高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第二篇第12节定积分的概念及简单应用(1)(1)

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第2篇第12节定积分的概念及简单应用课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号求定积分1、2、7定积分求面积4、8、13、16定积分的物理应用3、5、12由定积分求参数6、9综合应用10、11、14、15基础过关一、选择题1.设函数f(x)=错误!未找到引用源。

则定积分错误!未找到引用源。

f(x)dx等于( C )(A)错误!未找到引用源。

(B)2 (C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:错误!未找到引用源。

f(x)dx=错误!未找到引用源。

x2dx+错误!未找到引用源。

1dx =错误!未找到引用源。

x3错误!未找到引用源。

+x错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.故选C.2.(2014厦门模拟)设函数f(x)=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1,则错误!未找到引用源。

f(-x)dx的值等于( A )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:f′(x)=mx m-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以错误!未找到引用源。

f(-x)dx=错误!未找到引用源。

(x2-x)dx=(错误!未找到引用源。

x3-错误!未找到引用源。

x2)错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.故选A.3.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为( A )(A)0.18 J (B)0.26 J (C)0.12 J (D)0.28 J解析:由物理知识F=kx知,1=0.01k,∴k=100 N/m,则W=错误!未找到引用源。

100xdx=50x2错误!未找到引用源。

=0.18(J).故选A.4.(2014合肥模拟) 如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积等于( B )(A)e2-2e-1(B)e2-2e(C)错误!未找到引用源。

第12节定积分的概念及简单应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·广东深圳一模)定积分x2dx等于( B )(A)0 (B)(C)1 (D)2解析:定积分x2dx=x3︱=(1+1)=,故选B.2.(2017·广州天河区三模)设f(x)=则f(x)dx的值为( A )(A)+ (B)+3(C)+ (D)+3解析:根据定积分性质可得f(x)dx=()dx+(x2-1)dx,根据定积分的几何意义,()dx是以原点为圆心,以1为半径圆面积的一半,()dx=,(x2-1)dx=(x3-x)︱=,所以f(x)dx=+,故选A.3.下列4个不等式:(1)dx<dx;(2)sin xdx<cos xdx;(3)e-x dx<dx;(4)sin xdx<xdx.能够成立的个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:(1)由于x∈(0,1),所以0<<,所以dx<dx;(2)因为x∈[0,],所以0<sin x<cos x,所以sin xdx<cos xdx;(3)因为0<e-x<,所以e-x dx<dx;(4)令f(x)=x-sin x,x∈[0,2],则f′(x)=1-cos x≥0,所以sinxdx<xdx.综上可得,正确的命题有4个.故选D.4.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( D )(A)f(x)dx(B)(C)f(x)dx+f(x)dx(D)f(x)dx-f(x)dx解析:由定积分的几何意义知,区域内的曲线与x轴的面积代数和,即f(x)dx-f(x)dx,故选D.5.(2017·山西临汾二模)一物体A以速度v(t)=t2-t+6沿直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是( C )(A)26.5 (B)53 (C)31.5 (D)63解析:由题意可得,在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S=(t2-t+6)dt=(t3-t2+6t)︱=(-8+24)-(-+6)=31.5,故选C.6.(2017·江西湛江二模)曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( B )(A)2-ln 2 (B)2ln 2-(C)2+ln 2 (D)2ln 2+解析:如图,求阴影部分面积,联立方程组解得x=2,y=1,则曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=(-x+1)dx=(2ln x-x2+x)︱=(2ln 2-2+2)-(0-+1)=2ln 2-,故选B.7.(2017·安徽三模)(sin x-acos x)dx=-,则实数a等于( B )(A)1 (B) (C)-1 (D)-解析:(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)︱=--a+1,所以--a+1=-,所以a=,故选B.8.(2017·长春二模)(+x)dx= .解析:(+x)dx=(ln x+x2)︱=ln e+e2-(ln 1+)=e2+.答案:e2+9.(2017·广东番禺区一模)定积分(+x)dx的值为.解析:根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的,所以dx=,又xdx=︱=,所以(+x)dx=dx+xdx=+.答案:+能力提升(时间:15分钟)10.(2017·山东潍坊一模)已知函数f(x)=f′(1)x2+x+1,则f(x)dx 等于( B )(A)- (B)(C)(D)-解析:因为f′(x)=2f′(1)x+1,所以f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1,所以f(x)=-x2+x+1,所以f(x)dx=(-x3+x2+x)︱=,故选B.11.(2017·广西南宁二模)定义min{a,b}=设f(x)=min{x2,},则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( C )(A) (B) (C)+ln 2 (D)+ln 2解析:由=x2,得x=1,又当x<0时,<x2,所以,根据新定义有f(x)=min{x2,}=图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积S=x2dx+dx=x3︱+ln x︱=+ln 2,故选C.12.(2017·山东德州一模)若不等式|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|a<x<b},则(-1)dx等于( C )(A)(B) (C)(D)3解析:|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到2,3对应点的距离之和, 而1和4对应点到2,3对应点的距离之和正好等于3,故|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|1<x<4},所以a=1,b=4,则(-1)dx=(-1)dx=(-x)︱=(-4)- (-1)=,故选C.13.在平面直角坐标系内,直线l:2x+y-2=0,将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周,所得几何体的体积为.解析:法一由题意可知,V=π(-1)2dy,所以V=π(y3-y2+y)︱=.法二由题意可知绕y轴旋转,形成的是以1为半径,2为高的圆锥, 则V=·π×12×2=.答案:π14.(2017·山东潍坊三模)如图,已知函数y=2kx(k>0)与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为,则实数k的值为.解析:直线方程与抛物线方程联立解得x=0,x=2k,得到积分区间为[0,2k],由题意得(2kx-x2)dx=(kx2-x3)︱=4k3-k3=,即k3=8,解得k=2.答案:2。

第12节定积分的概念及简单应用【选题明细表】知识点、方法题号定积分的计算1,2,3,4,6,7,9,10,11,12,16定积分的应用5,8,13,14,15基础对点练(建议用时:25分钟)1.(2018·四川凉山二诊)(x-e x)dx等于( A )(A)-e (B)-e(C)+e (D)+e解析:(x-e x)dx=(x2-e x)|=(-e)-(-1)=-e.故选A.2.(2018·吉林省吉林市三调)|x-1|dx等于( A )(A)(B)1 (C)2 (D)3解析:|x-1|dx=(1-x)dx=(x-x2)|=1-=.3.(2018·安徽马鞍山二检)若(sin x+cos x)dx=,则a的值不可能为( B )(A) (B)(C) (D)解析:由题意(-cos x+sin x)|=sin a-cos a=sin(a-)=,所以sin(a-)=,所以a-=+2kπ或+2kπ,即a=+2kπ或a=+ 2kπ,k∈Z,则a可取,,.故选B.4.(2018·吉林四平质检)定积分dx的值为( A )(A)(B)(C)π (D)2π解析:y=,所以(x-1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,所以定积分dx等于该圆的面积的四分之一,所以定积分dx=.故选A.5.(2018·河南八市测评)已知物体运动的速度与时间的关系为v=4t-9,则物体从t=0到t=5所走的路程为( B )(A)11 (B)5 (C) (D)20解析:由定积分的物理意义可知物体从t=0到t=5所走的路程为(4t-9)dt=(2t2-9t)|=50-45=5,故选B.6.(2018·北京海淀期中)x2dx的值为.解析:x2dx=x3|=9-(-9)=18.答案:187.(2018·山东潍坊三模)定积分(x+e x)dx= .解析:由(x+e x)dx=(x2+e x)|=(+e)-e0=e-.答案:e-8.(2018·河南省八市学评一测)直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为.解析:由题意直线y=4x与曲线y=4x3所围成的封闭图形,如图所示, 又由解得x=0或x=1,所以封闭图形的面积为S=(4x-4x3)dx=(2x2-x4)|=1.答案:1能力提升练(建议用时:25分钟)9.(2018·黑龙江七台河期末)若(x-2x2)dx=0(k>0),则k等于( B )(A)(B)(C)1 (D)解析:由定积分定义知(x-2x2)dx=0=(x2-x3)|=k2-k3=0,解得k=,故选B.10.(2018·安徽淮南二中、宿城一中四联)设f(x)=则f(x)dx等于( B )(A)0 (B)π (C)-π(D)解析:由已知f(x)dx=cos xdx+1dx=sin x|+x|=π.故选B.11.(2018·山东师大附中三模)dx等于( C )(A)2(-1) (B)+1 (C)-1 (D)2-解析:dx=(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)|=-1.故选C.12.(2018·宁夏育才中学月考)已知实数a=log23,b=(x+)dx,c=lo,则a,b,c的大小关系是( D )(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)c>b>a解析:因为log22<log23<log24,所以a∈(1,2),b=(x+)dx=(x2+ln x)|=2+ln 2-=+ln 2∈(2,3).c=lo>lo=3.所以c>b>a.故选D.13.(2018·辽宁鞍山一中期中)由曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的封闭图形面积为( D )(A)2-ln 3 (B)ln 3 (C)2 (D)4-ln 3解析:根据题意作出所围成的图形,如图所示,图中从左至右三个交点分别为(,3),(1,1),(3,3),所以所求面积为S=(3-)dx+(3-x)dx=(3x-ln x)|+(3x-x2)|=4-ln 3.故选D.14.一物体A以速度v(t)=t2-t+6沿直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是( C )(A)26.5 (B)53 (C)31.5 (D)63解析:由题意得,在t=1变化到t=4这段时间内物体A运动的路程是s=(t2-t+6)dt=(t3-t2+6t)|=(-8+24)-(-+6)31.5.故选C.15.(2018·贵州凯里一中模拟三)曲线y=-x2-x与x轴所围成图形的面积被直线y=kx分成面积相等的两部分,则k的值为( D ) (A)-(B)-(C)-1-(D)-1解析:如图所示,y=-x2-x与x轴的交点为(-1,0)和(0,0),y=-x2-x与y=kx的交点为(-1-k,-k-k2)和(0,0).由题意和定积分的几何意义得(-x2-x)dx=2(-x2-x-kx)dx化简得=2[-+]即=(1+k)3,解得k=-1=-1.故选D.16.(2018·广东七校二联)已知函数f(x)=sin x+,则f(x)dx= .解析:由题意f(x)dx=sin xdx+dx,sin xdx=-cos x|=-[cos 1-cos(-1)]=0,dx表示以原点为圆心,以2为半径的圆的一段弧与x=1,x=-1,x轴所围成的图形的面积,其面积为×π×22+2××1×=+.答案:+好题天天练(建议用时:10分钟)1.(2018·河北衡水信息卷三)已知a=cos xdx,f(x)是以a为周期的奇函数,且定义域为R,则f(2 017)+f(2 018)的值为( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2 018解析:a=cos xdx=sin x|=2,可知f(x)的周期为a=2,因为x∈R,f(0)=0,所以f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(0)=f(1),因为f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=0.故选A.2.(2018·黑龙江哈六中押题二)已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=[t+f′(2)]dt,则f(2)与f(-2)的大小关系为.解析:因为f(x)=2[t+f′(2)]dt=t2+2tf′(2)|=x2+2f′(2)x.所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),所以f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x.因为f(2)=-12,f(-2)=20.所以f(-2)>f(2).答案:f(-2)>f(2)。

2021年高考数学大一轮复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关(十五)第261页 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(xx·厦门模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A.答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)． 故选A. 答案：A4．(xx·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e.故选B.答案：B5．(xx·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176.答案：A7．(xx·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D.答案：D9．(xx·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(xx·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(xx·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14 B.13 C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(xx·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝________.解析：⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(xx·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 答案：216．(xx·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎪⎫sin t ＋12sin 2t d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos t －14cos 2t |x＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． 答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(xx·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引] (1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t－c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(xx·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )， 若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a . (2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ， 此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512<a <－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(xx·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由；(2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝－ln x x2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥kx ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x≥k .记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln xx2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x.∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二 利用导数证明不等式[典例赏析2] (xx·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x－ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时， ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋2)2x0＋2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0.导数研究实数区间D上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D上成立，不等式在区间D上恒成立，求参数k的范围”等．(1)证明区间D上不等式成立的策略：构造函数f(x)，把不等式转化为证明f(x)>0，f(x)<0等，把其转化为求函数f(x)在区间D上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D上不等式恒成立求参数k范围的策略：如果能够分离参数k，即得到φ(k)>f(x)或φ(k)<f(x)，问题等价于求函数在区间D上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D上不等式成立的策略．2．(xx·湛江一模)已知f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝12ax2＋bx(a，b∈R)．(1) 若b＝2且h(x)＝f(x－1)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若a＝0，b＝1，求证：当x∈(－1，＋∞)时，f(x)－g(x)≤0恒成立；(3) 利用(2)的结论证明：若x>0，y>0，则x ln x＋y ln y>(x＋y)ln x＋y 2.解：(1)当b＝2时，h(x)＝ln x－12ax2－2x∴h′(x)＝1x－ax－2.∵h(x)有单调减区间，∴h′(x)<0有解，即1－ax2－2xx<0∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有解．(ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )lnx ＋y2＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －ln x ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎪⎫ln y －ln x ＋y 2＝x ln2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y ＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y＝－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三 利用导数研究恒成立问题 对应学生用书理53页 文50页[典例赏析3] (xx·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围．[思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x 23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a>0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0， 解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立. 根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a>0， 所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(xx·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0.(2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立． 设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x3. 当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e3，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e 3，＋∞.(3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋14.①当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数， 故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点． 综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四 利用导数研究方程的根(或函数的零点)对应学生用书理54页 文51页[典例赏析4] (xx·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >ee；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <e e； 所以，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e e ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1， 所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x min .∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0， 所以x 1＝a －a 2＋4a2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)． 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0， 因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)． 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解． 因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(xx·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e. 解：(1)解：f ′(x )＝a e x＋(ax －2)e x＝(ax ＋a －2)e x. 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x＋(x －2)e x＝(x －1)e x.所以函数f 当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增，f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m .当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e.当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(xx·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax，a ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax2. 令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1. 所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1.f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2.(3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)． 由g ⎝⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a <b ，∴b －1＝a －1(舍)，或(a －1)(b －1)＝1. ∵1＝(a －1)(b －1)<(b －1)2，∴b >2. 由g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*)因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，h ，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页 文52页3．(xx·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x 2<0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －ba －1ba＋1，∵0<a <b ，∴ba>1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增， 又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >b a －1b a＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f (b )－f (a )2>b －ab ＋a. 4．(xx·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围； (3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1ex －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x＋(1－x )(e x－3)＋3＝－x e x＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示： 令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解． ∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(xx·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －a x.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)． 由h ′(x )＝1－1x>0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2， 欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则 γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数． 从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ). (3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0.故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2，φ(e)－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e， ∴y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)． y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(xx·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2. 解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cxx.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln xx－x .设g (x )＝ln xx －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x2x 2，∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，① ∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，②而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③ 由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1， 上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)． 设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立， 故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(xx·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin[g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0， 对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞；③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞.(3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a <b )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(1－2m )>0，m2>0解得0<m <12， 解方程得b ＝1＋1－2m 2，则12<b <1.又由2b 2－2b ＋m ＝0得m ＝－2b 2＋2b ，所以g (b )＝b 2－2b ＋1＋m ln b ＝b 2－2b ＋1＋(－2b 2＋2b )ln b ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.g ′(b )＝2b －2＋(－4b ＋2)ln b ＋2－2b＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12ln B.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(b )>0，即函数g (b )是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1， 则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])．6．(文科)(xx·南平市质检)已知函数f (x )＝e x－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x－1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x－1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t－t . ②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝e t ＋2－t －2.∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． 证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x存在同步偏移区间[a ，b ]， 则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x.∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x)＝(x2－1)e x－x－m(x>1)，则φ′(x)＝(x2＋2x－1)e x－1.∵x>1，φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x)在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x2－1)e x＝x＋m有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g(x)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． 38581 96B5 隵39920 9BF0 鯰x 0:n!27334 6AC6 櫆36348 8DFC 跼)n$。

第二章函数、导数及其应用第12节定积分概念及简单应用> 1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基I本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.I ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________［要点梳理］1.定积分⑴定积分的相关概念如果函数兀0在区间［。

，切上连续，用分点a=x0<x l<-<Xi _x<Xi<<x n=b将区间［a, b］等分成"个小区间，在每个小区间n n b—ci ［x z-i，无］上任取一点刃=1,2,・・・皿），作和式E —二fd当兀一8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数斤劝在区间［0, 斤b—cib］上的定积分，记作fy（x）ck,即f/Xx）ck=lim^ 。

与S —► OO ・ V "b分别叫做积分下限与积分上限，区间⑷ 切叫做积分区间，函数兀X）叫做被积函数，X叫做积分变量，兀X）dx叫做被积式.• (2)定积分的几何意义(3)定积分的基本性质@ b kf(x)dx=伙为常数);J a②『历⑴切(x)]dx二③b f{x）dx=（其中aa<c<b）a2.微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）定理所满足的条件①/S）是区间⑺，甸上的连续函数；®F，W =Kx）；结论：［%）血=F（b）—F（a）.记法：b f(x)dx==F(b)—F(a).J3.定积分在物理中的应用(1)变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度e关于时间r的函数是e =e(/)(e(0NO),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为s = ;如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为(2)变力做功问题物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功为w=质疑探究1：定积分［7匕)血与［7⑴出是否相等？丿d j a提示：相等，定积分的值只与被积函数有关，而与积分变量用哪一个字母表示无关.质疑探究2：微积分基本定理中的F(x)是唯一的吗？提示：不是唯一的，它们之间相差非零常数.［基础自测］1.已知几X）为偶函数且［%皿=8,贝IJ f6»dx等于（）丿0 =6A・0 B・4C・8 D・16［解析］因为应)为偶函数，图像关于y轴对称，所以「兀x)dx=2 I6/⑴dx=8X2=16.故选D.J・6 J。

【创新大课堂】（新课标） 高考数学一轮总复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用练习一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1.1＜x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x 3| 10＋x | 21＝43.故选C 。

[答案] C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56 B.12 C.23D.16[解析] f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12 f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)| 21＝56.故选A.[答案] A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J[解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k ＝100 N/m ， 则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2| 0.060＝0.18(J)．故选A 。

[答案] A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x－e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1[解析] 由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )| 21 ＝(e 2－2e)－(e －e)＝e2－2e. 故选B.[答案] B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[解析] 因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4＞3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )| 20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b .故选D.[答案] D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116[解析] ∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝(13t 3－12t 2＋2t )| 21＝176.故选A. [答案] A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8[解析] ⎠⎛0t (2x －1)d x ＝⎠⎛0t 2x d x －⎠⎛0t 1d x ＝x 2| t0－x | t0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t＝－2(舍去)．故选B.[答案] B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3， 解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4| 10＋(2x －12x 2)| 21＝14＋12＝34.故选D. [答案] D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．π2B ．4C ．πD ．－9π[解析] ∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.[答案] A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ＜0，cos x 0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12[解析] S ＝|⎠⎛-10(x ＋1)d x |＋|cos x d x |＝|(12x 2＋x )|| 0－1＋|sin x|＝32. [答案] A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D. 1623[解析] 由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02(1－x 24)d x ＝2(x －x 312)| 20＝83.[答案] C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A.14B.13C.12D.23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x ＞0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝(t 2x －13x 3)| t 0＋(13x 3－t 2x )| 1t ＝43t 3－t 2＋13，令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0＜t ＜1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.故选A.[答案] A二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23(x ＋1x)2d x ＝________.[解析] ⎠⎛23(x ＋1x)2d x ＝⎠⎛23(x ＋1x＋2)d x＝(12x 2＋ln x ＋2x )| 32＝92＋ln 32.[答案] 92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图像如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．[解析] 所求区域面积为S ＝ (3－1x)d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.[答案] 4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)| k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.[答案] 216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．[解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x (sin t ＋ 12sin 2t )d t＝(－cos t －14cos 2t )| x＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋ 1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． [答案] 2。

一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1.1＜x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x 3| 10＋x | 21＝43.故选C 。

[答案] C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56 B.12 C.23D.16[解析] f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12 f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)| 21＝56.故选A.[答案] A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J[解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k ＝100 N/m ， 则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2| 0.060＝0.18(J)．故选A 。

[答案] A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x－e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e2D ．e 2－2e ＋1[解析] 由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )| 21 ＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e. 故选B.[答案] B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[解析] 因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4＞3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )| 20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b .故选D.[答案] D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116[解析] ∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝(13t 3－12t 2＋2t )| 21＝176.故选A. [答案] A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8[解析] ⎠⎛0t (2x －1)d x ＝⎠⎛0t 2x d x －⎠⎛0t 1d x ＝x 2| t0－x | t0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t＝－2(舍去)．故选B.[答案] B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( )A.43B.54 C.56D.34[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3， 解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4| 10＋(2x －12x 2)| 21＝14＋12＝34.故选D.[答案] D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．π2B ．4C ．πD ．－9π[解析] ∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.[答案] A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ＜，cos x x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12[解析] S ＝|⎠⎛-10(x ＋1)d x |＋|cos x d x |＝|(12x 2＋x )|| 0－1＋|sin x |＝32.[答案] A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D. 1623[解析] 由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02(1－x 24)d x ＝2(x －x 312)| 20＝83.[答案] C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A.14B.13C.12D.23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x ＞0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝(t 2x －13x 3)| t 0＋(13x 3－t 2x )| 1t ＝43t 3－t 2＋13，令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0＜t ＜1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.故选A.[答案] A二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23(x ＋1x)2d x ＝________.[解析] ⎠⎛23(x ＋1x)2d x ＝⎠⎛23(x ＋1x＋2)d x＝(12x 2＋ln x ＋2x )| 32＝92＋ln 32.[答案] 92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图像如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．[解析] 所求区域面积为S ＝ (3－1x)d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.[答案] 4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)| k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.[答案] 216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．[解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x (sin t ＋ 12sin 2t )d t＝(－cos t －14cos 2t )| x＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋ 1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． [答案] 2。

高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案（带答案）学案16 定积分及其简单的应用导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质(1)&#643;bakf(x)dx＝__________________ (k为常数)；(2)&#643;ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；(3)&#643;baf(x)dx＝_______________________________________.3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么&#643;baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即&#643;baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用(1)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(2)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(3)当x∈[a，b]且f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x ＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.(4)若f(x)是偶函数，则&#643;a－af(x)dx＝2&#643;a0f(x)dx；若f(x)是奇函数，则&#643;a－af(x)dx＝0.5．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b (ab)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.自我检测1．计算定积分&#643;503xdx的值为 ( )A.752B．252D．252．定积分&#643;10[1－&#61480;x－1&#61481;2－x]dx等于 ( )A.π－24B.π2－π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A．23B．2－23D．(2010湖南)&#643;421xdx等于 ( ) A．－2ln 2B．2ln 2C．－ln 2D．ln 25．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分：(1) ；(2) ；(3)&#643;π0(2sin x－3ex＋2)dx；(4)&#643;20|x2－1|dx.变式迁移1 计算下列定积分：(1)&#643;2π0|sin x|dx；(2)&#643;π0sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y＝12x2和y＝3－(x－1)2所围成的平面图形的面积变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x ＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程．变式迁移3 A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点时速度达24 m/s，从C点到B点前的D 点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．函数思想的应用例(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝tt2－&#643;t0x2dx＝23t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝&#643;1tx2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．[6分]令S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.[10分]所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．1．定积分&#643;baf(x)dx的几何意义就是表示由直线x ＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如&#643;204－x2dx＝π(半径为2的14个圆的面积)，&#643;2－24－x2dx＝2π. 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差． 3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列值等于1的积分是 ( )A．&#643;10xdxB．&#643;10(x＋1)dxC．&#643;1012dxD．&#643;101dx2．(2011汕头模拟)设函数f(x)＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1x≤2，则&#643;20f(x)dx等于 ( )A.13B．6D．．已知f(x)为偶函数且&#643;60f(x)dx＝8，则&#643;6－6f(x)dx等于 ( ) A．0B．4C．8D．．(2011深圳模拟)曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A．&#643;π20(sin x－cos x)dxB．2&#643;π40(sin x－cos x)dxC．&#643;π20(cos x－sin x)dxD．2&#643;π40(cos x－sin x)dx5．(2011临渭区高三调研)函数f(x)＝&#643;x0t(t －4)dt在[－1,5]上 ( )A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．若1 N的力使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________．&#643;10(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.8．(2010山东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则&#643;30f(x)dx＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)&#643;212x2－1xdx；(2)&#643;32x＋1x2dx；(3)&#643;π30(sin x－sin 2x)dx；(4)&#643;21|3－2x|dx0．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．．(14分)求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln 2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．答案自主梳理1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 面积2．(1)k&#643;baf(x)dx(2)&#643;baf1(x)dx±&#643;baf2(x)dx(3)&#643;caf(x)dx＋&#643;bcf(x)dx(其中acb)3.微积分基本定理F(x)|ba4.(1)&#643;baf(x)dx (2)－&#643;baf(x)dx(3)&#643;ba[f(x)－g(x)]dx5.(1)s＝&#643;bav(t)dt (2)&#643;baF(x)dx自我检测1．A 2.A 3.C 4.D5．±3解析由y＝x2＋k2，y＝2kx.得(x－k)2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k0时，S＝&#643;k0(x2＋k2－2kx)dx＝&#643;k0(x－k)2dx＝13(x－k)3|k0＝0－13(－k)3＝k33，由题意知k33＝9，∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±堂活动区例1 解题导引(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数．①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则&#643;a－af(x)dx＝2&#643;a0f(x)dx.解(1)&#643;e1x＋1x＋1x2dx＝&#643;e1xdx＋&#643;e11xdx＋&#643;e11x2dx＝12x2|e1＋ln x|e1－1x|e1＝12(e2－1)＋(ln e－ln 1)－1e－11＝12e2－1e＋32.(2)&#643;π20(sin x－2cos x)dx＝&#643;π20sin xdx－2&#643;π20cos xdx＝(－cos x)|π20－2sin x|π20＝－cos π2－(－cos 0)－2sin π2－sin 0＝－1.(3)&#643;π0(2sin x－3ex＋2)dx＝2&#643;π0sin xdx－3&#643;π0exdx＋&#643;π02dx＝2(－cos x)|π0－3ex|π0＋2x|π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)＝7－3eπ＋2π.(4)∵0≤x≤2，于是|x2－1|＝x2－1，1x≤2，1－x2，0≤x≤1，∴&#643;20|x2－1|dx＝&#643;10(1－x2)dx＋&#643;21(x2－1)dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.变式迁移1 解(1)∵(－cos x)′＝sin x，∴&#643;2π0|sin x|dx＝&#643;π0|sin x|dx＋&#643;2ππ|sin x|dx＝&#643;π0sin xdx－&#643;2ππsin xdx＝－cos x|π0＋cos x|2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.(2)&#643;π0sin2xdx＝&#643;π012－12cos 2xdx＝&#643;π012dx－12&#643;π0cos 2xdx＝12x|π0－1212sin 2x|π0＝π2－0－1212sin 2π－12sin 0＝π2.例 2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解作出函数y＝12x2和y＝3－(x－1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．解方程组y＝12x2，y＝3－&#61480;x－1&#61481;2，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.所以两曲线交点为A－23，29，B(2,2)．所以S＝&#643;2－23[3－(x－1)2]dx－&#643;2－2312x2dx＝&#643;2－23(－x2＋2x＋2)dx－&#643;2－2312x2dx＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×8＋827＝42027.变式迁移2 解如图，设f(x)＝x＋3，g(x)＝x2－2x＋3，两函数图象的交点为A，B，由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积S＝&#643;30[f(x)－g(x)]dx＝&#643;30[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]＝&#643;30(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知．v(t)＝3t，t∈[0，10&#61481;，30，t∈[10，40&#61481;，－1.5t＋90，t∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s＝&#643;1003tdt＋&#643;401030dt＋&#643;6040(－1.5t＋90)dt＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350方法二由定积分的物理意义知，汽车1 min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，∴s＝12(AB＋OC)×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350变式迁移3 解(1)设v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.∴A、C间距离|AC|＝&#643;2001.2tdt＝(0.6t2)|200＝0.6×202＝240 (m)．(2)由D到B时段的速度公式为v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C、D段用时6 72024＝280 (s)．又A、C段与B、D段用时均为20 s，∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．课后练习区1．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F ＝kx，则1＝k×0.02，∴k＝50，∴F＝50x，伸长12 cm时克服弹力做的功W＝&#643;0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)．7．1解析∵&#643;10(2xk＋1)dx＝2k＋1xk＋1＋x10 ＝2k＋1＋1＝2，∴k＝．－18解析∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，∴&#643;30f(x)dx＝13×33－4×32＋3×3＝－．解(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－ln x，所以&#643;212x2－1xdx＝23x3－ln x21＝163－ln 2－23＝143－ln 2.………………………………………………………………(3分)(2)&#643;32x＋1x2dx＝&#643;32x＋1x＋2dx＝12x2＋ln x＋2x32＝92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.…………………………………………………………………………………(6分)(3)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为y＝－cos x＋12cos 2x，所以&#643;π30(sin x－sin 2x)dx＝－cos x＋12cos 2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分)＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|232＝12.…………………………………………………………(1 2分)10．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)(2)依题意，所求面积S＝&#643;10(x2－2x＋1)dx＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………(12分)11．解画出直线x＝－ln 2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由y＝e－1，y＝ex－1，解得B(1，e－1)．由x＝－ln 2，y＝ex－1，解得A－ln 2，－12.…………………………………………………(4分)此时，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．所以S＝S曲边梯形BCDO＋S曲边三角形OAD＝&#643;1－ln 2(e－1)dx－&#643;10(ex－1)dx ＋?0－ln 2&#61480;ex－1&#61481;dx………………………………………(7分) ＝(e－1)x|1－ln 2－(ex－x)|10＋|(ex－x)|0－ln 2| ………………………………………………(10分)＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－12＝eln 2＋12.……………………………………………………………………………(14分)。