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高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件4 苏教版选修1-1

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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3

(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3

数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
数学 选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5

高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。

3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件6 苏教版选修1-1

高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件6 苏教版选修1-1

3 K12课件
3
18
巩固训练：
变2：求函数 y 3ex 3x 的单调区间。
解 : y 3e x 3 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调增区间为(0,); 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调减区间为(,0);
K12课件
K12课件
1
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
(2) y x ln x;
(3) y ex x 1.
K12课件
7
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
K12课件
19
变3：求函数 y 1 的单调区间。
x
解 : y ( 1 ) 1
x
x2


1 x2
0, x

0或x

0,
单调减区间为( ,0), (0, )
K12课件
20
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.

2018-2019数学苏教版选修1-1课件：第3章3.3.2 极大值与极小值

2018-2019数学苏教版选修1-1课件：第3章3.3.2 极大值与极小值

1．函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释 如图，函数图象在点P处从左侧到右侧由“____上__升______”变
为“_____下__降_____”(函数由单调递增变为单调递减)，这时
在点P附近，点P的位置最高，也就是说f(x1)比它附近点的函 数值都要______大______．我们称f(x1)为函数f(x)的极 _____大_______值．类似地，图中f(x2)为函数f(x)的极小值．函 数的极大值、极小值统称为函数的_____极__值_____．
(2)由(1)得 f(x)＝－23ln x－16x2＋x.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)
＝－32x－13x＋1，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
0
－
f(x)
↘5 6
↗ 43－23ln 2
↘
因此，当 x＝1 时，f(x)有极小值56；当 x＝2 时，f(x)有极大值43－
(1)求可导函数f(x)的极值的步骤： ①由函数f(x)的解析式确定定义域，求出f′(x)并通过因 式分解化为积(商)形式； ②令f′(x)＝0解方程求根； ③由f′(x)＝0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间, 并列成表格(f′(x)＝0只有一个根时可以不列表格)； ④根据表格指出极值及相应极值点(同时也可以得到单调 区间)． (2)函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意 分类讨论．
第3章 导数及其应用
3．3.2 极大值与极小值
第3章 导数及其应用
学习导航
1.了解函数极大值与极小值概念．(重点) 学习 2.理解区分极值与极值点，极值点与导数为零的点 目标 之间的关系．

版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数课件 苏教版选修1-1.pptx

版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数课件 苏教版选修1-1.pptx
解答
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|xx0＝cos x0， k2＝y′| xx0 ＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的． 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
1 2 3 4 285
2.下列结论：①(sin x)′＝－cos x；②1x′＝x12； ③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x. 其中正确的结论是___④_____. 答案 解析 由求导公式知，(sin x)′＝cos x，1x′＝－x12，(log3x)′＝xln1 3，(ln x)′ ＝1x，故④正确.
第3章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常见函数的导数
1
学习目标
1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数. 2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求
某些函数的导数．
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3问题导学4知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1
函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快； 当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越 快．
7
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考1
计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－12正确吗？ 答案 不正确．因为 cos π6＝ 23为常数，其导数为 0.
8
思考2
如何利用(ln x)′推出(logax)′？ 答案 (logax)′＝llnn ax′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·1x＝x·l1n a.

高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.3.2

高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.3.2
• 答案： B
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解析： ∵f(x)＝2x＋ln x， ∴f′(x)＝－x22＋1x，令 f′(x)＝0， 即－x22＋1x＝x－x2 2＝0， 解得 x＝2. 当 x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0，所以 x＝2 为 f(x) 的极小值点．
x
(－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
由表可以看出：
当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(－1)＝－22－2＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(1)＝22－2＝－1.
已知极值求参数
已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都取 得极值．
x .
令 f′(x)＝0，解得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
(0，e) ＋
e
(e，＋∞)
0
－
f(x)
单调递增
1 单调递减 e
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝1e，没有极
小值．
•
求函数极值的方法：
• (1)求导数f′(x)；
• (2)求方程f′(x)＝0的全部实根；
解析： (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令 f′(x)＝0，由题设知 x＝1 与 x＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴11－ ×23－＝23－＝23ab3，. ∴a＝－12，b＝－2.

高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修1-1 3.3.1 利用导数研究函数的单调性》

高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修1-1 3.3.1 利用导数研究函数的单调性》

利用导数研究函数的单调性珠海市斗门区第一中学 邢维金 高二2021【教材分析】“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础,起到承上启下的作用【学情分析】课堂学生为高二年级的文科班学生，他们在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性【教学目标】1三维目标知识与技能：1探索函数的单调性与导数的关系;2会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：让学生经历知识的建构过程，培养学生观察、探究能力，在探究函数单调性与导数符号关系的过程中，渗透数形结合、转化等思想方法；情感态度价值观：利用几何画板的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，培养学生数学学习的兴趣2. 核心素养目标数学抽象：从几何与数量关系中抽象函数单调性与导数的关系，让学生学会“用数学的眼光看”数学问题; 逻辑推理：使用以已知探求未知，从特殊到一般的推导方法，让学生学会“用数学的思维”思考问题; 数学模型：建系让“数”和“形”之间建立联系，让学生学会“用数学的语言”表述问题【教学重难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间教学难点：⒈ 探究函数的单调性与导数的关系;⒉ 如何用导数判断函数的单调性易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性【教学策略与方法】教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学准备：多媒体课件、几何画板、互动课堂平台【教学过程】一、温故知新问题引领问题一：判断函数的单调性有哪些方法？问题二: 如何判断函数=2－4＋3的单调性？问题三:如果遇到函数323y x x =-，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣二、探究新知简例探究引例：几何画板观察函数=2－4＋3的图象的切线情况【设计意图】从熟悉的二次函数出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题师生共同总结：通过以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心三、理解新知归纳论证函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．说明：1如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．2正确理解“ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个区间．【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系四、运用新知典例精析例1求函数323y x x =-的单调区间【师生活动】几何画板演示函数图像【变式训练1】判断下列函数的单调性，并求其单调区间。

2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性讲义 苏教版选修1-1

2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性讲义 苏教版选修1-1
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1, a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意有当x∈(1,4)时，f′(x)<0， 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7， 所以a的取值范围是[5,7]．
名师解题 破解与函数单调性有关的综合问题
＋∞)，所以，函数的单调递增区间为 33，＋∞，单调递减 区间为0， 33.
(3)函数的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2＝x12(x＋ b)(x－ b)．
令 f′(x)>0，则x12(x＋ b)(x－ b)>0. ∴x> b或 x<－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 令 f′(x)<0，则x12(x＋ b)(x－ b)<0， ∴－ b<x< b，且 x≠0， ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
则 f′(x)＝(scions xx)′－1－x2 ＝cos2cxo＋s2xsin2x－1－x2 ＝co1s2x－1－x2 ＝1－cocso2xs2x－x2
＝tan2x－x2 ＝(tan x＋x)(tan x－x)．
∵x∈(0，π2)，∴tan x>x>0.
∴f′(x)>0，即 f(x)在(0，π2)内单调递增． 又 f(0)＝0，∴当 x∈(0，π2)时，f(x)>0， 即 tan x>x＋x33.
设函数 f(x)＝ax－ax－2ln x. (1)若 f′(2)＝0，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围． [解] (1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且 f′(x)＝ a＋xa2－2x. ∴a＋a4－1＝0，∴a＝45. ∴f′(x)＝45＋54x2－2x＝52x2(2x2－5x＋2)，

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）

高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2

高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2

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(2)设切点为 P(x0，y0)，
则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1，
6分
直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，
即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
8分
又因直线 l 过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，
32.
• 【错因】 错解中没有验证点M与曲线的位 置关系，而直接把它当作是曲线上的切点．
【正解】 设切点坐标为 N(x0,2x30－3x0)，由导数的几何意义 知切线的斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以 切线的斜率 k＝f′(x0)＝6x20－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋ 32.又点 N 在切线上，所以有 2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0 ＝－2.故切线方程为 y＝21x＋32.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (3)方法一：y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
x12′＝(x－2)′＝－2x－3
－
1x′＝(－x－12
)′＝12x－32
＝1 2x
x
2．已知函数 f(x)＝1x，则 f′(－3)＝( )
A．4
B．19
C．－14 解析：
D．－19 f′(x)＝－x12，f′(－3)＝－－132＝－19.

高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数

高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数

解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修220831263

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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)
辨析
已知极值求参数值
【例2】 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且
f(1)=-1,
(1)求常数a,b,c的值.
(2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出
极值.
分析:先求f'(x),再由函数f(x)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1建立关于
A.2
)
B.3
C.4 D.5
解析:f'(x)=3x2+2ax+3,由题意得f'(-3)=0,解得a=5.
答案:D
变式训练3已知函数y=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为
解析:y'=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0,得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大
值点,因此f(1)=2+m=10,即m=8.
3
= (x-1)(x+1).
2
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增加的,
在(-1,1)上是减少的.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
反思感悟已知函数极值求参数的方法
∴f(x)在x=-1处取得极小值.
因此a=2,b=9.
第十九页，共27页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
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一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为A，区间I A，
如果对于区间I内的任意两个值 x1, x2，当 x1 x2 时，都
有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调
增函数，I称为y = f (x) 的单调增区间
如果对于区间I内的任意两个值 x1, x2，当 x1 x2时，都
在哪些区间是增函数。
说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“和”连接。
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8
四、数学运用:
利用导数讨论函数单调性的一般步骤:
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
（1） y x x2 （2） y x x3
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13
四、数学运用:
例3：证明： f(x)=2x-sinx在R、数学运用: 练习：求证：f (x) ex x在区间（－，0） 内是减函数
K12课件
15
五、小结:
1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要 确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函 数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函 数的单调区间，或证明函数的单调性.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
oa
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bx
6
四、数学运用:
例1 确定函数 f (x) x2 4x 3
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 思考：能不能用其他方法解？
y
1
1
o
x
－1
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四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
2.利用导数的符号来判断函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应 用,它充分体现了数形结合的思想.
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六、课后作业
P78习题3.3第1、2题
K12课件
17
K12课件
18
有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调
减函数，I称为y = f (x) 的单调减区间
K12课件
5
三、建构数学:
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
变式1：求 f (x) 2x3 6x2 7(x>-1)
的单调增区间
变式2：求 f (x) 2x3 6ax2 7(a 0)
的单调减区间
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四、数学运用:
变式2：求f (x) 2x3 6ax2 7(a 0) 的单调减区间
解：
f (x)＝6x2 12ax 即x(x 2a) 0
3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性
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1
一、情境设置:
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰 电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。
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2
图形演示
K12课件
3
二、学生活动:
讨论
通过图形演示你得出了什么结论?
函数单调性与导数符号有着密切的关系
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4
二、学生活动:
令f (x) 0,即6x2 12ax 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f (x)的单调减区间为（0，2a) （2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f (x)的单调减区间为（2a，0)
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四、数学运用:
基础练习:求下列函数的单调区间
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四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
在哪些区间是增函数。
变式1：求 f (x) 2x3 6x2 7(x>-1)
的单调增区间
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四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
在哪些区间是增函数。