第2课时 利用二元一次方程组解决方案设计问题

5.2.2 求解二元一次方程组(加减消元法) 教学设计与反思授课教师学校学科初中数学班级801班教学三维目标1，知识与技能：会用加减消元法解二元一次方程组。

2，过程与方法：培养学生归纳总结问题的能力，同时使学生会使用较严密的数学语言概括出问题的主要方面。

3，情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，大胆尝试不同解法，并在体验成功的快乐的同时，激发学生浓厚的学习兴趣。

教学重点用加减消元法解二元一次方程组教学难点形成加减消元的基本思路，并能灵活选择代入法、加减法解二元一次方程组教学过程一、复习引入1，上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，说一说解方程组的基本思路是什么?2，代入法解方程组的主要步骤有哪些?生：变形——代入——回代求解——写解设计意图：通过对解方程组的基本思路、代入法解方程组的主要步骤的复习回顾，进一步加深学生对解方程组的主要步骤的理解，为本课时的教学做准备。

3，怎样解下面的二元一次方程组呢？小明：把②变形得5y-11x=,2代入①，就消去x了!小亮：把②变形得5y＝2x＋11,可以直接代入①呀！小丽：5y和－5y互为相反数……按小丽的思路，你能消去一个未知数吗?x = 2将x = 2代入①，得 6 + 5y = 21，y = 3教学过程所以方程组的解为你能理解这种方法吗?这个方程组有什么特点？设计意图：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法。

例2 解方程组：2x-5y=7,2x+3y=-1.①②解：②－①，得8y＝－8，即y ＝－1将y＝－1代入①，得2x+5＝7，即x＝1所以原方程组的解是x=1,y=-1.设计意图：学生都能迅速、正确的表述解答过程，尝到解方程组成功的快乐，激发了学会解二元一次方程组的信心和热情，为后面问题的处理打下了心理基础。

4，小试牛刀解方程组：师：通过刚才的解答你们能发现前面这两个方程组有什么特点吗?解这类方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些?【在组成方程组的两个方程中，若某个未知数的系数互为相反数或相等时，可直接把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

1.3 二元一次方程组的应用（2课时）第1课时用二元一次方程组解决较简单的实际问题1．掌握列方程组解决所列方程中含“x＋y＝”形式的实际问题．(重难点)2．通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用．自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题．(一)知识探究建立二元一次方程组解决实际问题的步骤如下：(1)分析等量关系；(2)设两个未知数；(3)列二元一次方程组；(4)解方程组；(5)检验解是否符合实际情况．(二)自学反馈1．依依买了7本数学书和2本语文书共花了100元；菲菲买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买3本数学书要花(C)A ．15元B ．20元C ．30元D ．45元2．雅西高速公路正式通车后，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．解：设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时，y 千米/时．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2.5x ＋2.5y ＝420，2.5x －2.5y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝98，y ＝70.答：小汽车的平均速度为98 km/h ，客车的平均速度为70 km/h.此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．活动1 小组讨论例1 某学校在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2 400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？ 分析：本题的等量关系是：教师人数＋学生人数＝110人；教师的总票钱＋学生的总票钱＝2 400元．根据题意列出方程组，解得答案．解：设在这次游览活动中，教师有x 人，学生有y 人．由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝110，40x ＋20y ＝2 400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝100.答：在这次游览活动中，教师有10人，学生有100人．此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．例2 某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A ，B 两种商品进行打折销售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4.打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1 000(元)．所以打折后少花1 000－960＝40(元)．答：打折后少花40元．设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果．活动2 跟踪训练1．A 地至B 地的航线长9 750 km ，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需12.5 h ，它逆风飞行同样的航线需13 h ，求飞机无风时的平均速度与风速．解：设飞机的平均速度为x 千米/时，风速为y 千米/时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9 75012.5，x －y ＝9 75013，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝765，y ＝15. 答：无风时飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时．本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握行程问题的顺风速度＝无风时的速度＋风速和逆风速度＝无风时的速度－风速，由此建立方程组是关键．2．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5 300名学生就餐？请说明理由．解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x 名，y 名学生就餐．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360. 答：1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名，360名学生就餐．(2)若7个餐厅同时开放，则有5×960＋2×360＝5 520，5 520＞5 300.答：若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5 300名学生就餐．活动3 课堂小结第2课时 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题．(重难点)2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力．自学指导：阅读教材P16～17，完成下列问题．自学反馈1．八年级(3)班共有学生349人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少4人，则下列方程组中正确的是(C)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3492y ＝x －4B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝349y ＝2x ＋4C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝349y ＝2x －4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3492y ＝x ＋4审清题意后找出两个等量关系：男生人数y ＋女生人数x ＝349；男生人数y ＝女生人数x 的2倍－4.所以由此列式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝349，y ＝2x －4.2．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？ 解：设该公司应安排x 天精加工，y 天粗加工．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，6x ＋16y ＝140.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝5.答：该公司应安排10天精加工，5天粗加工．活动1 小组讨论例 如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？分析：销售款＝产品数量×8 000，原料费＝原料数量×1 000.运费＝15 000＋97 200.解：设产品重x 吨，原料重y 吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5×（20x ＋10y ）＝15 000，1.2×（110x ＋120y ）＝97 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝400.8 000x －(1 000y ＋15 000＋97 200)＝1 887 800(元)．答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．活动2 跟踪训练1．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？分析：设需安排x 名工人加工大齿轮，安排y 名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，列方程组求解．解：设需要安排x 名工人加工大齿轮，安排y 名工人加工小齿轮，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝85，3×16x ＝2×10y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝60.答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．本题考查理解题意的能力，关键是能准确理解2个大齿轮和3个小齿轮配成一套是什么意思，根据理解正确列出方程．2．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：3．(注：利润＝售价－进价)某商店计划销售完这批商品后能使利润达到1 100元，问甲、乙两种湘教版七年级数学下册 1.3 二元一次方程组的应用新教案设计（2课时）湘教版七年级数学下册 1.3 二元一次方程组的应用新教案设计（2课时）11 / 1111 / 11 商品应分别购进多少件？解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝160，（20－15）x ＋（45－35）y ＝1 100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝60. 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．此题主要考查了二元一次方程组的应用，设出未知数，找出题目中与未知数相关的等量关系是解决问题的关键．活动3 课堂小结本节课你有何收获？。

8．3实际问题与二元一次方程组1教学目标(1)、知识与技能1、会根据实际问题找相等关系列一元一次方程; 2、会利用合并同类项解一元一次方程。

(2)、过程与方法体会方程中的化归思想,会用合并同类项解决“ax+bx=c”型方程,进一步认识如何用方程解决实际问题。

(3)、情感与态度通过对实际问题的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2学情分析评论我所在的学校坐落在乡镇。

任教的七年级(7)班学生活泼热情,思维活跃,对新鲜事物充满好奇,自我感觉良好。

但是在学习习惯和学习意志上有所欠缺,既轻视基础,又怕麻烦和困难。

解一元一次方程是学生必须掌握的一项基本技能。

通常情况下,认为学生只有通过重复,机械的练习才能获得这一技能。

而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味,反而影响了学生对数学的学习态度与情感,不利于提高课堂教学效率。

3重点难点评论教学重点:会列一元一次方程解决实际问题,并会合并同类项解一元一次方程。

教学难点:会列一元一次方程解决实际问题。

第1课时利用二元一次方程组解决实际问题教学目标能根据具体问题的数量关系，会列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、盈亏、行程等实际问题．(重点、难点)教学过程一、情境导入古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？二、合作探究探究点一：利用二元一次方程组解决实际问题【类型一】 和差倍分问题某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米．未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x 、y 表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x 立方米，乙种货物的体积为2y 立方米．相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即甲种货物质量,↓,x ))＋,)乙种货物质量,↓,y ))＝,)船的总载重量,↓,300))甲种货物体积,↓,6x ))＋,)乙种货物体积,↓,2y ))＝,)船的总容积,↓,1200))解：设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，6x ＋2y ＝1200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150，y ＝150. 答：甲、乙两种货物各装150吨．方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】 变化率问题为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x 人，在主城区中学学习的民工子女有y 人．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5000，20%x ＋30%y ＝1160，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3400，y ＝1600.20%x ＝680，30%y ＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配备360名中小学教师．方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型三】 行程问题A 、B 两码头相距140km ，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h ，逆水航行用了10h ，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．解析：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，列表如下：路程 速度 时间 顺流140km (x ＋y )km/h 7h 逆流 140km (x －y )km/h 10h解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7（x ＋y ）＝140，10（x －y ）＝140.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝3. 答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h ，水流速度为3km/h.方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：利用二元一次方程组解决几何问题小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm 的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？解析：在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解．解：设小长方形的长为x cm ，宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝5y ，2x ＋2＝x ＋2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝6. 答：每个小长方形的长为10cm ，宽为6cm.方法总结：本题考查了同学们的观察能力，通过观察图形找等量关系，建立方程组求解，渗透了数形结合的思想．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计列方程组,解决问题)⎩⎪⎨⎪⎧一般步骤：审、设、列、解、验、答关键：找等量关系通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识。

第2课时 利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题【教学目标】通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型。

【教学重点与难点】1.重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题。

2.难点：寻找等量关系。

【教学过程】一、看一看问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？3、本题中有哪些等量关系？提示：若甲种作物单位产量是a ，那么乙种作物单位产量是多少？甲种作物单位产量是a⎩⎨⎧=⨯=+4:3)5.1100(:)100(200a y xa y x 解这个方程组得⎩⎨⎧==94106y x 答：这两个长方形，是过长方形ABCD 土地的长边上离A 约106米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物。

思考：这块地还可以怎样分？二、练一练1、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：工都有工作，而且投入的资金正好够用？问题：题中有几个已知量？题中求什么？分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？四、课堂小结五、作业布置。

人教版2022-2023学年七年级下册数学期末复习专题二元一次方程组的应用（方案问题）原计划两班都以班为单位分别购票，则一共应付1106元．请回答下列问题：（1）初一（2）班有多少人？（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？4．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200吨，如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100吨，新、旧工艺的废水量之比为2:5，两种工艺的废水量各是多少？5．列二元一次方程组解应用题：学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元，购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．求A B，两种奖品的单价．6．某同学在A，B两家网店发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是492元，且随身听的单价比书包单价的3倍少108元．(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元．(2)某一天恰好赶上商家促销，网店A所有商品打八折销售，网店B全场每购满100元减25元销售，怎样购买更省钱？写出必要的理由过程．7．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案．8．抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．9．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A 型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元（1）求A B、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？10．某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有运输方案并指出哪种运输方案费用最少．11．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车计划一年生产安装240辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?（2）如果工厂抽调熟练工m名，再招聘()<<名新工人，使得招聘的新工人和n n010抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案? 12．我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？13．小志从甲、乙两超市分别购买了10瓶和6瓶cc饮料，共花费51元；小云从甲、乙两超市分别购买了8瓶和12瓶cc饮料，且小云在乙超市比在甲超市多花18元，在小志和小云购买cc饮料时，甲、乙两超市cc饮料价格不一样，若只考虑价格因素，到哪家超市购买这种cc饮料便宜？请说明理由．14．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？15．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？16．鹏程中学拟组织七年级部分师生赴滁州市琅琊山进行文学采风活动．下面是活动负责人李老师和小芳同学、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车辆．（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？答案1．(1)每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨(2)方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车2．（1）A种产品4件，B种产品3件；（2）利润是12万元．3．（1）初一（2）班共有53人或59人；（2）两个一起买票更省钱，比原计划节省298元或290元4．新、旧工艺的废水排量分别为200吨和500吨5．A奖品单价30元，B奖品单价15元．6．(1)随身听单价为342元，书包单价为150元(2)在A购买书包，在B购买随身听更省钱，费用为387元7．（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）故共有四种租车方案，分别为：①A型车0辆，B型车9辆；②A型车4辆，B 型车6辆；③A型车8辆，B型车3辆；④A型车12辆，B型车0辆．8．（1）1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨；（2）共有3种租车方案：方案一，A型车9辆，B型车1辆；方案二，A型车5辆，B型车4辆；方案三，A型车1辆，B型车7辆，最省钱的租车方案是A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元9．（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；（2）方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆；（3）购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元10．（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B 型车2辆最少．11．（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；（2）12．（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．13．到甲超市购买这种cc饮料便宜．14．24.5吨15．该校现有30间学生宿舍16．（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1000元，800元．（2）按小明提出的租车方案，七年级师生到该公司租车一天，共需租金6000元．（3）租用5辆60座和1辆45座的客车，此时租车费为5800元．17．（1）建设一个A类美丽村庄需120万元，建设一个B类美丽村庄需180万元；（2）共需资金1080万元．18．（1）4；（2）甲种车型需8辆，乙种车型需10辆；（3）甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元．19．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元20．（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元。

数学七年级下学期《利用二元一次方程组解决实际问题》教学设计一. 教材分析《利用二元一次方程组解决实际问题》是人教版数学七年级下学期的一章内容。

本章主要介绍了二元一次方程组的定义、性质和应用。

通过本章的学习，学生能够掌握二元一次方程组的解法，并能够运用二元一次方程组解决实际问题。

教材内容安排合理，循序渐进，通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了二元一次方程的基本概念和解法，对于解决实际问题有一定的经验。

但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用二元一次方程组进行求解，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和辅导。

三. 教学目标1.理解二元一次方程组的定义和性质。

2.学会利用二元一次方程组解决实际问题。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的解法和应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用二元一次方程组进行求解。

五. 教学方法1.讲授法：讲解二元一次方程组的定义、性质和解法。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用二元一次方程组进行求解。

3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生的知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示教材内容和例题。

2.练习题：准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学用具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题。

例如，假设一个水果店苹果和香蕉的售价相同，苹果每千克3元，香蕉每千克4元，现在购进苹果和香蕉共20千克，花费了52元，问购进苹果和香蕉各多少千克？2.呈现（15分钟）讲解二元一次方程组的定义、性质和解法。

通过PPT展示教材内容，并用例题解释二元一次方程组的解法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决导入中提出的问题。

10.5用二元一次方程组解决问题（2）的教学设计【教学目标】经历“找已知量和未知量—梳理数量关系—建立表格—找相等关系”等数学活动，体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组也是刻画现实世界的有效数学模型；会用列表格来分析实际问题中的量与量之间的关系，通过检验所得问题的结果是否符合实际意义，深刻感受了数学的应用价值，提高学生分析问题和解决实际问题的能力.[设计意图]通过上节课的学习，学生已经对构建二元一次方程组模型来解决实际问题有了初步了解.本节课主要是通过列表格的方法把问题中的数量关系清晰的呈现出来，化复杂为简单，学习了另外一种分析实际问题的方法，这点是至关重要的.既能激发学生的学习兴趣，也能开拓分析问题的视野，进而达到顺利解决实际问题的目的.达成了课标的目标.【教学重点】分析实际问题中的已知量和未知量，理清数量之间的关系，并用表格的形式呈现.【教学难点】如何梳理实际问题中数量之间的关系，并用表格的形式清晰地呈现.【教学过程】一、探索活动【活动1】【问题1】某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产1个甲种产品需用时8s、铜8g；生产1个乙种产品需用时6s、铜16g.如果生产甲、乙两种产品共用1h，用铜6.4kg，那么甲、乙两种产品各生产多少个？[流程]：1、思考串:①、你知道问题中的已知量和未知量吗？（学生正确回答教师按照一定顺序板书）②、设生产甲种产品x个，乙种产品y个，甲、乙用时和用铜该如何表示呢？（小组讨论完成）、如何找x 、y 相等关系呢？2、和学生一起构建表格大致流程：3、教师完成板书：解：设生产甲种产品x 个，乙种产品y 个.根据题意，得 {,360068.6400168=+=+y x y x解这个方程组，得{,240.280==x y 答：生产甲种产品240个，生产乙种产品280个.[设计意图]目的：1、明确题中的已知量和未知量是我们解决任何数学问题的前提，解决实际问题也不例外.学生找出已知量和未知量应该很容易（注意单位统一）.2、学生一边说已知量的时候，教师一边在黑板上板书，板书时就按照下面表格的相关项目进行排列，也为下面表格的建立做好前期准备工作.写好一个甲、乙的用时和用铜后，这时教师稍作停顿，抛出问题：是否非常完整的呈现了题中的已知量，你有何建议？引发学生的思考：必须再添加“总计”.这样所有的已知量都在呈现出来了.3、因为有两个未知量，如果将甲的生产个数设为x ，则乙自然设为y ，相关的量又该如何表示呢？启迪学生讨论，并大胆的说出自己的观点，梳理相关量之间的数量关系.将问题由特殊化为更一般的情况.4、由于此问题中的量比较多，量和量之间的关系比较复杂，为了清晰的呈现这些量以及它们之间的关系，抛出问题：你有什么好方法？让学生感受到，表格是一种很好的方法，而且还能使得题中的量不会遗漏，这样设计出来的表格既简洁又清楚的呈现了所有的已知量和未知量.5、在解出方程组的解之后，要提醒学生一定要对方程组的解进行检验（两层）：第一层是方程组解的正确性检验；第二层是解是否则符合实际意义.【练一练】运输两批救灾物资，第一批360t，用6节火车皮和15辆汽车正好装完；第二批440t用8节火车皮和10辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装物资多少（单位：t）?[流程]：1、学生独立完成具体解题过程.2、利用投影仪展示学生完成情况.（展示3人左右）3、学生代表分析题中的数量关系.4、找出以上（投影）解题过程中的不规范的地方.[设计意图]目的：1、通过这个练习的完成，培养学生解决简单实际问题的能力.2、利用投影展示（3人左右），快速了解学生完成这题的情况，也为下面找出解题中的不规范，做好准备.3、学生代表发言，可以很好的训练学生的语言表达能力，让学生体验到成功的喜悦.4、解题中的不规范，具有典型性，很多学生就会这样做.通过这个环节，学生能够更加的关注解题过程的规范性（如：未知量的设法的语句要完整；检验流于形式，解错了也没有检验出来；“答”也不能少等.）【活动2】【问题2】为了强化公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格收费；超过15立方米时，超过的部分要加价收费.该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示，月份用水量/立方米水费/元[流程]：1、小组讨论：从这个表格中能得到哪些信息？如何解决这个问题？2、小组代表发言：解读表格相关信息.3、分析相等关系：水费=不超过15立方米的费用+超过15立方米的费用4、设出两种价格，根据相等关系，列出方程组.【做一做】：（基本水价为3元/立方米，超过15立方米部分的价格为5元/立方米）（1）上述问题中，如果某居民1月份用水4立方米，那么需要交水费____元；如果某居民6月份用水21立方米，那么需要交水费_____元.（2）在上面的问题中，如果某居民某月交水费80元，那么用水量为______立方米.[设计意图]目的：1、问题4不同于问题3的地方在于：问题3是没有表格，是需要学生去自主设计表格进行分析；而问题4是已经有表格的前提下，如何提炼表格的有效信息，从中找到两种价格的数量关系是解决此问题的关键.2、通过小组讨论，群策群力，代表发言，达到问题的解决的目的，在体验成功的喜悦的同时，也提升的分析和解决问题的能力，达到课标的要求.3、【做一做】的设置的第（1）问是已知用水量求水费，有两个思路去求解：第一是分不超过的费用和超过的费用来算；第二是根据题目中20立方米的费用是70元，再加上超过的1立方米5元，共75元.第（2）问是已知水费求用水量，也可以从不超过15立方米的费用和超过15立方米的费用来算用水量；也可以借助题意：5月用水20立方米共70元，所以80-70=10元,超过了2立方米，所以共用水22立方米.可以得到一个共识：用水量和水费，已知一个量可以求另一个量，其实它们之间就是一种“函数”关系，为函数的学习也做了铺垫.二、【尝试解决】某景点的门票价格如下表：某校七年级1、2两班共102人去游览该景点，其中1班不足50人，2班多于50人但不足60人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款3815元．（1）两班各有多少名学生？（2）如果两个班合起来买票，可节省多少钱？[设计意图]目的：1、此题也是以表格的形式呈现题目中的相关的信息，人数在不同范围内的票价也不一样，读懂表格至关重要.2、关于第二问：合起来买票省钱问题.积极的寻求省钱的方式购票，也符合数学来源于生活，也服务于生活的目的.一方面可以激发学生的学习热情，另一方面也可以培养学生的良好的生活情操.三、拓展提高[流程]：1、小组合作完成此题.2、小组代表上黑板讲解.3、展开讨论：是否要对每次邮购的册数进行大致的讨论？[设计意图]1、“尝试解决”中问题的难度在于要对两次共200册杂志进行分类讨论:①两次都小于100；②两次都大于100；③一次小于100，一次大于100；④两次都等于100.对于每种情况进行逐一判断，并最终确定只有“一次小于100，一次大于100”这一种可能.分类讨论思想是初中数学重要的思想方法之一，可以提高学生全面分析问题的能力.2、发挥小组合作学习的优势，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生自信心.四、小结思考请你谈谈这节课有哪些收获？[设计意图]本环节目的是在通过学生谈谈收获的过程中，教师获得反馈，从而及时补充与指导，归纳与总结，并对学生精彩的总结给予表扬，建议全班掌声以资鼓励！五、作业P111,第2、3题；【教学感悟】1、本节课主要围绕用表格去分析问题，借助一元二次方程组去解决问题.问题1的关键是构建表格去分析；问题2是读懂表格至关重要.整节课的流程比较顺畅.2、问题2之后的“做一做”，将教材的问题进行了改编，虽然难度不大，但是学生思考问题的方式方法得到了很大的提升.也给此问题的解决提供了不同的方法，发散了思维，符合课标的要求.3、表格只是分析问题的手段，不是必须手段.所以在问题1之后的练习中，没有要求学生用表格去分析题目中的已知量和未知量，如果学生能够很快的找到问题的相等关系，并通过设出未知量，列出方程组，也是很好的.列表格不必强求.教学中，教师把控的很好，学生解决问题的时候也很好.用不用列表格分析完全由学生自己做主，体现以学生为主体，鼓励多元化的课堂生成.4、拓展提升这个环节，学生经过了充分小组讨论后，对这个问题有自己的独到的想法.教学中，教师大胆的把问题抛给学生，完全放开，比如，以为学生代表上黑板讲解就很精彩：这个问题分三种情况讨论：第①种：两次册数都比100小.由于两次册数之和是200，所以此情况不成立.第②种：两次册数都在100以上.由于两次册数之和是200，如果此情况成立的话，只能两次都是100册.100×2（1-10%）×6=1080<1140.所以此情况不成立.第③种：一次小于100，另一次大于100.设一次邮购x 册,另一次邮购y 册.根据题意，得(){,1140%1016%1066.200=-⨯+⨯+=+y x x y x …… 学生在讲解完毕后，还总结：分类讨论思想.这点难能可贵.这位同学上讲台前就赢得了掌声，回座位时同学们不约而同的又想起了掌声.说明同学们对这位同学的表现是很赞赏的. 5、小结思考部分，几位学生很好的梳理了本节课的重点知识，还提醒一个细节：注意检验的两层含义、最后要“答”等.6、数学课堂就应该是开放的课堂，将问题放手给学生，给他们充足的时间去讨论，然后尝试去表达自己的想法.既解决了问题，也使得自己语言表达能力得到了提高.班级同学和老师的掌声也再次说明自己的表现得到了大家的认可，学习的信心也会倍增.。

用二元一次方程组解决实际问题的教学设计第一篇：用二元一次方程组解决实际问题的教学设计用二元一次方程组解决实际问题的教学设计学习目标：(分三个方面,从学生的角度出发)（一）基础知识1．够正确地找出题目中的等量关系，列出方程组并且求解；2．能够检验所得的结果是否符合实际意义；（二）基本能力1．提高自己的分析问题、解决问题的能力；2．培养自己准确的计算能力；（三）情感态度价值观1．培养自己严格认真的学习态度；2．经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组与实际生活的联系；3．体会方程组是刻画现实世界的一个有效的数学模型及其应用价值．学习重点：理解题意，找出等量关系．学习难点：方程组建模．学习提示:提供给学生解决问题的铺垫．学习过程:一、自我感知（实际问题转化为数学问题）的设计目的：通过创设问题情境，帮助学生建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问题．鼓励学生应用数学知识解决实际问题，增强学生学习数学的愿望与信心．不断地引导学生主动地参与教学活动，发扬教学民主，让学生成为课堂的主人．二、尝试独立解决问题的设计目的：不断地鼓励学生大胆设想，大胆实践，在设想、实践、交流等数学活动中，让学生进一步形成自己对数学知识的理解和认识．帮助学生建模。

对于学生的表现及时给出鼓励性评价，关注学生的差异，实施有差异的教学，让每个学生都在教学活动中有所收获．让学生在数学活动中，掌握必要的基础知识及基本技能，发展学生应用数学知识的意识与能力，大胆放手让学生去总结、去归纳，不断地提高学生的能力．二、探究活动的设计目的：（一）小组探究·合作交流（用二元一次方程组解决问题）帮助学生理清用二元一次方程组解决问题的步骤: 第一，要认真审题，找准题目中的已知量、未知量，弄清题目中的相等关系；第二，设未知数；第三，列出方程组；第四，求解;第五, 检验求得的解是否符合题意；第六，答，写出答案。

提醒学生还应注意这样几个问题：（1）方程的个数与所设未知数的个数应相等，否则会出现“不定解”的情况；（2）在分析题意时，我们应抓住数量之间的相等关系，以便于正确列出方程组；（3）要不断总结，将常见的实际问题进行归类，利于我们提高解决问题的能力；（4）解实际问题时，要特别注意检验．（二）师生探究·合作交流利用数学活动，为不同层次的学生提供从事数学活动的机会，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平．使学生在教师的指导下，主动地学习，完成个性化的学习．进一步深化本节课的知识。

《用二元一次方程组解决问题》学历案一、学习目标1、理解二元一次方程组的概念，掌握二元一次方程组的解法。

2、能够运用二元一次方程组解决实际生活中的问题，提高分析问题和解决问题的能力。

二、学习重难点1、重点（1）二元一次方程组的解法。

（2）用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法。

2、难点（1）如何寻找实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组。

（2）理解二元一次方程组解的意义，并能正确判断解的合理性。

三、知识回顾1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

2、一元一次方程的解法：一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

四、新课导入在日常生活中，我们经常会遇到需要用多个未知数来描述的问题。

比如，小明去买水果，苹果每斤 3 元，香蕉每斤 5 元，他买了 5 斤水果，共花费21 元，那么他买了几斤苹果，几斤香蕉呢？像这样的问题，用一元一次方程就很难解决，这时候我们就需要引入二元一次方程组。

五、二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。

把两个具有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼3x ＋ 2y ＝ 12＼end{cases}＼六、二元一次方程组的解法1、代入消元法通过将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

例如：解方程组＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼3x ＋ 2y ＝ 12＼end{cases}＼由方程\（x ＋ y ＝ 5\）可得\（x ＝ 5 y\），将其代入方程\（3x ＋2y ＝ 12\）中，得到：＼＼begin{align}3(5 y) ＋ 2y ＆＝ 12 ＼＼15 3y ＋ 2y ＆＝ 12 ＼＼－3y ＋ 2y ＆＝ 12 15 ＼＼y ＆＝－3 ＼＼y ＆＝ 3＼将\（y ＝ 3\）代入\（x ＝ 5 y\），得\（x ＝ 5 3 ＝ 2\）所以，方程组的解为\（＼begin{cases} x ＝ 2 ＼＼ y ＝ 3 ＼end{cases}＼）2、加减消元法当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法。

第2课时利用二元一次方程组解决方案设计问题教学设计与反思◇教学目标◇【知识与技能】1.经历用方程组解决方案设计问题的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型;2.能够找出方案设计问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组;3.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.【过程与方法】通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组,体会数学化的过程,提高用数学分析和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力,培养严谨缜密的科学习惯,继续渗透转化的数学思想.◇教学重难点◇【教学重点】能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出二元一次方程组并求解.【教学难点】将方案设计问题中的数量关系抽取出来,并用二元一次方程组表示.◇教学过程◇一、情境导入养牛场原有30头母牛和15头小牛,一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12头母牛和5头小牛,这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头母牛1天约需用饲料18~20 kg,每头小牛1天约需用饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计?二、合作探究探究点1 列二元一次方程组表示方案设计问题典例1 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?设安排x 天精加工,y天粗加工.为解决这个问题,所列方程组正确的是( )A.{■(x+y=140@16x+6y=15)┤B.{■(x+y=140@6x+16y=15)┤C.{■(x+y=15@16x+6y=140)┤D.{■(x+y=15@6x+16y=140)┤[解析] 设安排x天精加工,y天粗加工,根据题意,得{■(x+y=15"," @6x+16y=140"." )┤[答案] D探究点2 用二元一次方程组解决方案设计问题典例2 甲运输公司决定分别运给A市苹果10 t,B市苹果8 t,但现在仅有12 t苹果,还需从乙运输公司调运6 t,经协商,从甲运输公司运1 t苹果到A,B两市的运费分别为50元和30元,从乙运输公司运1 t 苹果到A,B两市的运费分别为80元和40元,要求总运费为840元,问如何进行调运?[解析] 设从甲运输公司运往A市苹果x t,运往B市苹果y t,由题意得{■(x+y=12"," @50x+80"(" 10"-" x")" +30y+40"(" 8"-" y")" =840"," )┤解得{■(x=8"," @y=4"." )┤答:从甲运输公司运往A市苹果8 t,运往B市苹果4 t,从乙运输公司运往A市苹果2 t,运往B市苹果4 t.【技巧点拨】运用二元一次方程组这一数学模型解决方案设计问题,首先要准确分析实际问题中的数量关系,找出已知量和未知量,并能发现其中的几个等量关系,然后根据等量关系列出方程组,解方程组.在此基础上,用方程组的解来解释问题.变式训练用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息,解答下列问题:(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?(2)请你帮该物流公司设计租车方案;(3)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.[解析] (1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨,依题意列方程组得{■(2x+y=10"," @x+2y=11"," )┤解得{■(x=3"," @y=4"." )┤答:1辆A型车装满货物一次可运3吨,1辆B型车装满货物一次可运4吨.(2)结合题意和(1)得3a+4b=31,∴a=(31"-" 4b)/3.∵a,b都是正整数,∴{■(a=9"," @b=1)┤或{■(a=5"," @b=4)┤或{■(a=1"," @b=7"." )┤因此,共有3种租车方案,分别是:方案一:A型车9辆,B型车1辆;方案二:A型车5辆,B型车4辆;方案三:A型车1辆,B型车7辆.(3)∵A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次,∴方案一需租金:9×100+1×120=1020(元);方案二需租金:5×100+4×120=980(元);方案三需租金:1×100+7×120=940(元).∵1020>980>940.∴最省钱的租车方案是方案三:A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为940元.三、板书设计利用二元一次方程组解决方案设计问题1.列二元一次方程组表示方案设计问题;2.用二元一次方程组解决方案设计问题.◇教学反思◇本节课一方面通过实际生活中的方案设计问题,进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性;另一方面使学生能在解决方案设计问题的情境中运用所学数学知识,进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.。

第2课时 利用二元一次方程组解决方案设计问题知识要点基础练知识点 方案选择问题1. 为奖励消防演练活动中表现优异的同学,某校决定用1200元购买篮球和排球两种奖品,其中每个篮球120元,每个排球90元,在购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有( B )A.4种B.3种C.2种D.1种2.端午节期间,小明和七名同学去沁河滩游玩,途中,他用20元钱去买饮料,每人至少一瓶.商店只有可乐和绿茶,已知可乐2元一瓶,绿茶3元一瓶,如果20元钱刚好用完,则有 3 种购买方式.3.某中学组织一批学生开展社会实践活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元,60座客车租金为每辆300元.( 1 )这批学生的人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?( 2 )若租用同一种客车,要使每位学生都有座位,应该怎样租用合算?解:( 1 )设这批学生有x 人,原计划租用45座客车y 辆.根据题意,得{x =45y +15,x =60( y -1 ),解得{x =240,y =5. 答:这批学生有240人,原计划租用45座客车5辆.( 2 )∵要使每位学生都有座位,∴租45座客车需要5+1=6( 辆 ),租60座客车需要5-1=4( 辆 ). 220×6=1320( 元 ),300×4=1200( 元 ),∵1320>1200,∴若租用同一种客车,租4辆60座客车合算.综合能力提升练4.某校七年级( 1 ),( 2 )两班共一百多人去游览该景点,其中( 1 )班不足50人,( 2 )班多于50人.如果两班都以班为单位分别购票,则一共付款1126元;如果以团体购票,则需要付款824元.( 1 )两班各有多少人?( 2 )如果你是学校负责人,你将如何购票?你的购票方法可节省多少钱? 解:( 1 )设七年级( 1 )班有x 人,( 2 )班有y 人.由题意,得{12x +10y =1126,8x +8y =824,解得{x =48,y =55.答:七年级( 1 )班有48人,( 2 )班有55人.( 2 )∵1126>824,∴选择团体购票.团体购票节省的费用为1126-824=302( 元 ).答:选择团体购票,可节省302元.拓展探究突破练5.一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独施工6天,再请乙组单独施工12天也可以完成,需付两组费用共3480元. ( 1 )甲、乙两组单独工作一天,商店应各付多少钱?( 2 )已知甲组单独完成需要12天,乙组单独完成需要24天.请问该商店选择哪一组单独完成,所需费用最少?解:( 1 )设甲组工作一天,商店应付x 元;乙组工作一天,商店应付y 元.由题意,得{8x +8y =3520,6x +12y =3480,解得{x =300,y =140. 答:甲、乙两组单独工作一天,商店应各付300元、140元.( 2 )甲组单独完成所需的费用为12×300=3600( 元 ),乙组单独完成所需的费用为24×140=3360( 元 ).所以选择乙组单独完成所需费用最少.。

第2课时 实际问题与二元一次方程组（2）【知识与技能】面积问题、百分数问题、工程问题. 【过程与方法】先独立作业，再交流成果. 【情感态度】加强应用能力训练，提高数学兴趣. 【教学重点】 工程问题. 【教学难点】分析题目中的两个等量关系.一、情境导入，初步认识问题1据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现把一块长200m ，宽100m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？（结果取整数）解：如图，一种方案为：甲、乙两种作物种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE.此时设AE=xm ，BE=ym.两种等量关系是：34=⎧⎨+=⎩甲作物总产量∶乙作物总产量∶，种甲作物面积种乙作物面积总面积. 根据题意可得：234200.x y x y =⎧⎨+=⎩::， 可得方程组为_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________.x y =⎧⎨=⎩，答：过长方形土地的长边上离一端约处，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块土地种种作物，较小的一块土地种种作物.问题2 某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该学校现有在校初中生多少人？在校高中生多少人？解：设该校现有在校初中生人数为x ，在校高中人数为y.根据题意填表由上表列方程组_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________.x y =⎧⎨=⎩，答：该校现有在校初中生人数为_____，在校高中生人数为_____.问题3 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来.把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期为50天.甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米；10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成.问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？解：本题的等量关系是_______________.+=⎧⎨+=⎩甲队原速度乙队原速度，甲队施工量_____ 设甲队原计划每天修x 千米，乙队原计划每天修y 千米.由题意得_________________._________________.⎧⎨⎩解得__________.x y =⎧⎨=⎩，答：甲队原计划每天修_____千米，乙队原计划每天修_____千米. 【教学说明】先由学生独立完成，再交流成果，最后总结.在问题1中，要告知学生若列成比例式就不是二元一次方程组，而是八年级才会接触到的分式方程组.在问题2中，注意把握原有量、现有量、增长量、增长率之间的关系.在问题3中，要告知学生常见的工程问题除了这种一般类型的，还有一种工作总量为单位“1”的.二、思考探究，获取新知思考 几何问题的应用题应注意哪些知识点？【归纳结论】几何问题的应用题应注意有关几何的知识，如长方形面积、三角形面积公式等.三、运用新知，深化理解1.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力为：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工，为解决这个问题，所列方程组正确的是（）.2.如图,8块相同的小长方形地砖恰好能拼成一个大长方形，且该大长方形的宽为20cm，求每块小长方形地砖的面积.3.某瓜农采用大棚栽培技术在一块地上种植了良种西瓜，这块地产西瓜约600个.在西瓜上市前，该瓜农随机摘下若干个成熟的西瓜，称重如下：记录时不小心洒了墨水，现又知质量为5.0千克及以下的平均每个重4.8千克，质量为4.9千克及以上的平均每个重5.1千克.若每千克西瓜售价为3元，此瓜农在这块地的西瓜可收入大约多少元？4.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生.（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4道门安全撤离.假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.5.某纸品加工厂为了制作甲、乙两种长方形无盖小盒（如图（1）），利用边角料裁出长方形和正方形两种硬纸片，长方形的宽和正方形的边长相等（如图（2）），现用150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部都用于制作这两种小盒，可做成甲、乙两种小盒各多少个？【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视，针对有困难的学生，给予指导，最后讲解总结.【答案】略四、师生互动，课堂小结1.布置作业：从教材“习题8.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课用二元一次方程组解决问题的教学过程充分体现了以学生为主体，让学生积极参与的教学模式，充分发挥了学生的主动意识.在解决问题过程中学生的各种解题方法，扩大了学生的思维能力，通过让学生体验解题的技巧，从而树立了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人.第4章图形的初步认识4.1 生活中的立体图形【基本目标】1.能从现实背景中抽象出立体图形；2.认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；3.认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征.【教学重点】1.感受图形世界的丰富多彩；2.认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.【教学难点】认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征.一、创设情境，导入新课1.一幅幅精美的图片带领同学们一起神游大地，去领略祖国的美景.出示图片：北京天坛、故宫、鸟巢、水立方.千姿百态的建筑物美化了我们的生活.展示了建筑师的聪明才智，在这些实物中有没有大家熟悉的立体图形？2.学生观察图片回答.【教学说明】通过欣赏图片导入本节课的学习，创设愉悦、宽松的氛围，让学生在完全放松的情绪下感知我们生活中处处存在着数学知识，产生学习立体图形的兴趣.二、合作探究，探索新知1.我们生活中的很多物体都是立体的，而这些物体中有一部分是较有规则的，如：【教学说明】让学生识别常见的具体图形，从中抽象出立体图形，经历从具体到抽象的思维过程，培养学生抽象思维的能力，使学生研究问题的意识由具体到抽象转变.2.常见的立体图形如下图：在上面的图形中：（1）图1所表示的立体图形是柱体（圆柱体）；（2）图2所表示的立体图形是柱体（棱柱体）；（3）图3所表示的立体图形是锥体（圆锥体）；（4）图4所表示的立体图形是球体；（5）图5所表示的立体图形是锥体（棱锥体）.【教学说明】教师及时对常见的立体图形进行归纳总结，并让学生叙述它们的特征，找到它们的相同点和不同点，为后面的分类奠定基础.3.多面体的概念观察上图2、5与图1、3、4，它们有什么区别？小结：如上图2、5，围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体.【教学说明】让学生对比找到不同点，教师归纳总结多面体的概念.4.归纳总结：你能将这些立体图形进行分类吗？简单立体图形分类:柱体圆柱棱柱立体图形球体圆锥锥体棱锥【教学说明】根据上面图形的不同特征，进行分类，使学生掌握各种立体图形的特征，形成一定的知识体系.5.另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……【教学说明】让学生观察后总结棱柱和棱锥的特征，按照特征找出规律.三、练习反馈，巩固提高1.在下面四个物体中，最接近圆柱的是（）2.下面图形中上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与上面立体图形对应的实物.3.说出下列立体图形的名称：【教学说明】学生独立完成，在解答时，要结合具体的图形进行，注意图形的特征.对于叙述不准确的地方，教师要及时予以纠正和强调.四、师生互动，课堂小结1.简单立体图形分类:柱体圆柱棱柱立体图形球体圆锥锥体棱锥2.多面体的概念：围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体.【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习.本节课的教学应从具体的图像入手，引导学生从中抽象出立体图形，使学生经历从具体到抽象的思维过程，初步培养学生的抽象思维能力.通过对简单立体图形的分类，渗透分类思想.提高学生的识图能力，通过比较掌握图形的特征.第2课时 合并同类项的应用学会探索数列中的规律，建立等量关系． 能正确地求解一元一次方程．重点建立一元一次方程解决实际问题． 难点探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程．活动1：创设情境，导入新课 师：练习解方程： (1)－4x ＋0.5x ＝6； (2)7x －4.5x ＝7.5－5； (3)－12x ＋34x ＝－3.学生独立完成，然后同学交流． 活动2：探究新知 教师出示教材例2.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？引导学生探究规律：第一个数 1 第二个数 －3 第三个数 9 第四个数 －27 第五个数 81 第六个数 －243教师可利用表格上下对比，便于学生观察、发现规律，可引导学生从符号和绝对值两方面进行观察．师生共同完成解答过程，教师注意要规范地书写过程．在这一过程中，老师要关注学生能否准确地发现规律，能否列出方程，本问题的难点在于它有多个未知数，要引导学生找到相邻的数的关系，然后设出未知数，再用含未知数的式子表示相邻的数．解：设这三个相邻数中的第1个数为x ，则第2个数为－3x ，第3个数为－3×(－3x)＝9x.根据这三个数的和是－1701.得 x －3x －9x ＝－1701， 合并，得x ＝－243， 所以－3x ＝729， 9x ＝－2187.答：这三个数是－243，729，－2187.思考：有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，你能说出它的第n 个数是多少吗？(用含n 的式子表示)可作为课下思考题，本问题与本课时的关系不大，但作为对本例题的一个拓展，却有让学生重新思考的价值．活动3：综合运用教师出示例题．(或投影展示)补例：一批商界人士在露天茶座聚会，他们先是两人一桌，服务员给每桌送上一瓶果汁，后来他们又改为三人一桌，服务员又给每桌送上一瓶葡萄酒，不久他们改坐成四人一桌，服务员再给每桌一瓶矿泉水．此外他们每人都要了一瓶可口可乐．聚会结束时服务员共收拾了50个空瓶．如果没人带走瓶子，那么聚会有几人参加？分析：要求聚会有几人参加，就要先设出未知数，再根据题意列出等量关系，设共有x 人参加，由题意得，一共要了x 2瓶果汁，x 3瓶葡萄酒，x4瓶矿泉水，x 瓶可口可乐，即：空瓶子数为各类饮料瓶子数之和，由这个等量关系，列出方程求解．解：设这次聚会共有x 人参加，由题意得：x ＋x 2＋x 3＋x4＝50，解得：x ＝24.答：这次聚会共有24人参加． 学生讨论交流，师生共同解决． 活动4：小结小结：谈谈你这节课的收获． 活动5：作业习题3.2第5，12，13题．实施开放式教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式．让学生从熟悉的生活实例出发，探索获得同类项概念，体验知识的形成过程，体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法．教师只是整个教学活动的组织者和指导者，体现了以人为本的现代教学理念．。

(人教版)七年级下册数学配套教案：8.3 第2课时《利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题》一. 教材分析本节课的内容是利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题。

在学习本节课之前，学生已经学习了二元一次方程组的基本概念和解法，但是对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还需要进一步的学习和实践。

因此，本节课的教学重点是让学生学会如何将实际问题转化为二元一次方程组，并熟练运用解法求解。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二元一次方程组的基本概念和解法，但是对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，并逐步引导学生运用解法求解。

三. 教学目标1.让学生学会如何将实际问题转化为二元一次方程组。

2.让学生熟练运用解法求解二元一次方程组。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.如何将实际问题转化为二元一次方程组。

2.如何熟练运用解法求解二元一次方程组。

五. 教学方法采用问题驱动法，教师引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。

同时，运用小组合作学习法，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生转化为二元一次方程组。

2.准备黑板和粉笔，用于板书解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍一些实际问题，引导学生思考如何将这些实际问题转化为二元一次方程组。

例如，可以通过介绍两个人共同完成一项任务的问题，让学生思考如何用方程组表示这个问题。

2.呈现（10分钟）教师向学生呈现一些实际问题，并要求学生尝试将这些实际问题转化为二元一次方程组。

教师可以通过提问的方式，引导学生思考如何列出方程组。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。

教师可以为学生提供一些解题的提示，帮助学生解决问题。

数学七年级下学期《利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题》教学设计一. 教材分析《利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题》是人教版数学七年级下册的一个重要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行拓展的，通过解决实际问题，让学生更好地理解和掌握二元一次方程组的应用。

教材通过丰富的实例，引导学生学会建立二元一次方程组，并能够灵活解决实际问题。

在教材中，学生将接触到购物问题、分配问题、行程问题等多种类型的实际问题，这些问题贴近生活，能够激发学生的学习兴趣，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了二元一次方程组的基础知识，对解方程组有一定的掌握。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，如何建立方程组。

因此，在教学这部分内容时，教师需要引导学生正确地将实际问题转化为数学问题，让学生学会用数学的眼光看待问题。

另外，学生在解决实际问题时，往往缺乏解决问题的策略和方法，不知道如何下手。

因此，教师在教学中需要引导学生学会解决问题的策略和方法，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路和方法，能够灵活运用二元一次方程组解决简单的实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生解决问题的策略和方法。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，让学生体验数学在生活中的应用，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：使学生能够理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路和方法。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，如何指导学生建立方程组。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设丰富的实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生解决实际问题的能力。

2.引导发现法：在教学中，教师引导学生发现实际问题与数学问题之间的联系，引导学生学会建立方程组。