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最新线性变换的值域与核.优选

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7.5.17.5线性变换的值域和核

7.5.17.5线性变换的值域和核
ⅱ) 因为
若 为单射，则
1
反之 ，若 (0) 0 , 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
从而
1 (0) 0 , 即 = . 故 是单射。
故 ( r 1 ),
kn 0
, ( n ) 线性无关，即它为 (V ) 的一组基。
的秩＝n－r
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
值域与核的有关性质
虽然 (V ) 与
1
(0) 的维数之和等于n，但是
(V ) 1 (0) 未必等于V。
如在例1中,
有
x1 ( 1 ) x2 ( 2 )
xn ( n )
xn ( n )
( x1 1 x2 2 ... xn n ) (V )
值域与核的有关性质
L ( 1 ), ( 2 ),
因此，
, ( n ) (V ).
kn n 1 (0)
, r 线性表出。
值域与核的有关性质
设
k1 1 k2 2
于是有 k1 1 k2 2
由于
kr r
kr r , kr 1 r 1
kn n 0
1 , 2 , , n 为 V的基。
k1 k2
一、值域与核的概念
值域与核的概念
定
义
1
设 是线性空间V的一个线性变换，
集合
(V ) ( ) | V
称为线性变换 的值域，也记作 , 或 ().
1 (0) | V , ( ) 0

高等代数7.6线性变换的值域与核

高等代数7.6线性变换的值域与核
1, 2 ,L , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩

线性代数上22线性变换的核

线性代数上22线性变换的核
若 ξ1+ξ2 ≠ 0, 则它为 σ 属于特征值 λ 的特征向量. 由这两条性质, σ 属于特征值 λ 的特征向量的任意非 零线性组合仍是属于 λ 的特征向量, 加上零向量就构成 V 的一个子空间. 定义6 设 σ∈L(V), λ 是 σ 的一个特征值, 则称 Vλ = {ξ∈V|σξ = λξ} 为 σ 的属于特征值 λ 的特征子空间, 11 其维数称为特征值 λ 的几何重数.
这是两个未知数两个方程的齐次线性方程组, 按定义, 特征 向量是非零向量, 于是要求有非零解. 由书上第43页推论可 知该齐次线性方程组的系数矩阵的行列式等于0, 即
Im σ = Fn −1[ X ], dim Im σ + dim kerσ = n, dim(Im σ + kerσ ) = n − 1.
7
幂等变换： σ2= σ 例4 设 n 维线性空间 V 的线性变换 σ 是幂等变换， 则 σ 在 V 的某组基下的矩阵为 ⎡ Ir ⎤ ⎢ ⎥. 0⎦ ⎣ 下面我们研究的不变子空间是在下学期我们研究如何选择 适当的基, 使得线性变换的矩阵尽可能简单的办法时要用 到的重要的概念. 定义3 设 σ 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W 中任一向量 α, 有 σα 属于 W, 则称 W 为 σ 的不变子空间. 显然 {0}, V, Imσ 和 kerσ 均为 σ 不变子空间.
8
定义4 设 W 是 σ 的不变子空间, 则 σ 1 : W → W , α a σα 是 W 上的线性变换, 称为 σ 在 W 上的限制, 记为 σ 1 = σ W . 定理6 设 σ 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, ε1 ,L , ε k 为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 ε1 ,L , ε k , ε k +1 ,L , ε n , 则 (1) W 是 σ 的不变子空间的充分必要条件为 σ 在 V 的基 A A2 ⎤ ε1 ,L , ε k , ε k +1 ,L , ε n 下的矩阵为 A = ⎡ 1 ⎢ 0 A ⎥. 3⎦ ⎣ (2) 当(1)成立时, 有σ W 在 ε1 ,L , ε k 下的矩阵为 A1, 且 A2 = 0 ⇔ L(ε k +1 ,L , ε n ) 也是 σ 不变子空间. 推论 设 σ 是 V 上的线性变换, 则 V 可以分解为若干 σ 不变 子空间的直和 ⇔ 为 σ 在 V 的某组基下的矩阵为准对角阵.

线性代数上22线性变换的核

线性代数上22线性变换的核
第二十二讲 线性变换的核、值域、特征值与特征向量 一、线性变换的核、值域 定义1 设 σ 是 V 的线性变换, V 中向量在 σ 的作用下全体 象的集合称为 σ 的值域, 记为 Im σ = σV = {σα|α∈V}. 定理1 Im σ 是 V 的子空间. 证明 显然 Imσ非空, 且 ∀α , β ∈ Im σ , ∃ξ ,η ∈V ， 使得 α = σξ , β = ση ,∴α + β = σ (ξ + η ) ∈ Im σ , kα = kσξ = σ (kξ ) ∈ Im σ . 所以 Im σ 是 V 的子空间, dim Imσ 称为线性变换 σ 的秩.
例5 设 W 是 σ 的一维不变子空间, 则 ∀0 ≠ α ∈ W ,Qσα ∈ W ,∴∃λ ∈ F , 使得 σα = λα , 所以 α 是 σ 属于 λ 的特征向量. 反之设 α 是 σ 属于 λ 的特征向量, 设 β∈L(α), 则存在 k∈F, 使得 β = kα, 故 σ(β) = kσ(α) = kλα∈L(α), 所以 L(α) 为 σ 不变子空间.
故 −e1 +2e2 ,e3 为 Imσ = R(A) 的一组基. 定义2 设 σ 是 V 的线性变换, 所有被 σ 映成零向量的 向量的集合称为 σ 的核, 记为 kerσ. Nhomakorabea3
定理3 kerσ 是 V 的子空间. 证明 Qσ 0 = 0,∴ kerσ ≠ ∅, ∀α , β ∈ kerσ , ∀k , l ∈ F , 有 σ (kα + l β ) = kσα + lσβ = 0 + 0 = 0, ∴ kα + l β ∈ kerσ .
6
注1 σ 是单射 ⇔ kerσ = {0} ⇔ dimkerσ = 0

【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量

【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量

7
定义4 设 W 是 的不变子空间, 则1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1, ,k
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1, ,k ,k1, ,n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
证明 在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker 组基, r1, ,n 为ker 的一组基, 则
1, ,r ,r1, ,n 线性无关, 所以 k1 k2 kn 0,dim Im n r.
dimV dimker dimIm.
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在 使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以 是单射 ker = {0} dimker = 0
1, ,r ,r1, ,n 为 V 的一组基, i i , i 1, , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.
2 0 , 0 1
1 1 0 1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0

7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...

7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...

•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15

线性变换的值域与核

线性变换的值域与核

1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )

高等代数线性变换的值域与核

高等代数线性变换的值域与核

. .. . . ..
线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念

7.6 线性变换的值域与核

7.6 线性变换的值域与核

（43;dimA 该性质说明：dimA V+dimA －1(0) = n. 但此时不能断 定A V+A －1(0) =V. 例如在 P[x]n 中, W P[x]n = P[x]n-1, V+A W
－1(0)
= P, W P[x]n + W
－1(0) －1(0))
A 的零度 = n, 即
A V + A (0) = V V = A V ⊕ A −1(0) →
−1 A V∩A −1 (0)={0}
→ A V中取基η1,⋯,ηr ， A −1(0) 中取基ηr+1,⋯,ηn → η1,⋯,ηr ，
ηr+1,⋯,ηn 构成 V 的基， Aη1 =η1,⋯, Aηr =ηr , Aηr+1 =⋯= Aηn = 0, 且
例 线性空间 P[x]n 中 W (f (x)) = f /(x). 则 W 的值域为P[x]n/(x). 的值域为P[x]n1, W 的核为子空间P. 的核为子空间P.
二. 值域与核的性质
1 (定理10) A ∈L(V), ε1, ··· ,εn是V的基，且 A 在 定理10) ,εn是 的基， 该基下的矩阵为A 该基下的矩阵为A，则 1) A V= A (L(ε1, ···, εn )) = L( A ε1, ···, Aεn )； (L(ε )； 2) A 的秩 = A的秩. A的秩 的秩.
⋱ 1 0 ⋱
证明：
A∈Pn×n → ∃A ∈L(V), A (ε1,⋯, εn ) = (ε1,⋯, εn )A ，且因
A2 = A 得 A 2 = A .现证 A V ∩ A −1(0) = {0} .
∀α ∈A V ∩ A −1(0) → α ∈A V, α ∈A −1(0) → α ∈A V →

太原理工大学 高等代数第七章 6第六节 线性变换的值域与核

太原理工大学 高等代数第七章 6第六节 线性变换的值域与核
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线性变换的值域 值域与 都是V的子空间. 结论 线性变换的值域与核都是 的子空间 证明 由 Aα+Aβ=A(α+β)， kAα=A(kα) ， 可知， 对加法与数量乘法是封闭的 同时， 可知，AV对加法与数量乘法是封闭的，同时，AV 是非空的，因此AV是 的子空间. 是非空的，因此 是V的子空间 由Aα=0与Aβ=0可知 与 可知 A(α+β)=0 ， A(kα)=0 . 这就是说， 这就是说，A-1(0)对加法与数量乘法是封闭的. 又 对加法与数量乘法是封闭的 因为A(0)=0，所以 ∈A-1(0)，即A-1(0)是非空的 是非空的. 因为 ，所以0∈ ， 是非空的 是 的子空间 证毕. 证毕 因此，A-1(0)是V的子空间. 因此，
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我们来证明， 在一组适当的基下的矩阵是 在一组适当的基下的矩阵是(1). 这 我们来证明，A在一组适当的基下的矩阵是 由定理4，也就证明了所要的结论. 样，由定理 ，也就证明了所要的结论 如果α∈ ， 由A2=A，可知 2=A. 如果 ∈AV，即对某个 ，可知A β∈V有， ∈ 有 α=Aβ . 那么 Aα=A(Aβ)=A2β=Aβ=α. 因此我们有 AV∩A-1(0)={0} . 由定理11即得 由定理 即得 V=AV⊕A-1(0) . ⊕
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kr+1Aεr+1+L+knAεn=0. L 成立， 成立，则 A(kr+1εr+1+L+knεn)=0. L 这说明向量k 属于A 这说明向量 r+1εr+1+L+knεn属于 -1(0). 因此可被核 L 的基所线性表示： 的基所线性表示： kr+1εr+1+L+knεn=k1ε1+L+krεr . L L 线性无关推出 推出k 从ε1,ε2,L,εn线性无关推出 i=0 (i=1,2,L,n). 因此 L Aεr+1,Aεr+2,L,Aεn . 线性无关， 线性无关，则A的秩=n-1，于是 的 - ， A的秩+A的零度 . 的 的零度=n

线性映射的值域、核

线性映射的值域、核

V 称为线
设 A 是线性空间V 的线性变换，1 ,2 ,,n 是V 的一 组基，若 A
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n an1 an 2 ann (1.6.1) 1 , 2 ,, n A
n
故 ki ai N ( A) ，因此
i r 1
i r 1
k a l a
i i j 1 j
n
r
j
根据 a1 ,, an 线性无关，得到
l j 0 ， ki 0 ( j 1,2,, r; i r 1,, n)
因此 A(ar 1 ),, A(an ) 线性无关。于是
( A(1 ), A( 2 ),, A( n )) a11 a21 1 , 2 ,, m a a12 a22 a a1n a2 n a
§1.6 线性变换的不变子空间
线性变换的定义：
若V 是数域 F 上线性空间，线性映射 A : V 性空间V 上的线性变换.
则原像 与像 A 的坐标变换公式为
y1 x1 y x 2 A 2 yn xn
定理 1.6.1
设 A 是 V V 的线性变换，
1 ,2 ,,n 与1 , 2 ,, n 是V 的两组基。
所以在1 ,2 ,,n 下的矩阵表示 A 是 n 阶方阵。
a j 1,2,, n ,则
n j i 1 ij i
x1 y1 x y 2 设 =( , , , ) V 若 A =( , , , ) 2 1 2 n 1 2 n xn yn

线性变换的核心与值域 (Kernel and Image of a Linear .

线性变换的核心与值域 (Kernel and Image of a Linear .

) w1 ,
w2
f (v2
Im f
)
w2
使得 因此
cfw(v)
w
Im f
因此 所以
f (cv )
Imf W
cf
(v )
cw
20050612
5-4
6
練習
設 f : R4R3 , f (x,y,z,w) = (x – 2y + z + w , –x + 2y + w , 2x – 4y + z)
證明：
要証明 kerT 為 V 之子空間即要證 kerT 滿足加法封閉性及純
量設故因又因乘此設此fv(1積vvcv,11vv封2kv閉vek22kr)性eTerrk：,TceTfr所(T則vR1以),f則k(vef1rf)(Tv(2c)vfV()v02 )c0f0(v0)
c0
0
若設因再要此設w1證f,ww(v2I1mIfImvm2 )Wff,，cf (則v1 )R存，在f 則(vv12存,)v在2 wvV1使wV得2 即f (wv11
解：設 A 為題中之矩陣，將 A 化簡成列梯形矩陣
1 3 2 4 8
B 0 0
0 0
1 0
3 0
2 0
，設
x2
=
r，x4
=
s，x5
=
t，r,s,t
R
則
0 0 0 0 0
由 x3 – 3x4 + 2x5 = 0，得 x3 = 3s – 2t 由 x1 – 3x2 + 2x3 – 4x4 + 8x5 = 0，得 x1 = 3r – 2s – 4t
1 0 1
1 2 3
1 1

线性变换

线性变换

( 2 ) (0,1,0) (0,1,1)
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
第七章 线性变换
30
例2. 设 1 , 2 ,, m ( m n)为n维线性空间V的子空
第七章 线性变换
18
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
第七章 线性变换
19
例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
D f x f x
6
第七章 线性变换
7
第七章 线性变换
8
一、 线性变换的定义
二、 线性变换的简单性质
9
一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 : V V 满足： , V , k P

k k
1, 2 ,, n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
第七章 线性变换
35
证：由已知，有
1, 2 , , n 1 , 2 , , n A,
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2 kr r , 则 k1 1 k2 2 kr r . 3．线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
第七章 线性变换

第六节线性变换的值域与核

第六节线性变换的值域与核

第六章线性变换1、教学目标：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解。

2、教学重、难点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。

线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点。

3、教学时数：14课时第一节线性变换的定义定义 1是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性映射.定义 2是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性变换.本章主要研究线性变换性质 1∙∙线性变换保持线性关系式不变. 若,则∙将线性相关的元素映射为线性相关的元素.第二节线性变换的运算1.相等iff2.加法运算；负运算；减法运算.3.乘法运算以及4.数乘运算5.幂次运算6.线性变换的多项式运算,定义7.零变换(0),恒等变换(Id)8.可逆的线性变换运算性质从交换律 ,结合律,分配律上考虑定理 1设是空间上的两个线性变换, 则都是上的线性变换；如果是可逆的,则也是上的线性变换.定理 2设是空间上的线性变换, 则∙乘法满足结合律∙,∙∙乘法一般不满足交换律 (见下例),但对于线性变换的多项式,总有交换律,即定义 1线性空间上的所有线性变换的集合在线性变换的加法和数乘运算下是一个线性空间, 称为线性空间的对偶空间.线性变换的乘法运算不满足交换律.例子 1假设,那么有结论:第三节线性变换的矩阵我们从两个方面来讨论线性变换的矩阵.定义 1设是维线性空间的一组基,为一个线性变换, 则元素组在的坐标,即构成的矩阵称为在基下的矩阵.定理 1线性变换的唯一存在定理任给线性空间的一组基和它的任意一组元素,则必存在唯一的线性变换,使得.证明利用线性空间的特征,可以构作映射;则即为所求下面的定理说明线性变换和矩阵的本质联系.定理 2设是数域上维线性空间的一组基,在这组下, 线性变换的矩阵用来表示.则存在从到的同构映射,满足:1. ;2. ;3. ;4. ;定理 3和在基下的坐标分别为,且的矩阵为.则.已知两组基.现在我们关心在这两组基础下的矩阵的联系.定理 4已知线性空间的两组基,线性变换在这两组基础下的矩阵分别为.则存在可逆的矩阵,使得证明根据已知条件,可得假设从基到基的过渡矩阵记为.则经过运算,可以得到结论.为了研究在这两组基础下的矩阵的这种联系联系,故此定义定义 2矩阵称为相似的,若存在可逆的矩阵,使得.继矩阵的等价、合同关系之后,相似关系是矩阵的新关系.性质 2相似关系是等价关系.性质 3相似,即,则.一般的,对任意的多项式, 均有.矩阵的这种相似关系可以用来计算矩阵的幂次方.例子 1计算.第四节特征值与特征向量现在,我们来讨论线性变换的简单化问题,即研究线性变换在什么条件下他的矩阵为对角矩阵？存在与否一组基,使得他的矩阵为对角矩阵？利用这些想法,我们不难得到一些必要条件.在这些必要条件的基础上我们来逐步判断线性变换的对角化问题.分析：假设我们果真找到了一组基,在其下的矩阵为.则得到定义 1线性变换的特征值,特征向量.再假设我们有一组基,满足代入上式,得到定义 2矩阵的特征值,特征向量计算问题：若何求特征值和特征向量？一些重要的基本概念：定义 3特征多项式.迹；特征子空间特征多项式的基本性质性质 4,则,定理 1相似的矩阵有相同的特征多项式；反之不然.例子 1定理 2Hamilton-Caylay定理设.则.证明令为的伴随矩阵,则有可令则代入第一式中,比较对应项的系数,得到即对应求和,得到结论.定义 4矩阵的零化多项式：,则称为的零化多项式. 次数最低的零化多项式称为的最小多项式.Hamilton-Carlay 定理的应用举例：例子 2设. 证明：提示：例子 3计算上例子中.问题：如何计算,使得?提示：用待定系数法.第五节对角矩阵本节给出线性变换或矩阵对角化问题的一系列判别条件.定理 1设是维线性空间的一个线性变换, 存在一组基使得在此基下的矩阵是对角矩阵的分必要条件是有个线性无关的特征向量.那么如何保证一定有线性无关的特征向量呢？定理 2属于不同的特征值的特征向量是线性无关的. 利用归纳法证明.推论 1有个不同的特征根, 则必有个特征向量.推论 2在复数域上,的特征多项式没有重根,则必有个特征向量.定理 3如果是线性变换的不同的特征值, 而是属于特征值的线性无关的特征向量,. 那么也线性无关.证明：设有判别式令则上式等价于可以验证或为的特征向量或为零向量. 如为前者, 则与上定理的结论相矛盾. 则只能为后者.等价于, 故原命题成立 .定理 4可以对角化的充要条件是任何一个特征值的代数重数等于它的几何重数.第六节线性变换的值域与核定义 1值域和核；数学表示；性质 1值域和核都是线性子空间定义 2线性变换的秩与零度： dimdim分别称为线性变换的秩和零度定理 1设是维线性空间的线性变换, 是的一组基,在这组基下的矩阵是,则∙;∙的秩=.线性变换的秩和零度存在下面的联系-维数公式定理 2设是维线性空间的线性变换,则dim dim推论 1对于有限维线性空间的线性变换,它是1-1的充分必要条件是它是满射.例子 1设是一个线性变换,满足: .求证：可以对角化证明只证明其中. 又分别从两个子空间选取一组基.那么在这一组基下的矩阵为第七节不变子空间定义 1是线性空间的子空间, .如果,则称为-不变子空间.线性不变子空间的基本性质性质 51.特征子空间是不变子空间；2.线性变换的值域和核均为子空间3.不变子空间的交与和仍然是不变子空间；4.和是不变子空间.例子 1假如是相互交换的线性变换,则的核与值域都是子空间.不变子空间的作用1.简化矩阵计算定理 1设是一个-不变子空间,则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为推论 1设是一个-不变子空间, 并且, 则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为2.线性空间的直和分解定理 2设线性变换的特征多项式为,它可以分解成一次因式的乘积则可以分解成不变子空间的直和其中证明: (I)先证由已知条件可设故可知即存在个多项式,使得故对线性变换而言也有所以, ,必有令.可验证ker(II)再证只证明零元素的分解是唯一的.为此假设对上式两端同时用作用,注意到. 因此,我们可以得到同时由故得作用到之上,可以建立综合上述,原命题得证明.。

§6 线性变换的值域与核

§6 线性变换的值域与核
但 AV + A −1 (0) 未必就是整个空间. 这时因为 AV ∩ A −1 (0) 未必就是{0}.
ε 例如：A为2维线性空间V上的线性变换， 1 , ε 2 为 例如： V 的一组基， 0 1 A (ε1 , ε 2 ) = (ε1 , ε 2 ) , 0 0
则 AV = L(ε1 ), A −1 (0) = L(ε1 ). 显然，
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1）设 l1ε1 + ⋯ + lrε r + lr +1ε r +1 + ⋯ + lr + sε r + s = 0. 两边用A 作用得 l1 Aε1 + ⋯ + lr Aε r + lr +1 Aε r +1 + ⋯ + lr + s Aε r + s = 0. 因为 ε r +1 ,⋯, ε r + s ∈ A −1 (0), 所以 Aε r +1 = ⋯ = Aε r + s = 0. 又 Aε1 = η1 ,⋯, Aε r = ηr , 故 l1η1 + l2η2 + ⋯ + lrηr = 0. 但 η1 ,⋯,η r 为AV 的一组基，故 l1 = l2 = ⋯ = lr = 0. 于是 lr +1ε r +1 + ⋯ + lr + sε r + s = 0. ε r +1 ,⋯, ε r + s 为 A −1 (0) 的一 组基，故 lr +1 = ⋯ = lr + s = 0. 从而ε1 ,⋯, ε r , ε r +1 ,⋯, ε r + s 线性无关.

线性变换的值域与核.

线性变换的值域与核.

V
1 (0)
0
V
V
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
事实上， V V , V , 且对
, V , k P 有 ( ) V
k (k ) V
即 V 对于V的加法与数量乘法封闭. V 为V的子空间. 再看 1(0). 首先， 1(0) V , (0) 0,
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
的秩＋ 的零度＝n 即 dim V dim 1(0) n.
证明：设 的零度等于r ，在核
1,2, ,r
并把它扩充为V 的一组基：1, 2 ,
1(0)中取一组基
, r , r1, , n
由定理10, 则 V L( 1, , r , r1, , n ). 但 i 0, i 1, 2, , r.
任取 V , 设 , V , 则 ( ) 2 , 故有 V , 0 当且仅当 0.
因此有 V 1(0) 0
从而 V 1(0) 是直和 . 又 dim V dim 1(0) n
所以有 V V 1(0).
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
kr1 r1 kn n 1(0)
即 可被 1, 2 , , r 线性表出.
第七章 线性变换 §6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k2 2 kr r kr1 r1 kn n 0 由于 1, 2 , , n为 V的基.
k1 k2 kn 0
定义2：线性变换 的值域 V 的维数称为 的秩；
的核 1(0)的维数称为 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
f (x) f (x)
则
P[ x]n P[ x]n1,
1(0) P

7.6 线性变换的值域与核

7.6 线性变换的值域与核

第七章 线性变换学习单元6： 线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

线性变换的值域与核

线性变换的值域与核
由第六章§ 的同构关系知， 由第六章§8的同构关系知， ε 1 , A ε 2 ,L , A ε n 的秩 关系知 A 等于矩阵A的秩 等于矩阵 的秩. 的秩
) ∴ 秩 (A ＝秩 ( A).
2. 设A 为n 维线性空间 的线性变换，则 维线性空间V的线性变换 的线性变换，
的秩＋ 的零度＝ A 的秩＋A 的零度＝n 即
ε 1 , ε 2 ,L , ε n为 V的基 的基. 的基
∴ k1 = k2 = L = kn = 0
性无关， 的一组基. 故 A ε r +1 ,L , A ε n 线 性无关，即它为 A V 的一组基
∴ A 的秩＝n－r . 的秩＝ －
因此， 的秩＋ 的零度＝ 因此，A 的秩＋ A 的零度＝n.
dim A V + dim A
−1
(0) = n.
−1
证明： 的零度等于r 证明：设A 的零度等于 ，在核A
(0)中取一组基
ε 1 , ε 2 ,L , ε r
ε 并把它扩充为V 的一组基： 并把它扩充为 的一组基： 1 , ε 2 ,L , ε r , ε r +1 ,L , ε n
由定理10, 则 A V = L(A ε 1 ,L , A ε r , A ε r +1 ,L , A ε n ). 由定理 但
称为线性变换 的核， 称为线性变换A 的核，也记作 ker A .
注： A V , A
−1
(0) 皆为 的子空间 皆为V的子空间 的子空间.
A AV 0
A
−1
(0)
ε1 ε2
M
η1 η2
M
εs
ηs
V
V
事实上， 事实上， A V ⊆ V , A V ≠ ∅ ,

考研高数总复习第七章线性变换第六节

考研高数总复习第七章线性变换第六节

同时，
A 这就是说， -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的. A A A 因为 (0) = 0，所以 0 -1(0) ，即 -1(0) 是非 空的. 所以 A -1(0) 是 V 的子空间.
A A 秩 A V 的维数称为 的 ， -1(0) 的维数称为 A 的零度.
例 1 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f (x) .
另一方 在前
同构对
证毕
四、A 的秩、零度与空间维数的关系
定理 12 A 设 是 n 维线性空间 V 的线性变
A A 换. 则 V 的一组基的原像及 -1(0) 的一组基合
起来就是 V 的一组基.
由此还有
A A 的秩 + 的零度 = n . 证明 A 设 V 的一组基为 1 , 2 , … , r , 它们 A 的原像为 1 , 2 , … , r , i = i ，i = 1 , 2 ,… , r . A 又取 -1(0) 的一组基为 r+1 , r+2 , … , s .
则 D 的值域为 P[x]n-1 ， D 的核为子空间 P .
又
证毕
三、A 的值域的结构
定理 11 A 设 是 n 维线性空间 V 的线性变
换，1 , 2 , … , n 是 V 的一组基，在这组基下，
A 的矩阵是 A，则
A A 1)
的值域 V 是由基像组生成的子空间，
即
A A A A V = L ( 1 , 2 , … , n ) .
若用集合的记号则
A A V = { | V } ， A A -1(0) = { | =0 ， V } .
二、值域与核的性质
性质 线性变换的值域与核都是 V 的子空间. 证明 由
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§6 线性变换的值域与核
一、定义
设 A 是线性空间V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为A 的值域， 用A V 表示.
所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用A )0(1-表示.
若用集合的记号则A V ={}|V σξξ∈, A )0(1-={}|0,V ξσξξ=∈ 这里用 σ 表示 A ，公式里打不出来. 1．线性变换的值域与核都是V 的子空间.
2．A V 的维数称为 A 的秩，A )0(1-的维数称为A 的零度.
二、如何求值域、核
1．如何求线性变换的值域 ？
定理10 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，n εεε,,,21 是V 的一组基， 在这组基下A 的矩阵是A ，则
1）A 的值域A V 是由基像组生成的子空间，即
A V =12(,,
,)n L σεσεσε
2）A 的秩=A 的秩.
定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变. A V =12(,,
,)n L σεσεσε，实质上是求它的一个线性极大无关组，
即求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组 例1 在线性空间[]n P x 中，令
D )())((x f x f '=
则D 的值域就是1[]n P x - .
例2． 令 11122122ij x x V X x x x ⎧⎫⎛⎫⎪
⎪
==⎨⎬
⎪⎪⎪⎝⎭⎩
⎭
是实数， 定义变换 :V V σ→，对于 X V ∈， 1112()1111X X σ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，
（1）证明 σ 是线性变换 （2）求 σ 的秩
证明：（1）对于任取,,,a b R X Y V ∈∈， 我们有
1112()()()()1111aX bY aX bY a X b Y σσσ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，从而 σ 是一个线性变换
（2）显然 123410010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是 V 的一组基。

1312()()12E E σσ⎛⎫==
⎪⎝⎭， 2411()()11E E σσ-⎛⎫
== ⎪-⎝⎭
， 从而 V 的像空间 V σ由
1211,1211-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭生成，再证它们线性无关，得到 σ 的秩是 2， 2．如何求线性变换的核
对于 1(0)ξσ-∈，n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下 A 的矩阵是A ，则
()0σξ=， 1212(,,
,)n n x x x ξεεε⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 我们得到 ] 11221212()(,,
,)(,,
,)0n n n n x x x
x
A x x σξσεεεεεε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭。

从而 120n x x A x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 即 ξ 的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然 12112(0),(,,
,)n n x x x ξσξεεε-⎛⎫ ⎪ ⎪∈= ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当 ξ 的坐标满足 120n x x
A x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
在 例1中，D 的核就是子空间P .
在 例2 中, 求σ 的核
对于1(0)X σ-∈, 我们有 ()0X σ=. 因为
11
12212211121112()11111111x x X X x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 11211222112112221121122211211222112112221121122212112222x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭
+--+++⎛⎫= ⎪+--+++⎝⎭
从而有
1121122211211222
112112221121122200
220
220x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+--=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 得到 11211222112112220220x x x x x x x x +--=⎧⎨+++=⎩ 即:
1121122200x x x x +=⎧⎨+=⎩, 我们找到 1
(0)σ- 的一组基 : 1010⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 0101⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
三、 定理
设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A V 的一组基的原像及A )0(1-的一组基 合起来就是V 的一组基. 由此还有
A 的秩+ A 的零度=n
1．推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射. 例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间， 对于无限维线性空间，推论不一定成立， 在线性空间[]P x 中，令
D )())((x f x f '=
则D 是满射，但不是单射.
2．虽然子空间A V 与A )0(1-的维数之和为n ，但是A V + A )0(1-并不一定是整个空间. 见例 1
例3 设A 是一个n n ⨯矩阵，A A =2，证明A 相似于一个对角矩阵
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛00111
证法1：设 V 是 n 维线性空间, n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下矩阵A 对应着线性变换σ，即: 12(,,
,)n σεεε=12(,,
,)n A εεε, 我们有 2σσ=
(1) 任取 V α∈, 我们有 ()[()]ασαασα=+-, 即: 1(0)V V σσ-=+ (2) 1(0)0V
σσ-=, 从而 1(0)V V σσ-=⊕
(3) 在 V σ 中选取一组基 1,
,t ηη, 在 1(0)σ-中选取一组基 1,
,t n ηη+,
则线性变换σ 在该基下的矩阵就是
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00111 , 从而 A 相似于它. 证法2: 对于没有学过高等代数知识, 只学过线性代数可以这样做
(1) A A =2, 我们得到 A 的特征值是0和 1 (2) 下面证明 A 有 n 个线性无关的特征向量,
(i) 矩阵 A 属于特征值 0的特征向量是 (0)0E A X -= 的非零解, 即 0AX = 的非零解. 它的基础解系含 ()n R A - 个解向量, 也就是A 属于特征值 0的线性无关的 特征向量有 ()n R A - 个.
(ii) 矩阵 A 属于特征值1的特征向量是 ()0E A X -= 的非零解, 它的基础解系含
()n R E A -- 个解向量, 也就是A 属于特征值 1的线性无关的特征向量有 ()n R E A -- 个
两者合起来, 矩阵A 有线性无关的特征向量 2()()n R A R E A --- 个, 所以我们只须 证明 ()()R A R E A n +-=
(4) 证明 ()()R A R E A n +-= 见第四章 17, 18
(i) 2A A =, 我们得到 ()0A E A -=, 从而 ()()R A R E A n +-≤ (ii) ()()()()R A R E A R A E A R E n +-≥+-==
例4：设A 是一个n n ⨯矩阵，2A E =， 证明A 相似于一个对角矩阵
1111
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
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