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第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。
3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。
模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a二、向量的线性运算b c1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7a －42．a b c 即 a ( b) c3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为(1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a |(2) 0 时， a 0(3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么a 0aa定理 1：设向量，那么，向量b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，a≠ 0使b＝a例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。
第七章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB 向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如 a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量a 和b 的大小相等 且方向相同 则说向量a 和b 是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB单位向量 模等于1的向量叫做单位向量 零向量 模等于0的向量叫做零向量 记作0或→零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a 与b 平行 记作a 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则当向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律 (1)交换律a b b a(2)结合律(a b )c a (b c )由于向量的加法符合交换律与结合律 故n 个向量a 1 a 2 a n (n 3)相加可写成a 1a 2 a n 并按向量相加的三角形法则 可得n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量a 1 a 2 a n 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a 向量的减法b ϖa ϖc ϖABCBCb ϖa ϖDc ϖ我们规定两个向量b与a的差为b a b (a )即把向量a加到向量b 上便得b与a的差b a 特别地当b a 时有a a a (a )0显然任给向量→AB及点O有→→→→→AOOBOBOAAB-=+=因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量→AB便是向量b与a的差b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b ||a ||b|及|a b ||a ||b |其中等号在b与a 同向或反向时成立2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a 与实数的乘积记作a 规定a 是一个向量它的模|a ||||a |它的方向当>0时与a 相同当<0时与a 相反当0时 |a |0即a 为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1时有1a a (1)a a运算规律(1)结合律(a )(a )()a；(2)分配律 ()a a a；(a b )a b例1在平行四边形ABCD 中设−→−AB a−→−AD b试用a和b表示向量−→−MA、−→−MB、−→−MC、−→−MD其中M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以a b−→−−→−==AMAC 2即(a b)−→−=MA2CDbϖaϖbϖbϖaϖbϖ于是 21-=−→−MA (ab )因为−→−−→−-=MAMC 所以21=−→−MC (a b )又因a b −→−−→−==MD BD 2 所以21=−→−MD (b a )由于−→−−→−-=MDMB 所以21=−→−MB (a b )例1 在平行四边形ABCD 中 设→a =AB →b=AD 试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD其中M 是平行四边形对角线的交点解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以→→→MAAM AC 22-===+b a于是→)(21b a +-=MA →→)(21b a +=-=MA MC因为→→MD BD 2==+-b a 所以→)(21a b -=MD →→)(21b a -=-=MD MB向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a |a |e a 向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a | a | e a定理1 设向量a 0 那么 向量b 平行于a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设b||a b ||||=λ|b ||a a b ==|||||→OP →OP →OP →OP →OP →OP →OP →r =OM →→→→→→→OROQ OP NM PN OP OM ++=++==r →ix OP =→jy OQ =→kz OR =→kj i r z y x OM ++==→ix OP =→jy OQ =→kz OR =→) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r →OM =r →OM 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定A BCDMϖbϖ的特征 例如 点M 在yOz 面上 则x 0 同相 在zOx 面上的点 y 0 在xOy 面上的点 z 0 如果点M 在x 轴上 则y z 0 同样在y 轴上,有z x 0 在z 轴上 的点 有x y 0 如果点M 为原点 则x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算设a (a x a y a z ) b (b x b y b z ) 即 a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k 则 a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z )a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z ) a (a x i a y j a z k )(a x )i (a y )j (a z )k (a x a y a z ) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (a x a y a z )0 b(b xb y b z ) 向量bz z y y x x a b a b a b ==⎩⎨⎧=-=-by x ay x 2335 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x 2a 3b y 3a 5b以a 、b 的坐标表示式代入 即得 x 2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y 3(2 1 2)5(1 12)(112 16)例3 已知两点A (x 1 y 1 z 1)和B (x 2 y 2 z 2)以及实数1在直线AB 上求一点M使→→MBAM λ=解 由于→→→OA OM AM -= →→→OM OB MB -=因此 →→→→)(OM OB OA OM -=-λ从而 →→→)(11OB OA OM λλ++=) 1 ,1 ,1 (212121λλλλλλ++++++=x x x x x x这就是点M 的坐标另解 设所求点为M (x y z ) 则→), ,(111z z y y x x AM ---= →), ,(222z z y y x x MB ---=依题意有→→MBAM λ= 即(x x 1 y y 1 z z 1)(x 2x y 2y z 2z )(x yz )(x 1 y 1 z 1)(x 2y 2 z 2)(x y z )), ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++= λλ++=121x x x λλ++=121y y y λλ++=121z z z点M 叫做有向线段→AB 的定比分点 当1 点M 的有向线段→AB 的中点 其坐标为 221x x x +=221y y y +=221z z z +=五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x yz )作→r =OM 则→→→→OR OQ OP OM ++==r按勾股定理可得222||||||||||OR OQ OP OM ++==r 设 →ix OP = →jy OQ = →kz OR =有 |OP ||x | |OQ ||y | |OR ||z | 于是得向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r设有点A (x 1 y 1z 1)、B (x 2 y 2 z 2) 则→→→OA OB AB -=(x 2 y 2 z 2)(x 1 y 1 z 1)(x 2x 1 y 2y 1 z 2z 1)于是点A 与点B 间的距离为→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==例4 求证以M 1(4 3 1)、M 2 (7 1 2)、M 3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解 因为 | M 1M 2|2 (74)2(13)2(21)214| M 2M 3|2 (57)2(21)2(32)26| M 1M 3|2 (54)2(23)2(31)26所以|M 2 M 3||M 1M 3| 即 M 1 M 2 M 3为等腰三角形例5 在z 轴上求与两点A (4 1 7)和B (3 5 2)等距离的点解 设所求的点为M (0 0 z ) 依题意有|MA |2|MB |2即 (04)2(01)2(z 7)2(30)2(50)2(2z)2解之得914=z 所以 所求的点为)914,0 ,0(M例6 已知两点A (4 05)和B (7 1 3) 求与→AB 方向相同的单位向量e解 因为→)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB→14)2(13||222=-++=AB 所以 →→)2 ,1 ,3(141||-==AB AB e2．方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作^) ,(b a 或^),(a b 如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 非零向量r 与三条坐标轴的夹角、、称为向量r 的方向角 向量的方向余弦 设r(x yz ) 则x |r |cos y |r |cosz |r |coscos 、cos 、cos 称为向量r 的方向余弦||cos r x=α ||cos r y =β ||cos r z=γ从而 re r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα上式表明 以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量e r因此cos 2cos 2cos 21例3 设已知两点)2 ,2 ,2( A )和B (1, 3, 0) 计算向量→AB 的模、方向余弦和方向角 解 →)2 ,1 ,1()20 ,23 ,21(--=---=AB→2)2(1)1(||222=-++-=AB21cos -=α 21cos =β 22cos -=γ32πα=3πβ=43 πγ=3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴 任给向量r 作→r =OM 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M (点M 叫作点M在u 轴上的投影)则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量 设→e λ='M O 则数称为向量r 在u 轴上的投影 记作Prj u r 或(r )u按此定义 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x a y a z 就是a 在三条坐标轴上的投影 即a x Prj x a a y Prj y a a z Prj z a 投影的性质性质1 (a )u |a |cos (即Prj u a |a |cos ) 其中为向量与u 轴的夹角 性质2 (a b )u (a )u (b )u (即Prj u (a b ) Prj u a Prj u b ) 性质3 (a )u (a )u (即Prj u (a )Prj u a )§72 数量积 向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景:设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2以s 表示位移→21M M 由物理学知道力F 所作的功为W |F | |s | cos其中 为F 与s 的夹角 数量积对于两个向量a 和b 它们的模|a |、|b |及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积记作a b 即a ·b |a | |b | cos数量积与投影由于|b | cos |b |cos(a ^ b )当a 0时|b | cos(a ^b )是向量 b 在向量a 的方向上的投影于是a ·b |a | Prj a b 同理当b 0时a·b |b | Prj b a 数量积的性质(1) a·a |a | 2(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果 a·b 0则 a b反之如果a b则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则a b a·b0数量积的运算律(1)交换律a·b b·a(2)分配律(a b)c a c b c(3)(a)·b a·(b)(a·b)(a)·(b)(a·b)、为数(2)的证明分配律(a b)c a c b c的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c例1 试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中∠BCA(图724)BC|a CA|b |AB|c要证c 2a 2b 2 2 a b cos记→CB a→CA b→AB c则有c a b从而|c|2c c(a b)(a b)a a b b2a b|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2b 2 2 a b cos数量积的坐标表示设a(a x a y a z )b(b x b y b z )则a·b a x b x a y b y a z b z提示按数量积的运算规律可得a·b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z两向量夹角的余弦的坐标表示设(a ^ b)则当a0、b0时有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ提示 a·b |a ||b |cos例2 已知三点M (111)、A (221)和B (212)求AMB解 从M 到A 的向量记为a 从M 到B 的向量记为b 则AMB 就是向量a 与b 的夹角a {110}b {101} 因为a b 1110011 2011||222=++=a 2101||222=++=b所以 21221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB从而 3π=∠AMB例3．设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量v 设n 为垂直于S 的单位向量（图7-25(a )） 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ)解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b ))这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角所以这柱体的高为| v | cos 体积为A | v | cos A v ·n从而单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为 P A v ·n 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设O 为一根杠杆L 的支点有一个力F 作用于这杠杆上P 点处F 与→OP 的夹角为由力学规定力F 对支点O 的力矩是一向量M它的模 →θsin |||||| F M OP =而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从→OP 以不超过的角转向F 来确定的 向量积设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c ||a ||b |sin 其中 为a 与b 间的夹角 c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定那么向量c 叫做向量a 与b 的向量积记作a b 即c a b 根据向量积的定义 力矩M 等于→OP 与F 的向量积即→FM ⨯=OP向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a 、b 如果a b则azy x zy x b b b a a a k j i b a =⨯211112--=⨯k j i b a →→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆→AB→AC→→421222k j i =⨯AC AB 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S →OM Rz z y y x x =-+-+-202020)()()(222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x 5=R 0) ,(11=z y f 1z z =221||y x y +=0) ,(22=+±z y x f 22y x +±0) ,(22=+±z y x f 0) ,(22=+±z x y f 20πα<<22y x +±αcot 22y x z +±=12222=-c z a x 122222=+-c z y a x 122222=-+c z a y x S z y x ∈) , ,1(λ0) , ,1(=z y x F λ2222z a y x =+ab2222)(z a y ba x =+22222zb y a x =+22222z b y a x =+2222z a y x =+ab 22222z b y a x =+1)()(2222=+bt y at x 1222222=++c z b y a x a c 122222=++c z a y x a b 1222222=++c z b y a x 1222222=-+c z b y a x 12222=-c z a x 122222=-+c z a y x a b1222222=-+c z b y a x 1222222=--c z b y a x 12222=-c z a x 122222=+-c y z a x c b1222222=--c z b y a x z b y a x =+2222za x =22za y x =+222ab z b y a x =+2222z b y a x =-22222222a t z b y -=-) ,0 ,(22a t t 22a x z =12222=+b y a x 12222=-b y a x ay x =2⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ⎩⎨⎧=+=+632122z x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z )0 ,2(a 2a⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz ta y ta x ωωsin cos也可以用其他变量作参数 例如令 t 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos其中ωvb = 而参数为*曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如⎪⎩⎪⎨⎧===) ,(),() ,(t s z z t s y y t s x x例如空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (t )绕z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (t 02) (4)这是因为 固定一个t 得上一点M 1((t ) (t ) (t )) 点M 1绕z 轴旋转 得空间的一个圆 该圆在平面z(t )上 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+ 因此固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程 再令t 在[ ]内变动 方程(4)便是旋转曲面的方程例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ(上式消t 和 得曲面的直角坐标方程为41222zy x +=+)又如球面x2y 2z 2a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0)绕z 轴旋转所得 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (002)三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影)设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F设方程组消去变量z 后所得的方程H (x y )0 这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面 这是因为一方面方程H (x y )0表示一个母线平行于z 轴的柱面 另一方面方程H (x y )0是由方程组消去变量z 后所得的方程 因此当x 、y 、z 满足方程组时 前两个数x 、y 必定满足方程H (x y )0 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x y )0所表示的曲面上 即曲线C 在方程H (x y )0表示的柱面上 所以方程H (x y )0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为 ⎩⎨⎧==0),(z y x H 讨论曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么例4已知两球面的方程为x 2y 2z 21 (5)和x 2(y 1)2(z 1)21 (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程解先将方程x 2(y 1)2(z 1)21化为x 2y 2z 22y 2z 1然后与方程x 2y 2z 21相减得 y z 1将 z 1y 代入x 2y 2z 21 得 x 22y 22y 0这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为 ⎩⎨⎧==-+02222z y y x例5求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影解由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x2y 21 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面 容易看出 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x这是xOy 面上的一个圆 于是所求立体在xOy 面上的投影 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2y 21§75 平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 唯一确定平面的条件当平面上一点M 0(x 0 y 0 z 0)和它的一个法线向量n (A B C )为已知时 平面的位置就完全确定了 平面方程的建立设M(xy z )是平面上的任一点 那么向量→M M 0必与平面的法线向量n 垂直 即它们的数量积等于零→0=⋅M M n由于n (A B C ) →), ,(0000z z y y x x M M ---=所以A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这就是平面上任一点M 的坐标x y z 所满足的方程反过来 如果M (x y z )不在平面上那么向量→M M 0与法线向量n 不垂直 从而→0=⋅M M n 即不在平面上的点M 的坐标x y z 不满足此方程由此可知 方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0就是平面的方程 而平面就是平面方程的图形 由于方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0是由平面上的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及它的一个法线向量n (A B C )确定的 所以此方程叫做平面的点法式方程 例1 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为(x 2)2(y 3)3z 0 即 x 2y 3z 80例2 求过三点M 1(2 1 4)、M 2(1 3 2)和M 3(0 2 3)的平面的方程解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M所以→→kj i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即 14x 9y z 150 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是x y z 的一次方程 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 反过来 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0我们任取满足该方程的一组数x 0 y 0 z 0 即 Ax 0By 0Cz 0D 0 把上述两等式相减 得A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这正是通过点M 0(x 0 y 0 z 0)且以n (A B C )为法线向量的平面方程 由于方程 Ax By Cz D 0 与方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0同解 所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0的图形总是一个平面 方程Ax By Cz D 0称为平面的一般方程 其中x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标 即n (A B C )例如 方程3x 4y z 90表示一个平面 n (3 4 1)是这平面的一个法线向量讨论考察下列特殊的平面方程 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系 平面通过的特殊点或线Ax By Cz 0By Cz D 0 Ax Cz D 0 Ax By D 0 Cz D 0 Ax D 0 By D 0 提示D 0 平面过原点n (0 B C ) 法线向量垂直于x 轴 平面平行于x 轴 n (A 0 C ) 法线向量垂直于y 轴 平面平行于y 轴 n (A B 0) 法线向量垂直于z 轴 平面平行于z 轴n (0 0 C ) 法线向量垂直于x 轴和y 轴 平面平行于xOy 平面 n (A 0 0) 法线向量垂直于y 轴和z 轴 平面平行于yOz 平面 n(0 B 0) 法线向量垂直于x 轴和z 轴 平面平行于zOx 平面 例3 求通过x 轴和点(4 3 1)的平面的方程解 平面通过x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴 即A 0 另一方面表明它必通过原点 即D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有3B C 0或 C 3B将其代入所设方程并除以B (B 0) 便得所求的平面方程为 y 3z 0例4 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )三点 求这平面的方程(其中a 0 b 0 c 0) 解 设所求平面的方程为 Ax By Cz D 0因为点P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )都在这平面上 所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA由此得 aDA -= bD B -= cD C -=将其代入所设方程 得 0=+---D z cD y b D x a D即 1=++cz b ya x上述方程叫做平面的截距式方程 而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距 三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n 1(A 1 B 1 C 1)和n 2(A 2 B 2 C 2) 那么平面1和2的夹角 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角 因此 |) ,cos(|cos 2^1n n =θ按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面1和2的夹角 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1和2垂直相当于A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 20 平面1和2平行或重合相当于212121C C B B A A ==例5 求两平面 x y 2z 60和2x y z 50的夹角解 n 1(A 1 B 1 C 1)(1 1 2) n 2(A 2 B 2 C 2)(2 1 1) 222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ211122)1(1|121)1(21|222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=所以 所求夹角为3πθ=例6 一平面通过两点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)且垂直于平面x y z 0 求它的方程解 方法一已知从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量为n (A B C )因为点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)在所求平面上 所以n n 1 即A 2C 0 A 2C又因为所求平面垂直于平面x y z 0 所以n n 1 即A B C 0 B C 于是由点法式方程 所求平面为2C (x 1)C (y 1)C (z 1)0 即2x y z 0方法二 从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量n 可取为n 1 n 2 因为kj i k j i n n n --=--=⨯=2111 20121所以所求平面方程为2(x 1)(y 1)(z 1)0 即 2x y z 0例7 设P 0(x 0 y 0 z 0)是平面Ax By Cz D 0外一点 求P 0到这平面的距离 解 设e n 是平面上的单位法线向量 在平面上任取一点P 1(x 1 y 1 z 1) 则P 0到这平面的距离为→||01n P P d e ⋅=222101010|)()()(|CB A z zC y y B x x A ++-+-+-=222111000|)(|C B A Cz By Ax Cz By Ax ++++-++=222000||C B A D Cz By Ax +++++=提示 ) , ,(1222C B A C B A n ++=e→), ,(10101001z z y y x x P P ---=例8 求点(2 1 1)到平面 x y z10的距离解 222000||C B A D Cz By Ax d +++++=222)1(11|11)1(1121|-+++⨯--⨯+⨯=333==§7 6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (1)反过来 如果点M 不在直线L 上 那么它不可能同时在平面1和2上 所以它的坐标不满足方程组(1) 因此 直线L 可以用方程组(1)来表示 方程组(1)叫做空间直线的一般方程设直线L 是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么点M 在直线L 上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A因此 直线L 可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L 的平面有无限多个 只要在这无限多个平面中任意选取两个 把它们的方程联立起来 所得的方程组就表示空间直线L 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件当直线L 上一点M 0(x 0 y 0 x 0)和它的一方向向量s (m n p )为已知时 直线L 的位置就完全确定了 直线方程的确定已知直线L 通过点M 0(x 0 y 0 x 0) 且直线的方向向量为s (m n p ) 求直线L 的方程设M (x y z )在直线L 上的任一点 那么 (x x 0 y y 0 z z 0)//s 从而有pz z n y y m x x 000-=-=- 这就是直线L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向式方程注 当m n p 中有一个为零 例如m 0 而n p 0时 这方程组应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z ny y x x 000当m n p 中有两个为零 例如m n 0 而p 0时 这方程组应理解为 ⎩⎨⎧=-=-000y y x x直线的任一方向向量s 的坐标m 、n 、p 叫做这直线的一组方向数 而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设t pz z n y y m x x =-=-=-000 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nty y mt x x 000此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=+-=++4321z y x z y x解先求直线上的一点 取x 1 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y解此方程组 得y 2 z 0 即(1 2 0)就是直线上的一点 再求这直线的方向向量s 以平面x y z 1和2x y 3z 4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :s (i j k )(2i j3k )=-=312 111k j i 4ij 3k因此 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-z y x令t z y x =-=-+=-31241 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz ty t x 3241提示 当x 1时 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y 此方程组的解为y 2 z 0kj i k j i k j i k j i s 34 312 111)32()(--=-=+-⨯++=令t zy x =-=-+=-31241 有x 14t y 2t z 3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1(m 1 n 1 p 1)和s 2(m 2 n 2 p 2) 那么L 1和L 2的夹角就是) ,(2^1s s 和) ,() ,(2^12^1s s s s -=-π两者中的锐角因此|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ 根据两向量的夹角的余弦公式 直线L 1和L 2的夹角可由|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线L 1111111p z z n y y m x x -=-=- L 2222222p z z n y y m x x -=-=- 则L 1L 2m 1m 2n 1n 2p 1p 20 L 1 L 2212121p p n n m m == 例2 求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=zy x 的夹角解 两直线的方向向量分别为s 1(1 4 1)和s 2(22 1) 设两直线的夹角为 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ所以4πϕ=四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为2π设直线的方向向量s (m n p ) 平面的法线向量为n(A B C )直线与平面的夹角为那么|) , (2|^n s -=πϕ 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ 按两向量夹角余弦的坐标表示式有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 pCn B m A ==因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp 0设直线L 的方向向量为(m n p ) 平面的法线向量为(A B C ) 则LpCn B m A ==L / / Am Bn Cp 0例3 求过点(1 2 4)且与平面2x 3y z 40垂直的直线的方程解平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为143221-=-+=-z y x五、杂例例4求与两平面 x 4z 3和2x y 5z 1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程解平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s 因为 )34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x例5求直线241312-=-=-z y x 与平面2xy z 60的交点解 所给直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程中 得2(2t )(3t )(42t )60 解上列方程 得t 1 将t 1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x 1 y 2 z 2例6 求过点(2 1 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线的方程 解 过点(2 1 3)与直线12131-=-=+z y x 垂直的平面为 3(x 2)2(y 1)(z 3)0 即3x 2y z 5直线12131-=-=+zy x 与平面3x 2y z 5的交点坐标为)73 ,713 ,72(-以点(2 1 3)为起点以点)73 ,713 ,72(-为终点的向量为)4 ,1 ,2(76)373 ,1713 ,272(--=----所求直线的方程为431122-=--=-z y x例6 求过点(2 1 2)且与直线241312-=-=-z y x 垂直相交的直线的方程解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为(x 2)(y 1)2(z 2)0 即x y 2z 7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2) 所求直线的方向向量为s (1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 所求直线的方程为21112-=-=--z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021112z y x提示 求平面xy 2z 7与直线241312-=-=-z y x 的交点直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程得(2t )(3t )2(42t )7 解得t 1 代入直线的参数方程得x 1 y 2 z 2 平面束设直线L 的一般方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A其中系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 考虑三元一次方程 A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2 y C 2z D 2)0 即 (A 1A 2)x (B 1B 2)y (C 1C 1)z D 1D 20其中为任意常数 因为系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 所以对于任何一个值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线L 也就是说 这个方程表示通过直线L 的一族平面 另一方面 任何通过直线L 的平面也一定包含在上述通过L 的平面族中通过定直线的所有平面的全体称为平面束 方程A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2y C 2z D 2)0就是通过直线L 的平面束方程 例7 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面x yz 0上的投影直线的方程解 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x y z 1)(x y z 1)0 即 (1)x (1)y (1)z (1)0 其中为待定的常数 这平面与平面 x y z 0垂直的条件是 (1)1(1)1(1)10 即 1 将1代入平面束方程得投影平面的方程为2y 2z 20 即 y z 10 所以投影直线的方程为 ⎩⎨⎧=++=--01z y x z y。
205第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB −−→（图6-1）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，a ，r ，F 或a →，→r ，→F ．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量a 和b 的大小相等，且方向相同，则说向量a 和b 是相等的，记为=a b ．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量a ，→a ，AB −−→的模分别记为||a ，||→a ，||AB −−→．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或→0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与a 的模相等而方向相反的向量，称为a 的负向量，记作-a ．设a 和b 为非零向量，在空间中任取一点O ，作OA −−→=a ，OB b −−→=，规定不超过π的AOB ∠（即0AOB ≤∠≤π）称为向量a 和b 的夹角（图6-2），记作(,)∧a b 或(,)∧b a ．如果a 和b 中有一个为零向量，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值．若(,)0∧=a b 或π，即向量a 和b 的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a //b ．可认为零向量与任何向量都平行．若(,)∧=a b 2π，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．206 类似还有向量共面的概念，设有(3)k k ≥个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和公共起点在一个平面上，就称这k 个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a 与b ，任取一点A ，作AB −−→=a ，再以B 为起点，作BC −−→=b ，连接AC ，（图6-3），那么向量AC −−→=c 称为向量a 与b 的和，记作+a b ，即=+c a b ．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图6-4）：当向量a 与b 不平行时，平移向量a ，使a 与b 的起点重合，以a ，b 为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点C 的向量等于向量a 与b 的和+a b ．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 +=+a b b a ；（2）结合律 ()()++=++a b c a b c ．由于向量的加法符合交换律与结合律，故n 个向量12,,n a a a (3)n ≥相加可写成12+++n a a a ,并按向量相加的三角形法则，可得n 个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12,n a a a ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量b 与a 的差为()-=+-b a b a （图6-5）． 特别地，当=b a 时，有()-=+-=a a a a 0．显然，任给向量AB −−→及点O ，有AB AO OB OB OA −−→−−→−−→−−→−−→=+=-，因此，若把向量a 与b 移到同一起点O ，则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB −−→便是向量b 与a 的差-b a ．由三角形两边之和大于第三边的原理，有+≤+a b a b 及 -≤+a b a b ， 其中等号在b 与a 同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量a 与实数λ的乘积记作λa ，规定λa 是一个向量，它的模为207λλ=a a ．当0λ>时，向量λa 与a 的方向相同，当0λ<时，向量λa 与a 的方向相反．当0λ= 时，0λ=a ，即λa 为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当1λ=±时，有1,(1)=-=-a a a a ． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律 ()()()λμμλλμ==a a a ； （2）分配律 ()λμλμ+=+a a a ；()λλλ+=+a b a b ．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b ． 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 51(13)1525⎛⎫=-+--+⋅ ⎪⎝⎭a b 522=--a b ． ●●例2 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM −−→−−→=．证 如图6-6所示，连结AC ，则在BAC ∆中，KL −−→=12AC −−→；在DAC ∆中，NM −−→=12AC −−→．所以KL NM −−→−−→=． 设≠0a ，则向量||aa 是与a 同方向的单位向量，记为a e ．于是||=a a a e ．由向量的数乘运算知向量λa 与a 平行，因此有如下定理：设向量≠0a ，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使λ=b a ．证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性．设b //a ．取||a b ||||=λ，当b 与a 同向时λ取正值；当b 与a 反向时λ取负值，即λ=b a ．这是因为此时b 与a 同向，且λλ===ba a ab a． 再证明实数λ的唯一性．设λ=b a ，又设μ=b a ，两式相减，得()λμ-=0a ，即 0λμ-=a ．因0≠a ，故0λμ-=，即λμ=．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ，对于数轴上任一点P ，对应一个向量OP −−→，由OP //i ，根据定理1，必有唯一的实数x ，使OP x −−→=i ，（实数x 叫做数轴上有向线段OP −−→的值），并知OP −−→与实数x 一一对应．于是点P向量OP x −−→=i 实数x ，从而数轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系．据此，定义实数x 为数轴上点P 的坐标．208 由此可知，数轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是OP x −−→=i ．三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和3个两两垂直的单位向量i ，j ，k ，就确定了3条都以O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz 坐标系或[];,,O i j k 坐标系．通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住z 轴，其余四指从正向x 轴以π2角度转向正向y 轴时，大拇指所指的方向为z 轴的正向，如图6-7所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面，另两个由y 轴及z 轴和z 轴及x 轴所确定的坐标面分别叫做yOz 面和zOx 面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在xOy 面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I ，II ，III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII 表示（图6-8）．设M 为空间一点，过点M 作3个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R （图6-9），这3点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ．于是空间点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ．反之，若已知一个有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q ，R 分别作与x 轴、y 轴、z 轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点M （图6-9）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数,,x y z 叫做点M 的坐标，并依次称,x y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．点M 通常记作(,,)M x y z ．记OM −−→=r ，则=r OM OP PN NM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++，设OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，则OM x y z −−→==++r i j k ．上式称为向量r 的坐标分解式，x i ，y j ，z k 称为向量r 沿3个坐标轴方向的分向量．有序数,,x y z 称为向量r 在坐标系Oxyz 中的坐标，记作r (,,)x y z =．向量OM −−→=r 称为点M 关于原点O 的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同209的坐标．记号(,,)x y z 既表示点M ，又表示向量OM −−→．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点M 在xOy 面上，则0=z ；类似地，点M 在yOz 面上，则0=x ；点M 在zOx 面上，则0=y ．如果点M 在x 轴上，则0==y z ；同样，点M 在y 轴上，有0z x ==；点M 在z 轴上，有0x y ==．如果点M 为原点，则x =y 0z ==．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设(,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，即x y z a a a =++a i j k ， x y z b b b =++b i j k ，则加法：()()()x x y y z z a b a b a b +=+++++a b i j k ； 减法：()()()x x y y z z a b a b a b -=-+-+-a b i j k ； 数乘：()()()x y z a a a λλλλ=++a i j k （λ为实数） 或(,,)x x y y z z a b a b a b +=+++a b ， (,,)x x y y z z a b a b a b -=---a b ，(,,)x y z a a a λλλλ=a ．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若≠0a 时，向量//b a 相当于λ=b a （λ为实数），即(,,)(,,),x y z x y z b b b a a a λ= 也相当于向量的对应坐标成比例，即.y x zx y zb b b a a a == ●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组53,32-=⎧⎨-=⎩x y a x y b ，其中(2,1,2)=a ，(1,1,2)=--b ．解 如同解二元一次线性方程组，可得23,35=-=-x a b y a b ．以a 、b 的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)x =---=-， 3(2,1,2)5(1,1,2)(11,2,16)=---=-y ．●●例4 已知两点111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 以及实数1λ≠-，在直线AB 上求一点M ，使AM MB λ−−→−−→=．解法1 如图6-10所示，由于AM OM OA −−→−−→−−→=-，MB OB OM −−→−−→−−→=-，因此 ()OM OA OB OM λ−−→−−→−−→−−→-=-，210 从而 1()1OM OA OB λλ−−→−−→−−→=++ 121212( , , )111x x y y z z λλλλλλ+++=+++，这就是点M 的坐标．解法2 设所求点为(,,)M x y z ，则111(, , )AM OM OA x x y y z z −−→−−→−−→=-=---，222(, , )MB OB OM x x y y z z −−→−−→−−→=-=---．依题意有AM MB λ−−→−−→=，即111222(,,)(,,)λ---=---x x y y z z x x y y z z ， 则有111222(,,)(,,)(,,)(,,)λλ-=-x y z x y z x y z x y z ，故) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=，从而 λλ++=121x x x ，121y y y λλ+=+，λλ++=121z z z ．点M 叫做有向线段AB −−→的λ分点，当1λ=时，点M 是有向线段AB −−→的中点，其坐标为221x x x +=，221y y y +=，221z z z +=．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量r =(,,)x y z ，作OM −−→=r （图6-9），则OM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→==++r ，按勾股定理可得||||OM −−→==r因为OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，所以||,||,||OP x OQ y OR z −−→−−→−−→===，于是得向量模的坐标表示式222||z y x ++=r ．设有点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z , 则222111212121 (,,)(,,)(,,)−−→−−→−−→=-=-=---AB OB OA x y z x y z x x y y z z ，于是A 、B 两点间的距离为||||AB AB −−→==●●例5 求证：以(1,2,3)A ，(2,1,4)B ，(4,2,1)C --为顶点的三角形是直角三角形． 证 因为2222(21)(12)(43)3AB =-+-+-=， 2222(41)(22)(13)41AC =-+--+--=， 2222(42)(21)(14)38BC =-+--+--=，211所以，2233841AB BC +=+=，又因为241AC =，根据勾股定理可知，ABC ∆是直角三角形．●●例6 设点P 在x轴上，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．解 因为点P 在x 轴上，故可设点P 的坐标为(,0,0)x ，则1PP =，2PP =由于122PP PP=，即，解之得1x =±．从而所求点P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)-．●●例7 已知两点(1,0,3)A 和(3,1,1)B ，求与AB −−→方向相同的单位向量e ． 解 因为 (3,1,1)(1,0,3)(2,1,2)AB OB OA −−→−−→−−→=-=-=-,所以，||3AB −−→=，从而 =e 1(2,1,2)3||ABAB −−→−−→=-． 2．方向角与方向余弦非零向量r =(,,)x y z 分别与x 轴、y 轴、z 轴的夹角αβγ、、称为向量r 的方向角（图6-11）．c o s,c o s ,c o s αβγ称为向量r 的方向余弦．则||cos ,||cos ,||cos x y z αβγ===r r r ．cos ||x α=r ，cos ||y β=r ，cos ||zγ=r ．从而1(cos , cos , cos )||r αβγ==r e r ． 上式表明，以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量r e ，而且有222cos cos cos 1αβγ++=．●●例8 已知两点A )和 (1, 3, 0)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角． 解因为(12, 32, 0(1, 1, AB −−→=---=-， 所以||2)2AB −−→=，从而(cos , cos , cos )||ABAB αβγ−−→−−→=，即 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos γ=，故 α=23π，β=3π，γ= 34π．212 ●●例9 设向量12P P −−→与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π，而且122|PP |−−→=，如果点1P 的坐标为(1,0,3)，求点2P 的坐标．解 设点2P 的坐标为(,,)x y z ，则12P P −−→的坐标为(1,0,3)x y z ---，又设向量12P P −−→的方向角为α、β、γ，由题设可得α=3π，1cos 2α=，β=4π，cos β= 因为222cos cos cos 1αβγ++=，所以1cos 2γ=±．即γ=3π或γ=23π．由121cos x |PP |α−−→-= 可得12x -12=，解之得2x =，由120cos y |PP |β−−→-= 可得02y-=y = 由123cos z |PP |γ−−→-=可得32z -12=±，解之得4z =或2z =． 故点2P的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴（图6-12）．任给向量r ，作OM −−→=r ，再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '（点M '叫作点M 在u 轴上的投影），则向量OM −−→'称为向量r 在u 轴上的分向量．设OM −−→'λ=e ，则数λ称为向量r 在u 轴上的投影，记作Pr j u r 或()u r ． 按此定义，向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标,,x y z a a a 就是a 在3条坐标轴上的投影，即Pr j ,Pr j ,Pr j x x y y z z a a a ===a a a ．投影的性质：性质1 ()cos u a a ϕ=（即Pr j cos u a a ϕ=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角． 性质2 ()()()u u u a b a b +=+（即Pr j ()Pr j Pr j u u u a b a b +=+）．性质3 ()()u u a a λλ=（即Pr j ()Pr j u u a a λλ=）．习 题 6-11．在平行四边形ABCD 中，设a −−→=AB ，AD −−→=b ，试用a 和b 表示向量MA −−→、MB −−→、MC −−→、MD −−→，其中M 是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．2133．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式．4．求平行于(1,1,1)=a 的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)A B C D ------6．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．7．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 11．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标． 12．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点． 13．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行． 14．求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式．15．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式． 16．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．17．已知两点A ，(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为α，β，γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．19．已知3点(1,0,0)A =，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC −−→与CA −−→及其模；（2）BC −−→的方向余弦、方向角；（3）与BC −−→同向的单位向量． 20．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．21．一向量的终点为点(2,1,4)B --,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8， 求这向量起点A 的坐标．22．已知向量a 的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且a 与z 轴的方向角是钝角．求cos γ．23．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．214 第二节 数量积 向量积 混合积*一、向量的数量积1．数量积的定义设一物体在常力F 作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以s 表示位移12M M −−→． 由物理学知道, 力F 所作的功为cos θ=W F s , 其中θ为F 与s 的夹角（图6-13）．在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量a 和b 的模||a 、||b 及它们的夹角θ的余弦的乘积，我们称之为向量a 和b 的数量积，记作a b ⋅（图6-14），即cos θ⋅=a b a b ．由数量积的定义可以知道,力F 所作的功是力F 与位移s 这两个向量的数量积，即W =⋅F s ，下面我们来讨论数量积的一些性质．2．数量积的性质性质 1 当a ≠0时，Pr j ⋅=a a b a b ；当b ≠0时，Pr j ⋅=b a b b a ．这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略．性质2 2⋅=a a a ．证 因为向量a 与自身的夹角0θ=，所以 2cos θ⋅==a a a a a ．性质3 两个向量a 与b 垂直的充要条件是0⋅a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当0⋅=a b 时一定有cos 0θ=，从而θ=π2，即a ⊥b ； 反之，如果a ⊥b ，那么π2θ=，cos 0θ=，于是cos 0θ⋅==a b a b ． 3．数量积满足的运算规律（1） 交换律 a b b a ⋅=⋅．（2） 分配律 ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．（3） 结合律 ()()a b a b λλ⋅=⋅, ()()()a b a b λμλμ⋅=⋅ （λ、μ 为常数）． 证 下面只证明分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，余下的证明留给读者． 当0c =时，上式显然成立，当0c ≠时，由性质1及投影的性质有()P r ()(P r P r )c c c j j j +⋅=+=+a b c c a b c ab Pr Prc c j j =+=⋅+⋅c a c b a c b c ．●●例1 试用向量证明三角形的余弦定理．215证 设在ABC ∆中，BCA θ∠=，=BC a ，CA b =，AB c =（图6-15），要证2222cos θ=+-c a b ab ．记CB −−→=a ，CA −−→=b ，AB −−→=c ， 则有 =-c a b ，从而2()()2=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅c c c a b a b a a b b a b222cos(,).=+-a b a b a b即2222cos θ=+-c a b ab ．4．数量积的坐标表示设 ()x y z a ,a ,a a =，()x y z b ,b ,b =b ，则按数量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a b i j k i j ki i i j i k j i j j j k k i k j k k因为i j k 、、是两两互相垂直的单位向量，所以0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j i j k k j k i i k ，1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ．从而a b ⋅=++x x y y z z a b a b a b ．这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5．两向量夹角的余弦的坐标表示设(,)θ∧=a b 则当,≠≠00a b 时, 由数量积的定义cos θ⋅=⋅a b a b 有cos ||||a b a b a b θ++⋅==⋅a ba b ． ●●例2 已知(1,1,4)=-a ，(1,2,2)=-b ，求（1）⋅a b ； （2）a 与b 的夹角； （3）a 在b 上的投影． 解 （1）⋅a b 111(2)(4)2=⋅+⋅-+-⋅9.=-（2）因为cos a b a b a b θ++==θ=3π4． （3）因为||Prj ⋅=b a b b a ，所以 P rj 3||⋅==-b a ba b ． 二、向量的向量积1．向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩． 设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处． F 与OP −−→的夹角为θ（图6-16）．由力学规定，力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模sin |||OP |||θ−−→=M F , 而M 的方向垂直于OP −−→与F 所决定的平面, M 的指向是按右手规则从OP −−→以不超过π的角转向F 来确定的（图6-17）．216设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出：（1）c 的模：sin θ=c a b ，其中θ为a 与b 间的夹角；（2）c 的方向：垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图6-18）．那么，向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作⨯a b ，即=⨯c a b．根据向量积的定义，力矩M 等于OP −−→与F 的向量积，即OP −−→=⨯M F ．2．向量积的性质性质1 ×0a a =．性质2 两个向量//a b 的充要条件是×0a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当×0a b =时一定有sin 0θ=，从而0θ=或πθ=，即//a b ；反之，如果//a b ，那么0θ=或πθ=，则sin 0θ=，于是×0a b =．3．向量积的运算规律（1）反交换律 ⨯=-⨯a b b a ．（2）分配律 ()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ．（3）结合律 ()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b （λ为数）．4．向量积的坐标表示设x y z a a a =++a i j k ，x y z b b b b =i +j +k ， 按向量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k由于⨯=⨯=⨯=0i i j j k k ，,,⨯=⨯=⨯=i j k j k i k i j ---⨯⨯⨯,j i =k,k j =i,i k =j ，所以()()()y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+-a b i j k ．217为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成x yz x yza a ab b b ⨯=i jk a b ． ●●例3 设向量2a i j k =+-，23b j k =+．计算a b ⨯，并计算以a ，为b 邻边的平行四边形的面积．解 121023i j ka b ⨯=-211112230302i j k --=-+832i j k =-+．根据向量积的模的几何意义，a b ⨯的模在数值上就是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．因而其面积S 为S ||=⨯a b●●例4 求同时垂直于向量(=-a解 记368(803)010,,=⨯=-=--i j kb a j ，故同时垂直于向量a 与y 轴的单位向量为803),,±=--b b ． ●●例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 证 如图6-19所示，在ABC ∆中，设−−→=BC a ，CA −−→=b ，−−→=AB c ，且=a a ，b =b ，c =c , 则0++=a b c ，从而()=-+c a b ，因此()⨯=-+⨯=-⨯=⨯0c a a b a b a a b ，同理可得⨯=⨯b c a b ，所以⨯=⨯=⨯b c c a a b ．故 ⨯=⨯=⨯b c c a a b ，即 sin sin sin bc A ca B ab C ==，于是sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 三、向量的混合积*1．向量的混合积的定义已知3个向量a 、b 、c ，向量a b ⨯与向量c 的数量积()⨯⋅a b c 称为这3个向量的混合积，记为[]abc ．2．混合积的坐标表示设 (,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，(,,)x y z c c c =c ，因为218 xy z x y za a ab b b ⨯=ij ka b yz x yx zyz x yx z a a a a a a b b b b b b =-+i j k ． 再按两向量的数量积的坐标表达式可得[]()=⨯⋅abc a b c yz x yx zxy zy z x yx za a a a a a c c cb b b b b b =-+xy zx y z x y za a ab b bc c c =． 由上述坐标表达式不难验证 []()()()=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅a b ca b c b c a c a b ． 3．向量的混合积的几何意义向量的混合积[]()=⨯⋅abc a b c 的绝对值表示以向量,,a b c 为棱的平行六面体的体积．如果向量,,a b c 组成右手系（即c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量,,a b c 组成左手系（即c 的指向按左手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是负的．下面我们来解释这一问题．一方面，设−−→OA =a ，−−→OB =b ，−−→OC =c ，按向量积的定义，向量积a b f ⨯=是一个向量，它的模在数值上等于向量a 和b 为边所作的平行四边形OADB 的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当,,a b c 组成右手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的同侧（图6-20）；当,,a b c 组成左手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的异侧．所以，如设f 与c 的夹角为α，那么当,,a b c 组成右手系时，α为锐角；当,,a b c 组成左手系时，α为钝角．由于[]()cos α=⨯⋅=⨯abc a b c a b c ．所以当,,a b c 组成右手系时，[]abc 为正；当,,a b c 组成左手系时，[]abc 为负．另一方面，以向量,,a b c 为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB ）的面积S 在数值上等于a b ⨯，它的高h 等于向量c 在向量f 上的投影的绝对值，即h Prj cos α==f c c ，所以平行六面体的体积==V Sh []cos α⨯=a b c abc ．由上述混合积的几何意义可知，若混合积[]0abc ≠，则能以,,a b c 三向量为棱构成平行六面体，从而,,a b c 三向量不共面；反之，若,,a b c 三向量不共面，则必能以,,a b c 为棱构成平行六面体，从而[]0abc ≠．于是有下述结论：三向量,,a b c 共面的充分必要条件是它们的混合积[]0abc =，即0x y zx y z xyza a ab b bc c c =． ●●例6 已知[]2=abc ，计算[()()]()+⨯+⋅+a b b c c a ．解 [()()]()+⨯+⋅+a b b c c a [)]()=⨯+⨯+⨯+⨯⋅+a b a c b b b c c a219()()()0=⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b c a c c c b c c ()()()0+⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b a a c a a b c a 2()=⨯⋅a b c 2[]=abc 4=．●●例7 已知(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，(,,)D x y z 4点共面，试求D 点的坐标所满足的关系式．解 A B C D 、、、 四点共面相当于−−→AB 、−−→AC 、AD −−→三个向量共面，而(450)−−→=-，，AB ，(043)−−→=-，，AC ，(112)−−→=-+-，，AD x y z ，由3个向量共面的充要条件可知：1124500043-+--=-x y z ． 即 151216350++-=x y z 为所求的关系式．习 题 6-21．已知向量(112),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．2．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．3．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23a b -．4．证明下列问题：（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111),,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．5．求点(1M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角． 6．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．7．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．8．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．9．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b10．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义． 11．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ．第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）220 有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）,（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）, 那么，方程(,,)0F x y z =就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）．下面我们来建立几个常见的曲面的方程．●●例1 建立球心在0000()M x ,y ,z 、半径为R 的球面的方程． 解 设(,,)M x y z 是球面上的任一点（图6-22），那么0M M =R ，即R或 2222000()()()R x x y y z z -+-+-=． （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程．而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程． 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为2222x y z R ++=．●●例2 求与原点O 及0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程．解 设(,,)M x y z 是曲面上任一点，根据题意有0||1||2MO MM =，即12=， 整理得: 22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点24,1,33⎛⎫--- ⎪⎝⎭求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程．以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；图6-22图6-21221（2） 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状． 上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子．●●例3 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可化为222(1)(2)5x y z -+++=，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点0(1,2,0)M -、半径为R = 一般地，设有三元二次方程2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，这个方程的特点是缺xy ，yz ，zx 各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成2222000()()()x x y y z z R -+-+-=的形式，那么它的图形就是一个球面．下面，我们来讨论一些特殊的曲面．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴．设在yOz 坐标面上有一已知曲线:(,)0C f y z =，把该曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-23），下面求该旋转曲面的方程．设111(0,,)M y z 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0=f y z ， （3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点(,,)M x y z ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离1d y ．将1z z =，1y =3）式，即得旋转曲面的方程为()0f z =，即将曲线C 的方程(,)0f y z =中的y改成，便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程．同理yOz 坐标面上的已知曲线(,)0f y z =绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为(0f y,=．同理xOy 坐标面上的已知曲线(,)0=f x y 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为(,0f x =．●●例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角π(0)2αα<<叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-24）222 的方程．解 yOz 面上直线L 的方程为cot z y α=，因为z 轴为旋转轴，L 为母线，所以只要将方程cot z y α=中的y改成即可得到所要求的圆锥面方程z α=或 2222()z a x y =+，其中cot a α=．显然，圆锥面上任一点M 的坐标一定满足此方程．如果点M 不在圆锥面上，那么直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是点M 的坐标就不满足此方程．三、柱面给定一曲线C 和一定直线L （L 不在曲线C 所在的平面内），如果一动直线平行于定直线L 并沿着曲线C 平行移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设准线C 为xOy 面内的一条曲线，其方程为(,)0F x y =，沿C 作母线平行于z 轴的柱面（图6-25）．在柱面上任取一点(,,)M x y z ，过M 点作一条与z 轴平行的直线，则该直线与xOy 平面的交点为0(,,0)M x y ，由于0M 在准线C 上，所以有(,)0F x y =．即M 点的坐标应满足方程 (,)0F x y =． 反之,如果空间一点000(,,)M x y z 满足方程(,)0F x y =,即00(,)0F x y =,则000(,,)M x y z 必在过准线C 上一点00(,)x y 而平行于z 轴的直线上，于是点000(,,)M x y z 必在柱面上．所以，方程(,)0F x y =在空间就表示母线平行于z 轴的柱面．例如方程222x y R +=表示母线平行于z 轴，准线是xOy 平面上以原点为圆心、以R 为半径的圆的柱面（图6-26），称其为圆柱面，类似地，曲面222x z R +=、222y z R +=都表示圆柱面．方程22y x =表示母线平行于z 轴，以xOy 坐标面上的抛物线22y x =为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图6-27）．一般地，只含,x y 而缺z 的方程(,)0F x y =，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy 面上的曲线C ：(,)0F x y =．类似地，只含,x z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含,y z 而缺x 的方程(,)0=H y z 分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面．223图6-29例如，方程0-=x z 表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是xOz 面上的直线0-=x z ，所以它是过y 轴的平面．四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．把平面叫做一次曲面．怎样了解三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法：设S 是一个曲面，其方程为(,,)0F x y z =，S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面，显然，若(,,)x y z S ∈，则(,,)x y z S λ'∈；若(,,)x y z S '∈，则1,,x y z S λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此，对于任意的(,,)x y z S '∈，有1,,0λ⎛⎫= ⎪⎝⎭F x y z ，即1,,0F x y z λ⎛⎫= ⎪⎝⎭是曲面S '的方程．下面我们来介绍几种典型的二次曲面．1．椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所表示的曲面称为椭圆锥面（图6-28）．我们先用截痕法来讨论其图形．以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面,当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆1)()(2222=+bt y at x ．当t 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当||t 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点．综合上述讨论，可得椭圆锥面． 另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形．把圆锥面2222x y a z +=沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得到椭圆锥面的方程为2222()a x y a z b +=，即 22222x yz a b+=．2．椭球面由方程2222221x y z a b c++=所表示的曲面称为椭球面（图6-29）．把xOz 面上的椭圆22221x z a c +=绕z 轴旋转一周所得的曲面称 为旋转椭球面，其方程为222221x y z=a c ++，再把旋转椭球面沿y 轴 方向伸缩a b 倍，便得椭球面2222221x y z a b c++=.另外，把球面2222x y z a ++=沿z 轴方向伸缩a c 倍，得旋转椭球面222221x y z a c++=，再沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得椭球面2222221x y z a bc++=．。
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
十、向量代数与空间解析几何1．设{3,1,2}a =--r ,{1,2,1}b =-r ,求(2)3a b -⋅r r 和a b ⨯r r .解：(2)36[31(1)2(2)(1)]18a b -⋅=-⨯⨯+-⨯+-⨯-=-r r12323131257211112121i j k a b i j k i j k ----⨯=--=-+=++---v v v v v v v v v v v2．23=-+a i j k ，3=-+b i j k ，2=-c i j ，求()()+⨯+a b b c解：()()(344)(233)i j k i j k +⨯+=-+⨯-+v vv v v v a b b c443434344332323233i j ki j k j k --=-=-+=----v vv v vv v v3．求过点(3,0,1)-，且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。
解：因为所求平面与平面375120x y z -+-=平行，所以其法向量375n i j k =-+v vv v由点法式得所求的平面方程为3(3)7(0)5(1)0x y z ---++=即37540x y z -+-= 4．求过点0(2,9,6)M -且与连接原点O 及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程.解：向量0OM u u u u u r 所求平面的法向量296n i j k =+-v v v v由点法式得所求的平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+--+=即2961210x y z +--=5．求过三点1(0,4,5)P -、2(1,2,2)P --、3(4,2,1)P 的平面方程。
解：所求平面的法向量n v同时垂直于线段12P P u u u u r ， 13P P u u u u r，其中12167PP n i j k ==--+u u u u r v v v v 、且132426PP n i j k ==-+u u u u r v v v v所求平面的法向量12167223426426i j kn n n i j k=⨯=--=-++-vv v v v v v v v由点法式得所求的平面方程为22(0)34(4)26(5)0x y z --+-++=即11171330x y z -++-=6．求平行于平面230x y z +--=,且过点(2,5,3)P -的平面方程。
第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
教学重点： 1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－ 1，其符合右手规则。
即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。
坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。
图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。
若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：d 2222 M1M 2M1NNM 2222M 1 p pNNM 2而M 1 P x 2x 1PNy 2y 1NM 2 z 2 z 1所以d M 1M 2(x 2x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)d oMx 2 y 2 z 2例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。
2( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14证明 :M 1M 2M 2M 327) 2(21)2 (3 2)26(524) 2 (2 3) 2(3 1) 2 6M 3M 1(5由于M 2M 3M 3 M 1 ，原结论成立。
例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0,2 ,3)的距离为到点P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍，1求点 P 的坐标。
解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0)PP 1 x 2 2PP 2x212x 2 1132 2x 2212PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 22x1所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式作业：第二节向量及其运算教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点： 1.向量的概念 2.向量的运算教学难点：向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。
向量相等 a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
量的模：向量的大小，记为 a 、OM。
模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的运算1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－ 42．a b c即a( b) c b ca3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为(1)0 时，a 与a同向，| a || a |(2)0 时，a0(3)0 时，a 与a反向，| a | ||| a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0aa定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ ，使b＝a例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。
（见图7－ 5）图 7－4解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1(a b)1 (a 2由于 MC MA ，于是 MC b)21又由于a b BD 2 MD ，于是 MD(b a)21由于MB MD ，于是 MB a)(b2小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。
作业：第三节向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点： 1.向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点： 1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数满足AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当 AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴 u 上有向线段AB 的值，记做AB，即AB 。
设e是与u 轴同方向的单位向量，则AB e设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，(a,b)OB b，规定不超过的 AOB 称为向量a和b的夹角，记为空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A 作轴u的垂直平面，该平面与轴u 的交点A'叫做点 A 在轴u上的投影。
向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量AB 的起点A和终点B在轴 u 上的投影分别为点A'和 B'，那么轴u上的有向线段的值A' B '叫做向量AB在轴u上的投影，记做 Pr j u AB 。
2．投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr j u AB AB cos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr j u ( a1a2 ) Pr j a1Pr j a2性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即Pr j u ( a)Pr j a二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设 a = M1M2是以M1(x1, y1, z1)为起点、M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量， i 、 j、 k 分别表示图7－5沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－ 5，并应用向量的加法规则知：M 1M 2( x2x1 ) i +( y2y1 ) j+ (z2z1 ) k或 a = a x i + a y j + a z k上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。
有序数组 a x、a y、a z与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 a x、a y、 a z 就叫做向量 a 的坐标，并记为a＝ {a x， a y， a z}。
上式叫做向量 a 的坐标表示式。
于是，起点为M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 终点为 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 的向量可以表示为M 1M 2{ x2x1, y2y1 , z2z1 }特别地，点M ( x, y, z) 对于原点O 的向径OM { x, y, z}注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量 a 在坐标轴上的投影是三个数a x、 a y、 a z，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、a y j 、 a z k .2．向量运算的坐标表示设 a { a x , a y , a z }， b { b x ,b y , b z}即 a a x i a y ja z k，b b x i b y j b z k则加法：减法：a b (a x b x ) i(a y b y ) j( a z b z )k a b ( a x b x )i (a y b y ) j(a z b z )k乘数：a( a x ) i( a y ) j( a z )k或 a b{ a x b x , a y b y , a z b z }a b { a x b x , a y b y , a z b z}a { a x , a y , a z }平行：若 a≠ 0 时，向量b // a相当于b a ，即{ b x , b y ,b z}{ a x , a y , a z}也相当于向量的对应坐标成比例即b x b y b za x a y a z三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设 a{ a x ,a y ,a z} ，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量 a 的方向角，见图 7－ 6，其余弦表示形式 cos 、cos 、cos称为方向余弦。
模aa x2a y2 a z2方向余弦a x M1M 2cos a cos由性质1知 ay M1M2cos a cos，当a a x2a y2 a z20 时，a z M1M 2cos a cos有cos a x a xa a x2 a y2 a z2cosa y a ya a x2 a y2a z2cosa z a za a x2 a y2 a z2任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21与非零向量 a 同方向的单位向量为：a 0a1a { a x , a y , a z } {cos , cos , cos }a例子：已知两点M 1 (2,2, 2 )、 M 2 (1,3,0)，计算向量M 1 M 2的模、方向余弦、方向角以及与M 1 M 2同向的单位向量。
解： M1M 2＝ {1-2 ， 3-2 ，0- 2 }={-1，1，-2 }M1M2( 1)212( 2)22cos1， cos12 2， cos222，，3334设 a 0为与 M 1M 2同向的单位向量，由于a0{cos ,cos ,cos }即得a 0{1,1, 2 }222小结：本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
