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余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．模块一、带余除法的估算问题例题精讲知识点拨教学目标5-5-2.带余除法（二）【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】由48412÷=÷=，48412÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，4859.6知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数13(61)91为78583+=．【答案】83【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 5】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该25815数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a，则181=-，即a m18(1)17=-+（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．a m【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
五年级数学知识点带余数的除法讲解如何把小学各门基础学科学好大致是专门多学生都发愁的问题，查字典数学网为大伙儿提供了带余数的除法讲解，期望同学们多多积存，不断进步!前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163= 51，即16=53+1.现在，被除数除以除数显现了余数，我们称之为带余数的除法。
一样地，假如a是整数，b是整数(b0)，那么一定有另外两个整数q和r，0r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b 的不完全商(亦简称为商).用带余除式又能够表示为ab=qr，0r例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求那个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。
∵210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.因此除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少?解：∵被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，(除数40+16)+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几?解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=74+3，依照题意可知：有5天的星期数必定是星期四、星期五和星期六。
这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(翌日)，15日(第三天)，)的第1993天是星期几?解：每周有7天，19937=284(周)5(天)，从星期日往回数5天是星期二，因此第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
五年级奥数第讲尾数和余数Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】第2讲尾数和余数一、知识要点自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？（2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？练习1：（1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？（2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？（3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？练习2：（1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7)（2002个7相乘）的尾数是几？（2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？练习3：当商是整数时，余数各是几？（1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7（3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
知识点拨教学目标带余除法这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲除法公式的应用【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980。
余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数必然要比除数小。
2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。
比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。
比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。
比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。
中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。
整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。
2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。
事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。
3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。
如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。
4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。
5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。
一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。
一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。
6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。
7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。
第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
第讲余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商。
(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
(2)当0例1、用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．例2、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．练习：1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这两个自然数各是多少？4、三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
5、一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．6、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?7、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．二、三大余数定理：1.余数的加法定理（1）a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.（2）当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
余数性质（一）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
第二讲 同余初步（1）本讲概述同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.同余的定义：设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余.（用≡符号上面加一个斜线来表示，类似不等符号）.显然，(mod ),)|()a b m a km b k Z m a b ≡⇔=+∈⇔-（； 同余的性质非常之多，以下仅列举最常用的一些，（1）自反性：a ≡a(mod m)(a 为任意自然数)（2）对称性：若a ≡b(mod m)，则b ≡a(mod m)（3）传递性：若a ≡b(mod m), b ≡c(mod m)，则a ≡c(mod m)（4）可加减性：若a ≡b(mod m), c ≡d(mod m)，则a ±c ≡b ±d(mod m)（5）可乘性：若a ≡b(mod m), c ≡d(mod m)，则ac=bd(mod m)（6）可乘方性：若a ≡b(mod m), n ∈N+，则an=bn(mod m)注意：一般地同余没有“可除性”，但是（7）如果：ac ≡bc(mod m)且(c, m)=1，则a ≡b(mod m) 如果ac ≡bc(mod m), (c, m)=d ，则a ≡b(mod d m)（8）如果a ≡b(mod m), a ≡b(mod n)且[m, n]=k ，则a ≡b(mod k)（[m, n]表示m, n 的最小公倍数）（9）设p ∈N+, p ≥2，则任何一个p 进制自然数与其数码和(p 进制下各数码之和)对模p-1同余；特别地，p=10时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模9同余.利用“弃九法”可以方便地解决很多与数字和相关的问题.另外，利用同余与各种乘法公式以及二项式定理展开式相结合往往威力更大，但我们这里暂时不涉及.剩余类，完全剩余系（简称完系）和缩系我们可以将所有的整数按模m 分类．例如：按模2分类，可将所有整数分成两类，模2余1的分成一类，即奇数；模2余0的一类，即偶数．按模3分类，可分成3k,3k+1,3k-1三种类型；等等.剩余类的定义：设m 为一给定的正整数，则全体整数可以分为m 个集合K0，K1，…，Km-1，这里Kr={x |x ∈Z, x ≡r(mod m)}, r=0, 1, …, m-1．我们称K0，K1，…，Km-1为模m 的剩余类．在模m 的m 个剩余类中分别取一个数，共取出m 个，我们把这m 个数成为模m 的一组完全剩余系,简称完系.例如：0,1,2，…,m-1就是一组完系，显然，它们两两对模m 不同余.性质1．每个整数在且仅在模m 的一个剩余类中．性质2．若a0, a1, …，am-1是模m 的一个完系，而(a, m)=1, b ∈Z ，则aa0+b, aa1+b, …, aam-1+b 也是模m 的一个完系．欧拉函数的定义：对每个整数m ，以表示0,1,,m-1当中与m 互素的整数个数，即为欧拉函数。
余数知识点精讲一、 利用数的整除特征求余数2,5；4,25； 8,125；3,9；注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a ，何时是（11—a ）；利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。
二、 替换求余法：（1） 和的余数等于余数的和，再除以除数的余数：两个数的和除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相加后，再除以除数的余数；17532÷=， 28553÷=两个余数的和为：235+= ，5510÷=两个数的和为：172845+=，45590÷=（2） 差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数；28553÷=，17532÷=两个余数的差为：321-=，1501÷=；两个数的差为：281711-=，11521÷=。
（3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。
28553÷=，17532÷=两个余数的积为：326⨯=，6511÷=；两个数的积为：2817476⨯=，4765951÷=。
三、 余数的周期性变化：连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。
四、 中国剩余定理。
A 、一个数分别除以两个数余数相同，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数（余同）例题：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?B 、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除（缺同）例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。
