试论一题多解巧解圆锥曲线的离心率

圆锥曲线离心率问题浅析
圆锥曲线离心率一直是广大学子们在学术研究中的热门话题，离心率是衡量曲线数学模型的核心指标之一。

圆锥曲线离心率指的是圆锥曲线与它的定位轴之间的离心半径除以定位轴长度的比值，以及一个虚拟圆锥曲线所具有的离心率作为特征。

圆锥曲线的离心率可以通过三个量来表示，即端点的坐标、离心率的有限值以及定位轴的长度，而其中有限值的大小就决定了离心率的大小。

因此，要获得较高的圆锥曲线离心率，就需要选取有限值较大的数据，同时还要注意端点的坐标选取，使得它与定位轴之间的距离和定位轴长度之比也较大，以期获得更高精度的模型。

最后要提醒的是，圆锥曲线离心率的研究并不是一项休闲活动，需要用严谨的数学思维和大量的细心勤劳，才能有所收获。

一题多解第12讲圆锥曲线离心率几何坐标真给力典型例题【例1】设椭圆2222:1x y C a b (0)a b 的左焦点为F ，直线l ：y kx (0)k 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AF BF ，π0,12FAB，则椭圆C 的离心率的取值范围是【例2】设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若2AF FB,则C 的离心率是（）B.2C.233D.143【例3】已知双曲线22221(0)x y a b a b的两个焦点为12,F F ,若P 为双曲线上一点,且122PF PF ,则双曲线离心率的取值范围为（）A.1,3 B. 1,3.C. 3,D.3, 【例4】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左焦点为F ,若双曲线右支上存在点P ,使得线段PF 的中点Q 仍在双曲线上,则双曲线离心率的取值范围是________.【例5】设P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b上的一点,12,F F 分别为C 的左、右焦点,若12PF F 的内切圆的直径为a ,则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.5,2B.C.52D.【例6】已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12,F F ,曲线12,C C 的一个交点为P ,且1PF 2PF ,则1C 的离心率1e 与2C 的离心率2e 一定满足的关系是（）A.122e e B.12112e e C.22122e e D.2212112e e强化训练1.如图12128,,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若212,MF F F 则C 的离心率是（）A.3B.22.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123F PF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）43A.323B.3.3C .2D 3.如图129 ,已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左、右焦点分别为1212,,8,F F F F P是双曲线右支上的一点,直线2F P 与y 轴交于点1,A APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ,若2PQ ,则该双曲线的离心率为（）C.2D.34.已知点P 在y 轴上,点2,A F 分别为双曲线22221x y a b的右顶点及右焦点,且PA 与2PF 的夹角为6,则此双曲线离心率e 的最小值为________.5.设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于点N ,若3MF FN,则双曲线C 的离心率是________.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点,若5,,1212AF BF FAB,则椭圆C 的离心率的取值范围是________.7.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b 的左、右焦点分别 12,0,,0,F c F c P 为椭圆M上任意一点,且12PF PF 的最大值的取值范围是22,3c c,其中c ,则该椭圆的离心率的取值范围为________.8.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,过椭圆左焦点的直线交椭圆于,P Q 两点,且OP OQ ,则椭圆离心率的取值范围是________.9.如图1210,,A F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于,P Q 两点.若AP AQ ,则C 的离心率是（）C.1134D.117410.已知点 ,0F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b的右焦点,P 为双曲线左支上一点,线段PF 与圆22239c b x y相切于点Q ,.且2PQ QF ,则双曲线的离心率等于（）D.211.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且2121,PF F F PF 与y 轴交于点Q ,点M 满足213F M MF,且1MQ PF ,则双曲线C 的离心率为（）C.2D.212.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b和圆222:O x y b ,若C 上存在点P ,过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,且满足60APB ,则椭圆的离心率的取值范围是________.一题多解第12讲圆锥曲线离心率几何坐标真给力典型例题【例1】设椭圆2222:1x y C a b (0)a b 的左焦点为F ，直线l ：y kx (0)k 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AF BF ，π0,12FAB，则椭圆C 的离心率的取值范围是【解析】【解法1】如图121 ，设右焦点为F ，易知四边形AFBF 是矩形，令||AF m ，||BF n ，所以2cos m c ，2sin n c ，π0,12，2cos 2sin 2m n c c a，所以11πsin cos 4c e a.因为π0,12，所以πππ,443 ，π23sin ,422 .所以π1,42，所以1,1π34e.【点拨】利用椭圆定义以及椭圆的对称性得到离心率的表达式，再由三角函数的有界性求解.【点拨】先由直角三角形的性质求出A 点的坐标，代入椭圆方程得到 与e 之间的关系，利用余弦函数的有界性得到关于e 的不等式.【解法2】如图121 ，易得AFO ，(,0)F c ，则有2AOF ，所以(cos 2,sin 2)A c c .又因为点A 在椭圆上，所以2222(cos 2)(sin 2)1c c a b ，整理得2242424221cos 2a c a c e e ，因为π0,12，所以3cos 2,12，所以242134e e ，且24211e e ，化简后解得2223e ，又因为1e ，所以613e .【解法3】以AB 为直径的圆的方程为222x y c ，所以222x y c y kx，222222211c x k k cy k，所以2222222111c k c a k b k 422222b k a c a b ，因为tan 2k ，所以210,3k，所以42222103b a c a b ，又因为222a b c ，ce a且01e ，所以上式整理后解得13e .又因为点A 在椭圆上，所以2222(cos 2)(sin 2)1c c a b，整理得2242424221cos 2a c a c e e ，因为π0,12，所以cos 2,12，所以242134e e ，且24211e e ，化简后解得2223e ，又因为1e，所以13e .【点拨】设直线AB 的方程为y kx ，由已知可得A ，A 在以O 为圆心，c 为半径的圆上，联立方程组消去x ，y 后得到k 与a ，b ，c 的关系式，利用倾斜角范围求出k 的范围，得到不等式求解.【解法4】设椭圆的右焦点为F ，易知四边形AFBF 是矩形，令||AF m ，||BF n .如图12-1，2cos m c ，2sin n c ，π0,12，由椭圆定义知:2cos 2sin 2m n c c a ，又因为tan n m，π0,12，tan (0,2 ，所以1sin cos c e a，其中2212tan tan 22311111tan 2tan 2tan，所以13e .【点拨】同【解法1】得到离心率e 与 的关系，把表达式平方后，，利用对勾函数求解.【解法5】因为,AF BF O 是AB 的中点,所以,0,12OF OA FAB.所以0,6AOx,当6AOx 时,此时点A 记为0A .由2222,1x y y x a b 得222220221141,33x OA x y x ab .由题意得0OA OA c ,所以220OA c ,所以22241.1133c a b所以423840e e .又因为01e ,所以13e .【点拨】利用椭圆上点到原点距离的变化趋势,结合极端情况,得到离心率的不等式巧解.【解法6】因为AF AF ,所以四边形AF BF 为矩形,又因为2AB c ,所以212cos 2sin sin22FAB S c c c,因为22tan45AFF S b b,所以222221sin2,sin21b c b c e,因为012,所以10sin22 ,所以211012e ,所以2213e ,又因为01e ,所以13e .【点拨】利用矩形面积转化成两个焦点三角形面积后确定参数范围.【赏析】【解法1】利用橢圆的对称性,将BF 转化为AF ,将AF 与AF 用角 表示,再利用椭圆的定义将离心率e 表示为 的函数,进而求出离心率e 的取值范围。

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

圆锥曲线的一题多解圆锥曲线是线性代数中的一个重要的概念，它是一类具有某种特定特征的复杂曲线。

它们的几何形状可以用一个函数来描述，这个函数所描述的曲线一般称为一题多解（generalized cone）。

圆锥曲线特别有用，它们可以用来求解复杂的数学问题。

首先，圆锥曲线可以用来求解二次和更高阶方程，这些方程中常常存在多个解。

因此，圆锥曲线可以帮助我们求解这些方程，以解决这类问题的结果受到多解的影响，因此圆锥曲线的应用很重要。

此外，圆锥曲线也可以用于求解空间曲面相关的问题，如抛物面、双曲面等。

当我们在三维空间中求解某些问题时，如果仅使用直线或者圆形，往往得不到满意的结果，这时就需要曲线的帮助。

此时，圆锥曲线可以派上用场，它可以帮助我们求解更复杂的几何结构。

此外，圆锥曲线可以用于求解向量代数中的向量积问题，向量积运算是求解向量代数中某种特殊问题的常用方法，而圆锥曲线可以帮助我们更好地求解这一问题。

最后，圆锥曲线也可以用于求解概率中的概率问题，概率论是一门重要的数学学科，概率中的问题往往是非常复杂的，而圆锥曲线可以帮助我们更好的求解这一问题。

综上所述，圆锥曲线是一类能够帮助我们求解许多复杂问题的曲线，它可以帮助我们解决二次和更高阶方程、空间曲面限定的问题、向量积问题，也可以用于求解概率问题。

它的应用范围很广，可以帮助我们解决多种问题。

由于圆锥曲线的多解特性，我们可以通过解析几何的方法来解决不同曲线的问题，从而提高解决复杂问题的效率。

以上就是关于圆锥曲线的一题多解的介绍，从上述可以看出，圆锥曲线是一种复杂的曲线，它可以帮助我们解决多种复杂的数学问题，其应用范围很广，对许多问题都有重要的应用。

因此，这类曲线受到了广泛的重视，它也是数学研究中重要的研究热点。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

思路探寻离心率是圆锥曲线的基本性质之一.圆锥曲线的离心率问题常以填空或选择题的形式出现，题目的难度适中.这类问题的常见命题形式有：（1）求椭圆、双曲线的离心率；（2）求圆锥曲线离心率的取值范围、最值.本文主要探讨一下求解圆锥曲线离心率问题的两种途径：构造齐次方程和利用离心率公式.一、构造齐次方程在求解圆锥曲线的离心率问题时，我们通常可根据已知的条件和圆锥曲线的方程，得到关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系.那么我们就可以结合椭圆、双曲线的方程中参数a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2或a 2-b 2=c 2，将关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系进行变形，构造出关于a 、b 、c 齐次方程，将问题转化为求c 2a 2，进而求得圆锥曲线的离心率e .例1.已知点A 、B 是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1()a >b >0长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上(异于A 、B 两点).若直线PA 、PB 斜率之积为a -4c3a，则椭圆的离心率为().A.13B.14C.23D.34解：设点P 的坐标为()m ,n ，则m 2a 2+n 2b 2=1，m 2-a 2=-a 2n 2b 2，设A ()-a ,0，B ()a ,0,则k PA ∙k PB =n m +a ∙n m -a =n 2m 2-a 2=n 2-a 2n 2b 2=-a 2b2=-a -4c 3a ，整理得3c 2+4ac -4a 2=0，即3e 2+4e -4=0，解得e =23或e =-2(舍去)，故答案为选项C .解答本题，需先根据椭圆的方程和直线的斜率公式建立关于a 、b 、c 的方程；然后根据椭圆的a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2，将所得的关系式变形为关于a 、c 的齐次方程3c 2+4ac -4a 2=0，通过解方程求得e 的值.例2.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与过原点的直线l 交于P 、Q 两点(P 在第一象限)，过点P 作l 的垂线，与双曲线交于另一个点A ，直线QA 与x 轴交于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为______.解：由题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为零，设直线PQ ：y =kx ()k ≠0，设点P ()t ,kt ，得点Q ()-t ,-kt ，点B ()-2t ,0,∵AP ⊥PQ ，∴k AP =-1k，∴直线AP ：y -kt =-1k()x -t ，又∵k AQ =k BQ =kt -2t +t=-k，∴直线AQ ：x =-1ky -2t ，由ìíîïïy -kt =-1k()x -t ,x =-1k y -2t ,可得ìíîïïïïx =-3k 2t +tk 2-1,y =kt ()3+k 2k 2-1,即A æèççöø÷÷-t ()3k 2+1k 2-1,kt ()k 2+3k 2-1，∵点A 在双曲线上，∴t 2()3k 2+12a 2()k 2-12-k 2t 2()k 2+32b 2()k 2-12=1，又∵P 在双曲线上，∴t 2a 2-k 2t 2b 2=1，∴t 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，可得b 2()3k 2+12()k2-12()b 2-a 2k2-k 2a 2()k 2+32()b 2-a 2k 2()k2-12=1，化简得b 2()8k 4+8k 2=a 2k 2()8k 2+8，50思路探寻∵k≠0，∴b2=a2，∴a2=c2-a2，可得c2a2=2，即双曲线的离心率e=2.本题较为复杂，我们需首先结合直线AP、PQ的方程和双曲线的方程建立关于k、t、b、a的关系式；然后结合双曲线中a、b、c之间的关系a2+b2=c2，通过消元、代换，得到关于a、c的齐次方程，进而求得离心率e的值.二、利用公式法公式法是求解圆锥曲线离心率问题的重要方法，主要是利用离心率公式e=c a来求圆锥曲线的离心率.在解题时，可先灵活运用圆锥曲线的定义、几何性质列出关于a、b、c的关系式；然后通过移项、化简等方式，将关系式转化为关于a、c的关系式；最后根据公式e=c a求出离心率的值.例3.如图1，已知F1、F2分别是曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于点P、Q两点，若PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，则双曲线C的离心率为().图1A.6-3B.5-22C.5+22D.1+22解：因为PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，由双曲线的定义可得||PF1-||PF2=||PQ-||PF2=||QF2=2a，||QF1-||QF2=2a，所以||QF1=4a，由∠F1QF2=π4,得||F1F2=2c，在△QF1F2中，由余弦定理可得16a2+4a2-2×4a×2a=4c2，化简得e==5-22.故答案为选项C.我们根据已知条件，利用双曲线的定义、余弦定理得到a、c等量关系式，即可根据离心率公式直接求得双曲线的离心率.例4.如图2，已知F1、F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线交左支于A、B两点，且||AF1=2||BF1,以点O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则椭圆C的离心率为_____.图2解：由题意可得∠F1BF2=90°，设||BF1=m，||BF2=m+2a，||AF1=2m，则||AF2=2m+2a，||AB=3m，在Rt△ABF2中，由勾股定理可得()2a+m2+()3m2=()2m+2a2，解得m=23a，则||BF1=2a3，||BF2=8a3，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得æèöø2a32+æèöø8a32=()2c2,化简得c=，所以椭圆的离心率为e=ca=.在解答本题时，要先仔细研究图形，结合圆的几何性质以及椭圆的定义找出a、b、c之间的关系；然后利用勾股定理得到关于a、c的关系式；最后将其代入圆锥曲线的离心率公式中，就能得到椭圆的离心率.相比较而言，公式法比较直接、简单，但需灵活运用圆锥曲线的性质和定义；而齐次化法较为复杂，运用该方法解题运算量较大.同学们需反复练习，领悟其中的要义，从而高效地解答问题.（作者单位：云南省曲靖市第二中学）51。

解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。

例谈圆锥曲线中的一题多解圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线。

在学习圆锥曲线的过程中，我们经常会遇到一些题目，有时候这些题目会出现一题多解的情况。

在本文中，我们将以一个具体的例子来讨论圆锥曲线中的一题多解现象，并探讨其背后的数学原理和解题思路。

假设我们有一个关于椭圆的问题：已知一个椭圆的焦距为2，离心率为1/2，求此椭圆的方程。

通常情况下，我们可以通过椭圆的离心率和焦距来确定椭圆的方程。

椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴的一半。

我们可以得到c=1，a=4。

根据椭圆的定义，其方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

将a和c的值代入，可以得到方程为x^2/16 + y^2/12 = 1。

所以我们得到了椭圆的方程。

我们要注意到这里存在一题多解的情况。

因为在求椭圆的方程的过程中，我们只利用了离心率和焦距这两个条件，而没有利用椭圆的其他性质。

这就导致了在椭圆的方程中，长轴和短轴的比值并不唯一，从而可以得到不同的解。

换句话说，存在不同的椭圆方程满足给定的离心率和焦距条件。

为了进一步理解这个现象，我们可以画出椭圆的图像。

在图像上，我们可以观察到不同的椭圆方程对应着不同形状的椭圆，它们在长轴和短轴的比例上会有所不同。

这也从另一个角度说明了一题多解的情况。

那么，对于这个问题，我们应该如何正确地理解和解决呢？其实，要解决一题多解的问题，并不是简单地套用公式，而是要深入理解问题背后的数学原理。

对于椭圆来说，除了离心率和焦距外，我们还可以利用椭圆的其他性质来求解，比如长轴和短轴长度之间的关系，椭圆的离心率和长短轴的关系等等。

只有充分理解和利用这些性质，才能得到唯一的解。

我们还可以通过引入参数的方法来解决一题多解的问题。

我们可以假设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，然后利用椭圆的离心率和焦距条件，列出方程，并引入参数a和b，最后通过参数的取值来得到不同的解。

这种方法在解决一些复杂的一题多解问题时尤其有效。

圆锥曲线离心率问题之“一题多解”ʏ江苏省沙溪高级中学 邵敏亚 魏志英圆锥曲线离心率问题,历来是各级各类考试的命题重点,由于这类问题方法灵活,综合性较强,因而也是同学们学习的难点㊂那么这类问题该如何破解呢同学们或许能从下面几个例题的 一题多解 中得到启示㊂一、求离心率的值例1 如图1,设F 是双曲线C :x2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,过点F 向双曲线C 的一条渐近线引垂线,垂足为A ,交另一条渐近线于点B ㊂若2A F ң=F B ң,求双曲线C 的离心率㊂图1解析:(法1)不妨设直线A B 的方程为y=-ab(x -c )㊂将直线A B 的方程与渐近线方程联立求出A ,B 点的坐标,利用距离求解㊂联立y =-a b(x -c ),y =-ba x ,可得B a 2c a 2-b 2,-a b ca 2-b2㊂由|A F |=b ,可得|B F |=a 2ca 2-b2-c2+-a b c a 2-b22=2b ,解得a 2=3b 2或b 2=3a 2㊂所以e =2或者e =233㊂当e =2时,不满足2A F ң=F B ң,所以e =233㊂(法2)不妨设直线A B 的方程为y =-ab(x -c )㊂联立y =-a b(x -c ),y =-ba x ,可得Ba 2c a 2-b 2,-a b c a 2-b2㊂同理可得,y A =a bc ㊂由2A F ң=F B ң得y B =-2y A ,所以-a b c a 2-b2=-2a b c ,即c 2=2a 2-2b 2㊂又因为c 2=a 2+b 2,所以a 2=3b 2,即b 2a2=13㊂故e =c a=a 2+b2a2=1+b2a2=233㊂(法3)由双曲线的性质知,焦点F 到渐近线的距离|A F |=b ,所以|O A |=|O F |2-|A F |2=a ㊂因为2A F ң=F B ң,所以|A B |=3|A F |=3b ㊂因为t a n øA O F =b a ,t a nøA O B =3ba,øA O B =2øA O F ,所以3b a =2ba 1-ba2,整理得a 2=3b 2,e =233㊂(法4)如图2,过点F 向双曲线的另一条渐近线作垂线,垂足为D ,则|D F |=b ,|B F |=2b ㊂图2在R tәF B D,R tәA O B中,可得øF B D=30ʎ,øA O B=60ʎ㊂所以øA O F=30ʎ,e=c a=1c o søA O F= 233㊂点评:求圆锥曲线的离心率的值,主要有两种方法:定义法和方程法㊂法1利用坐标法求出直线A B:y= -a b(x-c)与渐进线y=-b a x的交点坐标,再利用|F B|=2|A F|得到a,b的关系式,进而求出离心率e的值(注意对e进行检验),解题过程中体现了方程思想的运用㊂法2首先求出直线A B与渐近线的交点坐标,然后利用2A Fң=F Bң得到y B=-2y A (这里也可以分别过点A,B向x轴作垂线得到),进而得到a,b,c的关系式,解出离心率e㊂此法与法1比较,降低了运算量,思路也更为自然,选择纵坐标的运算量明显少于选择横坐标的运算量㊂解题过程中同样体现了方程思想㊂法3首先将øA O F与øA O B的正切值用a,b表示,再利用正切二倍角公式得到a, b之间的关系式,进而求出离心率的值㊂此法利用了双曲线焦点到渐近线的距离为b的特征,结合图形,巧妙地利用了长度关系及双曲线的对称性㊂解题过程中体现了数形结合思想与方程思想,对大家的观察能力及分析问题的能力有较高的要求㊂法4则通过添加辅助线,将 |A F|与|B F| 化到同一个直角三角形中,利用|A F|与|B F|的长度关系及相似㊁双曲线渐近线的对称性得到øA O F的大小,进而求出离心率,构思巧妙,易于运算㊂本法与法3类似,但优于法3,体现了数形结合思想的妙用㊂二、求离心率的取值范围例2设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b> 0)的左焦点为F,直线l:y=k x(k>0)与椭圆C交于A,B两点,若A FʅB F,øF A B=θɪ0,π12,求椭圆C的离心率的取值范围㊂解析:(法1)如图3,设右焦点为F',易知四边形A F B F'是矩形㊂令|A F|=m, |B F|=n,所以m=2c c o sθ,n=2c s i nθ,θɪ0,π12,m+n=2c c o sθ+2c s i nθ=2a,故e=c a=1s i nθ+c o sθ=12s i nθ+π4㊂图3因为θɪ0,π12,所以θ+π4ɪπ4,π3, s i nθ+π4ɪ22,32 ,2s i nθ+π4ɪ1,62㊂因此,e=12s i nθ+π4ɪ63,1㊂(法2)如图3,易得øA F O=θ,F'(c,0),则有øA O F'=2θ,所以A(c c o s2θ,c s i n2θ)㊂又因为点A在椭圆上,所以(c c o s2θ)2a2+ (c s i n2θ)2b2=1,整理得c o s22θ=2a2c2-a4c4= 2e2-1e4㊂因为θɪ0,π12,所以c o s2θɪ32,1,2e2-1e4ȡ34,且2e2-1e4ɤ1,化简后解得23ɤe2ɤ2㊂又因为e<1,所以63ɤe<1㊂(法3)设椭圆的右焦点为F',易知四边形A F B F'是矩形㊂令|A F|=m,|B F|=n㊂如图3,则m=2c c o sθ,n=2c s i nθ,θɪ0,π12㊂由椭圆定义知,m+n=2c c o sθ+2c s i nθ=2a ㊂又因为t a n θ=n m ,θɪ0,π12,t a n θɪ(0,2-3],所以e =c a =1s i n θ+c o s θ=1(s i n θ+c o s θ)2=1+t a n 2θ1+2t a n θ+t a n 2θ,其中1+2t a n θ+t a n 2θ1+t a n 2θ=1+2t a n θ+1t a n θɤ1+22-3+12-3=32,故63ɤe <1㊂(法4)因为A F ʅB F ,O 是A B 的中点,所以|O F |=|O A |,øF A B ɪ0,π12㊂则øA O x ɪ0,π6,当øA O x =π6时,此时点A 记为A 0㊂由y =13x ,x 2a2+y 2b 2=1得1a 2+13b 2x2=1,|O A 0|2=x 2+y 2=43x 2㊂由题意得|O A 0|ɤ|O A |=c ,所以|O A 0|2ɤc 2,即43㊃11a 2+13b2ɤc 2㊂整理得3e 4-8e 2+4ɤ0㊂又因为0<e <1,所以63ɤe <1㊂(法5)因为A F 'ʅA F ,所以四边形A F 'B F 为矩形㊂又因为|A B |=2c ,所以S әF A B =12㊃2c c o s θ㊃2c s i n θ=c 2s i n 2θ㊂因为S әA F F '=b 2ta n 45ʎ=b 2,所以c 2s i n 2θ=b 2,s i n 2θ=b 2c 2=1e2-1㊂因为0<θɤπ12,所以0<s i n 2θɤ12,即0<1e 2-1ɤ12,也即23ɤe 2<1,解得63ɤe <1㊂点评:求圆锥曲线离心率的取值方法一般采用不等式法和函数值域法㊂法1利用椭圆的对称性,将|B F |转化为|A F '|,将|A F |与|A F '|用角θ表示,再利用椭圆的定义将离心率e 表示为θ的函数,将离心率e 的取值范围问题转化为三角函数的值域问题,求解时应特别注意角θ的取值范围㊂本法体现了函数思想的应用㊂法2将点A 的坐标用角θ表示,然后代入椭圆方程解出c o s 22θ㊂利用θɪ0,π12,求出c o s 22θ的取值范围,得到关于e 2的不等式,结合0<e <1得出e 的取值范围㊂法2利用了点在曲线上,即点的坐标满足曲线方程的特征,解题过程中体现了方程思想与化归思想,对大家的运算能力及化归能力有较高的要求,而利用余弦函数的有界性将问题转化为不等式问题是解题的关键㊂法3将m ,n 用θ表示,利用椭圆的定义及әA F F '是直角三角形,将e 表示为t a n θ的函数,利用对勾函数求解㊂本解法与法1类似,只是对e =1s i n θ+c o s θ的处理上有所不同㊂这里利用化切处理再结合均值不等式得解,体现了函数思想与化归思想,在数和式的处理上对我们提出了较高的要求㊂法4则利用极端情况,即øA O x =π6时的情况,将|O A |2的长度用a ,b 表示,再结合|O A 0|ɤ|O A |=c 得到e ȡ63㊂事实上这里也可用余弦定理及勾股定理将|A F |,|A F '|用c 表示,再结合椭圆定义得解㊂法4采用 以静制动 的方式处理问题,要求同学们具有较好的观察能力与推理能力㊂法5利用S әA F B =S әA F F ',结合焦点三角形面积公式将s i n 2θ用1e2-1表示,再利用s i n 2θ的有界性求出e 的取值范围㊂本解法与法2类似,利用了正弦函数的有界性,同样要求大家具有较好的分析㊁解决问题的能力和丰富的函数不等式的知识储备㊂三、离心率之间的关系例3 已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的焦点F 1,F 2,曲线C 1,C 2的一个交点为P ,且P F 1ʅP F 2,则椭圆C 1的离心率e 1与双曲线C 2的离心率e 2一定满足的关系是( )㊂A.e 1+e 2=2 B .1e 1+1e 2=2C .e 21+e 22=2 D .1e 21+1e 22=2解析:(法1)已知P F 1ʅP F 2,不妨令|P F 1|=6,|P F 2|=8,|F 1F 2|=10,所以a 1=7,a 2=1,c =5,则1e 21+1e 22=2,故选D ㊂(法2)不妨设椭圆C 1的方程为x 2a 21+y 2b 21=1,双曲线C 2的方程为x 2a 22-y2b 22=1,点P 在第一象限,半焦距为c ,则|P F 1|+|P F 2|=2a 1,|P F 1|-|P F 2|=2a 2㊂所以|P F 1|=a 1+a 2,|P F 2|=a 1-a 2㊂因为P F 1ʅP F 2,所以|P F 1|2+|P F 2|2=4c 2,即a 21+a 22=2c 2,也即a 1c 2+a 2c2=2,故1e 21+1e 22=2,选D ㊂(法3)设椭圆C 1的方程为x 2a 21+y 2b 21=1,双曲线C 2的方程为x 2a 22-y2b 22=1㊂如图4,由焦点三角形的面积公式,在椭圆中有:S әP F 1F2=b 21t a n øF 1P F 22=b 21t a n π4=b 21㊂图4在双曲线中有:S әP F 1F 2=b 22c o t øF 1P F 22=b 22c o t π4=b 22㊂所以b 21=b 22㊂于是所以1e 21+1e 22=a 21+a 22c 2=b 21+c 2+c 2-b 22c2=2㊂选D ㊂(法4)如图4,设øP F 1F 2=θ,则e 1=2c2a=|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|=2c2c (c o s θ+s i n θ)=1c o s θ+s i n θ㊂e 2=2c2a=|F 1F 2||P F 1|-|P F 2|=2c 2c (c o s θ-s i n θ)=1c o s θ-s i n θ㊂所以1e 21+1e 22=(c o s θ+s i n θ)2+(c o s θ-s i n θ)2=2,选D ㊂点评:本例是个选择题,求解时不仅要用到圆锥曲线的有关定义和几何图形的特征,还可采用特殊化法㊂从而达到快速解答的目的㊂本例法1取特例,对选项进行检验排除,可以快速地得到答案㊂作为选择题,如果能用特例进行排除,可以提高准确率㊂本解法体现了特殊化方法的优势㊂法2是求解圆锥曲线离心率的常用方法,利用圆锥曲线定义结合平面几何知识,从几何关系寻求a ,c 的关系式㊂分析图形的几何特征,利用几何关系建立关于a ,b ,c 的方程是解决离心率问题的常见策略㊂法2体现了方程思想的运用,对代数式的恒等变形能力要求较高㊂法3利用椭圆与双曲线焦点三角形的面积公式,得到曲线之间的关系㊂椭圆焦点三角形面积S әP F 1F 2=b 2t a n θ2(其中θ=øF 1P F 2),法3体现了方程思想与化归思想的运用,要求我们具有较好的分析㊁解决问题的能力㊂法4最为简捷,但要求我们善于运用代数式的恒等变形,具有较高的数学运算素养㊂(责任 编辑 徐利杰)。

考点透视图9由题意可得，已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=c a求得问题的答案.二、构造齐次式有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于c a的方程，解方程即可求得c a的值，从而得到圆锥曲线的离心率.例2.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的左焦点为F，右顶点为A，点B()0,-b，且FA∙AB=0，则该双曲线的离心率为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，图1因为FA∙AB=0，所以FA⊥AB，所以Rt∆AOB∽Rt∆BOF，则||OB||OA=||OF||OB，即ba=c b，b2=ac，因为c2=a2+b2，所以c2-a2=ac，即æèöøca2-1=ca，解得ca，所以e=.解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于c a的方程，进而求得离心率的值.三、利用几何性质法圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例3.已知A、B是双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线C的离心率.解：过点M作x轴的垂线，垂足为C，如图2所示.图2∵△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，∴BM=2a，∠MBC=60°，∴BC=a，MC=3a,∴点M的坐标为()2a,3a，将其代入双曲线的方程中可得()2a2a2-()3a2b2=1，①又c2=a2+b2，②由①②可得e=2.解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再将其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.（作者单位：福建省南安市五星中学）考点透视39。

考点透视圆锥曲线离心率问题的难度一般不大.一般地，我们可以直接根据圆锥曲线的离心率公式e =ca 求解，也可根据a 、b 、c 之间的关系得e心率.因此，我们需重点研究椭圆和双曲线方程（抛物线的离心率为1）中参数a 、b 、c 三者之间的关系或关系式，才能快速求得圆锥曲线的离心率.一、利用坐标法求离心率我们知道，圆锥曲线的焦半径、半焦距、长半轴长、短半轴长、虚半轴长、实半轴长均可用圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 表示.在运用坐标法求圆锥曲线的离心率时，可在圆锥曲线所在的平面画出直角坐标系，用参数a 、b 、c 表示各个点的坐标、直线的方程、曲线的方程，根据题意即可建立关于参数a 、b 、c 的关系式，从而求得离心率的大小.例1.如图所示，已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为ΔPF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为（）.A.23B.12C.13D.14解：由题意可得点P (2c ,3c )，A (-a ,0)，由图可知k PA =y P x P -x A =3c 2c +a得e =c a =14，所以此题选D.我们根据椭圆方程中参数a 、b 、c 的几何意义和等腰三角形的性质求得P 、A 两点的坐标，即可根据直线的斜率公式建立关于参数a 、c 的等式，就能利用坐标法快速求得离心率.二、构造焦点三角形求离心率焦点三角形是以圆锥曲线的两个焦点和曲线上一点为顶点的三角形.在求圆锥曲线的离心率时，可根据题意构造出焦点三角形，利用三角形的性质、正余弦定理、勾股定理、焦半径公式来建立a 、b 、c 的关系式，求得圆锥曲线的离心率.例2.若F 1,F 2为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β，则椭圆的离心率e =_____.解：由正弦定理可得|PF 2|+|PF 1|sin α+sin β=|F 1F 2|sin(α+β)，|PF 2|sin α=|PF 1|sin β=|F 1F 2|sin(α+β)，所以e =2c 2a =c a =|F 1F 2||PF 2+PF 1|=sin(α+β)sin α+sin β.双曲线的焦点三角形与半焦距c 有紧密联系，焦点三角形的一条边为双曲线的焦距，另外两条边可以用双曲线的焦半径公式表示，或用内角的三角函数式表示，这样便可根据正余弦定理、勾股定理来建立关于参数a 、b 、c 的关系式，从而求得双曲线的离心率.三、利用圆锥曲线的定义求离心率圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.在求圆锥曲线的离心率时，可根据椭圆、双曲线的定义，建立关于a 、c 的关系，如|F 1F 2|=2c ，||||PF 2-||PF 1=2a||PF 2+||PF 1=2a .再根据圆锥曲线的离心率公式进行计算.例3.椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两点为F 1,F 2，以F 1F 2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率e =_____.解：设B 为椭圆与正三角形的交点，可得|F 1F 2|=2c ，因为|BF 2|=c ,|BF 1|=3c ，由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|=2a ,所以c +3c =2a ,e =ca=3-1.运用定义法，可有效地简化运算，提升解题的效率.从定义出发，寻找解题的思路，往往能够解答许多复杂的问题.但在解题中，圆锥曲线的定义往往会被很多同学所忽视.相比较而言，定义法的适用范围较广，而坐标法较为简单，构造焦点三角形法则较为复杂.同学们在求圆锥曲线的离心率时，要熟练运用圆锥曲线的定义、方程、性质、图形，根据解题需求选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）40Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

例谈圆锥曲线中的一题多解圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括椭圆、双曲线、抛物线等多种曲线形式。

在解析几何的学习中，圆锥曲线的相关题目一般都是有一题多解的情况，因此需要通过分析、计算、推理等方法来求解。

本文将以一个具体的圆锥曲线题目为例，讨论一题多解的情况，并探讨其解题方法和意义。

具体来说，我们考虑以下题目：已知椭圆E的焦距为2，离心率为3/5，则椭圆E的长轴为多少？我们知道椭圆的离心率e满足0<e<1，表示椭圆的扁率，离心率越接近0，椭圆就越圆。

在这个问题中，离心率为3/5，离心率是椭圆长轴和短轴之间的比值，所以我们可以得到方程e=c/a，其中c为椭圆的焦距，a为椭圆的长轴一半。

由此得到a=c/e=2/(3/5)=10/3。

这并非我们得到的唯一答案。

因为在解析几何中，椭圆的长轴和短轴并没有规定一个具体的方向，因此一般考虑的是长轴的长度而不是具体方向。

在本题中，我们只知道椭圆的焦距为2，但并没有规定焦点的位置，也就是说，椭圆的焦点可以位于椭圆的任意位置。

我们可以通过调换椭圆的焦点的位置来得到不同的答案。

具体来说，我们可以假设椭圆的A、B为焦点，然后将椭圆的长轴方向表示为AB的连线，进行考虑椭圆的长轴的不同情况。

在这种情况下，我们可以得到椭圆E的长轴在AB上的投影为2，但是具体的长度并没有确定。

我们可以拆分AB为2个相等的线段，然后对每个线段做垂直平分线，这样就可以得到椭圆的长轴的两条候选线。

通过调换焦点的位置和对称性的特点，我们可以得到椭圆的长轴有两个候选解，分别是10/3和20/3。

这就是这个特定题目的一题多解的情况。

从另一个角度来说，我们可以得到对应的两个椭圆，它们的长轴分别为10/3和20/3。

圆锥曲线中的题目往往存在一题多解的情况，需要我们通过综合考虑对称性、特殊情况、等价变换等方法来进行求解。

在实际问题中，我们也需要对得到的多个解进行合理判断和选择。

这也反映了解析几何中的灵活性、抽象性和推理能力的重要性。

求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。

下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。

对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。

这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。

2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。

通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。

具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。

如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。

3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。

以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。

根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。

综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。

具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线是一类常见的数学曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。

离心率的概念和求解方法由此可知，有关离心率的题目也就成为高考中的重要题目之一了。

本文将针对离心率圆锥曲线题型，从概念讲解其特点和求解方法，总结出常见的解题技巧，帮助学生们以更加有效的方式解答高考中的有关题目。

一、圆锥曲线离心率概念介绍圆锥曲线（又称双曲线）是由两个圆组成的曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。

离心率e的含义是：沿着椭圆的曲线，两个焦点到远点的距离与远点到椭圆长轴之间的比值。

它的取值范围在0到1之间，且不会等于1。

e=|FO|/2a其中FO是椭圆的焦距，2a为椭圆的长轴长度。

显然，离心率越大，椭圆所在的曲线就越“扁”，当离心率等于1时，椭圆就变成了一条直线。

二、离心率椭圆曲线的求解1.解题时首先要判断该圆锥曲线是否为椭圆曲线，及其离心率；2.如果是椭圆曲线，那么根据上述定义，可以计算离心率e，即：e=|FO|/2a；3.若有给定椭圆轴长2a和焦距|FO|，则可直接求出离心率e，即：e=|FO|/2a；4.若有给定椭圆轴长2a和离心率e，则可求出焦距|FO|，即：|FO|=2ae。

三、离心率椭圆曲线常用解题技巧1.学生们在解离心率椭圆曲线的题目时，可以先把题目的数据推导出离心率的大小，这会使问题更加容易解答；2.若问题涉及曲线上某点的坐标，可以根据离心率的大小，判断出曲线的形状，从而更方便的求解曲线上某点的坐标；3.若问题中出现“最大长短轴之比”，可以考虑根据离心率求出曲线的长短轴，然后求出最大长短轴之比；4.若问题中出现“最近点到焦点的距离”，可以考虑从曲线的射影中求解，也可以根据离心率的大小，判断出最近点到焦点的距离；5.还可以根据椭圆的倾斜角，求出椭圆的方程，以及椭圆上某点的关系，从而解答相关题目。

四、结语圆锥曲线离心率是数学曲线形状的重要特征，对于圆锥曲线题来说，学生们应该根据离心率概念及求解方法，掌握一些常用的解题技巧，以达到以更有效的方式解答高考中的有关题目。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。

而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。

一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。

我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。

解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。

得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。

解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。

/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。

二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。

已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。

解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。

而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。

2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。

已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。

解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。

探索探索与与研研究究离心率是圆锥曲线的重要性质之一.圆锥曲线的离心率公式为e =ca，a 是指双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长，c 是指双曲线和椭圆的半焦距.由于抛物线的离心率e =1，双曲线的离心率e >1，椭圆的离心率0<e <1，所以圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率.求圆锥曲线的离心率，关键是求a 、c 的值或其比值.下面谈一谈求解圆锥曲线问题的两种思路.一、构建齐次式在求圆锥曲线的离心率时，可根据题目中所给的条件和几何关系，利用圆锥曲线的公式、定义、方程等建立含有a ,b ,c 的齐次式；再在该式的左右两边同时除以c 2，得到关于c a 或ba的方程，解该方程即可求得离心率.例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为B ，若椭圆C的中心到直线AB 的距离为F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解：因为直线AB 过右顶点为A ，上顶点为B ，所以直线AB 的方程为：x a +yb=1.又椭圆C 的中心到直线AB 的距离为d =||ab a 2+b 2=c ，而c 2=a 2-b 2，则||ab a 2+b2a 2-b 2，在上式的两边同除以a 2，整理可得2æèöøb a 4+3æèöøb a 2-2=0，得æèöøb a 2=12，解得e ==.利用点到直线的距离公式，建立一个关于a ,b ,c 的齐次式，就可以将问题转化为解方程问题.在求离心率的过程中，还要注意圆锥曲线离心率公式的变形式，e =椭圆）、e =双曲线）.二、利用平面几何知识当遇到一些有关焦点三角形、直线的倾斜角、点到直线的距离、两点之间的距离、线段的中点、平行线段、垂直线段等的离心率问题时，我们可以根据题意画出相应的几何图形，巧妙利用平面几何知识，如椭圆或双曲线的定义、三角形中位线的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理等来建立关于双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长、半焦距的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例2.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为.解：因为线段PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，所以PF 2∥y 轴，从而可知PF 2⊥F 1F 2，因为∠PF 1F 2=30°，则直角三角形PF 1F 2中，||PF 1:||PF 2:||F 1F 2=2:1:3，又因为点P 在椭圆C 上，则2a =||PF 1+||PF 2,2c =||F 1F 2，所以e =c a =2c 2a =||F 1F2||PF 1+||PF 2=.由题意可知△PF 1F 2为椭圆的焦点三角形，于是以椭圆的定义为突破口，在直角三角形PF 1F 2中，利用勾股定理来建立三角形PF 1F 2三边之间的关系式，从而求得椭圆的离心率.在求与焦点三角形有关的离心率问题时，要注意离心率与焦半径之间的关系：e =c a =2c 2a =||F 1F 2||PF 1+||PF 2(椭圆)，e =c a =2c 2a =||F 1F 2||||PF 1-||PF 2（双曲线）.总之，在求解圆锥曲线的离心率时，不仅要灵活运用圆锥曲线的方程、定义、几何性质和平面几何图形的性质，还要学会运用数形结合思想、方程思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.（作者单位：福建省柘荣县第一中学）袁晓光52。

高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。

椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1。

下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。

一、直接求出a、c，求解e在求解离心率e，椭圆中存在：a2=b2+c2双曲线中存在：c2=a2+b2这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线的方程为。

直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？解：二、变用公式，整体求出e椭圆与双曲线求离心率还有如下变形例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：由（其中k为渐近线的斜率）。

这里，则，从而选A。

三、统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。

由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。