2007微积分二B卷答案

2007 年考研数学二真题一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1) 当时，与等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】 B。

【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 函数在上的第一类间断点是(A)0(B)1(C)(D)【答案】A。

【解析】A：由得所以是的第一类间断点；B：C：D：所以都是的第二类间断点。

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是,(A)(B)(C)(D)-3-2-10123【答案】 C。

【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除 (B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4) 设函数在处连续，下列命题错误的是．．(A) 若存在，则(B) 若存在，则(C)若存在，则存在(D) 若存在，则存在【答案】 D。

【解析】(A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确；(B) ：若(C),则存在，则，故 (B) 正确。

存在，知，则则存在，故 (C) 正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5) 曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】 D。

硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (A) 1xe-. (B) 1ln1xx+-. (C) 11x +-. (D) 1cos x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x +→时，有1(1)~xx ee x -=---；111~2x x +-； 2111cos ~().22x x x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A) 0. (B) 1. (C) 2π-. (D)2π. [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又 11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---， 11110()tan tan lim lim 111()xxx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007级高等数学Ⅱ-2B0809试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共15分)1.设2cos z y x =,则z y∂=∂ 2c o s x 2.设arctan y z x =,则dz = 22ydx xdy x y-++ 3.微分方程440y y y '''-+=的通解为 212()x y e c c x =+4.幂级数211n n x n ∞=∑的收敛域为 []1,1- 5.交换二次积分100(,)y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序为110(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 二、计算题(每小题7分,共21分)1. 求过点(1,2,3)M -且垂直于直线3460:24310x y z L x y z -++=⎧⎨+--=⎩的平面方程. 解:平面的法向量为12134(7,11,10)243i j k n n n =⨯=-=--所求平面方程为7(1)11(2)10(3)0x y z -++-+-=,即71110590.x y z -++-=2. 设2(,32)z f x y x y =+-,f 具有二阶连续偏导数,求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 解:12111221223,223(22).z z f f f y f f y f x y∂∂=+=⋅-+⋅-∂∂ 3. 求曲面22249x y z =+在点(6,12,5)处的切平面方程和法线方程. 解:令222(,,),49x y F x y z z =-+则2,,229x y z x y F F F z =-=-= 所以曲面在点(6,12,5)处的切平面的法向量为8(3,,10)3n =-- , 所以切平面方程为83(6)(12)10(5)0.3x y z ----+-=法线方程为6125.38310x y z ---==-- 三、计算题(每小题7分,共28分)1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰,其中D 是由直线1,2y x ==及y x =所围成的平面区域. 解:22311119().28x D xydxdy dx xydy x x dx ==-=⎰⎰⎰⎰⎰ 2. 计算三重积分222()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,其中2222:5.x y z Ω++≤ 解: 2522222000()sin 2500.xy z dxdydz d d r r dr ππθϕϕπΩ++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 计算曲线积分22()Lx y ds +⎰,其中Γ为圆周222(0).x y a a +=> 解:圆的参数方程为cos ,sin ,02,x a t y a t t ds adt π==≤≤=2222210()2.n n n L xy ds a adt a ππ++=⋅=⎰⎰4. 计算曲面积分122222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰,其中∑为下半球面z =的上侧,a 为大于零的常数.解:作辅助平面12220:z x y a=⎧∑⎨+≤⎩,取下侧.则 122222()1()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++=++++⎰⎰⎰⎰ 112211()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ 222211(22)x y a a z a dv a dxdy a a Ω+≤=-++-⎰⎰⎰⎰⎰ 2233001sin (32cos ).2a d d a r r dr a a a ππππθϕϕϕπ=-+-=-⎰⎰⎰四、计算题(每小题7分,共28分)1. 判断级数18!nn n ∞=∑的敛散性.解:118(1)!8lim lim lim 018!1n n n n n n na n a n n ρ++→∞→∞→∞+====<+,所以原级数收敛. 2. 将函数()ln f x x =展开成(3)x -的幂级数.解:3()ln ln(3(3))ln 3ln(1)3x f x x x -==+-=++ 111(3)ln 3(1),(0,6]3n n nn x x n ∞-=-=+-∈∑ 3. 求微分方程522(1)1dy y x dx x -=++的通解. 解:22532222(1)(1)(1)3dx dx y e C x e x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ 4. 求微分方程2x y y y xe '''--=的通解.解:原方程对应的齐次方程的特征方程为220r r --=,特征根为122, 1.r r ==- 所以对应的齐次方程的通解为212x x Y c e c e -=+又1λ=不是特征方程的根,所以原方程的特解可设为()x y ax b e *=+, 代入原方程可得11,24a b =-=-,即11().24x y x e *=-+ 故原方程的通解为21211().24x x x y c e c e x e -=+-+ 五、应用题(8分)求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定隐函数(,)z z x y =的极值.解:484,281281z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令0,0z z x y ∂∂==∂∂可解得2,0x z y =-=,代入原方程得2780z z +-=,从而解得1281,7z z ==-,于是驻点为16(2,0),(,0).7- 222(48)(281)8(2)(4)(281)z z x x z x x z z x z x ∂∂∂∂--+-+++∂=∂+- 2224(281)8(281)z y z x z y z x ∂∂-+-+∂=∂+-228(281)8(2)(281)z z y y z x x z z x y z x ∂∂∂∂-+-++∂=∂∂+- 在点(2,0)-处且1z =时,22222(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)11144,0,,1515x y x y x y z z z z z z A B C x x y y =-=-=-===∂∂∂======∂∂∂∂且 20,0AC B A ->>,故(,)z z x y =在驻点(2,0)-处取得极小值 1.z = 同理可得(,)z z x y =在驻点16(,0)7处取得极大值87z =-.。

微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。

3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。

五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。

(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。

AP® Calculus AB2007 Scoring GuidelinesForm BThe College Board: Connecting Students to College SuccessThe College Board is a not-for-profit membership association whose mission is to connect students to college success and opportunity. Founded in 1900, the association is composed of more than 5,000 schools, colleges, universities, and other educational organizations. Each year, the College Board serves seven million students and their parents, 23,000 high schools, and 3,500 colleges through major programs and services in college admissions, guidance, assessment, financial aid, enrollment, and teaching and learning. Among its best-known programs are the SAT®, the PSAT/NMSQT®, and the Advanced Placement Program® (AP®). The College Board is committed to the principles of excellence and equity, and that commitment is embodied in all of its programs, services, activities, and concerns.© 2007 The College Board. All rights reserved. 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(b) Find the area of S .(c) Write, but do not evaluate, an integral expression that gives thevolume of the solid generated when R is rotated about the horizontal line 1.y =222x x e −= when 0.446057,1.553943x =Let and 0.446057P = 1.553943Q =(a) Area of ()2220.5Qx x P14dx −=−=⌠⌡⎪⎩R e3 : ⎪⎨ 1 : integrand1 : limits 1 : answer ⎧(b) when 2221x x e −=0,x =Area of S e Area of R()22201x x dx −=−−⌠⌡− Area of2.06016= 1.546R =OR()()()222220110.219064 1.1078860.219064 1.546Px x x x Qe dx Q P e d −−−+−⋅+−=++=⌠⌠⌡⌡1x⎪⎩3 : ⎪⎨ 1 : integrand 1 : limits 1 : answer ⎧(c) Volume ()()2222121Qx x P e d π−⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⌠⎮⌡x =−3 : {2 : integrand1 : constant and limitsQuestion 2A particle moves along the x -axis so that its velocity v at timeis given by The graph of v is shown abovefor 0t ≥()()2sin .v t t=0t ≤≤ The position of the particle at time t is ()x t and its position at time is 0t =()05x =.(a) Find the acceleration of the particle at time t 3.=(b) Find the total distance traveled by the particle from time 0t =to t 3.==(c) Find the position of the particle at time t 3.(d) For 0t ≤≤ find the time t at which the particleis farthest to the right. Explain your answer.Question 3The wind chill is the temperature, in degrees Fahrenheit ()F ,° a human feels based on the air temperature, in degrees Fahrenheit, and the wind velocity v , in miles per hour ()mph . If the air temperature is 32 then the wind chill is given by and is valid for 56F,°()0.1655.622.1W v v =−0.v ≤≤ (a) Find ()20.W ′ Using correct units, explain the meaning of ()20W ′ in terms of the wind chill.(b) Find the average rate of change of W over the interval 560.v ≤≤ Find the value of v at which theinstantaneous rate of change of W is equal to the average rate of change of W over the interval 560.v ≤≤ (c) Over the time interval hours, the air temperature is a constant 32 At time the windvelocity is mph. If the wind velocity increases at a constant rate of 5 mph per hour, what is the rate of change of the wind chill with respect to time at 0t ≤≤4 F.°0,t =20v =3t = hours? Indicate units of measure.Question 4Let f be a function defined on the closed interval 55x −≤≤ with ()13f=. The graph of ,f ′ the derivative of f , consists of two semicircles and two line segments, as shown above.(a) For −< find all values x at which f has arelative maximum. Justify your answer.5x 5,<5,<(b) For −< find all values x at which the graph of fhas a point of inflection. Justify your answer.5x (c) Find all intervals on which the graph of f is concave upand also has positive slope. Explain your reasoning.(d) Find the absolute minimum value of ()f x over the closed interval 5x 5.−≤≤ Explain your reasoning.Question 5Consider the differential equation 11.2dy x y dx =+−(a) On the axes provided, sketch a slope field for the given differential equationat the nine points indicated.(Note: Use the axes provided in the exam booklet.)(b) Find 2d ydxin terms of x and y . Describe the region in the xy -plane inwhich all solution curves to the differential equation are concave up.(c) Let ()y f x = be a particular solution to the differential equation with theinitial condition ()01f =. Does f have a relative minimum, a relative maximum, or neither at Justify your answer. 0?x =(d) Find the values of the constants m and b , for which y mx b =+ is asolution to the differential equation.y −1Question 6Let f be a twice-differentiable function such that ()2f 5= and ()52f .= Let g be the function given by ()()().g x f f x =(a) Explain why there must be a value c for 25c << such that () 1.f c =−′(b) Show that Use this result to explain why there must be a value k for 2 such that()()2g g =′′5.5k <<()0.g k =′′ (c) Show that if ()0f x =′′ for all x , then the graph of g does not have a point of inflection. (d) Let ()().h x f x x =− Explain why there must be a value r for 25r << such that ()0.h r =。

2007考研数学二真题及答案一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→等价的无穷小量是 （B ）A. 1-1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D. 2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为 （D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散 （7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x→-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y →-= C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于 （B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， （B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16. (12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1）. (13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-. (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,则1222(,)(,)z z y y x x y x xy f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x .【详解】： 设(),y f t =则1()t fy -=.则原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t tyf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+cos sin '()sin cos x xf x x x-=+（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ； （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e e π= （19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】： 设dy p y dx '==，则dpy dx''=代入得：22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+ 设x u p= 则()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp ⇒=1u p c ⇒=+ 即21x p c p =+ 由于(1)1y '=故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求x dzdx=，202x d zdx=.【详解】： 11y y xe--=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- （当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dxy y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)（本题11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=.【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D =U ,且(1)(2)1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换2200221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dt t πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=+⎰⎰(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为 1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==L当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T Tαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P diag P diag -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

对外经济贸易大学2007─2008学年第二学期《微积分（二）》期末考试试卷（B ）一、单项选择题：（每题2分，共14分） 得分1．设()f x 是连续函数, ()(),xa F x f t dt =⎰则下列结论正确的是 （ ）（A ）若()f x 是偶函数,则()F x 必为奇函数（B ）若()f x 是奇函数,则()F x 必为偶函数（C ）若()0f x >,则()F x 必大于零（D ）若()f x 是周期函数,则()F x 也是周期函数2．设()f x 是连续函数, ln 1()(),xx F x f t dt =⎰ 则()F x '等于 （ ）（A ）2111(ln )()f x f x x x + （B ） 1(ln )()f x f x+ （C ）2111(ln )()f x f x x x - （D ）1(ln )()f x f x - 3．广义积分⎰∞+=+1)1(1dx x x （ ）（A ） 2π （B ） π （C ） 2π （D ） 4π 4．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续。

②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续。

③),(y x f 在点),(00y x 处可微。

④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在。

用P Q ⇒“”表示可由性质P 推出Q ,则有 （ ）（A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒①（C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④5．对于函数(,)f x y =0，0）是 （ ）（A ）驻点 （B ）驻点是极值点（C ）不是驻点，但是极大值点 （D ）不是驻点，但是极小值点6．设有幂级数211n nn na x ∞+=∑,若11lim 4n n n a a →+∞+=,则该幂级数的收敛开区间为 （ ） （A ）(11,22-) （B ）()2,2- （C ）(11,44-) （D ）()4,4- 7. 具有通解2121,()cos sin (C C x C x C e y x +=为任意常数）的二阶常系数齐次线性微分方程是 （ ）（A ）0=+'-''y y y （B ）022=+'-''y y y（C ） 0=+''y y （D ）02=+'-''y y y二、填空题：（每题3分，共21分） 得分1．设()f x 是连续函数，且221()2()f x x f x dx =+⎰，则()f x ＝______________.2. 由曲线,x x y e y e -==和直线1x =所围图形的面积是______________.3．函数arcsin x z y=在点(3,5)处的全微分dz =______________. 4．设(),z z x y =是由方程sin 1z z xy ++=确定的隐函数,则(1,1,0)z x ∂=∂______________. 5．二重积分()10,I dy f x y dx =⎰交换积分次序后的形式是______________. 6．设级数∑∞=-12)1(n n n na 收敛，则级数∑∞=1n n a 的敛散性是 ______________.7. 设)(1x y 是方程)()(x Q y x P y =+'的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解是______________.三、计算题：（1-6每题6分，第7题7分，共43分） 得分1．方程(,)0z z F x y y x ++=确定了函数(,),z f x y =其中F 为可微函数，求,z z x y∂∂∂∂。

中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

浙江大学2007-2008学年春季学期微积分Ⅱ课程期末考试试卷一 、填空题每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上 1.点M 1,－1, 2到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在0,1上连续,且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,把所选字母填入题后的括号内6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 A 2π . B 3π . C 4π . D 6π. 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为A 10(,)dy f x y dx ⎰⎰B 100(,)dy f x y dx ⎰⎰C 1(,)dx f x y dy ⎰⎰D 10(,)dx f x y dy ⎰⎰8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= ＜A 12.B 12-.C 34.D 34-.9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处A 偏导数存在,函数不连续B 偏导数不存在,函数连续C 偏导数存在,函数连续D 偏导数不存在,函数不连续 三、解答题10.本题满分10分求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M 1,－1,2处的切线方程与法平面方程.11.本题满分10分设F 可微,z 是由F x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.本题满分10分设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.本题满分10分求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.本题满分10分设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.本题满分5分设当y ＞0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y . 浙江大学2007－2008学年春季学期微积分II 课程期末考试试卷答案一、填空题每小题5分,共25分 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=DDd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题每小题5分,共20分 6．选B. l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选D. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选D.8．选C. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选A. ()()0000,0lim 0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在.取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续．三、解答题10～14每题10分,15题5分,共55分 10．由L ,视x 为自变量,有 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy ,所以切线方程为87245111-=+=-z y x , 法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12．D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.所以,原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x z y x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂,1830Fy x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小；当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14．将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++,有222xy y x y x u ++=∂∂,从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, 所以,()2221,arctan 2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可： 所以,()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期微积分Ⅱ 课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题每小题5分,满分30分 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数,则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D,则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ,∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π,其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π,则.)27(=S二、 满分10分求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.三、 满分10分计算⎰⎰-10222d d x ye x y .四、 满分15分已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定,试求1022==∂∂y x x z.五、 满分15分设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .六、 满分15分如图是一块密度为ρ常数的薄板的平面图形在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形,矩形的另一边为h ,已知平面图形的形心位于原点0, 0. 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.满分5分 求证:当0,1≥≥s t时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰1222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y ex ey 2y yy四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d 最小距离：2236),,(323131-=-d ,最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x x七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s且对固定的1>t , 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以,t s ln =取得最小值且为0,则 0),(≤s t F ,即1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 c .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数 b .A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 a. A123I I I >> B 213I I I >> C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 d . A b ax y += B xe b ax y 3)(+= C x e bx ax y 32)(+= D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna d .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定 一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz z z z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===-⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 6、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞==19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛; 6分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________. 2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________. 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n na与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛.可能会有错误大家一定要自己核对一、填空题每小题3分,共15分1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =,则=z ;2222x xy y y -++2、计算广义积分⎰+∞13x dx = ;123、设xye z =,则=)1,1(dz ;)(dy dx e +4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 22)(+5、设14n n u ∞==∑,则11122nn n u ∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________;1二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 AD.不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 A ;A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 D ; A.d d θπr r r4222-⎰⎰；B.204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 C ;A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+- 5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 D A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：x y →→;解：0x y →→00x y →→= …3分1)112x y →→==+= …6分2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：421d x V xπ=⎰ …4分7.5π= …6分3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：方程两边对x 求导得:x z xy yz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z…3分方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …6分4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值; 解：322(,)42f x y x x xy y =-+-,则2(,)382x f x y x x y=-+,(,)22y f x y x y=-,(,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-，求驻点,解方程组23820220x x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，，得)0,0(和(2,2). …2分对)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,于是2120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …4分对(2,2)有(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,于是2120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点;6、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：221x x Dyy d dx dyxx σ=⎰⎰⎰⎰. (4)分213924xdx ==⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(,且0)1(=f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-=+' …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：=1)(1-=+-xc c x x…5分又0)1(=f ,即01=-c ,故1=c ,所以11)(-=x x f …6分8、求解微分方程212y y y '-+''=0 ;解：令y p '=,则dp y pdy ''=,于是原方程可化为：221dp p p dy y +=- …3分即201dp p dy y +=-,其通解为22111(1)dy yp c e c y --⎰==- …5分21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=-故原方程通解为：2111c x c y +-= …6分9、求级数1n n ∞=的收敛区间; 解：令2t x =-,幂级数变形为1n n ∞=1lim 1n t n n n a R a →∞+===. …3分当1-=t 时,级数为0(1)nn ∞=-∑收敛；当1=t 时,级数为1n ∞=.故1n n ∞=)1,1[-=t I , (5)分那么1n n ∞=的收敛区间为[1,3)x I =. …6分 10、 判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛;解：因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ (2)分由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛;证：)(2111+++≤n n n n u u u u , …3分而由已知∑++)(211n nu u 收敛,故由比较原则,∑+1n n u u 也收敛; …5分2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明：因为22f f xy x z '-=∂∂, (2)分222f f y f y z '+=∂∂ (4)分所以222212211y zyf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …5分一、填空题每小题3分,共15分1、设()z x y f y x =++-,且当0x =时,2z y =,则=z ;2222x xy x y -++2、计算广义积分21dxx +∞⎰= ;13、设)1ln(22y x z ++=,则(1,2)dz=;1233dx dy +4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 323)(+5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 ;58二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 BA 、0B 、3C 、2D 、不存在2、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 BA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是 BA. 2400d rπθ⎰⎰；B.2204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰；D.204d rπθ⎰⎰4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =,x e y =2,x e y 23=,则其通解为 D A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x xC x C e C e ++；C 、2212x xx C e C e ++； D 、)()(22212xx x e x C e e C x -+-+5、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑p 为任意实数 A A 、无法判断 B 、绝对收敛 C 、收敛 D 、发散 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0000x x y y →→→→=…3分0011224x y →→-===-+ …6分2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：220sin d x V x xππ=⎰ …4分214π= …6分3、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：一令=),,(z y x F xy xyz z--e 则 y yz x F --=∂∂, x xz y F --=∂∂, xy z F z -=∂∂e利用公式,得xy y yz xy y yz z F x Fx z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …3分 xy x xz xy x xz z F y Fy z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …6分二在方程两边同时对x 求导,得解出xy y yz x z z-+=∂∂e , …3分 同理解出xy x xz y z z-+=∂∂e …6分4、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值; 解：33812),(y xy x y x f +-=,则yx y x f x 123),(2-=,xy y x f y 1224),(2-=,x y x f xx 6),(=,12),(-=y x f xy ,，y y x f yy 48),(=求驻点,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322x y y x 得)0,0(和)1,2(. …2分对)0,0(有0)0,0(=xx f ,12)0,0(-=xy f ,0)0,0(=yy f ,于是01442>=-AC B ,所以)0,0(点不是函数的极值点. …4分对)1,2(有12)1,2(=xx f ,12)1,2(-=xy f ,48)1,2(=yy f ,于是048121442<⨯-=-AC B ,且012>=A ,所以函数在)1,2(点取得极小值,33(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …6分 …5分6、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：211(2)(2)yyDx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰ …4分2221119(21)6y dy y =--=⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：01)(2)(=+'+x f x f 即21)(21)(-=+'x f x f …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：2221)(x x x ce c e e --+-=+-= …5分 又0)0(=f ,即c +-=10,故1=c ,所以1)(2-=-xe xf …6分8、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解;解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程作变换 令 dyp dx =,则22d y dp dxdx =,于是原方程降阶为2(1)20dpx px dx +-=…3分, 分离变量221dp xdx p x =+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++即21(1)p C x =+,从而 21(1)dyC x dx =+ …5分再积分一次得原方程的通解y ＝312()3x C x C ++ …6分9、求级数∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间; 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1n n n t ,11lim 1n tn n n a n R a n →∞++===. …3分当1-=t 时,级数为∑∞=-01)1(n nn 收敛；当1=t 时,级数为∑∞=11n n 发散.故∑∞=1n nn t 的收敛区间是)1,1[-=t I , (5)分那么∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …6分 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos()1!!n x n n ⋅≤ …2分 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设级数21nn a∞=∑收敛,证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛;证：由于)1(21||22n a n a n n +≤, …3分 而∑2na ,∑21n 都收敛,故∑+)1(2122n a n 收敛,由比较原则知 n a n ∑收敛.;…5分2、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z ;证明： 因为)2sin()21()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-⋅--⋅-=∂∂, …2分)2cos(22t x t z--=∂∂, 22222)2cos(2t z t x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …4分 所以02222=∂∂∂+∂∂t x zt z (5)分中南民族大学06、07微积分下试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题每小题3分,共15分7 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >8 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y xy x x y x f 在原点间断,是因为该函数 . A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 .A 123I I I >> B213I I I >>C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 .A b ax y +=B xe b ax y 3)(+=C x e bx ax y 32)(+=D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定6分,共60分23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题每小题3分,共15分6、C .7、 B.8、A .9、D. 10、D. 三、计算题每小题6分,共60分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz zz z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞== 6分19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++ 3分2233113311331111333311331133x y z zx y x y x y x yx yx x x y --∂∂+=⋅+⋅∂∂++⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭6分22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n nn v u 收敛; 6分06年B 卷一、填空题每小题3分,共15分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 .4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________.二、选择题每小题3分,共15分 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值点8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定6分,共60分11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂.14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第.17、解微分方程0='+''yy x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nnn 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.5分,共10分21、设222ln zyxu++=,证明222222zuyuxu∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z++.22、若∑∞=12nna与∑∞=12nnb都收敛,则∑∞=1nnnba收敛.07年A卷一、填空题每小题3分,共15分1、设)(yxfyxz-++=,且当0=y时,2xz=,则=z .2、计算广义积分⎰∞+13xdx= .3、设xyez=,则=)1,1(dz.4、微分方程xxeyyy265=+'-''具有形式的特解.5、设14nnu∞==∑,则11122n nnu∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________二、选择题每小题3分,共15分6、22223sin()limxyx yx y→→++的值为 .A 3B 0C 2 D不存在7、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 .A 必要非充分的条件B 充分非必要的条件C 充分且必要的条件D 即非充分又非必要的条件 8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 . Ad d θπr r r4222-⎰⎰B204d rπθ⎰⎰C20d rπθ⎰⎰D442012d d θπr r r-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 .A xx e C e C x 221++ B x x e C e C x C 2321++C )()(221x x x e x C e e C x -+-+ D)()(2221x e C e e C xx x -+-10、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 .A 收敛B 绝对收敛C 发散D 无法判断6分,共60分11、求极限0x y →→12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.。

中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期《微积分（二）》期末考试试卷（B ）参考答案一、单项选择题：（每题2分，共14分） 1．B 2．A 3．A 4．A 5．D 6．A 7. B 二、填空题：（每题2分，共14分） 1． 213x - 2. 12e e -+- 3．13420dx dy -4．12- 5．()2111,x dx f x y dy --⎰⎰6．绝对收敛. 7. ()1P x dx y y Ce -⎰=+三、计算题：（1—6每题6分，7题7分，共43分） 1． 解：令(),,(,)z zG x y z F x y y x=++， （1分） 则122,x z G F F x ''=-122,y z G F F y ''=-+1211,z G F F y x''=+ （3分） 21222121212,11x zzF FG yzF x yF z x x G x F xyF F F y x''-''-∂=-=-=''∂+''+12221221212.11yz zF FG xzF xy F z y y G xyF y F F F y x''-+''-∂=-=-=''∂+''+ （2分） 2．解:112.z y yyf g xg yf g g x x x ∂⎛⎫''''=++-=+- ⎪∂⎝⎭(2分) 21211112111z y f yf g g g g g x y x x x x ∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭(3分) 211122y yf yfg g g x x''''''''=++-- (1分) 3．解：2)d d Dx y ⎰⎰y x y x Dd d )2(+-=⎰⎰ (1分)作辅助线x y =将D 分成21,D D 两部分+-=⎰⎰y x y x D d d )(22⎰⎰Dy x d d 2（2分） 2)12(32π+-=. （3分）4．解:利用极坐标计算()2sin 40()cos sin Dx y dxdy d r r rdr πθθθθ+=+⎰⎰⎰⎰(2分)()3408sin cos sin 3d πθθθθ=+⎰()401134cos 2cos 463d πθθθ=+-+⎰ (3分) 142π=-(1分) 5．解 方程两端除以2y ，并作变量替换,121--==y y z 则dxdyy dx dz 21-= (2分) 原方程化为322x xz dxdz-=+ （1分） 求得212x cex z -++-=， (2分)于是 由,1-=y z 得原方程的解2211x cex y -+-=。

微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上］⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续，则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①，②=24.7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时，l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时，① x + sinx12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量，则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ：① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛？ + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ，( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n ［解］记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在，故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a = ,3b = ,3a b ⋅= ,则a b +=.3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[esin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．a b +== 3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=+=+=∴D b a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x xdx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()01,d y f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ，法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830Fy x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z 最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++，有222xy yx y x u ++=∂∂，从而知()()y y x yxy x u ϕ++=2221arctan ,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以，()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以，()C y y x yx y x u +++=22221arctan ,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(z ye z y x g x+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)7(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.10022dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--1212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d c o s d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhR Rr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x Rh RR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰---七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t ， 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则0),(≤s t F ，即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。