，12=x ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴1=m 或2，2=m 不合题意， ∴1=m ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．【典型例题——提高题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.已知关于x 的方程0222=-++a x x ．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】(1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式042>-=∆ac b ．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．(2)设方程的另一根为1x ，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：(1)∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ．∴a 的取值范围是3<a ；(2)设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=⋅-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ， 则a 的值是1-，该方程的另一根为3-．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系． 举一反三：【变式】若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是( )A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3 【答案】A.【解析】根据题意得：01216≥-=∆k ，且0≠k ，解得：34≤k ，且0≠k . 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且1≠m . 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且1≠m ．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，1≠m ． 举一反三：【变式】已知：关于x 的方程04)1(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】021≠->k k 且.【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以044)1(2>⋅⋅-+=∆k k k ，解得21->k ，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即0≠k ，∴k 的取值范围是021≠->k k 且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设1x 、2x 是方程22610x x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得1262x x +=，1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知126x x +=1212x x =-，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-26135212222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)22121212()()4x x x x x x -=+-26137422222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a cx x =21.举一反三：【变式】不解方程，求方程01322=-+x x 的两个根的(1)平方和；(2)倒数和． 【答案】(1)134； (2)3． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知2321-=+x x ，2121-=⋅x x ，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-413)21(2)23(2=-⨯--=． (2)3212311212121=--=+=+x x xx x x ．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为1x 、2x ，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为1y 、2y ， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【巩固练习】A 组一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．0122=++x xB ．02132-=+x x C ．011.02=--x x D ．230x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是( )A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程022)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．1-B ．0 C. 1 D. 24．关于方程0322-++x x 的两根21x x 、的说法正确的是( )A. 221=+x xB.321-=+x xC. 221-=+x xD.无实数根 5．关于x 的一元二次方程042=++k x x 有实数解，则k 的取值范围是( )A.4≥kB.4≤kC.4>kD.4=k6．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为( )． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 二、填空题7．关于x 的方程03242=--x kx 有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．已知01232=--x x 的二根为21x x 、，则=+21x x ______，=⋅21x x ______，1211x x +=•_______，•=+2221x x _______，=-21x x ________． 9．若方程0322=--x x 的两根是21x x 、，则代数式21222122x x x x --+的值是 。

1
一元二次方程根与系数关系
知识定位
设一元二次方程有二实数根，则，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。

而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。

知识梳理
知识梳理1：求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

知识梳理2：构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

知识梳理3：证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式
知识梳理4：研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。

关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
1。

一元二次方程性质1、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,那么acx x a b x x =∙-=+2121,注：（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。

（2）注意a、b、c 的符号是什么。

（3）利用公式acx x a b x x =∙-=+2121,解题时，注意符号问题，不要丢符号。

2、根的判别式.运用配方法解一元二次方程过程中得到：（）²=.显然，只有当时，才能直接开平方得：=也就是说，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)只有当系数a，b，c 满足条件，△=时，才有实数根。

这里的叫做一元二次方程根的_______。

一元二次方程的根的判别式有三种情况：当△=时，方程有___________的实数根.当△=方程有__________的实数根.当△=时，方程_________实数根.3、根的判别式的应用.(1)运用判别式，判定方程实数根的个数.(2)运用判别式，建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围.(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题及最值问题.【解题思想】1．转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．2．从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．3．分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．注意：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以○1不解方程判定方程根的情况；○2根据参系数的性质确定根的范围；○3解与根有关的证明题．4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1、韦达定理如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,那么acx x a b x x =∙-=+2121,注：（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。